anexa 4a tematica pentru proba scrisă matematică · pdf filevectori în plan segment...
TRANSCRIPT
1
Anexa 4A Tematica pentru proba scris
Matematic
NOTA. Tematica coincide cu programa de bacalaureat in vigoare mai puin coninuturile
referitoare la Matematici financiare, clasa a X-a.
CLASA a IX-a
Mulimi i elemente de logic matematic
Mulimea numerelor reale: operaii algebrice cu numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul unui numr real, aproximri prin lips sau prin adaos, partea ntreag, partea
fracionar a unui numr real; operaii cu intervale de numere reale
Propoziie, predicat, cuantificatori
Operaii logice elementare (negaie, conjuncie, disjuncie, implicaie, echivalen), corelate cu operaiile i cu relaiile dintre mulimi (complementar, intersecie, reuniune, incluziune,
egalitate); raionament prin reducere la absurd
Inducia matematic
iruri
Modaliti de a defini un ir, iruri mrginite, iruri monotone
iruri particulare: progresii aritmetice, progresii geometrice, formula termenului general n funcie de un termen dat i raie, suma primilor n termeni ai unei progresii
Condiia ca n numere s fie n progresie aritmetic sau geometric, pentru 3n
Funcii; lecturi grafice
Reper cartezian, produs cartezian; reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de mulimi numerice; condiii algebrice pentru puncte aflate n cadrane; drepte din plan de
forma mx sau my , cu Rm
Funcia: definiie, exemple, exemple de corespondene care nu sunt funcii, modaliti de a descrie o funcie, lecturi grafice. Egalitatea a dou funcii, imaginea unei mulimi printr-o
funcie, graficul unei funcii, restricii ale unei funcii
Funcii numerice }),:{( RR DDfF ; reprezentarea geometric a graficului:
intersecia cu axele de coordonate, rezolvri grafice ale unor ecuaii i inecuaii de forma
)()( xgxf , ),,,( ; proprieti ale funciilor numerice introduse prin lectur grafic:
mrginire, monotonie; alte proprieti: paritate/imparitate, simetria graficului fa de drepte
de forma mx , Rm , periodicitate
Compunerea funciilor; exemple pe funcii numerice
Funcia de gradul I
Definiie; reprezentarea grafic a funciei RR :f , baxxf )( , unde Rba, ,
intersecia graficului cu axele de coordonate, ecuaia 0)( xf
Interpretarea grafic a proprietilor algebrice ale funciei: monotonia i semnul funciei;
studiul monotoniei prin semnul diferenei )()( 21 xfxf (sau prin studierea semnului
raportului 21
21 )()(
xx
xfxf
, R21, xx , 21 xx )
Inecuaii de forma 0 bax ),,( studiate pe R sau pe intervale de numere reale
2
Poziia relativ a dou drepte, sisteme de ecuaii de tipul
pnymxcbyax
, pnmcba ,,,,,
numere reale
Sisteme de inecuaii de gradul I
Funcia de gradul al II-lea
Reprezentarea grafic a funciei RR :f , cbxaxxf 2)( , cu Rcba ,, i 0a
intersecia graficului cu axele de coordonate, ecuaia 0)( xf , simetria fa de drepte de
forma mx , cu Rm
Relaiile lui Vite, rezolvarea sistemelor de forma
pxy
syx, cu Rps,
Interpretarea geometric a proprietilor algebrice ale funciei de gradul al II-lea
Monotonie; studiul monotoniei prin semnul diferenei )()( 21 xfxf sau prin rata creterii/
descreterii: 21
21 )()(
xx
xfxf
, R21, xx , 21 xx , punct de extrem, vrful parabolei
Poziionarea parabolei fa de axa Ox, semnul funciei, inecuaii de forma 02 cbxax
),,( , Rcba ,, , 0a , studiate pe R sau pe intervale de numere reale, interpretare
geometric: imagini ale unor intervale (proieciile unor poriuni de parabol pe axa Oy)
Poziia relativ a unei drepte fa de o parabol: rezolvarea sistemelor de forma
ycbxax
ynmx2 , Rnmcba ,,,,
Vectori n plan
Segment orientat, vectori, vectori coliniari
Operaii cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprieti ale operaiei de adunare; nmulirea cu un scalar, proprieti ale nmulirii cu un scalar; condiia
de coliniaritate, descompunerea dup doi vectori necoliniari
Coliniaritate, concuren, paralelism calcul vectorial n geometria plan
Vectorul de poziie al unui punct
Vectorul de poziie a punctului care mparte un segment ntr-un raport dat, teorema lui Thales (condiii de paralelism)
Vectorul de poziie a centrului de greutate al unui triunghi (concurena medianelor unui triunghi)
Teorema lui Menelau, teorema lui Ceva
Elemente de trigonometrie
Cercul trigonometric, definirea funciilor trigonometrice: ]1,1[]2,0[:sin ,
]1,1[]2,0[:cos , R
2
\],0[:tg , R),0(:ctg
Definirea funciilor trigonometrice: ]1,1[:sin R , ]1,1[:cos R , RR D\:tg , cu
ZkkD |2
, RR D\:ctg , cu }|{ Z kkD
3
Reducerea la primul cadran; formule trigonometrice: )sin( ba , )sin( ba , )cos( ba ,
)cos( ba , a2sin , a2cos , ba sinsin , ba sinsin , ba coscos , ba coscos
(transformarea sumei n produs)
Aplicaii ale trigonometriei i ale produsului scalar a doi vectori n geometria plan
Produsul scalar a doi vectori: definiie, proprieti. Aplicaii: teorema cosinusului, condiii de perpendicularitate, rezolvarea triunghiului dreptunghic
Aplicaii vectoriale i trigonometrice n geometrie: teorema sinusurilor, rezolvarea triunghiurilor oarecare
Calcularea razei cercului nscris i a razei cercului circumscris n triunghi, calcularea lungimilor unor segmente importante din triunghi, calcularea unor arii
CLASA a X-a
Mulimi de numere
Numere reale: proprieti ale puterilor cu exponent raional, iraional i reale ale unui numr pozitiv nenul, aproximri raionale pentru numere reale
Radical de ordin n ( Nn i 2n ) dintr-un numr, proprieti ale radicalilor
Noiunea de logaritm, proprieti ale logaritmilor, calcule cu logaritmi, operaia de logaritmare
Mulimea C. Numere complexe sub form algebric, conjugatul unui numr complex, operaii cu numere complexe. Interpretarea geometric a operaiilor de adunare i de scdere
a numerelor complexe i a nmulirii acestora cu un numr real
Rezolvarea n C a ecuaiei de gradul al doilea avnd coeficieni reali. Ecuaii biptrate
Funcii i ecuaii
Funcia putere cu exponent natural: Df R: , nxxf )( , Nn , 2n i funcia radical:
RDf : , n xxf )( , Nn i 2n , unde ),0[ D pentru n par i RD pentru n
impar
Funcia exponenial: ),0(: Rf , xaxf )( , ),0( a , 1a i funcia logaritmic:
R),0(:f , xxf alog)( , ),0( a , 1a
Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate; funcii inversabile: definiie, proprieti grafice, condiia necesar i suficient ca o funcie s fie inversabil
Funcii trigonometrice directe i inverse
Rezolvri de ecuaii folosind proprietile funciilor: 1. Ecuaii care conin radicali de ordinul 2 sau de ordinul 3
2. Ecuaii exponeniale, ecuaii logaritmice
3. Ecuaii trigonometrice: ax sin , ax cos , ]1,1[a , ax tg , ax ctg , Ra ,
)(sin)(sin xgxf , )(cos)(cos xgxf , )(tg)(tg xgxf , )(ctg)(ctg xgxf
Not: Pentru toate tipurile de funcii se vor studia: intersecia cu axele de coordonate, ecuaia
0)( xf , reprezentarea grafic prin puncte, simetrie, lectura grafic a proprietilor algebrice ale
funciilor: monotonie, bijectivitate, inversabilitate, semn, convexitate.
Metode de numrare
Mulimi finite ordonate. Numrul funciilor BAf : , unde A i B sunt mulimi finite
Permutri - numrul de mulimi ordonate care se obin prin ordonarea unei mulimi finite cu n
elemente
4
- numrul funciilor bijective BAf : , unde A i B sunt mulimi finite
Aranjamente - numrul submulimilor ordonate cu cte k elemente fiecare, nk , care se pot forma cu
cele n elemente ale unei mulimi finite
- numrul funciilor injective BAf : , unde A i B sunt mulimi finite
Combinri numrul submulimilor cu cte k elemente, unde nk 0 , ale unei mulimi finite cu n elemente. Proprieti: formula combinrilor complementare, numrul tuturor
submulimilor unei mulimi cu n elemente
Binomul lui Newton
Geometrie
Reper cartezian n plan, coordonatele unui vector n plan, coordonatele sumei vectoriale, coordonatele produsului dintre un vector i un numr real, coordonate carteziene ale unui
punct din plan, distana dintre dou puncte n plan
Ecuaii ale dreptei n plan determinate de un punct i de o direcie dat i ale dreptei determinate de dou puncte distincte
Condiii de paralelism, condiii de perpendicularitate a dou drepte din plan; calcularea unor distane i a unor arii
CLASA a XI-a
ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL I SISTEME DE ECUAII LINIARE
Permutri
Noiunea de permutare, operaii, proprieti
Inversiuni, semnul unei permutri
Matrice
Tabel de tip matriceal. Matrice, mulimi de matrice
Operaii cu matrice: adunarea, nmulirea, nmulirea unei matrice cu un scalar, proprieti
Determinani
Determinant de ordin n, proprieti
Sisteme de ecuaii liniare
Matrice inversabile din )(CnM , 4n
Ecuaii matriceale
Sisteme liniare cu cel mult 4 necunoscute, sisteme de tip Cramer, rangul unei matrice
Studiul compatibilitii i rezolvarea sistemelor: proprietatea Kroneker-Capelli, proprietatea Rouch, metoda Gauss
Aplicaii: ecuaia unei drepte determinate de dou puncte distincte, aria unui triunghi i coliniaritatea a trei puncte n plan
ELEMENTE DE ANALIZ MATEMATIC
Limite de funcii
Noiuni elementare despre mulimi de puncte pe dreapta real: intervale, mrginire, vecinti, dreapta ncheiat, simbolurile i
Funcii reale de variabil real: funcia polinomial, funcia raional, funcia putere, func