introducere^‡n analiza stochastic‚asmpf/calcul stochastic_curs... · 2009. 11. 6. · 2.1...

Universitatea “Al.I. Cuza”, Iasi

Seminar de Matematici Financiare

5 noiembrie 2009

Introducere ın Analiza StochasticaPartea a II-a

Lucian Maticiuc

e-mail: lucianmaticiuc@yahoo.com

2 Miscarea browniana

In 1828 botanistul Robert Brown a observat miscarea neregulata a particulelorde polen aflate ın suspensie ın apa.

In 1877 Delsaux a explicat schimbarea continua a directiilor traiectoriilorprin aceea a contacului dintre particulele de polen cu cele de apa.

In 1900 Bachelier a pus ın evidenta caracterul markovian al miscarii brown-iene: pozitia unei particule la momentul t+s depinde de pozitia sa la momentult, si nu depinde de pozitia sa de dinainte de momentul t.

In 1905 Einstein a determinat densitatea de tranzitie a miscarii brown-iene prin intermediul ecuatiei caldurii, si a pus ın evidenta si legatura dintremiscarea browniana si ecuatiile cu derivate partiale de tip parabolic. In acelasian, Smoluchowski a descris miscarea browniana ca limita de miscari aleatoare(“random walks”).

Primul studiu matematic riguros a fost facut de catre Wiener ın 1923, carea demonstrat existenta miscarii browniene. Ulterior studiul miscarii brownienea fost continuat si prin studiul traiectoriilor si al teoriei integrarii stochastice(Wiener, Ito, Watanabe, Meyer, Durrett, Williams, etc.).

2.1 Miscarea browniana

Fie (Ω,F ,P) un spatiu dat si (Bt)t≥0 un proces pe acest spatiu.

2.1.1 Definitia

Definitia 2.1.1 Procesul (Bt)t≥0 este o miscare browniana (standard) dacaa) P (B0 = 0) = 1,b) ∀s ≤ t, Bt−Bs este o variabila reala de lege (distributie) gaussiana centratasi de varianta (t− s),c) ∀n, ∀ti, 0 ≤ t0 ≤ t1 ≤ · · · ≤ tn, variabilele

(Btn −Btn−1 , ..., Bt1 −Bt0 , Bt0

)sunt independente.

Proprietatea b) este stationaritatea cresterilor miscarii browniene; propri-etatea c) este independenta cresterilor miscarii browniene. Putem scrie c) subforma echivalenta: c′) Fie s ≤ t. Variabila Bt − Bs este independenta deσ-algebra σ (Br, r ≤ s).

Pentru constructia miscarii browniene vezi Karatzas si Shreve, BrownianMotion and Stochastic Calculus.

Filtrarea naturala este data de Ft = σ (Bs, s ≤ t). Vom considera ca F0

contine multimile neglijabile.

2.1.2 Generalizari

Procesul Xt = a + Bt este o miscare browniana cu startul din a. Spunem caX este miscarea browniana generalizata, de drift µ, daca Xt = x + µt + σBt

unde (Bt)t≥0 este o miscare browniana standard. Variabila aleatoare Xt esteo variabila gaussiana de medie x + µt si de varianta σ2t.

2.2 Miscarea aleatoare (“random walk”)

Se poate arata ca miscarea browniana se poate obtine ca limita de miscaricu pasi aleatori normalizate. Aceasta proprietate este utila pentru simularinumerice.

Fie o familie de variabile aleatoare Bernoulli independente, echidistribuiteP (Xi = 1) = P (Xi = −1) = 1/2, i ∈ N∗. Definim sirul (Sn)n prin S0 =

0, Sn =n∑

i=1

Xi. Vom spune ca sirul (Sn)n este o miscare aleatoare.

Avem ca E (Sn) = 0, Var (Sn) = n.Remarcam ca sirul (Sm − Sn)n,m, m ≥ n, este independent de (S0, ..., Sn);

de asemenea Sm − Sn are aceeasi lege ca Sm−n.

Vom proceda ın continuare la o dubla normalizare: pentru N fixat vomtransforma intervalul [0, N ] ın [0, 1] si apoi vom schimba valorile luate de Sn.

In acest sens definim o familie de variabile aleatoare Uk/N = 1√N

Sk.

Avem E(Uk/N

)= 0, Var

(Uk/N

)= k

N . Proprietatile de independenta si destationaritate sunt ındeplinite: pentru k ≥ k′, Uk/N−Uk′/N este independentade (Up/N )p≤k′ , si Uk/N − Uk′/N are aceeasi lege cu U(k−k′)/N .

Definim un proces continuu (Ut)t≥0 plecand de la Uk/N impunand cafunctia sa fie afina ıntre k/N si (k + 1) /N . Astfel pentru orice t ∈ R+, existaun unic k (t) ∈ N astfel ıncat k (t) /N ≤ t < (k (t) + 1) /N si, pentru k = k (t),fie

UNt = Uk/N + N (t− k/N)

(U(k+1)/N − Uk/N

).

Obtinem UN1 = 1√

NSN . Din teorema limita centrala obtinem ca UN

1 convergeın lege (distributie) la o variabila aleatoare gaussiana centrata de varianta 1.

Procesul UN va converge ın lege catre miscarea browniana B. In particular,UN

tL−→ Bt si

(UN

t1 , ..., UNtk

) L−→ (Bt1 , ..., Btk) pentru orice (t1, ..., tk).

2.3 Proprietati

Fie (Bt)t≥0 o miscare browniana si Ft = σ (Bs : s ≤ t) filtrarea sa naturala.

2.3.1 Procese gaussiene

Propozitia 2.3.1 Procesul (Bt)t≥0 este un proces gaussian; legea sa este ca-racterizata de media nula si de covarianta Cov (Bt, Bs) = s ∧ t.

Demonstratie: Avemn∑

i=0

bi

(Bti+1 −Bti

)=

n∑i=0

aiBti , unde ai = bi − bi+1,

1 ≤ i ≤ n − 1, an = bn. Deoarece procesul este centrat, covarianta esteCov (Bt, Bs) = E (BtBs).

Daca s ≤ t,

E (BtBs) = E((Bt −Bs)Bs + B2

s

)= E ((Bt −Bs) Bs) + E

(B2

s

)= s.

Mai general: procesul (Xt)t≥0 dat de Xt = x+µt+σBt, este un proces gaus-sian de medie x+µt si covarianta E ((Xt − E (Xt)) (Xs − E (Xs))) = σ2 (s ∧ t).

Propozitia 2.3.2 Daca (Bt)t≥0 este o miscare browniana, atunci:i) procesul (Bt)t≥0 dat de Bt = −Bt este o miscare browniana,

ii) procesul (Bt)t≥0 dat de Bt = 1cBc2t este o miscare browniana,

iii) procesul (Bt)t≥0 dat de Bt = tB1/t, ∀t > 0, cu B0 = 0, este o miscarebrowniana.

2.3.2 Proprietatea Markov

Proprietatea Markov a miscarii browniene este utilizata sub forma: pentruorice s, procesul (Wt)t≥0 dat de Wt = Bt+s − Bs este o miscare brownianaindependenta de Fs.

Teorema 2.3.1 Daca f este o functie boreliana marginita, atunci

E (f (Bs) |Ft) = E (f (Bs) |σ (Bt)) ,

pentru s > t.

Un alt mod de a descrie aceasta proprietate este: pentru s > t, variabilaaleatoare Bs, conditionata la Bt, este de lege gaussiana, de medie Bt si devarianta s−t. Atunci E (1Bs≤x|Ft) = E (1Bs≤x|σ (Bt)) = E (1Bs≤x|Bt), pentrus ≥ t.

Propozitia 2.3.3 (Proprietatea tare Markov) Fie T un timp de oprirecu valori finite. Avem

E (f (BT+s) |FT ) = E (f (BT+s) |σ (BT )) .

In particular, pentru un timp de oprire finit, procesul (Wt)t≥0 dat de Wt =Bt+T −BT este o miscare browniana independenta de FT .

2.3.3 Traiectoriile miscarii browniene

Avem urmatoarele rezultate:Traiectoriile miscarii browniene sunt continue.Traiectoriile miscarii browniene sunt a.s. “nicaieri diferentiabile”.

Teorema 2.3.2 Fie n fixat si tj = j2n t, j = 1, 2n. Atunci

2n∑

j=1

(Btj −Btj−1

)2 −→ t, n →∞,

unde convergenta este ın medie patratica si are loc a.s.

Demonstratie: Fie Znt =

2n∑j=1

(Btj −Btj−1

)2. Avem ca E (Znt ) = t si ca

Var (Znt ) =

2n∑j=1

Var(Btj −Btj−1

)2 =2n∑

j=1

2(

t2n

)2 = 2n+1 t2

22n = 2t2

2n . Deci

Var (Znt ) → 0. Se poate arata mai mult, ca E

[(Zn

t − t)2]−→ 0.

Propozitia 2.3.4 Fie 0 = t0 ≤ t1 ≤ · · · ≤ tn = t o divizare d a intervalului[0, t], si Vt variatia traiectoriei miscarii browniene B pe [0, t] definita de Vt =supd

∑i

∣∣Bti+1 −Bti

∣∣. Atunci Vt = ∞ a.s.

Demonstratie: Fie Yk = Bt∗k+1−Bt∗k , unde t∗k = k

2n t.Are loc

Znt ≤ sup

k|Bt∗k+1

−Bt∗k | ·2n∑

k=0

|Yk| .

Daca n →∞, atunci supk|Bt∗k+1

− Bt∗k | tinde la 0, a.s., datorita continuitatii

uniforme a traiectoriilor pe [0, t]. Termenul2n∑

k=0

|Yk| este crescator si nu poate

avea limita finita deoarece E (Znt ) = t, deci

∞ = supn

2n∑

k=0

|Yk| ≤ supd

∑

i

∣∣Bti+1 −Bti

∣∣ .

2.3.4 Proprietatile martingale

Propozitia 2.3.5 Procesele B si(B2

t − t)t≥0

sunt martingale. Reciproc, dacaX este un proces continuu astfel ıncat X si

(X2

t − t)t≥0

sunt martingale,atunci X este o miscare browniana.

Demonstratie: Demonstram doar implicatia directa. Utilizam proprietatilemediei conditionate: E (X|G) = E (X) cand X si G sunt independente, siE (X|G) = X cand X este G masurabila.

Pentru s ≤ t, E (Bt|Fs) = E (Bt −Bs|Fs) + E (Bs|Fs) = 0 + Bs. Avem siE[(Bt −Bs)

2 |Fs

]= t− s. Pe de alta parte

E[(Bt −Bs)

2 |Fs

]= E

[B2

t − 2BtBs + B2s |Fs

]=

= E[B2

t |Fs

]− 2BsE [Bt|Fs] + E[B2

s |Fs

]=

= E[B2

t |Fs

]− 2B2s + B2

s = E[B2

t |Fs

]−B2s .

Deci E[B2

t |Fs

]−B2s = t− s ⇔ E

[B2

t − t|Fs

]= E

[B2

s − s|Fs

].

Propozitia 2.3.6 Fie B1, B2 doua miscari browniene independente. AtunciB1B2 este o martingala.

Demonstratie: Utilizam urmatorul rezultat: fie F , G doua σ-algebre si X, Ydoua v.a. astfel ıncat X ∨ F si G sunt independente si Y ∨ G si F suntindependente. Atunci E (XY |F ∨ G) = E (X|F)E (Y |G).

De asemenea putem utiliza ca 1√2

(B1 + B2

)este un proces gaussian de

covarianta t ∧ s, deci o miscare browniana, si prin urmare 12

(B1

t + B2t

)2 − teste o martingala. Dar

12

(B1

t + B2t

)2 − t =12[ (

B1t

)2 − t]+

12[ (

B2t

)2 − t]+ B1

t B2t ,

de unde rezulta concluzia.

Definitia 2.3.1 Spunem ca B este o G miscare browniana daca B si(B2

t − t)t≥0

sunt G martingale.

Daca B este G miscare browniana atunci este o miscare browniana ın raportcu propria sa filtrare.

Propozitia 2.3.7 Procesul(exp

(λBt − 1

2λ2t))

t≥0este o martingala, ∀λ ∈ R.

Reciproc, daca X este un proces continuu astfel ıncat(exp

(λXt − 1

2λ2t))

t≥0

este o martingala, ∀λ ∈ R, atunci procesul X este o miscare browniana.

Demonstratie: Din independenta avem ca

E(

exp(λ (Bt −Bs)−1

2λ2 (t− s)

)|Fs

)= E

(exp

(λ (Bt −Bs)−1

2λ2 (t− s)

)).

Din calculul transformatei Laplace a variabile gaussiene Bt −Bs, obtinem

E(

exp(λ (Bt −Bs)− 1

2λ2 (t− s)

))= 1

si deci E(exp

(λBt − 1

2λ2t) |Fs

)= exp

(λBs − 1

2λ2s).

Propozitia 2.3.8 Fie (Ω,F ,Ft,P) si B o Ft miscare browniana pe acestspatiu. Daca Xt = µt+σBt, atunci pentru β ∈ R,

(exp

[βXt − t

(µβ + 1

2σ2β2)])

t≥0

este o Ft martingala. Reciproc, daca X este un proces continuu astfel ıncat(exp

[βXt − t

(µβ + 1

2σ2β2)])

t≥0este o Ft martingala, atunci exista o Ft

miscare browniana B astfel ıncat Xt = µt + σBt.

Demonstratie: Stim ca(exp

(λBt − 1

2λ2t))

t≥0este o martingala; vom ınlocui

Bt = 1σ (Xt − µt) si λ = βσ.

2.3.5 Miscarea browniana multidimensionala

Fie Bt =(B1

t , B2t , ..., Bn

t

)T un proces n-dimensional. Spunem ca B estemiscare browniana multidimensionala daca procesele

(Bi

t

)t≥0

, 1 ≤ i ≤ n,sunt procese browniene independente.

Procesul aB1t + bB2

t este gaussian si Btdef= 1√

a2+b2

(aB1

t + bB2t

)este o

miscare browniana.Daca B este miscare browniana n-dimensionala, avem ca

E(BT

t Bs

)= n (t ∧ s) .

Procesul n-dimensional B este o miscare browniana daca si numai dacaprocesele Bi si BiBj − δijt sunt martingale.

Definitia 2.3.2 Miscarile browniane cu valori reale B1, B2 sunt corelate, cucoeficientul de corelatie ρ, daca B1

t B2t − ρt este o martingala.

Vom decorela miscarea browniana introducand procesul

B3t

def=

1√1− ρ2

(B2

t − ρB1t

).

Acesta este o martingala. Avem si

(B3

t

)2 − t =1

1− ρ2

[(B2

t

)2+ ρ2

(B1

t

)2 − 2ρB1t B2

t − t(1− ρ2

)]=

=1

1− ρ2

[(B2

t

)2 − t]

+ ρ2[(

B1t

)2 − t]− 2ρ

[B1

t B2t − ρt

].

Vom obtine ca(B3

t

)2− t este o martingala, deci B3 este o miscare browniana.Se poate demonstra ca B3 este independenta de B1. Produsul B1B3 este omartingala.

2.4 Integrala Wiener

2.4.1 Definitia

Notam cu L2 (R+) multimea de (clase de echivalente de) functii boreliene

f : R+ → R astfel ıncat ||f ||2def=

(∫∞0

f2 (s))1/2

< ∞.

Prezentam mai ıntai cazul functiilor ın scara.

Pentru f =n∑

i=1

fi−11(ti−1,ti], integrala∫ ∞

0

f (s) dBs =n∑

i=1

fi−1

(Bti −Bti−1

).

Variabila aleatoare I (f) =∫ ∞

0

f (s) dBs este o variabila gaussiana de me-

die nula (deoarece B este gaussian de medie nula) si de varianta

Var (I (f)) =n∑

i=1

f2i−1 Var

(Bti −Bti−1

)=

n∑i=1

f2i−1 (ti − ti−1) =

=∫ ∞

0

f2 (s) ds = ||f ||22 .

Integrala este liniara I (f + g) = I (f) + I (g).

Daca f, g sunt functii ın scara atunci E (I (f) · I (g)) =∫ ∞

0

f (s) g (s) ds.

Intr-adevar,

Var (I (f + g)) = Var (I (f) + I (g)) = Var (I (f)) + Var (I (g)) + 2E (I (f) I (g)) =

= (pe de alta parte) =∫ ∞

0

(f + g)2 (s) ds =

=∫ ∞

0

f2 (s) ds +∫ ∞

0

g2 (s) ds + 2∫ ∞

0

f (s) g (s) ds

In cazul general al functiei f ∈ L2 (R+), exista sirul (fn)n de functii ın scaracare converge ın L2 (R+) la f , adica

∫ ∞

0

|fn (s)− f (s)|2 ds −−−−→n→∞

0.

Sirul de v.a. Fn =∫∞0

fn (s) dBs este sir Cauchy ın spatiul Hilbert L2 (R+),deci este convergent. Se poate arata ca aceasta limita nu depinde de sirul ales.

Notam I (f)def=

∫ ∞

0

f (s) dBs = limn→∞

∫ ∞

0

fn (s) dBs.

Vom spune ca I (f) este integrala stochastica (integrala Wiener) a lui f ınraport cu B.

Subspatiul lui L2 (R+) format din v.a.∫∞0

f (s) dBs coincide cu spatiulgaussian generat de miscarea browniana B.

2.4.2 Proprietati

Aplicatia f 7→ I (f) este liniara si izometrie de la L2 (R+) la L2 (), adicaI (f + g) = I (f) + I (g) , si norma lui I (f) este egala cu norma lui f :

E[(I (f))2

]=

∫ ∞

0

f2 (s) ds.

De asemenea are loc

E[I (f) I (g)

]=

∫ ∞

0

f (s) g (s) ds.

Variabila I (f) este gaussiana, centrata, de varianta∫ ∞

0

f2 (s) ds, si apartine

spatiului gaussian generat de (Bt)t≥0. Are loc si

E(Bt

∫ ∞

0

f (s) dBs

)=

∫ t

0

f (s) ds. (1)

Proprietatea de mai sus (1) este o caracterizare a integralei stochastice, ın

sensul ca daca are loc E (Z ·Bt) =∫ t

0

f (s) ds, ∀t, atunci Z =∫ ∞

0

f (s) dBs.

2.4.3 Procese legate de integrala stochastica

Pentru f ∈ L2 (R+) definim v.a.∫ t

0

f (s) dBs =∫ ∞

0

1[0,T ] (s) f (s) dBs.

Teorema 2.4.1 Fie f ∈ L2loc si Mt =

∫ t

0

f (r) dBr. a) Procesul M este o

martingala continua, E (Mt) = 0, Var (Mt) =∫ t

0

f2 (r) dr.

b) Procesul M este un proces gaussian centrat de covarianta

Cov (Mt,Ms) =∫ t∧s

0

f2 (r) dr.

c) Procesul(M2

t −∫ t

0

f2 (r) dr)

t≥0este o martingala.

d) Daca f, g ∈ L2loc, avem ca E

( ∫ t

0

f (r) dBr

∫ s

0

g (r) dBr

)=

∫ t∧s

0

f (r) g (r) dr.

Demonstratie Vom verifica doar pentru functiile etajate f =n∑

i=1

fi−11(ti−1,ti].

Daca ti < s < t ≤ ti+1 atunci E( ∫ t

s

f (r) dBr|Fs

)= fi E [(Bt −Bs) |Fs] = 0.

Daca ti < s ≤ ti+1 ≤ tj < t ≤ tj+1, atunci

E(∫ t

s

f (r) dBr|Fs

)= E

(fi

(Bti+1 −Bs

) |Fs

)+

+E( j−1∑

k=i+1

fk

(Btk+1 −Btk

) |Fs

)+ E

(fj

(Bt −Btj

) |Fs

)=

= fiE((

Bti+1 −Bs

) |Fs

)+

j−1∑k=i+1

fkE((

Btk+1 −Btk

) |Fs

)+

+fjE((

Bt −Btj

) |Fs

)= 0.

Deci are loc

E( ∫ t

s

f (r) dBr|Fs

)= E ((Mt −Ms) |Fs) = 0.

2.4.4 Integrarea prin parti

Teorema 2.4.2 Daca f este o functie de clasa C1,∫ t

0

f (r) dBr = f (t) Bt −∫ t

0

f ′ (s) Bsds. (2)

Putem scrie (2) sub forma

d (f (t)Bt) = f (t) dBt + f ′ (t)Btdt.

Demonstratie Avem ca

E[Bs

∫ t

0

f (r) dBr

]= E

[∫ s

0

dBr

∫ t

0

f (r) dBr

]=

∫ t∧s

0

f (r) dr.

Pe de alta parte

E [Bs · f (t)Bt] = f (t) (t ∧ s) ,

E[Bs ·

∫ t

0

f ′ (r)Brdr

]=

∫ t

0

f ′ (r) (r ∧ s) dr,

adica

E[Bs

(f (t)Bt −

∫ t

0

f ′ (r)Brdr

)]=

∫ t∧s

0

f (r) dr,

deci

E[Bs

∫ t

0

f (r) dBr

]= E

[Bs

(f (t) Bt −

∫ t

0

f ′ (r) Brdr

)], ∀s.

2.5 Exemple

2.5.1 Miscarea browniana geometrica

Definitia 2.5.1 Fie B o miscare browniana, b, σ doua constante. Procesul

Xt = x exp(

b− 12σ2

)t + σBt

se numeste miscarea browniana geometrica.

Procesul este de asemenea numit procesul log-normal, deoarece

ln Xt =(b− 1

2σ2

)t + σBt + ln x

este o variabila care are o lege normala.

Propozitia 2.5.1 Procesul Xte−bt este o martingala.

Pentru demonstratie se scrie

Xt = Xs exp(

b− 12σ2

)(t− s) + σ (Bt −Bs)

si se va obtineE (Xt|Fs) = exp (b (t− s)) Xs.

Procesul X este des utilizat pentru modelarea pretului unui activ financiar.Randamentul unui activ ıntre doua date este masurata de diferenta logarit-milor, si este data de v.a. gaussiana

(b− 1

2σ2

)t + σBt.

Este usor sa se calculeze momentele miscarii browniene geometrice. Din pro-prietatea de martingala, E (Xt) = x exp (bt). Momentul de ordinul al doilea,

E(X2

t

)= x2 E

(exp

(2b− σ2

)t + 2σBt

)=

= x2 E(exp

(2b + σ2

)t− 1

2 (2σ)2 t + 2σBt

)=

= x2 exp(

2b + σ2)t

.

Deci variatia lui Xt va fi

VarXt = x2 exp (2bt)(exp

(σ2t

)− 1).

2.5.2 Procesul Ornstein-Uhlenbeck

Teorema 2.5.1 Ecuatia lui Langevin

Vt = V0 −∫ t

0

aVsds + σBt

(= V0 +

∫ t

0

(−a) Vsds +∫ t

0

σdBs

)(3)

are o unica solutie

Vt = e−taV0 +∫ t

0

e−(t−s)a σ dBs. (4)

Ecuatia lui Langevin se mai poate scrie

dVt = −aVt dt + σdBt,

cu v.a. V0, miscarea browniana B, constantele a, σ, date initial.

Demonstratie Fie procesul X definit de (4):

Xt = e−atV0 +∫ t

0

e−(t−s)a σ dBs.

Vom arata ca X verifica ecuatia (3).Folosind integrarea prin parti obtinem

∫ t

0

e−(t−s)a σ dBs = σe−at

∫ t

0

eas dBs = σe−at

(eatBt − a

∫ t

0

eas Bs ds

),

deci

Xt = e−atV0 + σBt − aσe−at

∫ t

0

eas Bs ds. (5)

Pe de alta parte∫ t

0

Xsds = V0

∫ t

0

e−asds + σ

∫ t

0

Bs ds− aσ

∫ t

0

e−as

(∫ s

0

ear Br dr

)ds (6)

Dar∫ t

0

(∫ s

0

f (r, s) dr

)ds =

∫ t

0

(∫ t

r

f (r, s) ds

)dr, deci

∫ t

0

(∫ s

0

e−asear Br dr

)ds =

∫ t

0

(∫ t

r

e−asear Br ds

)dr =

=∫ t

0

ear Br

(∫ t

r

e−as ds

)dr =

∫ t

0

ear Br

(−1a

(e−at − e−ar

))dr

=−1a

[∫ t

0

ear Bre−atdr −

∫ t

0

ear Bre−ardr

]=

=−1a

[∫ t

0

ea(r−t) Brdr −∫ t

0

Brdr

].

(7)

Din (6) si (7) obtinem ca

a

∫ t

0

Xsds = V0

(1− e−at

)+ aσ

∫ t

0

ea(r−t)Brdr,

si, utilizand (5), obtinem a∫ t

0Xsds = V0 −Xt + σBt, adica X verifica (3).

Putem se asemenea sa notam Yt = eatVt si sa aplicam formula de integrareprin parti, dYt = eat dVt + aeatVt dt = σeat dBt, deci solutia este

Yt = Y0 +∫ t

0

easσdBs

Propozitia 2.5.2 Daca V0 este o v.a.r. gaussiana independenta de miscareabrowniana, procesul V , numit procesul Ornstein-Uhlenbeck, este gaussian cumedia

E (Vt) = e−atE (V0)

si cu covarianta

Cov (Vs, Vt) = e−ase−at Var (V0) +∫ s

0

e−a(s−r)σ2e−a(t−r)dr, s ≤ t.

In plus, procesul V este Markov.

Demonstratie Din (4) deducem E (Vt) = e−atE (V0), deoarfece media inte-gralei stochastice este 0. De asemenea

Cov (Vs, Vt) = Cov (e−asV0, e−atV0) + Cov

(∫ s

0e−a(s−r) σ dBr,

∫ t

0e−a(t−r) σ dBr

)=

= Cov (e−asV0, e−atV0) + σ2e−ase−at Cov

(∫ s

0ear dBr,

∫ t

0ear dBr

)=

= e−ase−at Var (V0) + σ2e−ase−at∫ s∧t

0e2ardr.

In particular, daca V0 este constanta, atunci Var (V0) = 0, deci

Cov (Vs, Vt) =σ2

2ae−a(s+t)

(e2as − 1

), Var (Vt) =

σ2

2ae−a(s+t)

(1− e−2at

).

Propozitia 2.5.3 Variabila aleatoare∫ t

0

Vsds este o v.a. gaussiana, de medie

V01−e−at

a si de varianta − σ2

2a3 (1− e−at)2 + σ2

a2

(t− 1−e−at

a

).

Pentru demonstratie vezi propozitia din paragraful urmator.

2.5.3 Modelul Vasicek

Generalizarea modelului anterior este dat de ecuatia

drt = a (b− rt) dt + σdBt (8)

Sub aceasta forma (numit si modelul Vasicek), ecuatia prezinta evolutiaratei dobanzii (interest rates). Forma explicita a solutiei este data de

rt = (r0 − b) e−at + b + σ

∫ t

0

e−a(t−u)dBu.

Observam ca procesul Vtdef= rt − b satisface ecuatia lui Langevin (3).

Egalitatea

rt = (rs − b) e−a(t−s) + b + σ

∫ t

s

e−a(t−u)dBu, s ≤ t, (9)

stabileste caracterul markovian al lui r.

Daca r0 este o constanta, rt este o variabila gaussiana de medie (r0 − b) e−at+b si varianta σ2

2a

(1− e−2at

).

Covarianta este data de

Cov (rs, rt) =σ2

2ae−a(s+t)

(e2as − 1

), s ≤ t.

Expresia (9) arata ca variabila rt+s conditionata la Fs este de medie(rs − b) e−a(t−s) + b si varianta σ2

2a

(1− e−2a(t−s)

). De asemenea, procesul

(rt+s)t≥0, conditionat la Fs, verifica modelul Vasicek cu parametrii (a, b, σ) side conditie initiala rs.

Are deci loc:

Propozitia 2.5.4 Pentru s < t, avem

E (rt|rs) = (rs − b) e−a(t−s) + b,

Vars (rt) =σ2

2a

(1− e−2a(t−s)

),

unde Vars desemneaza varianta conditionata ın raport cu Fs.

Propozitia 2.5.5 Variabila aleatoare∫ t

0rudu este o v.a. gaussiana, de medie

bt + (r0 − b) 1−e−at

a si de varianta − σ2

2a3 (1− e−at)2 + σ2

a2

(t− 1−e−at

a

).

Demonstratie Din definitia (8)∫ t

0

rudu =1a

(−rt + r0 + abt + σBt) =

=1a

(− (r0 − b) e−at − b− σ

∫ t

0

e−a(t−u)dBu + r0 + abt + σBt

).

Pentru s ≤ t, obtinem

E(∫ t

s

rudu|Fs

)= b (t− s) + (rs − b)

1− e−a(t−s)

a= M (t, s)

si

Vars

(∫ t

s

rudu

)= − σ2

2a3

(1− e−a(t−s)

)2

+σ2

a2

(t− s− 1− e−a(t−s)

a

)= V (t, s) .

Variabila∫ t

s

rudu este deci variabila gaussiana si deducem de asemenea ca

E[exp

(−

∫ t

s

rudu

)|Fs

]= exp

(−M (t, s) +

12V (t, s)

).

Aceste calcule sunt utile pentru calculul unui zero-cupon (zero-coupon bond)ın finante: daca B (t, T ) este valoarea unui zero-cupon, avem B (t, T ) =E

[exp

(− ∫ T

srudu

)|Fs

]si

B (t, T ) = exp[−M (T, t) +

12V (T, t)

]

References

[1] Monique Jeanblanc, Cours de calcul stochastique, pagina personala,http://www.maths.univ-evry.fr/pages perso/jeanblanc/cours/M2 cours.pdf.

[2] Etienne Pardoux, Aurel Rascanu, Stochastic Differential Equations, ın cursde aparitie.

[3] Ioannis Karatzas, Steven E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Cal-culus, Springer Verlag, Berlin, 1988.

[4] Bernt Oksendal, Stochastic Differential Equations, Springer Verlag, Berlin,a 6-a editie, 1998.