indicatori de fiabilitate - cfcem.ee.tuiasi.rocfcem.ee.tuiasi.ro/pdf/capitolul_3_studenti.pdf ·...
Post on 11-Sep-2018
271 Views
Preview:
TRANSCRIPT
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL
5. METODE DE CALCUL A INDICATORILOR DE FIABILITATE ŞI PERFORMABILITATE
Metodele de calcul a fiabilităţii structurale preliminate a sistemelor au drept date de intrare indicatorii de fiabilitate ai elementelor şi structura sistemului exprimată sub una din formele analizate în capitolele anterioare. Ele pot fi clasificate după criteriul modelului de bază astfel:
- metode bazate pe spaţiul stărilor; - metode de simulare; - metode specifice sistemelor complexe.
Evident, metodele bazate pe funcţia de structură se referă la sisteme binare formate din elemente binare.
Metodele bazate pe spaţiul stărilor pot modela sistemele binare sau multivalente formate din elemente binare sau multivalente.
5.1 Metode bazate pe funcţia de structură
Sunt aplicabile la sistemele binare formate din elemente binare independente, nereparabile sau reparabile, la care se cunosc funcţiile de structură şi de fiabilitate tratate capitolul 3, precum şi fiabilitatea elementelor exprimată sub formă de funcţie de supravieţuire
P(t) = P[Tf > t] = 1 – F(t)
la elementele reparabile sau disponibilitatea la elementele reparabile.
5.1.1 Calculul fiabilităţii sistemelor formate din elemente nereparabile
Elementele nereparabile sunt caracterizate de indicatorul Tf – timpul de funcţionare până la defectare, exprimat sub formă de variabilă aleatoare prin:
a) Funcţia de repartiţie
F(t) = P(Tf ≤ t) (5.1)
b) Funcţia de distribuţie
dtdttTtP
dttdFtf f ][)()(
+<<== (5.2)
c) Intensitatea de defectare
)(1)(];[)(tF
tftTdttTtPt ff −=>+<<=λ (5.3)
d) Media timpului de funcţionare
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 209
∫∞
⋅=0
)(][ dttftTM f (5.4)
e) Probabilitatea de supravieţuire la momentul t
R(t) = 1 – F(t) (5.5)
Pentru calculul indicatorilor de fiabilitate ai unui sistem este necesar să se cunoască, pe lângă indicatorii de fiabilitate ai elementelor componente, şi structura sistemului.
Pentru aplicarea acestei categorii de metode, structura sistemului se exprimă sub formă de funcţie de structură sau funcţie de fiabilitate. Funcţia de fiabilitate are forma generală
))(()( tRftR is = (5.6)
unde: Rs(t) este probabilitatea de funcţionare a sistemului la momentul t;
Ri(t) este probabilitatea de funcţionare a elementului i la momentul t.
5.1.1.1 Cazul sistemelor serie
Prin definiţie, la sistemele serie formate din n elemente independente
∏=
=n
iis tRtR
1
)()( (5.7)
sau, sub altă formă
∏=
−−=n
iis tFtF
1
)(1(1)( (5.8)
Pe baza celor arătate, în tabelul 5.1 se prezintă relaţiile de legătură între ceilalţi indicatori ai sistemului serie în funcţie de cei ai elementelor sale componente.
În cazul sistemelor serie, distribuţia timpului de funcţionare îşi conservă exponenţialitatea, intensitatea de defectare a sistemului fiind egală cu suma intensităţilor de defectare a elementelor
Exemplul 5.1
Fie un sistem serie format din 10 elemente identice independente, sistem care trebuie să realizeze la 5 ani de la punerea în funcţiune o probabilitate de supravieţuire Rs = 0.99.
Să se determine ce probabilitate de supravieţuire Ri trebuie să aibă fiecare din elementele componente ale sistemului?
Rezolvare: R(5) = Ri(5)n; 0.99 = Ri(5)10
lg(0.99) = 10lg(Ri(5)) Ri(5) = 0.998996
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 210
Tabelul 5.1 Legătura dintre indicatorii de fiabilitate ai sistemului serie şi indicatorii elementelor componente
Indicatorul
Cazul general
∫=−=
−t
i dtt
ii etFtR 0
)(
)(1)(λ
Relaţia pentru cazul repartiţiei exponenţiale
∑= =
−n
ii t
i etR 1
)(
)(λ
Rs(t)
∫∑=
=∫
=
=
−
=
−
∏t n
i
t
i
dtt
n
i
dtt
s
e
etR
0 1
0
)(
1
)(
)(
λ
λ
λλλλ
λ
λ
=====
∑=
−
−=
)(...)()()(
)(
21
)(1
tttpentruetR
etR
n
tns
t
s
n
ii
M[Tf] ∫
∫∞
∞
=
=⋅=
0
0
)(
)(][
dttR
dttftTM
s
sf
λλλλλ
λ
===
=
=
∑=
n
f
n
ii
f
pentrun
TM
TM
...
1][
1][
21
1
λs(t)
)(1)()(tF
tfts
ss −
=λ
λλλλλλ
λλ
=====
=∑=
n
s
n
iis
pentrunt
t
...)(
)(
21
1
Exemplul 5.2
Fie un sistem format din m = 50 de subsisteme identice, fiecare având probabilitatea de supravieţuire la t = 22 ani (2·105 h) egală cu Ri(22) = 0.985.
Să se calculeze:
a) Probabilitatea de supravieţuire a sistemului Rs(22) b) Media timpului de funcţionare a sistemului M[Tf] c) Intensitatea de defectare a unui element (λe) al subsistemului dacă acesta este format
din n = 60 de elemente identice d) Ce valoare trebuie să aibă λe astfel încât Rs(22) să fie 0.85?
Rezolvare:
a) Rs = Rim = 0.98550 = 0.46969
λs = - (lnR)/t = - ln 0.46969 = 3.77841·10-6 [h-1]
b) M[Tf] = 1 / λs = 1 / (3.7781·10-6 [h-1]) = 264661.59 [h] ≈ 30 ani
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 211
c) λe = λs / (m·n) = 3.7781·10-6 / 50·60 = 1.25937·10-9 [h-1]
d) λs = m·n·λe’ = - ln Rs / t
λe’ = - lnRs / (m·n·t) = ln 0.85 / (50·60·2·105) = 2.70865·10-10 [h-1]
Observaţie: Valoarea de la punctul d este dificil de realizat în practică. Se pot aplica măsuri bazate pe redondanţă.
5.1.1.2 Cazul sistemelor paralel
Sistemele paralel ies din funcţiune dacă se defectează toate elementele.
Dacă se notează:
Qs(t) = 1 – Rs(t) = Fs(t) (5.9)
atunci
∏ ∏= =
==n
i
t
iiis tFtQtQ
1 1
)()()( (5.10)
deci
∏=
−=t
iis tFtR
1
)(1)( (5.11)
Relaţiile pentru ceilalţi indicatori sunt date în tabelul 5.2.
5.1.1.3 Cazul sistemelor decompozabile serie-paralel
În capitolul 2 au fost exemplificate formele complete de sisteme decompozabile serie-paralel. Pe baza relaţiilor anterioare, de la sistemele serie şi paralel, putem deduce relaţii generalizate pentru sistemele decompozabile serie-paralel.
Pentru sistemul decompozabil serie, format din m subsisteme (grupuri de defectare) înseriate fiecare având ni, i = 1, 2, …, nm elemente, relaţia de calcul a fiabilităţii sistemului este
∏ ∏= =
−−=m
j
n
ijis
j
tRtR1 1
)](1(1[)( (5.12)
unde Rji(t) este probabilitatea de funcţionare a elementului i din subsistemul (grupul de defectare) j.
Pentru sistemul decompozabil paralel format din m subsisteme (căi minimale) legate în paralel, fiecare având ni, i = 1, 2, …, nm elemente, relaţia similară celei anterioare este
∏ ∏= =
−−=m
j
n
ijis
j
tRtR1 1
)](1[1)( (5.13)
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 212
Tabelul 5.2 Indicatorii de fiabilitate pentru sistemele paralel
Indicatorul elementului
Cazul general
∫=
−t
i dtt
i etR 0
)(
)(λ
Cazul repartiţiei exponenţiale t
iietR λ−=)(
Rs(t) ∏=
∫−−=
n
i
dtt
s
t
i
etR1
)(01[1)(λ
λλλλλ
λ
λ
====−−=
−−=
−
=
−∏
n
nts
n
i
ts
pentruetR
etR i
321
1
...]1[1)(
]1[1)(
M[Tf]
∫∞
=0
)(][ dttRTM sf
3;11
1111][
2;111][
...1][
3231
21321
2121
211
=+
−+
−
−+
−++=
=+
−+=
====∑=
n
TM
nTM
pentrun
TM
f
f
n
n
if
λλλλ
λλλλλ
λλλλ
λλλλλ
5.1.1.4 Cazul sistemelor majoritare
Sistemele majoritare se mai numesc şi sisteme parţial redondante n / n+k (se citeşte n din n+k) cu elemente identice nereparabile. Modelarea lor are la bază distribuţia binomială a stărilor sistemului, stări care rezultă din dezvoltarea binomului
ntQtR ))()(( + unde Q(t) = 1- R(t).
Dezvoltarea cazului general este dificilă dar generalizarea poate fi făcută pornind de la cazuri particulare. În continuare se prezintă sistemul format din n+k = 4, pentru n = 4, 3, 2, 1. Rezultă
4322344 )()()(4)()(6)()(4)())()(( tQtQtRtQtRtQtRtRtQtR ++++=+
Pentru cazul distribuţiei exponenţiale sunt valabile relaţiile tt etQetR λλ −− −== 1)()(
şi rezultă:
Rs(t) 4/4 = e-4λt (echivalent sistemului serie)
Rs(t) 3/4 = e-4λt + 4e-3λt(1-e-λt)
Rs(t) 2/4 = e-4λt + 4e-3λt(1-e-λt) + 6e-2λt(1-e-λt)2
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 213
Rs(t) 1/4 = e-4λt + 4e-3λt(1-e-λt) + 6e-2λt(1-e-λt)2 + 4e-λt(1-e-λt)3
Exemplul 5.3 Fie un sistem majoritar de tipul 2/4 format din 4 componente identice având λ = 0.1
[1/an]. Sistemul va avea fiabilitatea Rs(t) = e-4λt + 4e-3λt(1-e-λt) + 6e-2λt(1-e-λt)2 cu valoarea la t = 0.5 ani Rs(0.5) = 0.9996 şi la t = 5 ani, Rs(5) = 0.8282.
În cazul sistemelor formate din elemente diferite nereparabile stările sistemului rezultă din dezvoltarea produsului următor:
......]))()((.......))()(())()([( 2211 ⋅+⋅⋅+⋅+ tQtRtQtRtQtR ii
Exemplul 5.4
Fie un sistem format din 3 subsisteme ale căror elemente au distribuţia exponenţială.
Subsistemul 1 are un singur element cu λ1 = 10-6 [1/h], subsistemul 2 are două elemente identice cu λ2 = 8⋅10-6 [1/h] starea de succes fiind asigurată de funcţionarea unui element iar subsistemul 3 are trei componente, fiecare având λ31 = 5⋅10-6 [1/h], λ32 = 2⋅10-
6 [1/h] şi respectiv λ33 = 10⋅10-6 [1/h], starea de succes a subsistemului 3 fiind asigurată dacă funcţionează oricare 2 din cele 3 elemente ale sale.
Să se calculeze fiabilitatea sistemului la 5000 de ore după punerea în funcţiune.
Rezolvare:
995.0)5000( 5000101
6
== ⋅− −
eR
9985.02)5000( 5000108250001082
66
=+= ⋅⋅⋅−⋅⋅− −−
eeR
tttttt
tttttt
eeeeee
eeeeeetRtRtQ
tRtQtRtQtRtRtRtRtRtR
333231333231
333231333231
)1()1(
)1()()()(
)()()()()()()()()()(
333231
3332313332313332313
λλλλλλ
λλλλλλ
−−−−−−
−−−−−−
⋅⋅−+⋅−⋅+
−⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+
⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
Cu valorile numerice date, pentru t = 5000 h, rezultă R3(5000) = 0.9981.
Pentru sistemul considerat,
Rs(5000) = R1(5000)⋅R2(5000)⋅R3(5000) = 0.9916.
5.1.1.5 Cazul sistemelor cu elemente nereparabile rezervate
Astfel de sisteme nu pot fi modelate ca sisteme paralel deoarece elementul de rezervă poate fi mai puţin solicitat până la intrarea în funcţiune în locul elementului rezervat pe de o parte iar, pe de altă parte, trecerea (comutarea) acestuia, în locul elementului rezervat, la defectarea acestuia, se face de către un element (subsistem) special de comutare, notat cu k, element ce trebuie considerat inclusiv prin indicatorii săi de fiabilitate.
Sistemele cu elemente nereparabile rezervate vor fi modelate, în cele ce urmează, considerând mai multe ipoteze.
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 214
Ipoteza 1 Comutator perfect: pk = 1, tk = 0 unde pk este probabilitatea comutării reuşite iar tk este timpul de intrare în funcţiune a rezervei la defectarea elementului de bază (rezervat).
Ipoteza 1.1 Elementul de rezervă este identic cu cel de bază
În această ipoteză, sistemul este format dintr-un element de bază B şi unul de rezervă R care intră în funcţiune, la defectarea bazei B, cu probabilitatea 1 şi fără pauză de comutare.
Modelul pentru acest sistem este distribuţia Poisson:
!)()(x
ettRtx
x
λλ −
= (5.14)
unde Px(t) este probabilitatea ca la momentul t să fie defecte x elemente.
Variabila aleatoare discretă X are distribuţia
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ −−−−
nn
etetteeXtntt
.......210!
)(.......!2
)(!1
2 λλλλ λλλ
Sistemul este în funcţiune dacă ambele elemente sunt în funcţiune sau dacă unul din elemente este în funcţiune. Fiabilitatea sistemului este dată de relaţia
ttts etteetRtRtR λλλ λλ −−− +=+=+= )1()()()( 10
Ipoteza 1.2 Comutator perfect, două elemente identice, sistem cu baza rezervată
În acest caz,
tt
tts ettetteetRtRtRtR λ
λλλ λλλλ −
−−− ++=++=++= )
21(
2)()()()()(
222
210
Ipoteza 1.3 Comutator perfect, n elemente identice, sistem cu baza rezervată
Generalizând ultima relaţie se obţine:
∑=
−−− =+++++=
n
x
txntt
s xet
ntttteetR
0
2
!)(
!)(.......
2)(1[)(
λλλ λλλλλ
sau, altfel spus, probabilitatea de funcţionare a sistemului este egală cu suma primilor n termeni ai distribuţiei Poisson.
Media timpului de funcţionare neîntreruptă este:
- pentru ipoteza 1.1:
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 215
∫∞
− =+=+=0
211)1(][λλλ
λλ dtteTM tf
- pentru ipoteza 1.3:
λ
λ λ
1!
)(][
0
1 +== ∫
∑∞= ndt
x
etTM
n
x
tx
f
Exemplul 5.5
Să se compare fiabilitatea unui sistem paralel format din 2 elemente cu cea a unui sistem cu rezerva identică cu baza la t = 10 h de la punerea în funcţiune pentru cazul în care elementele sistemului sunt identice şi având λ = 0.02 [h-1].
Rezolvare:
- Cazul sistemului paralel
967141.02
2211]1[1)10(1002.021002.0
222
=−=
=−=−+−=−−=⋅⋅−⋅−
−−−−−
ee
eeeeeR tttttp
λλλλλ
Rezultă
][7504.01
02.02
212][ hTM pf =−=−=λλ
- Cazul sistemului rezervat
982477.0)1002.01()10( 1002.0 =⋅−= ⋅−eRr
][10002.02][ hTM rf ==
Concluzia este că, în ipoteza comutatorului ideal, fiabilitatea şi media timpului de funcţionare până la defectare a sistemului cu un element rezervat individual sunt mai mari decât în cazul sistemului cu două elemente în paralel.
Ipoteza 2 Cazul comutatorului real
Comutatorul real este caracterizat de o probabilitate de răspuns pk la solicitare, solicitarea manifestându-se la căderea elementului de bază:
s
cck N
Np =
unde Ncc este numărul de comutări corecte iar Ns este numărul total de solicitări.
Considerând cazul sistemului format din două elemente identice, unul de bază B şi celălalt în rezervă R, rezultă:
- probabilitatea ca sistemul să aibă zero elemente defecte
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 216
tetP λ−=)(0
- probabilitatea ca sistemul să aibă baza defectă şi rezerva în funcţiune, comutată corect
tkkc tepptPtP λλ −=⋅= )()( 11
Rezultă probabilitatea ca sistemul să fie în funcţiune la momentul t:
)1()( tpetR kt
s λλ += −
relaţie care poate fi generalizată pentru un sistem cu mai multe elemente de rezervă.
- media timpului de funcţionare până la defectare
∫∞
− +=+=
0
1)1(][λ
λλ kk
tf
pdttpeTM
Exemplul 5.6
Pentru un sistem cu două elemente din care cel aflat în rezervă este identic cu elementul de bază şi având λ = 0.02 [h-1], să se reprezinte Rs(10) şi M[Tf]pentru pk = 1÷0.09.
Folosind relaţiile anterioare se determină valorile din tabelul 5.1.
Tabelul 5.1
pk Rs(10) MTTF [h]
1.00 0.982477 100
0.98 0.979202 99
0.96 0.975927 98
0.94 0.972652 97
0.92 0.969377 96
0.90 0.966101 95
Ipoteza 3 Cazul rezervei alunecătoare
Sistemele cu rezervă alunecătoare au N elemente de bază identice şi n elemente de rezervă şi se numesc sisteme N din N+n (notate N/N+n).
Dacă elementele sunt identice,
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 217
Probabilitatea de funcţionare a sistemului este
]!)(.......
!2)(1[)(
2
ntNtNtNetR
ntN λλλλ ++++=
iar media timpului de funcţionare până la defectare este
∫∞ +
==0
1)(][λN
ndttRTM f
Exemplul 5.7
Să se calculeze influenţa numărului de rezerve alunecătoare, număr care poate fi cuprins între 1 şi 6, asupra fiabilităţii unui sistem format din 50 de componente identice având λ = 0.001 [h-1], după 20 h de funcţionare.
Rezolvare:
- ][05.0001.0504 1−=⋅== hN λλ
La sistemul fără rezervare 367879.0)20( 2005.00 == ⋅−eRs
La sistemul cu rezervare
!)2005.0(.......
!2)2005.0(2005.01[)20(
22005.0
neR
n
sn⋅
++⋅
+⋅+= ⋅−
Rezultatele sunt prezentate în tabelul 5.2.
Tabelul 5.2
n 0 1 2 3 4 5 6 Rsn(20) 0.367879 0.735759 0.919699 0.981012 0.996340 0.999406 0.999917 MTTF 20 40 60 80 100 120 140
Ipoteza 4 Cazul sistemului rezervat cu rezerva diferită de bază
În practică se întâlnesc frecvent sisteme cu elemente de rezervă cu caracteristici diferite de cele de bază: intensitatea de defectare după intrarea în funcţiune poate fi diferită de cea a elementului de bază. Un exemplu este alimentarea de rezervă reprezentată de bateria de acumulatoare pentru un generator sau o alimentare din reţea.
Se consideră elementul A de bază şi elementul B de rezervă (stand-by). Dacă A se defectează în momentul t1, B intră instantaneu în funcţiune şi se defectează la momentul t (dacă intensitatea sa de defectare până la momentul t1 este zero).
Durata de funcţionare a elementului B este t - t1 = t2. Dacă ambele elemente au distribuţia exponenţială a timpului de funcţionare, rezultă:
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 218
- 1)( 1t
aaaetf λλ −=
- 2)( 2t
bbbetf λλ −=
Pentru întreg sistemul 2)()()(' 21
tb
taba
ba eetftftf λλ λλ −− ⋅=⋅=
Integrând expresia pentru toţi timpii t1 rezultă
][)( 101
2 tt
ba
bat
t
tb
ta
abba eedteetf λλλλ
λλλλλλ −−
=
−− −−
=⋅= ∫
Rezultă
t
ba
bt
ba
att
ba
ba abab eedteedttftR λλλλ
λλλ
λλλ
λλλλ −−
∞−−
∞
−−
−=−
−== ∫∫
00
][)()(
relaţie care poate fi generalizată adunând şi scăzând : tae λ−
][][
)(
tt
ba
at
ba
babt
tt
ba
attt
ba
bt
ba
a
baaa
abaaab
eeee
eeeeeetR
λλλλ
λλλλλλ
λλλ
λλλλλ
λλλ
λλλ
λλλ
−−−−
−−−−−−
−−
+=−−+
−
−+−
=−+−
−−
=
Ipoteza 5 Cazul elementului de rezervă defectabil în starea stand-by
Se va folosi modelul evenimentelor incompatibile la care este valabilă teorema sumei de probabilităţi. Reluându-se cazul anterior, sistemul considerat poate fi în starea de succes la momentul t dacă
a) Componenta A supravieţuieşte momentului t t
aaetR λ−=)(
b) Componenta A se defectează la momentul t1 < t şi componenta B supravieţuieşte momentului t
)(]}[]{[)( 1)(
0
1
1
1 tt
ab
attt
t
tab
baba eedteetR λλλλ
λλλλ −−−−
=
− −−
=⋅= ∫
Cele două evenimente, a şi b, sunt incompatibile. Rezultă:
)()()()( tt
ab
atba
baa eeetRtRtR λλλ
λλλ −−− −−
+=+=
relaţie obţinută, pe altă cale, în ipoteza anterioară. Figura 5.1 redă sugestiv fiabilitatea sistemului în cele două cazuri.
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 219
ta
ae λλ −
tb
be λλ −
ta
ae λλ −
Ra
t tt1
Rb
a) b)
Fig.5.1 Fiabilitatea sistemului cu element de rezervă defectabil: a) componenta A supravieţuieşte momentului t; b) componenta A se defectează la momentul t1 < t.
Se observă că valoarea lui Rb rezultă prin integrarea pentru toate valorile lui t1.
În cele ce urmează se consideră elementul de rezervă defectabil şi în perioada 0 ÷ t1, perioadă în care nu funcţionează. Se folosesc notaţiile:
- λa, intensitatea de defectare a elementului A; - λbf, intensitatea de defectare a elementului B când acesta funcţionează; - λbr, intensitatea de defectare a elementului B când acesta este în rezervă.
Pe baza logicii anterioare, folosită pentru evenimentele incompatibile, există următoarele situaţii:
a) Elementul A supravieţuieşte momentului t fără să se defecteze.
b) Elementul A se defectează la momentul t1 iar elementul B nu se defectează până la t1 (intensitatea de defectare λbr), intră în funcţiune şi nu se defectează până la momentul t (intensitatea de defectare λbf) ca în figura 5.2.
Fiabilitatea elementelor este dată de relaţiile următoare: t
aaetR λ−=)(
][]1[
)()(
)()(
10
)(1
)(
0
111
1
tt
bfbra
a
bfbrabfbra
ta
ttt
attt
t
t
tab
brabfbfbra
a
bfbrabfbfbra
eeee
dteedteeetR
λλλλλλ
λ
λλλλλλλ
λλλλ
λλλλλλλ
λλ
+−−+−
−
−+−−−−−
=
−
−−+
=−+
−−+
=
==⋅⋅= ∫∫
Pentru întregul sistem de referinţă rezultă:
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 220
][)()()( )( tt
bfbra
atba
brabfa eeetRtRtR λλλλ
λλλλ +−− −
−++=+=
t
tt1
A
AB
a)
b)
Fig. 5.2 Situaţiile posibile în funcţionarea sistemului cu element de rezervă defectabil: a) elementul A
supravieţuieşte momentului t fără a se defecta; b) elementul A se defcetează la momentul t1 iar componenta B nu se defectează până la t1, intră în funcţiune şi nu se defectează până la momentul t
5.1.2 Calculul fiabilităţii sistemelor reparabile prin metode bazate pe funcţia de structură
Metodele sunt aplicabile numai la sistemele binare formate din elemente reparabile independente şi permit calculul probabilităţii staţionare de funcţionare la un moment dat (disponibilitatea) respectiv probabilitatea de refuz (indisponibilitate) a sistemului în funcţie de aceleaşi probabilităţi staţionare ale elementelor componente şi de funcţia de structură a sistemului.
Relaţiile de calcul sunt o particularizare a celor de la sistemele formate din elemente nereparabile unde Ps şi pi devin constante.
În cazul sistemelor serie,
∑=
=n
iis pP
1
(5.15)
În cazul sistemelor paralel,
∏=
−−=n
iis pP
1
)1(1 (5.16)
5.1.2.1 Sisteme decompozabile serie paralel formate din secţionări minimale înseriate
Probabilitatea stării de succes a sistemului este dată de relaţia
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 221
])1(1[11∏∏==
−−=jn
iji
m
js pP (5.17)
5.1.2.2 Sisteme decompozabile serie paralel formate din căi minimale legate în paralel
Probabilitatea de succes este dată de relaţia
]1[111∏∏==
−−=jn
iji
m
js pP (5.18)
Sistemele mixte nedecompozabile serie paralel (buclate) se echivalează cu sisteme decompozabile pentru care se aplică relaţiile corespunzătoare acestora.
5.1.3 Metode de echivalare a sistemelor nedecompozabile prin sisteme decompozabile serie paralel
Echivalarea se poate face prin una din următoarele categorii de metode:
A) Metoda descrierii totale B) Metode bazate pe matrici de incidenţă (MI)
B1) Metoda puterilor MI B2) Metoda reducerii MI
C) Metode bazate pe teoria grafurilor C1) Metoda laturii suplimentare C2) Metoda de căutare pe graf arborescent
A) Metoda descrierii totale
Metoda este aplicată şi la întocmirea modelelor structurale echivalente de fiabilitate şi constă în inventarierea tuturor combinaţiilor de 1, 2, 3, …., nes elemente, nes fiind numărul de elemente al sistemului, şi selectarea dintre acestea a acelora care formează căi minimale respectiv secţionări minimale.
Cel mai simplu sistem nedecompozabil are nes = 5 elemente notate cu A, B, C, D şi E ca în figura 5.3. Combinaţiile de elemente sunt:
- 1 element A, B, C, D, E, nu formează căi sau secţionări minimale; - 2 elemente AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CED, CE, DE din care: AB şi CD formează căi minimale; AC şi BD formează secţionări minimale. - 3 elemente ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE
din care ADE şi BCE formează căi minimale; ADE şi BCE formează secţionări minimale.
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 222
A B
DC
E1 2
3
4
Fig.5.3 Exemplu de sistem nedecompozabil Rezultă sistemul echivalent format din căi minimale din figura 5.4a sau cel
format din secţionări minimale din fig. 5.4b.
A B
DC
A D E
B C E
A
C
D
B
A
D
E
B
C
E
a) b ) Fig.5.4 Sistemele echivalente ale sistemului din fig. 5.3:
a) căi minimale; b) secţionări minimale
B) Metode bazate pe matrici de incidenţă
Metodele au la bază matricea [a] de incidenţă noduri – laturi construită după următoarele reguli:
- rangul matricei este numărul de noduri; - nodul numerotat cu 1 este cel de intrare şi 2 cel de ieşire; - latura (elementul) care leagă nodul linie la cel coloană este element al matricei dacă
poate fi parcurs dinspre intrare spre ieşire
Pentru puntea din 5 elemente din figura 5.3, matricea [a] are forma
DEDEB
CA
a
000
000000
][ =
B1 Metoda puterilor matricei de incidenţă
Elementul a12 al matricei [a]n reprezintă toate căile minimale de dimensiune n (formate din n elemente.
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 223
Calculând toate puterile matricei [a] de la 1 la nes-1, rezultă căile minimale formate din 1, 2, 3, …., (nes-1) elemente.
Pentru exemplul anterior
0000000000
0
][ 2
EBED
AECECDAB
a
+
=
000000000000000
][ 3
AEDCEB
a
+
=
Ca urmare, rezultă aceleaşi căi minimale ca în cazul metodei descrierii totale.
B2 Metoda reducerii matricei de incidenţă
Metoda se bazează pe reducerea totală a matricei [a] prin renunţarea la ultima linie şi ultima coloană şi pe recalcularea termenului noii matrici cu relaţia:
aij nou = aij vechi + ain ⋅ anj , i,j = 1, 2, …, (n-1)
unde n este dimensiunea anterioară a matricei. Se repetă reducerea până la matricea de rang 2 a cărui termen a12 reprezintă căile minimale.
Pentru exemplul tratat prin celelalte metode, rezultă:
00000
0
43
EDB
CEACDA
+
+=
000
32
AEDCEBABCDA
+++=
rezultat confirmat şi anterior.
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 224
C Metode bazate pe teoria grafurilor
C1 Metoda laturii suplimentare
Metoda constă în adăugarea unei laturi suplimentare între intrare şi ieşire şi căutarea laturilor buclelor care conţin latura adăugată căutând circuitele fundamentale după cum urmează:
Coarda C Coarda D
⎫ ⎬ Adunate modulo 2 ⎭
Buclele care conţin latura suplimentară L sunt ABL, BCEL, ADEL şi CDL conform figurii 5.5
A B
DC
E
L
Fig. 5.5 Evidenţierea buclelor care conţin latura suplimentară L
Căile minimale obţinute sunt identice cu cele anterioare. C2 Metoda grafului arborescent
Este o metodă de căutare sistematică. Pornind din nodul 1 se parcurg toate căile posibile spre nodul de ieşire 2. Rezultă un graf arborescent care are drept ramuri cele care se termină în nodul 2 sau 1. Cele care apar în nodul 2 indică toate căile minimale.
Pentru exemplul anterior rezultă graful prezentat în fig. 5.6 cu ajutorul căruia au fost determinate căile minimale, aceleaşi cu cele rezultate folosind metodele anterioare: AB, AED, CD şi CEB.
101100111001110110011010010101100011
21
2
1
2
1
CCLCLCL
CCL
LEDCBA
++++
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 225
1
1
3 4
2 24
1 2 2
A C
E E
C A
B D
A B
3
Fig. 5.6 Graful arborescent pentru determinarea căilor minimale
în cazul sistemului din fig. 5.3
5.1.4 Comparaţie între sistemele decompozabile serie şi cele paralel
Ceea ce se urmăreşte este dacă la un sistem mixt este avantajoasă rezervarea fiecărui element sau a întregului sistem.
Se consideră două structuri de tipul celor prezentate în figura 5.7, formate fiecare din câte 2n elemente.
1 n2
1 n2
1
1
2
2
i
i
i
i
n
n
i
i
ie
ie
a)
b)
Fig. 5.7 Tipurile de structuri considerate pentru analiza rezervării
Aplicând relaţiile cunoscute (5.17) şi (5.18), particularizate pentru cazurile din figura 5.7, se poate scrie pentru sistemul din fig. 5.7a
]2[)(2111
2
1∏∏∏∏====
−=−=n
ii
n
ii
n
ii
n
iisa ppppP (5.19)
iar pentru sistemul din fig. 5.7b
])2([)]2([111∏∏∏===
−=−=n
ii
n
ii
n
iiisb ppppP (5.20)
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 226
Diferenţa probabilităţilor de funcţionare a celor două tipuri de sisteme este dată de relaţia:
∏ ∏∏
∏∏∏∏
= ==
====
−−−⋅=
=−−−=−=Δ
n
i
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iisasb
ppp
ppppPPP
1 11
1111
)]2()2([)(
)2(])2([ (5.21)
Notăm cu y al doilea termen al produsului din relaţia (5.21):
∏= =
−−−=n
i
n
iii ppy
1 1
)]2()2([ ∏ (5.22)
Pentru n = 1,
0221 =+−−= ppy Pentru n = 2,
0)1)(1(2)(22)2()2)(2(
21
212121212
>−−==+−+=−−−−=
ppppppppppy
Pentru n = n + 1,
0)1)(1(2
)]1()1[())(2[)2)(2(
11
11
111
11
1
>−−=
=−−−=−−−−=
∏
∏∏∏
=+
+=
++=
+=
+
n
iin
n
n
iinn
n
iin
n
iin
pp
pppppppy
Rezultă că ΔP va fi totdeauna pozitiv şi, ca urmare, rezervarea individuală a elementelor unui sistem serie va fi avantajoasă faţă de rezervarea întregului sistem.
5.2 Metode bazate pe spaţiul stărilor
Există două categorii:
- metode combinaţionale; - metode bazate pe procese Markov.
Metodele combinaţionale pornesc de la faptul că fiecare stare a unui sistem cu spaţiul stărilor discret este o combinaţie de stări a elementelor sale. Sistematizarea stărilor sistemului în funcţie de stările elementelor sale se face exprimând structura sistemului sub formă de tabel de adevăr.
Din această subcategorie fac parte următoarele:
- metoda binomială; - metoda polinomială.
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 227
5.2.1 Metoda binomială
Este cea mai veche metodă de calcul a fiabilităţii sistemelor, propusă prima dată de Giuseppe Calabrese în 1947.
Metoda este aplicabilă sistemelor binare sau multivalente formate din elemente binare, independente şi reparabile. Datele de intrare necesare sunt:
- disponibilităţile momentane ale elementelor, pi; - structura sistemului sub formă de tabel de adevăr.
A. Pentru sistemele binare, datele de ieşire sunt:
- disponibilitatea momentană a sistemului; - media timpului total de funcţionare într-un interval T dat, M[Tf]; - media timpului total de defectare într-un interval T dat, M[Td],
ultimele două rezultând din prima folosind relaţiile cunoscute de la paragraful 2.3.
Aplicarea metodei presupune parcurgerea următoarelor etape:
I. Datele de intrare II. Întocmirea tabelului de adevăr III. Calculul probabilităţilor stărilor sistemului IV. Calculul performanţei sistemului în fiecare stare V. Gruparea stărilor sistemului VI. Calculul probabilităţilor grupelor de stări VII. Calculul indicatorilor de fiabilitate (performabilitate) a sistemului
În cele ce urmează se detaliază aceste etape.
I. Datele de intrare
Datele de intrare pentru elementele binare sunt disponibilităţile elementelor, pi cu i ∈ mes unde mes este mulţimea elementelor sistemului.
În cazul sistemelor multivalente formate din elemente binare se introduce noţiunea de performanţă a fiecărui element, notată cu Πi, în starea de funcţionare a acestuia. Performanţa este un parametru sau un vector de parametri care caracterizează starea de succes (funcţionare) a elementului respectiv. Performanţa Πi poate fi un debit, o putere, productivitate sau orice altă mărime ca rezistenţa ohmică, inductanţa, capacitatea, etc. Structura sistemului, relaţia lui cu elementele componente se exprimă sub formă de tabel de adevăr.
II. Întocmirea tabelului de adevăr
Tabelul de adevăr are:
- un număr de coloane egal cu numărul de elemente al sistemului plus o coloană corespunzătoare sistemului
- un număr de linii egal cu numărul stărilor sistemului după cum urmează:
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 228
- mulţimea stărilor cu toate elementele în funcţiune 100 == nCC
- mulţimea stărilor cu un element defect nCC n == 11
- mulţimea stărilor cu două elemente defecte 22 nCC =
………………. - mulţimea stărilor cu i elemente defecte i
ni CC =……………….
- mulţimea stărilor cu n-1 elemente defecte nCC nnn == −
−1
1
- mulţimea stărilor cu n elemente defecte 1== nnn CC
Numărul total de stări în care se poate afla sistemul este dat de relaţia:
nn
i
inCnss 2
0==∑
=
(5.23)
Elementele tabelului de adevăr vor fi:
- pentru sistemul binar format din elemente binare un simbol pentru starea de succes care poate fi f = funcţionare, s = succes sau 1 iar pentru cea de refuz d = defect, r = refuz sau 0;
- pentru sistemul multivalent format din elemente binare, tabelul va conţine valori ale performanţelor elementelor respectiv sistemului.
III. Calculul probabilităţilor sistemului
Cunoscând probabilităţile de funcţionare pi şi de refuz qi pentru oricare element i, i ∈ (1, 2, …, nes) se poate calcula probabilitatea oricărei stări a sistemului folosind teorema produsului de probabilităţi:
Probabilitatea producerii simultane a două sau mai multe evenimente independente este egală cu produsul probabilităţilor evenimentelor
Aplicată la categoriile de stări menţionate anterior, rezultă:
- probabilitatea stării cu toate elementele în funcţiune
∏=
=n
jjpp
10 (5.24)
- probabilitatea stării cu elementul i defect
∏≠=
=n
ijjiii pqp
;1
(5.25)
- probabilitatea stării cu două elemente, i şi k, defecte
∏≠≠
⋅=n
kijikiki pqqp , (5.26)
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 229
- probabilitatea stării cu d elemente defecte şi f elemente, d + f = nes, în funcţiune
∏∏∈∈
⋅=fl
ldj
jdf pqp (5.27)
- probabilitatea stării cu toate elementele defecte
∏=
= =n
jjnd qp
1
(5.28)
Aceste probabilităţi reprezintă termenii dezvoltării produsului binomial
∏=
+nes
iii qp
1
)(
de unde vine şi denumirea de metoda binomială.
Pentru cazul particular în care elementele sistemului sunt identice, se pot scrie relaţiile:
nespp =0 1−⋅= nes
ii pqp nes
nesd qp ==
care reprezintă termenii dezvoltării binomului . nesqp )( +
Cu aceste relaţii putem calcula probabilităţile absolute ale stărilor sistemului în funcţie de probabilităţile de funcţionare (disponibilităţile) momentane ale elementelor componente.
IV. Calculul performanţei sistemului în fiecare stare
Se face în funcţie de performanţele (valorile parametrilor funcţionali) elementelor sistemului şi ale sistemului.
Operaţia poate fi făcută, evident, numai de către cei care cunosc funcţionarea tehnică a sistemului, principiile de bază ale acestuia, restricţiile privind funcţionarea precum şi relaţiile dintre elemente şi sistem, efectul funcţionării şi nefuncţionării fiecărui element asupra sistemului.
De exemplu, în cazul sistemelor la care performanţa se măsoară în debite sau puteri produse, transportate, transformate, respectiv în productivităţi, sunt valabile regulile:
- la sistemele serie:
messiis ∈Π=Π );min(
unde Πs = performanţa sistemului, Πi = performanţa elementului i iar mess = mulţimea elementelor sistemului serie.
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 230
- la sistemele paralel
∑=
Π=Πnesp
iis
1
unde nesp este numărul de elemente a sistemului paralel.
Reguli asemănătoare guvernează orice sistem existând legi de legătură între parametrii elementelor componente şi cei ai sistemului, legi care materializează, de fapt, structura sistemului din punct de vedere al parametrului în cauză.
V. Gruparea stărilor sistemului
Există două posibilităţi:
- sistem binar, caz în care stările sale se grupează în două submulţimi:
- mulţimea stărilor de funcţionare (succes) S;
- mulţimea stărilor de defect (refuz) R.
- sistem multivalent, caz în care stările se grupează în mai multe submulţimi, după criteriul nivelului de performanţă a sistemului; din aceeaşi grupă vor face parte stările în care sistemul are acelaşi nivel de performanţă.
VI. Calculul probabilităţilor grupelor de stări
Stările sistemului fiind incompatibile, probabilităţile grupelor de stări se vor calcula cu teorema sumei de probabilităţi:
Probabilitatea producerii oricăruia din două sau mai multe evenimente incompatibile va fi egală cu suma probabilităţilor evenimentelor
Ca urmare, se poate calcula probabilitatea de succes a sistemului binar folosind relaţia
∑∈
=Si
is pP (5.29)
iar probabilitatea de refuz a sistemului cu relaţia
sRi
is PpQ −== ∑∈
1 (5.30)
În cazul sistemelor multivalente, mulţimea stărilor acestora poate fi împărţită în mai multe submulţimi S1, S2, …, Si, …, Sm după criteriul de exemplu, al nivelului de performanţă al sistemului în grupa respectivă de stări.
Probabilitatea ca sistemul să se afle în una din grupurile de stări definite mai sus se calculează cu relaţia
mgssjpPSjj
jSj ∈= ∑∈
; (5.31)
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 231
unde mgss este mulţimea grupelor de stări a sistemului. Din relaţia (5.31) rezultă probabilitatea ca sistemul să realizeze nivelul de performanţă corespunzător submulţimii respective de stări, toate aceste probabilităţi luate împreună reprezentând funcţia de distribuţie a variabilei aleatoare discrete nivel de performanţă a sistemului.
VII. Calculul indicatorilor de fiabilitate (performabilitate) a sistemului
Pentru cazul sistemelor binare, în etapele anterioare s-au determinat probabilitatea Ps de succes a sistemului ca şi probabilitatea Qs de refuz.
Folosind aceste mărimi se pot determina alţi indicatori de fiabilitate:
- M[α(t)] = Ps.T, media timpului total de funcţionare a sistemului în perioada de referinţă T;
- M[β(t)] = Qs.T, media timpului total de defect a sistemului în perioada de referinţă T.
Pentru cazul sistemelor multivalente, se cunoaşte din etapele precedente funcţia de distribuţie a variabilei aleatoare discrete Πs, performanţa sistemului.
Ca urmare, se pot calcula toţi indicatorii de performabilitate ai sistemului considerat intrinsec sau ca sistem de deservire caz în care i se asociază o anumită cerere exprimată sub formă de constantă sau VAD ori VAC (vezi capitolul 2, paragaful despre clasificarea sistemelor).
Dintre indicatorii de performabilitate intrinseci sistemului, cel mai frecvent folosit este M(Π) = media performanţei dată de relaţia
iddpsi
ipM Π⋅=Π ∑∈
)(
unde ddps este domeniul de definiţie a performanţei sistemului care este mulţimea valorilor performanţei rezultată la gruparea stărilor.
Dintre indicatorii relaţionali pot fi calculaţi:
- probabilitatea ca performanţa să depăşească o anumită valoare impusă (cerută), reprezentată de o constantă Πc:
∑Π>Π∈
=Π>Π)(
][csi
ics pP
- probabilitatea ca valoarea performanţei să se găsească într-un interval mărginit de o valoare maximă ΠM şi una minimă Πm:
][][][mM
FFP Msm ΠΠ −=Π<Π<Π unde F[Π] = P[Πs ≤ Π] este funcţia de repartiţie a performanţei.
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 232
Dacă performanţa este o putere, un debit, etc. pot fi calculaţi şi alţi indicatori cum ar fi energia produsă sau nelivrată într-un interval de referinţă dat şi media timpului în care nu este realizat un anumit nivel de cerere, etc.
5.2.2 Metoda polinomială
Este destinată calculului performabilităţii sistemelor multivalente formate din elemente multivalente.
Se consideră un sistem format din nes elemente multivalente relevante pentru funcţionarea sa, fiecare caracterizat de o avariabilă aleatoare Πei, i ∈ mes. Domeniul de definiţie a variabilei aleatoare Πei este (1,……., nsei) unde nsei este numărul de stări a elementului i. Se poate scrie
einseieiei
einseieieiei
PPPΠΠΠ
=Π....
21
21
Numărul nss de stări a sistemului se poate calcula cu relaţia
∏=
=
=nesi
i
nseinss1
ceea ce înseamnă că este produsul numerelor de stări ale elementelor componente.
Numărul de stări al sistemului reprezintă numărul de combinaţii maxim între stările elementelor componente ale sale.
În rest, etapele care trebuie parcurse la aplicarea metodei polinomiale sunt cele din cazul sistemului multivalent format din elemente binare, diferenţa fiind la numărul de stări ale sistemului deci a numărului de linii din tabelul de adevăr.
Se dau, în cele ce urmează, câteva exemple de calcul.
Exemplul 5.8
Fie un sistem binar format din 2 elemente binare independente serie, de forma celui prezentat în figura 5.8. Sistemul este format dintr-un bloc generator transformator care are pg = 0.98 şi pt = 0.99. Să se calculeze pentru o durată de referinţă de 10 ani:
≈
pg ptB
Fig. 5.8 Sistemul de tip serie considerat pentru analiza fiabilităţii
- Qs, probabilitatea lipsei de tensiune pe barele B ale blocului; - M[α(t)], media timpului total a prezenţei tensiunii pe barele blocului.
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 233
I. Datele de intrare sunt: pg = 0.98 qg = 0.02
pt = 0.99 qt = 0.01
II. Tabelul de adevăr, cu 3 coloane şi 22 = 4 linii, este de forma:
Nr. stare G T Bloc Probabilitate stare
S1 f f f 0.9702 S2 f d d 0.0098 S3 d f d 0.0198 S4 d d d 0.0002
III. Probabilităţile stărilor (teorema produsului)
p1 = pg ⋅ pt = 0.98 ⋅ 0.99 = 0.9702 p2 = pg ⋅ qt = 0.98 ⋅ 0.01 = 0.0098 p3 = qg ⋅ pt = 0.02 ⋅ 0.99 = 0.0198
p4 = qg ⋅ qt = 0.01 ⋅ 0.02 = 0.0002
V. Gruparea stărilor
S = [S1] R = [S2, S3, S4]
VI. Calculul probabilităţilor grupelor de stări
Ps = p1 = 0.9702 Qs = p2 + p3 + p4 = 0.0298
VII. Calculul indicatorilor de fiabilitate a sistemului
M[α(t)] = Ps ⋅ T = 0.9702 ⋅ 87600 = 84989.52 [h]
Exemplul 5.9
Fie un sistem binar format din două elemente în paralel. Să se calculeze aceeaşi indicatori de fiabilitate ca în cazul precedent pentru o centrală formată din două blocuri cu caracteristici identice cu cele din exemplul 5.8. Durata de referinţă T este 10 ani.
B1
B2
Fig. 5.9 Sistemul de tip paralel considerat pentru analiza fiabilităţii
I. Datele de intrare: pB1 = pB2 = pB = 0.9702 B
qB1 = qB2 = qB = 0.0298 B
II. Tabelul de adevăr
Nr. stare B1 BB2 Centrala Probabilitate stare
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 234
S1 f f f 0.94128804 S2 f d f 0.02891196 S3 d f f 0.02891196 S4 d d d 0.00088804
III. Probabilităţile stărilor
pS1 = pB2 = 0.94128804
pS2 = pS3 = pB ⋅ qB BB = 0.02891196 pS4 = qB
2 = 0.00088804
V. Gruparea stărilor
Mulţimea stărilor de succes: S = [S1, S2, S3] Mulţimea stărilor de refuz: R = [S4]
VI. Calculul probabilităţilor grupelor de stări
Ps = pS1 + pS2 + pS3 = 0.99911196
Qs = pS4 = 0.00088804
VII. Calculul indicatorilor de fiabilitate
M[α(t)] = (pS1 + pS2 + pS3)T = 0.99911196 ⋅ 87600 = 87522.87696 [h]
Exemplul 5.10
Fie sistemul multivalent cu elemente bivalente din exemplul 5.9. Fiecare din blocurile centralei are o putere nominală de S = 100 MVA. Să se determine:
- funcţia de distribuţie a puterii pe bare; - puterea medie pe barele centralei; - energia nelivrată în 10 ani datorită defectării blocurilor.
I. Datele de intrare: pB1 = pB2 = pB = 0.9702 B
qB1 = qB2 = qB = 0.0298 B
SB1 = SB2 = 100 MVA
II. Tabelul de adevăr
Nr. stare B1[MVA]
BB2[MVA]
Centrala (performanţa)
Probabilitate stare
S1 100 100 200 0.94128804 S2 100 0 100 0.02891196 S3 0 100 100 0.02891196 S4 0 0 0 0.00088804
III. Probabilităţile stărilor
pS1 = pB2 = 0.94128804
pS2 = pS3 = pB ⋅ qB BB = 0.02891196
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 235
pS4 = qB2 = 0.00088804
IV. Calculul performanţei sistemului
S-a considerat un sistem de putere de tip paralel, performanţa sa fiind suma performanţelor elementelor componente (vezi tabelul de adevăr).
V. Gruparea stărilor sistemului
Sistemul are trei nivele de performanţă rezultând trei grupe de stări:
S200 = [S1] S100 = [S2, S3] S0 = [S4]
VI. Calculul probabilităţilor grupelor de stări
G200 = pS1 = 0.94128804
G100 = pS2 + pS3 = 0.05782392
G0 = pS4 = 0.00088804
VII. Calculul indicatorilor de fiabilitate
- funcţia de distribuţie a puterii pe bare
- puterea medie pe barele centralei
M[S] = 0 ⋅ P0 + 100 ⋅ P100 + 200 ⋅ P200 =
= 0 ⋅ 0.00088804 + 100 ⋅ 0.05782392 + 200 ⋅ 0.94128804 = 193.982392 [MVA]
- energia nelivrată în 10 ani datorită defectării blocurilor
ΔW = 200 ⋅ 87600 – 100 ⋅ 0.05782392 ⋅ 87600 – 200 ⋅ 0.94128804 ⋅ 87600 =
527142.4608 [MVAh]
Exemplul 5.11
Fie sistemul multivalent cu elemente multivalente constituit din două centrale C1 şi C2, identice cu cea din exemplul 5.10. Să se determine:
- funcţia de distribuţie a puterii pe bare; - puterea medie pe barele centralei; - energia nelivrată în 10 ani datorită defectării blocurilor.
I. Datele de intrare
Faţă de datele cunoscute din exemplul 5.10, se cunoaşte acum funcţia de distribuţie a puterii pe barele unei centrale:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ===MVAMVAMVA
PPPScentrală 2001000
94128804.005782392.000088804.0 2001000
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 236
II. Tabelul de adevăr
Nr. stare C1[MVA]
C2[MVA]
Sistem (performanţa)
Probabilitate stare
S1 0 0 0 P02 = 7.75⋅10 –7
S2 0 100 100 P0 ⋅ P100 = 5.1⋅10-5
S3 0 200 200 P0 ⋅ P200 = 8.28⋅10-4
S4 100 0 100 P100 ⋅ P0 = 5.1⋅10-5
S5 100 100 200 P1002 = 3.343⋅10-3
S6 100 200 300 P100 ⋅ P200 = 0.0544
S7 200 0 200 P200 ⋅ P0 = 8.28⋅10-4
S8 200 100 300 P200 ⋅ P100 = 0.0544
S9 200 200 400 P2002 = 0.885481
III. Probabilităţile stărilor
p1 = P02 = 7.75⋅10-7
p2 = P0 ⋅ P100 = 5.1⋅10-5
p3 = P0 ⋅ P200 = 8.28⋅10-4 p4 = P100 ⋅ P0 = 5.1⋅10-5
p5 = P1002 = 3.343⋅10-3
p6 = P100 ⋅ P200 = 0.0544 p7 = P200 ⋅ P0 = 8.28⋅10-4
p8 = P200 ⋅ P100 = 0.0544 p9 = P200
2 = 0.885481
IV. Calculul performanţei sistemului
S-a considerat un sistem de putere de tip paralel, performanţa sa fiind egală cu suma performanţelor elementelor componente legate în paralel.
V. Gruparea stărilor
Gruparea se face conform criteriului nivelului de performanţă:
G0 = [S1] G100 = [S2, S4] G200 = [S3, S5, S7] G300 = [S6, S8] G400 = [S9]
VI. Probabilităţile grupelor de stări
P0 = pS1 = 7.75⋅10-7
P100 = pS2 + pS4 = 1.018⋅10-4
P200 = pS3 + pS5 + pS7 = 5⋅10-3
P300 = pS6 + pS8 = 0.1088 P400 = pS9 = 0.885481
VII. Calculul indicatorilor de fiabilitate
- funcţia de distribuţie a puterii
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 237
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ==⋅=⋅=⋅= −−−
MVAMVAPP
MVAMVAMVAPPP
Ss 400300885481.01088.0
200100010510018.11075.7 400300
3200
4100
70
- puterea medie furnizată de sistem
M[Ss] = 0⋅P0 + 100⋅P100 + 200⋅P200 + 300⋅P300 + 400⋅P400 = 387.84258 [MVA]
- energia medie nelivrată datorită defectării blocurilor
ΔW = 400⋅87600 - 100⋅P100⋅87600 - 200⋅P200⋅87600 –
- 300⋅P300⋅87600 - 400⋅P400⋅87600 = 106498,999 [MVAh]
5.3 Metode bazate pe procese stochastice
Metodele bazate pe procese stochastice modelează evoluţia sistemului în două spaţii, spaţiul timp şi spaţiul stărilor. Ambele spaţii pot fi continui sau discrete.
Timpul, perceput de om ca având caracter continuu, poate fi discretizat dacă observaţiile asupra sistemului se fac pe intervale discrete.
Spaţiul stărilor, analizat cu metodele anterioare ca fiind discret, poate deveni continuu dacă parametrul care defineşte stările este continuu.
Rezultă patru combinaţii posibile redate în tabelul 5.3.
Tabelul 5.3 Ipoteze de analiză a fiabilităţii sistemelor
Spaţiul timp Spaţiul stărilor Denumirea consacrată pentru proces continuu continuu proces stochastic cu parametru continuu continuu discret lanţ stochastic cu parametru continuu discret continuu proces stochastic cu parametru discret discret discret lanţ stachastic cu parametru discret
Procesele la care timpii de funcţionare şi de defect au distribuţie exponenţială t
f etf λλ −=)(
td etf μμ −=)(
unde λ este intensitatea de defectare iar μ este intensitatea de reparare, ambele constante, poartă denumirea de procese Markov. Modelele Markov reflectă acceptabil fiabilitatea sistemelor formate din elemente cu fiabilitate ridicată în perioada lor de maturitate. Literatura le recomandă pentru sistemele electrice şi electronice. Modelele Markov presupun că sistemul modelat nu are memorie. Toate informaţiile pentru evoluţia ulterioară se găsesc în ultima stare.
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 238
Spre deosebire de modelele anterioare, modelele bazate pe procese stochastice (inclusiv Markov) pot reflecta şi unele forme de dependenţă între elemente şi, în plus, permit calculul unor indicatori suplimentari.
5.3.1 Modelarea fiabilităţii sistemelor prin lanţuri Markov cu parametru continuu
5.3.1.1 Modelul general
Modelul presupune că spaţiul timpului este continuu iar spaţiul stărilor este discret, situaţie asemănătoare cu cea modelată cu metoda binomială anterior, cu deosebirea că, de această dată, modelul reflectă dinamica sistemului, traiectoria acestuia în spaţiul stărilor.
Modelul va fi guvernat de două categorii de probabilităţi:
- vectorul pi(t) al probabilităţilor absolute ale stărilor, de rang egal cu mulţimea stărilor sistemului.
Probabilităţile absolute sunt măsura evenimentului ca sistemul să se găsească în starea i la momentul t.
- matricea pij(t, t+dt) a probabilităţilor de tranziţie (de trecere) între două stări pereche, matrice de acelaşi rang ca şi vectorul anterior.
Probabilităţile de trecere reprezintă măsura evenimentului ca sistemul, aflându-se în starea i la momentul t, să treacă în starea j la momentul t+dt aşa cum este sugerat în figura 5.10.
pj(t+dt)
pij(t, t+dt)
pi(t)
Fig. 5.10 Un fragment din traiectoria sistemului în spaţiul stărilor
Pornind de la precizarea, făcută deja la celelalte metode, că o stare a sistemului este o combinaţie de stări ale elementelor sale, trecerea acestuia dintr-o stare în alta presupune schimbarea stării a cel puţin unuia din elemente. În cazul nostru, schimbarea stării presupune defectarea sau repararea unui element.
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 239
Dacă se admite că probabilitatea producerii simultane a două sau mai multe evenimente (defectări sau reparări) este nulă, ipoteză exprimată de relaţia
2;0),( ≥=+ kdtttpkij
atunci procesul poartă numele de proces omogen.
Două sau mai multe evenimente care se produc simultan sunt deja consacrate sub numele de defecte de mod comun. Ele pot fi modelate prin procese stochastice în special pentru k = 2 (două defectări, reparări simultane sau o defectare simultană cu o reparare).
Dacă există relaţia
kptp jjt==
∞→)(lim
procesul este ergodic.
Ergodicitatea simplifică mult calculele. Sistemele bine proiectate, realizate şi întreţinute în perioada lor de maturitate şi în condiţii normale de solicitare se apropie de procesele omogene şi ergodice. Totodată, stările de uzură, de suprasolicitare, etc. îndepărtează sistemele de cele omogene şi ergodice.
Modelul lanţ Markov cu parametru continuu are ca date de intrare intensităţile de defectare λi şi de reparare μi a elementelor ca şi structura sistemului exprimată sub formă de graf al stărilor. Pe baza lor se calculează probabilităţile absolute ale stărilor sistemului din care rezultă toţi indicatorii de fiabilitate (performabilitate).
Pentru calculul probabilităţilor absolute ale stărilor se construieşte următorul model, cunoscut sub numele de ecuaţiile Kolmogorov:
∑≠
+++⋅=+ji
jijjjj dtttpdtttptpdttp ),(),()()(
Sistemul se poate afla în starea j rămânând acolo din momentul anterior sau trecând în intervalul dt de după t din oricare altă stare în starea j. Totodată, se poate scrie relaţia
∑≠
+−=+ji
jijj dtttpdtttp ),(1),(
pentru că sistemul poate rămâne în starea j sau trece în oricare altă stare, neexistând altă posibilitate.
Din definiţia intensităţii de tranziţie, rezultă
dttdtttp ijij )(),( λ=+
Ca urmare,
∑∑≠≠
+−⋅=+ji
ijiji
jijj tpdttpdtttp λλ )()1()(),(
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 240
de unde rezultă
dt
dttpdttpdt
tpdttpdttp
dttpdttp
jiji
jiijij
jji
ijiji
jijjj
∑ ∑
∑∑
≠ ≠
≠≠
+−=
=−+−
=−+
λλ
λλ
)())((
)()()1)(()()(
şi, ca urmare
∑∑≠≠
+−⋅=ji
ijiji
jijj tptptp λλ )()()()('
Dacă se notează
jjji
ji λλ =−∑≠
se poate scrie sistemul matricial de ecuaţii
)()(' tpqtp iiji ⋅=
Vectorii ⎮pi’(t)⎮ şi ⎮pi(t)⎮reprezintă derivatele respectiv funcţiile
probabilităţilor absolute ale stărilor sistemului. Rangul lor este egal cu numărul stărilor sistemului. Matricea ⎮qij⎮ poate fi scrisă, conform celor precizate anterior, folosind trei reguli simple, operaţii facilitate dacă este urmărit graful stărilor, graf ce constituie dată de intrare în model:
- rangul matricii ⎮qij⎮ este egal cu numărul de stări al sistemului;
- termenii care nu sunt pe diagonala principală reprezintă intensităţile de trecere din starea corespunzătoare coloanei în starea corespunzătoare liniei matricei şi vor reprezenta intensităţile de defectare λ (reparare μ) a elementului prin a cărei defectare (reparare) se produce trecerea respectivă;
- termenii de pe diagonala principală rezultă din convenţia anterioară
jjji
ji λλ =−∑≠
sau, altfel spus, din condiţia ca suma termenilor pe coloanele matricii ⎮qij⎮ să fie nulă.
S-a obţinut un sistem de ecuaţii diferenţiale
)()(' tpqtp iiji ⋅=
care poate fi rezolvat dacă se cunosc condiţiile la limită. Ca urmare, este necesar să se introducă vectorul pi(0) al stărilor iniţiale. Acesta are, evident, toţi termenii nuli
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 241
cu excepţia termenului corespunzător stării iniţiale care are valoarea 1. Dacă se porneşte din starea 1 care reprezintă de obicei cea cu toate elementele în funcţiune, rezultă
0..01
)0( =ip
Prin integrarea sistemului de ecuaţii se obţine vectorul funcţiilor care reprezintă evoluţia în timp a probabilităţilor sistemului neergodic. repetând integrarea cu diferite stări iniţiale pot rezulta indicatori privind evoluţia sistemului. Un exemplu este probabilitatea ca într-un anumit interval de timp t să se ajungă într-o anumită stare, cum ar fi cea nedorită sau catastrofală.
Dacă sistemul este ergodic, exprimat prin
kptp iit==
∞→)(lim
rezultă
0)(' =tpi iar sistemul de ecuaţii diferenţiale devine sistem de ecuaţii algebrice cu coeficienţi de forma
0=⋅ iij pq
Pentru a evita soluţia banală unică, se adaugă condiţia Σpi = 1 (stările sistemului formează un sistem complet de evenimente) care înlocuieşte una din ecuaţiile sistemului.
Din rezolvarea sistemului de ecuaţii se obţine vectorul ⎮pi⎮ ce conţine probabilităţile constante ale stărilor sistemului din care se pot obţine ceilalţi indicatori ai acestuia.
5.3.1.2 Etapele şi relaţiile de calcul la aplicarea modelului “lanţ Markov cu parametru continuu”
I. Date de intrare:
- intensităţile de defectare λi şi de reparare μi ale elementelor sistemului;
- structura sistemului sub formă de graf al stărilor.
II. Întocmirea grafului stărilor
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 242
Graful stărilor are drept noduri stările sistemului, numărul lor fiind cuprins între (nes+1) pentru un sistem serie cu elemente dependente sau pentru un sistem paralel format din (nes) elemente identice şi 2nes pentru un sistem format din nes elemente binare independente. Laturile sistemului sunt dublu orientate şi reprezentate de intensităţile de defectare şi de reparare a elementelor prin a căror defectare (reparare) se produce tranziţia respectivă.
Întocmirea grafului stărilor presupune următoarele operaţii:
a) Definirea stărilor (nodurilor), calculul numărului lor şi definirea fiecărei stări ca o combinaţie de stări ale elementelor
b) Definirea tranziţiilor între stări ce presupune următoarele reguli:
- la sistemele formate din elemente independente şi guvernate de un proces omogen, tranziţiile se vor face numai între submulţimile de stări ale sistemului la care diferenţa dintre numărul de elemente defecte este 1 şi nu vom avea tranziţii în interiorul acestor submulţimi;
- la sistemele cu elemente dependente serie nu vom avea plecări cărora le corespund defectări de elemente ci numai cele care corespund restabilirilor (reparărilor) de elemente;
- la sistemele cu elemente dependente paralel, intensităţile de defectare şi reparare a fiecărui element depind de starea din care se pleacă; rezultă că numărul de intensităţi λ (μ) va fi mult mai mare decât la sistemele cu elemente independente.
III. Scrierea matricei ⎮qij⎮
Operaţiunea se face comod pornind de la graful stărilor şi de la cele trei reguli rezultate din modelul teoretic:
- rangul matricei este egal cu numărul de stări al sistemului (nss);
- termenii care nu sunt pe diagonala principală reprezintă intensităţile de trecere din starea corespunzătoare coloanei în starea corespunzătoare liniei matricei;
- termenii de pe diagonala principală rezultă din condiţia ca suma tuturor termenilor de pe coloană să fie zero.
IV. Scrierea sistemului de ecuaţii
Se face în două ipoteze:
a) Sistem guvernat de un proces ergodic, caz în care avem un sistem de ecuaţii algebrice cu coeficienţi constanţi, de forma
0=⋅ iij pq
la care se adaugă condiţia Σpi = 1. Ipoteza este valabilă pentru calculul unor indicatori de fiabilitate pe termen lung ai sistemului.
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 243
b) Sistem guvernat de un proces neergodic la care se urmăreşte probabilitatea ca acesta să se găsească, la un moment dat, într-o anumită stare pj(t):
)()( ' tptpq iiij =⋅
cu pi(0) cunoscuţi, în cazul în care se analizează indicatori privind comportarea sistemului pe termen scurt, de exemplu 24 de ore, pentru conducerea operativă a sistemului energetic.
În cele ce urmează, se ilustrează toate situaţiile anterioare pentru cazul celui mai simplu dintre sisteme, sistemul cu un singur element reparabil.
5.3.1.3 Sistem format dintr-un singur element binar
I. Datele de intrare: intensitatea de defectare, λ; intensitatea de reparare, μ.
II. Graful stărilor
Există 21 stări: starea de funcţionare, 1; starea de defect, 0,
aşa cum se reprezintă în figura 5.11.
1
λ
0
μS
R
Fig. 5.11 Graful stărilor pentru sistemul cu un singur element
III. Matricea ⎮qij⎮
01
01
μλμλ−
−=ijq
IV. Sistemul de ecuaţii
a) Cazul sistemului ergodig:
00
2
1 =⋅−
−pp
μλμλ
de unde rezultă:
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 244
⎩⎨⎧
=−=+−0
0
21
21
pppp
μλμλ
Sistemul nu poate fi rezolvat, cea de a doua ecuaţie fiind prima cu semn schimbat. Una din ecuaţii se înlocuieşte cu p1 + p0 = 1 şi obţinem:
⎩⎨⎧
=+=+−
10
21
21
pppp μλ
de unde rezultă
μλλ
μλμ
+==
+== 01 pQpP ss
relaţii cunoscute de la capitolul indicatori de fiabilitate.
Durata totală medie de funcţionare într-un interval dat T este
TTPtM s μλμα+
==)]([
iar durata totală medie de defectare pe acelaşi interval va fi
TTQtM s μλλα+
==)]([
Media timpului de funcţionare neîntreruptă este
λ1][ =fTM
iar numărul mediu de defectări într-un interval de referinţă este
TpTpTM
tMtMf
λ
λ
αυ 11
1][)]([)]([ ===
Ultima relaţie poate fi generalizată pentru un sistem cu S stări de succes şi R stări de refuz:
∑ ∑∈ ∈
=Si Rj
iji TptM )()]([ λυ
Cunoscând numărul mediu de defecţiuni pe un interval dat, se poate determina durata medie de funcţionare neîntreruptă
)]([)]([][
tMtMTM f υ
α=
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 245
şi durate medie de reparare neîntreruptă
)]([)]([)][
tMtMTM f υ
β=
Intensităţile λes şi μes de defectare şi respectiv de reparare echivalente ale sistemului sunt date de relaţiile:
)]([)]([
tMtM
es αυλ =
)]([)]([
tMtM
es βυμ =
relaţii care pot fi folosite la echivalarea sistemului cu un pseudoelement echivalent, la abordarea calculelor “în trepte” a sistemelor complexe.
Particularizarea relaţiei pentru calculul M[ν(t) poate permite determinarea numărului mediu de sosiri (plecări) într-o sau dintr-o stare dată:
∑≠
=ij
jijsi TpNM λ
∑≠
=ij
ijjpli TpNM λ
unde MNsi este numărul mediu de sosiri în starea i iar MNpli este numărul mediu de plecări din starea i.
b) Cazul sistemului guvernat de un proces neergodig
Diferenţa faţă de ipoteza anterioară apare la scrierea sistemului de ecuaţii
)()(' tpqtp iiji ⋅=
cu condiţia iniţială
01
)0(' =ip
Rezultă
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
−+−
==
0)0(1)0()()()()(
)()(
1
01
01'0
'1
opptptptptp
tptp
μλμλ
Sistemul se poate rezolva folosind transformarea Laplace. Se obţine
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 246
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−+
=
++
+=
+−
+−
)1()(
)(
)(0
)(1
t
t
etp
etp
μλ
μλ
μλλ
μλλ
μλμ
care, pentru t → ∞, devin identice cu relaţiile din ipoteza anterioară, a ergodicităţii sistemului.
5.3.1.4 Sistem binar format din două elemente binare diferite independente
Se vor considera două cazuri, reprezentate de un sistem serie (a) şi respectiv unul paralel (b). Pentru primele etape, până la gruparea stărilor, modelul este comun celor două cazuri.
I. Datele de intrare: λ1 şi μ1 pentru primul element al sistemului; λ2 şi μ2 pentru al doilea element al sistemului.
II. Graful stărilor
Este reprezentat în figura 5.12 unde, pentru fiecare nod, s-a notat, pentru elementul 1 şi respectiv al doilea, starea lor: f = funcţionare şi d = defect.
λ1
μ1S
R
S
R
1f f
2f d
3d f
4d d
μ1
λ1
μ2
λ2
λ2
μ2
Sistem serie (a)
Sistem paralel (b)
Fig.5.12 Graful stărilor pentru un sistem binar cu două elemente diferite independente
III. Matricea ⎮qij⎮
Matricea este de rang 22 = 4. Ea se determină conform regulilor prezentate anterior rezultând astfel:
IV. Sistemul de ecuaţii
În ipoteza ergodicităţii, pentru ambele cazuri, a şi b, sistemul este de forma:
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 247
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+++=+−=++−=++−=+++−
00)(0)(0)(0)(
4321
213221
4232111
4121212
3122121
pppppp
pppppp
ppp
μμλλμλμλμλμλ
μμλλ
Renunţând la una din primele patru ecuaţii şi rezolvând sistemul rezultă:
1122
1
2
2
21
2
1
14
11
13
12
22
21
1
2
2
21
2
1
1
2
2
1
11
1
1
ppp
pp
pp
p
⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⋅++
⋅=
=
=
+⋅+
+⋅+++
=
τλμ
λμλ
λμλ
μλ
μλμλ
μμλ
μλ
μμλ
μλ
μλ
μλ
a) Pentru sistemul serie format din două elemente independente se parcurg paşii următori:
Va. Gruparea stărilor
S = [S1] R = [S2, S3, S4]
VIa. Calculul probabilităţilor grupelor de stări
PS = p1 PR = p2 + p3 + p4
VIIa. Calculul indicatorilor de fiabilitate
τμλ
μλ
+++==
2
2
1
11
1
1pPss
11
1
2
2432 ppppQss ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=++= τ
μλ
μλ
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 248
τμλ
μλα
+++==
2
2
1
11
1)]([ TTptM
11
1
2
2)]([ pTtM ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++= τ
μλ
μλβ
121 )()]([ pTtM λλν +=
21121
1 1)()]([
)]([][λλλλν
α+
=+
==pT
TptMtMTM f
21
1
1
2
2
121
11
1
2
2
)()]([)]([][
λλ
τμλ
μλ
λλ
τμλ
μλ
νβ
+
++=
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
==pT
pT
tMtMTM d
Intensitatea de defectare echivalentă este
21][1 λλλ +==
fes TM
concluzia fiind că la sistemul serie se conservă exponenţialitatea distribuţiei timpului de funcţionare neîntreruptă.
Intensitatea de reparare echivalentă este
τμλ
μλ
λλμ++
+==
1
1
2
2
21
][1
res TM
b) Aceeaşi paşi se parcurg pentru sistemul paralel:
Vb. Gruparea stărilor
S = [S1, S2, S3] R = [S4]
VIb. Calculul probabilităţilor grupelor de stări
PS = p1 + p2 + p3 = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
1
1
2
21 1
μλ
μλp
PR = p4 = p1τ
VIIb. Calculul indicatorilor de fiabilitate
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 249
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
1
1
2
21 1
μλ
μλpPsp
τ14 ppQsp ==
TpTPtM sp ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++==
1
1
2
21 1)]([
μλ
μλα
TpTptM τβ 14)]([ ==
TpTpTpTptM 21
111
2
212312)]([ λ
μλλ
μλλλν +=+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
++=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
==
1221
1
1
2
2
1
21
2
211
1
1
2
21
11
11
)]([)]([][
μμλλ
μλ
μλ
μλλ
μλλ
μλ
μλ
να
Tp
Tp
tMtMTM f
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
==
1221
1
21
2
211
1
11)]([)]([][
μμλλ
τ
μλλ
μλλ
τνβ
Tp
TptMtMTM r
1
1
2
2
2121
21
1
)(
][1
μλ
μλ
λλμμλλ
λ++
+==
fes TM
τ
λλμμλλ
μ)(
][1 21
21
21 +==
des TM
5.3.1.5 Sistem binar format din două elemente binare identice
Vom considera şi de această dată sistemul serie (a) şi cel paralel (b).
Particularitatea faţă de sistemul tratat în §5.3.1.4 este că elementele, fiind identice, la definirea stărilor sistemului nu se porneşte de la care elemente sunt în funcţiune (defecte) ci de la câte elemente sunt în funcţiune (defecte).
La stabilirea tranziţiilor se multiplică λ cu numărul de elemente în funcţiune în starea din care se pleacă şi μ cu minimul dintre numărul de elemente defecte în
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 250
starea din care se pleacă (NED) şi numărul de echipe de reparaţii disponibile (NER):
),min( NERNEDk =μ
În cele ce urmează vom considera NER nerestrictiv ceea ce înseamnă că există atâtea echipe câte sunt necesare.
Pentru ambele tipuri de sisteme, (a) şi (b):
I. Datele de intrare: λ1 = λ2 = λ μ1 = μ2 = μ
II. Graful stărilor este redat în figura 5.13.
μ S
R
S
R
12f
231f1d
42d
λ
Sistem serie (a)
Sistem paralel (b)
2λ
2μ
Fig.5.13 Graful stărilor pentru un sistem binar cu două elemente identice independente
III. Matricea qij
μλμμλλ
μλ
242)(223
214231
−−+−
−−=ijq
IV. Sistemul de ecuaţii în ipoteza ergodicităţii
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=++=−=++−=−
0002)(202
4231
4223
423
231
ppppppp
pp
μλμμλλ
μλ
Soluţiile sistemului sunt:
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 251
12
2
4
123
2
21
2
21
1
pp
pp
p
μλμλ
μλ
μλ
=
=
++=
Pentru sistemul serie:
Va. Gruparea stărilor S = [S1] şi R = [S23, S4]
VIa. Calculul probabilităţilor grupelor de stări
PS = pS1 şi PR = pS23 + pS4
VIIa. Calculul indicatorilor de fiabilitate
2
21 21
1
μλ
μλ++
== pPss
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+= 2
2
14232
μλ
μλpppQss
1
1
2
21)]([
μλ
μλα
++==
TTPtM ss
TpTQtM ss ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+== 2
2
12)]([
μλ
μλβ
2
21 21
22)]([
μλ
μλλλν++
==TTptM
λλνα
21
2)]([)]([][
1
1 ===Tp
TptMtMTM f
λμλ
μλ
λμλ
μλ
νβ
2
2
2
2
)]([)]([][
2
2
1
2
2
1 +=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
==Tp
Tp
tMtMTM d
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 252
λλ 2][
1==
fes TM
2
222
][1
μλ
μλ
λμ+
==d
es TM
Pentru sistemul paralel:
Vb. Gruparea stărilor S = [S1, S23] şi R = [ S4]
VIb. Calculul probabilităţilor grupelor de stări
PS = pS1 + p23 şi PR = pS4
VIIb. Calculul indicatorilor de fiabilitate
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
μλ211pPsp
2
2
1 μλpQsp =
TPtM ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
μλα 21)]([ 1
TptM 2
2
1)]([μλβ =
TpTpTptMμλλ
μλλν
2
1123 22)]([ ===
μλμλ
μλμλ
να
22
1
1
2
21
2
21
)]([)]([][
+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
==Tp
Tp
tMtMTM f
μμλμλ
νβ 1
2
2
)]([)]([][ 2
1
2
2
1
===Tp
Tp
tMtMTM d
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 253
μλ
μλ
λ 21
2
][1
2
+==
fes TM
μμ ==][
1
des TM
5.3.1.6 Sistem binar format din n elemente serie, binare, diferite, dependente serie
Dependenţa de tip serie se materializează în faptul că la ieşirea din funcţiune a unui element sistemul serie iese din funcţiune, celelalte elemente nu mai sunt solicitate şi deci nu se mai defectează. Ca urmare, în graful stărilor nu mai apar noduri corespunzătoare stărilor cu mai mult de un elemente defect.
Numărul total de stări al sistemului va fi nss = nes + 1.
I. Datele de intrare: λ1, λ2, ………, λi, ………., λn
μ1, μ2, ………, μ3, ………., μn
II. Graful stărilor
Este reprezentat în figura 5.14.
μi S
R
0f.f.f
nend
λi
μ1
ieid
2e2d
1e1d
λ1 λ2
μ2
λn
μn
Fig.5.14 Graful stărilor pentru un sistem binar cu n elemente identice dependente serie; cu eid s-a notat elementul i defect şi celelalte în funcţiune
III. Matricea qij
Rangul matricei este n+1.
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 254
nn
i
ni
n
ii
ij
n
i
ni
q
μλ
λμ
μλ
μμμμλ
−
−−
−
=
∑=
...
..1
.0
210
2
11
211
IV. Sistemul de ecuaţii
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
=−−−−−−
=+−−−−−
=+
=+−
∑
∑∑
=
==
0
0
0
0
0
1
0
0
1101
110
n
ii
nnn
iii
n
iii
n
ii
p
pp
pp
pp
pp
μλ
λλ
μλ
μλ
Soluţiile sunt probabilităţile absolute ale stărilor:
0
0
01
11
1
0
.......................
.......................
......................
1
1
pp
pp
pp
p
n
nn
i
ii
n
i i
i
μλ
μλ
μλ
μλ
=
=
=
+=
∑=
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 255
V. Gruparea stărilor: S = [S0] R = [S1, S2, ….., Sn]
VI. Calculul probabilităţilor grupelor de stări
Ps = po PR = Σpi, i = 1, 2, …., n
VII. Calculul indicatorilor de fiabilitate ai sistemului
∑=
+== n
i i
iss pP
1
0
1
1
μλ
∑∑==
==n
i i
in
iiss ppQ
10
1 μλ
TTPtM n
i i
iss
∑=
+==
11
1)]([
μλ
α
TpTQtMn
i i
iss ∑
=
==1
0)]([μλβ
TptMn
ii∑
=
=1
0)]([ λν
∑∑==
=== n
ii
n
ii
f
Tp
TptMtMTM
110
0 1)]([)]([][
λλνα
∑
∑
∑
∑
=
=
=
= === n
ii
n
i i
i
n
ii
n
i i
i
d
Tp
Tp
tMtMTM
1
1
10
10
)]([)]([][
λ
μλ
λ
μλ
νβ
∑=
==n
ii
fes TM 1][
1 λλ
∑
∑
=
=== n
i i
i
n
ii
des TM
1
1
][1
μλ
λμ
În cazul elementelor identice, rezultă
FIABILITATE, PERFORMABILITATE ŞI RISC INDUSTRIAL 256
λλ nes =
μ
μλλμ == n
nes
Ultimele două relaţii sunt importante pentru sistemele tehnice omogene de tipul liniilor electrice, conductelor pentru transportul fluidelor, etc. caracterizate prin lungimea lor L [km] şi intensităţile de defectare λ0 şi de reparare specifice, pe unitatea de lungime [1/h⋅km]. Rezultă
λlinie = λ0 ⋅ L şi μlinie = μ0
Ultima relaţie este logică deoarece timpul de reparare a liniei este identic cu cel de reparare a unei unităţi de lungime a acesteia şi, ca urmare, intensitatea de reparare a liniei este egală cu μ0.
top related