anexa_a1 valori proprii si valori singulare

Anexa 1 VALORI PROPRII I VALORI SINGULAREA1.1. Valori i vectori propriiValorile i vectorii proprii joac un rol fundamental n descrierea matematic a unor categorii largi de procese tehnice, economice, biologice etc. De exemplu, proprieti eseniale cum sunt cele referitoare la stabilitatea sistemelor dinamice autonome modelate printr-un sistem de ecuaii difereniale liniare:

dx dt = [ A][ x ] T

(A1.1)

n care [ x ] = [ x1 , x2 ,..., xi ,...x n ] este vectorul variabilelor de stare, se exprim prin

intermediul valorilor proprii ale matricei [ A] , numit matrice de stare. Astfel, valorile proprii pot corespunde unor valori critice ale unor parametrii ai sistemului dinamic, unor frecvene de oscilaie atunci cnd sunt complex conjugate etc. n spaiul euclidian cu n dimensiuni transformarea, vectorului

[ x ] = [ x1 , x2 ,..., xi ,...x n ]T n

vectorul

[ y ] = [ y1 , y2 ,..., yi ,... y n ]T ,

prin intermediul (A.1.2)

matricei [A], se definete cu relaia:

[ y ] = [ A][ x ]n care

n general, cei doi vectori [ x ] i [ y ] sunt diferii (fig. A1.1,a), iar cnd acetia sunt coliniari (fig. A1.1,b), ei verific relaia :

[ A] R nn

este o matricea ptrat real cu dimensiunea n x n.

[ y ] = [ x]n care este un scalar.[y]=[A][x] [x] [x] [y]=[x]=[A][x]

(A.1.3)

a

b

Fig. A1.1. Transformrile liniare ale vectorului [x] n vectorul [y]

432

Dinamica sistemelor electroenergetice

definite de matricea [A] innd seama de relaia (A1.3), relaia (A1.2) devine:

[ A][ x] = [ x ]

(A1.4)

Scalarii i vectorii [x], definii cu relaia (A1.4), reprezint valorile proprii respectiv vectorii proprii ai matricei [A]. Ecuaia (A1.4) se poate scrie sub forma:

( [ A] [ I ] ) [ x ] = 0sau dezvoltat :

(A1.5,a)

a12 ... a1n x1 0 a11 a a22 ... a2 n x2 0 = 21 (A1.5,b) ... ... ... ... ... ... an 2 ... ann xn 0 an1 n care [ I ] este matricea unitate de ordinul n. Sistemul de ecuaii (A1.5), fiind un sistem omogen, admite soluii nebanale numai dac : det ([ A] [ I ]) = 0 (A1.6)

Dezvoltnd determinantul din relaia (A1.6), dup puterile lui , se obine ecuaia polinomial de ordinul n: b0 n + b1 n 1 + ... + bn 1 + bn = 0

(A1.7)

numit ecuaia caracteristic ale crei rdcini 1,2,...,n sunt cele n valori proprii ale matricei [ A] . Valorile proprii pot fi reale, complexe, distincte sau multiple. Soluia [ Ri ] = [ R1i , R2i ,..., Rni ] a sistemului de ecuaii (A1.5), corespunztoareT

unei valori proprii i , se numete vector propriu dreapta al matricei [ A] asociat valorii proprii i . Acesta este un vector coloan care satisface relaia:

[ A][ Ri ] = i [ Ri ]

(A1.8)

Deoarece sistemul de ecuaii (A1.5) este omogen, iar vectorul [ Ri ] este o soluie a acestuia, atunci i vectorul K [ Ri ] este o soluie. Prin urmare, exist o infinitate de vectori proprii dreapta corespunztori valorii proprii i care difer ntre ei doar prin scalarul multiplicator K . n mod similar, vectorul linie [ Li ] = [ Li1 , Li 2 ,...Lin ] care satisface relaia:

[ Li ][ A] = i [ Li ]

(A1.9)

Anexa 1 Valori proprii i valori singulare

433

se numete vector propriu stnga al matricei [ A] asociat valorii proprii i . Aplicnd operaia de transpunere relaiei (A1.9) rezult:

[ A]T [ Li ]T = i [ Li ]TT T

(A1.10)

Deoarece matricele [ A] i [ A] au aceleai valori proprii rezult c vectorul propriu stnga [ Li ] este vectorul propriu dreapta al matricei [ A] corespunztor valorii proprii i . Vectorii proprii dreapta Ri i stnga L j , corespunztori la dou valori proprii

i i j diferite, sunt ortogonali, adic: L j [ Ri ] = 0 (A1.11)

n schimb, vectorii proprii corespunztori aceleiai valori proprii i satisfac relaia:

[ Li ][ Ri ] = Ci

(A1.12)

n care Ci este o constant diferit de zero. Deoarece, aa cum s-a menionat mai sus, vectorii proprii difer ntre ei printr-o constant multiplicativ, n practic se alege aceast constant astfel nct cei doi vectori proprii s fie normalizai, adic:

[ Li ][ Ri ] = 1

(A1.13)

Pentru a exprima n mod succint proprietile referitoare la vectorii i valorile proprii ale matricei [ A] , se definesc urmtoarele matrice:

R11 L R1n matricea modal [ R ] = M O M = [ R1...Rn ] ale crei coloane sunt Rn1 L Rnnvectorii proprii dreapta;

L11 L L1n L1 matricea modal [ L ] = M O M = M ale crei linii sunt vectorii Ln Ln1 L Lnn proprii stnga; 1 L 0 matricea spectral [ ] = M O M = diag {1 ,... n } ale crei 0 L nelemente diagonale sunt valorile proprii.

434


n ipoteza c valorile proprii sunt distincte, innd seama de relaiile (A1.9), (A1.11) i (A1.13), rezult c:

[ A][ R ] = [ R ][ ] [ L ][ R ] = [ R ][ L ] = [ I ][ R ]1 [ A][ R ] = [ L ][ A][ R ] = [ ]respectiv

(A1.14)

n continuare, pe baza relaiilor (A1.14) se demonstreaz cu uurin c: (A1.15) (A1.16)

[ A] = [ R ][ ][ L ] = i [ Ri ][ Li ]i =1

n

Relaia (A1.16) definete descompunerea matricei

vectorii proprii. n plus, dac matricea [ A] nu este singular, adic dac valorile proprii sunt distincte i nenule, atunci inversa acesteia se obine cu relaia:

[ A]

dup valorile i

[ A] = [ R ][ ]1

1

[ L] =

[ R ][ L ]1 i i i i =1

n

(A1.17)

A1.2. Analiza modal

Analiza modal este o metod de studiu a stabilitii sistemelor dinamice bazat pe calculul valorilor i vectorilor proprii. Utilizarea sistemului de ecuaii difereniale (A1.1), sub forma rezultat prin aplicarea legilor fizice, pentru a investiga comportamentul sistemului dinamic modelat, este inadecvat deoarece matricea de stare [ A] este, n majoritatea cazurilor, o matrice nediagonal. Prin urmare, ntre variabilele de stare exist un cuplaj care face imposibil identificarea parametrilor cu o influen semnificativ asupra comportamentului sistemului dinamic. Pentru a elimina acest dezavantaj se utilizeaz schimbarea de variabil: x ( t ) = [ R ] z ( t ) = [ R1 ,..., Ri ,..., Rn ] z ( t ) (A1.18,a) respectiv L1 M 1 z ( t ) = [ R ] x ( t ) = [ L ] x ( t ) = Li x ( t ) M Ln

(A1.18,b)

n care: [ R ] i [ L ] sunt matricele modale ale matricei de stare [ A] ; [ z (t )] vectorul variabilelor de stare transformate, numite variabile modale de stare.


435

n aceste condiii sistemul de ecuaii (A1.1) devine:

[ R] sau

dz = [ A][ R ][ z ] dt

(A1.19)

1 dz dt = [ R ] [ A][ R ][ z ] = [ ][ z ]

(A1.20)

dx dz Dac = = 0 , atunci sistemul dinamic se afl n echilibru. n cazul dt dt sistemelor liniare punctul de echilibru l constituie originea spaiului euclidian ndimensional. Dac sistemul dinamic este perturbat, adic la momentul t = t0 = 0 [ x0 ] = x1 ( 0 ) ,..., xn ( 0 ) [ 0,...,0] , atunci evoluia acestuia se obine

prin integrarea numeric a sistemului de ecuaii difereniale (A1.1). n acest sens, mai nti se integreaz sistemul transformat de ecuaii (A1.20). innd cont c matricea spectral [ ] este o matrice diagonal, acest sistem este constituit din n ecuaii difereniale liniare independente de forma:dzi = i zi dt avnd soluia dat de: zi ( t ) = zi ( 0 ) ei t i = 1, 2,..., n (A1.22) i = 1, 2,..., n (A1.21)

n care zi ( 0 ) este valoarea iniial a lui zi . Avnd n vedere relaiile (A1.18) i (A1.22) rezult c: x ( t ) = [ R ] z ( t ) =

[ R ]z ( 0 ) ei i i =1

n

i t

(A1.23) (A1.24) (A1.25)

respectiv Conform relaiei (A1.24):

zi ( t ) = [ Li ] x ( t ) zi ( 0 ) = [ Li ][ x0 ] = Ci

Prin urmare, soluia general (A1.23) a sistemului de ecuaii difereniale (A1.1) devine: x ( t ) = [ R ] z ( t ) =

[ R i ]zi ( 0 ) e t = [ R i ]Ci e ti i

n

n

(A1.26,a)

i =1

i =1

respectivxi ( t ) = Ri1C1e1t + ... + Rik Ck e k t + .... + Rin Cn e nt

(A1.26,b)

436


Se observ c rspunsul sistemului la condiiile iniiale reprezentate de vectorul [ x0 ] este dat de combinaia liniar a celor n moduri dinamice de variaie reprezentate de zi ( t ) , numite i moduri modale de variaie, corespunztoare valorilor proprii ale matricei de stare [ A] . Analiznd relaiile (A1.26) rezult urmtoarea condiie de stabilitate:pentru ca sistemul dinamic liniar (A1.1) s fie stabil (soluiile x ( t ) 0 cnd t ) este necesar i suficient ca toate valorile proprii [ i ] i = 1, 2,..., n ale matricei [A] s aib partea real negativ.

relaiilor (A1.11), [ Li ][ x0 ] = [ Li ] R j = 0 i j . Prin urmare, va fi activat doar modul j de variaie. Din relaia (A1.18,a) rezult c elementele R ji ale vectorului propriu dreapta

Constanta Ci , definit de relaia (A1.25), reprezint amplitudinea excitaiei modului de variaie i rezultat din condiiile iniiale. Dac vectorul condiiilor iniiale este proporional cu vectorul propriu dreapta R j , atunci conform

[ Ri ] dau forma modului de variaie i indicnd gradul de implicare sau activitatearelativ a fiecrei variabile de stare x j n modul de variaie i comparativ cu celelalte variabile de stare. n mod similar, din relaia (A1.18,b), rezult c elementele Lij ale vectorului propriu stnga [ Li ] definesc combinaia liniar a variabilelor de stare variaie i. Din cele prezentate anterior rezult c vectorii proprii dreapta [ Ri ] i stnga

[ x]

n cadrul modului de variaie i. Astfel, valoarea

elementului Lij este o msur a activitii variabilei de stare x j n cadrul modului de

[ Li ]

ofer informaii pariale viznd contribuia unei variabile de stare x j n modul

de variaie i i viceversa. Pentru a obine o informaie net a influenelor reciproce dintre o variabil de stare j i un mod de variaie modal i se definete matricea factorilor de participare:

[ P ] = [ P1 ,..., Pi ,..., Pn ]n care:

(A1.27)


437

P i R1i Li1 1 M M [ Pi ] = Pji = R ji Lij i = 1, 2,..., n M M Pni Rni Lin

(A1.28)

este vectorul de participare al variabilelor de stare [ x ] la modul de variaie i. Elementele Pji ale matricei de participare

[ P ] se

numesc factori de (A1.29)

participare i se determin cu relaia:Pji = R ji Lij i = 1,.2,..., n i j = 1,.2,..., n

Valoarea fiecrui factor de participare Pji indic participarea variabilei de starex j la modul de variaie modal i. Se precizeaz faptul c, n timp ce elementele R ji i Lij depind de unitile de msur folosite n cadrul modelului, factorii de

participare sunt adimensionali. n plus, avnd n vedere normalizarea vectorilor proprii, suma factorilor de participare asociai unui mod de variaie modal i, respectiv unei variabile de stare x j , este 1. Prin urmare, suma elementelor de pe o coloan, respectiv de pe o linie a matricei de participare [ P ] este 1, adic:

j =1

n

Pji =

Pi =1

n

ji

=1

(A1.30)

n funcie de natura valorilor proprii se disting urmtoarele dou moduri de variaie: (i) Modurile de variaie non-oscilatorie sau modurile aperiodice asociate valorilor proprii reale ale matricei de stare. n acest caz, att componentele vectorilor proprii ct i constantele Ci sunt reale. Dac valoarea proprie este negativ, atunci modul corespunztor este un mod aperiodic amortizat. n schimb, o valoare proprie pozitiv indic o instabilitate aperiodic. Trecerea unei valori proprii reale din semiplanul stng n semiplanul drept, ca urmare a variaiei unui parametru al sistemului dinamic, corespunde unei bifurcaii de tip nod a. (ii) Modurile de variaie oscilatorie asociate valorilor proprii complexe. Deoarece matricea de stare este o matrice real, valorile proprii complexe apar n perechi complex conjugate, fiecrei perechi corespunzndu-i un mod de variaie oscilatoriu. Constantele Ci i componentele vectorilor proprii corespunztori valorilor proprii complex conjugate, vor avea i valori complexe astfel nct fiecare dintre variabilele de stare s aib valori reale la orice moment de timp. Partea real a valorilor proprii complex conjugate ne d amortizarea, iar partea imaginar frecvena de oscilaie. Astfel, pentru o pereche de valori proprii complex conjugate

438


= j

(A1.31)

frecvena de oscilaie n Hz este dat de:f = 2 + 22

(A1.32)

iar factorul de amortizare de:=

(A1.33)

Avnd n vedere condiia de stabilitate i relaia (A1.33) de definiie a factorului de amortizare, rezult c un factor de amortizare pozitiv corespunde unui mod oscilatoriu amortizat, n timp ce unul negativ corespunde unei instabiliti oscilatorii. Trecerea unei perechi de valori proprii complex conjugate din semiplanul stng n semiplanul drept, ca urmare a variaiei unui parametru al sistemului dinamic, corespunde unei bifurcaii de Hopf. n cazul unui mod oscilatoriu amortizat, constanta de timp a amortizrii 1 oscilaiilor este T = 1 . Cu alte cuvinte, amplitudinea oscilaiilor scade la sau e la 37% din valoarea iniial dup T = 1 secunde. Referitor la utilizarea practic a analizei modale trebuie remarcat faptul c valorile proprii situate n semiplanul stng al planului complex, dar apropiate de axa imaginar, corespund unor moduri de variaie oscilatorie stabile slab amortizate. Pentru a elimina apariia unor astfel de oscilaii, se definete o zon de stabilitate mai restrictiv dect axa imaginar, numit con de stabilitate (fig. A1.2). (unghiul limit al Acesta este definit de dou semiaxe care fac unghiul < 2 conului de stabilitate) cu axa real.Im 4 Zona stabil 2 1 Zona instabil Re

3

Fig. A1.2. Definirea conului de stabilitate Dac exist valori proprii situate n afara conului de stabilitate, ca de exemplu 1 , 2 i 3 , se impune modificarea acelor parametrii ai sistemului dinamic care determin deplasarea acestora n conul de stabilitate (anularea unghiului ).

Anexa 1 Valori proprii i valori singulare Exemplu de calcul numeric

439

Folosind tehnica analizei modale, s se studieze stabilitatea unui sistem dinamic liniar de ordinul doi avnd matricea de stare: 1 3 [ A] = 3 1 Ecuaia caracteristic este: 1 3 = 2 + 2 + 10 = 0 , det ([ A] [ I ]) = 3 1 iar valorile proprii rdcinile ecuaiei caracteristice sunt: 1 = j = 1 j 3 . Modurile de variaie corespunztoare celor dou valori proprii sunt moduri oscilatorii avnd: 3 frecvena de oscilaie f = = = 0.4775 Hz 2 2 ( 1) 1 factorul de amortizare = = = = 0.3162 2 2 2 2 10 + ( 1) + ( 3)Vectorii proprii dreapta [ R1 ] i [ R2 ] corespunztori celor dou valori proprii 1 i 2 se obin rezolvnd succesiv sistemul de ecuaii (A1.8). Astfel, pentru 1 = 1 + j 3 rezult sistemul de ecuaii omogene:3 R11 j 3 3 R11 0 1 1 = = 3 1 1 R21 3 j 3 R21 0 din care se obine o singur ecuaie independent j 3R11 + 3R21 = 0 , avnd soluiile R11 = K i R11 = jK , n care K este o constant arbitrar. Vectorul propriu 1 dreapta [ R1 ] , corespunztor valorii proprii 1 = 1 + j3 , este [ R 1 ] = K . j n mod similar se determin vectorul propriu [ R2 ] , corespunztor valorii 1 proprii 2 = 1 j 3 , ca fiind [ R 2 ] = K j 1 = 0.7071 , astfel nct vectorii proprii s fie Dac se alege K = 2 0.7071 7071 normalizai, rezult matricea modal [ R ] = , respectiv matricea j 7071 j 7071 0.7071 j 0.7071 modal [ L ] = [ R ] 1 = . 0.7071 + j 0.7071

440


[ L1 ] = [0.7071 j 0.7071] respectiv [ L2 ] = [0.7071 + j 0.7071] . Se poate verifica cu uurin c [ L1 ][ R1 ] = [ L2 ][ R2 ] = 1 i [ L1 ][ R2 ] = [ L2 ][ R1 ] = 0 .Deci, vectorii proprii dreapta sunt Matricea factorilor de participare ai variabilelor de stare x1 i x2 la cele dou 0.5 0.5 moduri de variaie, calculai cu relaia (A1.29), este [ P ] = . 0.5 0.5 0.5 Dac se consider c iniial sistemul se afl n starea [ x0 ] = , atunci, 0.5 conform relaiilor (A1.26), variaia n timp a celor dou variabile de stare este dat de relaiile: x1 ( t ) = R11C1e1t + R21C2 e 2t n care C1 = [ L1 ][ x0 ] = 0.3536 j 0.3536 , iar C2 = [ L2 ][ x0 ] = 0.3536 + j 0.3536 . n figura A2.3 este prezentat variaia celor dou variabile de stare x1 i x2 n 0.5 timpul tranziiei sistemului dinamic din starea iniial [ x0 ] = ctre starea de 0.5 0 echilibru [ xe ] = . 0 x2 ( t ) = R21C1e1t + R22C2 e 2t

Fig. A2.3. Evoluia temporar a variabilelor de stare x1 i x2A1.3. Valori singulare i vectori singulari

Calculul valorilor singulare i al vectorilor singulari asociai are la baz transformrile ortoganale i joac un rol esenial n evidenierea proprietilor


441

structurale legate de conceptul de rang matriceal. n acest context se reamintesc cteva definiii referitoare la matricele ptrate A R nxn : (i) (ii) (iii) (iv) (v) Dac dac [ A] = [ A] atunci matricea este simetric;T

dac [ A][ A] = [ A]T T

T

[ A] , matricea este normal;

dac [ A][ A] = [ I ] , matricea este ortogonal; dac matricea [ A] este ortogonal i normal, atunci ea se numete matrice ortonormal sau unitar; matricele ortogonale conserv normele matriceale l2 i lF . de ordin n, atunci exist dou matrice

[ A] este o matrice ptrat ortonormale [U ] i [V ] astfel nct:T

[ A] = [U ][ ][V ] =

[U ][V ]i i i i =1

n

T

(A1.34)

n care: [ ] este o matrice diagonal ale crei elemente 1 2 ...n 0 sunt valorile singulare ale matricei A; [U i ] coloanele matricei [U ] sunt vectorii singulari stnga

[Vi ]

corespunztori valorilor singulare i i = 1, n ; coloanele matricei

[V ]

sunt

vectorii

singulari

dreapta

corespunztori valorilor singulare i i = 1, n . Relaia (A1.34) definete descompunerea dup valorile singulare a matricei [ A] . Rangul matricei este dat de numrul valorilor singulare nenule. Acestea sunt rdcinile ptrate pozitive ale valorilor proprii ale matricei [ A][ A] care sunt siT

valorile proprii ale matricei [ A] ortonormale satisfac relaiile:

T

[ A] .

ntr-adevr, matricele [U ] i [V ] fiind

[U ][U ]T = [U ]T [U ] = [ I ] [V ][V ]T = [V ]T [V ] = [ I ]T T T T

(A1.35)T

Prin urmare, dac [ A] = [U ][ ][V ] , atunci [ A] = [V ][ ] [U ] = [V ][ ][U ] , iar

[ A][ A]T = [U ][ ][V ]T [V ][][U ]T = [U ][]2 [U ]T [ A]T [ A] = [V ][][U ]T [U ][][V ]T = [V ][]2 [V ]T

(A1.36)

442 n concluzie, matricele


[U ] i [U ]T sunt matricele modale ale matricei [ A][ A]T , iar matricele [V ] i [V ]T sunt matricele modale ale matricei [ A][ A]T . Se observ c dac matricea [ A] este simetric, atunci valorile proprii i valorilesingulare ale acesteia sunt identice. ntre vectorii singulari i valorile singulare exist urmtoarele relaii: AVi = iU i AtU i = iVi (A1.35)

Dac matricea nu este singular, adic i 0 i = 1, 2,..., n , atunci rangul ei este n, iar inversa se obine cu relaia: A1 = V U T =

i =1

n

1 T i ViU i

(A1.36)

vectorilor singulari asociai [U n ] i [Vn ] . Acest algoritm are la baz metoda iteraiei inverse aplicat matricei [ A][ A] sau [ A]T T

cea mai mic valoare singular n a matricei [ A] , notat min ( A ) , constituie o msur a distanei fa de cel mai apropiat set de matrice singulare de ordinul n, adic de setul matricelor de rang n 1 . Avnd n vedere acest aspect, pentru aplicaiile practice, ca de exemplu evaluarea stabilitii de tensiune a unui sistem electroenergetic, prezint interes algoritmul pentru calculul celei mai mici valori singulare n i a

Matricea devine singular atunci cnd 1 2 ... n 1 > n = 0 . Prin urmare,

[ A]

i cuprinde urmtorii pai:

1. Iniializeaz pasul curent de calcul p = 0 i selecteaz valorile iniiale0 ale vectorului singular dreapta Vn( ) 2. Itereaz T p (p 2.1. rezolv sistemul [ A] U n ) = Vn( )

$ 2.2. estimeaz valoarea minim singular n =k +1 (k 2.3. rezolv sistemul A Vn( ) = U n )

p Vn( )

Un

( p)

2 2

[ ]

(p Un ) ( p +1)2 2

$ 2.4. estimeaz valoarea minim singular n =

Vn

pn cnd este satisfcut testul de convergen, adic pn cnd diferena dintre valorile estimate n doi pai succesivi este mai mic dect o valoare aleas n funcie de precizia de calcul dorit.

Anexa 1 Valori proprii i valori singulare Exemplu de calcul numeric

443

3 . Descompunerea dup valorile 2 singulare a acestei matrice, obinut folosind funcia svd (singular value decomposition) din MATLAB, este dat de: T 0.8507 0.5257 4.2361 0.5257 0.8507 T . [ A] = [U ][][V ] = 0.5257 0.8507 0.2361 0.8507 0.5257 Deci, valorile singulare i vectorii singulari asociai sunt: 0.8507 0.5257 1 ( A ) = 4.2361 respectiv [U1 ] = i [V1 ] = 0.8507 0.5257 Se consider matricea

[ A] = 1

2

0.5257 0.8507 2 ( A ) = 0.2361 respectiv [U 2 ] = i [V2 ] = 0.5257 0.8507 Se poate verifica cu uurin c: [U1 ]T [U1 ] = [U 2 ]T [U 2 ] = 1 i [U1 ]T [U 2 ] = [U 2 ]T [U1 ] = 0 respectiv [V1 ]T [V1 ] = [V2 ]T [V2 ] = 1 i [V1 ]T [V2 ] = [V2 ]T [V1 ] = 0

adic matricele [U ] i [V ] sunt ortonormale.

anexa_a1 valori proprii si valori singulare

Documents