matematici aplicate in economie
Post on 14-Jul-2015
149 Views
Preview:
TRANSCRIPT
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 1/38
UNIVERSITATEA “SPIRU HARET” CONSTANŢAFACULTATEA MANAGEMENT FINANCIAR CONTABILMATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - GRILESpecializările: CIG, FBLect. univ. drd. Antoneta Jeflea
1. Spaţiile vectoriale sunt cazuri particulare de:a) mulţimi de funcţii b) grupuri abelienec) mulţimi de izomorfisme
2. Spaţiile vectoriale au:a) aceeaşi dimensiune b) acelaşi număr de elementec) aceleaşi tipuri de subspaţii
3. Valorile proprii ale unui operator sunt soluţii:a) ale ecuaţiei 0)]det[( =− I A λ b) ale unei ecuaţii de gradul 2c) ale unei ecuaţii diferenţiale
4. La o PPL condiţiile de pozitivitate sunt valabile pentru:a) o parte din necunoscute b) nici o necunoscută c) toate necunoscutele
5. Un şir de numere este:a) o mulţime ordonată natural b) un spaţiu bidimensionalc) o funcţie
6. Limita unei funcţii într-un punct se calculează dacă punctul este:a) din afara domeniului de definiţie b) punct de acumulare al domeniului de definiţiec) punct aderent al domeniului de definiţie
7. În 3 R se consider ă o bază: { }.)3,2,1(),0,1,1(),0,1,1( 321 ==== eee B Scrieţi matricea de
trecere de la baza canonică a spaţiului 3 R la această bază B.
a)⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ ==
111
321
001
],[ B E M C
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 2/38
b)⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ ==
311
201
101
],[ B E M C
c)⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
==300201
111
],[ B E M C
8. Precizaţi dacă următoarea definiţie: “Un sistem de vectori { } I ii
b B ∈= formează o bază
a spaţiului vectorial V dacă:i) B este sistem de vectori liniar dependenţiii) B este sistem de generatori pentru V” este:
a) corectă b) incorectă
c) incompletă
9. Să se determine vectorul normat din 4 R ortogonal vectorilor:)3,1,1,2(),1,1,1,1(),1,1,1,1( 321 =−−== vvv
a) )0,2
1,
2
1,0( ±= μv
b) )0,2
1,
2
1,0(=v
c) )0,
2
1,
2
1,0( −−=v
10. Criteriul general al lui Cauchy “Seria ∑∞
=1n
na este convergentă dacă şi numai dacă
N n ∈∀>∃ ε ε )(0)( astfel încât N pnnaaa pnnn ∈∀≥∀>+++ +++ )()(...21 ε ε ” este:
a) corect b) incompletc) incorect
11. Seria ∑≥1
1
n nα este convergentă dacă şi numai dacă:
a) 1<α b) 1>α c) 1=α
12. Criteriul raportului al lui D’Alembert: “Fie seria 0;1
≥∑∞
=n
n
n aa şi fie1
lim+
∞→=
n
n
n a
al
Dacă ⇒< 1l seria este convergentă Dacă ⇒> 1l seria este divergentă
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 3/38
Dacă ⇒= 1l nu se poate stabili natura seriei pe baza acestui criteriu” este:
a) incorect b) corectc) incomplet
13. Operatorul Laplace este:a) operator de derivate par ţiale de ordin I b) operator de derivate par ţiale de ordin IIc) operator de derivate par ţiale de ordin III
14. Diferenţiala funcţiei y xe y x f += 2),( este:
a) dyedxedf y x y x ++ += 22
b) dyedxedf y x y x ++ += 222
c) dyedxedf y x y x ++ += 22 22
15. Care este valoarea integralei Euler – Poisson ∫ ∞
−
0
2
dxex ?
a) π =∫ ∞
−
0
2
dxex
b) π =∫ ∞
−
0
2
dxe x
c)
20
2 π =∫
∞− dxe x
16. Să se studieze natura seriei: ∑∞
=+
−
112
13
3
2
nn
n
a) Seria este divergentă b) Seria este convergentă c) Seria este absolut convergentă
17. Să se calculeze integrala: dx x x I ∫ −=1
0
2
a) 8
π
= I
b)4
π = I
c)2
π = I
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 4/38
18. Să se calculeze integrala dublă: ∫ ∫ =a
xa
ydydx I sin
2
0
π
a)2
a I
π =
b)2
3
a I π =
c)2
2a I
π =
19. Să se integreze ecuaţia diferenţială:
011 22
=+
++ x
dx
y
dy
a) C arctgxarctgy =+ b) C arctgxarctgy =+2
c) C arctgxarctgy =+ 2
20. Să se calculeze suma seriei de termen general:
1,)13)(23(
1≥
+−= n
nnu
n
a)3
5=S
b)3
1=S
c) 3
2
=S
21. Un sistem de vectori care conţine vectorul nul:a) este sistem de generatori b) este bază c) nu este liniar independent
22. Orice spaţiu metric este:a) spaţiu compact b) spaţiu normatc) spaţiu Euclidian
23. În metoda Gauss – Jordan pivotul se alege:a) un element pozitiv b) un element nenulc) un element negativ
24. Unei valori proprii îi corespunde:
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 5/38
a) un unic vector propriu b) exact trei vectori propriic) o infinitate de vectori proprii
25. Criteriul de convergenţă al funcţiilor raţionale se refer ă la:
a)
rapoarte de numere raţionale b) raport de polinoamec) raport de funcţii trigonometrice
26. În programul optim necunoscutele secundare se completează cu:a) elemente negative b) zerouric) elemente pozitive
27. În spaţiul Euclidian ),,,( 3 >< R unde ><, este produsul scalar usual, se consider ă
vectorii ).2,3,0(),3,2,1( 21 =−= vv Care din afirmaţiile de mai jos este adevărată?
a) vectorii sunt ortogonali b) vectorii nu sunt ortogonalic) vectorii sunt ortonormaţi
28. Fie operatorul liniar 33: R RT → ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ ++=
1
321
1
)(
x
x x x
x
xT . Să se calculeze )(uT unde
)3,2,1(=u
a) )1,0,1()( =uT b) )1,3,1()( =uT c) )1,6,1()( =uT
29.Un punct interior lui A, R R A f →⊂ 2: în care ),( y x f este diferenţiabilă, iar diferenţiala sa este nulă se numeşte:
a) punct de maxim local b) punct de extrem localc) punct staţionar
30. Stabiliţi care afirmaţie este adevărată:
a) O serie convergentă este întotdeauna absolut convergentă b) O serie convergentă nu este întotdeauna absolut convergentă c) O serie absolut convergentă nu este întotdeauna convergentă
31. Să se stabilească natura seriei de termen general: 1,1
3
2
≥
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
= n
n
nu
nn
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 6/38
a) Seria este divergentă b) Seria este convergentă c) Seria este absolut convergentă
32. Se consider ă operatorii:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
−
+
=→
21
21
1
21
42
4
3
2
)(,:
x x
x x
x x x
xU R RU unde 2
2
1 R
x
x x ∈⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ =
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
+=→
21
22122 2
)(,: x x
x x xT R RT unde 2
2
1 R
x
x x ∈⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ =
Care din următoarele afirmaţii este adevărată?a) U este operator liniar şi T nu este operator liniar b) ambii operatori sunt liniari
c) U nu este operator liniar şi T este operator liniar
33. Criteriul r ădăcinii al lui Cauchy “Fie seria 0;1
≥∑∞
=n
n
naa şi fie n
nn
al∞→
= lim
Dacă ⇒> 1l seria este convergentă Dacă ⇒< 1l seria este divergentă Dacă ⇒= 1l nu se poate stabili natura seriei pe baza acestui criteriu” este:
a) incomplet b) corectc) incorect
34. Matricea hessiană pentru o funcţie reală de n variabile reale conţine derivate par ţiale:a) de ordinul unu b) de ordinul doic) de ordinul n
35. Să se calculeze suma seriei de termen general 1,2
12≥
−= n
nu
nn
a) 4=S b) 3=S
c) 7=S
36. Să se integreze ecuaţia diferenţială 1)0(,' == y xy y
a) 13
1 3 += x y
b) 13
13 += x y
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 7/38
c) 13
1+= x y
37. Să se calculeze integrala ∫ −a
dx xa x0
222
a)16
4
aπ
b)16
3 4aπ
c)16
7 4aπ
38. Relaţia de recurenţă a funcţiei Γ este:
a) )()1( 22 p p p Γ⋅=+Γ
b) )()1( p p p Γ⋅=+Γ c) )()1( 22 p p p Γ⋅=+Γ
39. Diferenţiala de ordinul II pentru funcţia xyz z y x f =),,( este:
a) zdxdz ydydz xdxdy f d 2222 ++=
b) xdxdz zdydz ydxdy f d 2222 ++=
c) ydxdz xdydz zdxdy f d 2222 ++=
40. Să se calculeze: ∫∫ + D
dxdy y x )2( unde ]5,2[]4,1[ ×= D
a)2
171
b)2
91
c)2
47
41. În forma standard a unei PPL sistemul de restricţii este format:a) din ecuaţii b) din inecuaţiic) şi din ecuaţii şi din inecuaţii
42. În metoda Gauss – Jordan elementele de pe linia pivotului se:a) înmulţesc cu pivotul b) se impart la pivotc) se adună cu pivotul
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 8/38
43. Spectrul unui operator este:a) o mulţime de funcţii b) mulţimea valorilor proprii ale operatoruluic) mulţime de inegrale nedefinite
44. Criteriul lui Raabe – Duhamel este: “Fie seria 0;1
>∑∞
=n
n
n aa şi fie ⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜
⎝ ⎛ −= +
∞→1lim 1
n
n
n aanl
Dacă ⇒> 1l seria este convergentă Dacă ⇒< 1l seria este divergentă Dacă ⇒= 1l nu se poate stabili natura seriei pe baza acestui criteriu”
a) incorect b) corectc) incomplet
45. Duala problemei de programare liniar ă
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
≥
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤+
≤+≤+
+=
0
34157
12931062
54(min)
2,1
21
21
21
21
x
x x
x x
x x
x x f
este:
a)
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=≥
⎩⎨⎧
≤++
≤++
++=
3,1,0
51596
4341210
732(max)
321
321
321
i y
y y y
y y y
y y yg
i
b)
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=≥
⎩⎨⎧
≤++
≤++
++=
3,1,0
5341210
4732
1596(max)
321
321
321
i y
y y y
y y y
y y yg
i
c)
⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=≥⎩⎨⎧
≤++
≤++
++=
3,1,051596
4732
341210(max)
321
321
321
i y
y y y
y y y
y y yg
i
46. Criteriul de intrare în bază de la algoritmul Simplex este dat de:a) metoda Gauss – Jordan b) semnul diferenţelor jΔ
c) vectorul cu j z negative
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 9/38
47. Punctele lui A care nu sunt puncte de acumulare pentru mulţimea A se numesc:
a) punct aderent al mulţimii A b) punct interior mulţimii Ac) punct izolat al lui A
48. Operatorul 32: R RU → are matricea corespunzătoare bazelor unitare
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
−=
130
612 A . Să se calculeze )(vU unde ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
=4
5v
a)⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −
=
26
17
10
)(vU
b)
⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎜⎜
⎝
⎛ −=
26
17
10
)(vU
c)⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −
−
=
26
17
10
)(vU
49. Fie { }21 ,vv B = bază în 2 R unde: .1
4,
1
521 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ = vv Exprimaţi vectorul ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ =
2
1v în
această bază.
a) ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ = 9
7 Bv
b) ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
=9
7 Bv
c) ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
−=
9
7 B
v
50. Limita unei funcţii se calculează într-un punct care este:
a) din domeniul de definiţie
b) punct de acumulare al domeniului de definiţiec) punct aderent al domeniului de definiţie
51. Diferenţiala de ordinul I pentru funcţia )ln(),,( czbyax z y x f ++= este:
a) dzczbyax
cdy
czbyax
bdx
czbyax
adf
+++
+++
++=
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 10/38
b) dzczbyax
cdy
czbyax
bdx
czbyax
adf
+++
+++
++=
222
c) dzczbyax
czdy
czbyax
bydx
czbyax
axdf
+++
+++
++=
52. Să se studieze natura seriei ∑∞
=⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
+++
13
333
4
...21
n
n
n
n
n
a) Seria este absolut convergentă b) Seria este divergentă c) Seria este convergentă
53. În algoritmul Simplex, programul optim se află din:a) produsul scalar dintre coeficienţii bazici şi soluţia de bază b) împăr ţind coloanele la liniic) înmulţind coloanele cu liniile
54. Criteriul necesar de convergenţă: “Dacă ∑∞
=1n
na este o serie convergentă, atunci
∞=∞→ n
nalim ” este:
a) corect b) incorectc) incomplet
55. Formula complementelor este:
a) ( ) ( ))sin(
1π
π
⋅=−Γ⋅Γ
p p p
b) ( ) ( ))sin(
sin1
π
π
⋅=+Γ⋅Γ
p p p
c) ( ) ( ))sin(
12
π
π
⋅=−Γ⋅Γ
p p p
56. Criteriul lui Leibnitz: “Fie seria 0,)1(1
>−∑∞
=n
n
n
n aa . Dacă şirul )( na este şir
descrescător convergent către zero, atunci seia este convergentă” este:
a) corect b) incorectc) incomplet
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 11/38
57. Să se integreze ecuaţia diferenţială omogenă: 0)1(,22
' =+
= y xy
x y y
a) x x
yln2
2 2
2
=
b) x x y ln42 2
2
=
c) x x
yln
2 2
2
=
58. Să se studieze convergenţa integralei: ∫ ∞− −
1
3
2
8dx
x
x
a) Integrala este convergentă b) Integrala este divergentă c) Integrala este absolut convergentă
59. Forma generală a ecuaţiilor liniare de ordinul întâi este:
a) 0)()()( ' =++ xC y x B y x A
b) 0)()()( 2 =++ xC y x B y x A
c) 0)()()( '" =++ xC y x B y x A
60. Funcţia beta are proprietatea:
a) ),())(1(
)1,1( q p Bq pq p
pqq p B ⋅
−−+=++
b) ),())(1(
)1,1( q p Bq pq p
pqq p B ⋅
+−+=++
c) ),())(1(
)1,1( q p Bq pq p
pqq p B ⋅
+++=++
61. Metoda multiplicatorilor lui Lagrange se aplică funcţiilor reale de mai multe variabilereale pentru determinarea:
a) punctelor de extrem liber
b) punctelor de extrem condiţionatc) punctelor staţionare
62. Criteriul de ieşire din bază în algoritmul Simplex este dat de:a) minimul rapoartelor componentelor soluţiei de bază şi ale vectorului care
intr ă b) metoda Gauss-Jordanc) lema substituţiei
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 12/38
63. Spaţiile vectoriale au:
a) acelaşi număr de elemente b) aceleaşi tipuri de subspaţiic) aceeaşi dimensiune
64. Se numeşte funcţie gama integrala:
a) ∫ ∞
−−=Γ0
1)( dxe x p x p
b) ∫ ∞
−+=Γ0
1)( dxe x p x p
c) ∫ ∞
−=Γ0
1)( dxe x p x p
65. Vectorii x şi y se numesc ortogonali dacă:
a) 0, >≠< y x b) 0, >=< y x c) 1, >=< y x
66. O funcţie Y X T →: se numeşte operator liniar dacă:K X y x ∈∈∀ β α ,,,)( )()()( yT xT y xT ⋅+⋅=+ β α β α
a) Definiţia este corectă b) Definiţia este incorectă c) Definiţia este incompletă
67. Fie înn
R vectorii z y x ,, liniar independenţi. Care este natura sistemului de vectori{ }?,,23 y x y x z y x −+++
a) Vectorii sunt ortogonali b) Vectorii sunt liniar independenţic) Vectorii sunt liniar dependenţi
68. Să se studieze natura seriei ∑∞
=
−
1
12
n p
n
n
a) Seria este convergentă b) Seria este absolut convergentă
c) Seria este divergentă
69. Fie .),,( 32122
21321 x x x x x x x x f ++= Să se calculeze:
321
;; x
f
x
f
x
f
∂∂
∂∂
∂∂
a) 213
3122
3211
;2;2 x x x
f x x x
x
f x x x
x
f =
∂∂
+=∂∂
+=∂∂
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 13/38
b) 313
212
3121
;;2 x x x
f x x
x
f x x x
x
f =
∂∂
=∂∂
+=∂∂
c) 3213
312
2131
2;;2 x x x x
f x x
x
f x x x
x
f +=
∂∂
=∂∂
+=∂∂
70. Funcţia RV V →×>< :, se numeşte produs scalar pe mulţimea V dacă:1) V y x x y y x ∈∀>>=<< ,)(,,
2) V y x y x y x y x x ∈∀><+>>=<+< ,)(,,, '' Definiţia este:
a) incorectă b) incompletă c) corectă
71. Să se determine valorile proprii associate aplicaţiei liniare 22: R RT → cu).2,2(),( 212121 vvvvvvT ++= Valorile proprii sunt:
a) 3;1 21 −=−= λ λ
b) 3;1 21 −== λ λ
c) 3;1 21 =−= λ λ
72. Dacă sistemul de vectori { }nvvS ,...,1= este liniar independent, atunci orice subsistem
al său este:a) liniar dependent b) liniar independent
c)
sistem de generatori73. Algoritmul de rezolvare a problemelor de transport are:
a) două etape b) trei etapec) patru etape
74. Ecuaţiile diferenţiale cu variabile separabile sunt de forma:a) )()('
yg x f y += cu 0)( ≠ yg
b))(
)('
yg
x f y = cu 0)( ≠ yg
c) )()(' yg x f y ⋅= cu 0)( ≠ yg
75. Unei variabile nenegative din modelul primal îi va corespunde în modelul dual:a) restricţie egalitate b) restricţie concordantă c) restricţie neconcordantă
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 14/38
76. Seria armonică alternată ∑∞
=
−1
1)1(
n
n
neste:
a) convergentă b) absolut convergentă c) divergentă
77. Să se dezvolte în serie Mac-Laurin funcţia: R xe x f x ∈= ,)(
a) ......21
1)(2
+++++=n
x x x x f
n
b) ...!
)1(...!2!1
1)(2
+−++−+=n
x x x x f
nn
c) ...!
...!2!1
1)(2
+++++=n
x x x x f
n
78. Diferenţiala de ordinul II pentru funcţia xyz x f =)( este:a) zdxdz ydydz xdxdy f d 2222 ++=
b) ydxdz xdydz zdxdy f d 2222 ++=
c) xdxdz zdydz ydxdy f d 2222 ++=
79. Să se calculeze: ∫∫ D
xdxdy pentru ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ≤≤≤≤∈= 21,21/, 2
x
y xy R y x D
a)3
524 −
b)3
625 −
c)3
526 −
80. Să se integreze ecuaţia: dy xy y ydx y )cos1()1( 22 −+=+
a) C y y x =−+ sin1 2
b) C y y x =++ sin1 2
c) C y x y =−+ sin12
81. În forma canonică a unei probleme de maximizare restricţiile sunt:a) egalităţi b) inegalităţi cu semnul “ ≤ ”c) inegalităţi cu semnul “ ≥ ”
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 15/38
82. Stabiliţi care afirmaţie este falsă:a) Dacă într-o serie se schimbă ordinea unui număr finit de termeni atunci nu este
influenţată nici natura seriei şi nici suma seriei în caz de convergenţă b) Dacă într-o serie se înlătur ă un număr finit de termeni atunci natura seriei nu se
modifică, ci doar suma ei în caz de convergenţă
c)
Dacă într-o serie se înlătur ă un număr finit de termini atunci natura seriei nu semodifică şi nici suma ei în caz de convergenţă
83. Funcţia C.Cobb – P.Douglas se defineşte prin:a) ba K L AY ⋅⋅= b) ab K L AY ⋅⋅= c) ba K L AY
−− ⋅⋅=
84. Se numeşte spaţiu Euclidian un spaţiu pe care s-a definit:a) o distanţă
b) o normă
c) un produs scalar
85. Scalarii ijλ din procedeul de ortogonalizare Gramm – Schmidt se determină cu
formula:
a)><
><=
ii
j j
ijaa
ab
,
,λ
b)><
><=
j j
iiij
aa
ab
,
,λ
c)><
><=
j j
ji
ij
aa
ab
,
,λ
86. Modelarea unei probleme cu conţinut economic care implică optimizare liniar ă necesită parcurgerea a:
a) 5 etape b) 6 etapec) 3 etape
87. O bază B care verifică relaţia: 01 ≥⋅− b B se numeşte:a) bază primal admisibilă b) bază canonică c) bază ortogonală
88. Criteriul II al comparaţiei: “Fie ∑∞
=1n
na şi ∑∞
=1n
nb serii cu termini pozitivi şin
n
n b
al
∞→= lim .
Atunci: 1) Dacă ⇒∞<< l0 cele două serii au aceeaşi natur ă
2) Dacă 0=l şi ∑∞
=1n
nb este convergentă ⇒ ∑∞
=1n
na este convergentă” este:
a) incorect
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 16/38
b) incompletc) corect
89. Să se determine vectorul normat v din 4 R ortogonal vectorilor:
)3,1,1,2(),1,1,1,1(),1,1,1,1( 321 =−−== vvv
a) )1,2
1,2
1,0( μ±=v
b) )0,2
1,
2
1,1( μ±=v
c) )0,2
1,
2
1,0( μ±=v
90. Să se studieze natura seriei:n
n nn
nn∑∞
=⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++++
12
2
952
576
a) Seria este absolut convergentă
b) Seria este divergentă c) Seria este convergentă
91. Se dau vectorii: 3321
1
1
0
,
1
0
1
,
0
1
1
Rvvv ∈⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ =
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ =
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ = . Calculaţi coordonatele vectorului
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
2
1
2
v în baza formată din 21 ,vv şi 3v .
a)
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=
212
52
1
v
b)
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
21
252
1
v
c)
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ −−
=
21
25
21v
92. Relaţia de legătur ă dintre funcţia beta şi gama este:
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 17/38
a))(
)()(),(
q p
q pq p B
+ΓΓ+Γ
=
b))()(
)()(),(
q p
q pq p B
Γ⋅ΓΓ+Γ
=
c) )(
)()(),( q p
q pq p B +Γ
Γ⋅Γ=
93. Determinaţi valorile proprii ale operatorului liniar reprezentat de matricea:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
011
101
110
A
a) Valorile proprii sunt: 3,2,1 321 =−== λ λ λ
b) Valorile proprii sunt: 1,1,2 321 −=−== λ λ λ
c)
Valorile proprii sunt: 1,1,3 321 −=== λ λ λ
94. Să se integreze ecuaţia diferenţială: y x y
+= 10'
a) C y x =+ −1010
b) C y x =+ −− 1010
c) C y x =+− 1010
95. Să se verifice care dintre următoarele aplicaţii sunt transformări liniare (operatoriliniari):
1) ∫ =→b
a
dt t f f T RbaC T )()(,],[:
2) Raa xa xa x xU R RU n
nn ∈+++=→ );,...,,()(,: 21
a) ambele aplicaţii sunt operatori liniari b) T este operator liniar c) U este operator liniar
96. Diferenţiala unei funcţii ),...,,()( 21 n x x x f x f = în punctul ),...,( 1 naaa = se va calcula
astfel:
a) nn xn xndx x x f dx x x f x xdf
n),...,(...),...,(),...,( 1
"11
"1 1
++=
b) nn xn xn dx x x f dx x x f x xdf n
),...,(...),...,(),...,( 12
112
1 1++=
c) nn xn xn dx x x f dx x x f x xdf n
),...,(...),...,(),...,( 1'
11'
1 1++=
97. Să se calculeze integrala: ∫ ∞
+02
4
)1(dx
x
x
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 18/38
a)4
2π
b)4
3π
c)4
5π
98. Soluţia generală a ecuaţiei liniare de ordinul întâi este:
a) ∫ ∫ ⋅−∫ = ))(()()(
dxe xQC e ydx xPdx xP
b) ∫ ∫ ⋅+∫ =−−
))(()()(
dxe xQC e ydx xPdx xP
c) ∫ ∫ ⋅+∫ =−
))(()()(
dxe xQC e ydx xPdx xP
99. Calculaţi derivatele par ţiale de ordinul I pentru funcţia: 0,),( >= x x y x f y
a) x x y x f yx y x f
y
y
y
x ln),(;),( '1' == −
b) x x y x f yx y x f y
y
y
x ln2),(;2),( '1' == −
c) y y y x f xy y x f x
y
y
x ln),(;),( '1' == −
100. Funcţia de n variabile reale ),...,( 1 n x x f are:
a) 22n derivate par ţiale de ordinul I b) n derivate par ţiale de ordinul Ic) 2n derivate par ţiale de ordinul I
101. Fie V un spaţiu vectorial n-dimensional peste corpul de scalari K şi V V T →: oaplicaţie liniar ă. Un scalar K ∈λ se numeşte valoare proprie pentru aplicaţia liniar ă Tdacă există cel puţin un vector nul V v ∈ astfel încât vTv λ ≠ . Definiţia este:
a) corectă b) incorectă c) incompletă
102. Baza ortonormală a unui spaţiu Euclidian se construieşte din baza ortogonală:
a) împăr ţind fiecare vector al bazei ortogonale la norma sa b) înmulţind fiecare vector al bazei ortogonale cu norma sac) adunând fiecare vector al bazei ortogonale cu norma sa
103. Fie F o funcţie definită pe un domeniu D din 2+n R cu valori reale continuă în acest
domeniu. O relaţie de forma: 0),...,,,( )(' =n y y y xF se numeşte:
a) ecuaţie cu variabile separabile b) ecuaţie omogenă
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 19/38
c) ecuaţie diferenţială de ordinul n
104. O problemă de programare liniar ă este în formă canonică dacă:a) toate restricţiile sunt egalităţi şi toate variabilele sunt nenegative b) toate restricţiile sunt concordante şi toate variabilele sunt nenegative
c)
toate restricţiile sunt concordante şi toate variabilele sunt negative105. Spectrul unui operator este:
a) o mulţime de funcţii b) mulţimea valorilor proprii ale operatoruluic) mulţime de integrale nedefinite
106. Un şir este mărginit dacă:a) elementele de rang par sunt într-un interval b) elementele sunt într-un intervalc) elementele de rang impar sunt într-un interval
107. Să se studieze natura seriei ∑∞
=1
2
)!2(
)!(
n n
n
a) Seria este absolut convergentă b) Seria este divergentă c) Seria este convergentă
108. Să se calculeze produsul scalar al vectorilor: )2,1,2,4,1();4,3,0,2,1( 21 −=−= vv în 5 R .
a)4,
21>=< vv
b) 2, 21 >=< vv
c) 3, 21 >=< vv
109. Seria Riemann ∑∞
=1
1
n nα
este:
a) pentru 1>α serie convergentă şi pentru 1≤α serie divergentă b) pentru 1≤α serie convergentă şi pentru 1>α serie divergentă c) pentru 1>α serie convergentă şi pentru 1=α serie divergentă
110. Funcţia lui Lagrange este:
a) ),...,,(...),...,,(),...,,( 21211121 pqq p p x x x x x x x x x L ϕ λ ϕ λ ++= b) ),...,,(...),...,,(),...,,(),...,,( 2121112121 pqq p p p x x x x x x x x x f x x x L ϕ λ ϕ λ ++−=
c) ),...,,(...),...,,(),...,,(),...,,( 2121112121 pqq p p p x x x x x x x x x f x x x L ϕ λ ϕ λ +++=
111. Să se studieze convergenţa integralei ∫ +∞
∞−
− dx xe x2
a) Integrala este divergentă
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 20/38
b) Integrala este convergentă şi egală cu 0c) Integrala este absolut convergentă
112. Determinaţi valorile proprii ale operatorului liniar reprezentat de matricea:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−103012
325
a) Valorile proprii sunt: 2,2,0 321 =−== λ λ λ
b) Valorile proprii sunt: 0,2,0 321 =−== λ λ λ
c) Valorile proprii sunt: 7,2,0 321 =−== λ λ λ
113. Scrieţi primii cinci termini ai seriei cu termenul general:)!2(
)!( 2
n
nan =
a)2521,
1701,
201,
61,
21
54321 ===== aaaaa
b)231
1,
139
1,
17
1,
5
1,
3
154321 ===== aaaaa
c)275
1,
112
1,
32
1,
7
1,
4
154321 ===== aaaaa
114. Calculaţi derivata par ţială de ordinul I pentru funcţia: y x y x f sin),( 2=
a) y x y x f x2' sin4),( = ; y x y x f y
22' cos),( =
b) y x y x f x2' sin2),( = ; y x y x f y 2sin),( 2' =
c) y x y x f x2' cos),( = ; y x y x f
y 2sin2),( 2' =
115. Fie
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
+
−=→
1
32
21
1
43
2
3
2
2
)(,:
x
x x
x x
x
xT R RT . Matricea ataşată operatorului este:
a)⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=
002
310
012
002
A
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 21/38
b)
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−=
002
311
012
002
A
c)
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−=
002
310
012
002
A
116. Într-un sistem de n vectori liniari independenţi condiţia de a fi sistem de generatorieste înlocuită de relaţia:
a) X n dim2 =
b) X n dim= c) X n dim3 =
117. Să se integreze ecuaţia diferenţială: dy xy y ydx y )cos1()1( 22 −+=+
a) C y y x =++ sin1 2
b) C y y x =−+ cos1 2
c) C y y x =−+ sin1 2
118. Diferenţiala de ordinul I a funcţiei de producţie este:
a) YdK K
bYdL
L
adY +=
2
b) YdK K
bYdL
L
adY
22+=
c) YdK K
bYdL
L
adY +=
119. Să se calculeze integrala: dx xa x
a
∫ −
0
222
a)16
4aπ
b)16
2aπ
c)16
aπ
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 22/38
120. Precizaţi care dintre următoarele afirmaţii este adevărată:
a) Dacă vectorii { }nvvv ,...,, 21 sunt liniar independenţi, iar { }121 ,...,, +nvvv sunt liniar
dependenţi, atunci 1+nv este o combinaţie liniar ă a vectorilor { }nvvv ,...,, 21 .
b) Dacă vectorii { }nvvv ,...,, 21 sunt liniar dependenţi, iar { }121 ,...,, +nvvv sunt liniar independenţi, atunci 1+nv este o combinaţie liniar ă a vectorilor { }nvvv ,...,, 21 .
c) Dacă vectorii { }nvvv ,...,, 21 sunt liniar independenţi, iar { }121 ,...,, +nvvv sunt tot
liniar independenţi, atunci 1+nv este o combinaţie liniar ă a vectorilor { }nvvv ,...,, 21 .
121. Funcţia: RV →:. cu ><= x x x , se numeşte:
a) normă a spaţiului Euclidian b) produs scalar a spaţiului Euclidianc) distanţă a spaţiului Euclidian
122. Dacă seria convergentă ∑∞
=0n
n
n xa are suma )( xS şi seria derivatelor ∑∞
=
−
0
1
n
n
n xna are
suma )( xP , atunci:a) )()(2 xS xP = b) )(2)( xS xP = c) )()( xS xP =
123. Limita unei funcţii într-un punct există dacă:a) funcţia este continuă
b) funcţia este derivabilă c) limitele laterale sunt egale
124. Precizaţi relaţia adevărată:a) N nnn ∈+=+Γ ,)!1()1( b) N nnn ∈=+Γ ,!)1(c) N nnn ∈=+Γ ,)!2()1(
125. Norma are următoarea proprietate:a) V x R x x ∈∈∀⋅= ,)( α α α
b) V x R x x ∈∈∀⋅= ,)( α α α c) V x R x x ∈∈∀⋅= ,)( α α α
126. Limitak k k
nnk k k
a x x
a f
a x
aa f aa xaa f
k k ∂∂
=−
−+−
→
)(),...,(),...,,,,...,(lim 1111 se numeşte:
a) diferenţiala de ordinul I a funcţiei f în raport cu k x
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 23/38
b) diferenţiala de ordinul n a funcţiei f în raport cu k x
c) derivata par ţială a funcţiei f în raport cu k x
127. Să se calculeze produsul scalar al vectorilor : )3
1,2,
3
1(),2
1,1,2( 21 −== x x în 3 R
a) 615, 21 >=< x x
b)6
23, 21 >=< x x
c)6
19, 21 >=< x x
128. Din trei feluri de materie primă i M )3,1( =i disponibile în cantităţile de 28,21
respectiv 10 unităţi se preconizează a se realiza două tipuri de produse 21 , PP care
necesită consumuri specifice de 1,3 respectiv 1unitate pentru 1P şi 4,1 respectiv 1unitate
pentru 2P şi care aduc un beneficiu pe unitatea de produs de 3 respectiv 4 unităţi. Să se
determine planul de producţie care conduce la un beneficiu total maxim.Modelul matematic al problemei este:
a)
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
≥≥
≥+
≥+
≥+
+
0,0
10
213
284
)43max(
21
21
21
21
21
x x
x x
x x
x x
x x
b)
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
≥≥
≤+
≤+
≤++
0,0
10
213
284)43max(
21
21
21
21
21
x x
x x
x x
x x
x x
c)
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
≥≥
=+
=+
=+
+
0,0
10
213
284
)43max(
21
21
21
21
21
x x
x x
x x
x x
x x
129. Să se studieze natura seriei: ∑∞
=0 !
1
n n
a) Seria este absolut convergentă
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 24/38
b) Seria este convergentă c) Seria este divergentă
130. Fie { }21 ,vv B = bază în 2 R unde ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ =
4
3,
2
121 vv . Să se exprime vectorii
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ =
11
,13
ba în această bază.
a) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −=
232
7,
25
29
B Bba
b) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=
23
27
,2
52
9 B B ba
c) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
= 232
7
,252
9
B B ba
131. Să se calculeze derivatele par ţiale de ordinul I pentru funcţia byaxe y x f
+=),(
a) byax
y
byax
x bye f axe f ++ == '' ,
b) byax
y
byax
x ye f xe f ++ == '' ,
c) byax
y
byax
x be f ae f ++ == '' ,
132. Criteriul raportului al lui D’Alembert: “Fie seria 0;1
≥∑∞
=
n
n
n aa şi fie1
lim+∞→
=n
n
n a
al
Dacă ⇒< 1l seria este convergentă Dacă ⇒> 1l seria este divergentă Dacă ⇒= 1l nu se poate stabili natura seriei pe baza acestui criteriu” este:
a) incorect b) corectc) incomplet
133. Operatorul Laplace este:a) operator de derivate par ţiale de ordin I
b) operator de derivate par ţiale de ordin IIc) operator de derivate par ţiale de ordin III
134. Diferenţiala funcţiei y xe y x f
+= 2),( este:
a) dyedxedf y x y x ++ += 22
b) dyedxedf y x y x ++ += 222
c) dyedxedf y x y x ++ += 22 22
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 25/38
135. Care este valoarea integralei Euler – Poisson ∫ ∞
−
0
2
dxe x ?
a) π =
∫
∞−
0
2
dxe x
b) π =∫ ∞
−
0
2
dxe x
c)20
2 π =∫
∞− dxe x
136. Să se studieze natura seriei: ∑∞
=+
−
112
13
3
2
nn
n
a) Seria este divergentă b) Seria este convergentă
c) Seria este absolut convergentă
137. Să se calculeze integrala ∫ −a
dx xa x0
222
a)16
4aπ
b)16
3 4aπ
c)16
74
aπ
138. Relaţia de recurenţă a funcţiei Γ este:
a) )()1( 22 p p p Γ⋅=+Γ b) )()1( p p p Γ⋅=+Γ
c) )()1( 22 p p p Γ⋅=+Γ
139. Diferenţiala de ordinul II pentru funcţia xyz z y x f =),,( este:
a) zdxdz ydydz xdxdy f d 2222 ++= b) xdxdz zdydz ydxdy f d 2222 ++=
c) ydxdz xdydz zdxdy f d 2222 ++=
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 26/38
140. Să se calculeze: ∫∫ + D
dxdy y x )2( unde ]5,2[]4,1[ ×= D
a)2
171
b) 2
91
c)2
47
141.Fie R R A f n →⊆: şi Aaaa n ∈= ),...,( 1 . Punctul a este un punct de maxim local
dacă AV V xa f x f aa ∈∈∀≤ ,))(()( . Definiţia este:
a) corectă b) incorectă c) incompletă
142. Norma are următoarea proprietate:a) V y x y x y x ∈∀+≥+ ,)(
b) V y x y x y x ∈∀+≤+ ,)(
c) V y x y x y x ∈∀−≤− ,)(
143. O soluţie de bază a unei probleme de transport are un număr de componente nenuleegale cel mult cu:
a) 1+− nm b) 1++ nm
c) 1−+ nm
144. Fie seria ∑∞
=0n
n
n xa convergentă cu ),( ρ ρ −=C atunci seria integralelor termenilor
∑∞
=
+
+0
1
1n
nn xn
aeste o serie:
a) convergentă pe ),( ρ ρ −=C b) absolut convergentă pe ),( ρ ρ −=C c) divergentă pe ),( ρ ρ −=C
145. Stabiliţi care afirmaţie este adevărată:a) Orice punct staţionar este punct de extrem pentru funcţie b) Nu orice punct staţionar este punct de extrem pentru funcţiec) Orice punct staţionar este punct de minim pentru funcţie
146. Unei restricţii neconcordante din modelul primal îi corespunde în modelul dual:a) variabilă nenegativă b) variabilă nepozitivă
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 27/38
c) variabilă liber ă
147. Să se studieze natura seriein
n nn
nn∑
∞
=⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++++
12
2
952
576
a) Seria este divergentă
b)
Seria este absolut convergentă c) Seria este convergentă
148. Se consider ă funcţia: ).ln(),( 22 y x y x f += Se cere să se calculeze: y
f
x
f
∂∂
∂∂
;
a)22
2
22
2
; y x
y
y
f
y x
x
x
f
+=
∂∂
+=
∂∂
b)2222
2;
2
y x
y
y
f
y x
x
x
f
+=
∂∂
+=
∂∂
c) 2222 ; y x
y
y
f
y x
x
x
f
+=∂
∂
+=∂
∂
149. Fie 22: R RU → un operator liniar care are matricea corespunzătoare bazelor
canonice .30
12⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −= A Să se determine valorile proprii ale lui U.
a) 3;2 21 == λ λ
b) 3;2 21 −=−= λ λ
c) 3;2 21 =−= λ λ
150. Orice problemă de transport are întotdeauna o soluţie admisibilă de forma:a) n jmi
T
ba x
ji
ij ,1,,1, ==+
= unde T ban
j
j
m
i
i == ∑∑== 11
b) n jmiT
ba x
ji
ij ,1,,1, ==−
= unde T ban
j
j
m
i
i == ∑∑== 11
c) n jmiT
ba x
ji
ij ,1,,1, === unde T ban
j
j
m
i
i == ∑∑== 11
151. O bază care conduce la un program optim se numeşte:
a) bază admisibilă b) bază ortogonală
c) bază ortonormală
152. Fie seria .0,1
>∑∞
=n
n
n aa Dacă şirul sumelor par ţiale N nnS ∈)( este:
a) un şir monoton b) un şir monoton şi mărginit
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 28/38
c) un şir mărginit
atunci seria este convergentă.
153. Să se determine punctele de extrem ale funcţiei: xy y x y x f 3),( 33 −+=
a) )0,0(1 M este punct de minim şi )1,1(2 M nu este punct de extrem b) )0,0(1 M este punct de minim şi )1,1(2 M este punct de maxim
c) )0,0(1 M nu este punct de extrem şi )1,1(2 M punct de minim
154. Să se calculeze integrala: ∫ ∞
∞− +=
21 x
dx I
a) π = I b) 2π = I c) π 2= I
155. Produsul scalar este:a) o funcţională biliniar ă pozitiv definită b) o funcţională biliniar ă negativ definită c) o funcţională biliniar ă semipozitiv definită
156. În orice spaţiu Euclidian n - dimensional peste corpul K există cel puţin o bază ortogonală ce se poate determina:
a) cu procedeul Gramm – Schmidt b) cu procedeul Gauss – Jordanc) cu criteriul Raabe – Duhamel
157. Fie⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ − −=
2213
02111102
A şi fie 4,1, =iai vectorii coloană din A. Care afirmaţie este
adevărată?
a) { }4321 ,,, aaaa formează bază în 3 R
b) { }432 ,, aaa nu formează bază în 3 R
c) { }431 ,, aaa formează bază în 3 R
158. Să se studieze convergenţa integralei: ∫ ∞− −
1
3
2
8dx
x x
a) Integrala este convergentă b) Integrala este divergentă c) Integrala este absolut convergentă
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 29/38
159. Forma generală a ecuaţiilor liniare de ordinul întâi este:
a) 0)()()( ' =++ xC y x B y x A
b) 0)()()( 2 =++ xC y x B y x A
c) 0)()()( '" =++ xC y x B y x A
160. Funcţia beta are proprietatea:
a) ),())(1(
)1,1( q p Bq pq p
pqq p B ⋅
−−+=++
b) ),())(1(
)1,1( q p Bq pq p
pqq p B ⋅
+−+=++
c) ),())(1(
)1,1( q p Bq pq p
pqq p B ⋅
+++=++
161. În programul optim necunoscutele secundare se completează cu:a) elemente negative b) zerouric) elemente positive
162. Valorile proprii ale unui operator sunt soluţii:a) ale unei ecuaţii de gr.2 b) ale unei ecuaţii diferenţialec) ale ecuaţiei 0)]det[( =− I A λ
163. Criteriul II al comparaţiei este: “Fie ∑∞
=1n
na şi ∑∞
=1n
nb serii cu termeni pozitivi şi
n
n
n b
al
∞→= lim . Atunci:
I. Dacă ⇒∞<< l0 cele două serii au aceeaşi natur ă
II. Dacă ∞=l şi ∑∞
=1n
nb este divergentă ⇒ ∑∞
=1n
na este divergentă” este:
a) incorect b) incompletc) corect
164. În metoda Gauss – Jordan elementele se calculează cu:a) regula dreptunghiului b) regula lui Sarrusc) regula triunghiului
165. Teorema ecarturilor complementare este:
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 30/38
O condiţie necesar ă şi suficientă ca un cuplu de soluţii admisibile de bază 0 X şi 0U
să fie optim este ca soluţiile să verifice simultan relaţiile:
a)0)(
0)(0'
0'0
0'0
=−
=−
X AU C
b AX U
b)0)(
0)(
0'0
'0
0'0
=−
=−
U AU C
AX bU
c)0)(
0)(0'
0'0
0'0
=+
=+
X AU C
b AX U
166. Criteriul lui Raabe – Duhamel este: “Fie seria 0;1
>∑∞
=n
n
n aa şi fie
⎟⎟ ⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−= +∞→ 1lim 1n
n
n a
a
nl .Dacă ⇒> 1l seria este divergentă Dacă ⇒< 1l seria este convergentă Dacă ⇒= 1l nu se poate stabili natura seriei pe baza acestui criteriu”
a) incorect b) incompletc) corect
167. Fie operatorii liniari:
.23
)(,
2
42)(,:,
321
21
32
31
32
32133
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−
+−=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−
+− ++=→
x x x
x x x x
xV
x x
x x x x x
xU R RV U Dacă A,B,C sunt
matricile lui V U V U +,, corespunzătoare bazelor canonice, ce legătur ă există între A,B şiC?
a) B AC +=2 b) B AC += c) B AC
t +=
168. O întreprindere urmăreşte maximizarea beneficiului în întocmirea planului de producţie la 3 produse 321 ,, PPP din două materii prime 1 M şi 2 M cu un disponibil de 60
respectiv 50 unităţi. Coeficienţii tehnologici pentru aceste materii prime sunt daţi întabelul de mai jos:
1P 2P 3P
1 M 4 1 2
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 31/38
2 M 1 2 1
Planul de producţie la 2P şi 3P nu trebuie să fie mai mare de 40 u. Beneficiile unitare
aduse de 321 ,, PPP sunt de 18,20 şi respective 15 u. se cere să se construiască modelul
matematic.Modelul matematic este:
a)
( ) 33213,2,1
32
321
321
321
,,;0
40
502
6024
152018)([max]
R x x x X x
x x
x x x
x x x
x x x x f
t ∈=≥
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤+
≤++
≤++
++=
b)
( ) 33213,2,1
32
321
321
321
,,;0
40
502
6024152018)([max]
R x x x X x
x x
x x x
x x x x x x x f
t ∈=≥
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=++
=++++=
c)
( ) 33213,2,1
32
321
321
321
,,;0
40 502
6024
152018)([max]
R x x x X x
x x x x x
x x x
x x x x f
t ∈=≥
⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≥+ ≥++
≥++
++=
169. Diferenţiala de ordinul doi pentru funcţia: y x y x f ln),( = este:
a) 22
2 2dy
y
xdxdy
y f d −=
b) 222
2 2dy
y
xdxdy
y f d +=
c) 222
2 2 dy y xdxdy
y f d −=
170. Stabiliţi natura seriei de termen general: 1,1
3
2
≥
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
= n
n
na
nn
a) Seria este semiconvergentă
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 32/38
b) Seria este convergentă c) Seria este divergentă
171. Numărul ρ , raza de convergenţă a unei serii de puteri, se poate determina dacă există următoarele limite:
a) aa
a
n
n
n=+
∞→
1lim sau aann
n=
∞→lim
b) aa
a
n
n
n=
+∞→
1
lim sau aann
=∞→
lim
c) aa
a
n
n
n=+
∞→
1lim sau aann
n=+∞→ 1lim
172. Vectorii⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
nn
n
n
n a
a
v
a
a
v ΜΜ1
1
11
1 ,..., din n R formează o bază în n
R dacă şi numai dacă
determinantul matricei⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ =
nnn
n
aa
aa
A
Λ
ΛΛΛ
Λ
1
111
formată cu cei n vectori este:
a) nul b) nenul
c) pozitiv
173. Ecuaţia: 0)1(;22
' =+
= y xy
x y y este:
a) o ecuaţie diferenţială omogenă b) o ecuaţie diferenţială cu variabile separabilec) o ecuaţie diferenţială de ordinul I liniar ă
174. Se dau vectorii: .
2
1
0
,
1
0
1
,
0
1
1
321
⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎜⎜
⎝
⎛
= bbb Se cere să se construiască o bază
ortogonală a spaţiului Euclidian 3 R .
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 33/38
a)
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ =
71
717
1
,
14
14
1
,
0
1
1
321 aaa
b)
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ −=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ =
91
9191
,
15
151
,
0
11
321 aaa
c)
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ =
31
313
1
,
12
12
1
,
0
1
1
321 aaa
175. Se consider ă funcţia: .sin),( 22 y x y x f = Se cere să se calculeze y
f
x
f
∂∂
∂∂
;
a) y x y
f y x
x
f 2sin;sin2 22 =
∂∂
=∂∂
b) y x y
f y x
x
f 2cos;cos2 22 =
∂∂
=∂∂
c) y x y
f y x
x
f 2cos;2sin2 2−=
∂∂
=∂∂
176. Metoda multiplicatorilor lui Lagrange se aplică funcţiilor reale de mai multevariabile reale pentru determinarea:
a) punctelor de extrem liber b) punctelor staţionarec) punctelor de extrem condiţionat
177. Să se integreze ecuaţia diferenţială: y xe y −='
a) ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
2ln
2 x
C y
b) ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
2ln
3 xC y
c) ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
2ln
2 xC y
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 34/38
178. Utilizând funcţiile gama şi beta să se calculeze integrala: dxe x I x−
∞
∫ =0
2
7
a) π 16
105= I
b) π 16107= I
c) π 16
109= I
179. Să se stabilească natura următoarei integrale improprii: ∫ ∞
+021
dx x
arctgx
a) divergentă b) convergentă c) absolut convergentă
180. Să se determine extremele funcţiei: x y y x y x f −−+= 22),( , variabilele fiindlegate prin condiţia 1=+ y x
a) punctul ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ 2
1,
2
1este punct de minim condiţionat pentru ),( y x f
b) punctul ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ 2
3,
2
3este punct de minim condiţionat pentru ),( y x f
c) punctul ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ 2
5,2
5este punct de minim condiţionat pentru ),( y x f
181. Spectrul unui operator este:a) o mulţime de funcţii b) mulţimea valorilor proprii ale operatoruluic) mulţime de integrale nedefinite
182. Matricea hessiană pentru o funcţie reală de n variabile reale conţine derivate par ţiale:
a)
de ordinul unu b) de ordinul doic) de ordinul n
183. Se numeşte funcţie gama integrala:
a) dxe x p x p −∞
+∫ =Γ0
1)(
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 35/38
b) dxe x px p −
∞−∫ =Γ
0
12)(
c) dxe x p x p −∞
−∫ =Γ0
1)(
184. Criteriul de ieşire din bază în algoritmul Simplex este dat de:a) minimul rapoartelor componentelor soluţiei de bază şi ale vectorului care intr ă b) metoda Gauss – Jordanc) lema substituţiei
185. Fie seria .0,1
>∑∞
=n
n
n aa Dacă şirul sumelor par ţiale N nnS ∈)( este:
a) un şir nemărginit b) un şir monoton şi mărginitc) un şir strict crescător
atunci seria este convergentă
186. O bază a spaţiului Euclidian se numeşte ortonormală dacă:a) este o bază ortogonală şi norma fiecărui vector este 0> b) este o bază ortogonală şi norma fiecărui vector este 1> c) este o bază ortogonală şi norma fiecărui vector este 1
187. Fie operatorul
⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎜⎜
⎝
⎛ =
⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎜⎜
⎝
⎛
−
++
=∈→
3
2
1
3
3
3213333 ,
2
)(),,(,:
x
x
x
x
x
x
x x x
xT R R LT R RT . Scrieţi ecuaţia
caracteristică a operatorului T.
a) 0
100
10
121
=
−−
−
−−
λ
λ
λ
b) 0
100
10
121
=
−−
−
−
λ
λ
λ
c) 0
100
10
121
=
−−
−−
−−
λ
λ
λ
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 36/38
188. Să se calculeze produsul scalar al vectorilor: ( )2,1,1,1,1,11 −−−=v şi
( )1,2,3,3,2,22 −−=v în 6 R .
a) 8, 21 >=< vv
b) 7, 21 >=< vv c) 10, 21 >=< vv
189. Să se studieze natura seriei: ∑∞
= −+⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅
1 )]1(53[...83
)]1(52[...72
n n
n. Seria este:
a) divergentă b) absolut convergentă c) convergentă
190. Limita unei funcţii într-un punct există dacă:
a) funcţia este continuă b) funcţia este derivabilă c) limitele laterale sunt egale
191. Fie următoarele sisteme de vectori:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ =
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ =
5
1
3
,
0
2
1
,
2
4
1
321 aaa
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ =
2
0
2
,
0
1
1
,
5
4
2
321 bbb . Fie { }321 ,, aaaF = şi { }.,, 321 bbbG = Care afirmaţie este
adevărată?
a) F este bază în 3 R şi G nu este bază în 3 R b) F şi G sunt baze în 3 R c) F nu este bază în 3
R şi G este bază în 3 R
192. Să se calculeze derivatele par ţiale de ordinul I pentru funcţia următoare:
)ln(),(2
y x y x f += a) 12'12' )(2;)( −− +=+= y x y f y x f y x
b) 12'12' )(;)(2 −− +=+= y x y f y x x f y x
c) 122'12' )(;)( −− +=+= y x y f y x x f y x
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 37/38
193. Ecuaţia diferenţială: y x
y x y
−+
=' este:
a) ecuaţie diferenţială cu variabile separabile b) ecuaţie diferenţială omogenă c) ecuaţie diferenţială de ordinul I liniar ă
194. Pentru a determina natura seriei: ∑∞
=⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
+++
13
333
4
...21
n
n
n
n
nvom aplica:
a) Criteriul r ădăcinii al lui Cauchy b) Criteriul raportului al lui D’Alembertc) Criteriul lui Raabe – Duhamel
195. Fie aplicaţia liniar ă ( ).,,2),(,: 211212132 x x x x x x x f R R f +−+=→ Să se scrie
matricea ataşată operatorului f.
a) Matricea ataşată este: ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
102
111 A
b) Matricea ataşată este:⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −=
11
11
21
A
c) Matricea ataşată este:⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −=
11
01
21
A
196. Derivata par ţială ' x f se calculează considerând:
a) pe y constant şi derivând ca o funcţie de o singur ă variabilă x b) pe x constant şi derivând ca o funcţie de o singur ă variabilă yc) x şi y constante şi folosind regula de derivare pentru produs
197. Operatorul Laplace pentru funcţia ),( y x f este:
a)2
2
2
2
y
f
x
f f
∂∂
⋅∂∂
=Δ
b)2
2
2
2
y
f
x
f f
∂∂+
∂∂=Δ
c)2
2
2
2
y
f
x
f f
∂∂
−∂∂
=Δ
198. Să se calculeze integrala: ∫ ∞
∞− +=
21 x
dx I
5/12/2018 Matematici Aplicate in Economie - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-aplicate-in-economie-55a4d66e72c21 38/38
a) π −= I b) π 2= I c) π = I
199. Să se integreze ecuaţia diferenţială: y
x y −=' . Soluţia generală este:
a) 222 C x y =+
b) 222 C x y =−
c) 222C y x =−
200. Să se calculeze )1,1(df pentru funcţia următoare:
7532),( 22 +−++−= y x y xy x y x f
a) dydxdf 24)1,1( +−= b) dydxdf 24)1,1( −= c) dydxdf 24)1,1( +=
top related