Download - Analiza XII Aplicatii
EXERCIŢII PRIMRTIVE SI INTEGRALE DEFINITE
(1) Calcul primitive
1.1. Schimbarea de variabilă
METODA 1
dx)1x2x( 2; ;dx
3xx
2x42
;dxxxln
x2;dx5x3x2
x6x824
3
METODA 2
1
Integrare prin părţi
Recurenţe
2
Existenţa primitivelor
f(x)= f(x)=
f(x)= f(x)=
f(x)= f(x)=
f(x)= f(x)=
f(x)= f(x)=
f(x)= f(x)=
Integrarea funcţiilor raţionale
(2) INTEGRABILITATE
2.1. Şiruri cu sume Riemmann
3
2.2. Integrale cu modul, min, max
2.3. Inegalităţi integrale
(1) Făra a determina primitiva arătaţi că:
(2) Fără a calcula primitivele, să se arate care din integralele următoare are valoarea
mai mare:
2.4. Şiruri integrale
Studiaţi convergenţa şirurilor următoare şi în caz de convergenţă calculaţi .
unde f:[0,1]R este integrabilă;
4
2.5. Integrabilitate
Verificaţi integrabilitatea funcţiilor:
a) f(x)= f:[0,1]R
b) f:[0,2]R, f(x)=[x2]+2x şi calculaţi
c) f:[-1,1]R, f(x)=
d) f:[0,1]R, f(x)= unde R. Discuţie.
e) f:[0,1]R, f(x)=
f) f:[0,1]R integrabilă cu f2(x)=1, x[0,1]. Câte astfel de funcţii există?
g) f:[-1,1]R f(x)= Calculaţi .
2.6. Integrale cu parametru
a) Fie . Rezolvaţi ecuaţia I= .
b) Fie I(a)= . Calculaţi .
c) Fie a>0 şi f:RR continuă şi impară. Calculaţi I(a)=
d) Fie f:RR, f(x)= Justificaţi derivabilitatea lui f pe R şi calculaţi f’(x).
e) Determinaţi numărul de rădăcini reale ale ecuaţiei
f) Fie f:RR, f(x)= . Justificaţi derivabilitatea lui f pe R şi calculaţi f’(0).
g) Fie f:R+R, f(x)= . Justificaţi existenţa şi determinaţi
valoarea sa.
h) Fie f:RR, f(x)= . Discutaţi numărul de rădăcini reale ale ecuaţiei
f(x)=m, mR.
i) Determinaţi numărul de rădăcini reale ale ecuaţiei
5
j) Fie . Pentru ce valori ale lui a, IZ.
k) Fie F:(0,)R, F(t)= Calculaţi .
2.7. Calculul integralei definite
Calculaţi: I= ;
a) Dacă f:RR este contiunuă şi f(x)+f(-x)=1,xR, calculate I= .
b) Dacă I= şi J= unde f:[0,1]R este continuă, determinaţi ce
legătură există între I şi J.
6
c) Fie I1= unde f,g:[0,1]R continue. Ce
legătură există între I1 şi I2 .
d) Fie I= şi J= . Ce legătură există între I şi J.
e) Fie I1= . Ce relaţie există între I1 şi I2 . Putem calcula I1
şi I2?
2.8 Diverse
a) Dacă f:[0,1]R este continuă cu x0[0,1] aşa încât f(x0)=2x0
b) Fie I= . Arătaţi că: I< ;
c) Calculaţi I= ;
d) Calculaţi , unde an =
e) Fie şirul de functii fn:RR defint prin f1(x)=2, fn+1(x)= . n1 şi fie
an=fn+1(2). Arătaţi că .
f) Fie I= 1) Arătaţi că In este descrescător.
2) Calculaţi şi
3) Arătaţi că nInIn-1nu depind de n şi determinaţi valoarea acestui
produs.
g) Fie şirul de funcţii fn:[0,1]R, fn(x)=(1-x)n(1+x)n şi In= . 1) Arătaţi că
In[0,1) nN; 2) Arătaţi că (In)neste convergent; 3) Determinati o relaţie de
recurenţă pentru In.
h) Arătaţi că 1- < <
7
i) Determinaţi valorile lui a [-2,2] pentru care I(a)=
este maximă, respectiv minimă.
j) Calculaţi I()= unde R este fixat
k) Calculaţi I= şi J=
l) Calculaţi I= , a,b>0 şi J= , a,b>0
m) Calculaţi
n) Calculaţi I= (n1)
o) Arătaţi că 1a<b<
p) Arătaţi că a< <arcsina, a(0,1)
q) Determinaţi extremele funcţiei f:RR, f(x)=
r) Fie f:[0,1]R continuă. Atunci :
1)
2)
s) Fie f:[a,b] R de clasă C2 cu f(a)=f(b). Atunci:
ş) Dacă f:[a,b] R este monoton crescătoare atunci:
f(a)
8
t) Fie f:[a,b] R continuă cu proprietatea . Atunci x0 (a,b) aşa
încât f(x0)=x0.
ţ) Fie f,g:[a,b] R continue şi mărginite c (a,b) aşa încât :
g(c)
u) Fie f:[a,b] R de două ori derivabilă cu . Atunci x0
(a,b) aşa încât f”(x0)=0
v) Fie f:RR continuă cu f(x)+f(-x)=, xR, unde ,,R cu +0. Atunci:
aR avem
w) Fie f,g:[a,b][c,d] continue pe [a,b], derivabile pe (a,b) şi :[c,d)R* continuă.
Dacă f(a)=g(a) şi g’(x)0, x(a,b) aşa încât:
z) 1) Fie f:[a,b] R continuă, neidentic nulă cu f(a)=f(b)0 şi . Atunci
f se anulează cel puţin de două ori pe (a,b).
2) Fie f:[a,b] R continua cu . Atunci x0(a,b) aşa încât f(x0)=0
3) Dacă f:[0,1] R este integrabilă , atunci are loc relaţia:
, p1
4) Fie fC2([a,b]) cu f(a)f`(a)=f(b)f`(b) şi f(a)=f(b)=0. Atunci:
cu egalitate dacă f este constantă .
5) Fie fC2([a,b]) cu f(a)g’(a)=f(b)g’(b) şi f’(a)g(a)=f’(b)g(b). Atunci:
6) Să se determine toate funcţiile continue f:(0,)R care satisfac condiţia:
, x>0
9
7) Fie f:[a,b](0,) continuă necostantă şi nN fixat. Atunci există
1,2...n[a,b] distincte între ele aşa încât
8) Fie f:[a,b]R integrabilă şi 1,2...n R+ . Atunci x1,x2...xn[a,b] există
x0[a,b] aşa încât .
9) Fie f:[a,b](0,) integrabilă. Atunci
10) Fie P,QR[x] polinoame cu Q(x)0, xR+. Să se calculeze
11) Fie P(x)= . Atunci există c(0,1) aşa încât
12) Fie f:[a,b]R , fC3([a,b]) cu f(a)=f(b)=f’(b)=0. Atunci
13) Fie f,g:[a,b]R continue. Atunci există c(a,b) aşa încât
14) Fie f:[a,b]R continuă, nenegativă şi neidentic nulă pe nici un subinterval
al lui [a,b]. Atunci >0, x0(a,b) unic determinat aşa încât
15) Fie f,g:RR continue şi monotone, iar An= şi Bn= .
Atunci
16) Determinaţi toate funcţiile continue f:(0,)R cu proprietatea
10
17) Fie f:[0,1]R continuă. Atunci
18) Fie f:(a,)(0,), aR funcţie descrescătoare cu şi
an= . Calculaţi .
11