cinematica miscarii mecanice
Post on 27-May-2015
6.779 Views
Preview:
TRANSCRIPT
CINEMATICA MIŞCĂRII MECANICECls. a IX-a
Prof. Laurenţiu Marin-Badea
Mecanica – definiţii.• Mecanica – este partea fizicii în care se studiază mişcarea mecanică, deformările corpurilor şi echilibrul mecanic al acestora.
• Spaţiul fizic este extinderea nemărginită în care există obiectele şi se petrec evenimentele cu proprietatea că pot fi localizate relativ prin determinări de distanţe şi direcţii.
• Timpul este mărimea fundamentală care caracterizează intervalele dintre evenimentele care se petrec succesiv dinspre trecut înspre viitor; este măsura ritmului în care se succed evenimente identice, la intervale egale.
Mecanica – tipuri de fenomene.• Mişcarea mecanică – modificarea relativă a poziţiei unui
corp, în spaţiu şi timp, faţă de alt corp considerat ca reper.• Mişcarea este prin definiţie relativă. Aspectul ei depinde
de reperul ales.
Mecanica – tipuri de fenomene.
• Deformarea – schimbarea formei unui corp datorită unei acţiuni deformatoare. Poate fi:• elastică – dispare în urma încetării acţiunii
deformatoare;• plastică – rămâne în urma încetării acţiunii
deformatoare.
• Stabilirea şi menţinerea stării de echilibru mecanic – păstrarea nemodificată a stării de repaus sau de mişcare datorită a cel puţin două acţiuni simultane asupra aceluiaşi corp.
Metode studiu în mecanică• Cinematica – se studiază mişcarea din punct de vedere descriptiv – se exprimă matematic aspectele mişcării: traiectorie, rapiditate, orientare.
• Dinamica – se studiază mişcarea din punct de vedere explicativ – se explică schimbarea stării de mişcare prin acţiunile exercitate asupra mobilului.
• Statica – se descriu stările de echilibru şi se explică menţinerea lor prin acţiuni simultane asupra aceluiaşi corp.
Noţiuni necesare pentru studiul mişcării
• Sistem de referinţă – faţă de el se stabilesc aspectele relative ale mişcării. Este format din:• reper – corp considerat fix:
• faţă de reper se raportează permanent poziţia mobilului în spaţiu şi timp;
• instrument de măsurare a lungimii:• Este necesar pentru măsurarea coordonatelor în sistemul de
coordonate asociat reperului;
• instrument de măsurare a momentelor şi duratelor de timp:• Este necesar pentru cunoaşterea momentelor de timp la care
mobilul ocupă diferite poziţii în spaţiu
Noţiuni necesare pentru studiul mişcării
• Punct material – este modelul prin care se reprezintă poziţia mobilului printr-un punct geometric căruia i se asociază masa corpului.
• Traiectoria – este linia ale cărei puncte reprezintă poziţii succesive ocupate de punctul material în decursul mişcării sale în spaţiu.
Mărimi cinematice fundamentale –vectorul de poziţie
(x, y) coordonate carteziene Oxaxapevectoruluicomponenta rrx
r
y
xO
P(x, y)
x
y
α
(r, α) coordonate polare
xr
yr
Oyaxapevectoruluicomponenta rry
Mărimi cinematice fundamentale –vectorul deplasare
0rrr 0xxx
0yyy
Deplasarea proiecţiei PM pe axa Ox
Deplasarea proiecţiei PM pe axa Oy
Deplasarea în spaţiu a PM
Deplasarea proiecţiei PM pe axa Ox
xxx rrr 0
0r
r
y
xO
Po(x0, y0)
x0
y0
P(x, y)
x
y
r
xr
yr
Deplasarea proiecţiei PM pe axa Oy
yyy rrr 0
Mărimi cinematice. Viteza• Viteza este mărimea fizică vectorială prin care caracterizează
rapiditatea şi orientarea mişcării mobilului.
t
rvm
dt
dr
t
rv
t
0
Viteza medie – caracterizează rapiditatea şi orientarea mişcării pe întregul interval, din punct de vedere al sosirii în P faţă de plecarea din P0
0r
x
yP0
P
r
rmv
dr
v
Viteza momentană – caracterizează rapiditatea şi orientarea mişcării la trecerea PM printr-o poziţie la un moment dat.
Viteza momentană caracterizează starea de mişcare a mobilului la un moment dat.
Mărimi cinematice. Acceleraţia• Acceleraţia este mărimea fizică vectorială prin care caracterizează
rapiditatea şi orientarea modificării stării de mişcare a mobilului.
t
vam
dt
dv
t
va
t
0
Acceleraţia medie – caracterizează rapiditatea şi orientarea schimbării stării de mişcare pe întregul interval, din punct de vedere al sosirii în P faţă de plecarea din P0
Acceleraţia momentană – caracterizează rapiditatea şi orientarea schimbării stării de mişcare la trecerea PM printr-o poziţie la un moment dat.
0r
x
yP0
P
r
0v
v
v
v
ma
a
a
Problematizare.
• Un mobil parcurge, în linie dreaptă, 100 m, cu viteza constantă vm = 10 m/s. Al doilea mobil, parcurge, tot în linie dreaptă, 100 m, simultan cu primul, având la momentul iniţial viteza v0= 2 m/s şi adăugând vitezei cantităţi egale la intervale de timp egale. Cerinţe:
a) Descrieţi mişcările celor două mobile;
b) Calculaţi viteza finală a celui de-al doilea mobil;
c) Calculaţi durata mişcărilor;
d) Calculaţi acceleraţiile celor două mobile.
Rezolvare prin interpretarea grafică a deplasării pe traiectoriea. Ambele mişcări sunt rectilinii.
1. Prima mişcare este rectilinie uniformă – se desfăşoară păstrând vectorul viteză constant.
2. A doua mişcare este rectilinie uniform variată – se modifică permanent starea de mişcare, dar păstrând vectorul acceleraţie constant.
x1
t
tt0
vm
v0
vv
x2
Rezolvare prin interpretarea grafică a deplasării pe traiectorie
b. Se exprimă formulele ariilor corespunzătoare deplasărilor x1 şi x2 şi se egalează. Din ecuaţia rezultată, se calculează viteza v
smvvvvv
vtvvx
tvx
mm
m
/1822
20
0
02
1
Rezolvare prin interpretarea grafică a deplasării pe traiectoriec. Relaţia de definiţie a vitezei medii are tot ce trebuie pentru aflarea
duratei mişcării primului mobil. Al doilea mobil se mişcă simultan cu primul, parcurgând aceeaşi distanţă. Având în vedere că definiţia matematică a valori medii pentru o funcţie pe un interval este:
“… valoarea funcţiei constante al cărei grafic mărgineşte o arie de valoare egală cu a ariei mărginite de graficul funcţiei date pe acelaşi interval”,
atunci vm nu este altceva decât valoarea medie a vitezei celui de-al doilea mobil pe intervalul de timp cât acesta se mişcă, dacă se mişcă pe aceeaşi distanţă ca şi primul. Deci, duratele mişcărilor celor două mobile sunt egale!
ssm
m
v
xt
t
xv
mm 10
/10
100
Rezolvare prin interpretarea grafică a deplasării pe traiectoried. Acceleraţia primului mobil este nulă, deoarece viteza
acestuia este constantă. Acceleraţia celui de-al doilea se calculează conform relaţiei de definiţie a acceleraţiei, cunoscându-se vitezele iniţială şi finală şi durata mişcării; acceleraţia fiind constantă, ce medie este egală cu cea instantanee la orice moment de timp.
220 /6,1/10
218smsm
t
vv
t
va
Tipuri de mişcări• În problema propusă se evidenţiază două tipuri de
mişcări, cele mai simple mişcări ale punctului material: mişcarea rectilinie uniformă şi mişcarea rectilinie uniform variată.
• Având ca bază rezolvarea acestei probleme prin utilizarea interpretării grafice a deplasării pe traiectorie, se pot generaliza prin inducţie rezultatele pentru aceste două tipuri de mişcări, utilizând cunoştinţele matematice.
• Astfel, se pot obţine un set de ecuaţii care pot fi particularizate pentru orice mişcare rectilinie uniformă sau uniform variată!
• Demonstrarea prin inducţie a acestor ecuaţii este ceea ce se propune în continuare, având ca ipoteză de lucru interpretarea grafică a deplasării pe traiectorie.
Tipuri de mişcăriMişcarea rectilinie uniformă• Singura relaţie de lucru aici este cea care exprimă definiţia vitezei.• Datorită faptului că viteza este un vector constant, ea este o funcţie constantă de timp.• Viteza medie este egală cu viteza momentană la orice moment de timp.• Din relaţia de definiţie se deduce ecuaţia de mişcare – ecuaţia de dependenţă a
parametrului prin care se determină poziţia momentană a mobilului faţă de timp.
tvxx
ttstpentru
tvxx
tvxx
tvxt
xv
0
0
0
0
,0
tvxx 0
x
t
v(0)
tt0
v0
v
O
Ecuaţia mişcării rectilinii uniforme
Graficul mişcării r
ectilinii u
niforme
Tipuri de mişcăriMişcarea rectilinie uniform variată• Conform enunţului problemei, al doilea mobil se mişcă adăugând vitezei cantităţi egale la intervale de timp egale. Deci, acceleraţia are mărimea constantă, mai mult, mişcarea fiind rectilinie, acceleraţia este un vector constant.
• Ultima afirmaţie de mai sus împreună cu interpretarea grafică a deplasării pe traiectorie sunt suficiente pentru inducerea setului de ecuaţii generale ale mişcării rectilinii uniform variate.
Tipuri de mişcăriMişcarea rectilinie uniform variată• Mobilul se mişcă adăugând
vitezei cantităţi egale la intervale de timp egale.
• Graficul vitezei în funcţie de timp, care exprimă afirmaţia de mai sus, este o dreaptă.
• Graficul funcţiei de gradul I este o dreaptă.
• Deci, graficul vitezei în funcţie de timp exprimă o funcţie de gradul I cu ecuaţia de dependenţă cunoscută sub numele de ecuaţia vitezei.
timpdeetalon interval fiecare la
vitezeiadaugata camtitate'
etalon timpde interval
v
aacceleratiatg
ttgvv
0
v
t
tt0
v0
v
O
Graficul vitezei în funcţie de timp
'v'v'v'v
v(0)
v = v0 + a·t
tavv 0 Ecuaţia vitezei
Tipuri de mişcăriMişcarea rectilinie uniform variată
eiaccelerati marimea0
0
atgt
v
tt
vvtg
v
t
tt0
v0
v
Ov(0)
v
t
tt0
v0
v
O
v(0)
Acceleraţia este orientată în sensul axei Ox, iar dacă viteza iniţială este pozitivă, atunci mişcarea este accelerată
Acceleraţia este orientată în sens opus axei Ox, iar dacă viteza iniţială este pozitivă, atunci mişcarea este încetinită
Tipuri de mişcăriMişcarea rectilinie uniform variată• La punctul b al problemei,
s-a arătat că viteza medie a mişcării în intervalul dat este media aritmetică a valorilor vitezei de la capetele intervalului.
• Pornind de la acest rezultat şi aplicând definiţia fizică a vitezei medii, se demonstrează legea mişcării rectilinii uniform variate.
t
xv
vvvxx
m
m 20
21
tavv
tvv
x
0
0
2
200 2
1attvxx
Ecuaţia mişcării rectilinii uniform variate
Tipuri de mişcăriMişcarea rectilinie uniform variată• Reprezentările grafice scot
în evidenţă, din punct de vedere matematic, că ecuaţia mişcării rectilinii uniform variate este ecuaţia de dependenţă a unei funcţii de gradul II.
• Din punct de vedere fizic, proprietăţile funcţiei care reprezintă dependenţa coordonatei x faţă de timpul t, corespund aspectelor mişcării (accelerată – frânată; cu schimbare de sens – fără schimbare de sens)
a
vtV
0
x
ta
vxxV
20
02
0a
Acceleraţia are mărimea pozitivă, este orientată în sensul axei Ox.Iniţial, viteza este negativă, adică este orientată în sens opus axei Ox. Astfel mişcarea este încetinită în intervalul de timp (0, tV). La momentul tV, viteza se anulează, mobilul se opreşte. În intervalul de timp (tV, ∞) mobilul se mişcă cu sens schimbat, în sensul axei Ox şi accelerat.
x0
top related