vectori i n plan

Dacă un automobil se află în centrul unei intersecţii şi se deplasează cu viteza de 40 km/h pot şti unde se va afla după 5 minute?

Dar dacă ştiu direcţia şi sensul deplasării?

Dacă Lassie şi Hector trag de răţoiul Duck în acest mod, unde se va afla acesta în cele din urmă?

Parcă am mai văzut pe undeva figura asta…

- Cele două maşini sunt pornite, au accelerat, dar rămân pe loc…Ce-o mai fi şi asta, se întreabă Ionică. O fi ceva legat de vectorii

aceia opuşi?

Pinguinul vrea să ajungă mai repede acasă, iar vântul îi bate din faţă. De ce înaintează aşa de greu?

Se compun vitezele, moşule!

SEGMENT ORIENTAT. VECTOR LIBER

Definitia 2.1.1 Numim segment orientat orice pereche ordonata (A, B) Vom folosi notatia pentru acest segment,carui reprezentare grafica este data în fig. 1.Punctul A se va numi originea segmentului orientat iar B vârful sau extremitatea. Daca puntele A si B sunt diferite atunci acestea determina în mod unic odreapta care se numeste dreapta suport a segmentului orientat.Daca C = D atunci convenim sa numim segmentul orientat (C, D) = segment orientat nul. Este evident ca un segment orientat nul nu determina în mod unic o dreapta, ceea ce face ca în acest caz sa spunem ca orice dreapta care trece prin punctul C este o dreapta suport a segmentului

O

Aa

VECTORI

Definiţie: Un vector este un segment de dreaptă orientat.

Caracteristicile unui vector:- dreapta suport ( ) sau direcţia vectorului;- punctul de aplicaţie (O);- sensul vectorului ( de la O câtre A );- valoarea numerică sau modulul vectorului dată de

lungimea segmentului exprimată în unităţi de măsură. Modulul vectorului se notează sau simplu

OAa

a

EGALITATEA VECTORILOR

Doi vectori sunt consideraţi egali dacă au dreptele suport paralele, acelaşi sens şi module egale.

a

b

Vectorii se pot compune folosind :

Metode geometrice Metoda analitică

A) Metodele geometrice sunt :

Regula paralelogramului Regula triungiului Regula poligonului

REGULA PARALELOGRAMULUI

Regula paralelogramului este cea mai cunoscută metodă de compunere a doi vectori concurenţi.

A compune vectorii a şi b înseamnă a găsi modulul şi orientarea vectorului rezultant c = a + b .

a

b

a

b

Regula paralelogramului are următoarele etape :

1. Se translatează (se deplasează paralel cu ei înşişi ) vectorii a şi b până au origine comună

2. Se construieşte paralelogramul care are ca laturi cei doi vectori :- prin vârful lui a se duce paralelă la b- prin vârful lui b se duce paralelă la a

3. Se construieşte vectorul sumă c ( este diagonala paralelogramului dusă prin originea vectorilor )

c

Vectorul sumă c are următoarele caracteristici:- originea comună cu originile celor doi vectori a

şi b ; - direcţia de-a lungul diagonalei paralelogramului;- sensul dat de săgeată;- modulul egal cu lungimea diagonalei

paralelogramului.

Cei doi vectori au direcţii perpendiculare

În acest caz paralelogramul devine un dreptunghi şi putem calcula modulul c aplicând teorema lui Pitagora.

a

b

c² = a² + b²

Caz particular

ca

b

COMPUNEREA (ADUNAREA) VECTORILOR

DEFINIŢIE: Operaţia de adunare a doi vectori, numită şi compunerea lor, are drept rezultat un vector numit suma lor.

REGULA PARALELOGRAMULUI

REGULA TRIUNGHIULUI

a

b

a

b

Regula triunghiului este o metodă de compunere a doi vectori.

Regula triunghiului are următoarele etape:

1. Se translatează un vector ( b ) până când originea lui va fi în vârful celuilalt vector ( a )

2. Se uneşte originea primului vector a cu vârful lui b şi se obţine vectorul sumă c

REGULA TRIUNGHIULUI

a

b

a

b

c

Cazuri particulare

a) Cei doi vectori au direcţii perpendiculare

Se poate calcula modulul c cu terema lui Pitagora

a

b

a

b

cc² = a² + b²

b) Vectorii au aceeaşi orientare (aceeaşi direcţie şi acelaşi sens)

Modulul c este egal cu suma modulelor a şi b.

a b a b

c = a + b

c

c) Vectorii au aceeași direcţie şi au sensuri opuse

Modulul c este egal cu diferenţa dintre modulele a şi b.

a ab

bc

c = a - b

REGULA POLIGONULUI

Regula poligonului este folosită pentru a aduna 3 sau mai mulţi vectori.

Etapele sunt:1. Se translatează vectorul b cu originea în

vârful vectorului a, apoi se translatează vectorul c cu originea în vârful vectorului b şi mai departe

2. Vectorul sumă s uneşte originea primului vector cu vârful ultimului vector

aa

b b

c c

s

1a 2a

3a

12a 23a

s

REGULA POLIGONULUI

231312321 aaaaaaas

CONCLUZIE: ADUNAREA VECTORILOR ARE PROPRIETĂŢILE DE COMUTATIVITATE ŞIASOCIATIVITATE

SCĂDEREA VECTORILOR

a

b

bac

a

b

abd

cd

Observaţie: scăderea vectorilor nu este comutativă

ÎNMULŢIREA UNUI VECTOR CU UN SCALAR

0;k akb ;

aO

O

aO

O

b

ab

0;k akb ;

ab

b

Prin înmulţirea unui vector cu un scalar se obţine tot un vector ce are:- Aceeaşi direcţie cu direcţia vectorului iniţial;- Acelaşi sens cu sensul vectorului iniţial dacă scalarul este pozitiv; sens contrar sensului vectorului iniţial dacă scalarul este negativ;- Modulul egal cu produsul dintre modulul vectorului iniţial şi scalar.

w

a

a

aw

;waa

7a unităţi wa

7

VERSORUL UNUI VECTOR

Versorul (vectorul unitar) al unui vector a

are direcţia şi sensul vectorului a

, iar modulul egal cu unitatea.

VALOAREA NUMERICĂ A SUMEI DE DOI VECTORI

a

bbac

20cos ccccc o

bbabbaaababa

22 cos2 bababbabbaaa

222 cos2 babac

CAZURI PARTICULARE

b

1. Vectori paraleli şi de acelaşi sens:

bababac 22 20

a

c

a

b

bad

VALOAREA NUMERICĂ A DIFERENŢEI DE DOI VECTORI

bad

20cos ddddd o

bbabbaaababa

22 cos2 bababbabbaaa

222 cos2 babad