SIRURI ,SERII

�2𝑛

5𝑛

∞

𝑛=0

a. este divergenta c. are suma 5/3 b.are suma 5/2 D. alt raspuns �(−𝟏)𝒏

𝟐√𝒏 + 𝟓 + 𝟐

∞

𝒏=𝟏

este divergenta pt. ca termenul general nu tinde la 0 �

𝑛𝑛+1

(2𝑛 + 1)𝑛

∞

𝑛=1

este convergenta , din criteriul radicalului

�(−1)𝑛

4𝑛

∞

𝑛=0

a. este divergent a c. are suma 3/5 b.are suma 5/3 D. alt raspuns �(−𝟏)𝒏 𝐭𝐠

𝟐𝒏

∞

𝒏=𝟏

este divergenta, din criteriul raportului �(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑛)−𝑛

∞

𝑛=1

este convergenta , din criteriul radacinii

�3𝑛

(−1)𝑛

∞

𝑛=1

este divergenta �2𝑛

𝑛!

∞

𝑛=0

este convergenta , din criteriul raportului �

(ln𝑛)−𝑛

𝑛

∞

𝑛=2

este convergenta , din criteriul radacinii

�2𝑛 + 3𝑛

5𝑛

∞

𝑛=1

este alternanta �𝑛

2𝑛

∞

𝑛=1

este convergenta , din criteriul raportului

�𝒏 · 𝜶𝒏∞

𝒏=𝟏

unde 𝜶 ∈ 𝑹

seria este convergenta pentru I𝜶I<1 si divergenta pentru I𝜶I≥1

�1

9𝑛2 − 1

∞

𝑛=1

are suma =0 este convergenta spre 0 �

2𝑛(𝑛 + 1)𝑛!

∞

𝑛=1

este convergenta , din criteriul raportului

�2𝑛2

9𝑛2 − 1

∞

𝑛=1

este divergenta deoarece este serie cu termeni strict pozitivi �

1𝑛 · 3𝑛

∞

𝑛=1

este convergenta , din criteriul raportului �

sin𝑛𝑛2

∞

𝑛=1

este divergenta

�𝑛2𝑎𝑟𝑐 sin𝜋

2𝑛

∞

𝑛=1

are termenul general an=n2arcsin 𝝅

𝟐𝒏,

este convergenta ptr. ca 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞

𝒂𝒏+𝟏𝒂𝒏

<1 �

(𝑛!)2

(2𝑛)!

∞

𝑛=1

este convergenta , din criteriul raportului

Suma seriei

�1

𝑛(𝑛 + 1)

∞

𝑛=1

este 1

�𝑛2

2𝑛

∞

𝑛=1

este convergenta ptr. ca 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞

𝒂𝒏+𝟏𝒂𝒏

<1 �1

(ln𝑛)𝑛

∞

𝑛=2

este convergenta , din criteriul radicalului

Fie a un nr. real. Se considera seria

�(−1)𝑛

𝑛𝑎

∞

𝑛=1

Atunci:

seria este convergenta daca si numai daca a>1

�𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑛1𝑛

∞

𝑛=1

este divergenta ��1 +1𝑛�𝑛2∞

𝑛=1

este divergenta , din criteriul radicalului

LIMITE 1

lim𝑛→∞

1𝑛

=0 Aplicand criteriul clestelui calculeaza

limita sirului an= 1𝑛2+1

+ 1𝑛2+2

+ ⋯+ 1𝑛2+𝑛

=0 lim𝑛→∞

1𝑛!

=0

lim𝑛→∞

2𝑛2 + 𝑛 + 1𝑛2 + 7

=2 lim𝑛→∞

2𝑛 + 33𝑛 + 6

=𝟏𝟐 lim

𝑛→∞

1𝑛𝑛

=0

lim𝑛→∞

𝑛 + 23𝑛8 + 7𝑛3 − 11

=0 lim𝑛→∞

5𝑛 + 711𝑛 + 3

= 𝟓𝟏𝟏

lim𝑛→∞ 𝛼𝑛, cand 0< 𝛼 < 1 =0

lim𝑛→∞

(�4𝑛2 + 𝑛 − 1 − 𝑛) =+∞ lim𝑛→∞

𝑛2 − 𝑛 + 1𝑛2 + 𝑛 + 1

=1 lim𝑛→∞1𝑛𝛼

daca 𝛼 > 1 =0

lim𝑛→∞

(�4𝑛2 + 4𝑛 − 1− 2𝑛)

=1 lim𝑛→∞

56 �

1 +(−1)𝑛

2𝑛−1 � =𝟓

𝟔 lim𝑛→∞

𝑛𝛼𝑛

daca 𝛼 > 1 =0

lim𝑛→∞

(�64𝑛3 − 3𝑛2 + 33

− 5𝑛) =-∞ lim

𝑛→∞

(−1)𝑛

𝑛 =0 lim𝑛→∞

𝑛2

𝛼𝑛 daca 𝛼 > 1

=0

lim𝑛→∞

7 · 4𝑛 − 11 · 3𝑛

2 · 5𝑛 + 13 · 2𝑛 =0 lim

𝑛→∞

sin𝑛𝑛

=0 lim𝑛→∞

3𝑛

𝑛! =0

lim𝑛→∞

𝑡𝑔1𝑛

=0 lim𝑛→∞

𝑛 sin𝑛(√𝑛 + 1 + √𝑛 − 1)3

=0 lim𝑛→∞𝛼𝑛

𝑛! daca 𝛼 > 1 =0

lim𝑛→∞

𝑛 · 𝑡𝑔1𝑛

=1 lim𝑛→∞

sin 1 + sin 2+. . + sin𝑛𝑛2

=0 lim𝑛→∞

1𝑛3 + 4𝑛 − 5

=0

lim𝑛→∞

√𝑛𝑛 =1 lim𝑛→∞

13𝑛

=0 lim𝑛→∞

4𝑛 =+∞

LIMITE 2

lim𝑛→∞ 𝛼𝑛 daca daca 𝛼 > 1 =+∞ Determina limita sirului an=�1 + 1

𝑛�𝑛

=+∞ lim𝑛→∞

��𝑥2 + 5 −�4𝑥2 + 6� =∞

lim𝑛→∞

𝑛! =+∞ Determina limita sirului an=�1 + 1𝑛2�𝑛

=e lim𝑛→∞

𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥

𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥 =∞

lim𝑛→∞

𝑛𝑛 =+∞ Determina limita sirului an=�1 + 1𝑛�2𝑛+1

=𝒆𝟐 lim𝑛→∞

ln (1 + 𝑒𝑥)𝑥

=1

lim𝑛→∞

𝑛!3𝑛

=+∞ Determina limita sirului an=�1 + 1√𝑛�3√𝑛+2

=𝒆𝟑 lim𝑛→∞

(𝑥 − 𝑙𝑛𝑥) =+∞

lim𝑛→∞

(𝑛2 − 5𝑛 + 144) =+∞ Determina limita sirului an=�1 + 𝛼𝑛𝑛2+1

�𝛼𝑛𝛽 =𝜶

𝟐

𝜷 lim

𝑛→∞

𝑒3𝑥 − 12𝑥

=+∞ Determina limita sirului an=1

𝑛+(0.75)𝑛 =0 lim

𝑥→0

𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑥

=2 lim𝑥→𝑎𝑙𝑛𝑥−𝑙𝑛𝑎𝑥−𝑎

, daca a>0 =𝟏𝒂

Determina limita sirului

an=5��58�𝑛

+ 8� =40 lim

𝑥→0

4𝑥 − 1𝑥

=ln4 lim𝑥→0

𝑒𝑎𝑥 − 𝑒𝑏𝑥

𝑥 =a-b

Determina limita sirului an= 3

�1+2𝑛�𝑛,n≥1 = 𝟑

√𝒆 lim

𝑥→2

𝑥2 − 5𝑥 + 6𝑥2 − 3𝑥 + 2

=-1 lim𝑥→0

�𝑥2 − 2𝑥 + 3𝑥2 − 3𝑥 + 2

�

𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥

=𝟑𝟐

Determina limita sirului

an=�1 + 1𝑛�𝑛+1

=e lim

𝑥→1

𝑥𝑛 − 1𝑥𝑚 − 1

=𝒏𝒎

lim𝑥→0

(1 + 𝑠𝑖𝑛𝑥)1𝑥 =e

Determina limita sirului

an=�1 − 1𝑛�𝑛

, n≥3 =𝟏𝒆 lim

𝑛→∞��𝑥6 + 1 − √𝑥 + 23 � =∞ =

Continuitate derivabilitate

Fie a si b numere reale.Se defineste functiaf:𝑅 →R prin f(x)=�𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 < 0𝑥 2 𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 ≥ 0 .Sa se determine a si b

astfel incat f sa fie derivabila pe R

=functia f este derivabila daca si numai daca a=b=0

Fie f:[0,∞)→R, f(x)=(√𝑥3+1)x. Sa se scrie ecuatia tangentei la graficul lui f in origine. =y=x

Fie f:R→R, f(x)=(𝑥2 + 𝑥 + 2)32. Sa se scrie ecuatia tangentei la graficul lui f in punctul de abcisa x=1. =y-9=x-1

Fie f:𝑅 →R, definita prin f(x)=IxI.Sa se stabileasca domeniul unde f este continua, respectiv unde f este derivabila. = functia f este derivabila

Fie functia f(x)=�𝑥 + 3, 𝑥 ≤ 0𝑎𝑒𝑥 𝑥 > 0.Sa se determine a astfel incat f sa fie continua =3

Fie functia f:(0,∞) →R, f(x)= 1𝑥2

si fie n un numar natural nenul.Sa se calculeze, in caz ca exista 𝑓(𝑛)(𝑥). 𝒇(𝒏)(𝒙) = (−𝟏)n(n+1)!x-n-2 pentru orice x ∈ R;

Sa se determine m∈ 𝑅 astfel incat f:𝑅 →R sa fie continua,unde f(x)=�𝑚𝑥2 + 1 𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 < 1

𝑥 + 2, 𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 ≥ 1 =2

Sa se determine m∈ 𝑅 astfel incat f:𝑅 →R sa fie continua,unde f(x)=�𝑥 + 7 𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 < 7𝑚𝑥, 𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 ≥ 7 =2

Sa se determine m∈ 𝑅 astfel incat f:𝑅 →R sa fie continua,unde f(x)=� 𝑒𝑥 𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 < 0𝑥 + 𝑚, 𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 ≥ 0 =1

Sa se determine m∈ 𝑅 astfel incat f:𝑅 →R sa fie continua,unde f(x)=�𝑥 + 𝑚, 𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 < 0ln (1 + 𝑥),𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 ≥ 0 =0

Sa se determine m∈ 𝑅 astfel incat f:𝑅 →R sa fie continua,unde f(x)=�sin𝑥𝑥

,𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 ≠ 0𝑚, 𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 = 0

=1

Sa se determine m∈ 𝑅 astfel incat f:𝑅 →R sa fie continua,unde f(x)=�5 𝑒𝑥−1𝑥

𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 ≠ 0𝑚, 𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 = 0

=5

Sa se determine m∈ 𝑅 astfel incat f:𝑅 →R sa fie continua,unde f(x)=�𝑚, 𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 ≤ 0ln (1+𝑥)

x,𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 > 0 =1

Sa se determine m∈ 𝑅 astfel incat f:𝑅 →R sa fie continua,unde f(x)=�𝑚, 𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 ≤ 0

(1+𝑥)𝑎−1x

,𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 > 0 si a∈ 𝑅 =a

Serii de functii

Calculati domeniul de convergenta al seriei ∑ 11+𝑥2

∞𝑛=1 =(−∞,-1)∪(1,+∞)

Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de functii ∑ �𝒏+𝟏𝒏�𝒏� 𝟏−𝒙𝟏+𝟐𝒙

�𝒏

∞𝒏=𝟏 =(−∞,-1)∪(1,+∞)

Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de functii ∑ (−𝟏)𝒏

𝐥𝐧 (𝒏)· �𝟏−𝒙

𝟐

𝟏+𝒙𝟐�𝒏

∞𝒏=𝟏 =R

Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de functii ∑ (𝟐 − 𝒙)(𝟐 − 𝒙𝟏𝟐)∞

𝒏=𝟏 (𝟐 − 𝒙𝟏𝟑)… �𝟐 − 𝒙

𝟏𝒏� ,𝒙 > 0 =(e,∞)∪{2}

Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de functii ∑ (𝒏+𝟏)𝒏

𝒏𝒏+𝒙∞𝒏=𝟏 ={x∈ 𝑹/𝒙 > 1}

Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de functii ∑ (𝒂𝒙)𝒏

𝒏𝒏+𝒙𝒏∞𝒏=𝟏 ,a>0,x>0

=𝒙 ∈(0,1)daca a≥1 𝒙 ∈(0,∞)daca a∈(0,1)

Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de functii ∑ 𝟐𝒏𝟐+𝟓𝟕𝐧𝟐+𝟑𝐧+𝟐

· � 𝒙𝟐𝒙+𝟏

�𝒏

∞𝒏=𝟏 =(−∞,-1)∪(-𝟏

𝟑,+∞)

Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de functii ∑ 𝟐𝒏𝒔𝒊𝒏 � 𝒙𝟑𝒏�∞

𝒏=𝟏 =R

Sa se studieze natura convergentei seriei de functii ∑ � 𝒏𝒙

𝟏+𝒙+𝒏− (𝒏−𝟏)𝒙

𝒏+𝟏�∞

𝒏=𝟏 , x∈[0,1] =este uniform convergenta

Sa se studieze natura convergentei seriei de functii ∑ � 𝒏𝒙𝟏+𝒏+𝒙

− (𝒏−𝟒)𝒙𝟏+(𝒏−𝟏)𝒙

�∞𝒏=𝟏 , x∈[0,1] =converge neuniform

INTEGRALE DEFINITE

∫ 𝑑𝑥√1−𝑥2

√32

12

=𝝅𝟔

�max ( 𝑥, 𝑥2)𝑑𝑥2

0

= 𝟏𝟕𝟔

�1

𝑥3 + 1

1

0

𝑑𝑥 = 𝒍𝒏𝟐𝟑

+ 𝝅𝟑√𝟑

� x𝑑𝑥10

0

=40 ��𝑥5

7−𝑥6

6�𝑑𝑥

1

0

=0

� arc sin𝑑𝑥1

0

= 𝝅𝟐− 𝟏 �

𝑑𝑥𝑥2 + 𝑥

2

1

=ln 𝟒𝟑

� x𝑑𝑥𝑎+2

𝑎−2

=4a �𝑑𝑥𝑥2

4

1

= 𝟑𝟒

� cosxln1 + x1 − x

𝑑𝑥

12

−12

=0 �𝑑𝑥

𝑥2 + 𝑥 + 1

1

0

= 𝝅𝟑√𝟑

� x2𝑑𝑥𝑎

𝑎2

= 𝟕𝒂𝟑

𝟐𝟒 � 3√𝑥𝑑𝑥

9

1

=52

�1

𝑥2 + 1

∞

0

𝑑𝑥 = 𝝅𝟐

� excosx𝑑𝑥

𝜋2

0

= 𝟏𝟐�𝒆

𝜋2 − 𝟏� �

b2x2

a2𝑑𝑥

2𝑎

𝑎

= 𝟕𝟑𝒂𝒃𝟐 �

𝑑𝑥√2ax

2𝑎

𝑎

=2-√𝟐

� xex𝑑𝑥1

0

=1 �𝑑𝑥𝑥𝑙𝑛𝑥

𝑒2

𝑒

=ln2 �𝑥2 + 𝑚2

𝑚2

𝑚

0

𝑑𝑥 = 𝟒𝟑𝒎 ∫ 𝑑𝑥

√x43𝑏𝑎 a,b>0 =3� 𝟏

√𝒂𝟑 − 𝟏

√𝒃𝟑 �

�1√x

𝑑𝑥1

0+0

=2 � x2cosx𝑑𝑥

𝜋2

0

= 𝝅𝟐

𝟒− 𝟐 � (2𝑥 + 1)2𝑑𝑥

2,5

1

=31,5 � ex𝑑𝑥3

0

=e3-1

�min ( 𝑥, 𝑥2)𝑑𝑥2

0

= 𝟏𝟏𝟏𝟔

� e−x𝑑𝑥∞

0

=1 �(𝑎 + 𝑥)2

𝑎

0

−𝑎

𝑑𝑥 = 𝒂𝟐

𝟑 � sec2x𝑑𝑥

𝜋4

0

=1

�1�√xn 𝑑𝑥

1

0

,𝑛 > 1 = 𝒏𝒏−𝟏

� ex𝑑𝑥1

0

=e-1 �𝑥3𝑑𝑥2

0

=4 �𝑑𝑥

1 + 𝑥2

1

0

= 𝝅𝟒

Serii de puteri

Studiati convergenta seriei de puteri x+ 𝟏𝟐x2+𝟏

𝟑x3+.. domeniul de convergenta al seriei este [-1,1)

Sa se studieze convergenta seriei ∑ 𝟏𝐧𝟐

∞𝐧=𝟏 (𝐱 − 𝟐)𝐧

Converge pentru x∈ (𝟏,𝟑) si diverge pentru x∈ (−∞,𝟏)𝑼(𝟑,∞)

Sa se determine multimea de convergenta si suma urmatoarei serii de puteri ∑ (−𝟏)𝐧+𝟏 𝐱𝐧

𝐧∞𝐧=𝟏

ptr. x=1 suma este ln(2), domeniul de convergenta al seriei este (-1,1]

Sa se determine multimea de convergenta si suma urmatoarei serii de puteri ∑ (−𝟏)𝐧+𝟏 𝐱𝟐𝐧+𝟏

𝟐𝐧+𝟏∞𝐧=𝟏

ptr. x=1 suma este 𝝅𝟒

domeniul de convergenta al seriei este [-1,1]

Sa se dezvolte in serie de puteri functia f(x)=𝐞𝐱, precizandu-se si domeniul pe care este valabila dezvoltarea. 𝐞𝐱 = ∑ 𝐞𝐧(𝟎)

𝐧!𝐱𝐧∞

𝐧=𝟎 =∑ 𝟏𝒏!𝒙𝒏∞

𝒏=𝟎 ; (−∞,∞)

Sa se dezvolte in serie de puteri functia f(x)=sin(x), precizandu-se si domeniul pe care este valabila dezvoltarea.

Sa se dezvolte in serie de puteri functia f(x)=(𝟏 + 𝒙),𝜶 𝜶 ∈ 𝑹 precizandu-se si domeniul pe care este valabila dezvoltarea.

Sa se arate ca functia f:(-1,1)→R,f(x)=ln �𝟏+𝒙𝟏−𝒙

este dezvoltabila in serie de puteri si sa se gaseasca

aceasta dezvoltare , stabilindu-se si intervalul pe care este valabila dezvoltarea.

Sa se arate ca functia f:RI{-2,-3}→R,f(x)= 𝟑𝒙𝒙𝟐+𝟓𝒙+𝟔

este dezvoltabila in serie de puteri si sa se gaseasca aceasta dezvoltare , stabilindu-se si intervalul pe care este valabila dezvoltarea.

Sa se dezvolte in serie de puteri functia f(x)=𝟐𝐱.

Sa se dezvolte in serie de puteri functia f(x)=𝐞−𝐱𝟐.

PRIMITIVE

Utilizand integrala definita sa se calculeze limita 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞𝟏𝒑+𝟐𝒑+⋯+𝒏𝒑

𝒏𝒑+𝟏 pentru p∈N* =1

Utilizand integrala definita sa se calculeze limita 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ �𝒏

𝒏𝟐+𝟏+ 𝒏

𝒏𝟐+𝟐𝟐+ ⋯+ 𝒏

𝒏𝟐+𝒏𝟐� = 𝝅

𝟒

Utilizand integrala definita sa se calculeze limita 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞√𝟏+√𝟐+⋯+√𝒏

𝒏√𝒏 = 𝟐

𝟑

∫√𝑥dx = 𝟐𝟑√𝒙𝟑 + 𝑪 �(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥 = 𝝅

𝟐𝒙 + 𝑪 ∫ (𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙)𝟐

𝟏+𝒙𝟐 dx = (𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙)𝟑

𝟑+ 𝑪

∫ √𝑥𝑛𝑚 dx = 𝒎𝒙𝒏𝒎+𝟏

𝒏+𝒎+ 𝑪 �𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝒔𝒊𝒏

𝟐𝒙𝟐

+C ∫ 𝑒𝑥(𝑠𝑖𝑛𝑒𝑥)dx =- cos𝒆𝒙+C

�dx𝑥2

=C- 𝟏𝒙

∫ 𝒕𝒈𝟑𝒙𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙

dx = 𝒕𝒈𝟒𝒙𝟒

+ 𝑪 ∫ 𝒙𝟐

𝒙𝟑+𝟏 dx = 𝟏

𝟑 ln I1+𝒙𝟑I+C

∫ 10𝑥dx = 𝟏𝟎𝒙

𝒍𝒏𝟏𝟎 +C �

xdx√𝑥2 + 1

= √𝑥2 + 1+C ∫ 𝒆𝒙

𝒆𝒙+𝟏 dx =ln(𝒆𝒙 + 𝟏)+C

∫𝑎𝑥 𝑒𝑥dx = (𝒂𝒆)𝒙

𝟏+𝒍𝒏𝒂 +C �

x4dx√4 + 𝑥5

= 𝟐𝟓√4 + 𝑥5 + 𝑪 �

dx𝑥𝑙𝑛𝑥

= 𝒍𝒏𝟐𝒙 + 𝑪

�dx

2√𝑥 =√𝒙+C �𝑠𝑖𝑛3𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝟏

𝟒𝒔𝒊𝒏𝟒x+C ∫ (𝒍𝒏𝒙)𝒎

𝒙 dx m∈ 𝑁 = 𝒍𝒏

𝒎+𝟏𝒙𝒎+𝟏

+C

∫(1 − 2𝑥)dx =x-𝒙𝟐+C ∫ 𝐬𝐢𝐧𝒙𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙

dx = 𝟏𝒄𝒐𝒔𝒙

+ 𝑪 �𝑐𝑜𝑠𝑥𝑒𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 =𝑒𝑠𝑖𝑛𝑥+C

�𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙

𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙 =C-ctgx+tgx �𝑐𝑜𝑠3𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥 =C - 𝟐

𝟓𝒄𝒐𝒔𝟓𝒙