INVATAMINTULUI MrNlsrERUt Acod. M. NICOIESCU

N. D!f'ICULEANU

A EDITIAPATRA

':";

py

qUF.

I It

A PREFATA EDITIA IREIA LA

\.

Ed,ilia a treia a. aol'urnutrui I atr ruanwalulwi de analizd. maternaticd Am linwt totwpi nu, prezintd. ntodificd.ri structwralefald. d,eed,ilia preced'entd.. datorite autorilor, ctt;i sd i.ndreptdrnpe ci.t posibil ati,t eroril'e gi scd'fd'ril'e erorile d,etipar. Am profitat de acest prilei ca sd. simpliJicd'm prezentarea unor capitole, precwm si unele demonstralii. In, acel,api timp arn cd.utat sd' aplicd.m gi nra.i comsecaent mai ad;i,ncit conceptwl general, d,efunclie introdot's chiar la inceputul, rnanualului la stud'iwl aplicaliilov I'ui' R saw R2 i'n Rz sau R3, aga-numitelor funclii uectoriale. priai.te ca spalii aectorial,e,ad,icd.La stwd,iwl, c6t'2, ;i in cazwl'apl,icaliilor nuvne' cd Era natural, ca sd.d'd.m i'n acest ;i rice, o interpreture fizicd. d'eriaatei i,ntii ;i deriuatei a doua. In acest rnod,, studentwl,este mai bine pregd.tit sd abordezestud,iile ulterioare de geometrie satt, de mecanicd.. Este probabil, cd. i,n aceastd.ed'i[ie se aor strec%rclalte erori. Vorn fi colegil'orca.rene aor sernnala I'ipswril,ede orice fel', aiutind'u'ne recunoscd.tori astfel sd ne i.mbund.td.limcontinuw Prezentarea manwalwlwi.AUTORII

PREFATA EDITIA DOUA LA A

Interaal,ul, de tirnp foarte scurt la care aceastd ed,,itie u,rmeazdprirnei edili'i nu ne-a i'ngd'duit sd reflectdm prea rnotlt asupra twtwror i.mbunritdtirilor ce s-ar fi pwtut aduce tn redactarea;i prezentareamaterialului din acestaolum ;i nici nu ne-a perm'is sd culegetnobseraaliile fdczile de cititori. Cw toate Aceste&, Procedatla unele modificdri pe care le-am crezut absoam pentrw mai buna Lnlelegere Jenomenelor a l,wt necesare tnatenzat,ice l>rezentate. se Astfel, stwdiul girwrilor conaergente prez,intdmai sistetnaticdacd estepres,irurilor c&re conl)erg cd,tre cedatde stwdiwl, zero. Am'introdws 6n noua editie acest stwdiu prel,irninar. De asemenea,stud'iul fwncliitror 'integrabile Riemann a fost completat Prezentareaacestwicriteriu Gyeun cu teoremade ecltiaalenlda lui Lebesgue. interes gtiinliJic deosebit: pe de o farte, cititorwl, capdtd o infornralie precisd asupra structwrii fwncliilor 'integrabi!,eRiemqnn; pe de al,td parte, cyiteriul lwi Lebesgue delim'iteazd.exact dameniul de ,integrare cu rnetoda Riemann. '1900, a oblinut teorema sa d,e In fapt, dupd ce Lebesgue,tn jurul anulwi 'integrabil,itdlii i,n senswl,lui Riernann, a trebu,it sd se gtncaracterizare a d.eascd. un alt lrocedew pentru a extinde integrala Rietnann; gi astfel a la ajuns la integrala care-i poartd. numnle. Din lunct de aedere metodologic, criteriul lui Lebesguepermite sd. se dea dernonstralii rnwlt mai simple tuturor proprietdli.lor priaind funcliile integrabile Riernann ;i calculul cu acestefunclii. Aceste demonstratii figureazd tn edilia de fald.. In afard. de aceste rnodificdri mai 'imPortante, s-aw mai ad,us, de-a l,ungul,i,ntregul,ui curs, wnele mici, indrefitdri gi modificdri l>e care nu le ynai enumerd.rnaici. Toate tnd,reptd.r'ile,addugirile ;i cltiar swprirndlilrc fdcute cu scopwl amel,iord.rii ailt a formei cAt pi a conlinuiulwi nw modificd linia generald

d)

PREFATA

v

ne De a. ma.nual,wlwi. a.cee6r men!'inemrugd.minteacdtre colegii no;tri de specia' scd'pate9i de cd.tre toli cititorii d,e a ne sencnala erorile eaentwal'e I,itate ;i de a ne trimite toate obseraaliile swsceptib'il,e a contribwi I'a o ;i mai bund' brezetttare a acestwi tnanual,'Decembrie, 1962

AUTORII

LA PREFATA EDITIA'/NTIIfi

f,i

expea cartea de fa[d. reprezintd, i.tt cea mai rnare tnd.swrd. sa, fructwl' sd.i.,precu'm ;'i al, unor repetate dezbateri, in rien!.ei didactice e autorilor prezengedi'nlelede colectitt ale catedre'i, aswpra celor rtr'ai bune rnijloace de tor"'o noliunil'ot d,e bazd'ale anal'izei pentrw Intieaga teorie a integralei, ca gi teoria curbelor rectificabil,e, exemfle, poartd. pecetea, a;a' culn sint redactate a nu. rla d,eci,tacested.owd, aici, a discr,tliilor fructuoase purtate i.n colectiail, amintit mai sus. pl'ecare wn In consecinld., manualatl de fa{d., cere ere ca pwnct de de in manual, mai nechi al, unuis. d,intre autorir, se deosebegte mod'sensibdl' acesta. i,n Ex'istd',in llimul ri,nd, o deosebire ordonarearnat.eriei,care a' u,rma'|, in rnanwalul, de fa!d', t'n mod strict, Progratna analiticd" Aceastd.frogramd' este d'iJeritd'de programa d'in 7949, ca gi de cea manual esternai cufrintnsug'iaI actual,wlui d.in 7953.Ca urmare, conl,inwtul zd.tor clectt al aechiulwi manual' prece' a In anii, regimulwi, d,ernocrat-popttlar aawt loc o i'nflorire fd.rd' d,in ce i,n ce rna'i I'argi d.ent a cercetdrii matematice, ca.le & cuprins sectoave puternicd' de ana' ale aceste,ictisciptine. In Particul&r, s-6t creat o gcoald. co'nti.zd.fwnc{ionald. gi topologie, fr'in efortwrile reunite ale catedreloTca're Facwl'tdlii de rnaternaticd. Jizicd' a Uni' ;i stituie ,itAri secyia ie aiatizd. a uersitd.lii d"in Bwcure;ti',lMiron ticE. vol. II, Nicolescu: 1953. lo calcul diferenfial 9i integtal, 1949;2" Anallzd matema-

ile

f i

PREFATA

In dezaol,tarea acestei g'coli, crtrsotl de o.na.lizd, (calcwtwl matemq.ticd d,iferen,tial, integral,) a jucat ;i ua treb+r,isd continue sd,joace un rol de gi bazd. Iatd d,e ce am consideratneces&rsd. dfun o orientare corespunzdtoare acestoti curs, tintnd, - binetnleles - sez,],il,a tradilia creatd,gi ueri,ficatd de frr.n experienla de ati,lia ani d.e la catedva de calcul d,iferenlial ;i integrat. Arn linwt, d,e asem,enea, se&nla de locul, d,in ce in ce rnai irnportant, pe care algebra abstractd. joacd in cercetarea i'l' mateuoaticd actuald,.Metodele algeltrei aw pd.trwns astd.zi tn aproape toate cel,el,qlte d.iscipline tnatentatice. Din acest naotia, dernnrcarea precisd i.ntve cliuerselesectoareal,e actiuitd.lii matenoatice d,euine operalie din ce i,n ce mai grea. o astfet d.edernarcare, o d'acdesteprea net subliniatd.,este chiar ddu,ndtoare id,eii d.ewnitate pe care cercetdtorwl incepdtor trebwie sd. o cap:sted,in studiul d.iversel,or d.isciptine waterm,atice. Toli factorii enwnerali w'tai stts gi,-awad,us contribwlia l,or i,n tnfdtisarea actuald.a curswlwi. O consecinld, acestuifapt o constitwie,d,eeiema plu, lwnerea i.n acord a terncinologiei. wtilizate i,n curs cu terrninologi,a in uz 6n cercetarea actuald, frecwrn 9i ottilizareafrecaentd a limbajwlwi aectayisl, care are dwblu aaantuj : d,e a si,w'tplifi,ca prezentarea ;i d,e a i.nl,esni drumttl st're analiza fwnclional,d. Volwnwl acestui curs poate apd.reaprea mare fald d.enumd.rul d,e ore prin progratna actwald. atribuit analizei rnatenoatice Am fi putwt foarte bine sd.prezentfunacestcurs ca o reprod,ucere fid.etd a lec!.iilor orale, l,ucru ca.re &r fi noicgorat (nu prea mwlt, totu;i) volumul acestu'icurs. Considerd.rn insd cd clacd.aceastd. rnetodd. foate susline cu se argwrnente valabile, pentru un cwrs d.e speci,aliz&re, dev'inede-a d,reptwl, ea ddundtoare,i,n cazwl, wnwi cwrs fundarnental. Dacd profesorwl, d.i.nlipsd. d,e timp sau pentru n+otiae ordin pedagogic, d.e gdsegte cale sd prezimle,i,ntr-o cw leclie aorbitd, nwrnai li,niile general,eale wnui ralionament, stud.entul, trebwie sd poatd gd.si tn ynamualralionarnentu,l, expus in toate d,etaliil,e. Mai rnalt d,ecitatit, otn adeudrat manual, consacyatotnei rnaterii fwnd,amental,e trebuie sd poatd,serui stwd,entwlwi;i d,upd. trecered. exa?nenel,or respecti,ne, o carte cct de referinld,, analogd unwi ,,diclionar politehnic" pentrw wn inginer. Intrucit aceastd.carte este d,estinatd.stwdenlil,or,awtoyii si,nt i,nteresa,t'i i,mcea mai mq.rerndsurd,sd cunoascd, rezu,ltatele exparienleifd.cwtecu yn&mualwl, de fald. la cel,el,al,te institulii d,e i.nud.ld.ntintsvtperior; ei aor Prirni cu recuna;tinld toate obseraaliilecare aor cantribwi la i.wbwnd.td.lirea euentnal,elor edilii urmd.toare.AUTORII

Copitolul l

MULTTMT FUNCTII $r

$ L A p o r t e n e n l d , i n c l u z i u n e ,p o r l i l e u n e i m u l l i m i punct de uedere.naiz-inexpunerea noliurrilor Vom adopta aga-numituT din teoria muilimilbr, adic6 vom da noliunilor fundamentale-, mulfirne, relafie, proprieiate, corespondenfl etc., inlelesul pe care-l au in limbajul obignuit.

t-

1. Exemple e mullimi d Denumirile mulfime, gr5madS, ansamblu, colectie slnt sinonime" Iatb citeva exemple de mullirni concrete: 1) Mu1limea oamenilor de Pe glob. 2) Mullimea litereior alfabetului latin.

2 . E l e m e n t e lu n e i m u l f m i e ale Obiectele din care este alcdtuiti o mu1lime se numesc el,emenle mulfimii. Elementele unei mullimi pot fi obiecte de orice naturd, fie obiecte concrete, fie obiecte ale gindirii. Pentru studiu, problema esenliaii este posibilitatea de a distinge intre ele aceste obiecte.\:J,

* Vom presupune cunoscute numerele intregi, penttu exemplificarea acest capitol. Teoria mulfimilor nu necesitd insb cunoagterea conceptului dimpotrivb, construitea sumereior necesitS cunoagterea teoriei mullimilor.

din noliunilot de numir, ci,

MULTIMI $I zuNCTII

din : 1a un 1oc o mulfime' O carte (clfuile) acestei mu1tii.*Bi"*""te1e prln Ln conlinut, fie prin format' t1e (aJe bate in ralionamente prin litere. ' grafice sau prin combrnalu ce luri eleri1" s3-"ot"az[ cu'iitere mari' iar ;e spune de cele mai multe ori "mulA"

a"",1-"rli*""- nitota ptin Titeta

minat,

sau element tt#{::

o t i t e r 5 p o a t e i n d i c a f i e u n e l e m e n f , d , e t e r m i n a t , f i e u n e l e m e n | a r b i t y a r , n e d e ta'rgument' numit uaviabi'ld" sa.|- e r i.'"."-*ea arbitrar al nnei mu$imi. uiJ"l;. "*tu

"i:;yffi, oo .1.-",,t-Triiirii inlocuiegte

unei mulfigi' s9 sau. tntr-o relalie relativd la elementele xr' se spune c[ se dH'1ui ur"JJ"-t^l'"t"tiiiat *'ii.t-o'

"

t'ut't':"";i;e

daci ea o"oio"^ o propozilie "a"oa#a]*oii";;;--; i.rtentdtate, arbitrare (argumentelor)'

esteo arbitrate cbo propri"tu!:'^T,:,^"1,?l::,i"-r*::,.'"11"H valorile ilate elementelor fi ,1""ffirt"

3. Moduri de definire o mullimilor

de 4. Relolio egolitote

mu1limi E, acela,g'i litere, '( Siy' reprezintd' **!"'--11ii"i nu reprezintS' Dacl d-oud y ",,* egal cu v"' Daci x Sr qi *" y" sar ,,x ." ."r"i"*ily "3t" "ii"gtl r"%ltestJ ,,x nu este egal cu ;iacelasielernent." ,;i;t;+y

I

APARTENENTA,

iNCLUZIUNE,

PARTILE UNEI MULTIMI

!_:

este diferit d" y" . Semnul : se numegte sernn cle egalitate. Se verificb imediat ci relalia d.e egalitate are urmbtoarele proprietSfi* : l) x : x (egalitatea este reflexivd) ; 2) x : y :> y : r (egaiitatea este simetric[) ; ( e g a i i t a t e a s t e t t a n z i t i v i L()x , y g i a s i n t e 3) *--y Siy:z:)x:z elemente arbitrare ale lui E) .

5. Relolio de oportenenld Dach a este un element al unei mullimi A (mai precis, dacl litera a reprezi.ntdun element al mullimii indic&te prin litera ,4), se scrie a 1 gi se citegte ,,a aparline mullimii A".Dacl.b nw esteelementalmullirnii 1, se scrie b + A gi se citegte ,,& nu aparfine 7lti A". Semnul se nunee;te semn de apartenenld.. Am definit astfel relalia de a(>artenenldintre eiementele unei muitimi si multimea insdsi. ' 'in loc' de & e A se poate scrie :{ =t a. 2 * { 1 ,3 . 7 j ; 3 f { z } ; { r , 3 , 7 } = 7 i t l , 3 , 7 j 7 5 .E z en f l e . 5 { I , 2 , 3 , 4 , 5 , . . . } ,

t-

3e{1, 3,7}; 2et2};

-1*{r.

2, 3....};

6 . P o r l i l eu n e i m u l l i m i Fie E o mulfime. O proprietate P, care se referd 1a elementelelui E (pe care unele elemente o pot avea, iar alte elemente pot si nu o aibd), definegte o mullime format[ din acele elemente ale lui E care alr pro' prietatea P. O astfel de mulfime formatl din elementea1elui .E se numessubrnuilinoe a lui E. ie parte a ld E sa11 Proprietate& ,,fr: r" este adevdrat[ pentru toate elementele;v E, este o identitate. Partea definitd de aceasti proprietate se numeste t'artea plind. a lui E gi este formatl din toate elementele fui E, Asadar E este o parte sau o submultime (improprie) a sa ins5gi. DacL a q E, mtillimea {a} format| numai din elementul a este o parte a lui E. Aceastd parte poate fi definiti ca mullimea punctelor x e. E care au proprietatea x : &.* :) ft : ! :> y : s se citegte este semnul i,mplicaliei, logice. De exemplu, implic6, (atrage) !:x", atwci !: y teznlt'a x", sau inc5, ,din x: sau ,d,ach z:y, ,,*:y ! : x". Semnul :) se poate citi, cle asemerea : deci, agadar, prin urmare, se citegte: ,,x:! 1 = 1e s t e s e m n u l e c h i a a l e n l e i l o g i c e . D e e x e m p l u , a : y ( = ) y : x este echivalent cu y:x",sav, dacd ginumai dacly:x" atunci gi a:y sa:o ,,x:! numai atunci clnd 3r: x" sa'a. incd ,,penttu ca x: y este necesar gi suficient ca y: fr", Semnul F, unui elemerlt a. e.E ii corespunde elementul (unic) b e F, se spune cb, b esteaal,oareafwncfiei in ,,p'tnc{tl" a, f gi se noteazLf(a). Agadar: b : f(a). Se spune, de asemenea,cE b este 'iwag,inect a prin funcfia /, sau l:ui ci D este_transfornoatul, |ti a prin funclia /, sau c5., funclia f ti,aniJormd oeainb. in Uneori. sefoloseste loc de f(a) notalia ind,iciatd f*. LTn element oarecare x a7 rr,.lfimii de definilie E se numegte de asemenea uariab'ild.saa argrtment a1 funcliei /. Funcfia / se reprezintd. de asemeneaprin notalia simbolici x --+ f(x), x = E. Se poate spu11e, exemplu : fie funclia f carc fiecirui numir real r face de si-i corespundd x2; sau, fie funclia / definitS. pe mullimea numerelor reale prin corespondenla x --+x2 (satprinegalitateaf(x) - xr).l'rebuie fdcutd distinc{ie intre funclia f (care reprezintd corespongb.1tla!ie. _ denla de la E la F, in ansamblul ei) gi elementul f(x) din F (care reprezintd ual.oayea fincceea ce constituie liei / in r). Totugi, funclia se noteazS, aclesea cu f(x) in loc de z ni@), un altlz de limbaj foarte frecvent gi de foatte rrulte ori rcesar. De exemplu, funclia exponentiaid x->2Y, definitd pe mul,tirea numerelor reale, va fi notatd, mai simplu, 2r.

ililflfts-

Aplicaliile / ale unei mullimi E intr-o muilime F sint elementele unei muljimi, muQimea aplica,tiilor lwi E i.n F, care se noteazE FE. Exemple. 1^) fi" E: {.*,,u, u} gi F: indi{a, &, c}. Coresponden}a catb. im figura B prin sigeli define;te o funclie f :E --+ F. Avem : f(w) : b, f(a) : a, f(u) : b.

16

MULTIMI

SI FUNCTII

la: egale il puncte diJeri'te (de exemplu' mente care se nu fie valori a1efunclieif\ 'oka

aal'oare, :a' a^"a areaceeag'i f{x)

de funclie constant1'F caL t

Ug-

y aU

w c*______aary

Fis.8

Fis.9

Fig' 10

2. Grqficul unei funclii 'O F i e f u n c } i a f : E . - + F . C o r e s p o n d e n l a x . - . f ( x ) s t a b i l i de perecheieste tldefunct a/ astff p"tt"tti Jrdonati {2 f(fi se poate ,"pr"r"otn'f,,io 4' meqte graficul funcliei /' A;adar:

x e.E;i /(t) un-element proalo.itii^""iftri^nE x'F,'d"our""* "t a G a t u t w r o r p e r e c h i l o r d e f o r m a ( x , ' f ( x ) ) c 1 7 x e . E s e n u Multime G:{(x,f(*))lxeE}'Graficulfuncliei/esteoparte,aprodusulllicar|ezianExFgieste caracterizat de urmdtoarele proprletaF: dintr_o pereche (*, y) ^ graficu_ y raficului, cele doud coordonate x 9i y) care nu apar' lrice altl pereche (x'

FI--NCTII

1 Q i l

EgalitateaIG,

l' : f(x) 'veiificatd de toate elementele (x, u) a7egraficului gi numai de acestea, se graficwlui fwrtcliei f. nunre;te ecwal'ia Fie acum G o submuilirne a produsului cartezian E x F, caie are iroprietatea cE" liecare element n e E face parte dintr-o pereche (x, 1,]= G ;inutna'i din una. Putem atunci defini o funclie f : E -+ F, fScind'sd.-coreslryda fiec"d,ru'i -elementn -E, elenentul unilcy"e F, p"trito care (x,:li JC adici punind f(*) : ypentru fiecare pereche (x, y) eG" l\,Iullimea G este graficul funcliei .i astfel definite. Exewflw. Graficul aplicaliei icientice a rnnllimii E in ea fnsd;i e.ste nrtLllirnea perechilor (x, x) ca r e E. GraficLrlaplicalieiidentice se nunreste diagonala produsului carteziat E2.lo Graficul uuei fuuctii f:E+Fcoincide cu produstl cartezian dacd mullimea F este formati dinr.r-un singut element. submulfime K C E X F care confine cloud perechi (x, y) Ei (r, y,), cu acela.si . Z'O prinr element "r, dar cu y I J/, r1r esie graficul unei fuur:tii, deoarece in corespontj.euta stabilitd de multimea K, 1:ui t i se a-qociaz5,doud elemente diferite, y gj y,. .: 4 De esemplu, mullimea punctelor (2, _o) din plan, care verificd ectatia xz = !(cercui cu centrul in origine ,i taza 2) ,tu.r este graficul unei funcfii, deoa.rece pentru ; : ] { existi doud numere diferite, y : {2 qi y' : - lZ, c^re verilicd aceastd ecuatie. 3o Din cauza corespondenfei dintre o funcfie f Si ecuatia y : I@) a gralicuiui -s5l G7, se folose;te uneori, pentru functie, nctatia y:.f(z). Observafii. -Ex i', f(x) --+ sU@))

sU(*))rtfe'j*-14+66

C-

2A

MULTIMI 91 FUNCTII

Funclia detinitfl P{E c3 oalg]i in G-plin corespondenla I) e f i'nr"ti ". x -+ g(f(x))ie iumegte funclia eompusi a functiilor g ;i f, inaceasti ordine g"f: qi se noteazil x @"J)@):sU@D pentru eE (g o/ se cite;te g compuscu "f)' " Funclia g./ estb definitl P.ep$fimea E. 9a ;i. funclia / "oitp..t.ascrisi 1a dreapta ln noi*ja g'"f 9i are valori in G ca 9i funclia g scris[ 1a stinga in notalia g"f.G

E

f

o

g

0

cm

wc>-----'------" Fig. 12

P

Este de observat ci peetru a obline funclia compusd g o/, se aplici

De aceeafuncfia definitd d,e ambii membri se noteazS!.9:J p: se numegte funclia compus[ a funcliilor h, g gi/, in ord.inea indicati:

' -n eJ-+r Jrc x ---+ ---> f(x) su(x)) --+ h(g(f(x))) NGU@D). xmultorfunclii' Se definegte in mod analog funclia compus[ a rrr:ai'G d o u d f u n c f i i . _l n g e n e r a l t t n c l i a f " g gi g:F+ I" Fie /:E+F observatii. de funcfia g in elementul trl adevdt,'un elementT e F este transfotmat tto oo*t"liaJi"itel gli e Z G, 9i dacd CU) * E, nu-i putem aplica funclia /' - ; ""' .toit"i se pot defini ambeie funcfii compuse: goJr bacd f :Enf ii g,Fj-E Si,f.g.

E E ---> F *-) r -+ f(x) '---+sU@)) 1 -cffpt))

t

a

/ . . . 3 . ^ f--7 11--F

-

--> v -- su) --+ fGuD f@UD. v

prima este cele douS funcfii compuse go;f ,i f " g siat in general-diferite, deoarece nu t, i^t ^ d6ua esti aefiiite pe r. L9adar operafia de compunete a funcfiitror d"finitt;; este comutativE.

APLICATII

BIUNIVOCE.

FUNCTII

INVERSE

,1

ej

I

DacE f: E+ E qi g:E-rE, atunci funcliile g "f muJfime E. Chiar in acest-ca-z cele _doud funcfii'com-pu6e constatd din exemplul dat in figura 13. 3o Fie funclia f :E+F. Dacd" i. este aplicalia identicd a lui E in E (i(t) :,

F /og sint definite pe aeeeagl Jf"d i"'g""ouf diferite, J. "o_ pentru z E), atunci

E

'lof

p0

E

'W Fig. 13

o W

lu adevdr. pentru orice ,. E avem (f ..,i) (r) :f(t(*)):/(z). Funcliile f o i qi f definite amiidou;.- pe mulfiTea E a,i"i ,i"t -9i stibiles-9'Jg"9i5i'"6!"rp'.,)iti."p, De asemenea, dac67 este apricaliaidentici a liri F io'r $@f :ypdo.i',-oria" "gliJ. l, dFi; atunci j"f:f, sintI I

I

tn adev6r, pentru orice jr E avem f(x) e F qi (j "f) (z) - j(f('()) : f(x). pot fi amindoud definite dacd gi numai dacb =/. Aplicafia identic6 i a hti E in E este deci de compunere a funcliilor f :, E-> E, Sd notdm pt : {xlx e E, f(x) G}. Mul,rimea restricfia-/, ? 1", f ia Er. Agadar :-Jr: Er'+ G. Li Er - Ff. pentru oice- z g E, avlm : cff,@)l : eff(x)). @ " f,) (x) De aceea, prin abuz de limbaj, funcfia compusd g o 1fr, se noteaz| adeseag o /.

$ 4. Apl,icolii biunivoce. Funclii inverse

A p l i c o l i ep e o m u l l i m e --+p gi A o.parte a hi E. Mulfimea valorilor luate de ,__,-,Fiu.foncfia f :E se numegte i.maginea directd a lui A'pri,n J,p-? 4 sau, mai fwnclia / if:\i_" slmplu, imaginea lui ,4 prin / gi se troteazd. f(A).' A;adar:

f(A):{f(x)lxaA).. Mulfimea f(A) este o parte a multimii F (deoarece f(x) e F pentru orrce ..f = A), gi se numegte de asemeneatransformata multimii A ptin Iunc'ra l.

l*F

22

MULTiMi SI FUNCTiI

Agadar, y c f(A) dacl 9i numai daci exist[ (cel pu]in) un element - x e A: astfel cai' : J@). jtbl i hJtregii mullimi de definilie se 'umegte mulfim'ea ;;&il;"

ruE sliexeF. Trebuie s5 facem distinclie intrr a llri E be F". EiernPlw (fig. 1 ). f(E) : F ; f ( { u , a ) ) : i a , c } ; F .o F : {b, c). a u-a------'----; -f({t}): tc} ; f({a, u, t}) Din definilia funcliei deducem urmitoarele proprietSli: '^ ^ 3) Dacl. A C E Si A + g atltncif(A) =; @4) Dacd A C E este formatl numai dintr-u* elemeit, A : {x}, atunci /(24) este formatb nurnai dintr-un eiement, J@): {f(*)}, adic6

1)f(A U B) : f(A) U f@) 2) f(A n B) c f(A) of@).

Fig. 14

f({*}): {/(r)}.d 2 . l m o g i n ir e c i p r o c e e m u l l i m iprintr-o {unclie. A p l i c o l i ib i u n i v o c e Fie funclia f : E -, F si B.o parte a 7:triF. Mullimea tuturor elemen'aTe"clror imagini prin funclia f apatlin 1ui B se n-umegte teTor x e. E imagine reciprocd (sau inversi) a 1ui B prin funclia / 9i se toteazd f {a) :-1_l

wmqil

J @ ) : { x l x e E , f ( * ) e -B } ; leste o parte a mullimiia - ' R + r

tinl{lry\ J \ * t

E. Agadar, x e f(B) daci 9i numai dac[_1

flf(ED : E' Evident, f(G) : E 9i c1easemenea Avern:

:J@,)-f(B). _1 _, - {a, w, t): f ({a,b}): {u,u}; /({"}): , 15 E x e m p h . t ( f i g .) . f ' ( { b , } ) : { a , t } ; f ( { d } ): g . 3)f(A-B)

2) n B): I(l),nfq) !{A

r) f(A u B) :- 1 JiA)Ul/(B) 1

1

- L

- r

APLiCATII

BIUNIVOCE.

FUNCTIi

INVERSE

23

_t / (B) poate fi vidS; 6) mullimea B CF_poate

Fe acest exemplu se constatl cd: n) m,l.7fimeaB CF poate fi nevidd gi totugi imaginea sa reciproci

fi formatd dintr-un singur element, 9i totugi inaginea reciproc[ / (B) poate fi formati din doul sau mai multe elemente.u t f F a

Fiq. 15

r q r6 Fri g . 1 o

Se constati usor c5.: imaginea reciproci a oric[rei mu1limi nevide B C F este de asemenea nevid6, dacd gi numai d,ac| f(E) : F, adic5. dacd sinunai dacdf esteoaplicalie al:u;.E ft F. Dacl / este o aplicalie a htt E pe F, aLwci imaginile reciproce verifici gi ele proprietatea 1) a imaginilor directe :

Dacb BCF qi B+0, atunciig*A. Def inifie. Se spune eI lunclia f :E ->F este biunivoei, daei oricare ar fi elementele x' + x" din E, avem /(r') =f f(*") (adicfl doui elemente diferite din E au imagini diferite in F). ^. S.e verifici ggor c[ / este biunivoci daci gi numai dacd f(x') : : f(x") :s 7' : 5'?. Exemplw (fig. 16). O formulare echivalenti a definiliei unei funclii biunivoce este urmdtoare a : Fwncli,a : E --> esteb,iuniuocd F dacd. nwnai dacd, oricqrear fi y = F, f ;i . ionaginearec'iprocd mul'lirnii {y} conline cel ruwlt om ele,tnent a (putind. fi eventual vidb) . Lisdm pe seama cititorului, ca exercifiu, verificarea echivalenlei diferitelor formuliri ale definiliei unei funclii biunivoce. Dacl / este o aplicalie biuniaocd. Iui E pe F, at:u.tci imaginile recia proce au aceleagipropriet5li ca 9i imaginile directe: I) daca BCF;i attinciji)*r, B:fr 2) B C p si B este formatd" dintr-un singur element, B : {y), ,dacd atunci / (B) este formatS. numai dintr-un singur element, r, pentru care -f(x) : y.

MULTIMI Si FUNCTII

3. Func,tiiinverse : F Pe F. Lceasta inseamnd c6'f(E) E). I nt \) e.F, existl un element Si wnul -' x. de la elementele espond'enfb f(*) ,te o apfi6alie tiwniiocd' ahti F.le .8, (sau functria inversl) a funcliei / 9i se noteazb/. Agadar: (sau reeiproefl) a funcfiei n e-fri n i ! i e. Se numeqte func,tie inversf, element y Q F ii eorespunile acel element (unic) 'x / frrnelia / prin care fiecilrui = E P6ntru eate J@) : Y' _l (y) sint echivalerite' x:f Egalit6li1e, f(*):y;i Funclialestelarinduls6uoaplica}iebiuniaocd'a_luiFpeEgi Funcliile ,f si / sint deci indeci admite o funclie inversr care este /. verse una alteia | .

u'\oJ _ ,

t

: y 9i x: 'f (y)' ded'ucem Din egalitllile echivalente /(z) j Vt-ll : n penttlT orice x Q E, f(w) :b, ( b ): w ;

pe F ad' mit funclii inverse. uF )a

Fis. 17

i

I I til

I

IAPLICATII BIUNIVOCE. FUNCTII INWRSE

L

25 t'F,

Dacd functia f : E -+F este biunivocd. gi dacn/(E)

+ f I III

f :f(E) -, E. 2o Practic, dupi ce s-a verificat cE, : _n F esteo aplicalie biunif E -/se aocdalui E pe F, funcfia inversi obgine rezolvind raport cu r ecuafia rn y : f(x), (*eE,yeF).Pentru fiecare y e-F, se obfine solufia unici in E

:tu-'ujf inversi

o-pn"i1i"ni""i"o"i ;"i;;E';;' f6j, ;iili

la_ir" o runcfie

atunci se con-

,:f(y).3' Fie /: E+F o bi.uniuocd.E fis y-:lf _rE funclia sa inversd. Dacd"i este aplicafiai{icalie aluiE identicd ln'E, (i.(x): n pentflr otfce xE) avem

_I

7ir: o.-t I rn adeviir (f z:d(z) pentru odce neE. "f)(x):f(f(")): Dacd j este aplicaria identicd a lui F ?fl'F (iu):y p.o*Lce y F), avem

o^Tf''F;ru';K1'J'i?ffi"e*imi ia"oti"a4'eFie/: E+ " . n*-"*"* ;t;i;-l

J "j' : ,.E pe ea insdsi numeste se pel?nutdle. ApticafiaE permutarea inversi. Avem :-t

f"f:i u"

sifof:i.

permutdrilor f : E+E este gtup* (necom'tativ) pentru opetafia ".-|u#"lt".mulfimea * Fie -E o -"tti::: g aplicalie.a produsului cartezian E x E in murfimea mette operafie de compur"." E se nu_ .io a. agod.i,-o oper_afiede murfimea E face ta vf i"-"r"-Lt?, aii a. "o*poo-r"-io i:,;:;'?:*i"t,Tff:-perechil) O operafie .e o y este asociativE dacd (tc o y) 2) Un element "eE : " z x o (y o z) oricarc ar Ii t, y, z e E. petttrtt operafia *oy d.ac,

vom """I5#."Tai" .E pe care-r

se numegte element neutru eox : t oe :

x oricare at fi * E. .z G A

3) Dacd e este elem::ll, opera,tia o y, se spune cE un are invers (sau este inversibil) T^11i: !:"trl ! pentru-aceastdo'plr"!i"a*i"*i"tirri"""r*"o.yEastfelca etement ttoy:!oX:e, 'noteaz| l-:se__numegte.inversul lui x; y este de asemerei lui z se r-1, a.gad,ar ! : x-t, * : ,)jootttabil 4) O operafie *oy este cornutativd dacE fr o J,t : ! ot ortcare ar li r,y

9i inversur sdu este z. rnversul

g E.

26

MULTI&{I SI FUNCTII

i $ 5 . M u l l i mn u m d r o b i l e1. Corespondenla biunivocdo doud inullimi Fie /: E,--+F o aplicalie biunivoci a 7ui E peF, gi funclia sa invers[.-1 E2^ t IIE J .

F ->E

o biuniuocd.iitte Se spune cd funcliile / gi ]treali zeazd" corespondenld. mulfimile E gi F, sau cE E gi F sint puse in corespondenld biunivocd prin aceste funclii. Orice mullime E poate fi pusi in corespond.enf[ biunivocS. cu ea insigi, de exemplu prin aplicalia identicb a lli E pe E. Dacd doui mullimi pot fi puse in coresponden!5biunivocb. prin funcJlileJ gi /, atunci pot exista gi alte funclii care s5lepun5 in corespondenlE biunivoc6. ln adevir, dac6,p este o permutare oarecare a ld E gi g o permutare oarecare a lui F, funcfia compusd . g"f"p:E-->F este de asemeneao aplicalie biunivoci a Iai E pe F, deci aceasti_aplicalie qi aplicalia sa recipr6c| iealizeaz5.de asemenea o coresponde!5 biunivoci intre .E gi F. Se ipune ci doud mullimi E Si F s?nt echiaalente, se scrie E - F" Si dac[ pot ti por" in coresponden]dbiunivocl (adicl dacl existi o aplicafie biunivocd a ld E pe F). 2 , M u l l i m in u m d r o b i l e nwmd.rabild.daci este echivalentd cu dici dacl poate fi pusl in coresponrelor naturale. ,bill d.ac[ gi numai dacl" toate elemen(11, Ctrz, &g, . ., CIa, ' ' '

i:

$,$'1t

se flurnegte semigrwp. Dac* o operafie.asociativd E in care s-a tlefinit O mullime element neutru, E se numepte semigrup cu unitate. Un semigrup cu unitate in- care .fiecate element este inversabil se tlumette g/24t. Un semigrup sau grup ln care operafia este comutativ6 se nu'ne9te semigrup, respectiv grup comutativ, sau abelian. ' F"otru o operafie comutativd, se folosegte mai ales notalia aditivd * + t; in acest ca.z este ffifrit elementul neuttu ,,zero" qi este notat 0; inversul unui element r este nnmit -x. opusul ltti z gi este tolat ' x ' y sa.u xy; 1n acest AltE oirt"1i. uzuald pentru operafii este notafia multiplicativd caz elementul neutru este numit element u:ritate, sau ,,unu". Dac6 E este gtup, condifia necesard gi suficientd ca o submulfime E, c E s5 fie grup, este ca fr o y e E' gi i-r E', oricare at fi *, y e E eristd

j[i

j I

MULTIMI NUMARABILE

27

I ot*

tinitd. gi are z elemente daci este echi_ nj_a primelor n namere naturale.

niti se numestemulpimetiiitii..mwlt nwmdrabild, dacl estre finitl

osau

*

l) Mrtllimea numerelor naturale este numdrab'i -Xf\t.*PIe' 2)'Mullimea numerelor pare

(deoarece

estenumirabild, u:?_11:g" ?;.lr' ;ni"7'r^t"'pot fi asezateintr_un corespondenta biunivo"a eir. "ui. -- numerelor natuiare --+3) Mulfimea numerelor """--"i1Til"" imoare esten 2n.este numirabill. ri finite. A 9i B sint echivalente dacd elemente. Lentelor lai A. Aceasta inseamni ,4 _ eci _.{1, 4,-8. {r ci echivalenti cu.o submulfime strictd

B 2, S, ..., aiii-ti-an au a elemente "1, atunci A._71,;,:::

a sa.

Din exemplele precedente seved.e cd. o murfime infinit' valentS. cu o Jubmutlime strictd .". e9"afT;;#;utfimile ,,numbrul" de eremente nu mai " .tu *""i"..i-iirr[G**.p*entru

poate fi echi_ iafinite mu1]imile

niruurI T:*fiftitfuT:ffiHea

unuilsir(A)n.* demulpimi numdra-

Ar: al---->at, oL_-_>al. . .. ,/ .r' ,/ Ar: a!

r ' /

al al

q,

A,: arz An: af

l , v , / /r 'a!

r'

,/ a $ a!

,UP

2B

MULTIMI $i FUNCTII

S5 formbm acum girul urmitor a a l ; a t , a z r ;a 7 ,a f i ,a L t ;a i , a ? ,a " r , t ; . . . Orice ar fi mullimea An qi oricare ar fi elementul sdt a" , e1 face parte confine toate elementelereunionii-9^,4.' din acest gir; agadar, acest "sir deci aceastd reuniune este rrumdrabi]S'. o b s e rv ali e. Se poate arlta cd mulgimea _numerelor ra!;ionale sint mullimi numirabile, ;i c5 muilirnea si multimea numerelor al,gibyice -num5rabil5' iru-"t61ot reale nu este

negolie $ 6, Despreln matematici se folose;te ad,esearalionamentul ,,prin reducere 1a absurd" pentru demonstralia unei-proprietdli P' {9esi ralionament const6 presupunind ,,prin."&Lth" c5-proprietateaP nu este atjct'5'i"-f"pt"f "d, trag consecinle contradictorii. ratl ie pentru a putea folosi in ralionarnente propozilia negativ[ ,,prcpfgtatea P nu este adeviratS", trebuie s-o tiansformim intr-o propozilie echivalenti afirmativS. P" intr-o formulare echivalenti afir, negarea ProPrietblii P' lare mai lung[, negareasa este adesea' l

i-'d" ,r"g"r" simPl[ si sigur[' mai intJi propoZipi simple, universal *--*O afirmative, sau particular afirmative' ii-pia universal afirmativ[ afirmi c5. toate elementele p;;piiiit" triigitii i at o proprietate P, 9i deci se poate formula astfel: """1 orice r e, E ate ProPrietatea P sau oricare ar fi x e E, x are proprietatea P' afirmativd affumb' cb unele elemente :lementelelui E) au o proprietate -P, :are au ProPrietatea P nt este vid[; ,,cel pufin" dal se subinlelege una, astfel incit o propozilie particular afinnativl se scrie exist[ n e. E cu ProPrietatea P' intre ele observSm c5, formal, cele douE feluri de. propozilii se deosebesc ,,oricare", iar altele cu ,,exist6"' pti" ]"pt"t-le unele io""p "o

atea :%"ffiJ"li" p,op,i"t P-totdea'

DESPRE NEGATIE

29

se transforrnd. i.ntr-una p.art'icutar lropglilie o-piopozilie. afirmatiad, simpld'pnliiilir-itri*:iiiia" * tran sJorrn intr-wnawn er ar afiiruitia d', i ar p'r;py, d ia s ;ir\';;' i ;;' i;';;";i;;;; tn contrariwl ei non P. sl plec6m de ra o propozilie simptd universal affumativ|: cl'ice x din E are proprietatea p, gi s-o negdm. Forma directi a neglrii este urmb.toarea: nu este adevdrat cd.orice r din E are proprietatea p. Aceasta inseamnd ch existd, sigur, ce1pufin un element din E care nu are proprietatea p, deci care are proprietlt"" p; "o"til*-non "q"a*il existd % eE care are ploprietatea non p. Si. plecdm acum de ra o propozilie simpld particurar afirmativd: pufin) un elemeit x e'E ., s-o negam: . :*::t:, Gel "*r"^"r"^proprietate;- n:"-';1 nu este ader'irat ci existb un erement x din E cu proprietatea p. Aceasta inseamn5 cE nici un element din.E nu are proprietatea p, sau: oricare ar fi elementtl x e E, x na are proprietatia p, ci proprietatea contrari, non P; agadar: oricare ar fi x a E, x are proprietate non p. De aici deducem urmitoarea reguli practici: p,in negare,,,o,icare" se trans.forn+d in ,,existd", ,,existd" se transfornt,d in ,,oricare", iar propr'ietateap i,i non p." lru orjce propozifie, nu numai pentru ,pozlttr complexe se reduce la negarea

Prin negare, o

simptd uniaersal afirrnatiad.

ftrF

30

MULTIMI $I FUNCTII

Va trebui s[ observ[m de fiecare dat[ c1: d'e d'esprecclre se afirryd' .cd' ,,existd"'-d'epind'e (este.-.fun( un el'ement "9, gi despre ca.le,se efxlrnA ca sxnt scriie tn propozilie i,naintea-saiti*ritrt, a"pitide de'elementele icrise dupi el (aw i,nainte(',,"fr;;;;;'i ;i arbitrare "" in propozitie. :in care sint fr" dlm astfel seama de importanla pe care-o are ordinea cuvintelor intr-o proscrise cuvintele intr-o propozifie.^schimbarea ordinii intr-o proo""le sn-i schidbe'foaite mult infelesul,.:-o^irSnsforme ""rlii" d,iferitd sau, uneori, chiar i-ntr-o propozilte tari sens' po"iiie despre De asemen"", * 1i"iui s[ obserne* 6a dupl fiecare element adaugdm expresia ,,cu proprietatea care se afirmi ,,"=iJe'l trebuie s[ "a ci" sau,,astfel incit". se folosescnotafiile I qi Y.-B"ltto "exist[" 9i i" f.igii. -ui"Latl"e pfut""ttetile urrir6toare': ,,ort' pentru ,,oricare" ,,ori""li",;.'W"i ""-^i"i6i gi ,,ex" pentru ,,exist6"'

,iiH

h

Copitolul lt

MULIIMI DE NUMERE REALE. FUNCTilREALE

$ 1. Numer e eole rvom presupune cunoscute numerele reale gi proprietilile 1or, pe care I-4vyrrL!( mai jos. construirea numereror reare gi demonstrarea propriet6l'or ror se fac in detaliu la cursur,de aritmeti;t$i.irt expuse in tratatul de anarizi mate_ -Ni;"i;;;:*' rnatici (vol. r) ar academicia"tit.'i-ilrir.ir,le rezumim

-

1..Structuroolgebricd o numerelor reole Mullimea numerelor reale va fi notatd cu R. Cu numerele reale se pot efectua?oui operat: operafia de adwnare face'sa reale un numbr real notal ut x "";;;pildH""a;;i' { y gi-itmit surna Operalia de inmuQire face "sA corespunaa r?^umere reale un numdr real notat * . y xy gi: -proprielap: "^o Aceste operalii au urmitoarele !;l f_+, !^,-,y ^-l x (adwarea este comutativd) ; .) tx + yt + z,= * + 4 (adunareaeste asociativ5); ! 3) x i 6': x (0-este U neutru pentru lJ"Jrr"t; "l**"rrt 4) x * (- *) :0 (orice * are un opus _ z) ; "iier-'u','"rytft-ea R a aumerelor ri:ale este, d'eci, grup comutativ pentru operafra de

neutru, sau' element unitate pentru inmulfire) ; B) Dacd x+0, xxlt1(orice num5r n+0 afe invers pentru 0 este singurul numdr (pentru inmutlire). ""r"t?tjl:lrr.,"r.

; EI f:^.= t,x*..(y:)(inmulfirea cornutativd) linyrllirea .este este 3l \.y):.: x (r este erement asociatiil); t) t ' x :

32

MULTIMI

DE NUMERE REALE' FUNCTII

REALE

de inmu$ire' Mulfimea numerelor d'iferite d'e 0 este grwp pentru operafia

9) *(y i

z) :

xy + xz (inmulfirea este distributiva fald de adunare).R a numerelor reale este cotp* (pentru operafiile de adunare 9i

Agadar, nulfimea inmulfire).

S u m a x * ( - y ) d i n t r e r q i o p u s u l l u i y s e s c r i e ' m a i s i m p lastfel l u'x.^ aitrtt" i Si y.,Operafia de scidere se reduce qi s" lo*"5i"'ali*tir!r dl tdtit'ute'.x - ! : x+ (-Y)' i;;;;xx'-1 : Inversul x-L alunui numlt x + 0 se mai noteazd'! ; a;adat, l. Produsul r : x . L: y +0 l ditttt" un numer r 9i inversul unui num5r

se mai scriel;i

dintre t(;i y.Operalia de impdrci,tu!, se numeSte

numere {x, y) c't y +O i se asociaz[ citui flre (nrin care unei perechi de ' : .' tor ll se reduce astfel la aceead.e inmullire t 1 :v v vl nu are invers' Nu impirlirea cu 0 nu se.poate efectua, d-eoarece^O cu 0, nu o definim' Spunem ci imp5rlirea d.dm nici un inleleJi-pa+it'ii cu 0 este o oPeralie flrb sens. DinproprietSfiledemaisusrezultlincSurmitoareleproprietifi: 1) Num[rul 0 este singurul element neutru pentru adunare' 2j Numarul I este singurul element unitate pentru inmulfire' 0' aj U" numlt real are un singur opus' Opusul lui 0 este lui 1 este 1' aj uo numir real diferit de 0 are un singur invers. Inversul a z-- y_ z) oicare r fi zeR; (li,5) x:y:>x*z:y+z x+z:y+ 6) x: !:) x e (sau -z-Y-z):)x:3t' e x z : y z o r i c a ra r f i z e R ; t c : y : > *-: Loicatearfiz +A;

i d a c ie # 0 , a t u n c x z : V { t ^ o : :- Fi" E

+F

x: !'aciitiv z { 1', 9i alta

notat'

-"lfime " mulripricafiv

l) este grup comwtatia pentru (lnmu$itea este asociativ5') ; 2) este semigtup pertrir tnmulfire fal6 de aclunate' distributivd 3) lnmu-lfirea este E se numeqte inel comutativ' este comutativE' DacE inmulfirea uuitate' are element unitate' E se numeqte inel cu DacE inmulfirea se invers oentru inmullire care fiecare element x f\.are Un inel cu unitate, E, ln Aqailat, un codutativ. E se nume'te.corp numegte corp, Dace ii-:"itrrl, de 0 este grup pentnt lnmu$ire' ".i"-"onotatiol., .1.il;;ior'direrite ,"

acestedoud operalii dacd: fii #irriiti.J E ";i; inel penti-a aclu:rare;

pe care s-a! tlefinit

doub operafii,. una notati

corp este un inel

"lilLliir;;

NUMERE

REAI.E

33

!I

adunare).eilnnssg gj

l

x-y astfel-, -. -1

2 Close de numere reole Nu:nerele naturale sintx :

1 , 2 , 3 ,. . . , n ,numar

de impbrcitul

Uu$imea numerelor naturale va fi notatS. cu N. 'n Sunia ?n + n gi produsul il,Lna do]o| numefe naturale rn qi sint de aserlle4ea numere natufale. Optrr..ri unui numlr natural nu mai este num[I natural. Inversul unui nimer natural ?Lnl mai este numer natural d.ecit dacd n : l. Multimea lY a numefelor natufale este semigrup comutativ pentfu

iur,ers. Nu implrlirea

3,-2,-1,0,L,2,3,...lni I este 1. ,R; }lulfrnea numerelor intregi va fi notat6' ctt Z- Avem N CZ' Suma f * q gi produsul Pq a doal numefe intregi f Si q sint d.e asemenea numere intregi. in p1us,d_acip-este numlr intreg, opusul sau - 1 este de asemenea numdr intreg. Aga6arjmullimea Z a ntmerelor intregi este grup comutativ pentru adunare. Inversul unui num6r intreg I este tntreg numai dac| p : 1 sau b - - 1. deci. pentru inmulfire, Z eite semigrup (comutativ cu unitate). " Rezultd, ct mullimea Z' a numerelor intregi este inel' (comutativ cu unitate). y * , rafionale se pot reprezenta sub forml d.e fraclie Nwmeyel,e "o ;r n intregi ;i n 4' 0. Dou[ asemeneafraclii! SiY*reprezintS acelaginumlr ralionaT, dac1Sl.

atftz+A;

&,:

* f

1,, 9i aita

numai dacl nr'n' : rn'n.* Unii autorilconsiderd 9i pe 0 num6r natural-

se inmullire . ASadar, un

fumuifire3 -

Anatiza matematice, vol. I

.l at

T.4ULTIMI DE NUi\4ERi REALE. FUNCTTI REALE

Mullimea numereror raliorrare va fi notatd cu Q. o fraclie ! @r gi n 0) este 'ireductibitdd.ac| nt.9i z sint prime intre il!:.ts] 2i ".s e1J urtcare oo-U..:Ltional,se pcate reprezeniaintr_nrr singur.modU frffi lie ireductibiid cu nuvnxturalnun,taruxatur6!,. un numir intreg 1 se poate scrieca fraclie sub forma ! , deci n'rnerele I tntregi sint in acelagi timp numere rationale: Z eQ. suma.r * s;iprodusul r s a dou' nurnererationale numere rafionale.-fi plus, d-acl" este numSr rafianal, sint cleasemenea r atunci opusnl s6u : / ste numbr rational, iar dacb r A, inversul sdu -1 este de asemenea + r numdr rafional. Rezult' cb mullimea Q a numerelor rationale este corp (comutatir,)l)acd. a gi b sint numere ralionale, atunci b_a gi l qaacen+Al sint numere rafionale, deci,ecuafiileq t *: & gi o*: { (aace a ;0} au solulii in caclrul numerelor rationale. Ecuafia az: q nu mai are i'iE totdeaunasorufic, . raiionald. Deexerii_ """ plu, ecualia.x2 : 2 nu are solulie,"1io""1a.--i";; ;d' Nw existd n'ici un nurndr iapionil i1 inii"fatrrt'{iit, egat Sd presupunem, prin absurd, cr exist6 un'numbr rJ.lion*t cw 2. r astfel ca rz : 2' si scriem nunrdrui r ca fraclie ireductibild : , +, unde !, ;i q nr sint numere intregi fbrb nici uir alt di'izor conrun afari de r, * r. Asadar cle uncle :ltl :2sau \q)tb\z ^

r l l i ,

L:2, q,

hz

i' :2q'' P, . ^R"r!td 9Ft este un nnmdr par, deci gi y' este un numd.r par* : ! :2*n. Egalitatea !, :2q, =" =&i"'atunci:'de unde 4 r n 2: 2 q 2 ,

Zm.z: gz. Rezulti ci 42 este par, d.ecigi g este -au-pe .un numir par : q : 2n.. Aga_ "1^"1T-?1 dar, p 'i^g 2 ca divizor comun si L* ^presupunind cd ar exista urr num6r ragional ":""r-;;;f"li""'o "ortr"clicfie, ;";;-r;:t Vom arbta mai. departe cE, cadrul numerelor reale, oricare ar fi num.a{ natural 2,.9i oricare ar fi.in numirur t"it [iiii, i, ecaalia an : 64 are totdeauna soluiie.f -r - 2(2mz 2'ni + 1, adic6'J p, ui ri'i-p;;. + * Dacd b at fi imoar, : 2nt. I, atunci am avea .pz : -* " (2m + I), : 4mz | 4m ! | :.

NUMERE REALE

35

bre corpul numetelor rafio-la1e Q .9i -d'eosebiri, care pot fi ,conside;i alte d.iverse consecinle ale unei deosebiri len![ mai deParte*. lioriale se numesc l&uftrereiralional'.e.' umlr care este solufie a unei ecualii algebrice d.e forma e,f +&o-t*-L +.'. *afi*ao:0 cn eoeficienfifao, &t, . . ., aturiumere intregi. Mullimea numerelor algebrice e# numdrabili. Nnmerele reale care nu sint algebrice se nllmesc nu,lneretranscend,ente. numerele e 9i zc slnt transcendente' Se dernonstreazl cE,

3 Structuro de ordine y" clefinegteo relalie de ordine ,,fi. { 'este I Y se scrie de asemeneaY > r (Y ra gi numai una d-in urmltoarele trei posibitit5'i: sau r'( !, sanTfi: !, satu x > y. a) Propri'ddtjl'e rel,aliei ,,x 1!" i F) r { r, oricare ar h x e R (este ireflexivi) ;

#.xll/"i";: .T,.iii'li#,'r:J'f

F) r< j,+t>

n;

(estetranzitivd); (iii) r 0 : > t i z < y z ( ; i Z < t ) ; z > 0 9i xz 0 se numesc numere poz,iti,ae; numerele r-0:) x2 0gi r0 si rz -{ yr["^o1-a 1l :> xxtx'1y*y' (atlunarea nembru cu membru); ryegalit5filor 3) O< s--{-/ gn 0-{ f,'(-y":) xx' 4yy' (inmu$irea membru cu membm airlLegalntilltlor de numere pozitive) Relinem de asemenea"urm5.toarea propritate (care se poate demonstra _ riguros) :I

luqil (9") gi (b,) .sint rloui giruri de numere ralionale eare au urmiltoarele rloui proprietdli I ) a , - ( e 2 4 . . . { e n \ l '

' 3 f r

{, {N u m l r u l 4 ' s e n u m e g t e p u t e r e : n u m [ r uAvem i m e g t l' b a z a p u t e r i i , i a r l a s e n u l*: e oricare 9i 0":0 putcii' numSrul n se numetl" "ipoit""tr{ a 2 0 a t u n c ia " 7 0 o r i c a r e Dacl ;;:d*"";-;:0;daca arfineN. lumesc buteri' naturale' sint urmitoarele:

0. 'icare ar fi naN' < 1 , o r i c a r ea r f i n e N ' fice imediat, plecind de 1a d'efinilia i orin recuren![: uli'rc^tt esie 6trict pozitiv)' oblinem

&" l'

sauY > l'

ptooricare ar fi n 6 N, ceea ce demonstteazd

? :":Y'Il ;:!; ,-ni,ri"1u"""fi,i.l="#,''J

asemenea demonstratd'

(:" 1,.:i, "3;.': t :"#:fJ,11"t:,';) ";

r5ir*"

|

trFa{rt#'!'F{Fsffi'i'F

t q 14

IvIULTIMI DE NUMERE REALE. FUNCTII

REALE

2" Puteri tntregi Dacd,q*0se.definegte ao : l gi a-, - 1, oricare ar fi n, a N.

Puterile lui 0 negatit'nu se definesc' spunem ci 00 9i ti 0-,,, n l-N,rro ul,lJ"X:"""t tn acest fei am definit puteriie art ale nnui$numdt a d.iferit cle 0, ca orice exponent intreg 1. Puterile cl1 exponent intreg se numesc puteri i,ntregi. Proprietd.lile ?^wterilorintr.eg'i.s^tnt wrncd.toarele de cite ori exponentul (oi este -{ 0, baza va fi presupasd d.iferitd de 0) :l) ao . clc af+c I 4 : aP-q.

2) (ao)q :

a.bl.

3 ) ( a b )-t a b b h t ( + ) ' : #4)a-b:1.af

5) Dacda>l

atunci:a?> ldaclp>0. aPll d a c l{ , < 0 . Dac5. 0 < a < 1 atunci : afr I I dacd p > 0. aP>ldac6p Q,1 este natural gi in acest caz proprietatea 5) este adevd.rat6., ca o proprietate a puterilor naturale. Dac[ p < 0, atunci - p este natural; proprietatea 5) rezultd in acest caz din 4).

3 . I n e g o l i t o t e ou i B e r n o u l l i l Oricare ar fi a > 1 si n naturatraaem: ( 1* a ) ' " ) - t l n a .

P e n t r u n : I a v e m ( 1 * a ) t : L i a : 1 + 1 . a, deci inegalitatea este verificati cu egalitate. S[ presupunem acum inegalitatea verificatS. pentru n : P: ( 11 a 1 o ) - l l p a gi s-o demonstrim pentru n: ? * l.

PUTERI INTREGI

43 a in inegalitatea precedentb

Deoarece 1 * q ) 0, inmullind cu 1* obflnemsa.tl

(1 t a)o(r a) >- (r { pa)(r{ a) *

cE 0o 9i ile 0, cu

crponentul

(l + a;r+r >- 7 -1- -. a + ?a, : I + (l * !)" + Pnr>- | + (l * f)a fa (deoarece fo= > O)Conform principiului induc,tiei complete, inegalitatea este adevbrati pentrn orice n eiiInegalitata demonstrati se numegte inegalitatea 1ui Bernoulli. Afl;cqii. 1) Dacd.& )- 2, ohtnci a" 2>n * 1, oricare ar fi n e N . f n t r - a d e s d r , s E n o t d m: a - 1 ; d e c iA > - l S i a : A + 1 . A Atunci: a' : (l + A)" >- | + %A )- | * n. in particular,22ru I l, 102n f 1, oricarear fi n eN. 2) Dacd e > l, pentnt. fiecare rutrndr real a, existd urc notmdr natwral n estfel ca a." > u. Sdnot6m :s -1, deci,l>0 gia:1+A. A adic[ astfel ca nA > cc (deoarece ;, ,{ > 0). Attraci, pentru num5rul tatlural n, oblilrtt avem: a" :.(l + A),'> | + nA > I * a ) a. Existl u:r numlr natural ,, ,

-=- r1ui

-

adevit este

Rezu1t5.c6 daci a > 1, atunci -1 poate fi ficut oricit de mic clacb a,ft se ia n snficient de mare. intr-adevdr, fie a > 0 un numdr arbitrar; sd, j exisf;i atu::ci un numdr z astfel ca anSz, decif < 1: notErn r:: a n f t ". SI obserrim cI pentru orice-num5r fi' > n averr &n') Ao, deci a. < 1 si 'an' Afi

deci

j_an'

< e.

Rezu1t5, de asemenea,c[ dac[ (a") Si (b,) slnt doub giruri de rrumere ralionale care all urmitoarele dou[ proprietdli : 1) a,-{ ez{ . . . 4 en\< . . . -{ b,-{ 2) existf,un num6r l>atea

0 astfeleabn-

en{jnutrt*o

oriee m N,

atunei existi un numflr unie ro astfel ca &, { intr-adevbr, d.acbse dE a>0, bn - &o-( a gi afkmalia numerelor reeale, exist[ w

xo< b, perrt"o oriee a N.

n astfelca la * pi deci rentltd. atunci dintr-o proprieta# anterioare a

--qFrr"-

44

MULTIMI

DE NUMERE REALE, FUNCTII REALB

mdr ginite S 3. Multir ni1 . M u i l i m i m o j o r o t e M u l l i m im i n o r o t e . . Mullimimdrginite trie .4 o mullime de numere reale. dacd' existd' wc swperi_o.r) Se spwne cd.A este noajoratd' (sau m'd.rgi'nitd' astfel' nu se noai afld _nici tm pwnct din A, adi,cd'punct b ta dreapta cdru,'ia -tnci.t b x.= 0 astfef ea lxl < M pentru otiee x Q A' Dacb existb. M > 0 astfel ca - M -{ x -1 M pentru orice xQA, adt ginit [- M, Mf ;i deci,4 este mirgir exist5 un interval mirginit (a, b) ca (lal, \bl). xeA. Sd punem M : lr'a:x a d i c b-.L I < deci-M 0 lui .4). in plus,^putem alege numere'ralionil' (Ii caz csntrar alegem .enea b' > b;i D' estemajorant' iar tiii""iipunct x e A astfel ca ar4 x -{ b,.,i Si PresuPunem ci am g6sit do majorant alhtliA,iat b*sE a.nseMufieplrli egale si si notdm ct1 56 impirlim segmentul la*, b*,f in d'ou[ care extreniit"t". Jti"'gL in+tiwest'e majorant lanar, b"+r1 partea pentru.10N{ULTIMIDE NUMERE REALE. FUNCTIIREALEa1 1ui A, iar extremitatea dreapt5 b,*, este rnajorant a1 lui 24. Numerele a,q1 $i b,n, slnt rafionale, , an'-{&*1t l bn+t'-( b, ;i bn+t- a"+, : ii' Am demonstrat astfel, prin recilrenle, ci putem gisi doud ;ir:g:l]i (a,) ;i (&,,) cu d.e numere ra!'ional,e, urmdtoarele propriet[fi: ez --1. . .',1 &r-\ f(x') > f(*").Funclia / este strict descrescdtoare dac[ gi numai dacd x' 2 x" :> f(*') 1 f(x").Urmdtoarele proprietd.ti imediat: se verificd 1)Dacd,f;igslnt(strict)crcscd.toaregid)0,atuncif*g;iufstnt(strict)crescdloarc.0 cl i --9Irffilr"1=. _-. _rriifi .6,*sHrirrti.,qa{llaat*itln*.rr*6BMULTIMIDE NUMERE REALE. FUNCTIIREALEAgad'armul|imeafunc|iilorreale(strict)crescdtoaredelinitepeomulfimeEc.Reste n) al {uucfiilor f :.E.1 R' vL con c,onue** ln spafiul vectorial G @' *- --';l -f este (strict) descrescdtoate. esie istrict) crescdtoare', atunci i"rd f pentru teale cresc6toare definite pe E c R nu este Srup Agaclar, mu$imea funcliilor adunare. i 3)Dacdf(x)>0pentruor'i'celeE'idacdfeste(stri'ct)crescd'toare,atwncifunc|da7 este (strict) i n p r o p o z i } i i l e d e m a i s u s s e l n l o c u i e s c c u v i n t e l e , , c r e s c 5 t o r , , q i , , d e s c r e s c b t o r , , - D a c i descrescdtoare. ale funcfiilor monotooe' d.lte proprietbli uft"t, t"'.tii" Iuncfia lor compus6' "lr dou6 funcfii 9i g"f gtB-''R, A+B 4) Fie/: 9l "A->R' descrescdtoate, atunci sau ambele-(strict) i^.U i gi g iint ambele (sttict) crescEtoate .1 este (strict) crescdtoare' P funcfia ! "ompo.A DacSunatlinfuncliile/gigeste(sttict).ctesc6toareqicealaltdeste(sttict)desctescS. tlescrescitoate' tour", uton"i funcfia compusS g ' / este (strict) oootPro p ozitie.O funclie striet monotoni este biunivoei' :!ie strict molotone, ^Fi !' 4 x" -dottl' 'x". / Atanci f(*') < f(x") d'ac6" 9st" lacl J este strict descrescdtoare'decl' ;te biunivocl' lnotone admit funclii inverse'Propozi'ie.Funcliainversiaunei-fulcfiistrictclescitoaleeste strict erescfltoare. este strict deseres""'""F"riii!i" i"""r.e a unei funefii striet deseresedtoare citoare. pe B, l@) : Fie / o aplicalie strict crescd'toarea 1ui '4'rlrl, n - A hnclia inversl' Fie y' punct), Asadar" c este con 6ac6 o dati cu un x' cu vtrfuf h odgine, care trece 1rin rraca Un con C c E se nuoeeqte con conaefr * I aclicd, ar f.i r' Y eC t e C, oricare corililie intregul segment care Ie u[e9te'dacb o datd cu doub puncte t Ei y'riFUNCTIIREALEDeoarece/estestrict cresc5*' ', ),- /'. ce c-eea contrazice alegereay' < y"'. cr / este strict crescitoare' ;citoare, se procedeazL inmod analog' -1fr)iG r a f i c e l ea d o u d ProP ozilie' functii reale tle iariabili reali, inverse .iot .i-*ttiee fa![ de prima "J"'"ft-i* hiseetoare. Fie / o aplicafie biun'ittocd'a 7:uiA apltcaiia reciProcl a 1ui Pe B, t*i IB peA:f :A -' BA M' X,I > A, dxiuie'uo termen a* Sau: un pir (a,) este-nemarginit, dae[ gi nunai dacil., oriaare ar fi uurnerele o 1 g, eii*ti rin terriien al dii glr cire nu se afld euprins intre d $i 9, ileei pentru eare avern sar\ a'n< ct, sau I 1o* ln limbaj geometric, un gir (a,) este nemdrginit dacb in alara oticErui interval inXrginit exist[ ce1 pulin un termen din gir' un gir este nernSrginit fie dac[ nu este,majorat, fie daci nu este minorat, fie d'ac[ nu este nici majorat, nici minorat'(de 0) dat riu este g E x e m b l e d e s f u u r i n e m d r-tii n i t , e ' 1 ) 1 ' 2 ' 3 , . . . , n ' , ' ' e s t e m i [ o r a t lW>O' existd un numir natural nlM' oricare ar ln'adev,r, ar -3' ,.., -n,... este majorat (de 0)' dar nu este minotat; oricare 2) -1, -2, deci -n < - M. existd nlM, III>0, 1i 3) 0,1, 0,2, 0,3, ..., 0,n, ...este minorat. mojorJ ',l 1ffinr=76$IRURI DE NUMEREnembrginit' ln aclevdr' folosincl inegaI' a' a2' a3""'q!""-'este ca 4) DacE a>l,9iru1 ru )-0, exista"un num5r natural n astlel ti ;i;;;";.""i litatealuiBernoulli,.-alao. 'ii->xr, deci girul flu.este majorat' ln Particular, girurile 1 , 1 0 , 1 0 2 , 1 0 e ,. . ' l, 2, Zz, 2c, .. . *"- sint nem6rginite. -^*x--ini$n i t ' nem6rei ( $ l u ' , 2 h , g h , . . . , r t h , '.. . . . 'ti" f r n a t u r a l ) . e s t e natural ol1 n"fr1r tw>o, ori""i" lntr_adevdr, "iiste n > M. Dar h )- l, decij",*u:, n,t _ "u>-",u\\iii r?,4. Siruri monotone-6,. . ' nu este nici majorat,nici minotat',8^p"-'ifi el I"';r:*:#i;,#"T;&"' Astf : i"ffi .pr tor=uqun 9r \e")funcliilor Consid.erafiile din capitolul II' . S 5 -asqp-ramonotone seez4...4o*4&n+L\ 0, atwnci girwl'(L)tut d'escrescd'torGENERALITATI77Daclinproprietl}iled.emaiggiseinlocuiescunulcualtulcuvintele * oLiit alte propriet[li ale giruriior mono,,crescitor" 9i ,,a"r"iill;;;i tone.*pxemple d'e giruri' monotone t) Orice $ir constant " 4, a, a' ..., a' "'estegicrescdtorgid'escrescltor.Reciproc,dacdungitestegircrescbtotgiclescrescstoratrrnci este constant. 2) l, 2, 3, .. . ..' n, ' ' 'este strict ctesc6tor' 3) I, 1, 2, 2, 3,3,l l" 'este crescdtor'14) L;';''' girul;'"e s t es t r i c t d e s c r e s c d t o r '5) Dacd all,I'a,a2,.",{, "' I avem: a! N (z depintie de N gi de a) astfel ineit sil avenn lan - al >- eo.( e dinenunfulteoremei poate fi lnlocuitd Observafii. l" fnegalitatea lo*-ol cu inegalitatea la, - al :( e. lntt-adevii, d.aci lap - al < e, atunci putem scrie de asemenea lao - al '-< e, al --N'(e),atunci avem lo,I e , ol -< o n)-N' |p"ot [;i t, deci lonol ( e pentrun )- N(e): t'[;i.2o Inegalitatea n),N(e) din enun.tul teoremei poate fi bJocuit6 cu inegalitatea strictd n > N(e). atunci avem iao- al < e pentru lotr-adev5.r, d.acd la*al < e pentru oice n )N("), orice z > N(.). atunci, notintl N(e):N'(e) * 1 Reciproc, dacdlar-al II'("), avem lan - al 0 existd i/'(e) astfel ca lo* atunci, notind N(e) : r,(;), o | 0, avem re pentru orice n)>- N(e). pentru fiecare e 10 putemqi b*+b, d.acd a >0gi B > 0, atunci 4o DacE an+a acelagi numdr N(e) pentru ambele girud astfel ca lanFie lntr-adevEr a | < c r eq i l b " - b | {p e o r i c a r ea r l i n } - N ( e ) . acest e existb un num5r N'(e). -iV'(e) astfel ca > 0; deoarece @n+ d, pentru lan -al < ae pentru orice n)SIRURI CONVERGENTEB3N"(e) astfel caDeoarece bn+b,pentruacelagi numdre existiun num6rlb"-b | < P".S5 luEm N(e) :maxN'(e),.li"(e) la*;dac6 n)-N(e), attttcin)N'(") qi n),N"(e), deci a | < ae qi lb*-b I < pe pentru orice n ).Atr(")'5" Condilia ca e sd fie stri'ct pozitia esle ese-niial6' pentru e : 0, In atlev6i, siogurele giruri care indeplinesc contlifia, clig enuntul teotemei g_i_ v"--rifi"e egalitatea 4n : d, inceplnd de la un anumit rang N(0), deci care sint $iruriie gir diferd de un ""r. constant numai printt-un numdr finit de termeni. cu e a limitei unui qir, dupi cum 6. Vorir lolosi definifia cu vecindtdli sau definilia va fi mai convenabil ln rafionamente.F i e ( a " ) ; i ( a " ) r l o u i lg i r u r i de convergen!6. Criteriu R. Ilaei la,-al-< lo,l pentru oriee'lLgi daeil a,-->0, atunci an-+&' Eia.e in adevir, fie e > 0. Deoarece d.n->0, existb un numer N(e) astfel ca pentru orice n >, N(") se_-avem- < e. Atunci, cu atit mai mult 1"."1 \a- - al ( e pentru n 2 N(e\, deci an -, a. i n p a r t i c u l a r ,d a c b l a * l 4 l o - , 1 ; i d a c 1 o ' n + 0 , a t u n c i a , + $ .cdtre 0 3. Siruri convergente Din teorema din numerul preced-ent,deducem, in particular, luind A,:0, existi 1. &,-n 0 dacfl gi numai ilae[, pentru oriee e > 0, Pro p ozitia un numdr N(e) astlel incit si avem ln,l < e, Griearear fi n ) //(r). Prin negafie, deducem apoi 2. Fentru ea (a*) si nu aib6 trimita 0 este necesar Pro p oziti^ gi sufieient s[ ei:iste un nurnflr e0> 0 eu proprietatea e[ Pentru orice irumflr N existi n> N ea la^l]- eo. insemnbtatea special[ a ;irurilor Propozif ia convergente cdtre 0 rezultd din' 3 . A v e m & o 1 & , i l a e d p i m n n a i d n e i la , - a - + 8 .tntr-adevar, condjfia d.in enunlu1 teoremei d.ela numlrul precedent: pentru orice e ) 0, existi I/(e) astfel incit la,al < e, pentru n)>- I{(e) inseamni, in acelagi timp, cd An -', & ;i cd an - a - 0.(ffi'=daSIRURI DE NUMEREpoate serie C o r o I a r. .A.veman + a' ilaci gi numai dacb girul (a,) se sub formaCI*: & t dnou ar->0 ,itir "'t'din propolntr-ad'evlr, notind- dn: dn- a', avem &r: a.*- oT. ii "c6" -+ a dacl^gi numai dacS .oc' + Q' a* pie"ed.entb deducem -a"fi;;;;i" ziliei urmltoateJii"ti"onv"rg"ntecltre 0-se oblin cu ajutorul propo-Daeb, (a*) este un qir ereseitor gi nemfuginit ile P r o p o zilia -4. numere ; 0, atunei ! -' 0' existS Fie e ) 0. s5 not6m A : !. Deoarece (a,) este nemSrginit N avem n un termen au) A. Deoarece (a") este cresc[tor, _pentru orice ]: Notind "l/(e)N' de unde 0< f 1, ' adici - ll lt M, deci 9iru1illeste \a*l l""l' lo,l' e ginit. o^"^-'Tr"orcriem qi criteriul de convergen![ pentru giruri coflvergente citre 0: P r o p o z i , t i a 6 . D a e [ l a , l { l " , l F i e , + 0 a t u n e i& n + 0 ' tntr-ad.evir fie M )0cdtre 0' 1) Dacd 4 > l' girul Exemple de giruri conuergente 1 ,,;, 1 *' I '"", ... arelimita0:Ilim--:0(a>l).n+a d"deoatece girul l,este crescdtor gi nemdrginit.$IRURI CONVERGENTEB5tfr1@n Iu particular.lly z":II"t1x-*: O."lt2) Dacd.0 < a < 1, qirul 1, a, a2' ..,' a'are limita 0: liman:0,tu-4@(00,atunciexistflunnumflraoastfel ineit si avem &*) Seiaa:0. Corolarul ineit si avem an 10, SeiaP:0. Corolarul ineit s[ avem a, + 0, Pentru % )- flo' 3 . D a e dL i m a n = * 0 'atunei existi un numir zo astfel Pentru n 2 no' 2. I}aeh lima,{,0, atunci existi un num[r zo, astfe| 0, Pentru fr7- %o'S 3. Operolii cu giruri convergente convergorte operatiile algevom arlta c6, efectuind asupra,girurilor i-nmuilirea, 9i' i.i*"4i*t."tt.."""ltti, brice obignuite (aduJa;;;;-*edqt"l, lmphrgirea) se oblin iot giruri convergente' t"ttii"tii, "" """-Tt"IOPERATIICU $IRURICONVERGENTEB9c6tre zero 1. Operctii cu giruriconvergente Prop ozi$ia ' 1 ' D a e da * + 0 a, lbn-+0arbn -> 0qi bn-->0atunei 'd6, + 0, Pentru oriee numflr a R' -+ 0' existi un numd'r + lntr-ad,evlr, fie e > 0' Deoarece a'tu 0 9i b' N(e) astfel incit s[ avem la,l < ] Dar ;i lb-l a i, pentru otice n > N(')'la, * b*l--(la,l + lb*l'deci la* -l b*l { e, Pentru orice n2z N(e), 0. adic| an ! b, ---> mod aseminitor' 0 Relafiile Q'nb,--+ qi aa* -> 0 se d'emonstreaz[ in hitt ot*l.to atea propozilie mai generali' d"t ii ";;;;;ii. un qir mflrginit' Pro p ozi ia 2' Daei &*+A qi daefl (b,) este atunei a*bn + 0. 0 astfel incit Deoarece9iru1 (&,) esbemirginit, existS'un numir M > termenii b,' deci toli se urr"-- 1US A, f -adicl" a,bn -'+ 0-atunei a, C o r o l d r u l 1 . Date6, + 0 9i (b,) este un gir eonvergent,aobn --+ Q.lntr-adevir, ;irul convergent (b-) este m[rginit' dici -d,+ 0 li b."l-01 Din acest corolar t"r"ite-i" pitiiculur c5 \c'an) 9ff1J1 ao-O] atunci aant 0, d'eoarece atunci dnbo- 0 9i ci d.ac6"90SIRURI DE NUMEREgirul constant ("), c?:" poate fi considerat c! prod'usul diutre 9iru1 (a') 9i d'emonstrat6' In-|"JJi;i; 9i propozilia 1.a'fost complet ilil;;;gent. 2 . B a c Ha n + 0 ' a t u n c i- & * + O ' Corolarul Se ia a -l in ProPozilia 7'CorolarulS.I}ac[a,,+0$ib*+0atuneia'n_b*+0' (;bJ 7 0t intr-adevSr, -bn -' 0 9i &n b*:= a* * sdm;:i d9if^* unui uumlr h inducliecoffpletbded'iicem-'ce Prin c[tre Jait" ?"i" tiot d" asemenea giruri convergente d.e giruri "onrr"rg"or""" zeTo.O b s e r v a l i e . M u l f i m e a q i r u r i l o r c o n v e f g e n tunc 6 t r e 0 .ln salgebra, zre a tEirurilor s t S a l g e . e ,d'eal* e t e o . a l g b d . A c e a mdr,o ,r. oio"il#fiit;;'te brb se noteaz, "r-t" "a "" *tott"'*u, a Eirurilor colvergente este de asemeneao departe se va ardta cE mulfimea.o un ideal 9i in algebra c' r treitiria cd co este rrg.tra-.^6io "iioiarur2. Opero!ii cu Siruriconvergente slt e9u-ag-irurieonvergente' iar * P r o p o zili al-, t. Daeh.(ar) $i (b."), gi"1o-b*)sint ebnvergente9i oc R, atunci giruriie 1o-li)1,'(ia',1+ t:n @" b*) I11-o":*u" * :: (limita sumei este egali cu suma limitelor) lrm (uu*) : o lfu o*i lim (a*b,) : 1im a,lim b,n4@n4Q fr+@(limita produsului este egalf, cu produsul limitelor)' se pot scrie sub Fi; a :lim &, 9i U : l\yb"' $irurile (a') qi (b*)forma a, 9i b*: b * 9*' &n f p'' avem und-e a, -+ 0 9i P, -t 0. Atunci, notind Tn: @ *b) ) ( e + q " ** ( b * 9 ' ) : ( a * b ) * ( o * * 9 J : an*bn: n a ! b: iar y* : a., * 9o - 0, deci an * bn bn' 7im (a* I b*) : a' + b: lim an ! lirr:' &n: (I *'IcE O sub:nulliqe ;e1 9i brice yeE*v"'* Fie E o algebrd comutativi. este o algebrl 9i dacE Gil;;;"se numeqte ideal al algebrei E daci avem xyel'OPERATII CU $IRURI CONVERGENTE91Avem apoi&An: -* Si a.an 0 deci d.&* -'-+ ss6tr 1 d . A '+ d.tLnt*"n,: ln sfirgit, notind 8,: enb, Dar (a I en\n *d Q: , ag* |"l*o".ban, avemx*)(b I 0dn\* n 0,a9,^-ab { u,$* t ag* * ba* : ab i 8,. gi bun -* 0, d.eci 8n: &*8n * ag, * ba, -+ 0 9ig*) :deci anbn -, ab:)y: :l*r-)\2r* (o"r-) 6IbPrin induclie completi se d.emonstreazbci suma ;i produsul unei familii finite de giruri convergente sint de asemeneasiruri convergente gi limita sumei este egali cu suma limitelor, iar limita produsuiui este egald cu produsul limitelor. ^ in particular, luind A giruri convergente egale cu (a,), deducem;Corolarul este eonvergent ;i: h^ @r,) (l,,rya")n.l. Ilacigirul(a") este eonvergento afunei qirul (-o,) lim (-a*) : -lfu o*.Se ia a :-1in propozifia 1.C o r o I a r u I 2. Daei (o,) qi(b,) sint doul giruri eonvergente, atunci girul {a, - b,) l;ste eon.,'ergent gi- b") : l**, l::u, l* (o,(limita diferenlei este egal5 eu diferenla limitelor). intr-adevir, presupunind c[ an -'+a ;t b, * b, avem -b, gi e, - bn : dn + eb*) -> a | (-b) : a - b--- -bExempte, -# ,) ,lT,r .l::\-(": a * bnao. , :) ::::.' * ):2, * :Iiim-:a!b0--a.?l2)Dacd00. rr\ girui | - | este margl bn o \ w n J , I I I: A$adar,+b - + -> 0' adrca:* + o ' ' n 6 bI 1 .. Ilm-:-:-'I"-iO b s er v ali e' Dac6"b*+0'u"tIZb"convergent' deoareceestenemdrginit ""**/1'\ 9iru1 [tr)sint doui giruri eonvergente qi P r o p o zi\i a . Dae[ (9-). Ai (b') eonvergent 'si dacf, lim t- + O, atunei 9** [;)estelim an.. &n n1@iY k:,i^k(limita citului este egalfl eu eitul lt*;;;' i de giruri pr,,"* scrie 9iru1 cit ca un produs lntr-adevir,?:o,'!'oa utu /,,L atlunci c[ 'irul lvergent' b*' avemn1@ n4@produs' -l \lan|estelima',--ti m 9 :bn,*,l i m (o.' !) : " bn)\fim anr i' ,_!: o ' + : b n4@ ,JJ tn! - ":3- - 'b ]:-^.u"Corolar.D a n ' laln + e + 0 q i h N ' ia t u n e id * u ' * o - u 'tir o;' : l):: o")r \-,t 'r lntr-adevir af, -> ah *0,deciia'l'* 1,, adic6 a;Q+ a-h' 4EOPERATIICU $IRURICONVERGENTE95Din acest corolar gi d.in observalia care tumeazl propozitia I deducem c5, dac[ 4n'-, A =f 0, avem : an)h, oricare ar fi k i'ntreg, t]:,rl: [tj1n, egalitatea este adevarat' chiar dac6 iar pentru k natwral, lilt'_a":0. Mai d.eparte se va ardta cE"dacl 1im &* ) 0, egalitatea rlmine adevdtat| pentru orice exponent real.observafii. T.ergent, nu rezultS'ca cool" Propozilia reciprocS nu este aclev6tat6: dacl $irul cit este cele dori5 giiuri stnl convergente. De exemplu, giflrrile egale l, 2, 1, 2, ..., 1, 2, ... 1, 2, 1, 2, .. ", 1, 2, ... nu sint convergente, inltimp ce pirul clt 1,l,1,1,.... l, 1,... este convergent, 2o fiind coflstant. 0 ,i bn->0, qirur nemdrginit, deci nu este convergent. ""(?\este \on JDacE @n4 o IDacd. ar+0gi bn+O,despre girul cit (?1este convergent, alteori este divergent. Mai mult, oticare at fi a e R, se poate gdsi un $ir an+ 0 gi,un gir b, + 0, astfel-,ca? vny b ")""se maipoate afirmanimic. uneori".Exemfle: I l) (an):l, , ,13 & 411 @ , 2I' &an-> 0( b n ): a , ;,ba+ 034n-4 &4( b"\ l-l,o,\an ))ibnA.a,o.,...,a,...l 4 1. .. ' 32' 42'I Il l 2\ (a^\: l. - , 2 3/L \ . 1 \un). t' _I n In2' "'an+0I{-11bn->022,I A-.1lzl: \b"lt, 2, 3, 4, . ' ., n' .. ' qescltor 9i nemdrginit$IRURI DE NUMEREo,_ It 2 'Ian+0(b):r,I' 32'b6+ 0(:ol , - ,,\b")descrescbtor gi nembrginit.an-> 0( b " )r:,t , s ,('u)"'o't'o'7'' '2n -t'2n'bn-'0nu are limitd.4. Trecereo lo limit6 in inegolitoliP r o P o z i \ i a 1. Daci (o,) qi (b,) sint doud giruri eonvergente 9i dae6. a,.-( b, Pentru oriee n N, atunci:):T'"=:*b''lntr-adevir,Fis' 44 :*9iru1 (b*- o,) este convergent 9i(b, - a^)::*b" -:\o"Pe d,ea1t[ Patte, b* Rezultd c5:an)- 0 pentru oricen ei/, deci lim (b,- o,) >0' 7im b, - lim an )- 0,n1Q n4@adicS:,:\"- lrr(") Ei n > N(e) si avem lem-anl 0, atuaci pentru fiecare 2" I,acji @n) 9i (b2) stnt douE -i.r. e ) 0 putem gdsi acelagi N(e) astfel ca < p e , o r i c a r ea r t i r n ' n ) ' N ( e ) ' lam- &nl < n" tr lb--b*l n, avern ln: n * b cu P; 1 9i oblinerh con4ilia dirn.enunfgl Propozifiei'"Re;irunoaproc, din i:onditia enunfat[ in propozilie se obtill.de11ilFa 91fl1lu1 '*;^i;";i"a'i : n * y', {e^oa1e^9e dac[ n 2 N(e) 9i f >- 1, avem de m > N(e) (vezi obs. 1'). "."*.rr"'u daci K pr opozif ia 2. Un gl:r (a,) estefundamental dae[ si numai N(e) astfef ineit oricare pentru orice numir e > 0 existn'rii ""-A*Tf arfin)Ns[avem la*-anl 1e. Din definilia girului fund.amenta| rezrild condilia din propozifia 2, h;jnd.rn: f/ : N(e). Reciproc, si'fresupunem verificatd cond;fia din enunlul propozifiei. - o*l < ar fi Fie e ) 0; existl un numir N astfel ca lo* * oricare n)-N. Dacl. n, m)- N avem deci la* - a,l : 16r* ex * ett a*l 4 la*axl * lax - anl I i + * : t'n propozilia :ntal tevine angul celor afpmae da oi termeni2 se poate folosi mai ugor in rafiga doi terla a afiu:m:a cd diferenla cloi termeni este suficient de rnare' e, diferenla a doi termeni este mai unul de altul'$IRURIFUNDAMENTALE(CAUCHY)992. Subgiruriconvergente. Lemo lui esdro P r o p 9 ?.it.+ . s-i are aeeeaEi limit5. 1. Oriee subgir al unui gir eonvergent este convergentintr-adevrr, dacl a.n-> tr., in, af.ara oricirei vecinitili a lui a se afl[ un numer finit de termeni ai girului (a") si deci, cu atit mai mult, un numlr frnif ds termeni ai oricirui subgir al siu; deci orice subgir al ginir:ui (a*)a:e hrrllila a-. i" eggS4ar, girul oblinut dintr-un gq convergentprin suprimarea nsui numir finit de termeni este convergentgi tinde citre aceedpi fimiti ca girul ioi""l.Ezc*pk. 1) Deoarece girul, , lt , t,lim taeare limita I0:0tturmitoareleale salellttrl*z' 7' ;' 1,au' de a+me:rea"" 2n'"';II,l 3 ' tll5 " " ' 2 n - 1 " " l I ,r"""I*,limitasr0:..,e,.'.4eff;I1,2r'g"""',i ml, 2n:Q;_lin, E 2n-lr:0;1l i m - - ; : 0 -; ' - il -i m - : - : 0 . ^--nh n"111im4*:Q fr+@ urmEtoareie subgiruri ale sale(00 AceastainFt tii'J-";;i{-o"-.o*ar @) nu estegir Cauchy' o' cu''i6'eo-> lv) de n ) N (m dePinde> 2M (axiomaiui ili"it se avem'Peo : ta-i"aat d'iferiie valoriAtuL A1 ) eo"tl ""*at:\1Pentru!{ :!L1t existln2]thcllr a'nn-a'*']Eo. a'*'-',-- eo' - np-r existb mp2 n2-t ct7 dnPpentru Nt tI1rAdunlndacestepinegalitd|imembrucumembrugireductndterrrrenrt asemenea,deducem d.nb a1 2 pen. Dar d'nb: + totl < " lenp- etl -4 la*pl, r - oM,h[|1l:lll I:t i;t i it.irii" ; lr ;"L'\11^:-"; are ".,""'"1* do ere numer t"T+lyf; x uqiruri j-i;i iLj ;T:ttltF eonrlilii: oo"e r-erilica a\es b. Agadar'g"Ut"l"" :' 1]KL -! '"fit*-afl. lo" 2M deci 2 p"0,"""""" .contrazice fi gir Caucnve' 1l11ul"ir"#"T;l"ititxiout*i"eare\ o 6 I t 4 e z 4 " ' 4 e *," l* (b* a,): a'SIRURI MONOTONE107linita atunei girurile (4") ti (b') sint eonvergentegr-au aeeeaqit* ""::\u*m6rginit (ar{ $irul (a") este cresqitor 9ifie c lirnita sa:en-{ br), deci este convergent;ff o": ''bn: (bn an) * aohAtuncilirn b,:fr)a1im(b* - a*) * lim &*:0nla tu+@!c:c'&n4 c -{ b, Pentru orice z N'Observa!ie. cr muu -*-Ittt-J;t5t, i c e ; l t . | Numdrul tlac5 ar-< c este singurul num5.r cate verific6 inegalitdlile pentru orice z' atunci: ar-< a-( b, c'-{b*fde urd.e c' : c'1,11o,_. ",_.tpob,acticd, c'-< c, c- O,9i daefllirmrn - /, unde ro qi r sint4)@numere ralionale, atuncilimAr^:&-@a, :lim ra flftadL20$IRURI DE NUMERE-+ l' intr-adevdr, r* - r -' O, deci a'"-'Atunci a,rn: deci a'" -+ | a". .02' a t i e ' D a c b e : O . . ; i ^ r * >-deci? 0-' q;n:0' 1t-unci a't: ,,/n-/+t : &rn-/ q'/,Obse rv:0, t"rjadevirat[ deci a,, -u a,. iitp"iiyi" ^t raririn6 sint strict pozitivi' ot" 0, dac6 exporienlii9i in cazul cindP r o n o z i t i a';irul } a c i l a } O ; i ( r " ) e s t e u n g i r c o n v e r g e n t d e n u m e r e 2.I (4"; este de asemenea eonvergent' ralionale, alunci mbrginit (fiincl Vom face demonstralia pentru a > l' $irul (2")-este - M !- rn 4 M penttt M > 0 astiel ca b"ista J""i-"ti ""i"ar orictn = N' Se punem A : aM ) o' "orrr"rg"rrtf. iri"" i e N. Atun;";;"--N(e).Atunci:lsr* &,*l: l7.tn (&rn-ri - - 1 * l r ? f f i - t n- l l : A -. 1)l : &tnl&rm-tn ll --( AlAtn-rn-llPUTERI SI LOGARITMit2rgi deci dac| m, n;zN(e), avem4 ia,*- a',1 Alarn-rn- ll < O i--.,(a'n\ este convergent. '-" ' a : i, avem l'* : l, deci (1") este ;ir convergent'. ;;;t Dac[0 0. 'l,' ' dacd a > | gi r > 0, putern alege un qk arcscdtor (za) de_numete rafioparticular, c6tte x, rn> 0, (n..t *. Ltanci .atn,> 1, 9i $eci -at > 1, si nale strict^ pozitive convergent Sb ilemonstrdm acum celelalte propdetdfi. astfel propri-etatea 5) este demonstratd. i1 ?i" n*+ x Si sn-> ! i al,;rTr'ciln * sn+ x I y, deciar*! 3) Fie z2 -r : lim & arntsn : lim n (arn . esnl : & lim t arn ' li1a asn : u ar ' &! .a. Atunci :limatn'limbrn:tu)Q nlQ@b)t :lim(ab)rn:lim(arn'b'")tu+Q fl-Qar ' br.Deoatece b > 0, avem br > 0; atunciI a\r[;j4) F i e r o +*. Avem: jlt/n+( a\,n[;]-:iim n16a'n bfnlim' aln n-e lim,brnHQ4r vz gi r-rn :a.* ),: :-----= lim aln n -, d'a-t:Xs. n ar ) oricea-/n:: li111 Qrn adeoarece,pentru Fie xo+a > z.0, avem PentruO. z GN avem6)I xan Existd numete rolionale xnDar-1frn1xnt'I n16 gi sa astfelca-1 r n 1 t r < . s n < f i n + - . l 1 n n ^nl f lz+otlim lxn //'l:lim'rr-limfr)@n+@1 - : t * 0 : t , n,r@lim lx* + -l:\l \limxn!limfr+@ ni@-t : * + O : zn1 LJ9i lim rn:tu1@76'n.Deducem atunci cd lirn rn:fl46z 9i limtu4@sn:frDacE" a>n1@I, avem : a'n < oln q asn, ar, rezult6. Iim a7n :fr4@gi deoarece lim arn:lilnasn:fr-@or.DacE a:I, evident 7'n = 7,lt:I $i l'n-!*.724DacI 0 < a < l,SIRURI DE NUMEREaven a'n > f"> osz' 9i deducem iarIgi fu o": on'clDacSo:09i2>0,inlsturincllanevoieunnumdrfinitcletermenialgirului'',putem : 0' ar : 0 9i 0'l - 0'' ,; > o. ln acest cez a*n ;;n;"" 7' gi-.atn + 1' atunci !*t0' a) a 7) Vom ar6ta mai intii cd' dacf' o,. at eristl'-o vecinbtate (_ eo, eo) }.."::i'n}|ta prin '**a,,"9ii,il i-t-i ( - eo sau Daca, termeni y'' deci aae'' )tn infinitate de 'i'the lui 0, cn > 0, ln 'i"')'y){..'lt*. " "r.,u "LIit de in'dici' Pentiu aceqti inclici avem: i"irtittit o/n qa-eo( I sau l 0, avem de asemenea (ar)t : att : Q. Sd demonstrdm acum cd (at)! : art. Fie (1") un gir de numere ratiotlale convergert Avem: ' Dat (ax)tt-> (a*)!, iat xtn+ (a")t71 : 42t4,cdtte y,xy, degl axtn+ (ax)t :ax!, d.e unde a*Y.Iim (ar)tn :[i11a ertn :Din propriet5lile precedente ale puterilor reale se deduc incb urm5toarele proprieteti: 8) Daci 0 < a< I qi % >0, atunci a' I > r. Fie x)r=I, Si n tn numlr natural astfel ca n 0.726$IRURI DE NUMERELte caztti: are ca solulie orice nlumdr L 0' :0 ;o1utii.' :",r:;," l',:nuu;:" ""1j,'":"::L A' :0 nu are nici o solufie, d'eoab nu are o solu7 : Q, ecualia a'' : t l' :1 are ca solutie orice wtmdrreal r R. ecualiaL':b nu are nici o solulie deoa5) Dac[ a:lSib+1, rece 1': 1. q'" : b nt ate o solulie unicl' oricare Agad.ar., dac6"a: 1, ecualia arfib>-0. 9i a + l' iar b >0' A rlmas de studiat cazul cind' a)0 ^r. o-si"dta solulie care poate fi poziIn acest " ",'.tifiir-il:U tivi sau negativ6, in Particular 0' Propozilie' singuri solufie. D a e ha > 0 ' a +1ti b>0' a ecualia '*:b areob >- l' $irul (a') este strict a) Vom presupune mai intli cil a > 1 9i crescitor gi nemlrginit : 7 < a < a 2 1 a s 1 . . -< a ' Bxistidoitermeniconsecutiviinacestgir,intrecareseaf|6'b. eh ,-1b 1 ah+t (k->- 0)' in doub pirli egaleprin punctul c; Sd impbrlim intervalul Lk' k + 1l f 1, deci avem fr 0,ecualia a,:b _ -Din a) gib) rezaTtd6, dacda>l solufi_e gi aname xr) 0 daci b > l, ffo:0 dac6. xo b: I gi xs100t,d e c ie c u a l i al 1 l' ' : lat;t:u/r\rot28 salSIRURI DE NUMEREb sau &-vo: b. Punind xs: -yo oblinem sxo: b, adic| xo ;;: este solufie a ecuafiei. Am demonstrat astfel c5.in toate cazulile, dac| a ) 0, a + I li b > 0, ecualia al are o solufie. 'so1u!ia Rlmine de ariltat c5. in aceste caz;r:rri este wnicd.. DacS ar : b gi a', : b, am ajunge la contraexista doud numete x, I x, astfeT arL ca diclie. lntr-adevir, d-ac[ a > l, atunci 4\ { 4rz,iar dacb 0 < a-< 1, atunci snr ) q',, d.eci in ambele cazuti &', =! q,'", deci nu putem avea a" : b :: Ctruz.S5 observ[m ci ecualia &* :a are soltttia unicd x :a.r : q..l:D e f i n i { i e . F i e a > 0 , a + 1 $ i b > 0 . N u m i r u lu n i e x e a r h Iogaritmul lui Din baza a gi se noteaze vOrifiei egalitateaa1 : b se numegtelogo b: x : Agadar logo b.x : lognb () a* : b. P e n t r u c a l o g a r i t m u lu n u i numSr b intr-o baz\, a Observafii. si aibb sens, trebuie ca baza s5 fie strict pozitiad ;i d,iferi,td de | (a > 0 a =Fl), iar numlru1 b si fie strict pozitia (b > 0). Nu au sens logaritmii numerelor negatiae; in particular nu are'sens logaritmul lui 0. Din definilia logaritmrhti x - logo b, ca solutie a ecuatiei a' : b, rentlt|qlogab [.Avem1, deoarece a1 : &, gi logo a: deoareceao: l. 1og, 1 :0, D e a s e m e n e al o g o b : 7 o g o c d a c d "g i n u m a i d a c b "b :c.9. Proprietdlile logoritmilor1) 1og" Y:logox xllogoY,2) 7og,i:rof. x -log"y.tn particular, Togo;: -log"y.3) logox" : alognx. 4 ) d a c da > 1 , a t u n c i l o g o x) 0 p e n t r u x > 1 . logox(0pentru0 0 , a . + 1 ,b > 0 , b + 1 , c > 0 ) .I -Aqdliza Batematlcd, vol. IilFid130uu : Fis tt : log*b, logac, adic6 deet aa =bSIRURI DE NIIMEREqi a - log6c, tleci b': logob 'lo96a:lognc'c' Atunciauv :bu:c' decilog' a : l' deci ln particular, lulnd a : a' ave'fr logob'lo96a:l'(ai.i^ffi;"l" ,l,enl.Losaritmiiinbaza'seflumesclogarifminatwralisavlogal'itm'i'ry,1!: 1n loc de 1og"rsescne: In ',i-:tl*"ii"irnu1uiN-eper).sau 1og t' d " o a r e c ee > 1 , r c ^ 7 7 t e lr_x)0 tlac[t(>l' lnx0' a'>0)' atunciTn.i:a,)"' (rimp r e c e d e n t le s t e Dacd *"?0.9i a)^0' propozilia Obse rvalie. a, > 0 li &*+0' 9i in cizal cind "a"rrai.ia acest caz af; -* 0' incL af =< e' I lui 0, unde 0 < e < I' SE ardtbm ei' iinit dintre pentru orice nit; fie M > O astfel ca o'a''O3 . M u l t i m in e m 6 r g i n i t e A are o margin'e inferioard m 9i $tim c[ orice mq1!ime md'rginitd' *-2 M afai6'de cazul cind' A : o margine superiou"re^'fu';l; .-1Wi; uu'i^: { a-\ l c a z i n c a r e m : M : a " da urmltoarea formulare Din cele de mai sus rezult\ ci putem unitari: inferioari rz qi 3' Oriee mu$ime A are o margine Prop ozi[ia M $inite sair infinite;' o *uigi"""-';perioara Pentruaputeaafirmac6'm4M'giirrcazulcind'!n:-xqiM: *oo, vom Pune Prin definilie_oo ( *oo.Cu aceastb convenfie, avem totdeauna inf ,4 --( suP -4, semnulegalavindlocdac6ginumaidac[mul}imea,4.esteformatldintr-un singur Punct. O b s e t v a l i e ' P r i n c e l e t r e i c o n v e n l i i d ' e m l i s u s ' a deordine' t r u c m e x t i n s sdreaptarr tura deordine ai"'"i;ii"io!i"!;.R.incheiatic"l.-Jtiastructur[este o tttu&im" total' ordonatd"MULTIMINEMARGINITE135Acumsejqstificdmoduldenotareaintervalelornemdrginite:] (a,1-ql:{xlze-R,r>a\; a'}; lo, * aI : {r I x e,R',>/ (- a'.adic1 ane(a' avem'an) d,ac6""nlN, deoarece girul este - t termeni, ln numdr finit' deci mult piimii-lf it6,.it ln aJara semidreptei"r"""Jioi, tr,"+tJ-." an+ + aJ.2) Orice ,sirdescrescd,tor nemd'rginit are limita Sidi- e 'Demonsttafiase face ca rnai sus.putem da acum urmatoarea formulare rtnitat| relativi la girurile monotone: ;irul 9i finitd' d'acd. nurLai d'acd' orice gir rnonoton are limitd.. Limita este este md.rginit.Exemple. l) Dacd a ) 7, 9drul, (an) este crescd'tor 9i' nemiirgini't, liman :n1@deoito.t42DREAPTA INCHEIATAatunci' 9i 2) Daed' a > l, i'ar (x4) este cvescd'tor nerndtgini't' arn: fm * co'Inatlev6t,dinzu:(.1611deducem4rn-194(t7)ested'escrescdtorgi'arelimita0'iarxn20pentrworiceneN' a,tunci ttn+ I:*rof" 6'este (esary1f|11' Evident, 9iru1(logoz1a) minoraat m:loga Dac6.at fi m6rgini-t, u'-to"^ unlogo P -( logo *nPenttu /, penttu orice n e-N'p cu p > 0orice n E N ' c6" rn+ 0' Aqadar' giruldeci 0 < 9:(E;;;t.:d-it'ii'ei'";t'ji' rii''a descrescbtot'tleaucemlimlogo xn:xfr4@ceea. ce contrazice ipoteza-cD'5\ Dacd a)atunci: 9i' l' i'ar (16) ested'escrescdtor nemd'rginit' fu n'n:6'E s t e e v i c l e n t c i g i r u l ( a / * ) e s t e d ' e s c r e s c d t o r g i m d r g i n i -oc:( ear* r e c e 0 l a * n \ < 4al p e n t f u t ' d o a f}etrnt orice / N' -( ii." 1.u""ii;;';;;;0 orice n N, deci i,"'1 "l't"1t[""ig""i-t deducim^rz^- 0,';l;;;;3 a : 0' adicd arn +0' nemirginit)Aqadar' ceea ce contrazice ipoleza ch (nn) este$IRURI CU LIMITA+ @ SAU -a1436) Dacd' a > 0, iar (xn) este arescdlor 9i nemdrgindt' atunccI $ ln adevbr, cleoarece a)0, tlin zn4-::.r':n*+t M :* o'Eeste crescbtot' adice' (xfi) cleclucem 'f;- | 9i **+O' (xn>trtu: + (n'co' Vom scrie:0)' atunci logo ftn4)l*:'o'"r'Nn: - 'x)''tle ) . a s E o b n e m u n g i l n e x e m p l e l e S g i 4 s e s c h i m b S o r d i n e a t e t m e n i exdmp-lele ( * , la cnurndrull ipreced'ent' r lotgirului ji apoi ioio"""" (y.) crescbtor, respectiv'a"""*r"li.r, ""s" poo"J i;;.^;::|tri";;;f:{:;:j"i"3:":";T,-lf5'i::?T@; 1nfr, eh: @ O;- a. d.ac6togux,+aLttnci xn+ o' : d'r F se folosesc exemplele prececlente' Se' pune Yn : logo *o' decr tt a : e nini esemptele de mai sus deducem Pelntallli'n 4-@ e4: Xn)-lnm. ln x*:Nnl@a;lirnlrl x*:tn'O-co'7) Dacb a > 0 9i frn-> tco, atunci 'l"n+ co' Vom scrie:-l- co' "\T*o1:8) Dac6 oc) 0 9i frn+ * co' atunci *lo n 0' Vom scde:x\n;"9) Dacd a > 0 9i rn+O, (xn> 7i-,n;":frfraV: o'+ co' Vom scde: * co.0)' at:unci xldun 'ir pentru demorstratie se schimba ordiuea termenilor girylui- @n) ca s5 oblinem girurilor monotore. (y*) gl apoi se'folosesc proprietalile respective ale monotoncu tevmen'ii' 7\ Dacd'&*+ * rc ;i b* -+ f oo, atwncior'ice1ir format are' oclrecare I'imita * oo' orAi'il'e sirwriiJrli-) ;1"(b*),'i,ntr-6af15 un numi'r finit de termeni lntr-adevhr, ln afara oricirei semidrepte (q' | *) se numdr finit de termeni lsmeniai f#ia" dit"r"i ta")'-deci un girului (an) gi at ai a' ""-'ai format cu tetmenii celor doud giruri' deci c*+ I .i irir"at"i-s'it'1cn1Analiza matematicd, vol' IlQt46DREAPTA INCHE]ATA,*uu?,?j,io,f ;i"xi;;;;ty,#,::Sesirf ;*1";,ffSe rafioneazd ca mai sus.ormatcwtermeniicetor. Jintnd seama gi de proprietatea a girurilor convergente, se poate da uimdtoarea formular" r "?1jf#zdtoare D.gcd (a,) ;i (b,) . |,imitd xo e R, atunci orice gir cerlnenu';irurilor (o") .qy .ac.eeagi format cu ;i (b*), intr:_oori;ni ocryeca.re, l,i*nita xn. are 5. Trecereolo limitd in inegolitdli . gerte' propozilia trm'toare, demonstr?,\d.,Iu inceput pentru giruri convereste adevirati gi pentru giru're cu limita infinitd.* _ i!Tfr;:;),o (b,) stnt siruri nt tirnitd si dacd a,1-bn lentru orice,f* o"--< 0,. liTlntr-adev5r, ln toate cazurile care se pot ivi:cerlujil ool aio c.ere ii-iti{ a ; t - e at.rle j;l;';,H"ji.ln+ "rir"i"i?;r:J:_rjil;g Rezult' de aici c5 este adev'rat' gi proprietatea urm'toare: ''' iar (a') 9i (b*) aw aceeapi timitd xo Q R, atunci fu-) "l:tt;ir. f co, atunci lanl ** ! : - care ! in$rDn* !a - ;a n + x o q i b n +;r;.#iri*?l-;i#{;?,i:T";*feigii??,::j.:T*,;i*cd f $ "5 aynftey I.anl-, * oo. Fie pentru aceastaiOPERATII CU SIRURI CARE AU LIMITAr47Pentru a putea afirma gi in aceste cazuri c6. limita motlulului este egal5 cu modulul limitei, sintem condugi si punem prin definifie. l*.ol:+ootil-oi:*oo.$ 4. Operotiicu giruricoreou limitd1 . S u r n os i r u r i l o r o r e o u l i m i t d c Proprietatea cunoscutd: Swma a d,owd ;iruri eonvergente esteun gir conaergentgi limita suruei esteegald.cu suvn&Iim'itelor se extinde, in cantlir, care unul cel pulin din cele doud giruri are limita infinit[, in felul urm[tor: Dacd.an> d ;i bn - * w, atunci an J- bn + * oo. II) Dacd. &* 4 a Si b* -+ - @r atunci ao * bn -> - oo. I)lntr-adevdr, tie (a, I co) o vecin5tate oarecate a lui f co; atunci (a - n, f oo) este de asemenea o vecindtate a lui f co. Deoatece bnn * co, aveln b*e(aa, f co), adicd cu exceptia utrui numdr finit clintre ei. Atunci b, ) a - a penttu tofi indicii, an*bnlela-d.:&, ad,ici, an -l bo G (", * pentru toli "o) d^tbn++co. Proprietatea II) se demonstteazd indicii, cu excep,tia unui numdr finit dintre ei, deciin mod analog.DacE (ar) este convergent sau dacd" a, + f oo, atunci exist[ ocastfel ca 6rn> o(, pentru otice n g N. De asemenea, dacd (a,) este convergent, sau dacd"a, * - oor existi oc astfel ca a.n-{ a pentru orice n e N. Din ceie doui proprietSli de mai sus rezxlte urmetoarele patfll propozifii; @ ;i bn -> foo, atunc'i a,*b^-+ 2) Dacd. G* + a ,si bn -+ {e, atwnci a, I b, + | l) Dacd, &n+ * *oo. x.3) Dacd. &n + & ,sib* + -96, atunci e* * bo -> - oo. 4) Dacd. &n+ - @;i bft -t - oo, et44ncia** bn -) -oo.Bg"ttg a putea afirma. gi in aceste cazlurl c5.Lim,ita surnei este egald cw swma lirnitelor, sintem condugi se punem prin definilie (notind in 1oc "o de *"o).oo f oo: ooa*rc-ocfa,:oo' a+(-oo) -oof(-*) :-oofd:-e :-oo.oricare ar fi a. R; oricare ar fi a e R;DREAPTA INCHEIATA1484tIsens'care s[ cuprindl atit teorema Putem acum da o formular" l11l"te putt" propozilii de mai a douagiruri converg"ot;:;i#""i" relativl 1asuma sus' sau intinitil) (o/-li (iJ 'au l+t''1 (1**u arc limitfl 9i Teoremf,. Daei qiruril" atunci (o*'+ b^) sens, ];lii;"-h gi rtael suma rimit*to* uiu lirn (a* 1- b*) : nlim a* * 1i2b * ' fr'@ 46;-.'"r' - 2n'" ' '-" \i:l',":"i,"-*i,'-'sl --+"' o' "' 2nr o.t, o,"' ' I' Y fi+ u )',t,k-u. t#itu.;*: * oo ti lT - oo"' maideParte ,,ca"i oo Cantlexceptat ,'Observa!ie' *ropruiiii;;;ti'ii"tt;fi d'enumit bn: - oo' Acest caz vaextinsb cleadunare g' E+ R' Cu operafia Fie funcfiile -"'"{.t!-:lit relafii : i'rmitoarele inl-(f(x) 'l s@D>- L\f J@) 4- br e(4zE ftl$i:s'e-U@)-t ePt))--a .avem -an)deci -anbn->IY)Dacd. a* --1 -abr+ {< 0 li bn co, deci "(--x>, atunci anbn -+ {a.abn-> { a.lntr-adev6rbr) -> + co, adic6: -OPERATIICU SIRURI CARE AULiMiTA151oo existi un irumar S[ observdm ci daci a* - a.\ 0 sau a*' * toli- incticii cu"excep}ia unui numar finit or) 0, astfel ca o,J "*p""i{u 'sti dintre ei' < un nufiIer A^^x ar-+ n , atwtci rc, atunci >o, atunciexcepliaunui numarfinit pa"trq l"}i indicii * > o"""rtr"i-;;;j 0); (b,):1,2,3,..'' n' ... (go),,, &, a. ..., a, ... an+ + @; bn+ | a;Lln - + 4 .\b") 2) (a,):l,2,3, ..., m, ." (b):1, 22, 32' . '.' m2," ' I I 1 (ou\ \ b " ) z c n 3 ) ( a n ) : 1 , 2 2 , 3 2 , . . . , M 2 ," ' (b*):1, 2, 3, -..' n, " 'bn a,n -> + d) b n + ! a :'_> bn an+ bn+an - ->&sl ; l : r , ; ' ; ' " "0. + cn at-1- @. I + @ @|[ % ) , t , 2 ,s . ' . ' , n , . - .\b") 4) (a,):2, 2, 6, 4' ..., 4n 2n (bo):l, 2, 3, 4, .. " 2, 2n, " ' l' 2n' "an-> bn->( % ) , " .r , 2 , r . . . . , 2 ,t , . . .\b"lnu ate 1imit6.oblin alte exemple cu - l unul sau ambele giruri din fiecate exemplu, se lnmultind - co' cazul cind unul sau ambele gituri au litnit6 Dentru - co 9i bn+ - a' a."a a,n+ +(n Si.bn+ +co, sau dac' ar+ "-^^"-*irf,t"i"-.tr"i""r"i ei; daci deci qirul cit are termenii pozitivi, cu excepfia unui numbr finit dintre ,ir"r [9] \ onl -p co;' are limild, aceastb limitb este pozitiad (finitd sau154DREAPTA 1NCHEIATApentru un numar a < 0, putem gdsi totcleauna un gir e*+ '? astfel ca ort n.* co gi un qk b*+-a',l!iReamintim cd o altl operatie fir[sens este implrtireacu 0'sau in{initd'),[an\ girul"n[t",cit {3J *" uneori limit[. (finitd S_aar'tat cd dacd"ar+0 9i b* + 0, ,tuul \.bnlalteori nu are limit5.. Dacd. insd a'n4a'l 0 (sau dac| ao+ uneori are limita + co sau an+ + co sau co) 9i bt+0'este totdeaun a nemd'rginit;co' alteorinu are limit5'Putemacumdaoformulareunitarirelativllalimitacituluiad.ou[ giruri : Teoremd.Dac[giruri|e(a*)9i(b-Iaulimita(finitnsauinfinitfl) fmiti 9i: gi dac[ raportul limitelor are sens; atunei]9iru1(;l*"lim an fiml!-n4@ lim'b" n'a bnCaz,ai excePtate:i)]'E l a n l :* "o si :ylu"l : * oo'2"' aici vor fi clenumite ,,caz,^I Fiecare din cele patru cazl'ti cupfinse * -, reduc la caztt|i o ; d" exemplu' daci c De altfel, cazlrlile - a o ' I i, o ' - {'" t o + aoo, iat!!un: -3,tt"'' &n+ -f oo gi b, -> - oo, atunci b*- * avem 9i lim &*:0' acestcaz va fi denumit 2) :*U-:0..??,"Umai d.eparte ,,cazul Obse tvI |alie'I n c a z u lc i n d )*n"+0' ti:*U":0'a v e mt o t -deauna lirar'l:zl:,-o I brl* "o'$ lb'l>oaeufl-*lb"l n t r - a d e v a r b ' l+ 0 , l,lba |co; apoi lanl+lal>o' atwnci (l + x,)*" - e' Votn scrieIrna 0 zn)O1im (1 Ix,)*":e.Sd.punem t":1-*to ; deoarecexn)0 qi xn +0, reztlld!n+dJ qi deci :[, * L\'" n,. \ v*lDarI(r+ton\6:{raal"\ lnlqi deci:I (llxr)rn+e.OPERATII CU SIRURi CARE AU LIMiTAL57T4) Dacd, r* 10,g,i xn -+ 0, atwnci (l * x*)'" + e. Vom scriet1im (1 I xn)"' :ra-O tn10 : I -; qi ro+e.ShpnnemT,deoarece ftn 100, avem !n+-oo, tleci:7\v, | +e.Dar lI+-l \ Y")I(t+*,)il:(r*i)'"gi cleci :1 (lll"n)'tu+e.s) Dacdx* -> foo, atunci2fra*q.Vom scrietlm__+oo.tn+t frnlntr-adevdr,d.eoatece er )- x penltrorice z g -R, avem:adicd:(;fffif: [it(tn)':(i'',e " n l 1 Dar -xn+ + cD, Z>-7xa.;: ( +Y: | tl l*; J \*; /e*n (#)' (,7\'. ( ?\" : '-\',nldeci:ti^ !fta+ q )ln: o",Observalie. Rationamentul de mai sus se aplicd pentru orice baz\. a)-2, in loc de e deoarece penlt:u a )>- 2 aver:n ar > r oricare ar fi z. Se ya ardta mai departe cd avem: lim ha+@ oricare ar fi a) 1. a*n -=-+oo frtu6) Din exemplul 5 rcz:u'ltl, lim !2 : O.tn+a gxttDREAPTA INCHEiATA158 7) Dacd' fr*+ * @, tcnlO' try-'0' auetm : o.x perliiu' x > 0'Vorn scrielimlo'"rna@ la0' deducem x)tln' Din inegalitatea er )- r > xa )- 1' avem PresuPu-nind ' t-\q 1t--:,x :,t"# :,,:: _. :, 2!:2 G'\/n ^ I 2 -->0'adic62 ln ttn -:( l-' ft* !x" Dar xn+ + co' deci \/7nn co' 9i tleci!ndeducem ltn Xo -A -"'Aplicindcriteriuldeconvetgen![al giturilor8) Din exemplul 7 deducem limrr+4a** :+oo.ln Nn lnxo - l --> a nx > o qilntr-aclevbr, deducempresupunindfr* )1' avem-ui**ln' x*n+*,9) Dacd' xo +scrie @' a'l)em xn ' ax''-> 0' Vom 1 i m x n ' e * n: 0 '1&'alntr-adevdr,sb punemfr*:- !n'deci !'-'i.co' Atuncin.ern :- Yne-Y' : "-t]eln-' a'0' x*\t xn --+ Vom scrie l0) Dacd,x* + 0, fr* 2 0, atwnci ltm x*In x*: Q'friaOSd punem y r - - L ; Atunci:deoarecexrr)0 si x,-t0' avem yn++cn'Xn I 1 - ln lt ln llrYn -+ ln v'xoln xn -OPERATIICU $iRURICARE AULIMITA1596. Puteri Pentru puteri de giruri convergente s-a demonstrat c5,: dac| a* + a Si &n + d., dacl" a"are sens (adici a ) 0 pentru cr, 0, an2 0 -( a )- 0 pentru a ) 0), atunci aY -, an, adicd Silim aa:y.Y7) Dacd. an + w 2) Dacd. an.+ a > | 3 ) D a c da n + | , e 4 ) D a c d .n + a 2 l a 5 ) D a c d .n - ! , & 6) Dacd o* --"0 . 7 ) D a c d& n - ! , a ) I B) Dacd o* -* | A 9) Dacd. , --> | * x,siehadn: I a): (j* oo)n" .infinite avem urmetoarele propozifii: , atunci a? - *. , atunci afi" -> w. a t u n c a i. f + " . ' "0 a t u n cai 7 - > 0 . a t u n cai Y - 0 . , atunci aY 0. oo.Pentru girurile care au limitegi u, + sp si ao + 96 ;i uo+ - x, gi a,-+- q, + | si u*--| x, si an + | gi &n+ gi x @,e>a t u n ca ? - r * ian'+ot ) 0 a n + - o " ,a )sdn'7aat'. f, atunci a? -. * oo. 0, a t u n c ia f - 0 .lntr-adevdr, avem: aln: Sd obserr'dm cE.dac6 an-, +lna)0, iar dacd onn!,co, atunci ln an+ 1, atunci lna*+h1co, dac6 an+ asemenea, dacd.p*->+ + cc, attn,:i e\n - + J, iar dacb 9n- - *, ^t:urr.{ rbn+ 0. Cu excepfia propozifiei G) toate celelalte se demonstreazd foiosind teoremele privitoare la produsul de giruri aplicate produsului anh an. Pentru exemplificare, s5. clemonstrbm propozitia 9). Deoarece an+ * @, avertlt ar+ + + co; qi deoarece d^+ - a 4 0, avem an.7na6-> - oo, deci ednlf,an -+ 0, aclich aff + 0. cd, 4p ( Propozilia 6) se demonstreazd astfel: a < 1, cu excepfia unui numdr finit deoarece a6+0, existE un l;ro:rn1t a < 1, astfel de indici. Dar dn+ * co, gi pe baza proprietbfii din an,1 a5) declucem ah declucem af Ldsdm+0; deoarece an>0 (cuexcepliaunuinumbrfinitdeindici), 0. -< ao* -r 0, cleci 4"pe seama cititorului, ca exercifiu, demonstratea celorlalte propozifii.Pentru a putea scrie ti in aceste cazttri, ca gi pentru girurile conVergente, celifr dntim (a?):(1im&*)o'*160DREAPTA INCHEIATA(n > l' ot > 0) sintem condugi s[ Punems s @ : x > i C L @m i 0. :0, s9-@:0;A-t:0;[:J ool^/ 1 \ @:0;{11-- :\ a )o o i o o d:ExewPle. Cazull)1@:dd(a*\:'n, '2 ' (o'6):1, 2' (af):ed' """an ' """ dn4 '''afan+li + co;'' 71"ed' ""'e'+ed' oblitempenttu ad toate oalorile strict pozit'iue'Dindluiu toate ualovile reale' 1 1 'u ' "'' " " 12) (ar):','T'a* ' tuL' " on' '" I n' """ ua+ af; +a'+l; | | a; a'(aa): 1, 22, 32' " (af): e, e2' e3' " -13) (a*) :'-t,'7,""a "'""an'+7i(a*):1,22'""n2' -1b'+!a;e (afi"\:e-a, -2, ""e-n""1 1aff+0'4) (a):"-'''T'' "'an->11 ' "v "n da+ | ca' 3' 4' " ' (u,):l' 2' llu are limitS' (af) : e_a' e' e-r' e' ' ' ' pe e, in ct,' oblinem alte patru exemple pentru cazul 1-o'SchimbindCazuloo d) i e' e2' e3' " '' an' " '4n+ l) (ar): o o ' " " n ' " ' u n + o ; (an\:u'-' rL u (af): e"' od' a6' " " ad' " ' af;n ed ; eq toale valorile strict pozitive'dind lui a toate valorilereale se oblinpentruPUNCTELIMITAALEUNUISIR1612)(an) : e, e22, Bal, ...,erz, ...an++@ i( c r 1 1 :, )1 , .l i.1 ... .;.... d6+0;( a f i n )e , e 2 , - d , . . . . , a n , . . ' , a f f + + c o . :3 ) ( a r ) : e , - e 2 2 ,e 3, . . . , 2 (o"):- r, --, (a!):e-t, 1 i, anL, . . . an+ l . l ;, + @; ..., dn+Ois-2, s-3, ..., a-n, ...af"->0. il 1 + co; I4 ) ( a " ) : e , e 2 ,e 3 , . . . , a r , . . . , d n +(o"):-1,t, (af):t....,(-1)";,..., ui+0;e-r, e, e-t, e, . . . nu are limit5.Reamintim c6, altd. operafie firb sens este 00. 7n caztl cind. ao+ 0, (a* > 0) gi a, -> 0, despre gkul (aj") nu se poate afirma nimic. Uneori are limitd finiti pozitivS, sau * co, alteori nu are 1imit5. Mai