Download - Analiza

Transcript
Page 1: Analiza

SIRURI ,SERII

οΏ½2𝑛

5𝑛

∞

𝑛=0

a. este divergenta c. are suma 5/3 b.are suma 5/2 D. alt raspuns οΏ½(βˆ’πŸ)𝒏

πŸβˆšπ’ + πŸ“ + 𝟐

∞

𝒏=𝟏

este divergenta pt. ca termenul general nu tinde la 0 οΏ½

𝑛𝑛+1

(2𝑛 + 1)𝑛

∞

𝑛=1

este convergenta , din criteriul radicalului

οΏ½(βˆ’1)𝑛

4𝑛

∞

𝑛=0

a. este divergent a c. are suma 3/5 b.are suma 5/3 D. alt raspuns οΏ½(βˆ’πŸ)𝒏 𝐭𝐠

πŸπ’

∞

𝒏=𝟏

este divergenta, din criteriul raportului οΏ½(π‘Žπ‘Ÿπ‘π‘‘π‘” 𝑛)βˆ’π‘›

∞

𝑛=1

este convergenta , din criteriul radacinii

οΏ½3𝑛

(βˆ’1)𝑛

∞

𝑛=1

este divergenta οΏ½2𝑛

𝑛!

∞

𝑛=0

este convergenta , din criteriul raportului οΏ½

(ln𝑛)βˆ’π‘›

𝑛

∞

𝑛=2

este convergenta , din criteriul radacinii

οΏ½2𝑛 + 3𝑛

5𝑛

∞

𝑛=1

este alternanta �𝑛

2𝑛

∞

𝑛=1

este convergenta , din criteriul raportului

�𝒏 Β· πœΆπ’βˆž

𝒏=𝟏

unde 𝜢 ∈ 𝑹

seria este convergenta pentru I𝜢I<1 si divergenta pentru I𝜢Iβ‰₯1

οΏ½1

9𝑛2 βˆ’ 1

∞

𝑛=1

are suma =0 este convergenta spre 0 οΏ½

2𝑛(𝑛 + 1)𝑛!

∞

𝑛=1

este convergenta , din criteriul raportului

οΏ½2𝑛2

9𝑛2 βˆ’ 1

∞

𝑛=1

este divergenta deoarece este serie cu termeni strict pozitivi οΏ½

1𝑛 Β· 3𝑛

∞

𝑛=1

este convergenta , din criteriul raportului οΏ½

sin𝑛𝑛2

∞

𝑛=1

este divergenta

�𝑛2π‘Žπ‘Ÿπ‘ sinπœ‹

2𝑛

∞

𝑛=1

are termenul general an=n2arcsin 𝝅

πŸπ’,

este convergenta ptr. ca π₯π’π¦π’β†’βˆž

𝒂𝒏+πŸπ’‚π’

<1 οΏ½

(𝑛!)2

(2𝑛)!

∞

𝑛=1

este convergenta , din criteriul raportului

Suma seriei

οΏ½1

𝑛(𝑛 + 1)

∞

𝑛=1

este 1

�𝑛2

2𝑛

∞

𝑛=1

este convergenta ptr. ca π₯π’π¦π’β†’βˆž

𝒂𝒏+πŸπ’‚π’

<1 οΏ½1

(ln𝑛)𝑛

∞

𝑛=2

este convergenta , din criteriul radicalului

Fie a un nr. real. Se considera seria

οΏ½(βˆ’1)𝑛

π‘›π‘Ž

∞

𝑛=1

Atunci:

seria este convergenta daca si numai daca a>1

οΏ½π‘Žπ‘Ÿπ‘π‘ π‘–π‘›π‘›1𝑛

∞

𝑛=1

este divergenta οΏ½οΏ½1 +1𝑛�𝑛2∞

𝑛=1

este divergenta , din criteriul radicalului

Page 2: Analiza

LIMITE 1

limπ‘›β†’βˆž

1𝑛

=0 Aplicand criteriul clestelui calculeaza

limita sirului an= 1𝑛2+1

+ 1𝑛2+2

+ β‹―+ 1𝑛2+𝑛

=0 limπ‘›β†’βˆž

1𝑛!

=0

limπ‘›β†’βˆž

2𝑛2 + 𝑛 + 1𝑛2 + 7

=2 limπ‘›β†’βˆž

2𝑛 + 33𝑛 + 6

=𝟏𝟐 lim

π‘›β†’βˆž

1𝑛𝑛

=0

limπ‘›β†’βˆž

𝑛 + 23𝑛8 + 7𝑛3 βˆ’ 11

=0 limπ‘›β†’βˆž

5𝑛 + 711𝑛 + 3

= πŸ“πŸπŸ

limπ‘›β†’βˆž 𝛼𝑛, cand 0< 𝛼 < 1 =0

limπ‘›β†’βˆž

(οΏ½4𝑛2 + 𝑛 βˆ’ 1 βˆ’ 𝑛) =+∞ limπ‘›β†’βˆž

𝑛2 βˆ’ 𝑛 + 1𝑛2 + 𝑛 + 1

=1 limπ‘›β†’βˆž1𝑛𝛼

daca 𝛼 > 1 =0

limπ‘›β†’βˆž

(οΏ½4𝑛2 + 4𝑛 βˆ’ 1βˆ’ 2𝑛)

=1 limπ‘›β†’βˆž

56 οΏ½

1 +(βˆ’1)𝑛

2π‘›βˆ’1 οΏ½ =πŸ“

πŸ” limπ‘›β†’βˆž

𝑛𝛼𝑛

daca 𝛼 > 1 =0

limπ‘›β†’βˆž

(οΏ½64𝑛3 βˆ’ 3𝑛2 + 33

βˆ’ 5𝑛) =-∞ lim

π‘›β†’βˆž

(βˆ’1)𝑛

𝑛 =0 limπ‘›β†’βˆž

𝑛2

𝛼𝑛 daca 𝛼 > 1

=0

limπ‘›β†’βˆž

7 Β· 4𝑛 βˆ’ 11 Β· 3𝑛

2 Β· 5𝑛 + 13 Β· 2𝑛 =0 lim

π‘›β†’βˆž

sin𝑛𝑛

=0 limπ‘›β†’βˆž

3𝑛

𝑛! =0

limπ‘›β†’βˆž

𝑑𝑔1𝑛

=0 limπ‘›β†’βˆž

𝑛 sin𝑛(βˆšπ‘› + 1 + βˆšπ‘› βˆ’ 1)3

=0 limπ‘›β†’βˆžπ›Όπ‘›

𝑛! daca 𝛼 > 1 =0

limπ‘›β†’βˆž

𝑛 Β· 𝑑𝑔1𝑛

=1 limπ‘›β†’βˆž

sin 1 + sin 2+. . + sin𝑛𝑛2

=0 limπ‘›β†’βˆž

1𝑛3 + 4𝑛 βˆ’ 5

=0

limπ‘›β†’βˆž

βˆšπ‘›π‘› =1 limπ‘›β†’βˆž

13𝑛

=0 limπ‘›β†’βˆž

4𝑛 =+∞

Page 3: Analiza

LIMITE 2

limπ‘›β†’βˆž 𝛼𝑛 daca daca 𝛼 > 1 =+∞ Determina limita sirului an=οΏ½1 + 1

𝑛�𝑛

=+∞ limπ‘›β†’βˆž

οΏ½οΏ½π‘₯2 + 5 βˆ’οΏ½4π‘₯2 + 6οΏ½ =∞

limπ‘›β†’βˆž

𝑛! =+∞ Determina limita sirului an=οΏ½1 + 1𝑛2�𝑛

=e limπ‘›β†’βˆž

𝑒π‘₯ βˆ’ π‘’βˆ’π‘₯

𝑒π‘₯ + π‘’βˆ’π‘₯ =∞

limπ‘›β†’βˆž

𝑛𝑛 =+∞ Determina limita sirului an=οΏ½1 + 1𝑛�2𝑛+1

=π’†πŸ limπ‘›β†’βˆž

ln (1 + 𝑒π‘₯)π‘₯

=1

limπ‘›β†’βˆž

𝑛!3𝑛

=+∞ Determina limita sirului an=οΏ½1 + 1βˆšπ‘›οΏ½3βˆšπ‘›+2

=π’†πŸ‘ limπ‘›β†’βˆž

(π‘₯ βˆ’ 𝑙𝑛π‘₯) =+∞

limπ‘›β†’βˆž

(𝑛2 βˆ’ 5𝑛 + 144) =+∞ Determina limita sirului an=οΏ½1 + 𝛼𝑛𝑛2+1

�𝛼𝑛𝛽 =𝜢

𝟐

𝜷 lim

π‘›β†’βˆž

𝑒3π‘₯ βˆ’ 12π‘₯

=+∞ Determina limita sirului an=1

𝑛+(0.75)𝑛 =0 lim

π‘₯β†’0

𝑠𝑖𝑛2π‘₯π‘₯

=2 limπ‘₯β†’π‘Žπ‘™π‘›π‘₯βˆ’π‘™π‘›π‘Žπ‘₯βˆ’π‘Ž

, daca a>0 =πŸπ’‚

Determina limita sirului

an=5οΏ½οΏ½58�𝑛

+ 8οΏ½ =40 lim

π‘₯β†’0

4π‘₯ βˆ’ 1π‘₯

=ln4 limπ‘₯β†’0

π‘’π‘Žπ‘₯ βˆ’ 𝑒𝑏π‘₯

π‘₯ =a-b

Determina limita sirului an= 3

οΏ½1+2𝑛�𝑛,nβ‰₯1 = πŸ‘

βˆšπ’† lim

π‘₯β†’2

π‘₯2 βˆ’ 5π‘₯ + 6π‘₯2 βˆ’ 3π‘₯ + 2

=-1 limπ‘₯β†’0

οΏ½π‘₯2 βˆ’ 2π‘₯ + 3π‘₯2 βˆ’ 3π‘₯ + 2

οΏ½

𝑠𝑖𝑛π‘₯π‘₯

=πŸ‘πŸ

Determina limita sirului

an=οΏ½1 + 1𝑛�𝑛+1

=e lim

π‘₯β†’1

π‘₯𝑛 βˆ’ 1π‘₯π‘š βˆ’ 1

=π’π’Ž

limπ‘₯β†’0

(1 + 𝑠𝑖𝑛π‘₯)1π‘₯ =e

Determina limita sirului

an=οΏ½1 βˆ’ 1𝑛�𝑛

, nβ‰₯3 =πŸπ’† lim

π‘›β†’βˆžοΏ½οΏ½π‘₯6 + 1 βˆ’ √π‘₯ + 23 οΏ½ =∞ =

Page 4: Analiza

Continuitate derivabilitate

Fie a si b numere reale.Se defineste functiaf:𝑅 β†’R prin f(x)=οΏ½π‘Žπ‘₯ + 𝑏 π‘‘π‘Žπ‘π‘Ž π‘₯ < 0π‘₯ 2 π‘‘π‘Žπ‘π‘Ž π‘₯ β‰₯ 0 .Sa se determine a si b

astfel incat f sa fie derivabila pe R

=functia f este derivabila daca si numai daca a=b=0

Fie f:[0,∞)β†’R, f(x)=(√π‘₯3+1)x. Sa se scrie ecuatia tangentei la graficul lui f in origine. =y=x

Fie f:Rβ†’R, f(x)=(π‘₯2 + π‘₯ + 2)32. Sa se scrie ecuatia tangentei la graficul lui f in punctul de abcisa x=1. =y-9=x-1

Fie f:𝑅 β†’R, definita prin f(x)=IxI.Sa se stabileasca domeniul unde f este continua, respectiv unde f este derivabila. = functia f este derivabila

Fie functia f(x)=οΏ½π‘₯ + 3, π‘₯ ≀ 0π‘Žπ‘’π‘₯ π‘₯ > 0.Sa se determine a astfel incat f sa fie continua =3

Fie functia f:(0,∞) β†’R, f(x)= 1π‘₯2

si fie n un numar natural nenul.Sa se calculeze, in caz ca exista 𝑓(𝑛)(π‘₯). 𝒇(𝒏)(𝒙) = (βˆ’πŸ)n(n+1)!x-n-2 pentru orice x ∈ R;

Sa se determine m∈ 𝑅 astfel incat f:𝑅 β†’R sa fie continua,unde f(x)=οΏ½π‘šπ‘₯2 + 1 π‘‘π‘Žπ‘π‘Ž π‘₯ < 1

π‘₯ + 2, π‘‘π‘Žπ‘π‘Ž π‘₯ β‰₯ 1 =2

Sa se determine m∈ 𝑅 astfel incat f:𝑅 β†’R sa fie continua,unde f(x)=οΏ½π‘₯ + 7 π‘‘π‘Žπ‘π‘Ž π‘₯ < 7π‘šπ‘₯, π‘‘π‘Žπ‘π‘Ž π‘₯ β‰₯ 7 =2

Sa se determine m∈ 𝑅 astfel incat f:𝑅 β†’R sa fie continua,unde f(x)=οΏ½ 𝑒π‘₯ π‘‘π‘Žπ‘π‘Ž π‘₯ < 0π‘₯ + π‘š, π‘‘π‘Žπ‘π‘Ž π‘₯ β‰₯ 0 =1

Sa se determine m∈ 𝑅 astfel incat f:𝑅 β†’R sa fie continua,unde f(x)=οΏ½π‘₯ + π‘š, π‘‘π‘Žπ‘π‘Ž π‘₯ < 0ln (1 + π‘₯),π‘‘π‘Žπ‘π‘Ž π‘₯ β‰₯ 0 =0

Sa se determine m∈ 𝑅 astfel incat f:𝑅 β†’R sa fie continua,unde f(x)=οΏ½sinπ‘₯π‘₯

,π‘‘π‘Žπ‘π‘Ž π‘₯ β‰  0π‘š, π‘‘π‘Žπ‘π‘Ž π‘₯ = 0

=1

Sa se determine m∈ 𝑅 astfel incat f:𝑅 β†’R sa fie continua,unde f(x)=οΏ½5 𝑒π‘₯βˆ’1π‘₯

π‘‘π‘Žπ‘π‘Ž π‘₯ β‰  0π‘š, π‘‘π‘Žπ‘π‘Ž π‘₯ = 0

=5

Sa se determine m∈ 𝑅 astfel incat f:𝑅 β†’R sa fie continua,unde f(x)=οΏ½π‘š, π‘‘π‘Žπ‘π‘Ž π‘₯ ≀ 0ln (1+π‘₯)

x,π‘‘π‘Žπ‘π‘Ž π‘₯ > 0 =1

Sa se determine m∈ 𝑅 astfel incat f:𝑅 β†’R sa fie continua,unde f(x)=οΏ½π‘š, π‘‘π‘Žπ‘π‘Ž π‘₯ ≀ 0

(1+π‘₯)π‘Žβˆ’1x

,π‘‘π‘Žπ‘π‘Ž π‘₯ > 0 si a∈ 𝑅 =a

Page 5: Analiza

Serii de functii

Calculati domeniul de convergenta al seriei βˆ‘ 11+π‘₯2

βˆžπ‘›=1 =(βˆ’βˆž,-1)βˆͺ(1,+∞)

Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de functii βˆ‘ �𝒏+πŸπ’οΏ½π’οΏ½ πŸβˆ’π’™πŸ+πŸπ’™

�𝒏

βˆžπ’=𝟏 =(βˆ’βˆž,-1)βˆͺ(1,+∞)

Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de functii βˆ‘ (βˆ’πŸ)𝒏

π₯𝐧 (𝒏)Β· οΏ½πŸβˆ’π’™

𝟐

𝟏+π’™πŸοΏ½π’

βˆžπ’=𝟏 =R

Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de functii βˆ‘ (𝟐 βˆ’ 𝒙)(𝟐 βˆ’ π’™πŸπŸ)∞

𝒏=𝟏 (𝟐 βˆ’ π’™πŸπŸ‘)… �𝟐 βˆ’ 𝒙

πŸπ’οΏ½ ,𝒙 > 0 =(e,∞)βˆͺ{2}

Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de functii βˆ‘ (𝒏+𝟏)𝒏

𝒏𝒏+π’™βˆžπ’=𝟏 ={x∈ 𝑹/𝒙 > 1}

Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de functii βˆ‘ (𝒂𝒙)𝒏

𝒏𝒏+π’™π’βˆžπ’=𝟏 ,a>0,x>0

=𝒙 ∈(0,1)daca aβ‰₯1 𝒙 ∈(0,∞)daca a∈(0,1)

Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de functii βˆ‘ πŸπ’πŸ+πŸ“πŸ•π§πŸ+πŸ‘π§+𝟐

Β· οΏ½ π’™πŸπ’™+𝟏

�𝒏

βˆžπ’=𝟏 =(βˆ’βˆž,-1)βˆͺ(-𝟏

πŸ‘,+∞)

Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de functii βˆ‘ πŸπ’π’”π’Šπ’ οΏ½ π’™πŸ‘π’οΏ½βˆž

𝒏=𝟏 =R

Sa se studieze natura convergentei seriei de functii βˆ‘ οΏ½ 𝒏𝒙

𝟏+𝒙+π’βˆ’ (π’βˆ’πŸ)𝒙

𝒏+𝟏�∞

𝒏=𝟏 , x∈[0,1] =este uniform convergenta

Sa se studieze natura convergentei seriei de functii βˆ‘ οΏ½ π’π’™πŸ+𝒏+𝒙

βˆ’ (π’βˆ’πŸ’)π’™πŸ+(π’βˆ’πŸ)𝒙

οΏ½βˆžπ’=𝟏 , x∈[0,1] =converge neuniform

Page 6: Analiza

INTEGRALE DEFINITE

∫ 𝑑π‘₯√1βˆ’π‘₯2

√32

12

=π…πŸ”

οΏ½max ( π‘₯, π‘₯2)𝑑π‘₯2

0

= πŸπŸ•πŸ”

οΏ½1

π‘₯3 + 1

1

0

𝑑π‘₯ = π’π’πŸπŸ‘

+ π…πŸ‘βˆšπŸ‘

οΏ½ x𝑑π‘₯10

0

=40 οΏ½οΏ½π‘₯5

7βˆ’π‘₯6

6�𝑑π‘₯

1

0

=0

οΏ½ arc sin𝑑π‘₯1

0

= π…πŸβˆ’ 𝟏 οΏ½

𝑑π‘₯π‘₯2 + π‘₯

2

1

=ln πŸ’πŸ‘

οΏ½ x𝑑π‘₯π‘Ž+2

π‘Žβˆ’2

=4a �𝑑π‘₯π‘₯2

4

1

= πŸ‘πŸ’

οΏ½ cosxln1 + x1 βˆ’ x

𝑑π‘₯

12

βˆ’12

=0 �𝑑π‘₯

π‘₯2 + π‘₯ + 1

1

0

= π…πŸ‘βˆšπŸ‘

οΏ½ x2𝑑π‘₯π‘Ž

π‘Ž2

= πŸ•π’‚πŸ‘

πŸπŸ’ οΏ½ 3√π‘₯𝑑π‘₯

9

1

=52

οΏ½1

π‘₯2 + 1

∞

0

𝑑π‘₯ = π…πŸ

οΏ½ excosx𝑑π‘₯

πœ‹2

0

= πŸπŸοΏ½π’†

πœ‹2 βˆ’ 𝟏� οΏ½

b2x2

a2𝑑π‘₯

2π‘Ž

π‘Ž

= πŸ•πŸ‘π’‚π’ƒπŸ οΏ½

𝑑π‘₯√2ax

2π‘Ž

π‘Ž

=2-√𝟐

οΏ½ xex𝑑π‘₯1

0

=1 �𝑑π‘₯π‘₯𝑙𝑛π‘₯

𝑒2

𝑒

=ln2 οΏ½π‘₯2 + π‘š2

π‘š2

π‘š

0

𝑑π‘₯ = πŸ’πŸ‘π’Ž ∫ 𝑑π‘₯

√x43π‘π‘Ž a,b>0 =3οΏ½ 𝟏

βˆšπ’‚πŸ‘ βˆ’ 𝟏

βˆšπ’ƒπŸ‘ οΏ½

�1√x

𝑑π‘₯1

0+0

=2 οΏ½ x2cosx𝑑π‘₯

πœ‹2

0

= π…πŸ

πŸ’βˆ’ 𝟐 οΏ½ (2π‘₯ + 1)2𝑑π‘₯

2,5

1

=31,5 οΏ½ ex𝑑π‘₯3

0

=e3-1

οΏ½min ( π‘₯, π‘₯2)𝑑π‘₯2

0

= πŸπŸπŸπŸ”

οΏ½ eβˆ’x𝑑π‘₯∞

0

=1 οΏ½(π‘Ž + π‘₯)2

π‘Ž

0

βˆ’π‘Ž

𝑑π‘₯ = π’‚πŸ

πŸ‘ οΏ½ sec2x𝑑π‘₯

πœ‹4

0

=1

οΏ½1�√xn 𝑑π‘₯

1

0

,𝑛 > 1 = π’π’βˆ’πŸ

οΏ½ ex𝑑π‘₯1

0

=e-1 οΏ½π‘₯3𝑑π‘₯2

0

=4 �𝑑π‘₯

1 + π‘₯2

1

0

= π…πŸ’

Page 7: Analiza

Serii de puteri

Studiati convergenta seriei de puteri x+ 𝟏𝟐x2+𝟏

πŸ‘x3+.. domeniul de convergenta al seriei este [-1,1)

Sa se studieze convergenta seriei βˆ‘ 𝟏𝐧𝟐

∞𝐧=𝟏 (𝐱 βˆ’ 𝟐)𝐧

Converge pentru x∈ (𝟏,πŸ‘) si diverge pentru x∈ (βˆ’βˆž,𝟏)𝑼(πŸ‘,∞)

Sa se determine multimea de convergenta si suma urmatoarei serii de puteri βˆ‘ (βˆ’πŸ)𝐧+𝟏 𝐱𝐧

𝐧∞𝐧=𝟏

ptr. x=1 suma este ln(2), domeniul de convergenta al seriei este (-1,1]

Sa se determine multimea de convergenta si suma urmatoarei serii de puteri βˆ‘ (βˆ’πŸ)𝐧+𝟏 𝐱𝟐𝐧+𝟏

𝟐𝐧+𝟏∞𝐧=𝟏

ptr. x=1 suma este π…πŸ’

domeniul de convergenta al seriei este [-1,1]

Sa se dezvolte in serie de puteri functia f(x)=𝐞𝐱, precizandu-se si domeniul pe care este valabila dezvoltarea. 𝐞𝐱 = βˆ‘ 𝐞𝐧(𝟎)

𝐧!𝐱𝐧∞

𝐧=𝟎 =βˆ‘ πŸπ’!π’™π’βˆž

𝒏=𝟎 ; (βˆ’βˆž,∞)

Sa se dezvolte in serie de puteri functia f(x)=sin(x), precizandu-se si domeniul pe care este valabila dezvoltarea.

Sa se dezvolte in serie de puteri functia f(x)=(𝟏 + 𝒙),𝜢 𝜢 ∈ 𝑹 precizandu-se si domeniul pe care este valabila dezvoltarea.

Sa se arate ca functia f:(-1,1)β†’R,f(x)=ln �𝟏+π’™πŸβˆ’π’™

este dezvoltabila in serie de puteri si sa se gaseasca

aceasta dezvoltare , stabilindu-se si intervalul pe care este valabila dezvoltarea.

Sa se arate ca functia f:RI{-2,-3}β†’R,f(x)= πŸ‘π’™π’™πŸ+πŸ“π’™+πŸ”

este dezvoltabila in serie de puteri si sa se gaseasca aceasta dezvoltare , stabilindu-se si intervalul pe care este valabila dezvoltarea.

Sa se dezvolte in serie de puteri functia f(x)=𝟐𝐱.

Sa se dezvolte in serie de puteri functia f(x)=πžβˆ’π±πŸ.

Page 8: Analiza

PRIMITIVE

Utilizand integrala definita sa se calculeze limita π₯π’π¦π’β†’βˆžπŸπ’‘+πŸπ’‘+β‹―+𝒏𝒑

𝒏𝒑+𝟏 pentru p∈N* =1

Utilizand integrala definita sa se calculeze limita π₯π’π¦π’β†’βˆž �𝒏

π’πŸ+𝟏+ 𝒏

π’πŸ+𝟐𝟐+ β‹―+ 𝒏

π’πŸ+π’πŸοΏ½ = 𝝅

πŸ’

Utilizand integrala definita sa se calculeze limita π₯π’π¦π’β†’βˆžβˆšπŸ+√𝟐+β‹―+βˆšπ’

π’βˆšπ’ = 𝟐

πŸ‘

∫√π‘₯dx = πŸπŸ‘βˆšπ’™πŸ‘ + π‘ͺ οΏ½(π‘Žπ‘Ÿπ‘π‘ π‘–π‘›π‘₯ + π‘Žπ‘Ÿπ‘π‘π‘œπ‘ π‘₯)𝑑π‘₯ = 𝝅

πŸπ’™ + π‘ͺ ∫ (π’‚π’“π’„π’•π’ˆπ’™)𝟐

𝟏+π’™πŸ dx = (π’‚π’“π’„π’•π’ˆπ’™)πŸ‘

πŸ‘+ π‘ͺ

∫ √π‘₯π‘›π‘š dx = π’Žπ’™π’π’Ž+𝟏

𝒏+π’Ž+ π‘ͺ �𝑠𝑖𝑛π‘₯π‘π‘œπ‘ π‘₯𝑑π‘₯ = π’”π’Šπ’

πŸπ’™πŸ

+C ∫ 𝑒π‘₯(𝑠𝑖𝑛𝑒π‘₯)dx =- cos𝒆𝒙+C

οΏ½dxπ‘₯2

=C- πŸπ’™

∫ π’•π’ˆπŸ‘π’™π’„π’π’”πŸπ’™

dx = π’•π’ˆπŸ’π’™πŸ’

+ π‘ͺ ∫ π’™πŸ

π’™πŸ‘+𝟏 dx = 𝟏

πŸ‘ ln I1+π’™πŸ‘I+C

∫ 10π‘₯dx = πŸπŸŽπ’™

π’π’πŸπŸŽ +C οΏ½

xdx√π‘₯2 + 1

= √π‘₯2 + 1+C ∫ 𝒆𝒙

𝒆𝒙+𝟏 dx =ln(𝒆𝒙 + 𝟏)+C

βˆ«π‘Žπ‘₯ 𝑒π‘₯dx = (𝒂𝒆)𝒙

𝟏+𝒍𝒏𝒂 +C οΏ½

x4dx√4 + π‘₯5

= πŸπŸ“βˆš4 + π‘₯5 + π‘ͺ οΏ½

dxπ‘₯𝑙𝑛π‘₯

= π’π’πŸπ’™ + π‘ͺ

οΏ½dx

2√π‘₯ =βˆšπ’™+C �𝑠𝑖𝑛3π‘₯π‘π‘œπ‘ π‘₯𝑑π‘₯ = 𝟏

πŸ’π’”π’Šπ’πŸ’x+C ∫ (𝒍𝒏𝒙)π’Ž

𝒙 dx m∈ 𝑁 = 𝒍𝒏

π’Ž+πŸπ’™π’Ž+𝟏

+C

∫(1 βˆ’ 2π‘₯)dx =x-π’™πŸ+C ∫ π¬π’π§π’™π’„π’π’”πŸπ’™

dx = πŸπ’„π’π’”π’™

+ π‘ͺ οΏ½π‘π‘œπ‘ π‘₯𝑒𝑠𝑖𝑛π‘₯𝑑π‘₯ =𝑒𝑠𝑖𝑛π‘₯+C

οΏ½π’„π’π’”πŸπ’™

π’„π’π’”πŸπ’™ π’”π’Šπ’πŸπ’™π’…π’™ =C-ctgx+tgx οΏ½π‘π‘œπ‘ 3π‘₯𝑠𝑖𝑛2π‘₯𝑑π‘₯ =C - 𝟐

πŸ“π’„π’π’”πŸ“π’™


Top Related