concursul gazeta matematic - viitoriolimpici.ro
Post on 04-Nov-2021
13 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro
Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro
Problema 4
a) Câte progresii aritmetice de numere naturale cu primul termen 1 conţin numărul 45001 ?
b) Arătaţi că nu există progresii aritmetice neconstante de numere naturale cu toţi termenii pătrate
perfecte.
Mihai Piticari, Vladimir Cerbu
Soluţie :
a) Fie 1n n
a
o progresie aritmetică de numere naturale cu raţia r, 1 1a şi 45001ma .
Cum *1 ,n na a r n rezultă 2 1 0r a , deci *r .
Cum 1 1ma a m r rezultă 1 45000m r , deci r este divizor al lui 45000.
Dar 3 2 445000 2 3 5 , deci numărul 45000 are 3 1 2 1 4 1 60 divizori.
În concluzie sunt 60 de progresii cu proprietatea cerută.
b) Prin reducere la absurd, să presupunem că există o progresie aritmetică neconstantă de
numere naturale, 1n n
a
cu toţi termenii pătrate perfecte. Atunci există un şir strict crescător de
numere naturale 1n n
x
cu 2 *,n na x n . Fie r raţia progresiei. Ca la pct. a) obținem *r .
Din *1 ,n na a r n , rezultă că 1 1n n n nx x x x r adică 1n n nx x d și
1n n nx x s , cu şi n nd s divizori ai lui r. Cum r are un număr finit de divizori, rezultă că există doi
divizori d şi s ai lui r şi o infinitate de valori n, *n , pentru care 1n nx x d și 1n nx x s .
Atunci 2
n
s dx
pentru o infinitate de valori n, *n , ceea ce contrazice faptul că şirul
1n nx
este strict crescător.
În concluzie nu există progresii aritmetice neconstante de numere naturale cu toţi termenii
pătrate perfecte.
top related