1. Serii numerice.Aplicaii

I. S se studieze convergena urmtoarelor serii numerice:

1). 2). 3).

4). 5). 6).

7). 8). 9).

10). 11).

(discuie dup valorile paramatrului real .)

Rezolvare. 1). ~, unde prin ~ am notat faptul c seria dat este echivalent ) are aceeai natur) ca i seria . Dar aceast serie reprezint un caz particular al seriei armonice generalizate , adic al seriei

, care este convergent pentru i divergent pentru n cazul nostru , deci seria este convergent. Deoarece seria dat este convergent cu o serie convergent rezult c i ea este convergent.

2). ~ .Dar seia este divergent i prin urmare seria este divergent.

3). Seria este o serie alternat, adic o serie de forma cu . Pentru a studia convergena unei astfel de serii se aplic criteriul lui Leibniz. n acest scop trebuie verificate cele dou condiii corespunztoare acestui criteriu:

a). irul este descresctor (strict descresctor)

b) .

n cazul nostru ; , 2.Serii de puteri. Aplicaii.

I.S se determine mulimea de convergen pentru urmtoarele serii de puteri:

1. 2. 3.

4. 5. 6. .

Rezolvare. 1). Avem . Vom determina mai nti raza de convergen. Pentru aceasta vom aplica teorema Cauchy Hadamard. Fie

Din teorema lui Abel rezult c mulimea de convergen este cel puin intervalul (-R,R), adic intervalul (-3,3). La aceast mulime de convergen se mai pot aduga eventual -3 i 3.Pentru x=-3, seria de puteri devine o serie numeric, mai precis

.

Aceast serie este divergent deoarece nu converge ctre 0.Pentru x=3, obinem seria numeric

care este de asemenea divergent. n concluzie mulimea de convergen este (-3,3). 2). Calculm limita

Mulimea de convergen minimal care rezult din teorema lui Abel este (-1,1). Pentru x=-1, seria de puteri se transform n seria numeric

care este convergent conform criteriului lui Leibniz. Pentru x=1, avem seria numeric

care este o serie convergent. Prin urmare mulimea de convergen este A=[-1,1].

3). Mulimea de convergen a seriei este prin urmare cel puin intervalul(-1,1). S vedem ce se ntmpl n punctele x=-1 i x=1. Astfel pentru x=-1, avem

cre este o serie numeric divergent.Pentru x=1, se obine seria numeric

care este de asemenea diveregent. n concluzie mulimea de convergen este A=[-1,1].

4). Mulimea de convergen care rezult din teorema lui Abel este (-1,1). Pentru x=-1, avem:

care este o serie numeric divergent.Pentru x=1, avem seria numeric

care este de asemenea divergent. Mulimea de convergen este aadar A=(-1,1).

5). Notm . Seria de puteri dat este

unde . Determinm raza de convergen pentru seria n y.

.

Mulimea de convergen minimal pentru seria n y este prin urmare (-2,2). Pentru , avem

Aceast serie este convergent(se aplic criteriul lui Leibniz). Pentru , obinem seria numeric care este de asemenea convergent (de exemplu aplicnd critweriul raportului). Aadar mulimea de convergen pentru seria de puteri n y este [-2,2]. Pentru a determina mulimea de convergen pentru seria inial (n variabila x), inem seama de faptul c

.

3.Derivate pariale. Diferenialele funciilor de mai multevariabile. Aplicaii.

1. S se calculeze difereniala de ordinul I, a funciei Rezolvare. Difereniala de ordinul I, a funciei f este:

.Prin urmare va trebui s calculm derivatele pariale de ordinul I ale funciei f.

locuind n formula diferenialei de ordinul I, obinem:

2. S se calculeze difereniala de ordinul I, a funciei

. Rezolvare. Difereniala de ordinul I, a funciei f este:

.

=

+

+ .

3.Se consider funcia . S se calculeze i Rezolvare.Considerm funciile

Aceste funcii sunt difereniabile i prin urmare funcia este difereniabil i avem:

.

;

.4. S se calculeze derivatele pariale de ordinal I pentru funcia:

Rezolvare. Funcia dat se mai poate scrie i sub forma

.

.

5. Se consider funcia , unde funcia este difereniabil pe domeniul D. S se arate c

Caz particular

Rezolvare. Notm ;

=

4.Extremele funciilor de mai multe variabile. Formula lui Euler.Aplicaii.

1. S se determine punctele de extrem ale urmtoarelor funcii de dou variabile:

a).

b).

c).

d).

e). Rezolvare. a). Mai nti determinm punctele staionare (critice) ale funciei f. Acestea reprezint soluiile sistemului de ecuaii:

Rezolvnd acest sistem se obin punctele staionare (critice) (0,0) i (-1,-1). n continuare vom aplica fiecruia din cele dou puncte staionare. algoritmul de determinare a punctelor de extrem.

.Prin urmare punctul staionar (0,0), nu este punct de extrem. n ceea ce privete punctul staionar (-1,-1), avem:

.

n consecin punctul staionar (-1,-1) este punct de extrem. Deoarece , rezult c punctul staionar (-1,-1) este punct de maxim. b). Determinm punctele staionare, rezolvnd sistemul de ecuaii:

a crui unic soluie este (3,-2). S studiem dac punctul staionar (3,-2) este punct de extrem al funciei f.

Aadar punctul staionar (3,-2) este punct de extrem. Deoarece , rezult c punctul staionar (3,-2) este punct de minim.

c). Punctele staionare ale funciei f se obin ca soluii ale sistemului

Acest sistem are soluiile (-1,-1), (), (1,-1), (-1,1). Pentru a stabili care dintre aceste puncte staionare sunt puncte de extrem ale funciei f utilizm metoda hessianei.

Deoarece det(), rezult c punctul staionar (-1,-1) nu este punct de extrem . Pentru punctul staionar ()

.

Prin urmare punctual staionar (), este un punct de minim.

.Aadar punctual staionar (1,-1) nu este punct de extrem. La aceeai concluzie se ajunge i n legtur cu punctul staionar (-1,1), deoarece

.d). Determinm punctele staionare ale funciei f:

Rezolvnd acest sistem obinem punctul staionar ().

.

.

Punctul staionar (), nu este punct de extrem.e). S determinm punctele staionare ale funciei f.

Acest sistem are soluiile i

Prin urmare punctul staionar (), nu este punct de extrem.

.

Deci punctul staionar () este punct de extrem i deoarece

,rezult c acest punct este unul de minim.

5.Aplicaii la integrale improprii (generalizate)

I. S se studieze convergena urmtoarelor integrale improprii i n caz de convergen s se calculeze.

1. Rezolvare. Avem o integral improprie de prima spe, deoarece n x=0 avem o singularitate de prima spe.

=

= .n continuare efectum urmtoarea schimbare de variabil:

.Avnd n vedere aceast schimbare de variabil i calculele aferente acesteia, putem scrie:

= =

=

Prin urmare , este convergent i valoarea ei este egal cu -2+2ln2.

2. .Rezolvare. Avem din nou o integral improprie de prima spe, cu singularitate n punctul x=1. Mai nti efectum urmtoarea schimbare de variabil:

,

.Prin urmare avem:

=

.

3. ,

Rezolvare. Avem o integral improprie de spea a doua, domeniul de integrare fiind nemrginit (singularitate de spea a doua la ).

=

=

= .

4. .

Rezolvare.

=

6.Aplicaii la integralele curbilinii

1. S se calculeze lungimea unei bucle de cicloid a crei ecuaie parametric este:

Rezolvare.

=

Lungimea unei bucle de cocloid ,se calculeaz cu ajutorul integralei curbilinii de prima spe astfel:

= 2. S se calculeze lungimea unei astroide, tiind c ecuaia parametric a acesteia este:

Rezolvare. Lungimea astroidei , se calculeaz cu ajutorul integralei:

.

=

=

3. S se calculeze lungimea unei cadioide tiind c ecuaia acesteia exprimate n coordonate polare este Rezolvare. Lungimea curbei (cardioida) a crei ecuaie este dat n coordonate polare se calculeaz cu ajutorul integralei:

=

7. Integrale duble

I. S se calculeze urmtoarele integrale duble

1. , unde D = [-1,0] [1,2]. Rezolvare.

=

Observaie. Calculul acestei integrale duble se putea face i astfel:

=

2. Se consider funciile reale fi f definite pe intervalul [-1,1], prin relaiile f(x)= x, f (x) = 1. S se calculeze

,

tiind c D este determinat de intersecia graficelor funciilor fi f .Rezolvare.

=

3. S se calculeze aria domeniului D mrginit de dreapta de ecuaie y=x i arcul de parabol

y=x. Rezolvare. Notm cu A aria domeniului D mrginit de dreapta de ecuaie y=x i arcul de parabol

y=x. Avem:

A=. 4. S se calculeze integrala dubl:

I=,

tiind c domeniul D este definit astfel: D={(x,y);. Rezolvare. Descompunem domeniul D n patru subdomenii corespunztoare celor partru

cadrane ale planului xOy. Notm aceste subdomenii cu, Di=. S mai remarcm faptul

c mulimile D nu au puncte interioare comune (au puncte comune doar pe frontier) i n

plus reuniunea lor este D, adic . n continuare vom explicita mulimile D:

D

D

D

D.

Avnd n vedere consideraiile fcute asupra mulimilor D, putem scrie:

I= = + +

+ . n continuare vom calcula prima integral din membrul drept al relaiei de mai nainte.

Calculnd celelalte trei integrale din membrul drept al relaiei de descompunere a integralei

I=

Vom obine pentru fiecare dintre ele aceeai valoare adic . Prin urmare

I==

8.Aplicaii la elemente de teoria cmpurilor.

S se demonstreze urmtoarele egaliti: 1. div (uf ) = ( grad (u), f) + u div (f), unde u este un cmp vectorial iar f este un cmp vectorial. Rezolvare.

2. grad (uv) = u grad (v) + vgrad(u) Rezolvare.

3. rot(grad(u)) = [] = 0 (vectorul nul din spaiul tridimensional), iar f=grad(u). Rezolvare. ntr-adevr

rot(grad(u)) = [] = [] =

= =0 4.

div(grad(u)) = u , unde reprezint operatorul lui Laplace i care se poate aplica att cmpurilor scalare ct i cmpurilor vectoriale.Rezolvare.

div(grad(u)) = div()= = u.

Se pot demonstra i alte egaliti n care apar operatorii difereniali de ordinul nti din teoria cmpurilor:a) rot(grad(u)) =0b) div(rot(f))=0c) div (f) = g rot(f)