matematici aplicate in economie - anunțuri facultate · metoda gauss-jordan (a eliminarii...

71
MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE 1. Precizari si recomandari privind desfasurarea activitatilor la disciplina MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE Tip curs – obligatoriu Manualul de curs recomandat – R. Trandafir, I. Duda, A. Baciu, R. Ioan Matematici pentru economisti, Ed. Fundaţiei România de Mâine Obiectivul principal al cursului – Cursul de matematici economice are ca obiect bazele matematicilor economice. Cursul este predat în semestrul I al anului universitar, cu examen la sfârşitul semestrului I. Acest curs este structurat în raport cu obiectivul dotării viitorilor economişti şi specialişti cu instrumentele matematice de operare şi gândire, pentru a fi capabil să fundamenteze deciziile adecvate, optime, în domeniile lor de activitate. Aceste capitole sunt direct orientate spre aplicarea lor în economie şi corelate cu disciplinele de bază şi de specialitate pe care le vor parcurge studenţii, conform planului de învăţământ. Întregul cuprins al programei analitice urmăreşte formarea unei gândiri logice la studenţi şi a deprinderilor de calcul cu instrumentele operaţionale necesare analizei proceselor economico-financiare, a funcţionării mecanismelor economico-financiare şi, pe această bază, fundamentării deciziilor optime. 2. Continutul tematic al cursului Elemente de algebră superioară cu aplicaţii în economie 1.Spaţii vectoriale (vectori liniari independenţi, sistem de generatori, bază a unui spaţiu vectorial, dimensiune a unui spaţiu finit dimensional) - Organizarea spaţiilor economice ca spaţii vectoriale - Baza şi schimbarea bazei: metoda Gauss Jordan - Organizarea ca spaţii metrice şi spaţii normate 2. Forme liniare - Forme biliniare (matricea ataşată formei biliniare, modificarea matricii unei funcţionale biliniare la schimbarea bazelor) - Forme pătratice (forma canonică a unei forme pătratice, metode de aducere a unei forme pătratice la forma canonică: Metoda lui Gauss, Metoda lui Jacobi) 3. Operatori pe spaţii vectoriale - Proprietăţi. Valori proprii şi vectori proprii - Conţinut economic Fundamentarea optimă a deciziilor prin programare liniară 4. Formularea problemei de programare liniară (PPL) şi a modelului matematic: forma generală, forma canonică, forma standard. Rezolvare:a prin algoritmul simplex primal - Trecerea de la o soluţie posibilă de bază la altă soluţie posibilă de bază (criteriul de ieşire din bază) - Criteriul de intrare în bază

Upload: others

Post on 31-Aug-2019

105 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE

1. Precizari si recomandari privind desfasurarea activitatilor la disciplina MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE Tip curs – obligatoriu

Manualul de curs recomandat – R. Trandafir, I. Duda, A. Baciu, R. Ioan Matematici pentru economisti, Ed. Fundaţiei România de Mâine Obiectivul principal al cursului – Cursul de matematici economice are ca obiect bazele matematicilor economice. Cursul este predat în semestrul I al anului universitar, cu examen la sfârşitul semestrului I. Acest curs este structurat în raport cu obiectivul dotării viitorilor economişti şi specialişti cu instrumentele matematice de operare şi gândire, pentru a fi capabil să fundamenteze deciziile adecvate, optime, în domeniile lor de activitate. Aceste capitole sunt direct orientate spre aplicarea lor în economie şi corelate cu disciplinele de bază şi de specialitate pe care le vor parcurge studenţii, conform planului de învăţământ. Întregul cuprins al programei analitice urmăreşte formarea unei gândiri logice la studenţi şi a deprinderilor de calcul cu instrumentele operaţionale necesare analizei proceselor economico-financiare, a funcţionării mecanismelor economico-financiare şi, pe această bază, fundamentării deciziilor optime. 2. Continutul tematic al cursului

Elemente de algebră superioară cu aplicaţii în economie 1.Spaţii vectoriale (vectori liniari independenţi, sistem de generatori, bază a unui spaţiu

vectorial, dimensiune a unui spaţiu finit dimensional) - Organizarea spaţiilor economice ca spaţii vectoriale - Baza şi schimbarea bazei: metoda Gauss Jordan - Organizarea ca spaţii metrice şi spaţii normate

2. Forme liniare - Forme biliniare (matricea ataşată formei biliniare, modificarea matricii unei funcţionale biliniare la schimbarea bazelor)

- Forme pătratice (forma canonică a unei forme pătratice, metode de aducere a unei forme pătratice la forma canonică: Metoda lui Gauss, Metoda lui Jacobi)

3. Operatori pe spaţii vectoriale - Proprietăţi. Valori proprii şi vectori proprii - Conţinut economic

Fundamentarea optimă a deciziilor prin programare liniară 4. Formularea problemei de programare liniară (PPL) şi a modelului matematic: forma

generală, forma canonică, forma standard. Rezolvare:a prin algoritmul simplex primal - Trecerea de la o soluţie posibilă de bază la altă soluţie posibilă de bază (criteriul

de ieşire din bază) - Criteriul de intrare în bază

Page 2: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

5. Tratarea problemelor de P.L. care nu au forma standard - Metoda bazei artificiale

6. Forma duală a PPL - Teorema de dualitate şi conţinutul economic al variabilelor duale (preţuri umbră) - Algoritmul simplex dual - Studii de caz în managementul financiar-contabil

Decizii optime de transport 7. Formularea problemei transporturilor şi a modelului matematic

- Soluţii de bază iniţiale 8. Criteriile de optimizare

- Studii de caz

Elemente de analiză matematică cu aplicaţii în fundamentarea deciziei economice optime

9. Serii numerice, criterii de convergenţă. Şiruri de funcţii. Serii de puteri. Seria Taylor - Funcţii de mai multe variabile. Mulţimi şi puncte din Rn - Continuitatea funcţiilor în spaţiul Rn: limite, limite iterate

10. Derivabilitatea funcţiilor în Rn: derivate parţiale de ordinul I şi de ordin superior - Diferenţiala de ordin I şi de ordin superior; conţinut economic - Derivata funcţiilor compuse

11. Extremele funcţiilor de mai multe variabile (punct de extrem local; punct staţionar; punct de minim local; punct de maxim local)

- Extreme cu legături (condiţionate). Conţinut economic - Aplicaţii şi studii de caz

12. Integrale

Modelul dinamicii proceselor economice 13. Dinamica proceselor economice: analiza în timp continuu şi în timp discret. Tipuri

principale de ecuaţii diferenţiale cu aplicaţii în economie: - ecuaţii cu variabile separabile - ecuaţii diferenţiale liniare

14. Ecuaţii omogene Ecuaţii diferenţiale de tip Bernoulli şi Riccati şi aplicaţiile lor

BIBLIOGRAFIA MINIMAL Ă

1. DUDA I., TRANDAFIR R., BACIU A., IOAN R. – Matematici pentru economişti, Ed. FRM, Bucureşti, 2000

2. DUDA I., TRANDAFIR R., BACIU A., IOAN R., – Elemente de matematici economice, Ed. FRM, Bucureşti, 2005.

3. BACIU A. –Matematici aplicate în economie şi finanţe, Ed. FRM, Bucureşti, 2004

4. DUDA I., – Elemente de algebră pentru economişti, Ed. FRM, Bucureşti, 1999.

5. OPRESCU GH., – Matematici pentru economişti, Ed. FRM, Bucureşti, 1996.

Page 3: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

BIBLIOGRAFIE SUPLIMENTAR Ă

1. PURCARU I. – Matematici financiare, Vol I şi II, Ed. Economică, 1993.

2. POPESCU O. şi colab. – Matematici aplicate în economie, Vol. I şi II, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1993.

3. DANTZIG,G., B., şi colab., – Programarea liniară a sistemelor man., (trad.)Vol. I, II şi II,I Ed. Tehnică, Bucureşti, 1990.

4. LENNARTH., JALMARSON, OPRESCU GH., şi colab., – Macroeconomie – o abordare cantitativă, Ed. Omnia, Bucureşti, 1995.

3.Prezentarea lectiilor (capitolelor) Prin structura şi conţinutul programei, studenţii vor avea baza matematică de înţelegere şi instrumentele - teorii operaţionale şi algoritmi - pentru celelalte discipline: economie, informatică, managementul firmei, statistică micro şi macroeconomică, macroeconomie, finanţe, contabilitate etc., discipline care, în condiţiile nivelului actual al ştiinţelor economice pe plan mondial - sunt puternic matematizate, în scopul fundamental al fundamentării rapide a deciziilor optime, prin instrumentele moderne ale informaticii. Astfel, capitolele studiate în semestrul I vor fi: Algebră liniară, Programare liniară şi Analiză matematică.

1. Algebră liniar ă Spaţii vectoriale. Organizarea spaţiilor economice ca spaţii vectoriale. Baza şi schimbarea bazei: metoda Gauss Jordan. Organizarea ca spaţii metrice şi spaţii normate. Forme liniare, biliniare, pătratice. Operatori pe spaţii vectoriale: valori proprii şi vectori proprii. Conţinut economic. (vezi pag. 13-41 din Matematici pentru economisti , I. Duda, R. Trandafir, A. Baciu, R. Ioan, S. Barza, Ed. FRM, 2007)

Concepte cheie spatiu vectorial, vectori liniar independenti, sistem de generatori, bază, dimensiune, matrice de trecere, aplicatie liniară, valori proprii, vectori proprii, forma liniară, forma biliniară, formă patratică, forma canonică a unei forme pătratice

1.1. Spaţii vectoriale

Fie V o mulţime nevidă de elemente şi K un corp de scalari (de regulă K este corpul numerelor reale R sau corpul numerelor complexe C). Pe mulţimea V se definesc două operaţii: – operaţia de adunare „+”, ca lege de compoziţie internă

, avem Vx y V x y∀ ∈ + ∈

Page 4: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

– operaţia de înmulţire „⋅” cu scalari, ca lege de compoziţie externă; ∀ x ∈ V, α ∈ K avem α ⋅ x ∈ V

Definiţie: Mulţimea nevidă V se numeşte spaţiu vectorial peste corpul K dacă

(V, +) este grup abelian, adică verifică: 1) x + y = y + x (∀) x, y ∈ V 2) (x + y) + z = x + (y + z), (∀) x, y, z ∈ V 3) (∃) VO , elementul neutru astfel încât x + Ov = Ov + x = x, (∀) x ∈ V

4) (∀) x ∈ V, (∃) x− element opus, astfel încât x + (-x) = (-x) + x = Ov (∀) x ∈ V si (V, ⋅) verifică 1) (x + β)x = αx + βx pentru (∀) α, β ∈ K şi x ∈ V 2) α (x + y) = αx + αy pentru (∀) α ∈ K şi x, y ∈ V 3) (α ⋅ β) ⋅ x = α (βx) pentru (∀)α, β ∈ K şi x ∈ V 4. 1k ⋅ x = x pentru 1K ∈ K numit element neutru, (∀) x ∈ V

Definiţie Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. Un vector v ∈ V se numeşte combinatie liniară a vectorilor v1, ...., vm ∈V dacă există scalarii α1, α2, ...., αm ∈ K astfel încât

v = α1 v1 + α2 v2 + .....+ αm vm

Definiţie Un sistem de vectori v1, v2, ...., vn din V se numeşte sistem de generatori ai spaţiului vectorial V dacă orice vector v ∈V se poate scrie ca o combinaţie liniară a vectorilor v1, v2, ...., vn.

Definiţie Un sistem de vectori v1, v2, ...., vm din V se numeşte sistem liniar independent dacă din α1v1 + α2v2 + ....+ αmvm = 0 rezultă ca scalarii

α1 = α2 = ..... =αm = 0 Observaţie: dacă există scalari nenuli, sistemul de valori se numeşte sistem liniar dependent.

Propoziţie. Vectorii v1, v2, ..., vn ∈V sunt liniar dependenţi dacă şi numai dacă cel puţin un vector dintre ei este o combinaţie liniară de ceilalti.

Definiţie. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. Un sistem de vectori B = v1, v2, ..., vm se numeşte bază pe spaţiul vectorial V dacă este formată dintr-un număr maxim de vectori liniari independenţi. Numărul vectorilor din bază determină dimensiunea spaţiului.

Definiţie. Coeficienţii α1, α2, ...., αn ai reprezentării vectorului v ∈ V în baza B se numesc coordonatele vectorului v în baza B.

Propoziţie Sistemul de vectori unitari ( ) ( ) ( )1 21 0 ... 0 , 0 1 ... 0 , ..., 0 0 ... 1nb b b= = = formează o bază a spaţiului

vectorial Rn numit bază canonică (sau unitară) Propozitie (Transformarea coordonatelor unui vector la schimbarea bazei).

Fie v ∈ Rn, A = {a1, a2, ... , an} şi B = {b1, b2, ..., bn} două baze din Rn şi prin abuz de notatie notăm cu A şi B matricile acestor baze.

Page 5: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

Fie α1, α2, ..., αn coordonatele vectorului v în baza A şi β1, β2, ..., βn coordonatele

vectorului v în baza B şi pentru fiecare i, n,1i = , λi1, λi2, ..., λin, coordonatele vectorului vi în baza B. Atunci:

λα++λα=β

λα++λα=β

nnn1n1n

n1n1111

.....

..........

.....

care scris matricial devine:

β = M ⋅ α, unde

λλ

λλ=

nn1n

n111

M

⋮⋮⋮

sau M se numeşte matricea de trecere de la o bază la alta.

Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete)

Metoda eliminării complete se poate folosi, printre altele, pentru:

- rezolvarea unui sistem de ecuaţii liniare;

- calculul inversei unei matrice nesingulare.

Etapele aplicării acestei metode sunt:

1. Se alcătuieşte un tabel care conţine matricea sistemului ce trebuie rezolvat (notată A ) sau matricea ce trebuie inversată ( A ).

2. Se alege un element nenul al matricei A , numit pivot. 3. Elementele din tabel se modifică astfel:

)a elementele de pe linia pivotului se împart la pivot;

)b coloana pivotului se completează cu zero;

)c restul elementelor se calculează după regula dreptunghiului:

- se formează un dreptunghi, având elementul ce trebuie înlocuit şi pivotul ca vârfuri;

- din produsul elementelor de pe diagonala pivotului se scade produsul elementelor celeilalte diagonale, iar rezultatul se împarte la pivot.

Schematic, regula dreptunghiului se prezintă astfel:

a………… x

Page 6: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

: : b

acbxx

−=' , unde:

: :

b……...….c

=b pivotul;

=x elementul ce trebuie înlocuit;

='x noua valoare a elementului x .

)d (facultativ) Dacă pe linia pivotului există un element egal cu zero, atunci coloana acelui element se copiază; analog, dacă pe coloana pivotului există un element egal cu zero, atunci linia acelui element se copiază.

4. Se reiau paşii 2 şi 3 până când de pe fiecare linie s-a ales câte un pivot.

1.2. Aplicaţii liniare

Definiţie: Fie V, V’ două spaţii vectoriale peste acelaşi corp de scalari K de dimensiuni n respectiv m. O aplicaţie T : V → V’ se numeşte aplicaţie (transformare sau operator) liniară dacă este aditiva şi omogenă, deci dacă verifică: a) T (x + y) = T(x) + T(y), (∀) x, y ∈ V b) T(αx) = αT(x), (∀)α ∈ K, x ∈ V.

Teoremă Aplicaţie T : V → V’ este aplicaţie liniară dacă şi numai dacă:

T(αx + βy) = αT(x) + βT(y), (∀) α, β ∈ K, x, y ∈ V. Teoremă: Fie V, V’ două spaţii vectoriale peste acelaşi corp de scalari K;

B = {a1, a2, ..., an} bază a spaţiului vectorial V şi B’ = {b 1, b2, ..., bn} bază a spaţiului V’. Fie ai un vector oarecare din B atunci T(ai) ∈ V’ şi poate fi reprezentat în mod unic în funcţie de vectorii bazei B’: T(ai) = α1b1 + αi bi+ ... + αinbn. Matricea formată din coordonatele vectorilor T(a1), T(a2), ... , T(an) în baza B’ se va numi: matricea asociată aplicaţiei liniare T în raport cu perechea de baze {B, B’}.

( )

ααα

αααααα

=

nnn2n1

n22221

n11211

'B,B TM

⋮⋮⋮⋮

Page 7: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

1.3. Valori proprii şi vectori proprii asociaţi aplicaţiei liniare.

Definiţie: Fie V spaţiu vectorial n – dimensional peste corpul de scalari K şi

T : V → V o aplicaţie liniară. Un scalar λ ∈ K se numeşte valoare proprie pentru aplicaţie liniară T dacă există cel puţin un vector nenul v ∈ V astfel încât:

T(v) = λv. (1)

Definiţie: Vectorul nenul v ∈ V care verifică relaţia (1) se numeşte vector propriu pentru aplicaţia T asociată valorii proprii λ.

Prezentăm în continuare modul de determinare al valorilor şi vectorilor proprii pentru o aplicaţie liniară.

Fie T : V → V’ o aplicaţie liniară cu matricea aplicaţiei AT definită în baze canonice. Relaţia (1) se mai scrie:

T(v) – λv = 0 (1) sau

( ) 0T n vA E vλ− = (2)

Relaţia (2) reprezintă scrierea matricială a unui sistem omogen. În consecinta coordonatele vectorului propriu v nenul sunt soluţiile sistemului omogen (2). Soluţiile sistemului omogen (2) nu sunt toate nenule numai dacă determinantul sistemului este nul:

P(λ) = det (AT - λEn) = 0

(3)

Polinomul P(λ) se numeşte polinomul caracteristic asociat aplicaţiei liniare T şi ecuaţia P(λ) = 0 se numeşte ecuaţia caracteristică a aplicaţiei T.

Teoremă: Fie T: V → V’, λ ∈ K este o valoare proprie a aplicaţiei liniare T dacă şi numai dacă este rădăcină a ecuaţiei caracteristice.

1.4. Reducerea unei forme pătratice la o formă canonică.

Definiţie Fie V un spaţiu vectorial peste corpul real (R), de dimensiune n. O aplicaţie f : V → R este o formă (transformare sau operator) liniară dacă este aditivă şi omogenă, adică: a) f(x + y) = f(x) +f(y) (∀) x, y ∈ V b) f(αx) = αf(x), (∀) α ∈ R, x ∈ V.

Definiţie O aplicaţie f : V × V → R este o formă biliniar ă dacă este liniară în raport cu ambele argumente, deci: 1. f(ax1 + bx2, y) = af(x1, y) + bf(x2, y) (∀) x1, x2, y ∈ V, (∀)a, b ∈ R 2. f(x, ay1 + by2) = af(x, y1) + bf(x,y2), (∀) x, y1, y2 ∈ V, (∀)a, b ∈ R Pentru formule biliniare vom da o modalitate de scriere a acestora sub forma matricială: Observaţie: O formă biliniară este determinată dacă se cunoaşte matricea formei A.

Page 8: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

Definiţie O formă biliniară se numeşte forma biliniar ă simetrică dacă matricea formei este o matrice simetrică (adică matricea A este egală cu transpusa sa: T

ff AA = ). Definiţie Fie V un spaţiu vectorial peste corpul de scalari R, de dimensiune n. O

aplicaţie g: V → R este o formă pătratic ă dacă există o aplicaţie biliniară simetrică f: V × V → R astfel încât g(x) = f(x, x) = xT Ax, (∀)x ∈V

Valorile

nn1n

n111

n2221

12112111

aa

aa

..., ,aa

aa ,a

⋮⋮⋮

=∆=∆=∆

se numesc minorii matricei A.

Definiţie Fie g : V → R o formă pătratică. g este pozitiv definită dacă toţi minorii matricei simetrice A sunt strict pozitivi; g este semipozitiv definită dacă minorii sunt pozitivi sau zero; g este negativ definită dacă minorii impari, ∆1, ∆3 ... < 0 şi

∆2, ∆4 ... > 0; g este seminegativ definită dacă minorii impari ∆1, ∆3 ... ≤ 0 şi minorii pari ∆2, ∆4 ... ≥ 0; g pentru care nu sunt îndeplinite nici una din condiţiile anterioare este o formă pătratică nedefinită.

Definiţie: Fie g : V → R o formă pătratică. Într-o bază a spaţiului B ∈ V forma pătratică g are o formă canonică dacă matricea formei este o matrice diagonală.

Metoda lui Jacobi

Fie o formă pătratică g : V → R, g(x) = xTAx, A – matrice simetrică. Dacă toţi minorii matricei A sunt nenuli atunci există o bază a spaţiului V, astfel încât forma pătratică să se transforme în formă canonică:

( ) 2n

n

1n22

2

121

1

y...yy1

yg∆

∆++

∆∆

+∆

= −

unde y = (y1 y2, ..., yn) reprezintă coordonatele vectorului x în baza B. Metoda lui Gauss constă în formarea de pătrate perfecte când conţin cel puţin un

aii ≠ 0

Subiecte pentru pregătirea în vederea evaluării finale

Test de autoevaluare

1) Fie 2 vectori x, y ∈ R3 ( ) ( )1, 2, 1 şi y 0, 1, 3 x = = atunci

a) ( )1, 3, 4x y+ = ; b) ( )0, 3, 4x y+ = ; c) ( )0, 2, 4x y+ = ;

d) ( )1, 3, 1x y+ = .

Raspuns corect: a) ( )1, 3, 4x y+ =

Rezolvare:

( ) ( ) ( )1, 2, 1 + 0, 1, 3 = 1, 3, 4 x y+ =

Page 9: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

2) Fie vectorii v1, v2, v ∈ R3, ( )1 1, 2, 3v = şi ( )2 0, 1, 1v = .

Să se scrie vectorul ( )1, 2, 4v = − ca o combinaţie liniară a vectorilor v1 şi v2.

a) 1 22v v v= + ; b) 1 22v v v= − ; c) 1 2v v v= + ; d) v nu se poate scrie ca o combinatie

liniara a a vectorilor v1 şi v2 Raspuns corect: d) Rezolvare: Conform definiţiei trebuie să aflăm scalarii α1 şi α2 astfel încât v = α1v1 + α2 v2 ⇔

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

1 2

1 1 1 2 2 2

1 1 2 1 2

1, 2, 4 1, 2, 3 0, 1, 1

1, 2, 4 1, 2, 3 0, 1, 1

1, 2, 4 , 2 , 3

α αα α α α α αα α α α α

− = ⋅ + ⋅ ⇔

⇔ − = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⇔

⇔ − = + +

sau altfel scris obţinem următorul sistem cu necunoscutele α1, α2.

1 1

1 2 2

1 2 2

1 1

2 2 4

3 4 7

α αα α αα α α

= − = − + = ⇔ = + = =

sistem incompatibil sau putem afirma că vectorul

v nu se poate scrie ca o combinaţie liniară a vectorilor v1 şi v2. 3) Fie vectorii ( ) ( ) ( )1 2 30, 2, 1 ; 1, , 1 ; , 0, 1 ; Rv v m v m m= = − = ∈

Determinaţi parametrul m∈ R astfel încât vectorii v1, v2, v3 să fie liniar independenţi. a) m=1; b) m= -1; c) m R∈ ; d) m=0 Raspuns corect: c) Rezolvare: Aplicând definiţia trebuie să punem condiţia ca toţi scalarii α1, α2, α3 ∈ K să fie nuli în egalitatea: α1v1 + α2v2 + α3v3 =0 sau transformând această egalitate într-un sistem de ecuaţii liniare omogene cu solutie nula unica, atunci obligatoriu trebuie să punem conditia ca determinantul matricii formată din vectorii v1, v2, v3 să fie nenul:

det A ≠ 0 ⇔

111

0m2

m10

− ≠ 0 ⇔ 0 + 0 –2m –m2 – 0 –2 ≠ 0

⇔ m2 + 2m + 2 ≠ 0 ⇔ (m+1)2 + 1 ≠ 0 (∀) m ∈ R Aşadar vectorii sunt liniar independenţi pentru (∀) m ∈ R. 4) Fie vectorii ( ) ( ) ( )1 2 31, 1, 2 , 1, 1, 1 , 1, 2, 1v v v= = = , v1, v2, v3 ∈ R3

Vectorii v1, v2, v3 formează o bază a spatiului vectorial R3 ? Raspuns corect: A

Page 10: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

Rezolvare: Pentru a demonstra că sistemul format din trei vectori v1, v2, v3 (numarul vectorilor din baza trebuie sa fie egal cu dimensiunea spatiului in care se lucreaza) formează baza este suficient să demonstrăm că este un sistem liniar independent

112

211

111

≠ 0 ⇔ Vectorii v1, v2, v3 formează o bază a spatiului vectorial R3

5) Fie vectorii ( ) ( ) ( )1 2 31, 1, 2 , 1, 1, 1 , 1, 2, 1v v v= = = , v1, v2, v3 ∈ R3

Exprimati coordonatele vectorului ( )2, 1, 2 v = − în baza v1, v2, v3 .

a) ( )2, 1, 0v = − ; b) ( )0, 3, 5v = ; c) ( )0, 3, 5v = − ; d) alt Raspuns corect:.

Raspuns corect: c) Rezolvare: Vom afla coordonatele vectorului v în baza B v1, v2, v3 aplicând metoda Gauss-Jordan:

B v 1 1 1 2 1 1 2 -1 2 1 1 2 1 1 1 2 0 0 1 -3 0 -1 -1 -2 1 1 0 5 0 0 1 -3 0 -1 0 -5 1 0 0 0 0 0 1 -3 0 1 0 5

Citim din ultimul tabel coordonatele vectorului v în baza B v1, v2, v3 şi anume

( )0, 5, 3v = − .

6) Exprimati vectorul ( )3, 1, 2v = − în baza unitară.

a) 1 2 33v e e e= + + ; b) 1 2 33 2v e e e= − + + ; c); 1 2 33v e e e= + − d) 1 2 33v e e e= − −

Raspuns corect: b) Rezolvare: În spaţiul R3 vectorii unitari sunt ( ) ( ) ( )1 2 31, 0, 0 ; 0, 1, 0 ; 0, 0, 1e e e= = =

şi atunci putem scrie v = -3e1 + 1 ⋅ e2 + 2⋅ e3. 7) Exprimati vectorul ( )3, 1, 2v = − în baza v1, v2, v3 unde

Page 11: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

( ) ( ) ( )1 2 31, 1, 1 ; 3, 1, 2 ; 1, 1, 1v v v= − = − =

a) 1 2 30 1 1v v v v= + + ; b) 1 2 30 1 0v v v v= + + ; c) 1 2 31 1 0v v v v= + + ; d) alt răspuns.

Raspuns corect: b) Rezolvare: Pentru a exprima v în baza v1, v2, v3 se rezolvă prin metoda Gauss Jordan şi obţinem

1 2 30 1 0v v v v= + + (sau se observă având în vedere că 2v v= ).

8) Fie următoarele sisteme de vectori: A = {a1, a2, a3}, unde ( ) ( ) ( )1 2 31, 4, 2 ; -1, 2, 0 ; 3, 1, 5a a a= = = şi

B = {b1, b2, b3}, unde ( ) ( ) ( )1 2 32, 4, 5 ; -1, 1, 0 ; -2, 0, 2b b b= = = .

Să se determine matricea de trecere de la baza A la baza B.

a)

−−=

205834

21715

14155

16

1M ; b)

5 15 141

15 17 216

34 58 20

M

− = − −

; c)

5 15 141

15 17 016

34 58 20

M

= − −

;

d) alt raspuns. Raspuns corect: a) Rezolvare: Fie M matricea de trecere de la A la B Din vA = A-1 ⋅ v ⇒ v = A ⋅ vA ⇒ vB = B-1 ⋅ v ⇒ v = B ⋅ vB

A ⋅ vA = B ⋅ vB ⇒ vA = A-1 B vB deci MT = A-1B pe care o vom determina aplicând metoda Gauss-Jordan

−−=

20214

581715

34155

16

1M T

−−=

205834

21715

14155

16

1M

A B 1 -1 3 2 -1 -2 4 2 1 4 1 0 2 0 5 5 0 2

Page 12: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

1 -1 3 2 -1 -2 0 6 -11 -4 5 8 0 2 -1 1 2 6 1 0 7/6 4/3 -1/6 -2/3 0 1 -11/6 -2/3 5/6 4/3 0 0 8/3 7/3 1/3 10/3 1 0 0 5/16 -5/16 -17/8 0 1 0 15/16 17/16 29/8 0 0 1 7/8 1/8 5/4

9) Aplicaţia T : R2 → R3 unde T(x1, x2) = (x1 + x2, –x2, – x1–x2) este o aplicaţie liniară ? Raspuns corect: A Rezolvare: Conform teoremei vom arăta că: T(αx + βy) = αT(x) + βT(y) (∀) α, β ∈R, x, y ∈R2 ⇔ T(αx1 + βy1, αx2+ βy2) = αT(x1, x2) + βT(y1, y2) ⇔ (αx1 + βy1 + αx2 + βy2, – αx2 – βy2, – αx1 – βy1 – αx2 – βy2) = = α(x1 + x2, –x2, – x1 –x2) + β(y1 + y2, –y2, – y1 –y2) (A). 10) Fie aplicaţia liniară T : R2 → R3, T(x1, x2) = (x1 + x2, – x2, – x1 –x2) Să se determine matricea asociată aplicaţiei liniare T în raport cu perechea de baze: B = { a1, a2} şi B’ = { b1, b2, b3}, unde

( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2

1 2 3

1, 1 , -1, 3 ;

1, 1, 1 , 1, 3, 4 , 5, -1, 0

a a

b b b

= =

= = =

a) ( )

=

8

7

8

1

8

1

8

92

5

4

10

TM 'B,B ; b) ( ), '

10 5

4 29 1

8 81 7

8 8

B BM T

=

; c); ( ), '

10 5

4 29 1

8 81 5

8 8

B BM T

= −

d) alt Raspuns corect:. Raspuns corect: a) Rezolvare: T(a1) = T(1, 1) = (2, –1, –2) T(a2) = T(–1, 3) = (2, –3, –2). Coordonatele acestor doi vectori în baza B’ sunt: (10/4, –9/8, 1/8) şi respectiv (–5/2, 1/8, 7/8). Deci

Page 13: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

( )

=

8

7

8

1

8

1

8

92

5

4

10

TM 'B,B

11) Fie aplicaţia liniară T : R2 → R3, T(x1, x2) = (x1 + x2, – x2, – x1 –x2) Să se determine matricea asociată aplicaţiei liniare T în raport cu bazele canonice.

a) ( ), '

1 1

0 1

1 1B BM T

= −

; b) ( )

−−−=

11

10

1 1

TM 'B,B ; c) ( ), '

1 1

0 1

1 0B BM T

= −

;

d) alt raspuns. Raspuns corect: b) Rezolvare: Bazele canonice sunt B = {e1, e2}, ( ) ( )1 21, 0 , 0, 1e e= = şi

{ } ( ) ( ) ( )' ' '1 2 3 1 2 3' , , , 1, 0, 0 ; 0, 1, 0 ; 0, 0, 1B e e e e e e= = = =' ' '

T(e1) = T(1, 0) = (1, 0, –1) T(e2) = T(0, 1) = (1, –1, –1). Coordonatele acestor doi vectori în baza B’ sunt (1, 0, –1) şi respectiv (1, –1, –1) şi deci

( )

−−−=

11

10

1 1

TM 'B,B

12) Fie T : R3 → R3 o aplicaţie liniară a cărei matrice asociată în raport cu baza canonică este:

=130

310

004

A T

Să se afle valorile proprii asociaţi acestui operator. a) λ1 = λ2 = 4 şi λ3 = 2; b) λ1 = λ2 = 4 şi λ3 = –2; c) λ1 = λ2 = –4 şi λ3 = –2; d) alt raspuns. Raspuns corect: b) Rezolvare:

Polinomul caracteristic ( ) ( )λ−

λ−λ−

=λ−=λ130

310

004

EAdetP 3 şi atunci ecuaţia

caracteristică va fi: (4 –λ)2 (–2 –λ)= 0

Page 14: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

Valorile proprii sunt soluţiile acestei ecuaţii: λ1 = λ2 = 4 şi λ3 = –2. 13) Fie T : R3 → R3 o aplicaţie liniară a cărei matrice asociată în raport cu baza canonică este:

=130

310

004

A T

Să se afle vectorii proprii asociaţi acestui operator. a) v = (k, h, h), unde k, h ∈ R şi v = (0, –p, p), unde p ∈ R nenul ; b) v = (k, -h, h), unde k, h ∈ R şi v = (0, p, p), unde p ∈ R nenul; c) v = (k, -h, -h), unde k, h ∈ R şi v = (0, –p, p), unde p ∈ R nenul; d) alt Raspuns corect:. Raspuns corect: a) Rezolvare: Vectorii proprii asociaţi valorii proprii λ se află rezolvând ecuaţia: T(v) = λv

Cum polinomul caracteristic ( ) ( )λ−

λ−λ−

=λ−=λ130

310

004

EAdetP 3 atunci ecuaţia

caracteristică va fi: (4 –λ)2 (–2 –λ)= 0 Valorile proprii sunt soluţiile acestei ecuaţii: λ1 = λ2 = 4 şi λ3 = –2. Aşadar, fie λ1 = λ2 = 4, atunci vom rezolva ecuaţia T(v) = 4v, v ∈ R3

∈=∈

==

=+=+

=

Rvv

Rv

vv

vv

v4vv3

v4v3v

v4v4

32

1

23

11

332

232

11

Deci v = (k, h, h), unde k, h ∈ R şi nu sunt simultan nuli, este vectorul propriu căutat asociat valorii λ = 4. Fie λ3 = –2 atunci vom rezolva ecuaţia T(v) = -2v, v ∈ R3

∈−==

−=+−=+

−=

Rvv

0v

v2vv3

v2v3v

v2v4

32

1

332

232

11

Deci v = (0, –p, p), unde p ∈ R nenul, este vectorul propriu asociat valorii λ = –2. 14) Fie o formă biliniară f : R2 × R2 → R f(x, y) = x1y1 – 2x2y1 + x1y2. Care este matricea formei biliniare în baza canonică?

Page 15: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

a)1 1

3 0fA

= − ;b)

1 1

2 0fA

= − ;c)

1 1

2 0fA

=

; d) alt Raspuns corect:.

Raspuns corect: b) Rezolvare: Fie:

( ) ( ) 11 12 11 2 1 1 11 2 1 21 1 2 12 2 2 22

21 22 2

, xa a y

f x y x x y a x y a x y a x y aa a y

= = + + +

Această formă o identificăm cu forma biliniară dată şi se obţine matricea formei în baza

canonică: 1 1

2 0fA

= −

15) Să se aducă la forma canonică următoarea funcţională pătratică:

f : R3 → R, ( ) 2 2 21 3 1 3 2 3 22 4 6f x x x x x x x x= − − + + (utilizaţi metoda lui Jacobi)

a) ( ) 2 2 21 2 3

1 1

2 12f y y y y= + − ; b) ( ) 2 2 2

1 2 31 1

2 12f y y y y= + + ; c) ( ) 2 2 2

1 2 31 1

2 12f y y y y= − − d) alt

raspuns. Raspuns corect: a) Rezolvare:

−−

−=

132

310

202

A

Calculăm minorii 1 11 2 3

2 0 22 0

2; 2; 0 1 3 240 1

2 3 1

a

−∆ = = ∆ = = ∆ = = −

− −

( ) 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3

1 2 2 1 1

2 2 24 2 12f y y y y y y y= + + = + −

şi observăm că această formă pătratică este nedefinită. 16) Să se aducă la forma canonică următoarea formă pătratică

g : R3 → R ( ) 2 22 3 1 2 1 34 4g x x x x x x x= − + − utilizând metoda lui Gauss.

a) ( ) 2 21 2g y y y= + ; b) ( ) 2 2

1 2g y y y= − − ; c) ( ) 2 21 2g y y y= − ; d) alt Raspuns corect:.

Raspuns corect: c) Rezolvare:

Page 16: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

Matricea formei este:

−−

−=

102

012

220

A cu minorii

0

102

012

220

,412

20 ,0 321 =

−−

−=∆−==∆=∆

Metoda lui Jacobi nu se poate aplica deoarece avem minori nuli şi atunci vom aplica acest exemplu metoda lui Gauss. Metoda lui Gauss constă în formarea de pătrate perfecte când conţin cel puţin un aii ≠ 0

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 22 2 2 22 1 2 1 1 3 1 3 2 1 1 3

2 21 2

4 4 4 4 2 2g x x x x x x x x x x x x x

g y y y

= + + − − − = + − + ⇒

⇒ = −

are natură nedefinită. 17) Un sistem de vectori v1, v2, ...., vm din V se numeşte sistem liniar independent dacă din α1v1 + α2v2 + ....+ αmvm = 0 rezultă că scalarii α1 = α2 = ..... =αm = 0. Raspuns corect: A. 18) Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. Un sistem de vectori B = v1, v2, ..., vm se numeşte bază pe spaţiul vectorial V dacă este formată dintr-un număr maxim de vectori liniari independenţi Raspuns corect: A.

19) Aplicaţie T : V → V’ este aplicaţie ... dacă şi numai dacă:

T(αx + βy) = αT(x) + βT(y), (∀) α, β ∈ K, x, y ∈ V. a) liniară; b) neliniară; c) biliniară; d) alt răspuns. Raspuns corect: a) 20) Fie T: V → V’, λ ∈ K este o valoare ... a aplicaţiei liniare T dacă şi numai dacă este rădăcină a ecuaţiei caracteristice a) proprie; b) caracteristică; c) alt răspuns. Raspuns corect: a)

2. Fundamentarea optimă a deciziilor prin programare liniară. Decizii optime de transport

Formularea problemei de programare liniară (PPL) şi a modelului matematic: forma

generală, forma canonică, forma standard. Rezolvare:a prin algoritmul simplex primal.

Page 17: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

Forma duală a PPL. Teorema de dualitate şi conţinutul economic al variabilelor duale (preţuri umbră). Algoritmul simplex dual. Studii de caz în managementul financiar-contabil.

Formularea problemei transporturilor şi a modelului matematic. Soluţii de bază iniţiale. Criteriile de optimizare. Studii de caz. (vezi pag. 45-76 Matematici pentru economisti, I. Duda, R. Trandafir, A. Baciu, R. Ioan, S. Barza, Ed. FRM, 2007) Concepte cheie: solutie de bază, solutie optima, forma standard, pivot, variabile ecart, variabile artificiale.

2.1. Programare liniară

Diverse probleme economice şi sociale la o serie de probleme de optimizare. De exemplu:

1. probleme de planificare a investiţiilor (probleme de utilizare oprimă a unor resurse);

2. probleme de transport; 3. probleme de planificare a producţiei.

Problema utilizării optime a unor resurse O întreprindere produce articolele A1, A2, ... An utilizând materiile prime (resursele) M1, M2, ... Mm (disponibil de forţă de muncă, capital, energie). Resursele sunt în cantităţi limitate, din, de exemplu Mj dispunem de o cantitate maximă bj (cunoscută). Se cunosc, de asemenea: • consumurile tehnologice – aij (aij ≥ 0) cantitatea din Mj ce se consumă pentru a fabrica o

unitate din Ai ( )m1,j ,n1,i ==

mnm2m1m

2n22212

1n12111

n21

aaaM

aaaM

aaaM

AAA

• beneficiile unitare ci (ci > 0) n1,i = reprezentând suma realizată prin valorificarea unei unităţi din produsul Ai.

Notăm cu xi n,1i = cantitatea de produs Ai ce va fi fabricată. Cunoaşterea lui xi, reprezentând obiectivul final într-o problemă de planificare a producţiei.

Încasările totale fiind ( ) ∑=

=n

1iiin21 xcxx,xf …

În cazul în care unitatea dispune de materii prime, se pune problema utilizării lor astfel încât să obţină încasări totale cât mai mari.

Page 18: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

( )

[ ]

=≥

=≤

=

=

=

n1,i ,0x

m,1j,bxa

xcfmax

1

i

j

n

1iiij

n

1iii

Matriceal problema se scrie

( )[ ]

≥≤

=′

0x

BAx

cxfmax

1

Putem spune că la un model de programare liniară avem: 1. o funcţie obiectiv (liniară în toate variabilele) f = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn 2. un sistem de restricţii formate din ecuaţii şi inecuaţii liniare 3. condiţii de nenegativitate asupra variabilelor 4. un criteriu de optim – de „min” sau de „maxim”

FORMA STANDARD A PROBLEMEI DE PROGRAMARE LINIAR Ă Considerând o problemă de programare liniară, având drept criteriu de optim „min” (de exemplu, minimizarea cheltuielilor) aceasta se va scrie în formă standard astfel:

( )

[ ]

≥≥≥=+++

=+++=++++++=

0x,0x,0x

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

xcxcxcfmin

2

n11

mnmn22m11m

2nn2222121

1nn1212111

mn2211

Sau matriceal

( )[ ]

≥=

=′

0x

BAx

cxfmax

2

• Definiţie 1. Un vector X0 ≥ 0 ce verifică relaţia AX = B se numeşte soluţie posibilă a modelului. • Definiţie 2. O soluţie posibilă X0 pentru care numărul de componente nenule r este mai mic sau egal cu m, iar vectorii ce corespund componentelor nenule sunt liniar independenţi se numeşte soluţie de bază. • În cazul în care r < m soluţia de bază se numeşte degenerată. • Definiţie 3. Soluţia posibilă X′ este optimă dacă pentru orice soluţie posibilă X avem:

Page 19: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

CX′ ≤ CX • Teoremă. Dacă X0 este o soluţie optimă de bază a problemei de programare liniară (PL) atunci vectorii ce corespund componentelor nenule ale lui X0 sunt liniari independenţi. •Fie problema de programare liniară

[ ]( )

=⟨≥∈=

∈∈=

×

mA rang n,m 0X

RMA BAX

RC,RX CX f min

nm

mn

Pentru Rezolvare:a acestuia procedăm astfel: 1. se întocmeşte lista cu vectorii corespunzători coloanelor matricii

A: a1, a2, ... an

2. dintre vectorii a1, a2, ... an se alege o bază { }m21 iii a ,...a,aT = .

3. Se calculează componentele BT ale vectorilor B în baza T. 4. Se determină componentele vectorilor { }n21 a ... ,a ,a în baza T şi se trec în

tabelul SIMPLEX. Cj: C1 C2 Cn

CB coeficienţii

bazici

B baza

XB soluţia

a1 a2 am

C1 1i

a

com

pone

ntel

e lu

i B în

ba

za T

C2 2i

a

⋮ ⋮ Cm

mia

Zj Z0 Z1 Zn

∆j = Cj – Zj

B

m

1iB0jij XC Z,aCZ ∑

=

⋅==

5. Dacă ∆j ≥ 0 atunci

• baza T este optimă; • soluţia de bază BT completată cu zerourile necunoscutelor este soluţie optimă de bază • valoarea optimă a funcţiei obiectiv este Z0 şi Rezolvare:a s-a încheiat. Dacă ∃ β pentru care ∆β < 0, baza T nu este optimă şi se trece la punctul 6o.

6. Se va introduce în bază vectorul aβ (unde: indicele β este dat de cea mai mare diferenţă negativă în modul) parcurgând etapele următoare: a. se împarte coloana BT la coloana componentelor lui aβ (numai

componentele strict pozitive);

Page 20: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

b. se alege rezultatul minim; c. vectorul aα iese din bază şi intră în bază vectorul aβ; d. elementul aflat pe linia α şi coloana β se numeşte pivot).

7. Completarea tabloului simplex se va face astfel: • baza nouă se obţine prin scoaterea lui aα din bază şi înlocuirea cu aβ; • coloana pivotului devine vector unitar; • linia pivotului se împarte la pivot, rezultatul trecându-se în total pe linia α; • se aplică regula dreptunghiului (elementul ce se calculează este dat de

produsul elementelor de pe diagonala pivotului

– produsul elementelor de pe

cealaltă diagonală pivot

• se completează liniile anexă; • se revine la punctul 5o.

OBSERVAŢII

• La ieşirea din bază dacă sunt mai multe rapoarte minime egale poate ieşi oricare din variabilele corespunzătoare.

• Dacă la căutarea variabilei ce părăseşte baza pe coloana ce intră în bază nu avem nici un element strict pozitiv (toate negative sau zero) algoritmul se va încheia cu concluzia optim infinit. Exemplu: Să se rezolve următoarea problemă de programare liniară:

[ ]

1,5i ,0x

16x3xx

12xx2x

8x2xx

x2x3xx2x fmin

i

543

542

541

54321

=≥

=++=++=++

++++=

Rezolvare:

Scriem matricea

=31100

12010

21001

A

Observăm că avem o bază { }321 a ,a ,aB =

Page 21: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

Cj 2 1 1 3 2 CB B XB a1 a2 a3 a4 a5 2 a1 8 1 0 0 1 2 1 a2 12 0 1 0 2 1 1 a3 16 0 0 1 1 3 Zj 2⋅8+1⋅12+1⋅16=44 2 1 2 5 8

∆j = Cj – Zj 0 0 0 -2 -6 soluţia nu

este optimă (∃ ∆j < 0)

2 a5 4 1/2 0 0 1/2 1 1 a2 8 -1/2 1 0 3/2 0 1 a3 4 -3/2 0 1 -1/2 0 Zj 20 -1 1 1 2 2

∆j = Cj – Zj 3 0 0 1 0 ∆j ≥ 0 soluţia este optimă

Concluziile sunt următoarele: • baza { }321 a ,a ,aB = nu este optimă deoarece ∆4 < 0, ∆5 < 0;

• corespunzător lui ∆5 (celei mai mari diferenţe negative în modul) alegem vectorul a5 în scopul introducerii în bază; • împărţind coloana „soluţie” la coloana lui a5, găsim

3

16 ,

1

12 ,

2

8, iar

2

8

3

16 ,

1

12 ,

2

8min =

, corespunzător pivotului va fi a15 = 2

a1 iese din bază, a5 intră în bază. La Pasul următor observăm că toate diferenţele ∆j ≥ 0, soluţia este optimă • baza { }325 a ,a ,a este optimă

• soluţia optimă de bază este x5 = 4, x2 = 8, x3 = 4 x1 = x4 = 0 • valoarea minimă a lui f este Z0 = 9 Algoritmul SIMPLEX pentru probleme care nu au soluţia iniţială. • Restricţiile pot fi puse (sau sunt) sub forma Ax ≤ b, b ≥ 0, x ≥ 0 indiferent dacă problema este de „max” sau de „min”. • Deoarece în cazul inegalităţii α ≤ β ∃ γ ≥ 0 astfel încât α + γ = β vom adăuga la fiecare inegalitate a problemei câte o variabilă y pozitivă astfel încât sistemul de inegalităţi al problemei devine sistem de egalităţi. Fixând x1 = x2 = ... = xn = 0 avem soluţia y1 = b1, ... ym = bm posibilă prin construcţie. În funcţia obiectiv variabilele y sunt introduse şi numite variabile de compensare sau de egalizare sau variabile ecart vor figura cu coeficient „0” Pentru problema modificată în acest fel şi adusă, deci la forma standard se aplică algoritmul simplex ca în cazul precedent.

Page 22: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

(3)

[ ] [ ]

≥≥=+

⋅+=⇔

≥≥≤

=

0Y 0,X

b yIAX

y0CXfmax

0X

0b ,bAX

CXfmax

m (3’)

(3’) ⇔

[ ]

=≥=≥

=++++

=++++=++++

+=

m1,j ,0y ,n1,i ,0x

byxa...amxxa

b yxa...xaxa

b yxa...xaxa

y0CXfmax

j1

mmnmn211m

22nn2222121

11nn1212111

⋮ (4)

OBSERVAŢII • La determinarea algoritmului SIMPLEX soluţia optimă poate cuprinde variabile X cât şi variabile Y

=

0

00

y

xX

• În cazul în care există componente y în soluţia optimă, interpretarea lor economică poate fi aceea de economie de resurse în sensul că pentru componenta optimă yk de exemplu, diferită de zero, atunci resursa bk ≠ 0, nu a fost transformată în întregime. Exemplu

(4)

[ ]

1,4i ,0x

15x3xx2x

12xxxx2

x5xx4x2fmax

i

4321

4321

4321

=≥

≤+++≤+++

+−+=

⇔(5)

[ ]

0y ,0y ,1,4i ,0x

15yx3xxx

12yxxxx2

y0y0x5xx4x2fmax

21i

24321

14321

214521

≥≥=≥

=++++=++++

+++−+=

Rezolvare: Matricea corespunzătoare va fi:

103111

011112

Page 23: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

B = {y1, y2} Întocmim tabloul simplex cj: 2 4 -1 5 0 0 CB B XB a1 a2 a3 a4 y1 y2 0 y1 12 2 1 1 1 1 0

=

3

15,

1

12min

0 2y 15 1 2 1 3↓ 0 1

PIVOT 33

15 →=

zj 0 0 0 0 0 0 ∆j = cj – zj 2 4 -1 5 0 0 soluţia nu este

optimă (∃∆j > 0) 0 y1 7 5/3 1/3 2/3 0 1 -1/3

=3/2

5,

3/1

7min =

5 4a 5 1/3 2/3↓ 1/3 1 0 1/3

PIVOT 3/23/2

5 →=

zj 25 5/3 10/3 5/3 5 0 5/3 ∆j = cj – zj 1/3 2/3 -8/3 0 0 -5/3 soluţia nu este

optimă (∃∆j > 0) 0 y1 9/2 3/2 0 1/2 -1/2 1 -1/2 4 a2 15/2 1/2 1 1/2 3/2 0 1/2 zj 30 2 4 2 6 0 2 ∆j = cj – zj 0 0 -3 -1 0 -2 Soluţia este optimă

(∆j ≤ 0) Soluţia este x1 = x3 = x4 = 0, x2 = 15/2 y1 = 9/2, y2 = 0 fmax = 30 METODA BAZEI ARTIFICIALE Constă în introducerea unui număr de m variabile artificiale ui, ui ≥ 0 câte una la fiecare restricţie astfel încât restricţiile modificate devin:

≥≥=+0u ,0x

buIAX m

iar funcţia obiectiv [max]f = CX – Mu sau [min]f = CX + Mu, unde M ≥ 0 foarte mare în raport cu cifrele ce apar în calcule. Scopul introducerii variabilelor artificiale este acela de a avea pentru început o soluţie de bază, constatând că aceasta este dată chiar de variabilele artificiale.

Page 24: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

La terminarea algoritmului SIMPLEX pentru o astfel de problemă putem avea următoarele situaţii: 1. soluţia optimă nu conţine variabile artificiale 2. soluţia optimă conţine variabile artificiale, dar de valoare zero. În acest caz problema are soluţie optimă degenerată 3. soluţia optimă conţine variabile artificiale nenule. În acest caz problema nu are soluţie, pentru că nu a fost corect formulată. Din punct de vedere economic prezenţa variabilelor artificiale în funcţia obiectiv înseamnă o diminuare a valorii maxime sau o creştere a valorii minime. Exemplu

[ ]

1,4i ,0x

15x3xx2x

10xxxx2

x5xx4x2fmax

i

4321

4321

4321

=≥

=+++=+++

+−+=

Rezolvare:

Matricea sistemului

1121

1112:A

Problema se va rescrie

[ ]

0u ,0u ,1,4i ,0

1532

102

542max

21

24321

14321

214321

≥≥=≥

=++++=++++

−−+−+=

ix

uxxxx

uxxxx

MuMuxxxxf

Matricea se rescrie corespunzător

=

103121

011112A

B = {u1, u2} cj 2 4 -1 5 -M -M CB B XB x1 x2 x3 x4 u1 u2 -M u1 10 2 1 1 1 1 0

=

3

15,

1

10min

-M 2u 15 1 2 1 3↓ 0 1

PIVOT 33

15 →=

zj -3M -3M -2M -4M -M -M ∆j = cj – zj 2-3M 3M+4 2M-1 4M+5 0 0 soluţia nu este

optimă (∃∆j > 0)

Page 25: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

-M u1← 5 5/3 1/3 2/3 0 1 -1/3 5 x4← 5 1/3 2/3 1/3 1 0 1/3

=

3/1

5 ,

3/5

5min

zj 5/3-

5/3M 10/3-M/3

5/3-2M/3

5 -M M/3+5/3 PIVOT 3/5

3/5

5 →=

∆j = cj – zj 5/3M+1

/3 M/3+2/3

2M/3-8/3

0 0 -4M/3-5/3 soluţia nu este optimă (∃∆j > 0)

2 x1 3 1 1/5 2/5 0 3/5 -1/5 5 x4← 4 0 3/5↓ 1/5 1 -1/5 2/5

=

3/5

4 ,

5/1

3min

zj 26 2 17/5 9/5 5 1/5 8/5

PIVOT 5/35/3

4⇒=

∆j = cj – zj 0 3/5 -14/5 0 -M-

1/5 -M-8/5 soluţia nu este

optimă (∆j ≤ 0) 2 x1 5/3 1 0 1/3 -1/3 2/3 -1/3 4 x2 20/3 0 1 1/3 5/3 -1/3 2/3 zj 80/3 2 4 2 6 0 2 ∆j = cj – zj 0 0 -3 -1 -M -M-2 soluţia este

optimă (toate diferenţe ∆j ≤ 0)

Soluţia max f = 80/3 x1 = 5/3 u1 = u2 = 0 x2 = 20/3 x3 = x4 = 0 OBSERVAŢII Pentru o problemă ce nu are soluţie iniţială procedăm astfel: 1. restricţiile de forma α ≤ β devin egalităţi introducând variabilele de compensare; 2. pentru restricţiile α = β introducem variabilele artificiale; 3. pentru restricţiile α ≥ β introducem variabilele de compensare şi artificiale. Formal putem scrie: • α ≤ β ⇒ α + γ = β • α = β ⇒ α + u = β • α ≥ β ⇒ α – γ + u = β

Page 26: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

În funcţia obiectiv sunt introduse variabilele de compensare ca în cazul 1 şi variabilele artificiale ca în cazul 2. Exemplu

[ ]

1,6i ,0x

8xxxx2xx

24xx3xxx2x

8xxxxxx2

x4x3x2xxxfmin

i

654321

654321

654321

654321

=≥

≥+++++=+++++

≤++++++++++=

Rezolvare: Problema se va rescrie introducând variabilele de compensare şi artificiale corespunzătoare

[ ]

0u ;0u ;0y ,0y ,1,6i ,0x

8uyxxxx2xx

24uxx3xxx2x

8yxxxxxx2

MuMuy0y0x4x3x2xxxfmin

2121i

22654321

1654321

1654321

2121654321

≥≥≥≥=≥

=+−+++++=++++++

=+++++++++++++++=

Matricea sistemului va fi:

− 1010111211

0100131121

0001111112

:A

Observăm că B = {y1, u1, u2} cj 1 1 1 2 3 4 0 0 M M CB B XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 y1 y2 u1 u2 0 y1← 8 2 1 1 1 1↓ 1 1 0 0 0 M u1 24 1 2 1 1 3 1 0 0 1 0 M u2 8 1 1 2 1 1 1 0 -1 0 1 zj 2M 3M 3M 2M 4M 2M 0 -M M M ∆j = cj – zj 1-

2M 1-3M

1-3M

2-2M

3-4M

4-2M

0 M 0 0 soluţia nu este optimă (∃∆j < 0)

3 x5 8 2 1 1 1 1 1 1 0 0 0

Page 27: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

M u1 0 -5 -1 -2 -2 0 -2 -3 0 1 0 M u2 0 -1 0 1 0 0 0 -1 -1 0 1 zj 24 6-

6M 3-M

3-M

3-2M

3 3-2M

3-4M

-M M M

∆j = cj – zj 6M-5

M-2

M-2

2M-1

0 2M+1

4M-3

M 0 0 ∆ ≥ 0 soluţia este optimă degenerată

Soluţia [min]f = 24 u1 = u2 = 0 y1 = y2 = 0 x1 = x2 = x3 = x4 = x6 = 0 x5 = 8

2.2. Probleme de transport

Concepte cheie surse, destinatii, forma echilibrată , soluţie realizabilă, metoda diagonalei (metoda colţului nord-vest), metoda costurilor minime

Problemele de transport sunt o formă particulară a problemelor de programare

liniară pentru care metoda simplex poate fi adaptată condiţiilor particulare, având ca rezultat un procedeu de Rezolvare: în principiu identic celui utilizat în cazul general. Primele rezultate au fost obţinute de Hitchcock, Kantorovici şi Koopmans şi ulterior de Dantzig. În practică o asemenea problemă poate fi întâlnită, de exemplu, sub forma următoare: un anumit produs se află în cantităţile maaa ,...,, 21 în punctele mAAA ,...,, 21

numite şi surse. El trebuie transportat în punctele nBBB ,...,, 21 numite destinaţii, în

cantităţile nbbb ,...,, 21 , urmărind minimizarea cheltuielilor de transport, cunoscând

preţurile unitare de transport ijc de la sursa i către destinaţia j .

Formularea matematică a problemei este

i

n

jij ax ≤∑

=1

, mi ,...,1= (2.1)

j

m

iij bx ≥∑

=1

, nj ,...,1=

(2.2.)

Page 28: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

0≥ijx , mi ,...,1= , nj ,...,1= (2.3.)

[ ] ∑∑= =

=m

i

n

jijij xcf

1 1

min (2.4.)

0≥ia , mi ,...,1=

0≥jb , nj ,...,1=

0≥ijc , ni ,...,1= , mj ,...,1=

∑∑==

≥n

jj

m

ii ba

11

(2.5.)

unde am notat prin ijx cantităţile transportate de la sursa i către destinaţia j .

Relaţiile (2.1) sunt impuse de faptul că totalul transportat de la fiecare sursă să nu depăşească cantitatea existentă, condiţiile (2.2) impun satisfacerea cererii iar (2.5.) apar naturale în contextul concret al problemei.

Prin transformări elementare acest tip de problemă poate fi adus la forma echilibrată

i

n

jij ax =∑

=1

, mi ,...,1= (2.1'.)

j

m

iij bx =∑

=1

, nj ,...,1= (2.2'.)

0≥ijx , mi ,...,1= , nj ,...,1= (2.3'.)

[ ] ∑∑= =

=m

i

n

jijij xcf

1 1

min (2.4'.)

0≥ia , mi ,...,1=

0≥jb , nj ,...,1=

0≥ijc , ni ,...,1= , mj ,...,1=

∑∑==

=n

jj

m

ii ba

11

(2.5'.)

ultima egalitate (2.5’) se poate realiza prin introducerea unei destinaţii fictive căreia să-i fie destinat surplusul de produs existent pe ansamblul surselor.

Datele problemei se prezintă sub forma unui tabel:

1B 2B … jB … nB Disponibil

1A 11c 12c … jc1 … nc1 1a

2A 21c 22c … jc2 … nc2 2a

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮

iA 1ic 2ic … ijc … inc ia

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮

mA 1mc 2mc … mjc … mnc ma

Page 29: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

Necesar 1b 2b … jb … nb

Propoziţia 1. Orice problemă de transport are totdeauna o soluţie realizabilă de

forma s

bax ji

ij = , ∑∑==

==n

jj

m

ii bas

11

.

Demonstraţie: s

bax ji

ij = satisfac restricţiile (2.1'.) şi (2.2'.)

i

n

jj

in

j

jin

jij ab

s

a

s

bax === ∑∑∑

=== 111

, mi ,...,1=

j

m

ii

jm

i

jim

iij ba

s

b

s

bax === ∑∑∑

=== 111

, nj ,...,1=

şi condiţiile de nenegativitate (2.9.3'.). În general această soluţie nu este optimă, dar ţinând seama de faptul că un program

liniar sau nu are soluţii posibile, sau admite soluţii posibile cu optim infinit sau are soluţie optimă finită şi ţinând seama de propoziţia anterioară rezultă că orice problemă de transport admite o soluţie optimă finită deoarece

( )jiij bax ,min≤

şi deci situaţia optimului infinit se exclude. Propoziţia 2. Rangul matricii A a coeficienţilor restricţiilor liniare (2.1’), (2.2’)

este 1−+ nm . Rezultă că o soluţie realizabilă de bază într-o problemă de transport are cel mult

1−+ nm componente nenule; ea este nedegenerată dacă are exact 1−+ nm componente nenule şi degenerată dacă are mai puţin de 1−+ nm componente nenule.

Forma matriceală a problemei de transport ( )T este:

( )T

[ ] CXf

X

dAX

=≥

=

min

0

unde A este matricea de ordin ( ) mnnm ×+ ,

nnn EEE

A

⋮⋱⋮⋮

100

010

001

=

unde 1 este vectorul linie ( )1,...,1,1 cu n componente, 0 vectorul nul ( )0,...,0,0 cu n

componente, nE matricea unitate de ordin n , d vectorul coloană de componente

Page 30: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

nm bbbaaa ,...,,,,...,, 2121 ; X vectorul coloană de componente

mnmmn xxxxxx ,...,,,...,,...,, 2111211 .

Pentru Rezolvare:a problemelor de transport ca şi în cazul problemelor generale de programare liniară, algoritmul de Rezolvare: are două etape: a) aflarea unei soluţii ini ţiale realizabile de bază; b) îmbunătăţirea soluţiei iniţiale până la obţinerea soluţiei optime.

Vom da în continuare două procedee de obţinere a unei soluţii ini ţiale realizabile de bază.

1) Metoda diagonalei (metoda colţului nord-vest). Cantităţile disponibile maa ,...,1 şi cererile corespunzătoare nbb ,...,1 se dispun pe

laturile unui tabel iar celulele din interiorul tabelului se rezervă pentru necunoscutele ijx

( mi ,...,1− ; nj ,...,1= ) care trebuie determinate.

1a

2a

ia

ma

1b 2b … jb … nb s

Componentele bazice ijx ale soluţiei se determină pe rând, începând cu 11x şi

anume: Se alege ( )1111 ,min bax = şi vor fi considerate nebazice (deci vor fi egali cu zero)

toate variabilele de pe aceiaşi linie (sau coloană) cu 11x conform următoarelor situaţii:

a) dacă 11 ba < , atunci 111 ax = şi 01 =jx , ( nj ,...,3,2= );

b) dacă 11 ba > , atunci 111 bx = şi 01 =ix , ( mi ,...,3,2= );

c) dacă 11 ba = , atunci 1111 bax == şi la alegere 012 =x sau 021 =x , toate celelalte componente de pe linia 1 şi coloana 1 fiind considerate nebazice, deci, nule.

Concomitent se modifică şi valorile lui 1a sau 1b înlocuindu-se cu 1111 xaa −=′ şi

1111 xbb −=′ . În pasul următor procedeul se repetă pentru celulele rămase necompletate şi se

termină după 1−+ nm paşi, în fiecare pas completând o linie (situaţia a) sau o coloană (situaţia b) sau o linie şi o coloană (situaţia c).

De regulă componentele bazice nu se trec în tabel ci se haşurează căsuţa respectivă. Exemplu 1.. 651 =a , 152 =a , 203 =a , 401 =b , 352 =b , 153 =b , 104 =b .

Page 31: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

1b 2b 3b 4b

1a 3

40 2

25 1 4 65,

25

2a 1 3

10 2

5 2 15, 5

3a 3 4 1

10 3

10 20

40 35, 10 15, 10 10 100=s

Pasul I ( ) 40,min 11111 === bbax , am haşurat celulele corespunzătoare variabilelor

nebazice (pentru 21x , 31x ). Se recalculează 1a care devine

2540651 =−=′a .

Pasul II ( ) 25,min 12112 =′=′= abax şi haşurăm celulele corespunzătoare variabilelor

nebazice (pentru 13x , 14x ). Se recalculează 2b care devine 1025352 =−=′b .

Pasul III ( ) 10,min 22222 =′=′= bbax şi haşurăm celula corespunzătoare lui 32x care e

nul. Recalculăm 2a care devine 510152 =−=′a .

Pasul IV ( ) 5,min 23223 =′=′= abax , haşurăm celula lui 23x care e nul şi recalculăm

3b , 105153 =−=′b .

Pasul V ( ) 10,min 33333 =′=′= bbax şi este evident că 1034 =x .

Ţinând seama de costurile trecute în colţurile de sus ale celulelor avem pentru f valoarea

25010310152103252403 =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=f .

Am obţinut o soluţie de bază nedegenerată 4011 =x , 2512 =x , 1022 =x , 523 =x ,

1023 =x , 1034 =x , 0323124211413 ====== xxxxxx

2. Metoda costurilor minime

Pentru determinarea soluţiei de bază se iau în considerare costurile care ne indică ordinea de alegere a componentelor în fiecare pas.

În primul pas se determină componenta khx pentru care ijkh cc min= şi se ia

( )hkkh bax ,min= cu cele trei alternative ca la metoda diagonalei. Se repetă procedeul urmărind costurile minime pentru celulele necompletate.

Exemplu 2. Reluăm datele din exemplul 1. Pasul I Pe prima linie a tabloului cel mai mic cost este 113 =c deci luăm

( ) 15,min 33113 === bbax ; se haşurează restul de celule din coloana lui 3b şi

se recalculează 1a care devine 5015651 =−=′a '

1b 2b 3b 4b

Page 32: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

1a 3 15

2 35

1 15

4 65, 50, 15

2a 1 15

3 2 2 15

3a 3 10

4 1 3 10

20

40, 25 35 15 10

Pasul II căutăm 1min 21 == ccij , ( ) 15,min 21221 === abax şi haşurăm celulele

liniei doi. Recalculăm 1b , care devine 2515401 =−=′b .

Pasul III 12min ccij = deci ( ) 35,min 22112 ==′= bbax . Haşurăm coloana lui 2b şi

avem 153511 =−′=′′ aa .

Pasul IV ( )343111min ccccij === , ( ) 15,min 11111 =′=′′= bbax şi 1b′ devine

101511 =−′=′′ bb . Este evident acum că 1013 =x şi 1034 =x .

Avem 215=f pentru 1511 =x , 3512 =x 1513 =x , 1521 =x , 1031 =x , 1034 =x ,

0333224232214 ====== xxxxxx .

Metoda costurile minime dă în general o soluţie iniţială de bază mai bună decât metoda diagonalei, realizând o valoare a cheltuielilor de transport mai mică. Acest lucru este util deoarece numărul iteraţiilor necesare pentru atingerea optimului va fi mai mic.

Pentru determinarea soluţiei optime a unei probleme de transport se utilizează algoritmul bazat pe adoptarea metodei simplex la condiţiile particulare ale problemei de transport. Subiecte pentru pregătirea în vederea evaluării finale Test de autoevaluare 1. Fie urmatoarea problema de transport: B1 B2 B3 B4

Disponibil

A1 80 A2 10 A3 20 Necesar 50 35 15 10 unde costurile sunt

.10,3,8,6,4,1,2,2,3,2,6,5 343332312423222114131211 ============ cccccccccccc

Determinati o solutie initiala cu metoda diagonalei (sau coltului de nord-vest). Rezolvare:

Page 33: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

a) 3050)50,80min(),min( 11111 =⇒===′

abax si .03121 == xx

530)35,30min(),min( 22112 =⇒===′′

bbax si .01413 == xx

55)5,10min(),min( 22222 =⇒===′′

abax si .032 =x

.105)15,5min(),min( 33223 =⇒===′′

bbax

.1010)10,20min(),min( 33333 =⇒===′′

abax

.1034 =x

B1 B2 B3 B4

Disponibil

A1 50 30 /// /// 80,30

A2 /// 5 5 /// 10,5

A3 /// /// 10 10 20,10

Necesar 50 35,5 15,10 10

2. Fie urmatoarea problema de transport: B1 B2 B3 B4

Disponibil

A1 80 A2 10 A3 20 Necesar 50 35 15 10 unde costurile sunt

.10,3,8,6,4,1,2,2,3,2,6,5 343332312423222114131211 ============ cccccccccccc

Optimizati urmatoarea solutia initiala: 10,10,5,5,30,50 343323221211 ====== xxxxxx

cu 0=ijx in rest.

Rezolvare:: Asadar, punand si costurile in tabel avem urmatoarea solutie initiala:

50 5 30 6 /// 2 /// 3 /// 2 5 2 5 1 /// 4 /// 6 /// 8 10 3 10 10 . Costul total in acest moment este: .57510030510180250 =+++++=f

Page 34: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

Calculam dij corespunzatori casutelor nebazice (hasurate). ,362121222231313 −=−+−=−+−= ccccd

,9621310312222333341414 −=−+−+−=−+−+−= ccccccd

,156221112222121 =−+−=−+−= ccccd

,4131042333342424 −=−+−=−+−= ccccd

,356213611212223333131 =−+−+−=−+−+−= ccccccd

421382223333232 =−+−=−+−= ccccd

Criteriul de optim este: 0≥ijd ? Raspuns corect:: Nu.

Avem ca 149min ddij =−= . Asadar, in ciclul lui corespunzator celulei )4,1( punem in

celula )4,1( o valoare pozitiva t iar la celelalte adaugam si scadem alternativ numarul

t, adica:

tt

tt

tt

−←+↓↑↓−←+↓↑

→→→−

1010

55

30

In acest moment vom cauta cea mai mare valoare 0≥t pentru care toate numerele din schema de mai sus sa fie pozitive. Obtinem 5=t si vom avea solutia imbunatatita:

50 5 25 6 /// 2 5 3 /// 2 10 2 5 1 /// 4 /// 6 /// 8 15 3 5 10 Costul total in acest moment este: .53050452015150250 =+++++=f

Calculam dij corespunzatori casutelor nebazice (hasurate). ,6310323334141313 =−+−=−+−= ccccd

,156221112222121 =−+−=−+−= ccccd

,9263103122121434332223 =−+−+−=−+−+−= ccccccd

,526342212142424 =−+−=−+−= ccccd

,11563103611121434333131 =−+−+−=−+−+−= ccccccd

.16263103822121434333232 =−+−+−=−+−+−= ccccccd

Criteriul de optim este: 0≥ijd ? Raspuns corect:: Da.

Deci costul total minim este .530=f 3. Aduceti la forma standard urmatoarea problema de programare liniara. [max] ,46 21 xxf +=

Page 35: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

≥≤+≤+

0,

73

92

21

21

21

xx

xx

xx

Rezolvare:: Forma standard a problemei este: [max] ,0046 4321 xxxxf ⋅+⋅++=

≥=++=++

0,,,

73

92

4321

421

321

xxxx

xxx

xxx

4. Scrieti matricea corespunzatoare formei standard pentru urmatoarea problema de programare liniara si stabiliti daca problema are solutie initiala. [max] ,46 21 xxf +=

≥≤+≤+

0,

73

92

21

21

21

xx

xx

xx

Rezolvare: Matricea corespunzatoare formei standard este:

4321

1021

0112aaaa

A

= si deci baza initiala este }.,{ 43 aaB =

5. Alcatuiti tabelul simplex al urmatoarei probleme de programare liniara si optimizati solutia acesteia. [max] ,46 21 xxf +=

≥≤+≤+

0,

73

92

21

21

21

xx

xx

xx

Rezolvare: Tabelul simplex este: 6 4 0 0

B CB XB a1 a2 a3 a4 iθ

a3 0 9 )2( 1 1 0 ,42:9 =

a4 0 7 1 2 0 1 71:7 = f i 0 0 0 0 0 i∆ 6 4 0 0

.

Page 36: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

Verificam criteriul de optim pentru o problema de maxim: ,0≤∆ j 4,1=∀j ?

Observam ca Raspuns corect:ul este nu si deci, va trebui sa schimbam baza.

Intra in baza vectorul ak corespunzator celei mai mari diferente ,j∆ adica

16max aj ⇒=∆ intra in baza.

Iese din baza vectorul ak corespunzator celui mai mic raport ,iθ adica

317

29 5,4},min{ a⇒= iese din baza.

Trecem la o noua iteratie a tabelului simplex folosind algoritmul Gauss-Jordan si avem: 6 4 0 0

B CB XC a1 a2 a3 a4 iθ

a1 6 92 1

12 2

1 0 9: 21

29 =

a4 0 52 0 )( 2

3 21− 1

35

23

25 : =

f i 27 6 3 3 0 i∆ 0 1 0 0

.

0≤∆ j ? Raspuns corect:: Nu. Schimbam baza: a2 intra in baza, a4 iese din

baza. 6 4 0 0

B CB XB a1 a2 a3 a4 iθ

a1 6 113 1 0

23 3

1−

a2 4 53 0 1 3

1− 25

f i 863 6 4 3

8 23

i∆ 0 0 38−

23

0≤∆ j ? Raspuns corect:: Da.

Atunci 386max =f si se realizeaza pentru ,3

111 =x .0, 433

52 === xxx

6. Aduceti la forma standard urmatoarea problema de programare liniara. [max] ,25 21 xxf +=

≥≥+

≤+

0,

1

632

21

21

21

xx

xx

xx

Rezolvare: Aducem problema la forma standard.

Page 37: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

[max] ,0025 4321 xxxxf ⋅+⋅++=

≥=−+=++

0,,,

13

62

4321

421

321

xxxx

xxx

xxx

7. Scrieti matricea asociata urmatoarei problema de programare liniara si stabiliti o solutie initiala. [max] ,25 21 xxf +=

≥≥+

≤+

0,

1

632

21

21

21

xx

xx

xx

Rezolvare:: Scriem matricea sistemului de egalitati pentru a verifica daca problema are solutie initiala de baza.

Avem

4321

1031

0112aaaa

A

−= si observa ca nu putem alege in acest moment baza initiala.

Pentru aceasta introducem o variabila artificiala, y, in ecuatia a doua, care va aparea cu coeficientul 0, >− MM suficient de mare, si avem:

[max] ,0025 4321 Myxxxxf −⋅+⋅++=

.

0,,,,

13

62

4321

421

321

≥=+−+

=++

yxxxx

yxxx

xxx

Avem ca

54321

11031

00112aaaaa

A

−= si baza initiala artificiala va fi }.,{ 53 aaB =

8. Scrieti tabelul simplex pentru urmatoarea problema de programare liniara si optimizati solutia. [max] ,25 21 xxf +=

≥≥+

≤+

0,

1

632

21

21

21

xx

xx

xx

Rezolvare: Tabelul simplex este: 5 2 0 0 M−

B CB XB a1 a2 a3 a4 a5 iθ

a3 0 6 2 1 1 0 0 32:6 =

a5 M− 1 )1( 2 0 1− 1 11:1 =

Page 38: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

f i M− M− M− 0 M M− i∆ M+5 M+2 0 M− 0

.

Verificam criteriul de optim pentru o problema de maxim: ,0≤∆ j 4,1=∀j ?

Obsevam ca Raspuns corect:ul este nu si deci, va trebui sa schimbam baza.

Intra in baza vectorul ak corespunzator celei mai mari diferente ,j∆ adica

15max aMj ⇒+=∆ intra in baza.

Iese din baza vectorul ak corespunzator celui mai mic raport ,iθ adica

51}1,3min{ a⇒= iese din baza.

Trecem la o noua iteratie a tabelului simplex folosind algoritmul Gauss-Jordan si avem: 5 2 0 0 M−

B CB XB a1 a2 a3 a4 a5 iθ

a3 0 4 0 1 1 )2( 2− 22:4 =

a1 5 1 1 1 0 1− 1 nu se face

f i 5 5 5 0 5− 5 i∆ 0 3− 0 5 5−− M

0≤∆ j ? Raspuns corect:: Nu. Schimbam baza: a4 intra in baza, a3 iese din

baza. 5 2 0 0 M−

B CB XB a1 a2 a3 a4 a5 iθ

a4 0 2 0 12

12 1 1−

a1 5 3 1 32

12 0 0

f i 15 5 152

52 0 0

i∆ 0 211− 2

5− 0 M−

.

0≤∆ j ? Raspuns corect:: Da.

Atunci 15max =f si se realizeaza pentru ,31 =x .0,2 324 === xxx 9. Scrieti duala urmatoarei probleme primale. [min] ,21 xxf +=

Page 39: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

)(P

≥−≥−

−≥−≥+

≥+

0,

6

184

2043

12

21

1

21

21

21

xx

x

xx

xx

xx

Rezolvare: Duala problemei este: [max] ,6182012 4321 yyyyg −−+=

)(D

≥≤−+

≤−++

0,,,

1643

13

4321

321

4321

yyyy

yyy

yyyy

10. Scrieti duala urmatoarei probleme primale. [min] ,53 21 xxf +=

)(P

≥≥+

≥+

0,

743

32

21

21

21

xx

xx

xx

Rezolvare: Duala problemei este: [max] ,73 21 yyg +=

)(D

≥≤+

≤+

0,

543

33

21

21

21

yy

yy

yy

4. Elemente de analiză matematică cu aplicaţii în fundamentarea

deciziei economice optime. Modelul dinamicii proceselor economice. Modelul dinamicii proceselor economice

Serii numerice, criterii de convergenţă. Şiruri de funcţii. Serii de puteri. Seria Taylor pentru funcţii de o variabilă reală. Funcţii de mai multe variabile.Continuitatea funcţiilor în spaţiul Rn: limite, limite iterate. Derivabilitatea funcţiilor în Rn: derivate parţiale de ordinul I şi de ordin superior. Diferenţiala de ordin I şi de ordin superior; conţinut economic. Derivata funcţiilor compuse. Extremele funcţiilor de mai multe variabile, extreme cu legături. Conţinut economic. Aplicaţii şi studii de caz. Integrale. Dinamica proceselor economice: analiza în timp continuu şi în timp discret. Tipuri principale de ecuaţii diferenţiale cu aplicaţii în economie: ecuaţii cu variabile separabile, ecuaţii omogene, ecuaţii diferenţiale liniare, ecuaţii diferenţiale de tip Bernoulli şi Riccati şi aplicaţiile lor.

Page 40: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

(vezi pag. 45-76 Matematici pentru economisti, I. Duda, R. Trandafir, A. Baciu, R. Ioan, S. Barza, Ed. FRM, 2007) Concepte cheie: vecinătate a unui punct, punct de acumulare, limite iterate, funcţie diferenţiabilă, funcţie derivabilă parţial, funcţie diferenţiabilă, punct staţionar,punct de extrem, punct de minim, punct de maxim,puncte de extrem conditionat, multiplicatorul lui Lagrange

3.1 Funcţii de mai multe variabile Funcţiile de mai multe variabile sunt întâlnite în modelarea activităţilor economice. De exemplu: o firmă exportă 3 produse în cantităţile 1 2 3, ,x x x la preţul pieţii 1 2 3, ,p p p .

Să se scrie funcţia care cuantifică nivelul încasărilor dacă: a) indiferent de cantităţile cumpărate preţurile rămân 1 2 3, ,p p p ;

b) se face o reducere de preţ de 1% pentru produsele 2 şi 3 şi de 1,5% pentru produsul 1 în raport cu cantităţile cumpărate. Avem în cele două cazuri răspunsurile: a) 1 1 2 2 3 3Y p x p x p x= + +

b) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 3 3 30,015 0,01 0,01Y p p x p p x p p x= − + − + − .

În ambele cazuri avem y ca funcţie de variabilele 1 2 3, ,x x x .

Pentru studiul continuităţii şi a derivabilităţii funcţiilor de mai multe variabile sunt necesare câteva noţiuni importante în spaţiul Rn.

Definiţie. Se numeşte sferă sau bilă deschisă cu centrul în punctul a∈ Rn şi de rază r, mulţimea

}),(,|{)( raxdRxxaB nr <∈= , cu d distanţa din Rn

Dacă distanţa d (x, a) ≤ r bila este închisă. 1) Dacă n = 2 bila este un cerc cu centrul în punctul a = (a1, a2) şi rază r. 2) Dacă n = 3 bila este o sferă cu centrul în punctul a = (a1, a2, a3) şi de rază r.

Definiţie: Numim vecinătate a unui punct a∈ Rn orice mulţime care conţine o bilă deschisă cu centrul în a şi o vom nota prin Vr(a). sau

Definiţie: Numim vecinătate a punctului a∈ Rn orice mulţime V care conţine un interval n – dimensional I care conţine punctul a. Deci a ∈ I ⊂ V. Fie A ⊂ Rn

Definiţie. Numim funcţie reală de o variabilă vectorială o funcţie f: A → R şi se notează y = f(x), x ∈ A sau y = f(x1, x2, ..., xn).

Page 41: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

Observaţie: Mulţimea Rn e un spaţiu vectorial faţă de operaţiile de adunare şi înmulţire cu scalari, deci punctele din Rn le vom numi vectori, iar x1, x2, ..., xn coordonatele sau componentele vectorului x. În continuare ne vom ocupa de funcţiile reale de două variabile reale. În acest caz numim intervalul bidimensional, simetric deschis al punctului P(a, b): I = {(x, y) ∈ Rn |x - a| < ε, |y- b| < η, ∀ε > 0, ∀ η > 0}

Limita unei func ţii într-un punct

Definiţie: Fie D ⊂ R2. Un punct M0(a, b) se numeşte punct de acumulare pentru D dacă orice vecinătate a lui conţine cel puţin un punct din D diferit de M0.

Definiţie.Un şir de puncte din D : {xn, yn} n ∈ N* este convergent dacă şirurile de numere reale {xn} n ∈ N* şi { yn } n ∈ N* sunt convergente. Fie f : D → R, D ⊂ R2 şi M0(a, b) punct de acumulare pentru D.

Definiţie: Numărul m ∈ R (finit sau nu) se numeşte limita func ţiei f(x, y) în punctul M0 (a, b) dacă pentru orice şir convergent de puncte din D \ M0 cu

)b,a(M)yx(P 0R în

nnn

2

→ rezultă .)( R mPf înn →

Limite iterate Fie 2RD ⊆ şi M0(a, b) punct de acumulare pentru D şi f: D → R. Fixăm y şi presupunem că există ( )

x alim , (y)f x y ϕ→

=

şi ( ) ( )( )y b y b x alim y lim lim ,f x yϕ→ → →

= (1)

În mod analog, dacă fixăm x şi dacă există

( ) ( )lim ,y b

f x y xψ→

= şi ( ) ( )lim lim lim ,x a x a y b

x f x yψ→ → →

=

(2)

acestea se numesc limite iterate ale lui f în M0. Observaţia 1: Existenţa lor nu influenţează egalitatea lor

exemplu: ( ), , x y

f x y x yx y

+= ≠−

.

În M0(0, 0) avem 0 0

lim lim 1y x

x y

x y→ →

+ = − − şi

0 0lim lim 1x y

x y

x y→ →

+ = − .

Observaţia 2: Existenţa şi egalitatea lor nu implică existenţa limitei în acel punct

Exemplu: ( ) 2 2,

xyf x y

x y=

+ (x, y) ≠ (0, 0).

Page 42: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

Avem: 2 20 0

lim lim 0x y

xy

x y→ →

=

+

2 20 0lim lim 0y x

xy

x y→ →

=

+

dar am demonstrat anterior că această funcţie nu are limită în origine.

Continuitatea într-un punct Fie 2

0: , R şi M ( , )f D R D a b D→ ⊂ ∈

Definiţie Funcţia f este continuă în punctul M0 dacă pentru { } 0≥∀ nnP un şir de

puncte din D cu n 0P în D M→ să avem: 0

R )( MPf înn →

sau Definiţie: f este continuă în M0 dacă pentru 0, ( ) 0ε δ ε∀ ∃> > aşa încât pentru

P D∀ ∈ cu 0d(P,M ) ( ) δ ε⟨ să avem ( ) ε⟨)(),( 0MfPfd .

Observaţie: Proprietatea de continuitate se defineşte în raport cu ansamblul variabilelor (x,y) şi în particular o funcţie continuă într-un punct e continuă în raport cu fiecare variabilă în parte. Reciproc NU. Derivate parţiale Definiţie: 2D R⊆ , 2: RDf → , şi (a,b) un punct interior lui D Funcţia f este derivabilă parţial în raport cu x în punctul (a,b) dacă

ax

bafbxfax −

−→

),(),(lim există şi este finită

Vom nota această limită cu

x

bafbaf x ∂

∂=′ ),(),( şi o vom numi derivată parţială de ordinul 1 a funcţiei f în punctul

(a,b) Definiţie Funcţia f e derivabilă parţial în raport cu y în punctul (a,b) interior lui A dacă

∃−−

),(),(lim

by

bafyafby

şi este finită

Vom nota această limită cu

y

bafbaf y ∂

∂=′ ),(),(

Definiţie

Fie 2:f D R R⊂ → , derivabilă parţial în raport cu x, respectiv cu y, ( , )x y D∀ ∈

Page 43: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

Dacă derivatele parţiale ),(),,( yxfyxf yx ′′ definite pe D sunt la rândul lor derivabile

parţial în raport cu x,y, atunci derivatele lor parţiale sunt derivate parţiale de ordinul 2 ale lui f şi se notează:

),(),(),(

22

2

yxfyxfx

yxf

x

f

x xxx′′=′′=

∂∂=

∂∂

∂∂

),(),(),(

22

2

yxfyxfy

yxf

y

f

y yyy′′=′′=

∂∂=

∂∂

∂∂

),(),(2

yxfyx

yxf

y

f

x xy′′=∂∂

∂=

∂∂

∂∂

),(),(2

yxfxy

yxf

x

f

y yx′′=∂∂

∂=

∂∂

∂∂

Criteriul lui Schwartz

Dacă funcţia f: RRE →⊆ 2 are derivate parţiale mixte de ordinul 2 într-o vecinătate V a lui (a,b) E∈ şi dacă sunt continue în (a,b) atunci: ),(),( bafbaf yxxy ′′=′′

3.2. Diferenţiale

Fie f o funcţtie reală de două variabile, RREf →⊂ 2: şi fie ),( 00 yx un punct interior

lui E. Definiţie. Funcţia f(x,y) e diferenţiabilă în punctul ),( 00 yx dacă există două

numere reale λ şi µ şi o funcţie RREyx →⊂ 2:),(ω , continuă în ),( 00 yx şi nulă în

acest punct: ( ) ( ) 0yxy,xlim 00

yyxx

0

0

=ω=ω→→

astfel încât pentru orice punct Eyx ∈),( , atunci:

.)()(),()()(),(),( 20

200000 yyxxyxyyxxyxfyxf −+−+−+−=− ωµλ

Proprietăţi:

1) Dacă funcţia f e diferenţiabilă în punctul ),( 00 yx , atunci ea are derivate parţiale în

),( 00 yx şi

λ=),( 00' yxf x şi µ=),( 00

' yxf y

Egalitatea de definiţie a diferenţiabilităţii se scrie: 2

02

0000'

000'

00 )()(),())(,())(,(),(),( yyxxyxyyyxfxxyxfyxfyxf yx −+−+−+−=− ω2) Dacă funcţia f este diferenţiabilă în ),( 00 yx atunci ea este continuă în acest punct.

Page 44: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

3) Dacă funcţia f are derivate parţiale '' , yx ff într-o vecinătate V a lui ),( 00 yx şi dacă

aceste derivate parţiale sunt continue în ),( 00 yx atunci funcţia f este diferenţiabilă în

),( 00 yx .

Definiţie. Funcţia liniară de două variabile: ))(,())(,(),( 000

'000

'00 yyyxfxxyxfyxdf yx −+−= se numeşte diferenţiala funcţiei

),( yxf în punctul ),( 00 yx .

Diferenţiala funcţiei f se mai notează dyyxfdxyxfyxdf yx ),(),(),( '' +=

Definiţie. Funcţia f admite diferenţială de ordin 2 în ),( 00 yx dacă toate

derivatele parţiale de ordinul întâi există într-o vecinătate a punctului ),( 00 yx şi sunt

diferenţiabile în ),( 00 yx 2

00''

00''2

00''

002 ),(),(2),(),( 22 dyyxfdxdyyxfdxyxfyxfd

yxyx++= .

Exemplu 1 Să se calculeze diferenţialele de ordinul întâi şi doi pentru următoarele funcţii:

a) f (x, y) = cos xy definită pe R2

b) ( ) 22 yxy,xf += definită pe R2

c) f (x, y) = x ln y definită pe Rx(0, ∞) d) f (x, y) = ex+2y definită pe R2.

Rezolvare:: Deoarece funcţia admite derivate parţiale de orice ordin.

a) Avem: ( ) ( )

sin xy xy

y,xf sin xy, y

x

y,xf −=∂

∂−=∂

Deci df (x, y) = - sin xy [ydx + xdy]

Apoi ( ) ( ) xycosysin xy y

xx

y,xf 22

2

−=−∂∂=

∂∂

( ) ( ) xycosxysin xy xdxyx

y,xf2

−=−∂∂=

∂∂∂

( ) ( ) xycosxxysinxyy

y,xf 22

2

−=−∂∂=

∂∂

prin urmare: d2f(x,y) = - cos xy[y2dx2 + 2xy dxdy + x2dy2] b) Am văzut în exemplul precedent că în origine funcţia nu este diferenţiabilă. În orice alt punt, funcţia admite derivate parţiale continue:

Page 45: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

( )22 yx

x

x

y,xf

+=

∂∂

şi ( )

22 yx

y

x

y,xf

+=

∂∂

deci este diferenţiabilă şi avem:

( ) [ ]ydyxdxyx

1y,xdf

22+

+=

( )( )2

322

2

222

2

yx

y

yx

x

xx

y,xf

+=

+∂∂=

∂∂

( )( )2

322

2

222

2

yx

x

yx

y

yy

y,xf

+=

+∂∂=

∂∂

( )( )2

322

2

yx

xy

yx

y,xf

+=

∂∂∂

Deoarece derivatele parţiale de ordinul al doilea sunt continue în tot planul exceptând originea, rezultă că în orice punct diferit de origine diferenţială a doua există şi este:

( )( )

[ ]2222

2

322

2 dyxxydxdy2dxyyx

1y,xfd +−

+=

c) Pe domeniul dat funcţia admite derivate parţiale de orice ordin continue în tot planul, deci funcţia admite diferenţiale de orice ordin:

( )yln

x

y,xf =∂

∂ şi

( )y

x

x

y,xf =∂

Aşadar ( ) dyy

xydxlny,xdf +−

( ) [ ] 0ylnxx

y,xf2

2

=∂∂=

∂∂

( )22

2

y

x

y

x

xx

y,xf −=

∂∂=

∂∂

( )y

1

yx

y,xf2

−=∂∂

Aşadar ( ) dxdyy

2dy

y

xy,xfd 2

22 +−=

d) Deoarece ( ) y2xex

y,xf +=∂

∂ şi

( ) y2xe2y

y,xf +=∂

şi atunci ( ) [ ]dy2dxey,xdf y2x += +

( ) [ ] y2xy2x2

2

eexx

y,xf ++ =∂∂=

∂∂

( ) [ ] y2xy2x2

2

e4e2yy

y,xf ++ =∂∂=

∂∂

Page 46: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

( ) [ ] y2xy2x2

e2e2xyx

y,xf ++ =∂∂=

∂∂∂

şi atunci ( ) [ ]22y2x2 dy4dxdy4dxey,xfd ++= +

3.3. Extremele funcţiilor de două variabile

Definiţie Fie f o funcţie reală, de două variabile, definite pe o mulţime E ⊂ R2. Un punct (a, b) ∈ E se numeşte punct de maxim local (respectiv de minim local) al funcţiei

f(x, y), dacă există o vecinătate V a lui (a, b) astfel încât, pentru orice (x, y) ∈ V ⊂ E să avem: f(x, y) ≤ f(a, b) (respectiv f(x, y) ≥ f(a, b)).

Teoremă Dacă funcţia f are derivate parţiale într-un punct de extrem (a, b) din interiorul mulţimii E, atunci derivatele parţiale ale funcţiei se anuleaza în acest punct:

f’ x(a, b) = 0 şi f’ y(a, b) = 0 Definiţie Un punct interior (a, b) ∈ E se numeşte punct staţionar al funcţiei f(x, y) dacă

funcţia f( x, y) e diferenţiabilă în punctul (a, b) şi dacă diferenţiala sa e nulă. Teoremă Dacă (a, b) este punct staţionar al funcţiei f(x, y) şi dacă funcţia f(x, y) are

derivate parţiale de ordinul doi continue într-o vecinătate V a punctului (a, b) atunci:

1) Dacă ( ) ( ) ( )2 2

2'' '' '', , , 0xyx yf a b f a b f a b ∆ = − > , atunci (a, b) e punct extrem local al

funcţiei f(x,y) şi anume:

– dacă ( )2'' , 0xf a b > atunci (a, b) e punct de minim

– dacă ( )2'' , 0xf a b < atunci (a, b) e punct de maxim.

2) Dacă ∆ < 0 atunci (a, b) nu este punct de extrem 3) Dacă ∆ = 0 atunci nu se poate afirma nimic despre punctul (a, b). Exemplu: Să se găsească extremele următoare funcţie: f(x, y) = x2 + y2 – 4x – 2y + 5 (x, y) ∈ R2

Rezolvare:

Conform teoriei generale, extremele funcţiei sunt soluţii ale sistemului:

(2)

( )

( )

,2 4 0

,2 2 0

f x yx

xf x y

xy

∂= − = ∂

∂ = − = ∂

Punctul staţionar, adică soluţia sistemului (2) este (2, 1). Calculăm derivatele parţiale în punctul (2, 1):

Page 47: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

2 2

2 2

(2,1) (2,1)2, 2

f f

x y

∂ ∂= =∂ ∂

şi 2 (2,1)

0f

x y

∂ =∂ ∂

( 2 ,1)/ 4 0∆ = > şi 2

2

(2,1)2 0

f

x

∂ = >∂

aşadar punctul (2,1) este punctul de minim şi

valoare functiei este f(2,1) = 4+1-8-2+5 = 0

3.4. Extreme cu legături condi ţionate Se consideră funcţia cu două variabile f:E⊂R2 → R (3.4.1) şi condiţia

F(x,y) = 0, (3.4.2)

unde F are acelaşi domeniu de definiţie ca şi funcţia f.

Definiţie: Extremele funcţiei (3.4.1) care satisfac şi condiţia (3.4.2) se numesc

extreme condiţionate ale funcţiei (3.4.1) de condiţia (3.4.2), sau extremele funcţiei (3.4.1) supuse la legăturile (3.4.2).

Definiţie: Punctele staţionare ale funcţiei (3.4.1) când (x,y) parcurge mulţimea ∆ a soluţiilor condiţiei (3.4.2) se numesc puncte staţionare legate sau puncte staţionare condiţionate ale funcţiei f. Dacă punctul M (a,b) este punctul de extrem căutat atunci considerăm funcţia:

(x,y) (x,y) λF(x,y)fϕ = + ,

unde λ se numeşte multiplicatorul lui Lagrange. Pentru aflarea coordonatelor punctului M(a,b) rezolvăm următorul sistem de derivate parţiale:

=

=∂ϕ∂

=∂ϕ∂

0)y,x(F

0y

0x

1) Dacă d2ϕ(a,b) > 0 atunci punctul M(a,b) este punct de minim 2) Dacă d2ϕ(a,b) < 0 atunci punctul M (a,b) este punct de maxim Altfel nu putem preciza natura punctului M. Exemplu: Determinaţi punctele de extrem pentru:

1 1( , )f x y

x y= + cu condiţia x+y=1 definit pe R2\{(0,0)

Page 48: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

Rezolvare:

Considerăm )1(11

),( −+++= yxyx

yx λϕ

Rezolvăm sistemul

=+

=+−=∂

=+−=∂

1

01),(

01),(

2

2

yx

yy

yxxx

yx

λκ

λϕ

Soluţia sistemului este 4

1pentru

2

1,

2

1 =

λP

322

2 21),(

xxxx

yx =

+−∂∂=

∂∂ λϕ

322

2 21),(

yyyy

yx =

+−

∂∂=

∂∂ λϕ

01),(

2

2

=

+−

∂∂=

∂∂∂ λϕ

yxyx

yx

+= 2

32

32 11

2 dyy

dxx

d ϕ

⟩+=

2

1,

2

1P astfel 0)(16

2

1,

2

1 222 dydxd ϕ e punct de minim.

Subiecte pentru pregătirea în vederea evaluării finale Test de autoevaluare

1) Funcţia f(x, y) = (x – 1)2 + y2 este diferenţiabilă în punctul A(1, 1). Raspuns corect: A Rezolvare: Va trebui să arătăm că are loc egalitatea:

(1) ( ) ( ) ( )2 20 0

(1,1) (1,1)( , ) (1,1) ( 1) ( 1) ,

f ff x y f x y x y x x y y

x yω∂ ∂− = − + − + − + −

∂ ∂

cu ( ) 0y,xlim1y1x

=ω→→

.

Page 49: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

Deoarece (1,1)

0f

x

∂ =∂

şi (1,1)

2f

y

∂ =∂

şi f(1, 1) = 1 atunci egalitatea (1) devine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 221 1 2 1 , 1 1x y y x y x yω− + − = − + ⋅ − + − cu ( ) 0y,xlim1y1x

=ω→→

sau

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 , 1 1 ,x y x y x y x yω ω− + − = − + −

De aici deducem

( ) ( ) ( )2 2, 1 1x y x yω = − + − şi ( ) ( )2 2

11

lim 1 1 0xy

x y→→

− + − =

2. Este funcţia ( ) 2 2,f x y x y= + diferenţiabilă în origine? Raspuns corect: F Rezolvare: Dacă funcţia ar fi diferenţaibilă în origine, conform unei teoreme enunţate la începutul capitolului Analiză Matematică,(Matematici pentru economişti, R. Trandafir, I. Duda, A. Baciu, R. Ioan) ar trebui să admită derivate parţiale în acest punct. Însă

( ) ( ) 2

0 0 00 0 0

,0 0,0lim lim lim 1x x xx x x

xf x x

x x x→ → →⟩ ⟩ ⟩

−= = =

( ) ( ) 2

0 0 00 0 0

,0 0,0lim lim lim 1x x xx x x

xf x x

x x x→ → →⟨ ⟨ ⟨

−= = = .

Analog procedăm pentru y

)0,0(f

∂∂

.

În origine, funcţia nu admite derivate parţiale, deci nu este diferenţiabilă.

3. Calculaţi derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei ( ), 2 3 1f x y x y= − +

a) ( , ) 2; ( , ) 3x yf x y f x y= = −/ / ;

b) ( , ) 3; ( , ) 3x yf x y f x y= = −/ / ;

c) ( , ) 3; ( , ) 3x yf x y f x y= =/ / ;

d) alt răspuns. Răspuns corect: a) Rezolvare:

( , ) 2; ( , ) 3x yf x y f x y= = −/ /

Page 50: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

4. Calculaţi derivatele parţiale în punctul M (1,0) ale funcţiei xyyxyxf 4),( 22 −+=

a) (1,0) 2xf ′ = , (1,0) 4yf ′ = − ;

b) (1,0) 4xf ′ = , (1,0) 4yf ′ = − ;

c) (1,0) 2xf ′ = , (1,0) 2yf ′ = − ;

d) alt răspuns.

Răspuns corect: a) Rezolvare: Fie ( )0 0,M x y unde 0 01, 0x y= = , atunci

0 0 0 0( , ) 2 4 (1,0) 2x xf x y x y f′ ′= − ⇒ =

0 0 0 0( , ) 2 4 (1,0) 4y yf x y y x f′ ′= − ⇒ = −

5. Calculaţi derivatele parţiale de ordinul al doilea ale funcţiei xyyxyxf 3),( 33 −+=

a) 2 ( , ) 6x

f x y x′′ = ,

2 ( , ) 6y

f x y y′′ = − ,

( , ) 3xyf x y′′ = − ;

b) 2 ( , ) 6x

f x y y′′ = ,

2 ( , ) 6y

f x y x′′ = ,

( , ) 3xyf x y′′ = ;

c) 2 ( , ) 6x

f x y x′′ = ,

2 ( , ) 6y

f x y y′′ = ,

( , ) 3xyf x y′′ = − ;

d) alt răspuns. Răspuns corect: c) Rezolvare:

3 3 2( , ) ( 3 ) 3 3x xf x y x y xy x y′ = + − = −/ 3 3 2( , ) ( 3 ) 3 3y yf x y x y xy y x′ = + − = −/

22( , ) (3 3 ) 6xx

f x y x y x′′ = − =/

22( , ) (3 3 ) 6yyf x y y x y′′ = − =/

2( , ) (3 3 ) 3yx xf x y x y′′ = − = −/ 2( , ) (3 3 ) 3xy yf x y y x′′ = − = −/

6.Calculaţi derivatele parţiale de ordinul al doilea ale funcţiei f(x,y) = ex-y

a) 2 ( , ) x yx

f x y e −′′ =

2 ( , ) x y

yf x y e −′′ = −

Page 51: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

( . ) x yyxf x y e −′′ = −

b) 2 ( , ) x yxf x y e −′′ =

2 ( , ) x yyf x y e −′′ =

( . ) x yyxf x y e −′′ = −

c) 2 ( , ) x yx

f x y e −′′ =

2 ( , ) x yyf x y e −′′ =

( . ) x yyxf x y e −′′ =

d) alt răspuns. Răspuns corect: b) Rezolvare:

( )( , ) x y x yx x

f x y e e− −′ = =/

( )( , ) x y x yy y

f x y e e− −′ = = −/

( )2 ( , ) x y x yx x

f x y e e− −′′ = =/

( )2 ( , ) x y x yy y

f x y e e− −′′ = − =/

( )( . ) x y x yyx x

f x y e e− −′′ = − = −/

( )( , ) x y x yxy y

f x y e e− −′′ = = −/

7. Să se calculeze diferenţiala de ordinul întâi pentru următoarea funcţie:

f (x, y) = ex+2y definită pe R2.

a) ( ) [ ]2, 2x ydf x y e dx dy+= −

b) ( ) [ ]2, 2x ydf x y e dx dy+= +

c) ( ) [ ]2, 2x ydf x y e dx dy+= − +

d) alt răspuns. Răspuns corect: b)

Rezolvare::

Deoarece ( ) 2, x yxf x y e +=/ şi ( ) 2, 2 x y

yf x y e +=/

şi atunci ( ) [ ]2, 2x ydf x y e dx dy+= +

8. Să se calculeze diferenţiala de ordinul al doilea pentru următoarea funcţie:

f (x, y) = ex+2y definită pe R2.

Page 52: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

a) ( )2 2 2 2, 4x yd f x y e dx dxdy dy+ = + +

b) ( )2 2 2 2, 4 4x yd f x y e dx dxdy dy+ = + +

c) ( )2 2 2 2, 4 4x yd f x y e dx dxdy dy+ = + +

d) alt răspuns. Răspuns corect: c) Rezolvare:

( )22 2, x y x y

x xf x y e e+ + = =

///

( )22 2, 2 4x y x y

y yf x y e e+ + = =

///

( ) 2 2, 2 2x y x yxy y

f x y e e+ + = = ///

şi atunci ( )2 2 2 2, 4 4x yd f x y e dx dxdy dy+ = + +

9. Să se găsească extremele următoarei funcţii:

( ) 50 20, , , > 0f x y xy x y

x y= + +

a) M(5,2) punct şa b) M(5,2) punct de minim c) M(5,2 )punct de maxim d) alt răspuns. Răspuns corect: b)

Rezolvare:: Conform teoriei generale, extremele funcţiei sunt soluţii ale sistemului:

(1) ( )

( )

2

2

50, 0

20, 0

x

y

f x y yx

f x y xy

= − = = − =

/

/

Soluţia sistemului (1) este x = 5 şi y = 2. Atunci numim punctul M(5,2) punct staţionar:

Avem ( ) ( ) ( )2 23 3

100 40, , , şi , 1xyx yf x y f x y f x y

x y= = =// // //

( ) ( ) ( ) ( )2 2

2

5,25,2 5,2 5,2 3xyx yf f f ∆ = ⋅ − =

// // //

Deoarece ( )2 5,2 > 0x

f // , funcţia f admite în punctul (5,2) un minim având valoarea f(5, 2)

= 30. 10. Determinaţi punctele de extrem pentru: f(x,y) = x+3y cu condiţia x2+y2=5 definită pe R2

Page 53: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

a)

−−2

3,

2

11P este punct de minim,

2

3,

2

12P este punct de maxim

b)

−−2

3,

2

11P este punct de maxim,

2

3,

2

12P este punct de maxim

c)

−−2

3,

2

11P este punct de minim,

2

3,

2

12P este punct de minim

d) alt răspuns. Răspuns corect: a)

Rezolvare: Considerăm ϕ(x,y) = x+3y+λ(x2+y2-5)

( )( )

2 2

, 1 2 0

(1) , 3 2 0

5

x

y

x y x

x y y

x y

ϕ λ

ϕ λ

= + = = + =

+ =

/

/

Soluţia sistemului (1) este 11 3

P ,2 2

− −

pentru 1/ 2λ = −

şi

2

3,

2

1P2 pentru 2/1=λ

Calculăm derivatele parţiale de ordinul II

( )( )

2

2

, (1 2 ) 2

, (3 2 ) 2

xx

yy

x y x

x y y

ϕ λ λ

ϕ λ λ

= + =

= + =

// /

// /

( ), (3 2 ) 0xy xx y yϕ λ= + =// /

2 2 21 3, 2 2 0

2 2d dx dyϕ − − = + >

astfel concluzia este că punctul

−−2

3,

2

11P este punct de minim

2 2 21 3, 2 2 0

2 2d dx dyϕ = − − <

şi în acest caz

2

3,

2

12P este punct de maxim

Page 54: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

4. Modelul dinamicii proceselor economice

Dinamica proceselor economice: analiza în timp continuu şi în timp discret. Tipuri

principale de ecuaţii diferenţiale cu aplicaţii în economie: - ecuaţii cu variabile separabile - ecuaţii diferenţiale liniare

Ecuaţii omogene Ecuaţii diferenţiale de tip Bernoulli şi Riccati şi aplicaţiile lor

4.1. Ecuatii diferentiale

Concepte cheie ecuaţie diferenţială de ordin n, curbă integrală, solutia generală sau integrala generală, solutie particulară, problemă Cauchy, condiţie iniţială Definiţie Numim ecuaţie diferenţială de ordin n o ecuaţie de forma

( ) = 0/

nF x, y, y , ..., y (3.5.1)

cu x variabila independentă [ ],x a b∈ , ( )y y x= , [ ] 1, , nF a b Y Y R+× ⊂: ,

dacă se cere sa se determine functia ( )y y x= , [ ],x a b∈ având derivate până la ordinul n

inclusiv în orice punct din [ ],a b si care verifică (3.5.1).

Definiie Functiile ( )y y x= se numesc solutii ale ecuatiei (3.5.1).

Graficul unei solutii ale ecuatiei (3.5.1) este o curbă în plan numită si curbă integrală. În general o ecuatie diferentială se exprimă sub formă diferentială-fie legea unui fenomen fizic determinat, fie o proprietate comună a curbelor unei familii. Multimea tuturor solutiilor unei ecuatii diferentiale date constituie solutia generală sau integrala generală. Ea depinde de un număr de constante arbitrare egal cu ordinul ecuatiei. Numim solutie particulară solutia obtinută din solutia generală pentru valori particulare date constante. Exemplul 1 Ecuatia fundamentală a dinamicii punctului material se scrie

m Fγ = , (3.5.2)

unde γ este acceleratia punctului de masă m,F este rezultanta fortelor care lucrează asupra punctului. Dacă punctul material descrie o dreaptă luată ca axă Ox, atunci ecuatia de miscare (3.5.2) se scrie

2

2, ,

d x dxm X x t

dtdt

=

(3.5.3)

Page 55: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

Componenta X a fortei F după Ox, depinzînd în general de pozisia mobilului, de viteza lui si de timp. Dacă X nu depinde de pozitia punctului avem

2

2,

d x dxm X t

dtdt

=

, (3.5.4)

care cu substitutia dx

vdt

= , ecuatia (4) devine

( )1,

dvX v t

dt m= ,

(3.5.5)

o ecuatie diferentială de ordinul întâi. De aici rezultă si reciproc, orice ecuatie diferentială de ordinul întâi reprezintă o anumită miscare a unui punct material. Exemplul 2 Fiind dată familia de curbe de ecuatie

( )1, , ,..., 0mF x y C C = (3.5.6)

care depinde de m parametri constanti, puem forma ecuatia diferentială a acestei familii. Se elimină cei m parametrii 1,..., mC C între ecuatia dată si primele m derivate în raport cu x. Rezultatul eliminării este o ecuatie diferentială de ordin m. Deci, asa cum am spus la început o ecuatie diferentială exprimă o o proprietate comună a curbelor unei familii. Exemplu Să se determine ecuatia diferentială a cercurilor tangente axei Oy cu centrul pe Ox, ( ),0C a .

Ecuatia familiei de cercuri este

( )2 2 2x a y a− + = (3.5.7)

Derivăm în raport cu x si găsim ( ) 2 0x a yy′− + = (3.5.8)

de unde 2a yy x′= + (3.5.9)

iar ecuatia diferentială a cercurilor devine

( )22 2( ) 2yy y yy x′ ′+ = + 2 22 0yy x x y′ + − =

(3.5.10)

Definiţie Se numeşte ecuaţie diferenţială de ordinul întâi o ecuaţie de forma

( ), , 0F x y y =/ (3.5.11)

sau explicit se poate scrie

( ),y f x y=/ (3.5.12)

Conditii initiale. Problema lui Cauchy pentru ecuatia ( ),y f x y=/ , f continuă în 2D R⊂

Page 56: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

Problema determinării soluţiei ecuaţiei (3.5.12), al cărei grafic trece printr-un punct dat ( )0 0,x y se numeşte problemă Cauchy, deci pentru

0 0,x x y y= = , (3.5.13) se numeste probemă Cauchy, iar conditia (13) se numeste condiţie iniţială. Cea mai simplă ecuatie diferentială este

( ) [ ], ,f a b/y = f x : continuă (3.5.14)

soluţia generală

( )0

x

x

y f u du C= +∫ (3.5.15)

Impunând conditia initială pentru 0 0,x x y y= = , deci 0C y= si solutia ecuatiei care satiface această conditie este

( )0

0 0

x

x

y f x dx y= +∫

Interpretarea geometrică a ecuatiei ( ) 2, f D R⊂/y = f x : .

Fie ( )0 0,x y D∈ . Fiecărui punct îi corespunde o directie de coeficient unghiular

( )0 0 0,y f x y=/ si fiecărei directii îi corespunde o dreaptă ce trece prin ( )0 0,x y si anume

( )0 0 0y y y x x′− = −

Deci ecuatia diferentială (3.5.14) asociază fiecărui punct din D o directie. Avem astfel un câmp de directii Φ . Dacă ( )y xϕ= este o soluţie a ecuaţiei, graficul soluţiei este o curbă plană din D care are

proprietatea că în fiecare punct al curbei, tangenta la curbă are direcţia câmpului Φ , care trece prin punctul considerat. Deci, problema integrării ecuaţiei (3.5.14) revine la determinarea curbelor integrale, care au proprietatea că în fiecare punct al lor sunt tangente la direcţia câmpuluiΦ . 4.1.1. Ecuatii integrabile prin cuadraturi 1. Să rezolvăm o ecuaţie de forma

( ) , f/y = f x continuă pe[ ],a b (3.5.16)

care se scrie

( )dyf x

dx=

( )dy f x dx=

si

( )0

0

0 0

x

x

y f x dx y= +∫ , 0x fixat în [ ],a b

Page 57: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

Problema Cauchy 0 0,x x y y= = , deci 0C y= , de unde

( )0

0 0

x

x

y f x dx y= +∫ ,

solutie unică. Exemplu Să se rezolve ecuatia diferentială

xy xe=/ ,

cu conditia intială 0 01, 0x y= = . Solutia ecuatiei va fi xy xe dx C= +∫ , cu solutia generală

( )1 xy x e C= − + ,

Impunând conditia initială 0 01, 0x y= = , găsim 0C = , iar solutia va fi

( )1 xy x e= − ,

solutie unică. 2. Să se determine solutia ecuaţiei de forma

( ) [ ], ,f a b/y = f y : continuă

Scriem ecuatia: ( )dyf y

dx=

sau

( )dy

dxf y

=

Integrând obtinem

( )0

y

y

dyC x

f y+ =∫

Problema Cauchy 0 0,x x y y= = , deci 0C x= , de unde

( )0

0

y

y

dyx x

f y= +∫ ,

solutie unică. Exemplu Să se rezolve ecuatia diferentială

y y=/ ,

Ecuatia se rescrie dy

dxy

= , sau ln ln lnxy e C= + , solutia ecuatiei va fi

xy Ce= .

Page 58: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

3. Să se determine solutia ecuaţiei de forma ( )( ) ,/ f x

y =g y

f continuă pe[ ],a b , g continuă pe [ ],c d

Separăm variabilele ( ) ( )g y dy f x dx=

atunci

( ) ( )g y dy f x dx C= +∫ ∫

Găsim soluţia generală în formă implicită ( ) ( )F x G y C− =

Exemplu Să se rezolve ecuatia diferentială

yy

x=/ ,

Ecuatia se rescrie dy dx

y x= , sau ln ln lny x C= + , solutia ecuatiei va fi

y Cx= , o familie de drepte ce trec prin origine.

4.1.2. Ecuaţii omogene

O ecuatie omogenă este de forma ( )( ) , ,P Q/ P x, y

y =Q x, y

funcţii omogene de grad m în x şi y, (3.5.17)

scriind ( ) ( ), 1, , , 1,m my yP x y x P Q x y x Q

x x = =

ecuatia devine

1,

1,

m

m

yx P

dy xy

ydxx Q

x

/

= =

.

(3.5.18)

Facem schimbarea de funcţie ( ) ( ) ( ),

y xu x y xu x

x= = ;

derivam ( ) ( ) ( )y x u x xu x= +/ /

(3.5.20)

si ecuatia devine

( ) ( ) ( )( ) ( )1,

1,

P uu x xu x f u

Q u+ = =/

(3.5.21)

Page 59: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

sau

( )dux f u u

dx= −

(3.5.22)

de unde

( ) ,du dx

f u u x=

(3.5.23)

a) Dacă ( ) 0f u u− ≠

Integrând obţinem

( )du dx

f u u x=

−∫ ∫ (3.5.24)

sau ( )ln x C u+ = Φ (3.5.25)

dar ( ) ( )y x

u xx

= , atunci putem scrie soluţia ecuaţiei sub forma generală

lny

x Cx

+ = Φ

(3.5.26)

b) Dacă există 0u u= pentru care ( ) 0f u u− = ,atunci 0y xu= este o soluţie a ecuatiei, care

nu intră în solutia generală. Dar prin fiecare punct al acestei drepte trece o curbă din ecuatia generală. O astfel de soluţie se numeste soluţie singulară. Exemplu Să se rezolve ecuatia diferentială

x yy

x y

−=+

/

Soluţie

Facem schimbarea de funcţie ( ) ( )y x

u xx

= ; ( ) ( ) ( )y x u x xu x= +/ / .

Astfel ecuaţia devine

2

1 1

1 2 1

u dx uxu u du

u x u u

− ++ = ⇔ = −+ + −

/ ,

integrând obţinem

( )21ln ln 2 1 ln

2x u u C= − + − + ,

adică

2

1

2 1Cx

u u=

+ −,

Page 60: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

a) Dacă 2 2 1 0u u+ − ≠ , atunci găsim 1 2

1

2 1

C xy y

x x

= + −

,

b)Dacă 2 2 1 0u u+ − = ( )201 2 1 2u u⇔ + = ⇒ = − ± , avem

( )1 2y x= − − + si ( )1 2y x= − − − sunt solutii singulare

4.1.3. Ecuaţii reductibile la ecuaţii omogene

1 1 1

dy ax + by + c= f

dx a x + b y + c

(3.6.1)

Dacă a) 1c c= , ecuaţia (3.6.1) devine o ecuaţie omogenă. b) { } ( )1 2 0 0, ,d d P P x y∩ = , unde 1 2 1 1 1. 0; 0d ax by c d a x b y c+ + = + + =: : . Facem schimbarea

de variabilă 0t x x= − şi schimbarea de funcţie 0u y y= − , atunci ecuaţia (3.6.1) devine

0 0

1 0 1 0 1 1 1

ax by c at buduf

dt a x b y c a t b u

+ + + += ⇔ + + + +

1 1

du at buf

dt a t b u

+⇔ = + , o ecuaţie omogenă.

(3.6.2)

b) 1 21 1

a bd d

a bλ⇒ = =|| , ecuaţia (3.6.1) devine

( ) 1

dy ax by cf

dx ax by cλ + += + +

(3.6.3)

Facem schimbarea de funcţie ax by u+ = , atunci (3.6.3) devine

( )1

11u c

u a fb u c

λ

+− = +

/ , o ecuaţie omogenă.

(3.6.4)

Exemplu Rezolvati ecuaţia ( ) ( )2 1 2 1 0x y dx y x− + + − + = . Rezolvare: Rescriem ecuatia

Page 61: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

2 1

2 1

dy x y

dx x y

− + −=− + +

,

Rezolvăm sistemul 2 1 0 1

2 1 0 1

x y x

x y y

− + − = = − ⇒ − + + = = −

, deci { } ( )1 2 , 1, 1d d P P∩ = − − , unde

1 2. 2 1 0; 2 1 0d x y d x y− + − = − + + =: : . Facem schimbarea de variabilă 1t x= + şi schimbarea de funcţie 1u y= + , ecuaţia devine

2

2

du t u

dt u t

− +=−

, ecuaţie omogenă. (3.6.5)

2

1 2

udu t

udtt

− +=

− +

(3.6.6)

Facem schimbarea de funcţie,

( )uz t

t= ,

(3.6.7)

Cu ajutorul relaţiei (3.6.7) ecuaţia (3.6.6) se rescrie

22 2 2

1 1

z z zz tz tz

z z

− + − + ++ = ⇔ = ⇔− + −

/ /

2

1,

2 2

z dtdv

tz z

−⇔ = −− −

Integrând membru cu membru avem

( )2 22 2

ln 2 2 ln 2 2 ,C C

z z z zt t

− − = ⇔ − − =

Astfel, găsim soluţia generală a ecuaţiei

( )

2

2

1 1 12 2

1 1 1

y yC

x x x

+ + − − = + + +

Rezolvati ecuatia ( ) ( )2 9 3 6 19 0x y dx x y− + − − + =

Rezolvare: b) Observăm că 1 2d d|| , unde 1 2: 2 9 0; 3 6 19 0d x y d x y− + = − + =: . Facem schimbarea de funcţie,

( )( ) ( )2

1 2 .

x y u x

u x y x

− = ⇒

= −/ / , (3.6.8)

Ecuaţia devine 1 9 1

2 3 19 3 19

u u du u

u dx u

− + += ⇔ = ⇔+ +

/

(3.6.9)

Page 62: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

163 ,

1du dx

u + = +

,

Integrând membru cu membru avem ( )3 16ln 1 ,u u x C+ + = + , (3.6.8)

Astfel, găsim soluţia generală a ecuaţiei

( ) ( )3 2 16ln 2 1x y x y x C− + − + = + , (3.6.9)

4.1.4. Ecuaţia diferentială liniar ă de ordinul întâi

Fie ecuatia

( ) ( ) ,0/y + P x y + Q x = (3.7.1)

cu P,Q definite si continue pe un interval[ ],a b .

Dacă ( )Q x ≡ 0 ecuatia se numeste liniară si neomogenă.

Dacă ( ) 0Q x ≡ ecuatia se numeste liniară si omogenă.

Teoremă Solutia generală a ecuatiei liniare si neomogene (3.7.1) este

( ) ( ) ( )P x dx P x dxy e C Q x e dx

− = + ∫ ∫∫ , [ ],x a b∈

(3.7.2)

Demonstratie Vom determina mai întâi solutia ecuaţiei omogene

( ) 0,y P x y+ =/ (3.7.3)

Separând variabilele avem

( )dyP x dx

y= −

De unde prin integrare rezultă

( )ln lny P x dx C= − +∫

sau

( )P x dxy Ce

−= ∫ , [ ],x a b∈ (3.7.4)

Care este solutia generală a ecuatiei omogene.

Page 63: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

Pentru determinarea solutia ecuatiei neomogene vom utiliza metoda variatiei constantelor si anume pentru ecuatia neomogenă (3.7.1) vom determina o solutie de forma (3.7.4), unde considerăm pe C ca functie de x, deci de forma

( ) ( )P x dxy C x e

−= ∫ , (3.7.5)

unde ( )C x este o functie diferentiabilă de x, care trebuie determinată, punând conditia ca

(3.7.55) să verifice ecuatia (3.7.1), tinând cont de faptul că( )

1P x dx

y e−= ∫ este o solutie

particulară a ecuatiei omogene. Derivând (3.7.5) si înlocuind în ecuatia (3.7.1) rezultă

( ) ( ) ( )P x dxC x e Q x

−′ =∫ , (3.7.5)

de unde

( ) ( ) ( )1

P x dxC x Q x e dx C= +∫∫ , (3.7.6)

cu 1C constantă arbitrară.

Introducând ( )C x astfel determinat în (3.7.5) rezultă solutia generală a ecuatiei

neomogene ( ) ( ) ( )

1P x dx P x dx

y e Q x e dx C− = + ∫ ∫∫ ,

deci (3.7.2). Exemple 1. Să se determine solutia ecuatiei

2

2 xy xy xe−′ + = ,

Ecuatia omogenă este 2 0y xy′ + = ,

Separăm variabilele

2dy

xdxy

= − ,

Integrăm 2ln lny x C= − + ,

sau 2xy Ce−= ,

care este solutia generală a ecuatiei omogene. Pentru ecuatia neomogenă căutăm solutii de forma

( ) 2xy C x e−= ,

Avem

( ) ( )2 2

2x xy C x e xC x e− −′ ′= − ,

Înlocuind în ecuatia neomogenă rezultă

( ) ( )2 2

2x xC x e xC x e− −′ − ( ) 2

2 xxC x e−+2xxe−= ,

de unde

Page 64: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

( )C x x′ = ,

sau

( )2

1,2

xC x C= + 1C const.

Înlocuind ( )C x în (10) obtinem solutia generală a ecuatiei neomogene

2 22

12x xx

y e C e− −= + .

Observatie Solutia generală a ecuatiei neomogene este o sumă de două solutii solutia generală a ecuatiei omogene si o solutie particulară a ecuatiei neomogene (În cazul nostru este

22

2x

Px

y e−= )

4.1.5. Ecuatia lui Bernoulli

( ) ( ) 0, 0,1,y P x y Q x yα α+ + = ≠/ (3.7.7)

Împărtim ecuatia (1) prin yα si găsim

( ) ( )110y P x y Q x

α−+ + =/

Prin schimbarea de functie ( ) 1z x y α−= , ecuatia lui Bernoulli poate fi adusă întotdeauna

la ecuatia liniară de ordinul întâi

( ) ( ) ( ) ( )1 1dz

P x z Q xdx

α α+ − = − .

Exemplu 1

Să se rezolve ecuatia 2 2

1yy

x x y+ =/

Pentru această ecuatie 2α = , iar schimbarea de functie pe care o vom face va fi

( ) ( )3 23z x y y y z′ ′= = ,

si obtinem si obtinem

2

1 1 1,

3

dzz

dx x x+ =

unde (3) este o ecuatie liniară neomogenă . 1. Rezolvăm ecuatia omogenă

1 10

3 3

3 ,

z dz uz

x dx xdz dx

z x

′+ = ⇒ = − ⇒

⇒ = −

Page 65: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

integrând găsim 3z Cx−= , solutia ecuatiei 1

03

zz

x

′+ = .

Aplicăm metoda variatiei constantelor, căutăm solutia ecuatiei 2

1 1 1,

3

dzz

dx x x+ = de forma

( ) 3z C x x−= si găsim solutia ecuatiei liniare neomogene ( ) 3

3

2

Cz x

x x= + ,

iar cea a ecuatiei diferentiale date va fi ( )2

33

2 3

2

C xy x

x

+= .

4.1.6. Ecuatia Riccati

( ) ( ) ( )2 0,y P x y Q x y R x+ + + =/ (3.7.8)

Ecuatia lui Riccati nu se poate integra prin cuadraturi. Dacă se cunoaste o solutie particulară ( )1y x a ecuatiei, făcând schimbarea de

functie ( ) ( ) ( )11

y x y xz x

= + obtinem o ecuatie liniară pentru noua functie necunoscută .

Exemplu 1

Să se rezolve ecuatia 2 42

1 30y y y x

xx+ − − =/ , ce are solutia particulară ( ) 3

1y x x= .

Rezolvare: Facem schimbarea de functie

( ) ( )3 1

y x xz x

= + ,

si

( ) ( )( )

22

3z x

y x xz x

′′ = − .

Introducem relatiile anterioare în ecuatia dată obtinem 2

2 3 3 42 2

1 1 3 13 0

zx x x x

x x xz x

′ − + + − + − =

După calcule vom obtine ecuatia liniară neomogenă

2

3 12 0z z x

x x

′− + − + =

cu solutia ( )2

2

3

1

2

xx e

z x e Kx

− = − +

, asadar solutia ecuatiei date va fi

( ) 22

3

3

1

12

xx

y x xe

e Kx

−= +

− +

.

Page 66: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

Exemplul 2 Să se rezolve ecuatia 2 2 1y y x= − +/ , ce are solutia particulară ( )1y x x= .

Rezolvare: Facem schimbarea de functie

( ) ( )1

y x xz x

= +

Obtinem ecuatia liniară pentru functia necunoscută ( )z x

2 22 2

1 21 1

z xx x

zz z

′− = + + − +

sau 2 1z xz′ + = −

cu solutia ( ) 2 2 2x x xz x Ce e e dx− −= − ∫ , asadar solutia ecuatiei date va fi

( )2

2

x

x

ey x x

C e dx= +

− ∫.

Subiecte pentru pregătirea în vederea evaluării finale Test de autoevaluare

1. Soluţia ecuaţiei 2 1y x= +/ va fi

a) 2y x x C= + + ;

b) 22y x x C= + + ;

c) 3

23

xy x C= + + ;

d) alt răspuns. Răspuns a) 2. Soluţia ecuaţiei y y=/ va fi a) ln y x C= + ;

b) 2ln y x C= + ;

c) 2

ln2

xy C= + ;

d) alt răspuns. Răspuns a)

3. Soluţia ecuaţiei 2 1

2 1

xy

y

+=−

/ va fi

a) 2 22 2y y x x C− = + + ;

Page 67: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

b) 2 2 2y y x x C− = + + ;

c) 2 2y y x x C− = + + ; d) alt răspuns. Răspuns c) 4. Soluţia ecuaţiei xy x y= − −/ va fi a) ( )2x x y C− = ;

b) ( )2x y x C+ = ;

c) ( )2x y x C− = ;

d) alt răspuns. Raspuns corect: b) Rezolvare:

1y

xy x y yx

= − − ⇔ = − −/ /

Facem schimbarea de funcţie ( ) ( )y xu x

x= ;

( ) ( ) ( )y x u x xu x= +/ / . Astfel ecuaţia devine

1 2 ,1 2

du dxxu u

u x= − − ⇔ = −

+/ integrând obţinem

( )2 1 2x u C+ = , adică ( )2x y x C+ = , soluţia generală a ecuaţiei.

5. Soluţia ecuaţiei 2 5

2 4

dy x y

dx x y

− += −− +

va fi

a) ( )2

21

1 12 2

1 11 1

y

x C xy y

x x

+++ = +

+ + + − + +

;

b) ( )2

21

1 12 2

1 11 1

y

x C xy y

x x

−−− = +

− − + − − −

;

c) ( )2

21

1 12 2

1 11 1

y

x C xy y

x x

−−+ = +

− − + − + +

;

d) alt răspuns. Raspuns corect: c) Rezolvare: Rezolvăm sistemul

Page 68: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

2 5 0 1

2 4 0 2

x y x

x y y

− + = = − ⇒ − + − = =

, deci { } ( )1 2 , 1,2d d M M∩ = − , unde

1 2. 2 5 0; 2 4 0d x y d x y− + = − + =: : . Facem schimbarea de variabilă 1t x= + şi schimbarea de funcţie 2u y= − , ecuaţia devine

2

2

du t u

dt u t

−=−

, ecuaţie omogenă. (1)

1 2

2

udu t

udtt

−=

(2)

Facem schimbarea de funcţie,

( )uv t

t= (3)

Cu ajutorul relaţiei (3) ecuaţia (2) se rescrie 21 2 1

2 2

v vv tv tv

v v

− −+ = ⇔ = ⇔− −

/ /

2

2,

1

v dtdv

tv

−⇔ =−

Integrând membru cu membru avem

2 2

1 1 1 1ln ln ,

1 11 1

v vtC tC

v vv v

− −= ⇔ =+ +− −

Astfel, găsim soluţia generală a ecuaţiei

( )2

21

1 12 2

1 11 1

y

x C xy y

x x

−−+ = +

− − + − + +

6. Soluţia ecuaţiei 1 3 3

1

x yy

x y

− −=+ +

/ va fi

a) ( ) ( )2ln 1x y x y x C− + − − − + = + ;

b) ( ) ( )2ln 1x y x y x C+ + − − + = − + ;

c) ( ) ( ) 2ln 1x y x y x C− + − − − + = + ;

d) alt răspuns. Raspuns corect: a) Rezolvare: b) Observăm că 1 2d d|| , unde 1 2:1-3 3 0; 1 0d x y d x y− = + + =: . Facem schimbarea de funcţie,

Page 69: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

( )( ) ( )1 .

x y u x

u x y x

+ = ⇒

= +/ / (1)

Ecuaţia devine

( )2 11 31

1 1

uu duu

u dx u

−−− = ⇔ = ⇔+ +

/

21 ,

1du dx

u − + = −

(2)

Integrând membru cu membru avem

( )2ln 1 ,u u x C− − − = +

Astfel, găsim soluţia generală a ecuaţiei ( ) ( )2ln 1x y x y x C− + − − − + = +

7. Soluţia ecuaţiei 0xy y x− + =/ va fi a) ( )lny x K x= + ;

b) ( )lny x K x= − + ;

c) ( ) 2lny x K x= − + ;

d) alt răspuns. Raspuns corect: b) Rezolvare: 1. Rezolvăm ecuaţia omogenă

0dy dx

xy yy x

− = ⇔ =/ (1)

Integrând membru cu membru avem ln ln ln ,y x C= +

Găsim soluţia ecuaţiei omogene .y Cx= (2)

2. Aplicăm „Metoda variaţiei constantelor”, căutăm soluţia ecuaţiei 0xy y x− + =/ , de forma

( ) .y C x x= (3)

Ecuaţia 0xy y x− + =/ , cu relaţia (3) devine

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )2

0

0.

x C x x C x xC x x

x C x xC x xC x x

+ − + = ⇔

⇔ + − + =

/

/

(4)

Astfel

( ) ( )1lnC x C x x K

x= − ⇒ = − +/ (5)

Atunci ecuaţia 0xy y x− + =/ are soluţia ( )lny x K x= − + .

Page 70: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

8. Soluţia ecuaţiei x yy

x

+=/ va fi

a) lny Cx= ;

b) 2 lny x Cx= ; c) lny x Cx= ; d) alt răspuns. Raspuns corect: c) Rezolvare:

1x y y

y yx x

+= ⇔ = +/ /

Facem schimbarea de funcţie ( ) ( )y xu x

x= ;

( ) ( ) ( )y x u x xu x= +/ / . Astfel ecuaţia devine

1 1

.

duxu u u x

dxdx

dux

+ = + ⇔ = ⇔

⇔ =

/

Integrând obţinem lnu Cx= , adică ln .y x Cx= , soluţia generală a ecuaţiei.

9. Soluţia ecuaţiei 2

4 1

4

yy

x

−=−

/ va fi

a) ( )214 1

4y C x = − +

;

b) ( )214 1

4y C x = + +

;

c) ( )214 1

4y C x = + −

;

d) alt răspuns. Raspuns corect: a) Rezolvare:

2 2

4 1 4 4

4 14 4

y y dxy dy

yx x

−= ⇔ =−− −

/ , integrând obţinem

( ) ( )2ln 4 1 ln 4y C x− = − , găsim soluţia ecuaţiei

( )214 1

4y C x = − +

.

10. Soluţia ecuaţiei 4

yy

x=

+/ va fi

a) ( )2 4y C x= + ;

b) ( )4y C x= + ;

c) ( )22 4y C x= + ;

Page 71: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE - Anunțuri facultate · Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda elimin ării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea

d) alt răspuns. Raspuns corect: b) Rezolvare:

4 4

y dy dxy

x y x= ⇔ =

+ +/ , integrând obţinem

( )ln ln 4y C x= + , găsim soluţia ecuaţiei