analiza cu raspunsuri

Analiza matematica

Subiecte posibile Anul 1, semestrul 1, 2008/2009

Bibliografie 1. R. Trandafir, I. Duda – Elemente de analiza matematica. Culegere de probleme, Editura Fundatiei Romania de Maine; 2. I. Duda – Elemente de analiza matematica, Editura Fundatiei Romania de maine

3. Duda I., Gradinaru S. – Calcul integral cu aplicatii, Editura Fundatiei România de Mâine Teorie

1. Sa se studieze natura urmatoarelor serii:

a) seria armonica∑+∞

=1

1

n n

b) seria geometrica

c) seria armonica generalizata ∑+∞

=1

1

n nα unde R∈α

La partea de teorie se va verifica cunoasterea definitiilor si enunturilor de teoreme, propozitii, leme, corolarii din toate capitolele care se regasesc in programa analitica. Capitolul siruri si serii de numere reale (vezi [1] p. 9-11 si 21-26, respectiv [2] p. 7-39):

- definitiile notiunilor de sir de numere reale, monotonie, marginire, limita unui sir, sir convergent, sir divergent, sir Cauchy

- criterii de convergenta (d. ex. criteriul lui Cauchy, criteriul Cesaro-Stolz, criteriul d’Alembert, criteriul clestelui etc.)

- proprietati ale calculului cu limite de siruri (d. ex. lema lui Cesaro, orice sir monoton si marginit este convergent, trecerea la limita in inegalitati, etc.)

- definitiile notiunilor de serie de numere reale, termen general al unei serii, sirul sumelor partiale, serie convergenta, serie divergenta, serie oscilanta, suma unei serii, rest de ordin p al unei serii, serie alternata, serie absolut convergenta, serie semiconvergenta

- proprietati generale ale seriilor de numere reale; - criterii de convergenta (d. ex. criteriul general al lui Cauchy, criteriul lui Abel, criteriul lui

Leibniz, criteriile de comparatie, criteriul radacinii (Cauchy), corolarul criteriului radacinii, criteriul raportului (d’Alembert), corolarul criteriului raportului, criteriul Raabe-Duhamel, corolarul criteriului Raabe-Duhamel, criterul logaritmic, corolarul criteriului logaritmic.

Capitolul funcŃii reale de o variabilă reală ( vezi [1] p. 39-46):

- definiŃiile noŃiunilor de limită a unei funcŃii într-un punct (definiŃii echivalente), continuitate a

unei funcŃii într-un punct (definiŃii echivalente), continuitate la stânga (respectiv la dreapta), limite laterale, punct de discontinuitate, proprietatea lui Darboux, continuitate uniformă, derivabilitate, derivata unei funcŃii într-un punct, derivate laterale, diferenŃiabilitate

- operaŃii cu limite de funcŃii, criterii de existenŃă a limitelor de funcŃii, criteriul lui Cauchy, legatura dintre continuitate şi proprietatea lui Darboux, legatura dintre continuitate şi continuitatea uniformă, teoremele lui Rolle, Cauchy şi Lagrange, regulile lui l’Hospital

Capitolul serii de funcŃii ( vezi [1] p. 69-72, respectiv [2] p. 39-65):

- definiŃiile noŃiunilor de serie de funcŃii, convergenŃă a unei serii de funcŃii, mulŃime de convergenŃă, convergenŃă simplă, convergenŃă uniformă, rest de rang n

- criterii de convergenŃă pentru serii de funcŃii, criteriul lui Cauchy, criteriul lui Weierstrass, continuitatea, derivabilitatea şi integrabilitatea seriilor uniform convergente

Capitolul serii de puteri (vezi [1] p. 78-80, respectiv [2] capitolul 4, p. 65- )

- definiŃiile noŃiunilor de serie de puteri, rază de convergenŃă, serie Taylor, seria Taylor a unei funcŃii într-un punct, seria Mac-Laurin

- teorema lui Abel, teoremele Cauchy-Hadamard (T. 5.1.3 şi 5.1.4 din [1] p. 79) proprietăŃi ale seriilor de puteri şi ale seriei Taylor

Capitolul integrala Riemann şi integrala Riemann generalizată (vezi [3] capitolele 1 si 2):

- definiŃiile noŃiunilor de primitivă(integrală nedefinită) a unei funcŃii, sumă Riemann, integrală Riemann, integrală Riemann pe interval necompact (integrală Riemann generalizată), integrala în sensul valorii principale

- teorema lui Darboux, teorema Leibniz-Newton, teorema de schimbare de variabilă, proprietăŃi ale primitivelor şi ale integralei Riemann

Siruri, serii (vezi [1] p. 9-11 si 21-26, respectiv [2] p. 7-39) I. Sa se studieze natura seriilor:

1.

2.

3. ∑∞

= −1 )1(

3

nn

n

4. ∑∞

=

+1 5

32

nn

nn

5. ∑

∞

= −12 19

1

n n

6. ∑

∞

= −12

2

19

2

n n

n

7. ∑

∞

=1

2

2arcsin

nn

nπ

8. ∑

∞

=1

2

2nn

n

9. ∑

∞

=1

1arcsin

n

n

n

10. ∑

∞

= ++−

1 25

2)1(

n

n

n

11. ∑

∞

=

−1

1)1(

n

n

ntg

12. ∑

∞

=0 !

2

n

n

n

13. ∑

∞

=1 2nn

n

14. ∑

∞

=

+1 !

)1(2

n

n

n

n

15. ∑

∞

= ⋅1 3

1

nnn

16. ∑

∞

=1

2

)!2(

)!(

n n

n

=este divergenta deoarece este serie cu termeni strict pozitivi

=este divergenta

=este divergenta, deoarece termenul general nu tinde la 0

=este divergenta, din criteriul raportului

=este convergenta din criteriul raportului





=este divergenta

=este serie alternata

=este convergenta deoarece 1lim 1 <+

∞→n

n

n a

a

17. ∑

∞

=2 )(ln

1

nnn

18. ∑

∞

=

+1

2

11

n

n

n

19. ∑

∞

=

+

+1

1

)12(nn

n

n

n

20. ∑

∞

=

−

1

)(n

nnarctg

21. ∑

∞

=

−

2

)(ln

n

n

n

n

22. ∑

∞

=

⋅1n

nn α unde R∈α

23. ∑∞

=12

sin

n n

n

II. Sa se calculeze urmatoarele limite:

1. nn

1lim

∞→

2. 7

12lim

2

2

+++

∞→ n

nnn

3. 117

23lim 38 −+

+∞→ nn

nn

4. )14(lim 2 nnn

n−−+

∞→

5. )2144(lim 2 nnn

n−−+

∞→

6. )53364(lim 3 23 nnnn

−+−∞→

7. nn

nn

n 21352

31147lim

⋅+⋅⋅−⋅

∞→

8. n

tgn

1lim

∞→

9. ntgn

n

1lim ⋅

∞→

10.

n

nn

∞→lim

11. Aplicand criteriul clestelui calculeaza limita sirului

nnnnan +

+++

++

= 222

1...

2

1

1

1

12.

= 0

= 0

= 2

8=+= 1

8= -= 0

= 0

= 1

= 1

= 01_2=

=este convergenta din criteriul radicalului

=este divergenta din criteriul radicalului

=este convergenta din criteriul radicalului

=este convergenta din criteriul radacinii

=este convergenta din criteriul radacinii

=seria este convergenta pentru |a |< 1 si divergenta pentru |a |= 1

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23. cand

24. daca

25. , daca

26. daca

27.

28. daca

29.

30.

31. , daca

32.

5_11=

= 15_6=

= 0

= 0

= 0

= 0

= 0

= 0

= 0

= 0

= 0

= 0

= 0

= 0

= 0

= 0

8=+

8=+

8=+

33.

34.

35.

36. Determina limita sirului


38.

Determina limita sirului ,


40.

Determina limita sirului ,


42.

Determina limita sirului

43.


44.


45.


III.

1. Se considera sirul de numere reale cu termenul general . Sa se

studieze natura sa.

2. Se considera sirul de numere reale cu termenul general .*,)1(1 1

Nnn

xn

n ∈−+=+

8=+

8=+

8=+

=0

=403

v__e=

=e1_e=

8=+

=e

=e2

=e3

=alfa la puterea 2 / beta

=este strict descrescator, marginit superior, convergent

=nu este monoton, este marginit, este divergent

Sa se studieze natura sa. 3. Se considera sirul de numere reale cu termenul general

*,sin

...2

2sin

1

1sin222 Nn

n

nxn ∈+++= . Sa se studieze natura sa.

4. Se considera sirul de numere reale cu termenul general

*,1

...3

1

2

11 Nn

nxn ∈++++= . Sa se studieze natura sa.

5. Se considera sirul de numere reale cu termenul general *,cos2

Nnn

nxn ∈= . Sa se

sudieze natura sa.


*,1

...2

1

1

1222

Nnnnnn

xn ∈+

+++

++

= . Sa se sudieze natura sa.


*,1

)cos1( Nnn

nnxn ∈

++= π . Sa se sudieze natura sa.

8. Se considera sirul dat prin 12 +

=n

nx

a

n . Sa se determine a astfel incat sirul

sa fie convergent.

9. Sa se calculeze suma seriei ∑∞

= +1 )1(

1

n nn

10. Se considera sirul dat prin 3

222 ...21

n

nxn

+++= . Sa se determine (daca exista )

limita sa.

11. Fie a un numar real. Se considera seria ∑∞

=

−1

)1(

na

n

n. Sa se studieze natura sa.

12. Sa se calculeze limita sirului dat prin nnxn −+= 100 .

=nu este un sir Cauchy (sir fundamental), este un sir divergent.

=nu este un sir Cauchy (sir fundamental), este un sir convergent

=este un sir convergent 0lim =∞→ n

nx

=este un sir convergent, 1lim =∞→ n

nx

=este un sir convergent, 0lim =nx

=sirul este convergent daca si numai daca 2≤a .

=1;

=sirul este divergent.

=seria este convergenta daca si numai daca 1>a ;

=0

Continuitate derivabilitate ( vezi [1] p. 39-46)

I.

1 Fie functia

>≤+

=0

0,3)(

xae

xxxf x

. Sa se determine a astfel incat f sa fie continua.

2. Fie a si b numere reale. Se defineste functia prin

≥<+

=0

0,)( 2 x

x

daca

daca

x

baxxf . Sa se determine a si b astfel incat f sa fie derivabila pe ℝ .

3. Fie Rf →∞),0(: , 2

1)(

xxf = si fie n un numar natural nenul. Sa se calculeze, in caz ca

exista ( ) ( )nf x . 4. Fie RRf →: , definita prin ||)( xxf = . Sa se stabileasca domeniul unde f este continua, respectiv unde f este derivabila. 5. Sa se determine astfel incat functia sa fie continua. unde

6. Sa se determine astfel incat functia sa fie continua. unde

7. Sa se determine astfel incat functia sa fie continua. unde

8.

Sa se determine astfel incat functia sa fie continua. unde

9.


10.


= 3

=functia f este derivabila daca si numai daca a=b=0. 2)( )!1()1()( −−+−= nnn xnxf pentru orice Rx∈ ; =

=2

=2

=1

=0

=1

=5

11.


12.

Sa se determine astfel incat functia sa fie continua, unde

si

13. Fie functia , . Sa se scrie ecuatia tangentei la graficul lui f in origine.

14. Se considera functia , . Sa se scrie ecuatia tangentei la graficul lui f in

punctul de abscisa .

II. Calculeaza urmatoarele limite

1. x

xx

2sinlim

0→

2. x

x

x

14lim

0

−→

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

=1

=a

=

=

= -1

=

= 8

= 8

= 8

= 1 = + 8

10.

11. , daca

12.

13.

14.

III. Sa se calculeze derivatele urmatoarelor functii:

1. ,

2. ,

3.

,

4.

,

5. , .

6. ,

7. , , .

8. ,

9. ,

10. , , .

11. ,

= + 8

=

= a-b

==

==

==

=

==

==

12. ,

13. ,

14. , , , .

15. ,

16. ,

17. ,

18. ,

19.

,

20. , ,

21. , 22. ,

23. ,

24. .

25. ,

26. ,

27. ,

28. ,

29. ,

30. ,

31. ,

32. ,

33. ,

34. ,

==

===

==

=

===

==

==

==

==

==

==

35. ,

36. ,

37. :f →ℝ ℝ , ( ) sin cosnf x x nx=

38. :f →ℝ ℝ , ( ) sin sinnf x x nx=

39. :f →ℝ ℝ , ( ) cos sinnf x x nx=

40. :f →ℝ ℝ , ( ) cos cosnf x x nx=

41. ,

42. ,

43. ,

44. , ,

45. ,

46. ,

47. ,

48. ,

49. ,

50. ,

51. ,

52. , ,

53. , , .

54. ,

55. ,

56. ,

57. ,

58. ,

59. ,

60. ,

61. ,

62. ,

63. ,

64. ,

==

==

==0

====

===

==

==

====

==

==

=

65. ,

66. ,

67. ,

68. ,

69. ,2 2

( ) b xf x ae−= ,

70. ,

71. ,

72. ,

73. ,

==

==

===

==

Serii de funcŃii ( vezi [1] p. 69-72, respectiv [2] p. 39-65)

1. CalculaŃi domeniul de convergenŃă al seriei 2n

n 1

1

1 x

∞

= +∑

2. Să se determine mulŃimea de convergenŃă pentru seria de funcŃii n n

n 1

n 1 1 x

n 1 2x

∞

=

+ − −

∑

3. Să se determine mulŃimea de convergenŃă pentru seria de funcŃii ( )

( )

nn 2

2n 2

1 1 x

n 1 x

∞

=

− −⋅ + ∑ ln

4. Să se determine mulŃimea de convergenŃă pentru seria de funcŃii

( )( )( ) ( )1 11

3 n2

n 1

2 x 2 x 2 x 2 x x 0∞

=− − − − >∑ ... ,

5. Să se determine mulŃimea de convergenŃă pentru seria de funcŃii ( )n

n xn 1

n 1

n

∞

+=

+∑

6. Să se determine mulŃimea de convergenŃă pentru seria de funcŃii ( )n

n nn 1

axa 0 x 0

a x

∞

=> >

+∑ , ,

7. Să se determine mulŃimea de convergenŃă pentru seria de funcŃii n2

2n 1

2n 5 x

2x 17n 3n 2

∞

=

+ ⋅ + + +∑

8. Să se determine mulŃimea de convergenŃă pentru seria de funcŃii n

nn 1

x2

3

∞

=

∑ sin

9. Să se studieze natura convergenŃei seriei de funcŃii ( ) [ ]

xx

n 1

n n 1x 0 1

1 x n n 1

∞

=

−− ∈ + + +

∑ , ,

10. Să se studieze natura convergenŃei seriei de funcŃii ( )

( ) [ ]n 1

nx n 4 xx 0 1

1 n x 1 n 1 x

∞

=

−− ∈ + + + − ∑ , ,

Serii de puteri (vezi [1] p. 78-80, respectiv [2] capitolul 4, p. 65-)

1. StudiaŃi convergenŃa seriei de puteri 2 31 1x x x

2 3+ + + ...

2. Să se studieze convergenŃa seriei ( )n

2n 1

1x 2

n

∞

=−∑

3. Să se determine mulŃimea de convergenŃă şi suma următoarei serii de

puteri ( )n

n 1

n 1

x1

n

∞+

=−∑

4. Să se determine mulŃimea de convergenŃă şi suma următoarei serii de

puteri ( )2n 1

n

n 1

x1

2n 1

+∞

=−

+∑

5. Să se dezvolte în serie de puteri funcŃia ( ) xf x e= , precizându-se şi domeniul pe care este valabilă dezvoltarea.

6. Să se dezvolte în serie de puteri funcŃia ( ) ( )sinf x x= , precizându-se şi domeniul pe care este valabilă dezvoltarea.

7. Să se dezvolte în serie de puteri funcŃia ( ) ( )f x 1 xα α= + ∈ℝ, , precizându-

se şi domeniul pe care este valabilă dezvoltarea.

8. Să se arate că functia ( ) ( ) 1 xf 1 1 f x

1 x

+− → =−

ℝ: , , ln este dezvoltabila în

serie de puteri şi să se găsească această dezvoltare, stabilindu-se şi intervalul pe care este valabilă dezvoltarea.

9. Să se arate că functia { } ( )2

3xf 2 3 f x

x 5x 6− − → =

+ +ℝ ℝ: \ , , este dezvoltabila

în serie de puteri şi să se găsească această dezvoltare, stabilindu-se şi intervalul pe care este valabilă dezvoltarea.

10. Să se dezvolte în serie de puteri funcŃia ( ) xf x 2= .

11. Să se dezvolte în serie de puteri funcŃia ( ) 2xf x e−= .

Integrala Riemann (vezi [3] capitolele 1 si 2)

I. Sa se calculeze urmatoarele integrale definite

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. ,

9.

10.

11.

12.

==

=0

=

=1

=2=

===

=

=

13.

2

ln

e

e

dx

x x∫

14.

15.

16.

17.

18.

19. 2

2a

ax dx∫

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29. ,

=ln2

==1=

=40=4a====31,5=

=4=0

==52=

=

30.

31.

4 2

0sec x dx

π

∫

32.

33.

32

12

21

dx

x−∫

II. Sa se determine urmatoarele primitive:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

==1

==

==

====

==

==

===

=

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22. ,

23. III.

1. Utilizand integrala definita sa se calculeze limita pentru *p∈ℕ .

2. Utilizand integrala definita sa se calculeze limita

3.

Utilizand integrala definita sa se calculeze limita

====

==

==

=

===1

analiza cu raspunsuri

Documents