s rdefinitia l i siiruuluui - sibiulcopiilor.ro · -- sirul este o progresie aritmetica daca si...

Clasa a X-a Algebra - 1

Cap. III : PROGRESII

Progresii

Definitia ssiirruulluuii :

- Se numeste sir de numere reale o aplicatie :

R N : f , anf n , N n

- sirul f se scrie : an n 0 sau an Nn

care are termenii :

an n 0 : aaaaaa nnn , , , ........ , , , 12210

unde : an = termenul general al sirului .

Definirea uunnuuii ssiirr :

Exista mai multe posibilitati de a descrie un sir :

1). Printr-o regula de calcul : in acest caz este necesara o exprimare analitica pentru termenul

de rang n , an , care sa permita calcularea oricarui termen al sirului .

Exemplu :

12

n

nan , n 0 sau nnan

23 , n 0 , etc.

2). Prin mai multe reguli de calcul : ca de exemplu

impar daca ,

par daca , 1

2n

nn

nxn n 0

3). Printr-o relatie de recurenta : un termen al sirului se exprima in functie de unul sau mai

multi termeni precedenti .

Pentru a determina bine elementele sirului trebuie dati unul sau mai multi termeni.

Exemplu :

1 , 1 , 100 aaaa nnn n

, n 0 ;

xxxx nnn n 3 , 2 , 100

, n 0 .

Clasa a X-a Algebra - 2

Cap. III : PROGRESII

Progresii

Definitia pprrooggrreessiieeii AArriittmmeettiiccee :

- Fie sirul an n 1 cu termenii sai : a1 , a2 , a3 , … , an ;

- Un sir de numere in care fiecare termen , incepand cu al doilea , se obtine din cel precedent

prin adaugarea aceluias numar r , sa numeste progresie aritmetica .

- Avem relatia :

raa nn 1

unde : r = este un numar constant pentru sirul dat ;

r = ratia progresiei aritmetice .

- Asadar pentru a proba ca sirul an n 1 este progresie aritmetica trebuie aratat ca diferenta a

doi termeni consecutivi an 1 , an este constanta :

constant1 aa nn , 2 n

Observatii :

1). - Sa observam ca daca se cunosc primul termen a1 si ratia r pentru progresia

aritmetica , atunci aceasta este bine determinate , in sensul ca se pot determina toti termenii acesteia :

raa 12

raraa 2123 e.t.c. .

2). - Ca si concluzie :

orice problema cu progresie aritmetica poate fi reformulate cu ajutorul lui a1 si r .

3). - Faptul ca sirul an este o progresie aritmetica se marcheaza prin :

a1 , a2 , a3 , … , an …

4). - Se spune ca numerele a1 , a2 , a3 , … , an sunt in progresie aritmetica daca sunt

termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice .

Clasa a X-a Algebra - 3

Cap. III : PROGRESII

Progresii

Proprietatea 1 : MMoonnoottoonniiaa :

-- Progresia aritmetica an n 1 este un sir :

- strict crescator , daca ratia 0r ;

- strict descrescator , daca 0r .

Proprietatea 2 : FFoorrmmuullaa tteerrmmeennuulluuii ggeenneerraall :

-- Daca sirul an este o progresie aritmetica avand primul termen a1 si ratia r , atunci

termenul general an are forma :

rnaan 11 , 1 n .

Proprietatea 3 :

-- Sirul an n 1 este o progresie aritmetica daca si numai daca orice termen al sau ,

incepand cu al doilea , este media aritmetica a termenilor vecini lui , adica daca :

2

11 aaa

nn

n

, 2 n .

Proprietatea 4 :

-- Daca numerele a1 , a2 , a3 , … , an 1 , an sunt in progresie aritmetica , atunci :

aaaaaa knknn 1121 ..... , nk ,1 .

- Suma oricaror doua numere egal departate de numerele extreme aa knk 1 este egala

cu suma numerelor extreme aa n1 .

Proprietatea 5 : SSuummaa pprriimmiilloorr nn tteerrmmeennii :

-- Daca sirul an este o progresie aritmetica atunci :

naa

aaaSn

nn

2

.....1

21 , 1 n .

Clasa a X-a Algebra - 4

Cap. III : PROGRESII

Progresii

- Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice este egala cu produsul dintre

semisuma termenilor extremi si numarul termenilor sumei .

Observatii :

1). Suma S n se poate exprima in functie de primul termen a1 si ratia r astfel :

2

12 1 nrnaS n

.

2). Sa observam ca termenul general an se poate exprima cu ajutorul sumelor S n , mai

précis :

SSa nnn 1 , 2 n .

Clasa a X-a Algebra - 5

Cap. III : PROGRESII

Progresii

Exercitiul nr. 1 :

Sa se scrie primii patru termeni ai progresiei aritmetice (an) , daca :

a). 2 , 71 ra ; b). 5 , 31 ra ; c). 3,0 , 3,1 21 aa ; d). 5

1 ,

7

221 aa .

Exercitiul nr. 2 :

Sa se gaseasca primii doi termeni ai progresiei aritmetice (bn) data astfel :

a). ; ... , 27 , 21 , 15 , , 21 bb b). ; ... , 5 , 2- , 9- , , 21 bb .

Exercitiul nr. 3 :

Daca se cunosc doi termeni ai unei progresii aritmetice (cn) :

a). ; , , gaseasca se sa , 13 si 7 152952 ccccc

b). ; , , gaseasca se sa , 20 si 40 19716208 ccccc .

Exercitiul nr. 4 :

Intr-o progresie aritmetica (an) se cunoaste a1 si r . Sa se gaseasca an daca :

a). ; 12 , 5,0 , 21 nra b). ; 19 , 5,1 , 31 nra

c). ; 50 , 2 , 5,21 nra d). . 25 , 3

1 ,

7

31 nra

Exercitiul nr. 5 :

Sa se gaseasca primul termen a1 al unei progresii aritmetice , daca :

a). ; 12 , 13110 ra b). ; 5 , 12552 ra

c). ; 3 , 0200 ra d). ; 5,0 , 5,1344 ra .

Exercitiul nr. 6 :

Sa se gaseasca primul termen si ratia unei progresii aritmetice , daca :

a). ; 60 , 27 275 cc b). ; 47 , 74 7447 cc

c). ; 92 , 0 6620 cc d). ; 21 , 42 31071 aaaa

Clasa a X-a Algebra - 6

Cap. III : PROGRESII

Progresii

e). ; 28 , 16 5142 aaaa f). ; 3 , 8 3510 SSS .

Exercitiul nr. 7 :

Sirul (yn) este dat prin formula termenului al n-lea :

a). ; 52 nyn

b). ; 710 nyn

Sa se demonstreze ca sirul (yn) este o progresie aritmetica . Sa sa gaseasca primul termen al sau si ratia

Exercitiul nr. 8 :

Sa se gaseasca suma primilor 100 de termeni ai unei progresii aritmetice (an) , daca :

a). ; 150 , 10 1001 aa b). ; 5,7 , 5,5 1001 aa

c). ; 5 , 21 ra d). ; 1 , 11 ra .

Exercitiul nr. 9 :

Cunoscand suma Sn a primilor n termeni ai unei progresii aritmetice (an) , sa se gaseasca

a). primii cinci termini ai progresiei , daca : nn

S n 4

2

;

b). primul termen si ratia progresiei , daca : nnS n 322 .

Exercitiul nr. 10 :

Sa se resolve ecuatiile :

a). 280.....1371 x ; b). 15528.....741 xxxx .

Exercitiul nr. 11 :

Sa se gaseasca suma primilor douazeci de termeni ai unei progresii aritmetice , daca :

20151296 aaaa

Exercitiul nr. 12 :

Este progresie aritmetica un sir , pentru care suma primilor n termeni ai sai este data de

formula :

a). nnS n 22 ; b). 114

2 nS n ;

c). 17 nS n ; d). 32 nnS n .

Clasa a X-a Algebra - 7

Cap. III : PROGRESII

Progresii

Exercitiul nr. 13 :

Intr-o progresie aritmetica avem S10 = 100 , S30 = 900. Sa se gaseasca S50 .

Exercitiul nr. 14 :

Suma primilor n termeni ai unui sir oarecare (bn) este data de formula Sn = n2 – 2n + 5

Sa se gaseasca primii patru termeni ai acestui sir .Este acest sir o progresie aritmetica ?

Exercitiul nr. 15 :

Sa se demonstreze ca numerele urmatoare sunt in progresie aritmetica :

a).

0,1 , 1

1 ,

2

1 ,

1

2

xx

xx

ax

x

ax

x

a ;

b). bababababa222222

2 , , 2222

.

Exercitiul nr. 16 :

Sa se demonstreze ca daca numerele a , b , c sunt in progresie aritmetica , atunci si

numerele urmatoare sunt in progresie aritmetica :

a). abccabbca 222 , , ; b). babaacaccbcb222222 , , .

Exercitiul nr. 17 :

Sa se demonstreze ca daca numerele a2 , b2 , c2 sunt in progresie aritmetica , atunci si

numerele urmatoare sunt in progresie aritmetica :

a). baaccb

1 ,

1 ,

1 ; b).

ba

c

ac

b

cb

a

, , .

Clasa a X-a Algebra - 8

Cap. III : PROGRESII

Progresii

Definitia pprrooggrreessiieeii GGeeoommeettrriiccee :

- Fie sirul bn n 1 cu termenii sai : b1 , b2 , b3 , … , bn , cu conditia 01b ;

- Un sir de numere in care fiecare termen , incepand cu al doilea , se obtine din cel precedent

prin inmultirea cu acelasi numar 0q , sa numeste progresie geometrica .

- Avem relatia :

qbb nn 1 , 2n

unde : 0q = este un numar constant pentru sirul dat ;

q = ratia progresiei geometricee .

- Asadar pentru a proba ca sirul bn n 1 este progresie geometrica trebuie aratat ca raportul a

doi termeni consecutivi bn 1 , bn este constant :

b

b

n

n

1

constant , 2n

Observatii :

1). - Sa observam ca daca se cunosc primul termen b1 si ratia q pentru progresia

geometrica , atunci aceasta este bine determinata , in sensul ca se pot determina toti termenii acesteia :

qbb 12

qbqbb2

123 e.t.c. .

2). - Ca si concluzie :

orice problema cu progresie geometrica poate fi reformulata cu ajutorul lui b1 si q .

3). - Faptul ca sirul bn n 1 este o progresie geometrica se marcheaza prin :

. .

. . b1 , b2 , b3 , … , bn …

Clasa a X-a Algebra - 9

Cap. III : PROGRESII

Progresii

Proprietatea 1 : MMoonnoottoonniiaa :

-- Fie bn n 1 o progresie geometrica de ratie 0q . Daca :

- strict crescator , daca 01b si 1q : .......... 121 bbbb nn ;

- strict descrescator , daca 01b si 1,0q : .......... 121 bbbb nn .

- strict descrescator , daca 01b si 1q ;

- strict crescator , daca 01b si 1,0q .

Proprietatea 2 : FFoorrmmuullaa tteerrmmeennuulluuii ggeenneerraall :

-- Daca sirul bn n 1 este o progresie geometrica de ratie 0q , atunci termenul general

bn are forma :

qbbn

n

1

1

, 1 n .

Proprietatea 3 :

-- Sirul bn n 1 cu termeni nenuli este o progresie geometrica daca si numai daca orice

termen al sau , incepand cu al doilea avem :

bbb nnn 11

2

, 2 n .

Proprietatea 4 :

-- Daca numerele b1 , b2 , b3 , … , bn sunt in progresie geometrica , atunci :

bbbbbb knknn 1121 ..... , nk ,1 .

- Produsul oricaror doua numere egal departate de numerele extreme bb knk 1 este egala cu

suma numerelor extreme bb n1 .

Clasa a X-a Algebra - 10

Cap. III : PROGRESII

Progresii

Proprietatea 5 : SSuummaa pprriimmiilloorr nn tteerrmmeennii :

-- Daca sirul bn n 1 este o progresie geometrica de ratie 0q atunci :

1 daca ,

1 daca , 1

1

.....

1

1

21

qbn

qq

qb

bbbS

n

nn .

Exercitiul nr. 1 :

Sa se scrie primii cinci termeni ai progresiei geometrice (bn) daca :

a). 2 , 61 qb ; b). 2

1 , 101 qb ;

c). 5.0 , 241 qb ; d). 3 , 5,02 qb .

Exercitiul nr. 2 :

Sa se gaseasca primii doi termeni ai progresiei geometrice (yn) , data astfel :

a). ; ... , 54 , 36 , 24 , , 21

yy b). ; ... , 81 , 135- , 225 , , 21

yy

Exercitiul nr. 3 :

Daca se cunosc doi termeni ai unei progresii geomatrice (bn) :

a). ; , , gaseasca se sa , 24 , 6 109753 bbbbb

b). ; , , gaseasca se sa , 10 , 10 3126810 bbbbb

Exercitiul nr. 4 :

Este progresie aritmetica sau progresie geometrica sirul (an) , daca :

a). aaa nn 2 si 5 11 ; b). aaa nn 2 si 5 11 ;

c). aaa nn 3

1 si 8 11 ; d). aaa nn

3

1 si 8 11 .

Clasa a X-a Algebra - 11

Cap. III : PROGRESII

Progresii

Exercitiul nr. 5 :

Sa se scrie formula termenului al n-lea al progresiei geometrice date prin :

a). bb n3b , 2 1n1 ; b). bb n3b , 4 1n1 ;

c). bb n2b , 9 1n1 ; d). bb n5

1b , 10 1n1 .

Exercitiul nr. 6 :

Sa se gaseasca primul termen si ratia unei progresii geometrice , daca :

a).

8

4

13

12

aa

aa ; b).

8

7

16

7

123

14

aaa

aa

;

c). 9 , 25 86 aa ; d). 16

723 , 12 74 aa .

Exercitiul nr. 7 :

Sa se calculeze sumele :

a). ?2.....22211532 ; b). ?2.....2221

1232 ;

c). ?2

1.....

2

1

2

1

2

11632 ; d). ?

3

1.....

3

1

3

1

3

11232 ;

e). ?..... 10032 xxxxx ; f). ?..... 17753 xxxxx .

Exercitiul nr. 8 :

Sa se rezolve ecuatiile :

a). 0......19932 xxxx ; b). 0......1

10032 xxxx .

Exercitiul nr. 9 :

Fie (yn) o progresie geometrica , astfel incat suma primilor n termeni ai sai este :

152 nnS . Sa se determine S4 , y1 , y2 .

Exercitiul nr. 10 :

Este o progresie geometrica un sir , pentru care suma primilor n termeni ai sai este data

de formula :

a). 12 nS n ; b). 12 n

nS ; c). 13 nnS .

Clasa a X-a Algebra - 12

Cap. III : PROGRESII

Progresii

Exercitiul nr. 11 :

Intr-o progresie geometrica avem S3 = 40 , S5 = 60 . Sa se gaseasca S9 .

Exercitiul nr. 12 :

Sa se determine x astfel incat numerele a+x , b+x , c+x , sa fie in progresie geometrica .