EXERCIŢII PRIMRTIVE SI INTEGRALE DEFINITE

(1) Calcul primitive

1.1. Schimbarea de variabilă

METODA 1

dx)1x2x( 2; ;dx

3xx

2x42

;dxxxln

x2;dx5x3x2

x6x824

3

METODA 2

1

Integrare prin părţi

Recurenţe

2

Existenţa primitivelor

f(x)= f(x)=

f(x)= f(x)=

f(x)= f(x)=

f(x)= f(x)=

f(x)= f(x)=

f(x)= f(x)=

Integrarea funcţiilor raţionale

(2) INTEGRABILITATE

2.1. Şiruri cu sume Riemmann

3

2.2. Integrale cu modul, min, max

2.3. Inegalităţi integrale

(1) Făra a determina primitiva arătaţi că:

(2) Fără a calcula primitivele, să se arate care din integralele următoare are valoarea

mai mare:

2.4. Şiruri integrale

Studiaţi convergenţa şirurilor următoare şi în caz de convergenţă calculaţi .

unde f:[0,1]R este integrabilă;

4

2.5. Integrabilitate

Verificaţi integrabilitatea funcţiilor:

a) f(x)= f:[0,1]R

b) f:[0,2]R, f(x)=[x2]+2x şi calculaţi

c) f:[-1,1]R, f(x)=

d) f:[0,1]R, f(x)= unde R. Discuţie.

e) f:[0,1]R, f(x)=

f) f:[0,1]R integrabilă cu f2(x)=1, x[0,1]. Câte astfel de funcţii există?

g) f:[-1,1]R f(x)= Calculaţi .

2.6. Integrale cu parametru

a) Fie . Rezolvaţi ecuaţia I= .

b) Fie I(a)= . Calculaţi .

c) Fie a>0 şi f:RR continuă şi impară. Calculaţi I(a)=

d) Fie f:RR, f(x)= Justificaţi derivabilitatea lui f pe R şi calculaţi f’(x).

e) Determinaţi numărul de rădăcini reale ale ecuaţiei

f) Fie f:RR, f(x)= . Justificaţi derivabilitatea lui f pe R şi calculaţi f’(0).

g) Fie f:R+R, f(x)= . Justificaţi existenţa şi determinaţi

valoarea sa.

h) Fie f:RR, f(x)= . Discutaţi numărul de rădăcini reale ale ecuaţiei

f(x)=m, mR.

i) Determinaţi numărul de rădăcini reale ale ecuaţiei

5

j) Fie . Pentru ce valori ale lui a, IZ.

k) Fie F:(0,)R, F(t)= Calculaţi .

2.7. Calculul integralei definite

Calculaţi: I= ;

a) Dacă f:RR este contiunuă şi f(x)+f(-x)=1,xR, calculate I= .

b) Dacă I= şi J= unde f:[0,1]R este continuă, determinaţi ce

legătură există între I şi J.

6

c) Fie I1= unde f,g:[0,1]R continue. Ce

legătură există între I1 şi I2 .

d) Fie I= şi J= . Ce legătură există între I şi J.

e) Fie I1= . Ce relaţie există între I1 şi I2 . Putem calcula I1

şi I2?

2.8 Diverse

a) Dacă f:[0,1]R este continuă cu x0[0,1] aşa încât f(x0)=2x0

b) Fie I= . Arătaţi că: I< ;

c) Calculaţi I= ;

d) Calculaţi , unde an =

e) Fie şirul de functii fn:RR defint prin f1(x)=2, fn+1(x)= . n1 şi fie

an=fn+1(2). Arătaţi că .

f) Fie I= 1) Arătaţi că In este descrescător.

2) Calculaţi şi

3) Arătaţi că nInIn-1nu depind de n şi determinaţi valoarea acestui

produs.

g) Fie şirul de funcţii fn:[0,1]R, fn(x)=(1-x)n(1+x)n şi In= . 1) Arătaţi că

In[0,1) nN; 2) Arătaţi că (In)neste convergent; 3) Determinati o relaţie de

recurenţă pentru In.

h) Arătaţi că 1- < <

7

i) Determinaţi valorile lui a [-2,2] pentru care I(a)=

este maximă, respectiv minimă.

j) Calculaţi I()= unde R este fixat

k) Calculaţi I= şi J=

l) Calculaţi I= , a,b>0 şi J= , a,b>0

m) Calculaţi

n) Calculaţi I= (n1)

o) Arătaţi că 1a<b<

p) Arătaţi că a< <arcsina, a(0,1)

q) Determinaţi extremele funcţiei f:RR, f(x)=

r) Fie f:[0,1]R continuă. Atunci :

1)

2)

s) Fie f:[a,b] R de clasă C2 cu f(a)=f(b). Atunci:

ş) Dacă f:[a,b] R este monoton crescătoare atunci:

f(a)

8

t) Fie f:[a,b] R continuă cu proprietatea . Atunci x0 (a,b) aşa

încât f(x0)=x0.

ţ) Fie f,g:[a,b] R continue şi mărginite c (a,b) aşa încât :

g(c)

u) Fie f:[a,b] R de două ori derivabilă cu . Atunci x0

(a,b) aşa încât f”(x0)=0

v) Fie f:RR continuă cu f(x)+f(-x)=, xR, unde ,,R cu +0. Atunci:

aR avem

w) Fie f,g:[a,b][c,d] continue pe [a,b], derivabile pe (a,b) şi :[c,d)R* continuă.

Dacă f(a)=g(a) şi g’(x)0, x(a,b) aşa încât:

z) 1) Fie f:[a,b] R continuă, neidentic nulă cu f(a)=f(b)0 şi . Atunci

f se anulează cel puţin de două ori pe (a,b).

2) Fie f:[a,b] R continua cu . Atunci x0(a,b) aşa încât f(x0)=0

3) Dacă f:[0,1] R este integrabilă , atunci are loc relaţia:

, p1

4) Fie fC2([a,b]) cu f(a)f`(a)=f(b)f`(b) şi f(a)=f(b)=0. Atunci:

cu egalitate dacă f este constantă .

5) Fie fC2([a,b]) cu f(a)g’(a)=f(b)g’(b) şi f’(a)g(a)=f’(b)g(b). Atunci:

6) Să se determine toate funcţiile continue f:(0,)R care satisfac condiţia:

, x>0

9

7) Fie f:[a,b](0,) continuă necostantă şi nN fixat. Atunci există

1,2...n[a,b] distincte între ele aşa încât

8) Fie f:[a,b]R integrabilă şi 1,2...n R+ . Atunci x1,x2...xn[a,b] există

x0[a,b] aşa încât .

9) Fie f:[a,b](0,) integrabilă. Atunci

10) Fie P,QR[x] polinoame cu Q(x)0, xR+. Să se calculeze

11) Fie P(x)= . Atunci există c(0,1) aşa încât

12) Fie f:[a,b]R , fC3([a,b]) cu f(a)=f(b)=f’(b)=0. Atunci

13) Fie f,g:[a,b]R continue. Atunci există c(a,b) aşa încât

14) Fie f:[a,b]R continuă, nenegativă şi neidentic nulă pe nici un subinterval

al lui [a,b]. Atunci >0, x0(a,b) unic determinat aşa încât

15) Fie f,g:RR continue şi monotone, iar An= şi Bn= .

Atunci

16) Determinaţi toate funcţiile continue f:(0,)R cu proprietatea

10

17) Fie f:[0,1]R continuă. Atunci

18) Fie f:(a,)(0,), aR funcţie descrescătoare cu şi

an= . Calculaţi .

11