INTEGRALE MULTIPLE

9.1.4. Definiia i proprietile integralei triple

Integrala tripl se definete la fel ca integrala dubl, domeniul compact msurabil D R2 fiind nlocuit cu un domeniu compact msurabil R3. Reamintim c un domeniu compact din R3 a crui frontier este imaginea unei suprafee netede pe poriuni este msurabil Jordan (are volum). n continuare vom considera numai domenii de acest fel.

Definiia 9.1.4.1. Fie R3 un domeniu compact msurabil. Se numete diviziune a domeniului , o familie d = {1, 2, , n} de mulimi cu urmtoarele proprieti:fiecare mulime i este domeniu compact msurabil; n

b) i ;

i1

c) dac i j, atunci i j = ( i reprezint interiorul mulimii i).

Se numete norma diviziunii d, numrul :

||d|| = max {d(i); i = 1, 2, , n}, unde d(i) reprezint diametrul mulimii i .

Notm cu D mulimea tuturor diviziunilor domeniului .

Definiia 9.1.4.2. Fie R3 un domeniu compact msurabil Jordan i

f : R o funcie mrginit; fie d = {1, 2, , n} o diviziune a domeniului . Pentru fiecare i{1, 2, , n} fie mi=inf f(i) in

Mi=sup f(i) Suma sf(d) = mi v(i ) se numete suma inferioar Darboux asociat funciei f ii1

diviziunii d, iar suma

n

Sf(d) = M i v(i ) se numete suma superioar Darboux (cu v(i) s-a notat volumul domeniului i).i1Se numete integrala inferioar Darboux a funciei f pe domeniul , numrul :

I = sup {sf(d); dD }iar numrul

I = inf {Sf(d); dD }

se numete integrala superioar Darboux a funciei f pe domeniul . Funcia f se numete integrabil pe

domeniul n sensul lui Darboux, dac integrala inferioar Darboux coincide cu integrala superioar. Valoarea lor comun se numete integrala tripl a funciei f pe domeniul compact n sensul lui Darboux.

Definiia 9.1.4.3. Fie R3 un domeniu compact msurabil i f : R o funcie arbitrar; fie d = {1, 2, , n} o diviziune a domeniului . Pentru fiecare i{1, 2, , n}, fie i i arbitrar; mulimea de puncte = { 1, 2, , n} se numete sistem de puncte intermediare. Suma:n

f(d, ) = f (i ) v(i )i1

se numete suma Riemann a funciei f corespunztoare diviziunii d i sistemului de puncte intermediare. Funcia f se numete integrabil pe domeniul compact n sensul lui Riemann, dac exist IR nct, pentru orice > 0, exist > 0 astfel ca, pentru orice d D cu ||d|| < i pentru orice sistem de puncte intermediare, s avem:| f(d, ) - I| < .

Numrul real I, a crei unicitate se dovedete imediat, se numete integrala funciei f n sensul lui

Riemann pe domeniul compact .

Observaia 9.1.4.1. n definiia 9.1.4.3. nu este necesar s presupunem funcia f mrginit. Dac ns presupunem c domeniul are diviziuni de norm orict de mic, se poate demonstra c orice funcie integrabil Riemann pe un asemenea domeniu este mrginit. De aceea, n continuare, vom considera numai funcii mrginite.

Teorema 9.1.4.1. Fie R3 un domeniu compact msurabil i f : R o funcie mrginit. Urmtoarele afirmaii sunt echivalente:

f este integrabil n sens Darboux pe ; pentru orice > 0, exist dD nct Sf(d) sf(d) < ; pentru orice > 0, exist > 0, nct pentru orice dD cu ||d|| < , avem Sf(d) sf(d) < ; f este integrabil n sens Riemann pe .

n caz de integrabilitate, I = I = I ; de aceea, n cele ce urmeaz, ne

vom referi la funcii integrabile pe domeniul compact i la integralele triple, fr a mai preciza sensul i vom nota :

I = f (x, y, z)dxdydz .Cea mai important consecin a teoremei precedente este integrabilitatea funciilor continue.

Teorema 9.1.4.2. Fie R3 un domeniu compact msurabil Jordan i

f : R o funcie mrginit. Dac mulimea 1 a punctelor de discontinuitate ale funciei f este de msur Jordan nul (de volum nul), atunci f este integrabil pe .

Proprietile integralelor duble se reformuleaz pentru integralele triple. De exemplu:

Teorema 9.1.4.3. (Formula de medie pentru integrala tripl)

Dac funcia f este integrabil pe domeniul compact msurabil i m = inf f(), M = sup f(), atunci exist [m, M] nct:

f (x, y, z)dxdydz = v().

Dac f este continu pe , atunci exist (, , ) nct:

f (x, y, z)dxdydz = f(, , ) v().

9.1.5. Calculul integralelor triple

Teorema 9.1.5.1. Fie = [a1, b1] x [a2, b2] x [a3, b3] i f : R o funcie integrabil pe . Fie D = [a1, b1] x [a2, b2]. Dac pentru fiecare (x, y) D exist:b3

F(x, y) = f (x, y, z)dz ,a3

atunci funcia F: DR astfel definit este integrabil pe D i are loc egalitatea:

f (x, y, z)dxdydz= F (x, y)dxdy

Dcare se mai scrie:

b3f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dzdxdy .Da

3

Observaia 9.1.5.1. Schimbnd n teorem rolul variabilelor, se pot obine nc dou formule analoage prin care calculul integralei triple pe un paralelipiped se reduce la calculul unei integrale duble i al uneia simple.

Teorema 9.1.5..2. Fie R3 un domeniu compact msurabil, simplu fa de axa Oz: ={(x, y, z) R3: 1(x, y) z 2(x, y); (x, y) D}, D R2 fiind domeniu compact msurabil, 1, 2 : DR sunt funcii declas C1 pe D (orice paralel la axa Oz intersecteaz frontiera lui n cel mult dou puncte). Dac funcia

f: R este integrabil pe i pentru orice

(x, y) D funcia z f(x, y, z) este integrabil pe intervalul

~

[1(x, y), 2(x, y)], atunci funcia F: DR ,

~2 ( x, y )

f (x, y, z)dz este integrabil pe D i are loc egalitatea:

F (x, y) =

1 ( x, y )

~

f (x, y, z)dxdydz= F (x, y)dxdy

D

2( x, y )

adic : f (x, y, z)dxdydz= f (D

1 ( x, y )

x, y, z)dzdxdy

Observaia 9.1.5.2. Dac domeniul compact msurabil este simplu fa de Ox sau Oy, se stabilesc dou formule asemntoare, schimbnd rolul variabilelor. Dac nu este n nici una din aceste situaii, se descompune ntr-un numr finit de subdomenii compacte, fr puncte interioare comune i care s fie n unadin situaiile de mai sus. Se aplic apoi proprietatea de aditivitate fa de domeniu.

Teorema 9.1.5.3. (Teorema schimbrii variabilelor n integrala tripl)

Fie , * R3 domenii compacte msurabile i T: * o transformare punctual (u, v, w)

T(x, y, z) cu jacobianul nenul n interiorul domeniului * i astfel nct T(*) = . Fie f: R o funcie continu. Atunci are loc egalitatea:

f (x, y, z)dxdydz= = f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))

D(x, y, z)

dudvdw

D(u, v, w)

*

Observaia 9.1.5.3. Transformarea T se alege n funcie de forma ecuaiilor suprafeelor care constituie frontiera domeniului . Alegerea este bun dac noul domeniu * este mai simplu, adic dac integrala tripl pe *, obinut dup aplicarea formulei, se descompune mai uor ntr-o integral dubl i una simpl.

9.1.6. Aplicaii ale integralelor triple

9.1.6.1. Calculul volumelor

Dac R3 este un domeniu compact a crui frontier este reuniunea imaginilor unui numr finit de suprafee netede, atunci volumul lui este dat de

v() = dxdydz .

9.1.6.2. Calculul maselor i al coordonatelor centrelor de greutate

Dac domeniul compact msurabil R3 reprezint un corp material, iar funcia continu : R+ reprezint densitatea corpului, atunci masa acestui corp este dat de:

masa () = (x, y, z)dxdydz ,

iar coordonatele centrului su de greutate sunt:xG =1

x(x, y, z)dxdydz ,

masa()

yG =

1

y(x, y, z)dxdydz ,

masa()

zG =

1

z(x, y, z)dxdydz .

masa()

9.1.6.3. Momente de inerie

Momentele de inerie ale unui corp material reprezentat prin domeniul compact msurabil R3 de densitate : R+ sunt:

IO = (x 2 y 2 z 2 )(x, y, z)dxdydz

IOxy = z 2 (x, y, z)dxdydz

IOyz= x 2 (x, y, z)dxdydz

IOxz = y 2 (x, y, z)dxdydz

IOx= ( y 2 z 2 )(x, y, z)dxdydz

IOy= (x 2 z 2 )(x, y, z)dxdydzIOz= (x 2 y 2 )(x, y, z)dxdydz