5.1

5. ANALIZA SPECTRALĂ A SEMNALELOR PERIODICE

5.1 CARACTERISTICI GENERALE ALE SEMNALELOR

În telecomunicaţii semnalele sunt mărimi fizice cu ajutorul cărora se transmit mesaje. Clasa semnalelor ce se transmit este foarte largă, în practică întâlnindu-se o varietate foarte mare de semnale. Din punctul de vedere al posibilităţii de a caracteriza prin funcţii de timp evoluţia unui semnal, acestea se pot clasifica în două grupe:

Semnale deterministe, care pot fi exprimate prin funcţii analitice de timp cu un număr finit de parametri.

Semnale aleatoare, care nu pot fi exprimate prin funcţii analitice de timp cu un număr finit de parametri, ci prin funcţii aleatoare. Prin aprecieri probabilistice se pot determina posibilităţile de evoluţie.

Analiza semnalelor stabileşte posibilităţile de a reprezenta semnalele prin sume discrete sau continue de funcţii elementare (exponenţiale, sinusoidale, treaptă unitate …). Observaţie: Această reprezentare matematică este utilă pentru următoarele scopuri practice:

1) Determinarea intervalului de frecvenţe (banda de frecvenţă) ce trebuie alocat canalului de telecomunicaţii afectat pentru transmiterea lui;

2) Determinarea răspunsului circuitelor liniare la un semnal dat. Aceasta se realizează prin determinarea răspunsului circuitului analizat la un semnal elementar şi apoi, aplicând principiul superpoziţiei, se determină răspunsul circuitului la suma semnalelor elementare ce compun semnalul dat.

Analiza semnalelor se simplifică dacă funcţiile de timp prin care se exprimă au unele proprietăţi:

1) periodicitatea; 2) simetria; 3) continuitatea;

5.2. TIPURI DE SEMNALE ELECTRICE; PARAMETRII SEMNALELOR

Din întreaga diversitate de semnale electrice se prezintă în mod mai amănunţit doar câteva. Semnalele vor fi prezentate sub formă analitică şi grafică, punând în evidenţă parametrii electrici ai acestora.

5.2.1. Semnale periodice

5.2.1.1. Semnale sinusoidale (cosinusoidale)

Expresia analitică a semnalului este: ( ) ( )00 tsinAtx ϕ+ω= (5.1)

Considerând că (5.1) descrie un semnal electric (tensiune sau curent), parametrii ce-l definesc sunt următorii:

A – amplitudinea semnalului [V] sau [A] Observaţie: Valoarea efectivă a semnalului este definită astfel:

A.AAef 707022

≈= (5.2)

0ω - pulsaţia [rad/s]

Cum fT

π=π

=ω 220 se pot pune în evidenţă alţi doi parametri:

f - frecvenţa semnalului [Hz] (5.3) T – perioada semnalului[s] (5.4)

1.1.

5.2

Observaţie: T

f 1= (5.5)

0ϕ - faza iniţială [rad] (5.6) Conform relaţiilor (5.2)… (5.6), expresia analitică (5.1.) a semnalului sinusoidal are forma:

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ+

π=ϕ+π= 0ef0ef t

T2sinA2tf2sinA2tx (5.7)

Forma de undă a unui astfel de semnal este (re)prezentată în figura 5.1.

5.2.1.2. Semnale dreptunghiulare

Expresia analitică a semnalului este:

⎩⎨⎧

<<<<<<

=Ttt;tt00

tttA)t(x

21

21 (5.8)

Forma de undă a semnalului (5.8) este (re)prezentată în figura 5.2. Parametrii electrici ai semnalului periodic dreptunghiular sunt următorii:

A – amplitudinea semnalului [V] sau [A] T – perioada semnalului [s] 12 tt −=τ - durata impulsului [s] (5.8)

T

q τ= - factorul de umplere al semnalului (5.9)

Observaţie: Factorul de umplere al unui semnal periodic dreptunghiular are o valoare subunitară

1q0 << (5.10) În cazul unui semnal periodic dreptunghiular se pune în evidenţă componenta continuă a acestuia, definită ca înălţimea dreptunghiului cu arie egală cu cea de sub reprezentarea grafică a semnalului pe o perioadă:

AqT

AdtAT1dt)t(x

T1X

2

1

t

tTCC =

τ=== ∫∫ (5.11)

Fig. 5.1: Forma de undă a unui semnal sinusoidal (cosinusoidal)

Fig. 5.2: Semnalul periodic dreptunghiular

5.3

5.2.2. Semnale neperiodice

Se prezintă expresiile matematice şi formele de undă a două impulsuri des utilizate în telecomunicaţii.

5.2.2.1. Impulsul video

Expresia analitică a semnalului este:

( )⎩⎨⎧

∉<<

=21

21v t,tt0

tttA)t(x (5.12)

Forma de undă a semnalului este prezentată în figura 5.3.

Parametrii electrici ai impulsului video sunt următorii:

A – amplitudinea semnalului [V] sau [A] 12 tt −=τ - durata impulsului [s]

5.2.2.2. Impulsul radio

Expresia analitică a semnalului este:

( )

( )⎩⎨⎧

∉<<ω

=21

210r t,tt0

ttttcosA)t(x (5.13)

Observaţie: Se poate scrie că: ( ) ( )tcostx)t(x 0vr Ω= (5.14) unde ( )tx v este impulsul video. Parametrii electrici ai impulsului radio sunt următorii:

A – amplitudinea semnalului [V] sau [A] 12 tt −=τ - durata impulsului [s] 0ω - pulsaţia semnalului periodic sinusoidal (cosinusoidal) ce intră în componenţa

impulsului radio. . Observaţie: Se poate pune în evidenţă perioada T0, respectiv frecvenţa f0 a semnalului periodic sinusoidal (cosinusoidal) ce intră în componenţa impulsului radio, astfel:

Fig. 5.3: Impulsul video

Fig. 5.4: Impulsul radio

5.4

00

0 f2T2

π=π

=ω ; τ<<0T

Impulsul radio se obţine prin “decuparea” unei durate finite τ a unui semnal periodic sinusoidal (cosinusoidal). Forma de undă a impulsului radio este prezentată în figura 5.4.

5.3. REPREZENTAREA SEMNALELOR ÎN DOMENIUL TIMP ŞI ÎN DOMENIUL FRECVENŢĂ

Orice semnal x(t) poate fi caracterizat prin două reprezentări: reprezentarea în domeniul timp; reprezentarea în domeniul frecvenţă;

Aceste reprezentări mai sunt denumite în mod curent: forma de undă a semnalului; spectrul de frecvenţe al semnalului;

Oricare din aceste două reprezentări caracterizează în mod univoc semnalul, adică unei reprezentări în domeniul timp îi corespunde o singură reprezentare în domeniul frecvenţă şi invers, unei reprezentări în frecvenţă îi corespunde o singură reprezentare în timp. Observaţii:

În cazul semnalelor periodice trecerea de la o reprezentare la alta se obţine cu ajutorul seriilor Fourier.

În cazul semnalelor neperiodice trecerea de la o reprezentare la alta se obţine cu ajutorul transformatei Fourier sau Laplace.

5.3.1. Reprezentarea în domeniul timp şi frecvenţă a unui semnal sinusoidal

Expresia analitică a semnalului este ( ) ( )000 tsinAtx ϕ+ω= (5.15) Reprezentarea în domeniul timp se obţine considerând ca variabilă independentă timpul.

Fig. 5.5: Semnal sinusoidal ( cosinusoidal) a) forma de undă b) spectrul de amplitudini c) spectrul de faze

5.5

Fig. 5.6. a) Spectrul de amplitudini, b) spectrul de faze, ale unui semnal exprimat printr-o sumă de semnale sinusoidale

Grafic, se obţine forma de undă a semnalului prezentată în figura 5.5.a). Reprezentarea în domeniul frecvenţă se obţine considerând ca variabilă independentă pulsaţia, 0ω (sau frecvenţa, f0). Grafic, se pot obţine două reprezentări:

spectrul de amplitudini al semnalului în care se ilustrează variaţia amplitudinii semnalului funcţie de pulsaţie (frecvenţă) - ( )ωA sau A(f) - vezi figura 5.5.b).

spectrul de faze al semnalului în care se ilustrează variaţia fazei semnalului funcţie de pulsaţie (frecvenţă ) - ( )ωϕ sau ( )fϕ - vezi figura 5.5.c)

5.3.2. Reprezentarea în domeniul timp şi în frecvenţă ale unui semnal exprimat printr-o sumă de semnale sinusoidale.

Expresia analitică a semnalului este: ( ) ( )∑=

ϕ+ω=N

1kkkk tsinAtx (5.16)

Spectrul de amplitudini al semnalului este (re)prezentat în figura 5.6.a) iar spectrul de faze al semnalului este prezentat în figura 5.6.b). Observaţii:

Unui semnal sinusoidal îi corespunde o singură linie spectrală (fie de amplitudini, fie de fază);

Unei sume de semnale sinusoidale îi va corespunde un spectru discret de amplitudini, respectiv faze (fiecărei frecvenţe îi va corespunde o singură valoare a amplitudinii, respectiv fazei);

Cum metoda de analiză spectrală a unui semnal periodic nesinusoidal este de a-l aproxima printr-o sumă de semnale sinusoidale de frecvenţe diferite şi cum fiecărei frecvenţe îi corespunde o singură amplitudine, respectiv fază, rezultă că acestui semnal îi corespunde un spectru discret de amplitudini (faze);

Dacă în expresia (5.16) ∞→N , iar ( ) 0k1k →ω−ω + în diagramele spectrale de amplitudini şi de faze, liniile spectrale devin atât de dese încât nu se poate face distincţie între două linii succesive. În acest caz, spectrele discrete ( )kkA ω şi

( )kk ωϕ se transformă în spectre continue notate ( )ωA şi ( )ωϕ .

5.6

5.4. ANALIZA SEMNALELOR

5.4.1. Generalităţi

Conform definiţiei din 5.1.1. analiza semnalului x(t) constă în echivalarea sa printr-o sumă de semnale elementare (serie Fourier):

( ) ( )∑=

=N

0nnn tfatx (5.17)

unde: an sunt coeficienţi; fn(t) sunt expresiile analitice ale semnalelor elementare;

Observaţii: 1) Este indicat ca funcţiile fn(t) să aibă o reprezentare analitică simplă; 2) Relaţia (5.17) este deosebit de importantă în cazul circuitelor liniare la care se

poate aplica teorema superpoziţiei; dacă y(t), ( )tnϕ sunt răspunsurile circuitului liniar la semnalele x(t), fn(t) se poate scrie că:

( ) ( )∑=

ϕ=N

0nnn taty (5.18)

În acest caz răspunsul la semnalul ( )tx se deduce prin sumarea răspunsurilor parţiale, obţinute pentru semnalele elementare fn(t);

3) N poate fi finit sau infinit. Calculele sunt mai comode atunci când N este finit şi de o valoare mică; în acest caz atât semnalul cât şi răspunsul se exprimă printr-un număr redus de termeni. Cum N este teoretic infinit, se contată că valorile coeficienţilor an devin neglijabile începând cu o valoare nmax a rangului n; prin aceasta se pot neglija termeni cu rangul maxnn > şi se obţine o exprimare aproximativă a semnalului x(t).

Analiza semnalului constă în determinarea coeficienţilor an atunci când este dat semnalul x(t) şi când este precizat setul de funcţii fn(t).

5.4.2. Alegerea setului de funcţii fn(t)

Setul de funcţii trebuie să se bucure de proprietatea de ortogonalitate, adică:

⎩⎨⎧

≠=

=∫+

nmdaca,0nmdaca,C

dt)t(f)t(f2Tt

tnm

0

0

(5.19)

unde C reprezintă norma funcţiilor; Observaţii:

1) În cazul în care 1C= , setul de funcţii sew spune că este ortonormat. 2) În cazul în care una din funcţiile fn(t) este o constantă A, aplicând (5.19)

2Tt

t

CdtAA0

0

=∫+

se obţine valoarea constantei:

TCA= (5.20)

Concluzie: Pentru a realiza analiza Fourier a semnalelor, se recurge la următorul set de funcţii trigonometrice:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π t

T2nsin,t

T2ncos,

21 (5.21)

5.7

5.5. ANALIZA SPECTRALĂ A SEMNALELOR PERIODICE

Analiza spectrală a semnalelor periodice constă în descompunerea acestora în funcţii elementare (semnale sinusoidale de amplitudini, frecvenţe şi faze iniţiale diferite) obţinute cu ajutorul seriilor Fourier. Dezvoltarea în serie Fourier poate să ia mai multe forme:

forma trigonometrică ( S.F.T.); forma armonică ( S.F.A.); forma exponenţială ( S.F.E.);

5.5.1. Forma trigonometrică a dezvoltării Fourier ( S.F.T.)

Expresia matematică a dezvoltării semnalului x(t) în serie Fourier trigonometrică este următoarea:

( ) ( )∑∑∞

=

∞

=

⋅ω⋅+⋅ω⋅+=1n

0n1n

0n0 tnsinStncosCC)t(x (5.22)

unde π

ω==

21 0

0 Tf reprezintă frecvenţa de repetiţie a semnalului periodic – frecvenţa

fundamentală. Pentru determinarea coeficienţilor C0, Cn, Sn, se procedează după cum urmează, avându-se în vedere faptul că integrala unei funcţii periodice pe o perioadă este nulă:

( ) ( ) ( )∫∫ ⋅=⇔⋅=⇒T

00T

dttxT1CTCdttx22.5

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )∫

∫∫

⋅ω⋅⋅⋅=⇔

⇔=⋅ω⋅⋅=⋅ω⋅⋅⇒

T0k

T0

2k

T0

dttkcostxT2C

2TdttkcosCdttkcostx22.5

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )∫

∫∫

⋅ω⋅⋅⋅=⇔

⇔=⋅ω⋅⋅=⋅ω⋅⋅⇒

T0k

T0

2k

T0

dttksintxT2S

2TdttksinSdttksintx22.5

S-a ţinut cont de următoarele relaţii, care pot fi verificate cu uşurinţă: ( ) ( ) N∈∀=⋅ω⋅⋅⋅ω⋅∫ p,k,0dttpsintkcos

T00

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠=⋅ω⋅⋅⋅ω⋅∫ pk,

2T

pk,0dttpcostkcos

T00

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠=⋅ω⋅⋅⋅ω⋅∫ pk,

2T

pk,0dttpsintksin

T00

Ca exemplu, se pot demonstra ultimele două relaţii pentru cazul pk = :

( )

( ) ( ) 2TJI

0dttk2cosJI

TdtJI

dttksin:J

dttkcos:I

T0

T

T0

2T

02

==⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⋅ω⋅⋅=−

==+⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⋅ω⋅=

⋅ω⋅=

∫

∫

∫

∫

Într-o exprimare echivalentă, s-a demonstrat că funcţiile sin şi cos sunt ortogonale. În concluzie, coeficienţii C0, Cn, Sn, se calculează cu relaţiile:

5.8

∫⋅=T

0 dt)t(xT1C (5.23)

∫ ⋅ω⋅⋅⋅=T

0k dt)tk(cos)t(xT2C (5.24)

∫ ⋅ω⋅⋅⋅=T

0k dt)tk(sin)t(xT2S (5.25)

5.5.2. Forma armonică a dezvoltării Fourier ( S.F.A.)

Seria trigonometrică poate fi reprezentată într-o formă mai compactă, denumită formă armonică, utilizând numai funcţii cosinusoidale.

( ) ( )∑∑∞

=

∞

=

ϕ+ω+=ϕ+ω=1n

n0n00n

n0n tncosAAtncosA)t(x (5.26)

unde 2

n2nn SCA += (5.27)

n

nn C

Sarctg−=ϕ (5.28)

00 CA = (5.29) Seria Fourier armonică dă o descompunere a semnalului periodic într-o sumă de semnale cosinusoidale ale căror frecvenţe sunt multipli ai frecvenţei fundamentale - f0 – a semnalului periodic. Punând într-o formă desfăşurată expresia (5.26) se pune în evidenţă componenta continuă şi armonicile semnalului:

Componenta continuă - (la frecvenţa 0f = ) 00 CA =

Armonica fundamentală (fundamentala) - la frecvenţa 1n,T1ff 0 === :

( ) ( )101101 t1cosAt1cosA ϕ+ω=ϕ+ω⋅

Armonica de ordinul doi - la frecvenţa 2n,T2f2f 0 === :

( )202 2 ϕ+ω tcosA ..........................................................................................................................................

Armonica de ordinul k - la frecvenţa kn,Tkfkf 0 === :

( )kk tkcosA ϕ+ω0 .......................................................................................................................................

Observaţii: În cazul în care funcţia care descrie semnalul x(t) este pară, dezvoltarea în serie

trigonometrică va coincide cu dezvoltarea în serie armonică. Din (5.25) se obţine că 0Sn = şi din (5.27) rezultă că nn CA = . De asemenea, din (5.28) rezultă 0=ϕn .

Ca urmare, semnalul x(t) poate fi scris sub forma:

( ) ( )∑∑∞

=

∞

=

ω+=ω=1

000

0n

nn

n tncosCCtncosA)t(x (5.30)

În cazul în care funcţia care descrie semnalul x(t) este impară, conform (5.24) se obţine că 0=nC şi din (5.27) rezultă că nn SA = . Din (5.23) se obţine că 00 =C ,

adică semnalul nu are componentă continuă. De asemenea, din (5.28) 2nπ

=ϕ

5.9

Ca urmare, semnalul poate fi scris ca o sumă de funcţii sinusoidale de forma:

∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ω=1n

0n 2tncosS)t(x (5.31)

Concluzii: 1) Caracterizarea în domeniul frecvenţă se realizează prin diagramele spectrale

asociate seriei armonice, spectrul de amplitudine ( )0ωnAn sau ( )0fnAn şi spectrul de faze ( )0ωϕ nn sau ( )0fnnϕ .

2) Valoarea coeficienţilor reprezintă amplitudinile armonicelor de pulsaţie 0ωn (sau frecvenţă 0fn ).

3) Liniile spectrale asociate seriei armonice vor fi localizate la frecvenţele ...,,, 00 20 ωω

5.5.3. Banda de frecvenţă ocupată de un semnal periodic

Teoretic, spectrele semnalelor periodice se întind de la 0=ω (componenta continuă sau valoarea medie a semnalului) la ∞=ω . Practic, spectrele sunt limitate. Reprezentarea diagramei spectrale de amplitudini pune în evidenţă legea de descreştere a amplitudinilor armonicelor, permiţând să se limiteze seria la termenul de rang nmax, amplitudinile componentelor devenind neglijabile pentru maxnn > . Trunchierea seriei de la un anumit termen depinde de cerinţele impuse tipului de comunicaţie care utilizează semnalul respectiv. Se pot considera neglijabile componentele ale căror amplitudini sunt mai mici decât o anumită fracţiune din amplitudinea fundamentalei. În urma realizării analizei spectrale se poate determina lăţimea benzii de frecvenţe ocupată de acel semnal.

5.5.4. Algoritmul utilizat în analiza spectrală

Pentru o cât mai corectă abordare a paşilor matematici ce au ca scop analiza spectrală a unui semnal periodic, se propune următorul algoritm:

1) Scrierea expresiei matematice a semnalului; 2) Reprezentarea grafică a evoluţiei în timp a semnalului; 3) Analiza simetriei semnalului (Un semnal eventual par sau impar duce la o

simplificare în calculele matematice); 4) Dezvoltarea în serie Fourier trigonometrică (S.F.T.) a semnalului - calculul

coeficienţilor Cn şi Sn, conform (5.23) – (5.25); 5) Scrierea seriei Fourier armonică (S.F.A.) a semnalului – calculul coeficienţilor An

şi nϕ , conform (5.27) – (5.29); 6) Reprezentarea spectrului de amplitudine şi de fază; 7) Determinarea lărgimii de bandă a semnalului;

5.6. APLICAŢII

5.6.1. Analiza spectrală a semnalului periodic dreptunghiular

1) Expresia matematică este următoarea:

)umpleredefactorul(Tt

qTtt0

tt0A)t(x 1

1

1 =⎩⎨⎧

<<<<

=

2) Reprezentarea în timp a semnalului este prezentată în figura 5.7.

5.10

3) Din reprezentarea grafică (precum şi din expresia matematică) se observă că x(t) nu este nici par nici impar.

4) Dezvoltarea în serie Fourier trigonometrică - S.F.T.- a semnalului:

( ) ( )∑∑∞

=

∞

=

ω+ω+=1n

0n1n

0n0 tnsinStncosCC)t(x

AqTt

AdtAT1dt)t(x

T1C

1t

0

1

T0 ==== ∫∫

( ) ( ) ( ) ( )100

1t

00

T0n tnsin

TnA2dttncosA

T2dttncostx

T2C ω

ω=ω=ω= ∫∫

( )1tncosTn

A2dt)tnsin(AT2dt)tn(sin)t(x

T2S 10

0

1t

00

T0n −ω

ω−=ω=ω= ∫∫

Cum T

20

π=ω , se obţine:

( )nq2csinqA2Cn π= ;

( )nq2cos1nASn π−π

=

unde:

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠=0xpentru1

0xpentrux

)xsin(xcsin

Este funcţia sinus atenuat a cărei reprezentare grafică este prezentată în figura 5.8.

5) Dezvoltarea în serie Fourier armonică -S.F.A- a semnalului

( ) ( )∑∑∞

=

∞

=

ϕ+ω+=ϕ+ω=1n

n0n00n

n0n tncosAAtncosA)t(x

Fig. 5.7: Semnalul periodic dreptunghiular

Fig. 5.8: Formele de undă a semnalelor sinus atenuat – sinc(x) – şi sin(x)

5.11

AqCA 00 ==

)nq(csinqA22

tnsin

TnA4tncos22

nASCA 10

010

2n

2nn π=

ωω

=ω−π

=+=

nqnqcosnqsin2

nqsin2arctgnq2sin

nq2cos1arctgCS

arctg2

n

nn π−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

πππ

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ππ−

−=−=ϕ

Valorile amplitudinilor armonicelor precum şi frecvenţele lor sunt următoarele: Componenta continuă - (la frecvenţa f = 0)

AqCA 00 ==

Armonica fundamentală (fundamentala) - (la frecvenţa 1n,T1ff 0 === )

qsinA2)q(csinqA2A1 ππ

=π=

Armonica de ordinul doi - (la frecvenţa 2n,T2f2f 0 === )

q2sinA)q2(csinqA2A 2 ππ

=π=

.........................................................................................................................

Armonica de ordinul k - (la frecvenţa kn,Tkfkf 0 === )

qksinkA2)qk(csinqA2A k ππ

=π=

iar semnalul x(t) scris sub forma S.F.A. are expresia:

( ) ( ) +=ϕ+ω+=ϕ+ω= ∑∑∞

=

∞

=

qAtncosAAtncosA)t(x1n

n0n00n

n0n

( ) ( ) ( ) ( ) ...q2t2cosq2sinAqtcosqsinA200 +π−ωπ

π+π−ωπ

π+

( ) ( ) ...5

ntncosqnsinnA2...

5ktkcosqksin

kA2... 00 +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−ωππ

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−ωππ

+

În cazul în are care 51

=q expresiile matematice ale primelor patru armonici şi a

semnalului aproximat până la a cincea armonică sunt următoarele:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

π=

5tcos

5sinA2tA 01 ;

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

π=

52t2cos

52sinAtA 02 ;

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

π=

53t3cos

53sin

3A2tA 03 ;

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

π=

54t4cos

54sin

2AtA 04

( ) +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

π+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

π+≈

52t2cos

52sinA

5t3cos

5sin

3A2

5Atx 00

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

π+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

π+

54t4cos

54sin

2A

53t3cos

53sin

3A2

00

5.12

În figura 5.9 sunt reprezentate formele de undă ale primelor patru armonici ale semnalului, precum şi semnalul aproximat printr-o serie Fourier care reţine doar componenta continuă şi primele patru armonici.

6) Forma armonică a dezvoltării Fourier oferă posibilitatea de a reprezenta spectrul de amplitudini al semnalului )f(AAsau)(AA nnnn =ω= . Pentru a realiza această reprezentare grafică se aminteşte că:

Spectrul unui semnal periodic este discret; [ ) 0Alim,...1kAA kk1kk =∞∈>

∞→+ ;

Ordinul, (k) al armonicelor care se anulează se determină astfel:

qmk.Zmunde,mqk0qksin0)qk(csinqA20Ak =⇒∈π=π⇒=π⇒=π⇒=

Pentru a realiza reprezentările grafice ale spectrului de amplitudine se consideră cazul

particular în care 21q = .

În acest caz:

2AAC 00 == ;

( ) 0nsinnACn =ππ

= ;

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈+=π+

∈==

Nk1k2ndaca1k2

A2Nkk2ndaca0

S

*

n ;

sau nn SA = ;

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==ϕ=

=π

−=ϕπ

−=

==ϕ=

=π

−=ϕπ

=

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

==ϕ=

=π

−=ϕπ

−=

==ϕ=

=π

−=ϕπ

=

=

0888

0777

0666

0555

0444

0333

0222

0111

0

f8fpentru00A

f7fpentru27

A2A

f6fpentru00A

f5fpentru25

A2A

f4fpentru00A

f3fpentru23

A2A

f2fpentru00A

ffpentru2

A2A

2AA

Reprezentările grafice ale spectrului de amplitudini, respectiv a modulului spectrului de amplitudini sunt prezentate în figurile 5.10, respectiv 5.11.

7) Determinarea lărgimii de bandă a semnalului: În cazul semnalului periodic dreptunghiular, din punctul de vedere al calculului lărgimii de bandă, importantă prima frecvenţă la care armonica este nulă (primul punct de trecere prin

5.13

Fig. 5.9: Reprezentările grafice ale primelor patru armonici şi a semnalului dreptunghiular obţinut prin sumarea componentei continue şi a primelor patru armonici

zero al spectrului sau prima trecere prin zero a înfăşurătoarei semnalului), care se obţine pentru 1m = .

Lărgimea de bandă este [ ]Hzqf

,1B 0⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= , iar numărul armonicelor din bandă este ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−1

q1 .

5.14

5.6.2. Analiza spectrală a semnalului “dinte de fierăstrău” periodic

Să se realizeze analiza spectrală pentru semnalul din figura 5.11 (funcţia dinte de fierăstrău).

Rezolvare

Expresia matematică a semnalului este următoarea:

Tt0pentrutTA)t(x <<=

S.F.A: ( ) ( )∑∑∞

=

∞

=

ϕ+ω+=ϕ+ω=1n

n0n00n

n0n tncosAAtncosA)t(x ,

unde T2

0π

=ω

Funcţia nu este nici pară nici impară.

Fig. 5.10: Spectrul de amplitudini al semnalului periodic dreptunghiular

x(t)

t

A

T

Fig. 5.11: Semnalul “dinte de fierăstrău” periodic

5.15

∫∫ ===T

0

T

00 2

AdttTA

T1dt)t(x

T1A

( ) ( ) 0dttncostTA2dttncos)t(x

T2C

T

002

T

00n ∫∫ =ω=ω=

( ) ( )n

An2

TTA2dttnsint

TA2dttnsin)t(x

T2S

2

2

T

002

T

00n π

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

π−=ω=ω= ∫∫

şi n

ACSA 2n

2nn π

=+=

.......

f8fpentru28

AA

f7fpentru27

AA

f6fpentru26

AA

f5fpentru25

AA

f4fpentru24

AA

f3fpentru23

AA

f2fpentru22

AA

ffpentru2

AA

0888

0777

0666

0555

0444

0333

0222

0111

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=π

=ϕπ

=

=π

=ϕπ

=

=π

=ϕπ

=

=π

=ϕπ

=

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=π

=ϕπ

=

=π

=ϕπ

=

=π

=ϕπ

=

=π

=ϕπ

=

În concluzie:

∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ωπ

+=1n

0 2tncos

n1A

2A)t(x - SFA în cosinus – cea de mai sus – sau

( )∑∞

=

π+ωπ

+=1n

0 tnsinn1A

2A)t(x - SFA în sinus.

Spectrul de amplitudini este reprezentat în figura 5.12. Întrucât nu există puncte de trecere prin zero a spectrului, banda semnalului se limitează la

frecvenţa 0nω care asigură 1n A%10A ⋅≤ . Cum n1

AA

1

n = , rezultă că [ ]010;0B ω= .

În figura 5.13 sunt reprezentate două ” reconstituiri” ale semnalului x(t) cu ajutorul

armonicelor sale, adică ∑=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ωπ

+=N

1n0 2

tncosn1A

2A)t(x : în figura 5.13a cu ajutorul

armonicelor din banda considerată (primele 10, adică 10N = ), iar în figura 5.13b cu

|An|

|A1|

|A2| ….

A0

nf0

Fig. 5.12: Spectrul de amplitudini al semnalului ” dinte de fierăstrău”

5.16

ajutorul a 100 armonici, adică 100N = (ceea ce ar fi echivalent cu a mări banda la intervalul frecvenţelor în care 1n A%1A ⋅≥ ). Observaţie În cazul semnalelor fără simetrii, este de multe ori utilă o transformare de variabilă care să simetrizeze semnalul. De exemplu, în cazul de faţă, transformarea:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

−=

2Axx2Ttt

'

'

face ca semnalul să devină impar, fiind reprezentat în figura 5.14 şi având expresia analitică:

2Ttpentrut

TA)t(x '''' <=

Orice translaţie pe axa timpului (abscisa) nu afectează spectrul de amplitudini, ci numai spectrul de faze. În schimb, translaţiile pe axa semnalului (axa ordonatelor) afectează spectrul de amplitudini, şi anume, modifică valoarea componentei continue. În acest caz, componenta continuă devine 0A0 = , celelate rămânând neschimbate, după cum se poate verifica prin calcul. În cele ce urmează se va justifica această afirmaţie prin reconstituirea semnalului din figura 5.14 cu ajutorul relaţiei

∑=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ωπ

=N

1n

'0

''

2tncos

n1A)t(x (se vede că expresia x(t) din care lipseşte componenta

continuă). Semnalul x’(t’) reconstituit este prezentat în figura 5.15.

t

1 2 3 4 5

5

10

x(t)

t1 2 3 4 5

5

10

x(t)

a) b)

Fig. 5.13: Semnalul periodic cu T = 1s şi:

a) N = 10; b) N = 100.

∑=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ωπ

+=N

1n0 2tncos

n1A

2A)t(x

Fig. 5.14: Semnalul “dinte de fierăstrău” periodic şi impar 2A

−

x’(t’)

t’ 2A

2T

−

2T

Fig. 5.15: Semnalul “dinte de fierăstrău” periodic şi impar, reconstituit cu primele sale 10 armonici

1 2 3 4 5

5

5

x’(t’)

t’