consultatie 2016-01-16 analiza matematica

7/25/2019 Consultatie 2016-01-16 Analiza Matematica

1/28

Universitatea Politehnica din Bucuresti

CONSULTATIE

MATEMATICA 1

Alexandru NEGRESCU

Alexandru Negrescu (UPB) 16 ianuarie 2016 1 / 28
http://find/


2/28

1 Suprafete parametrizate si ariile acestora

Suprafete parametrizate

Plane tangente

Aria unei suprafete parametrizate

Integrarea functiilor scalare

Integrarea functiilor vectoriale

Integrarea 2-formelor diferentiale

2 Formule integrale

Formula Riemann-Green

Formula Gauss-Ostrogradski

Formula lui Stokes

3 Bibliografie si recomandari

http://find/


3/28

Suprafete parametrizate si arii le acestora Suprafete parametrizate


1. Parametrizati elipsoidul de ecuatie

9x2 + 4y2 + z2 = 36.

http://find/


4/28



Parametrizarea unei suprafeteeste data de o functie :D R2 R3.SuprafataSce corespunde functiei este imagineaS= (D). Astfel,

(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

iar ecuatiile parametrice ale suprafeteiSsunt:

x=x(u, v),

y=y(u, v),

z=z(u, v),

unde(u, v)D.

http://find/


5/28



2. Parametrizati conul de ecuatie

z = 2

x2 + y2.

http://find/


6/28

Suprafete parametrizate si arii le acestora Plane tangente

Plane tangente

3. Aflati ecuatia planului tangent n punctul (2, 3, 0)la suprafataparametrizata astfel:

x= u + v,y= 3u2,

z=u v.UCLA

http://find/


7/28

Suprafete parametrizate si arii le acestora Plane tangente

Plane tangente

Presupunem caeste diferentiabila n(u0, v0) R2. Fixandu=u0,obtinem o functie de la R R3 data dev(u0, v), a carei imagineeste o curba pe suprafataS.

Vectorul tangent la curba n punctul (u0, v0)este

Tv = x

v(u0, v0)i +

y

v(u0, v0)j +

z

v(u0, v0)k.

Analog,

Tu= xu

(u0, v0)i + yu

(u0, v0)j + zu

(u0, v0)k.


S f i i ii l A i i f i
http://find/


8/28

Suprafete parametrizate si arii le acestora Aria unei suprafete parametrizate


4. Aflati aria conului parametrizat astfel:

x= r cos t,y=r sin t,

z=r,

unde0

r

1 si0

t

2.


S f t t i t i ii l t A i i f t t i t
http://find/


9/28



Aria suprafeteiSeste egala cu

A(S) =S

d=

D

Tu Tv dudv,

unde Tu Tveste norma vectorului Tu Tv.


Suprafete parametrizate si ariile acestora Aria unei suprafete parametrizate
http://find/http://goback/


10/28



5. Calculati aria paraboloidului de ecuatiez=x2 + y2, undez[0, 4].


Suprafete parametrizate si ariile acestora Aria unei suprafete parametrizate
http://find/


11/28



Daca suprafataSeste parametrizata:

x=x,

y=y,

z =f(x, y),

cu(x, y)D, atunci aria acesteia este egala cu

A(S) =D

1 +

fx

2+f

y2

dxdy.


Suprafete parametrizate si ariile acestora Integrarea functiilor scalare
http://find/


12/28

Suprafete parametrizate si arii le acestora Integrarea functiilor scalare


6. Calculati integrala

Syz d,

unde suprafataSeste portiunea din paraboloidul de ecuatie

x2 + y2 = 6z, cuz[0; 2].


Suprafete parametrizate si ariile acestora Integrarea functiilor scalare
http://find/


13/28

Suprafete parametrizate si arii le acestora Integrarea functiilor scalare


S

f(x,y,z) d =

D

f((u, v))Tu Tv dudv

S

f(x,y,z) d =

D

f(x,y,g(x, y))

1 +

g

x

2+

g

y

2dxdy


Suprafete parametrizate si ariile acestora Integrarea functiilor vectoriale


14/28

Suprafete parametrizate si arii le acestora Integrarea functiilor vectoriale


7. Aflati fluxul campului de vectoriF(x,y,z) =xi + yj + zkprinportiunea paraboloiduluiz =x2 + y2 1, cu1z0, orientata nsus.


Suprafete parametrizate si arii le acestora Integrarea functiilor vectoriale
http://find/


15/28

p p g


FieF un camp vectorial sinversorul normalei indus de suprafata

parametrizata. Fluxulcampului de vectoriFprin suprafataS(n raport

cu orientarea data de versoruln) esteS

F dS=

D

F((u, v)) (Tu Tv) dudv.


Suprafete parametrizate si arii le acestora Integrarea 2-formelor diferentiale
http://find/


16/28


8. Calculati S

(y+ z) dy dz+ (x + y) dx dy,unde suprafataS:x2 + y2 = 1, cuz[0, 1].


Suprafete parametrizate si arii le acestora Integrarea 2-formelor diferentiale
http://find/


17/28


Consideram 2-forma diferentiala

=P(x,y,z) dy dz+ Q(x,y,z) dz dx + R(x,y,z) dx dy.

Atunci S

=

D

P((u, v))

D(y, z)

D(u, v)+ Q((u, v))

D(z, x)

D(u, v) +

+R((u, v))

D(x, y)

D(u, v)

dudv.


Formule integrale Formula Riemann-Green


18/28


9. Fie campul de vectoriV, de componenteP(x, y) =yx2 siQ(x, y) =xy2. ConsideramD ={(x, y) R2 |x2 + y2 2y


19/28


Teorema Riemann-Green

Fie o curba nchisa, simpla, neteda, orientata pozitiv, siDregiunea

marginita deC. DacaP siQsunt de clasaC1 peD, atunci

Pdx + Q dy =

D

Q

x P

y

dxdy.


http://find/


20/28


10. Calculati aria suprafetei plane marginite de astroida

x(t) =a cos3 t,y(t) =a sin3 t,

cua >0.


http://find/


21/28


A(D) =C

x dy= C

y dx=12

C

x dy y dx


Formule integrale Formula Gauss-Ostrogradski
http://find/


22/28


11. Folosind formula Gauss-Ostrogradski evualuati fluxul campului de

vectori

F=ey2 i +

y+ sin

z2

j + (z 1)kprin emisfera superioaraS :x2 + y2 + z2 = 1,z0, orientata laexterior.


Formule integrale Formula Gauss-Ostrogradski
http://find/


23/28


Teorema Gauss-Ostrogradski

Fie R3 un compact elementar cu frontiera o suprafata nchisasiF= Pi + Qj + Rkun camp vectorial de clasaC1 pe un deschis carecontine. Atunci fluxul lui Fprin dupa normala exterioaranesteegal cu integrala divergentei luiFpe, i.e.,

F n d=

div F dxdydz=

P

x +

Q

y +

R

z dxdydz.


Formule integrale Formula lui Stokes
http://find/


24/28

Formula lui Stokes

12. Consideram curbaCobtinuta prin intersectia cilindruluix2 + y2 = 1

cu planulz =x, orientata trigonometric. FieSsuprafata planamarginita de aceasta curba, orientata n sus. Verificati teorema lui

Stokes pentru campul vectorialF=xi + zj + 2yk.


http://find/


25/28

Formula lui Stokes

Teorema lui Stokes

FieS R3 o portiune de suprafata elementara de clasaC2 siCbordul

orientat nchis al suprafeteiS

. FieF

un camp vectorial de clas

a

C1

peun deschis din R3 care contineS. Atunci circulatia luiFde-a lungul

curbeiCeste egala cu fluxul rotorului lui F prinS, i.e.,

CF dr= Srot F n d.


http://find/


26/28

Formula lui Stokes

rot F = F= i j kx

y

z

P Q R

=

R

y Q

z

i +

P

z R

x

j +

Q

x P

y

k


Bibliografie si recomandari
http://find/


27/28


L.-T. Costache,Analiz a matematic a. Culegere de probleme, Ed.Printech, 2009.

O. Stanasila,Analiz a matematic a, Fundatia Floarea Darurilor, 2014.

A. Halanay, R. Gologan, D. Timotin, Elemente de analiz a matematic a,

Ed. Matrix Rom, 2003.

J. E. Marsden, A. J. Tromba, Vector Calculus, W. H. Freeman andCompany, 2003.

M. Olteanu,Analiz a matematic a. Notiuni teoretice si probleme rezolvate,Ed. Printech, 2004.

J. Stewart,Calculus, Sixth edition, Brooks/Cole, Cengage Learning,2009.


http://find/


28/28

Va multumesc pentru atentie!

http://find/

consultatie 2016-01-16 analiza matematica

Documents