curs 4

MODELAREA IDENTIFICAREA I SIMULAREA ACIONRILOR ELECTRICE

1

IV. MODELAREA MAINII DE CURENT CONTINUU

4.3. Modelul matematic discret al sistemelor de acionare cu maini de curent continuu

Semnalele numerice sunt obinute n dou etape: - eantionare, - cuantizare. Prin eantionare se obine semnalul discret n timp din semnalul continuu, iar operaia de

cuantizare, realizat cu ajutorul convertorului analog-digital, ncadreaz fiecare eantion ntr-un interval al amplitudinii semnalului i transmite valoarea numeric corespunztoare acelui eantion. Pentru evitarea pierderilor de informaie trebuie aleas corespunztor perioada de eantionare. Teorema Shannon-Nyquist ne ofer limita superioar de alegere a perioadei de eantionare: un semnal x(t) a crui dinamic este definit de constanta de timp T0, poate fi descris n forma

discret de seria de valori x(kTe), dac 012e

T T , Te reprezentnd perioada de eantionare. Perioada de eantionare depinde de dinamica sistemului discretizat i de viteza procesorului

utilizat. Alegerea perioadei de eantionare este un compromis ntre performan i cost. Practic se alege cea mai mic perioad de eantionare care asigur toate performanele impuse. Pentru asigurarea unui rspuns neted i fr pierderi de informaie din semnalul continuu, perioada de eantionare trebuie s fie cuprins ntre (1/401/10) din cea mai mic constant de timp a buclei de reglare.

Fig. 4.8 Alegerea perioadei de eantionare Te

a)

b)

c)

Modelul discret al SAE de curent continuu

2

Exemplul din figura 4.8 prezint un semnal sinusoidal 0 0 0 0( ) sin , 2 /x t x t T= = pentru discretizarea cruia s-au folosit trei valori diferite ale pasului de eantionare Te:

a) 01

10eT T=

b) 014e

T T=

c) 012e

T T> Dac pasul de eantionare este mult mai mic dect perioada semnalului x(t), reconstrucia

semnalului iniial este uoar cazul a). Mrind pasul de eantionare, semnalul discret aproximeaz o sinusoid, dar semnalul iniial este

greu de recunoscut. Mai precis, dac tim apriori c semnalul este sinusoidal, putem determina perioada i amplitudinea, ceea ce ne va permite s reconstruim complet semnalul x(t) cazul b).

Depirea valorii limit impus pentru Te de teorema Shannon-Nyquist duce la pierderea informaiei asupra semnalului x(t) i la imposibilitatea reconstruciei acestuia cazul c).

n cazul mainii de curent continuu, cele dou bucle de reglare sunt sincronizate, perioadele de eantionare fiind identice, analiza cu ajutorul transformatei Z putnd fi uor aplicat. n vederea efecturii analizei numerice, transformata Z transfer ecuaiile difereniale corespunztoare sistemelor continue n ecuaii algebrice liniare corespunztoare sistemelor discrete. Obinerea semnalului numeric din semnalul continuu, prin procesul de eantionare, a fost prezentat n figura 9 prin contactul dispozitivului de eantionare, contact care se nchide cu frecvena de eantionare 1/Te.

n cazul automatizrii convenionale, utiliznd regulatoare continue conectate n cascad, acordarea optimal a acestora se realizeaz utiliznd criteriile modulului, respectiv simetriei (varianta Kessler), caracteristice proceselor rapide.

Astfel, adoptnd un sistem unificat de reglare n tensiune, regulatorul de curent rezult de tip proporional-integral cu funcia de transfer

( ) 43RI kH s k s= + , (4.22) cu urmtorii parametri

3

4

2

2

A A

I D I

A

I D I

T Rk

T k kRk

T k k

= =

, (4.23)

Fig. 4.9 Schema bloc de reglare a turaiei SAE de curent continuu

MODELAREA IDENTIFICAREA I SIMULAREA ACIONRILOR ELECTRICE

3

unde:

10

ND

Uk = este funcia de transfer a convertorului static, echivalent cu o constant de amplificare,

max

10I

Ak

I= , factorul de atenuare al traductorului de curent,

I IT T = , suma constantelor de timp parazite corespunztoare buclei interioare, de curent, fiind egal cu constanta de timp a traductorului de curent. Funcia de transfer a regulatorului de vitez are forma

( ) 21R kH s k s = + , (4.24) avnd parametrii

1

2 2

2

8

I

I

k JkT k k

k JkT k k

= =

, (4.25)

n care:

10N

k = este factorul de atenuare al traductorului de turaie, 2 IT T T = + , suma constantelor de timp parazite corespunztoare buclei exterioare, de

vitez, T fiind constanta de timp a traductorului de vitez. Deoarece semnalul de intrare al elementului de execuie este continuu n timp, iar ieirea

regulatorului este o funcie discret, semnalul numeric trebuie convertit ntr-un semnal continuu. Acest lucru se realizeaz cu ajutorul extrapolatoarelor.

Extrapolatorul de ordin zero menine ultima valoare primit (blocheaz aceast valoare) n timpul perioadei de eantionare care urmeaz, fiind caracterizat prin urmtoarea funcie de transfer:

( ) 1 esTEOZ eH s s= , (4.26)

Fig. 4.10 Reconstrucia semnalului cu un extrapolator de ordinul zero

+

1-s

S1-s

e-sTe

- x(t)x(kTe)

Fig. 4.11 Funcia de transfer a extrapolatorului de ordinul zero

Modelul discret al SAE de curent continuu

4

Extrapolatorul de ordinul 1. Acesta realizeaz o extrapolare liniar a evoluiei semnalului, utiliznd ultimele dou eantioane. Funcionarea extrapolatorului de ordin 1 este ilustrat n fig. 4.12.

4.3.1. Modelarea matematic discret a buclei de reglare a curentului

Schema bloc pentru obinerea modelului discret al buclei de curent este prezentat n figura 4.13.

( )1

1A AR sT+4

3kks

+11 FIsT+

1I

I

ksT+

Folosind un extrapolator de ordinul zero, trecerea din domeniul complex s n domeniul discret Z se face conform relaiei: ( ) ( ) ( )1FI EOZ FIH z Z H s H s = , (4.27) sau sub alt form:

( )1 1 11esTFI FIeH z Z s sT = + . (4.28) innd cont c esTz e= , relaia (4.28) devine:

( ) 11 1 111

FIFI

FI

zH z ZT

s sT

= +

. (4.29)

Deoarece lucrm n domeniul s, pentru a determina transformata Z din relaia (4.29) utilizm metoda de calcul indirect * pe baza transformatei Laplace. Astfel, aplicnd teorema reziduurilor pentru poli simpli, forma final a funciei de transfer n domeniul discret devine:

Fig. 4.12 Reconstrucia semnalului cu un extrapolator de ordinul 1

Fig. 4.13 Bucla de reglare a curentului rotoric

*THEORIE DE LA COMMANDE DES SYSTEMES E. Ceang et. all, Editura Tehnic, 2001

MODELAREA IDENTIFICAREA I SIMULAREA ACIONRILOR ELECTRICE

5

( ) 1 1111

e

FI

e

FI

TT

FI TT

z z eH z

z e

=

(4.30)

sau

( ) ( )( )* 1

1* 1

FIFI

A

I zH z

I z

= . (4.31)

innd cont de (4.30) i (4.31) obinem relaia de recuren:

( ) ( ) ( )* * *1 1 1e e

FI FI

T TT T

FI FI AI k I k e I k e = +

. (4.32)

Plecnd de la funcia de transfer a traductorului de curent: ( )( ) 1

R I

A I

I s kI s sT

= + , (4.33) se obine o ecuaie asemntoare pentru relaia de curent sub forma:

( ) ( ) ( )1 1 1e e

I I

T TT T

R R A II k I k e I k e k = +

. (4.34)

Implementarea numeric a regulatorului de curent avnd funcia de transfer:

( ) 43RI kH s k s= + , (4.35) se face utiliznd relaiile (4.27), (4.28) i proprietatea de liniaritate a transformatei Z sub forma:

( ) ( ) ( )1 1 13 4 21 11 1RIH z k z Z k z Zs s = + . (4.36) Pentru a calcula transformata Z a celui de-al doilea termen din membrul drept al relaiei (4.36)

se utilizeaz teorema reziduurilor pentru poli multipli, obinnd:

( ) ( )1

13 4 211

eRI

T zH z k k

z

= +

. (4.37)

Pe de alt parte

( ) ( )( ) ( )1

1* 1 1

cRI

FI R

U zH z

I z I z

= , (4.38)

astfel nct ecuaia de implementare numeric a regulatorului de curent este: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* *3 4 31 1 1c c FI R e FI RU k U k k I k I k k T k I k I k = + + . (4.39)

Tensiunea aplicat rotorului mainii de curent continuu este: ( ) ( )A D cU k k U k= . (4.40)

Mrimea de ieire a buclei interioare de curent: - considernd rotorul calat

( ) ( ) ( ) 11 1 1e e

A A

T TT T

A A AA

I k I k e U k eR

= + , (4.41)

- cu rotorul n micare

Modelul discret al SAE de curent continuu

6

( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 1 1e e

A A

T TT T

A A AA

I k I k e U k k k eR

= + . (4.42)

4.3.2. Modelarea matematic discret a buclei de reglare a vitezei

Schema bloc a modelului discret al buclei de vitez este prezentat n figura 4.14, unde funcia de transfer n circuit nchis a buclei de reglare a curentului este aproximat prin cea reprezentat n figura 4.15.

1sJ

21

kks

+11 FsT +

1ksT

+

k

( )1

1 2I Ik sT+

Viteza unghiular impus filtrat este dat de:

( ) ( ) ( )* * *1 1 1e e

F F

T TT T

F Fk k e k e

= +

. (4.43)

Semnalul de pe reacia de turaie are forma:

( ) ( ) ( )*1 1 1e eT T

T TR Rk k e k k e

= + . (4.44)

Forma discret a regulatorului de turaie este dat de ecuaia: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * * *1 2 11 1 1A A F R e F RI k I k k k k k T k k k = + + , (4.45)

iar semnalul de ieire al sistemului de acionare este:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1e A sTk k k I k M kJ = + . (4.46)

Fig. 4.14 Bucla de reglare a vitezei

Fig. 4.15 Funcia de transfer a buclei de reglare a curentului

MODELAREA IDENTIFICAREA I SIMULAREA ACIONRILOR ELECTRICE

7

Pentru obinerea ecuaiilor necesare simulrii buclelor de reglare ale sistemului de acionare electric, vom stabili aceste ecuaii ntr-un bloc de relaii de recuren, ecuaii care vor fi aezate n ordinea fireasc de continuitate i compatibilitate ntre elementele componente ale sistemului, adic n ordinea (4.43), (4.44), (4.45), (4.32), (4.34), (4.39), (4.40), (4.41), (4.46). Setul de ecuaii de mai sus se poate obine i folosind transformata Z biliniar. Pentru a trece o funcie de transfer H(s) din planul complex s ntr-o funcie de transfer H(z) din planul discret Z, cu ajutorul transformatei Z biliniare se consider exemplul din figura 4.16.

( )H s

Fie elementul integrator caracterizat prin

( ) 1H ss

= . (4.47) n domeniul timp se obine ecuaia:

( ) ( )y t u t dt= . (4.48) Pentru o perioad de eantionare T putem scrie:

( ) ( ) ( )( )11 ee

k T

kTy k y k u t dt

++ = + . (4.49)

Folosind metoda trapezelor putem aproxima integrala:

( ) ( ) ( ) ( )1 12eTy k y k u k u k + = + + + . (4.50)

Scris n domeniul Z, ecuaia (4.50) conduce la:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 12eTY z z Y z U z z U z = + + , (4.51) de unde funcia de transfer se obine sub forma:

( ) 11 112 1eT zH z z

+= , (4.52) sau

( )1 11

12 1

1e

H zz

T z

= +

. (4.53)

innd cont de ecuaiile (4.47) i (4.53), trecerea din domeniul s n domeniul Z se face nlocuind 1

12 1

1e

zsT z

= + . (4.54) Funcia de transfer a filtrului pe viteza unghiular impus avnd ecuaia

( )( )

*

*1

1F s

sTs

= + (4.55)

dup prelucrri algebrice i utiliznd (4.54), conduce la ecuaia n diferene finite de forma:

( ) ( ) ( ) ( )* * * *2 1 12 2

e F eF F

e F e F

T T Tk k k k

T T T T

= + + + + . (4.56)

Fig. 4.15 Funcia de transfer a elementului integrator

Modelul discret al SAE de curent continuu

8

n acelai mod se determin ecuaiile: - regulatorului de vitez

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * * *1 2 2 11 1 12 2e eA A F R F RT T

I k I k k k k k k k k k = + + + , (4.57)

- curentului rotoric impus

( ) ( ) ( ) ( )* * * *2 1 12 2

e FI eFI FI A A

e FI e FI

T T TI k I k I k I k

T T T T = + + + + (4.58)

- reaciei de curent

( ) ( ) ( ) ( )2 1 12 2

e I eR R I A A

e I e I

T T TI k I k k I k I k

T T T T = + + + + . (4.59)

- i regulatorului de curent

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* *3 4 4 31 1 12 2e ec c FI R FI RT T

U k U k k k I k I k k k I k I k = + + + . (4.60) Tensiunea aplicat rotorului rmne de forma

( ) ( )A D cU k k U k= . (4.61) Ecuaiile de calcul al curentului rotoric rezult de forma:

- cu rotorul calat

( ) ( ) ( ) ( )2 11 12 2

e A eA A A A

e A e A A

T T TI k I k U k U k

T T T T R = + + + + , (4.62)

- cu rotorul n micare

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 11 1 12 2 2

e A e eA A A A

e A A e A A e A

T T T TkI k I k U k U k k kT T R T T R T T

= + + + + + + . (4.63) Viteza unghiular la arborele motorului, calculabil n acelai mod, este dat de:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1 12

eA A s s

Tk k k I k I k M k M k

J = + + + . (4.64)