curs 7: vectori si valori proprii - utclujusers.utcluj.ro/~todeacos/curs7.pdf · curs 7: vectori...
Post on 02-Jan-2020
49 Views
Preview:
TRANSCRIPT
CURS 7: Vectori si valori proprii
Cluj-Napoca
”Un vector propriu al unei matrici este un vector (coloana) caredupa ce este ınmultit cu matricea nu-si schimba directia!”
Pe langa relevanta matematica vectorii si valorile proprii ale unormatrici au aplicatii ın:
mecanica cuantica;
procesarea imaginilor;
algoritmul Page Rank pe care se bazeaza cautarile Google!
Ingineria STRUCTURILOR:-pentru determinarea frecventele proprii ale vibratiilor unorcladiri sau poduri (valorile pr.);-pentru determinarea formelor acestor vibratii (vectorii pr.).
”Un vector propriu al unei matrici este un vector (coloana) caredupa ce este ınmultit cu matricea nu-si schimba directia!”Pe langa relevanta matematica vectorii si valorile proprii ale unormatrici au aplicatii ın:
mecanica cuantica;
procesarea imaginilor;
algoritmul Page Rank pe care se bazeaza cautarile Google!
Ingineria STRUCTURILOR:-pentru determinarea frecventele proprii ale vibratiilor unorcladiri sau poduri (valorile pr.);-pentru determinarea formelor acestor vibratii (vectorii pr.).
”Un vector propriu al unei matrici este un vector (coloana) caredupa ce este ınmultit cu matricea nu-si schimba directia!”Pe langa relevanta matematica vectorii si valorile proprii ale unormatrici au aplicatii ın:
mecanica cuantica;
procesarea imaginilor;
algoritmul Page Rank pe care se bazeaza cautarile Google!
Ingineria STRUCTURILOR:-pentru determinarea frecventele proprii ale vibratiilor unorcladiri sau poduri (valorile pr.);-pentru determinarea formelor acestor vibratii (vectorii pr.).
”Un vector propriu al unei matrici este un vector (coloana) caredupa ce este ınmultit cu matricea nu-si schimba directia!”Pe langa relevanta matematica vectorii si valorile proprii ale unormatrici au aplicatii ın:
mecanica cuantica;
procesarea imaginilor;
algoritmul Page Rank pe care se bazeaza cautarile Google!
Ingineria STRUCTURILOR:-pentru determinarea frecventele proprii ale vibratiilor unorcladiri sau poduri (valorile pr.);-pentru determinarea formelor acestor vibratii (vectorii pr.).
”Un vector propriu al unei matrici este un vector (coloana) caredupa ce este ınmultit cu matricea nu-si schimba directia!”Pe langa relevanta matematica vectorii si valorile proprii ale unormatrici au aplicatii ın:
mecanica cuantica;
procesarea imaginilor;
algoritmul Page Rank pe care se bazeaza cautarile Google!
Ingineria STRUCTURILOR:-pentru determinarea frecventele proprii ale vibratiilor unorcladiri sau poduri (valorile pr.);-pentru determinarea formelor acestor vibratii (vectorii pr.).
”Un vector propriu al unei matrici este un vector (coloana) caredupa ce este ınmultit cu matricea nu-si schimba directia!”Pe langa relevanta matematica vectorii si valorile proprii ale unormatrici au aplicatii ın:
mecanica cuantica;
procesarea imaginilor;
algoritmul Page Rank pe care se bazeaza cautarile Google!
Ingineria STRUCTURILOR:
-pentru determinarea frecventele proprii ale vibratiilor unorcladiri sau poduri (valorile pr.);-pentru determinarea formelor acestor vibratii (vectorii pr.).
”Un vector propriu al unei matrici este un vector (coloana) caredupa ce este ınmultit cu matricea nu-si schimba directia!”Pe langa relevanta matematica vectorii si valorile proprii ale unormatrici au aplicatii ın:
mecanica cuantica;
procesarea imaginilor;
algoritmul Page Rank pe care se bazeaza cautarile Google!
Ingineria STRUCTURILOR:-pentru determinarea frecventele proprii ale vibratiilor unorcladiri sau poduri (valorile pr.);
-pentru determinarea formelor acestor vibratii (vectorii pr.).
”Un vector propriu al unei matrici este un vector (coloana) caredupa ce este ınmultit cu matricea nu-si schimba directia!”Pe langa relevanta matematica vectorii si valorile proprii ale unormatrici au aplicatii ın:
mecanica cuantica;
procesarea imaginilor;
algoritmul Page Rank pe care se bazeaza cautarile Google!
Ingineria STRUCTURILOR:-pentru determinarea frecventele proprii ale vibratiilor unorcladiri sau poduri (valorile pr.);-pentru determinarea formelor acestor vibratii (vectorii pr.).
Recapitulare liceu: MATRICI, CORPURI
S.n. corp comutativ tripletul (K ,+, ·) a.ı.-(K ,+) este grup comutativ,
-(K ∗, ·) este grup comutativ,-”·” distributiva fata de ”+”. (K ∗ = K \ {0}).
Ex . de corpuri : (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+·)(Z,+, ·) este inel comutativ care NU e corp;
Mn(K ) este inel necomutativ, care NU e corp- inelulmatricilor patratice cu n linii si coloane, cu elemente din K ;
Recapitulare liceu: MATRICI, CORPURI
S.n. corp comutativ tripletul (K ,+, ·) a.ı.-(K ,+) este grup comutativ,-(K ∗, ·) este grup comutativ,
-”·” distributiva fata de ”+”. (K ∗ = K \ {0}).
Ex . de corpuri : (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+·)(Z,+, ·) este inel comutativ care NU e corp;
Mn(K ) este inel necomutativ, care NU e corp- inelulmatricilor patratice cu n linii si coloane, cu elemente din K ;
Recapitulare liceu: MATRICI, CORPURI
S.n. corp comutativ tripletul (K ,+, ·) a.ı.-(K ,+) este grup comutativ,-(K ∗, ·) este grup comutativ,-”·” distributiva fata de ”+”.
(K ∗ = K \ {0}).
Ex . de corpuri : (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+·)(Z,+, ·) este inel comutativ care NU e corp;
Mn(K ) este inel necomutativ, care NU e corp- inelulmatricilor patratice cu n linii si coloane, cu elemente din K ;
Recapitulare liceu: MATRICI, CORPURI
S.n. corp comutativ tripletul (K ,+, ·) a.ı.-(K ,+) este grup comutativ,-(K ∗, ·) este grup comutativ,-”·” distributiva fata de ”+”. (K ∗ = K \ {0}).
Ex . de corpuri : (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+·)(Z,+, ·) este inel comutativ care NU e corp;
Mn(K ) este inel necomutativ, care NU e corp- inelulmatricilor patratice cu n linii si coloane, cu elemente din K ;
Recapitulare liceu: MATRICI, CORPURI
S.n. corp comutativ tripletul (K ,+, ·) a.ı.-(K ,+) este grup comutativ,-(K ∗, ·) este grup comutativ,-”·” distributiva fata de ”+”. (K ∗ = K \ {0}).
Ex . de corpuri : (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+·)
(Z,+, ·) este inel comutativ care NU e corp;
Mn(K ) este inel necomutativ, care NU e corp- inelulmatricilor patratice cu n linii si coloane, cu elemente din K ;
Recapitulare liceu: MATRICI, CORPURI
S.n. corp comutativ tripletul (K ,+, ·) a.ı.-(K ,+) este grup comutativ,-(K ∗, ·) este grup comutativ,-”·” distributiva fata de ”+”. (K ∗ = K \ {0}).
Ex . de corpuri : (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+·)(Z,+, ·) este inel comutativ care NU e corp;
Mn(K ) este inel necomutativ, care NU e corp- inelulmatricilor patratice cu n linii si coloane, cu elemente din K ;
Recapitulare liceu: MATRICI, CORPURI
S.n. corp comutativ tripletul (K ,+, ·) a.ı.-(K ,+) este grup comutativ,-(K ∗, ·) este grup comutativ,-”·” distributiva fata de ”+”. (K ∗ = K \ {0}).
Ex . de corpuri : (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+·)(Z,+, ·) este inel comutativ care NU e corp;
Mn(K ) este inel necomutativ, care NU e corp- inelulmatricilor patratice cu n linii si coloane, cu elemente din K ;
Pentru A ∈Mn(K )
notam cu A∗ reciproca lui A data de
A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n
unde Aij = (−1)i+j∆ij , iar ∆ij este determinantul de ordin(n − 1) obtinut din A taind linia i si coloana j ;( Aij s.n. complementul algebric al aij);
In general A · A∗ = det(A) · In;
O matrice A este inversabila ddaca detA 6= 0. In acest cazinversa este
A−1 =1
detA· A∗.
Obs: In cartile de Algebra Liniara, autor V. Pop; se noteazacu A∗ matricea reciproca si cu A∗ matricea adjuncta ( adica:transpusa conjugatei!).
Pentru A ∈Mn(K ) notam cu A∗ reciproca lui A data de
A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n
unde Aij = (−1)i+j∆ij , iar ∆ij este determinantul de ordin(n − 1) obtinut din A taind linia i si coloana j ;( Aij s.n. complementul algebric al aij);
In general A · A∗ = det(A) · In;
O matrice A este inversabila ddaca detA 6= 0. In acest cazinversa este
A−1 =1
detA· A∗.
Obs: In cartile de Algebra Liniara, autor V. Pop; se noteazacu A∗ matricea reciproca si cu A∗ matricea adjuncta ( adica:transpusa conjugatei!).
Pentru A ∈Mn(K ) notam cu A∗ reciproca lui A data de
A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n
unde Aij = (−1)i+j∆ij ,
iar ∆ij este determinantul de ordin(n − 1) obtinut din A taind linia i si coloana j ;( Aij s.n. complementul algebric al aij);
In general A · A∗ = det(A) · In;
O matrice A este inversabila ddaca detA 6= 0. In acest cazinversa este
A−1 =1
detA· A∗.
Obs: In cartile de Algebra Liniara, autor V. Pop; se noteazacu A∗ matricea reciproca si cu A∗ matricea adjuncta ( adica:transpusa conjugatei!).
Pentru A ∈Mn(K ) notam cu A∗ reciproca lui A data de
A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n
unde Aij = (−1)i+j∆ij , iar ∆ij este determinantul de ordin(n − 1)
obtinut din A taind linia i si coloana j ;( Aij s.n. complementul algebric al aij);
In general A · A∗ = det(A) · In;
O matrice A este inversabila ddaca detA 6= 0. In acest cazinversa este
A−1 =1
detA· A∗.
Obs: In cartile de Algebra Liniara, autor V. Pop; se noteazacu A∗ matricea reciproca si cu A∗ matricea adjuncta ( adica:transpusa conjugatei!).
Pentru A ∈Mn(K ) notam cu A∗ reciproca lui A data de
A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n
unde Aij = (−1)i+j∆ij , iar ∆ij este determinantul de ordin(n − 1) obtinut din A taind linia i si coloana j ;
( Aij s.n. complementul algebric al aij);
In general A · A∗ = det(A) · In;
O matrice A este inversabila ddaca detA 6= 0. In acest cazinversa este
A−1 =1
detA· A∗.
Obs: In cartile de Algebra Liniara, autor V. Pop; se noteazacu A∗ matricea reciproca si cu A∗ matricea adjuncta ( adica:transpusa conjugatei!).
Pentru A ∈Mn(K ) notam cu A∗ reciproca lui A data de
A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n
unde Aij = (−1)i+j∆ij , iar ∆ij este determinantul de ordin(n − 1) obtinut din A taind linia i si coloana j ;( Aij s.n. complementul algebric al aij);
In general A · A∗ = det(A) · In;
O matrice A este inversabila ddaca detA 6= 0. In acest cazinversa este
A−1 =1
detA· A∗.
Obs: In cartile de Algebra Liniara, autor V. Pop; se noteazacu A∗ matricea reciproca si cu A∗ matricea adjuncta ( adica:transpusa conjugatei!).
Pentru A ∈Mn(K ) notam cu A∗ reciproca lui A data de
A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n
unde Aij = (−1)i+j∆ij , iar ∆ij este determinantul de ordin(n − 1) obtinut din A taind linia i si coloana j ;( Aij s.n. complementul algebric al aij);
In general
A · A∗ = det(A) · In;
O matrice A este inversabila ddaca detA 6= 0. In acest cazinversa este
A−1 =1
detA· A∗.
Obs: In cartile de Algebra Liniara, autor V. Pop; se noteazacu A∗ matricea reciproca si cu A∗ matricea adjuncta ( adica:transpusa conjugatei!).
Pentru A ∈Mn(K ) notam cu A∗ reciproca lui A data de
A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n
unde Aij = (−1)i+j∆ij , iar ∆ij este determinantul de ordin(n − 1) obtinut din A taind linia i si coloana j ;( Aij s.n. complementul algebric al aij);
In general A · A∗ = det(A) · In;
O matrice A este inversabila ddaca detA 6= 0. In acest cazinversa este
A−1 =1
detA· A∗.
Obs: In cartile de Algebra Liniara, autor V. Pop; se noteazacu A∗ matricea reciproca si cu A∗ matricea adjuncta ( adica:transpusa conjugatei!).
Pentru A ∈Mn(K ) notam cu A∗ reciproca lui A data de
A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n
unde Aij = (−1)i+j∆ij , iar ∆ij este determinantul de ordin(n − 1) obtinut din A taind linia i si coloana j ;( Aij s.n. complementul algebric al aij);
In general A · A∗ = det(A) · In;
O matrice A este
inversabila ddaca detA 6= 0. In acest cazinversa este
A−1 =1
detA· A∗.
Obs: In cartile de Algebra Liniara, autor V. Pop; se noteazacu A∗ matricea reciproca si cu A∗ matricea adjuncta ( adica:transpusa conjugatei!).
Pentru A ∈Mn(K ) notam cu A∗ reciproca lui A data de
A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n
unde Aij = (−1)i+j∆ij , iar ∆ij este determinantul de ordin(n − 1) obtinut din A taind linia i si coloana j ;( Aij s.n. complementul algebric al aij);
In general A · A∗ = det(A) · In;
O matrice A este inversabila ddaca detA 6= 0. In acest cazinversa este
A−1 =1
detA· A∗.
Obs: In cartile de Algebra Liniara, autor V. Pop; se noteazacu A∗ matricea reciproca si cu A∗ matricea adjuncta ( adica:transpusa conjugatei!).
Pentru A ∈Mn(K ) notam cu A∗ reciproca lui A data de
A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n
unde Aij = (−1)i+j∆ij , iar ∆ij este determinantul de ordin(n − 1) obtinut din A taind linia i si coloana j ;( Aij s.n. complementul algebric al aij);
In general A · A∗ = det(A) · In;
O matrice A este inversabila ddaca detA 6= 0. In acest cazinversa este
A−1 =1
detA· A∗.
Obs: In cartile de Algebra Liniara,
autor V. Pop; se noteazacu A∗ matricea reciproca si cu A∗ matricea adjuncta ( adica:transpusa conjugatei!).
Pentru A ∈Mn(K ) notam cu A∗ reciproca lui A data de
A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n
unde Aij = (−1)i+j∆ij , iar ∆ij este determinantul de ordin(n − 1) obtinut din A taind linia i si coloana j ;( Aij s.n. complementul algebric al aij);
In general A · A∗ = det(A) · In;
O matrice A este inversabila ddaca detA 6= 0. In acest cazinversa este
A−1 =1
detA· A∗.
Obs: In cartile de Algebra Liniara, autor V. Pop; se noteaza
cu A∗ matricea reciproca si cu A∗ matricea adjuncta ( adica:transpusa conjugatei!).
Pentru A ∈Mn(K ) notam cu A∗ reciproca lui A data de
A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n
unde Aij = (−1)i+j∆ij , iar ∆ij este determinantul de ordin(n − 1) obtinut din A taind linia i si coloana j ;( Aij s.n. complementul algebric al aij);
In general A · A∗ = det(A) · In;
O matrice A este inversabila ddaca detA 6= 0. In acest cazinversa este
A−1 =1
detA· A∗.
Obs: In cartile de Algebra Liniara, autor V. Pop; se noteazacu A∗ matricea reciproca si cu A∗ matricea adjuncta
( adica:transpusa conjugatei!).
Pentru A ∈Mn(K ) notam cu A∗ reciproca lui A data de
A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n
unde Aij = (−1)i+j∆ij , iar ∆ij este determinantul de ordin(n − 1) obtinut din A taind linia i si coloana j ;( Aij s.n. complementul algebric al aij);
In general A · A∗ = det(A) · In;
O matrice A este inversabila ddaca detA 6= 0. In acest cazinversa este
A−1 =1
detA· A∗.
Obs: In cartile de Algebra Liniara, autor V. Pop; se noteazacu A∗ matricea reciproca si cu A∗ matricea adjuncta ( adica:
transpusa conjugatei!).
Pentru A ∈Mn(K ) notam cu A∗ reciproca lui A data de
A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n
unde Aij = (−1)i+j∆ij , iar ∆ij este determinantul de ordin(n − 1) obtinut din A taind linia i si coloana j ;( Aij s.n. complementul algebric al aij);
In general A · A∗ = det(A) · In;
O matrice A este inversabila ddaca detA 6= 0. In acest cazinversa este
A−1 =1
detA· A∗.
Obs: In cartile de Algebra Liniara, autor V. Pop; se noteazacu A∗ matricea reciproca si cu A∗ matricea adjuncta ( adica:transpusa conjugatei!).
Fie (K ,+, ·) un corp comutativ si A ∈Mn(K ), n ∈ N∗;
Vom lucra ın problemele de la seminar cu K = R sau K = C.
Defn 6.1: Un scalar λ ∈ K s.n. valoare proprie pt. A daca∃X ∈Mn,1(K ),X 6= 0 (vector coloana) a.ı.
A · X = λ · X .
In acest caz X s.n. vector propriu pentru A, corespunzator luiλ.
Multimea valorilor proprii ale lui A s. n. spectrul matricei A,notat cu Sp(A) ⊂ K .
Daca λ = λ0 este o valoare proprie pentru A, notam cu Vλ0multimea vectorilor proprii corespunzatori lui λ0 (Vλ0 s.nsubspatiul propriu corespunzator lui λ0; vom vedea ca este unsubspatiu vectorial a lui KK
n).
Fie (K ,+, ·) un corp comutativ si A ∈Mn(K ), n ∈ N∗;Vom lucra ın problemele de la seminar cu K = R sau K = C.
Defn 6.1: Un scalar λ ∈ K s.n. valoare proprie pt. A daca∃X ∈Mn,1(K ),X 6= 0 (vector coloana) a.ı.
A · X = λ · X .
In acest caz X s.n. vector propriu pentru A, corespunzator luiλ.
Multimea valorilor proprii ale lui A s. n. spectrul matricei A,notat cu Sp(A) ⊂ K .
Daca λ = λ0 este o valoare proprie pentru A, notam cu Vλ0multimea vectorilor proprii corespunzatori lui λ0 (Vλ0 s.nsubspatiul propriu corespunzator lui λ0; vom vedea ca este unsubspatiu vectorial a lui KK
n).
Fie (K ,+, ·) un corp comutativ si A ∈Mn(K ), n ∈ N∗;Vom lucra ın problemele de la seminar cu K = R sau K = C.
Defn 6.1: Un scalar λ ∈ K
s.n. valoare proprie pt. A daca∃X ∈Mn,1(K ),X 6= 0 (vector coloana) a.ı.
A · X = λ · X .
In acest caz X s.n. vector propriu pentru A, corespunzator luiλ.
Multimea valorilor proprii ale lui A s. n. spectrul matricei A,notat cu Sp(A) ⊂ K .
Daca λ = λ0 este o valoare proprie pentru A, notam cu Vλ0multimea vectorilor proprii corespunzatori lui λ0 (Vλ0 s.nsubspatiul propriu corespunzator lui λ0; vom vedea ca este unsubspatiu vectorial a lui KK
n).
Fie (K ,+, ·) un corp comutativ si A ∈Mn(K ), n ∈ N∗;Vom lucra ın problemele de la seminar cu K = R sau K = C.
Defn 6.1: Un scalar λ ∈ K s.n. valoare proprie pt. A
daca∃X ∈Mn,1(K ),X 6= 0 (vector coloana) a.ı.
A · X = λ · X .
In acest caz X s.n. vector propriu pentru A, corespunzator luiλ.
Multimea valorilor proprii ale lui A s. n. spectrul matricei A,notat cu Sp(A) ⊂ K .
Daca λ = λ0 este o valoare proprie pentru A, notam cu Vλ0multimea vectorilor proprii corespunzatori lui λ0 (Vλ0 s.nsubspatiul propriu corespunzator lui λ0; vom vedea ca este unsubspatiu vectorial a lui KK
n).
Fie (K ,+, ·) un corp comutativ si A ∈Mn(K ), n ∈ N∗;Vom lucra ın problemele de la seminar cu K = R sau K = C.
Defn 6.1: Un scalar λ ∈ K s.n. valoare proprie pt. A daca∃X ∈Mn,1(K ),X 6= 0
(vector coloana) a.ı.
A · X = λ · X .
In acest caz X s.n. vector propriu pentru A, corespunzator luiλ.
Multimea valorilor proprii ale lui A s. n. spectrul matricei A,notat cu Sp(A) ⊂ K .
Daca λ = λ0 este o valoare proprie pentru A, notam cu Vλ0multimea vectorilor proprii corespunzatori lui λ0 (Vλ0 s.nsubspatiul propriu corespunzator lui λ0; vom vedea ca este unsubspatiu vectorial a lui KK
n).
Fie (K ,+, ·) un corp comutativ si A ∈Mn(K ), n ∈ N∗;Vom lucra ın problemele de la seminar cu K = R sau K = C.
Defn 6.1: Un scalar λ ∈ K s.n. valoare proprie pt. A daca∃X ∈Mn,1(K ),X 6= 0 (vector coloana)
a.ı.
A · X = λ · X .
In acest caz X s.n. vector propriu pentru A, corespunzator luiλ.
Multimea valorilor proprii ale lui A s. n. spectrul matricei A,notat cu Sp(A) ⊂ K .
Daca λ = λ0 este o valoare proprie pentru A, notam cu Vλ0multimea vectorilor proprii corespunzatori lui λ0 (Vλ0 s.nsubspatiul propriu corespunzator lui λ0; vom vedea ca este unsubspatiu vectorial a lui KK
n).
Fie (K ,+, ·) un corp comutativ si A ∈Mn(K ), n ∈ N∗;Vom lucra ın problemele de la seminar cu K = R sau K = C.
Defn 6.1: Un scalar λ ∈ K s.n. valoare proprie pt. A daca∃X ∈Mn,1(K ),X 6= 0 (vector coloana) a.ı.
A · X = λ · X .
In acest caz X s.n. vector propriu pentru A, corespunzator luiλ.
Multimea valorilor proprii ale lui A s. n. spectrul matricei A,notat cu Sp(A) ⊂ K .
Daca λ = λ0 este o valoare proprie pentru A, notam cu Vλ0multimea vectorilor proprii corespunzatori lui λ0 (Vλ0 s.nsubspatiul propriu corespunzator lui λ0; vom vedea ca este unsubspatiu vectorial a lui KK
n).
Fie (K ,+, ·) un corp comutativ si A ∈Mn(K ), n ∈ N∗;Vom lucra ın problemele de la seminar cu K = R sau K = C.
Defn 6.1: Un scalar λ ∈ K s.n. valoare proprie pt. A daca∃X ∈Mn,1(K ),X 6= 0 (vector coloana) a.ı.
A · X = λ · X .
In acest caz X s.n.
vector propriu pentru A, corespunzator luiλ.
Multimea valorilor proprii ale lui A s. n. spectrul matricei A,notat cu Sp(A) ⊂ K .
Daca λ = λ0 este o valoare proprie pentru A, notam cu Vλ0multimea vectorilor proprii corespunzatori lui λ0 (Vλ0 s.nsubspatiul propriu corespunzator lui λ0; vom vedea ca este unsubspatiu vectorial a lui KK
n).
Fie (K ,+, ·) un corp comutativ si A ∈Mn(K ), n ∈ N∗;Vom lucra ın problemele de la seminar cu K = R sau K = C.
Defn 6.1: Un scalar λ ∈ K s.n. valoare proprie pt. A daca∃X ∈Mn,1(K ),X 6= 0 (vector coloana) a.ı.
A · X = λ · X .
In acest caz X s.n. vector propriu pentru A,
corespunzator luiλ.
Multimea valorilor proprii ale lui A s. n. spectrul matricei A,notat cu Sp(A) ⊂ K .
Daca λ = λ0 este o valoare proprie pentru A, notam cu Vλ0multimea vectorilor proprii corespunzatori lui λ0 (Vλ0 s.nsubspatiul propriu corespunzator lui λ0; vom vedea ca este unsubspatiu vectorial a lui KK
n).
Fie (K ,+, ·) un corp comutativ si A ∈Mn(K ), n ∈ N∗;Vom lucra ın problemele de la seminar cu K = R sau K = C.
Defn 6.1: Un scalar λ ∈ K s.n. valoare proprie pt. A daca∃X ∈Mn,1(K ),X 6= 0 (vector coloana) a.ı.
A · X = λ · X .
In acest caz X s.n. vector propriu pentru A, corespunzator luiλ.
Multimea valorilor proprii ale lui A s. n. spectrul matricei A,notat cu Sp(A) ⊂ K .
Daca λ = λ0 este o valoare proprie pentru A, notam cu Vλ0multimea vectorilor proprii corespunzatori lui λ0 (Vλ0 s.nsubspatiul propriu corespunzator lui λ0; vom vedea ca este unsubspatiu vectorial a lui KK
n).
Fie (K ,+, ·) un corp comutativ si A ∈Mn(K ), n ∈ N∗;Vom lucra ın problemele de la seminar cu K = R sau K = C.
Defn 6.1: Un scalar λ ∈ K s.n. valoare proprie pt. A daca∃X ∈Mn,1(K ),X 6= 0 (vector coloana) a.ı.
A · X = λ · X .
In acest caz X s.n. vector propriu pentru A, corespunzator luiλ.
Multimea valorilor proprii ale lui A
s. n. spectrul matricei A,notat cu Sp(A) ⊂ K .
Daca λ = λ0 este o valoare proprie pentru A, notam cu Vλ0multimea vectorilor proprii corespunzatori lui λ0 (Vλ0 s.nsubspatiul propriu corespunzator lui λ0; vom vedea ca este unsubspatiu vectorial a lui KK
n).
Fie (K ,+, ·) un corp comutativ si A ∈Mn(K ), n ∈ N∗;Vom lucra ın problemele de la seminar cu K = R sau K = C.
Defn 6.1: Un scalar λ ∈ K s.n. valoare proprie pt. A daca∃X ∈Mn,1(K ),X 6= 0 (vector coloana) a.ı.
A · X = λ · X .
In acest caz X s.n. vector propriu pentru A, corespunzator luiλ.
Multimea valorilor proprii ale lui A s. n. spectrul matricei A,notat cu Sp(A) ⊂ K .
Daca λ = λ0 este o valoare proprie pentru A, notam cu Vλ0multimea vectorilor proprii corespunzatori lui λ0 (Vλ0 s.nsubspatiul propriu corespunzator lui λ0; vom vedea ca este unsubspatiu vectorial a lui KK
n).
Fie (K ,+, ·) un corp comutativ si A ∈Mn(K ), n ∈ N∗;Vom lucra ın problemele de la seminar cu K = R sau K = C.
Defn 6.1: Un scalar λ ∈ K s.n. valoare proprie pt. A daca∃X ∈Mn,1(K ),X 6= 0 (vector coloana) a.ı.
A · X = λ · X .
In acest caz X s.n. vector propriu pentru A, corespunzator luiλ.
Multimea valorilor proprii ale lui A s. n. spectrul matricei A,notat cu Sp(A) ⊂ K .
Daca λ = λ0 este o valoare proprie pentru A,
notam cu Vλ0multimea vectorilor proprii corespunzatori lui λ0 (Vλ0 s.nsubspatiul propriu corespunzator lui λ0; vom vedea ca este unsubspatiu vectorial a lui KK
n).
Fie (K ,+, ·) un corp comutativ si A ∈Mn(K ), n ∈ N∗;Vom lucra ın problemele de la seminar cu K = R sau K = C.
Defn 6.1: Un scalar λ ∈ K s.n. valoare proprie pt. A daca∃X ∈Mn,1(K ),X 6= 0 (vector coloana) a.ı.
A · X = λ · X .
In acest caz X s.n. vector propriu pentru A, corespunzator luiλ.
Multimea valorilor proprii ale lui A s. n. spectrul matricei A,notat cu Sp(A) ⊂ K .
Daca λ = λ0 este o valoare proprie pentru A, notam cu Vλ0
multimea vectorilor proprii corespunzatori lui λ0 (Vλ0 s.nsubspatiul propriu corespunzator lui λ0; vom vedea ca este unsubspatiu vectorial a lui KK
n).
Fie (K ,+, ·) un corp comutativ si A ∈Mn(K ), n ∈ N∗;Vom lucra ın problemele de la seminar cu K = R sau K = C.
Defn 6.1: Un scalar λ ∈ K s.n. valoare proprie pt. A daca∃X ∈Mn,1(K ),X 6= 0 (vector coloana) a.ı.
A · X = λ · X .
In acest caz X s.n. vector propriu pentru A, corespunzator luiλ.
Multimea valorilor proprii ale lui A s. n. spectrul matricei A,notat cu Sp(A) ⊂ K .
Daca λ = λ0 este o valoare proprie pentru A, notam cu Vλ0multimea vectorilor proprii corespunzatori lui λ0
(Vλ0 s.nsubspatiul propriu corespunzator lui λ0; vom vedea ca este unsubspatiu vectorial a lui KK
n).
Fie (K ,+, ·) un corp comutativ si A ∈Mn(K ), n ∈ N∗;Vom lucra ın problemele de la seminar cu K = R sau K = C.
Defn 6.1: Un scalar λ ∈ K s.n. valoare proprie pt. A daca∃X ∈Mn,1(K ),X 6= 0 (vector coloana) a.ı.
A · X = λ · X .
In acest caz X s.n. vector propriu pentru A, corespunzator luiλ.
Multimea valorilor proprii ale lui A s. n. spectrul matricei A,notat cu Sp(A) ⊂ K .
Daca λ = λ0 este o valoare proprie pentru A, notam cu Vλ0multimea vectorilor proprii corespunzatori lui λ0 (Vλ0 s.nsubspatiul propriu corespunzator lui λ0;
vom vedea ca este unsubspatiu vectorial a lui KK
n).
Fie (K ,+, ·) un corp comutativ si A ∈Mn(K ), n ∈ N∗;Vom lucra ın problemele de la seminar cu K = R sau K = C.
Defn 6.1: Un scalar λ ∈ K s.n. valoare proprie pt. A daca∃X ∈Mn,1(K ),X 6= 0 (vector coloana) a.ı.
A · X = λ · X .
In acest caz X s.n. vector propriu pentru A, corespunzator luiλ.
Multimea valorilor proprii ale lui A s. n. spectrul matricei A,notat cu Sp(A) ⊂ K .
Daca λ = λ0 este o valoare proprie pentru A, notam cu Vλ0multimea vectorilor proprii corespunzatori lui λ0 (Vλ0 s.nsubspatiul propriu corespunzator lui λ0; vom vedea ca este unsubspatiu vectorial a lui KK
n).
Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.
a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm
este valoare proprie a lui Am
si X ramane vector propriu pt. Am;
b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);
c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;
d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;
e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);
f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci
a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.
a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am
si X ramane vector propriu pt. Am;
b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);
c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;
d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;
e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);
f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci
a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.
a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am
si X ramane
vector propriu pt. Am;
b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);
c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;
d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;
e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);
f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci
a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.
a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am
si X ramane vector propriu pt. Am;
b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);
c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;
d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;
e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);
f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci
a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.
a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am
si X ramane vector propriu pt. Am;
b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom
atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);
c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;
d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;
e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);
f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci
a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.
a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am
si X ramane vector propriu pt. Am;
b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.
pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);
c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;
d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;
e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);
f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci
a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.
a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am
si X ramane vector propriu pt. Am;
b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X
ramane vector propriu pt. P(A);
c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;
d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;
e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);
f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci
a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.
a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am
si X ramane vector propriu pt. Am;
b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu
pt. P(A);
c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;
d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;
e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);
f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci
a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.
a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am
si X ramane vector propriu pt. Am;
b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);
c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;
d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;
e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);
f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci
a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.
a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am
si X ramane vector propriu pt. Am;
b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);
c) Daca A este matrice inversabila
atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;
d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;
e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);
f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci
a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.
a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am
si X ramane vector propriu pt. Am;
b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);
c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0,
λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;
d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;
e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);
f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci
a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.
a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am
si X ramane vector propriu pt. Am;
b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);
c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1
iar X ramane vector propriu pt. A−1;
d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;
e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);
f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci
a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.
a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am
si X ramane vector propriu pt. Am;
b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);
c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane
vector propriu pt. A−1;
d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;
e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);
f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci
a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.
a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am
si X ramane vector propriu pt. Am;
b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);
c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;
d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;
e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);
f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci
a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.
a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am
si X ramane vector propriu pt. Am;
b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);
c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;
d) Daca B este
o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;
e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);
f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci
a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.
a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am
si X ramane vector propriu pt. Am;
b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);
c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;
d) Daca B este o matrice asemenea
cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;
e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);
f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci
a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.
a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am
si X ramane vector propriu pt. Am;
b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);
c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;
d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila
cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;
e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);
f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci
a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.
a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am
si X ramane vector propriu pt. Am;
b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);
c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;
d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λ
ramane valoare proprie pt. B;
e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);
f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci
a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.
a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am
si X ramane vector propriu pt. Am;
b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);
c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;
d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie
pt. B;
e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);
f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci
a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.
a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am
si X ramane vector propriu pt. Am;
b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);
c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;
d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;
e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);
f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci
a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.
a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am
si X ramane vector propriu pt. Am;
b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);
c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;
d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;
e) Daca X1,X2
sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);
f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci
a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.
a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am
si X ramane vector propriu pt. Am;
b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);
c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;
d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;
e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt.
A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);
f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci
a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.
a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am
si X ramane vector propriu pt. Am;
b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);
c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;
d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;
e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A)
atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);
f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci
a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.
a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am
si X ramane vector propriu pt. Am;
b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);
c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;
d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;
e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K ,
vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);
f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci
a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.
a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am
si X ramane vector propriu pt. Am;
b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);
c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;
d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;
e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr.
corespunzator lui λ (daca X 6= 0);
f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci
a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.
a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am
si X ramane vector propriu pt. Am;
b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);
c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;
d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;
e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ
(daca X 6= 0);
f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci
a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.
a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am
si X ramane vector propriu pt. Am;
b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);
c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;
d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;
e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);
f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci
a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.
a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am
si X ramane vector propriu pt. Am;
b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);
c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;
d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;
e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);
f) Daca λ1, . . . , λm
sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci
a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.
a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am
si X ramane vector propriu pt. Am;
b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);
c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;
d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;
e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);
f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte
ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci
a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.
a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am
si X ramane vector propriu pt. Am;
b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);
c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;
d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;
e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);
f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A
iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci
a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.
a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am
si X ramane vector propriu pt. Am;
b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);
c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;
d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;
e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);
f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm
sunt vectori pr. corespunzatori, atunci
a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.
a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am
si X ramane vector propriu pt. Am;
b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);
c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;
d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;
e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);
f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori,
atunci
a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.
a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am
si X ramane vector propriu pt. Am;
b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);
c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;
d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;
e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);
f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci
a1X1 + . . .+ amXm = 0
⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.
a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am
si X ramane vector propriu pt. Am;
b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);
c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;
d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;
e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);
f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci
a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.
a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am
si X ramane vector propriu pt. Am;
b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);
c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;
d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;
e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);
f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci
a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Thm. de caracterizare a valorilor proprii
faravectori proprii. (!!!)
Un scalar λ ∈ K este valoare proprie pentru matricea A ∈Mn(K )daca si numai daca det(A− λIn) = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Polinomul caracteristic:
Daca A ∈Mn(K ), polinomul de grad n, fA ∈ K [x ] definit de:
fA(x) = (−1)n det(A− xIn)
s.n. polinomul caracteristic al matricei A. Ecuatiadet(A− λIn) = 0 s.n. ecuatia caracteristica a matricei A.
Thm. de caracterizare a valorilor proprii faravectori proprii. (!!!)
Un scalar λ ∈ K
este valoare proprie pentru matricea A ∈Mn(K )daca si numai daca det(A− λIn) = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Polinomul caracteristic:
Daca A ∈Mn(K ), polinomul de grad n, fA ∈ K [x ] definit de:
fA(x) = (−1)n det(A− xIn)
s.n. polinomul caracteristic al matricei A. Ecuatiadet(A− λIn) = 0 s.n. ecuatia caracteristica a matricei A.
Thm. de caracterizare a valorilor proprii faravectori proprii. (!!!)
Un scalar λ ∈ K este valoare proprie pentru matricea A ∈Mn(K )
daca si numai daca det(A− λIn) = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Polinomul caracteristic:
Daca A ∈Mn(K ), polinomul de grad n, fA ∈ K [x ] definit de:
fA(x) = (−1)n det(A− xIn)
s.n. polinomul caracteristic al matricei A. Ecuatiadet(A− λIn) = 0 s.n. ecuatia caracteristica a matricei A.
Thm. de caracterizare a valorilor proprii faravectori proprii. (!!!)
Un scalar λ ∈ K este valoare proprie pentru matricea A ∈Mn(K )daca si numai daca
det(A− λIn) = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Polinomul caracteristic:
Daca A ∈Mn(K ), polinomul de grad n, fA ∈ K [x ] definit de:
fA(x) = (−1)n det(A− xIn)
s.n. polinomul caracteristic al matricei A. Ecuatiadet(A− λIn) = 0 s.n. ecuatia caracteristica a matricei A.
Thm. de caracterizare a valorilor proprii faravectori proprii. (!!!)
Un scalar λ ∈ K este valoare proprie pentru matricea A ∈Mn(K )daca si numai daca det(A− λIn) = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Polinomul caracteristic:
Daca A ∈Mn(K ), polinomul de grad n, fA ∈ K [x ] definit de:
fA(x) = (−1)n det(A− xIn)
s.n. polinomul caracteristic al matricei A. Ecuatiadet(A− λIn) = 0 s.n. ecuatia caracteristica a matricei A.
Thm. de caracterizare a valorilor proprii faravectori proprii. (!!!)
Un scalar λ ∈ K este valoare proprie pentru matricea A ∈Mn(K )daca si numai daca det(A− λIn) = 0.
Demonstratie:
”la tabla”.
Polinomul caracteristic:
Daca A ∈Mn(K ), polinomul de grad n, fA ∈ K [x ] definit de:
fA(x) = (−1)n det(A− xIn)
s.n. polinomul caracteristic al matricei A. Ecuatiadet(A− λIn) = 0 s.n. ecuatia caracteristica a matricei A.
Thm. de caracterizare a valorilor proprii faravectori proprii. (!!!)
Un scalar λ ∈ K este valoare proprie pentru matricea A ∈Mn(K )daca si numai daca det(A− λIn) = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Polinomul caracteristic:
Daca A ∈Mn(K ), polinomul de grad n, fA ∈ K [x ] definit de:
fA(x) = (−1)n det(A− xIn)
s.n. polinomul caracteristic al matricei A. Ecuatiadet(A− λIn) = 0 s.n. ecuatia caracteristica a matricei A.
Thm. de caracterizare a valorilor proprii faravectori proprii. (!!!)
Un scalar λ ∈ K este valoare proprie pentru matricea A ∈Mn(K )daca si numai daca det(A− λIn) = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Polinomul caracteristic:
Daca A ∈Mn(K ),
polinomul de grad n, fA ∈ K [x ] definit de:
fA(x) = (−1)n det(A− xIn)
s.n. polinomul caracteristic al matricei A. Ecuatiadet(A− λIn) = 0 s.n. ecuatia caracteristica a matricei A.
Thm. de caracterizare a valorilor proprii faravectori proprii. (!!!)
Un scalar λ ∈ K este valoare proprie pentru matricea A ∈Mn(K )daca si numai daca det(A− λIn) = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Polinomul caracteristic:
Daca A ∈Mn(K ), polinomul de grad n,
fA ∈ K [x ] definit de:
fA(x) = (−1)n det(A− xIn)
s.n. polinomul caracteristic al matricei A. Ecuatiadet(A− λIn) = 0 s.n. ecuatia caracteristica a matricei A.
Thm. de caracterizare a valorilor proprii faravectori proprii. (!!!)
Un scalar λ ∈ K este valoare proprie pentru matricea A ∈Mn(K )daca si numai daca det(A− λIn) = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Polinomul caracteristic:
Daca A ∈Mn(K ), polinomul de grad n, fA ∈ K [x ] definit de:
fA(x) = (−1)n det(A− xIn)
s.n. polinomul caracteristic al matricei A. Ecuatiadet(A− λIn) = 0 s.n. ecuatia caracteristica a matricei A.
Thm. de caracterizare a valorilor proprii faravectori proprii. (!!!)
Un scalar λ ∈ K este valoare proprie pentru matricea A ∈Mn(K )daca si numai daca det(A− λIn) = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Polinomul caracteristic:
Daca A ∈Mn(K ), polinomul de grad n, fA ∈ K [x ] definit de:
fA(x) =
(−1)n det(A− xIn)
s.n. polinomul caracteristic al matricei A. Ecuatiadet(A− λIn) = 0 s.n. ecuatia caracteristica a matricei A.
Thm. de caracterizare a valorilor proprii faravectori proprii. (!!!)
Un scalar λ ∈ K este valoare proprie pentru matricea A ∈Mn(K )daca si numai daca det(A− λIn) = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Polinomul caracteristic:
Daca A ∈Mn(K ), polinomul de grad n, fA ∈ K [x ] definit de:
fA(x) = (−1)n det(A− xIn)
s.n.
polinomul caracteristic al matricei A. Ecuatiadet(A− λIn) = 0 s.n. ecuatia caracteristica a matricei A.
Thm. de caracterizare a valorilor proprii faravectori proprii. (!!!)
Un scalar λ ∈ K este valoare proprie pentru matricea A ∈Mn(K )daca si numai daca det(A− λIn) = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Polinomul caracteristic:
Daca A ∈Mn(K ), polinomul de grad n, fA ∈ K [x ] definit de:
fA(x) = (−1)n det(A− xIn)
s.n. polinomul caracteristic al matricei A.
Ecuatiadet(A− λIn) = 0 s.n. ecuatia caracteristica a matricei A.
Thm. de caracterizare a valorilor proprii faravectori proprii. (!!!)
Un scalar λ ∈ K este valoare proprie pentru matricea A ∈Mn(K )daca si numai daca det(A− λIn) = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Polinomul caracteristic:
Daca A ∈Mn(K ), polinomul de grad n, fA ∈ K [x ] definit de:
fA(x) = (−1)n det(A− xIn)
s.n. polinomul caracteristic al matricei A. Ecuatia
det(A− λIn) = 0 s.n. ecuatia caracteristica a matricei A.
Thm. de caracterizare a valorilor proprii faravectori proprii. (!!!)
Un scalar λ ∈ K este valoare proprie pentru matricea A ∈Mn(K )daca si numai daca det(A− λIn) = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Polinomul caracteristic:
Daca A ∈Mn(K ), polinomul de grad n, fA ∈ K [x ] definit de:
fA(x) = (−1)n det(A− xIn)
s.n. polinomul caracteristic al matricei A. Ecuatiadet(A− λIn) = 0 s.n.
ecuatia caracteristica a matricei A.
Thm. de caracterizare a valorilor proprii faravectori proprii. (!!!)
Un scalar λ ∈ K este valoare proprie pentru matricea A ∈Mn(K )daca si numai daca det(A− λIn) = 0.
Demonstratie: ”la tabla”.
Polinomul caracteristic:
Daca A ∈Mn(K ), polinomul de grad n, fA ∈ K [x ] definit de:
fA(x) = (−1)n det(A− xIn)
s.n. polinomul caracteristic al matricei A. Ecuatiadet(A− λIn) = 0 s.n. ecuatia caracteristica a matricei A.
Observatii:
In Mn(C) orice matrice are n valori proprii (eventual unelemultiple, adica se repeta).
Valorile proprii ale unei matrice sunt radacinile din K aleecuatiei caracteristice ⇒ Sp(A) = {λ1, . . . , λp}, p ≤ n.
In Mn(R) exista matrici care nu au valori proprii, de ex. ”latabla”
Observatii:
In Mn(C)
orice matrice are n valori proprii (eventual unelemultiple, adica se repeta).
Valorile proprii ale unei matrice sunt radacinile din K aleecuatiei caracteristice ⇒ Sp(A) = {λ1, . . . , λp}, p ≤ n.
In Mn(R) exista matrici care nu au valori proprii, de ex. ”latabla”
Observatii:
In Mn(C) orice matrice are
n valori proprii (eventual unelemultiple, adica se repeta).
Valorile proprii ale unei matrice sunt radacinile din K aleecuatiei caracteristice ⇒ Sp(A) = {λ1, . . . , λp}, p ≤ n.
In Mn(R) exista matrici care nu au valori proprii, de ex. ”latabla”
Observatii:
In Mn(C) orice matrice are n valori proprii
(eventual unelemultiple, adica se repeta).
Valorile proprii ale unei matrice sunt radacinile din K aleecuatiei caracteristice ⇒ Sp(A) = {λ1, . . . , λp}, p ≤ n.
In Mn(R) exista matrici care nu au valori proprii, de ex. ”latabla”
Observatii:
In Mn(C) orice matrice are n valori proprii (eventual unelemultiple,
adica se repeta).
Valorile proprii ale unei matrice sunt radacinile din K aleecuatiei caracteristice ⇒ Sp(A) = {λ1, . . . , λp}, p ≤ n.
In Mn(R) exista matrici care nu au valori proprii, de ex. ”latabla”
Observatii:
In Mn(C) orice matrice are n valori proprii (eventual unelemultiple, adica
se repeta).
Valorile proprii ale unei matrice sunt radacinile din K aleecuatiei caracteristice ⇒ Sp(A) = {λ1, . . . , λp}, p ≤ n.
In Mn(R) exista matrici care nu au valori proprii, de ex. ”latabla”
Observatii:
In Mn(C) orice matrice are n valori proprii (eventual unelemultiple, adica se repeta).
Valorile proprii ale unei matrice sunt radacinile din K aleecuatiei caracteristice ⇒ Sp(A) = {λ1, . . . , λp}, p ≤ n.
In Mn(R) exista matrici care nu au valori proprii, de ex. ”latabla”
Observatii:
In Mn(C) orice matrice are n valori proprii (eventual unelemultiple, adica se repeta).
Valorile proprii ale unei matrice
sunt radacinile din K aleecuatiei caracteristice ⇒ Sp(A) = {λ1, . . . , λp}, p ≤ n.
In Mn(R) exista matrici care nu au valori proprii, de ex. ”latabla”
Observatii:
In Mn(C) orice matrice are n valori proprii (eventual unelemultiple, adica se repeta).
Valorile proprii ale unei matrice sunt radacinile din K
aleecuatiei caracteristice ⇒ Sp(A) = {λ1, . . . , λp}, p ≤ n.
In Mn(R) exista matrici care nu au valori proprii, de ex. ”latabla”
Observatii:
In Mn(C) orice matrice are n valori proprii (eventual unelemultiple, adica se repeta).
Valorile proprii ale unei matrice sunt radacinile din K aleecuatiei caracteristice
⇒ Sp(A) = {λ1, . . . , λp}, p ≤ n.
In Mn(R) exista matrici care nu au valori proprii, de ex. ”latabla”
Observatii:
In Mn(C) orice matrice are n valori proprii (eventual unelemultiple, adica se repeta).
Valorile proprii ale unei matrice sunt radacinile din K aleecuatiei caracteristice ⇒ Sp(A) = {λ1, . . . , λp}, p ≤ n.
In Mn(R) exista matrici care nu au valori proprii, de ex. ”latabla”
Observatii:
In Mn(C) orice matrice are n valori proprii (eventual unelemultiple, adica se repeta).
Valorile proprii ale unei matrice sunt radacinile din K aleecuatiei caracteristice ⇒ Sp(A) = {λ1, . . . , λp}, p ≤ n.
In Mn(R)
exista matrici care nu au valori proprii, de ex. ”latabla”
Observatii:
In Mn(C) orice matrice are n valori proprii (eventual unelemultiple, adica se repeta).
Valorile proprii ale unei matrice sunt radacinile din K aleecuatiei caracteristice ⇒ Sp(A) = {λ1, . . . , λp}, p ≤ n.
In Mn(R) exista matrici care nu au valori proprii, de ex. ”latabla”
Observatii:
In Mn(C) orice matrice are n valori proprii (eventual unelemultiple, adica se repeta).
Valorile proprii ale unei matrice sunt radacinile din K aleecuatiei caracteristice ⇒ Sp(A) = {λ1, . . . , λp}, p ≤ n.
In Mn(R) exista matrici care nu au valori proprii, de ex. ”latabla”
”Daca mai este timp!”Rezolvati sistemul:
x1 − x2 + 2x3 = −34x1 − 4x2 − 2x3 = 1−2x1 + 2x2 − 4x3 = 6
”Daca mai este timp!”Rezolvati sistemul:
x1 − x2 + 2x3 = −34x1 − 4x2 − 2x3 = 1−2x1 + 2x2 − 4x3 = 6
top related