b. caracteristici bode pentru elemente de transfer …...sunt inverse, caracteristicile bode din...
Post on 21-Jan-2020
14 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Dragomir, T.L., Teoria sistemelor, Curs anul II CTI, 2014/2015 128
B. Caracteristici Bode pentru elemente de transfer tipizate
1. ET-P Deoarece k)s(H , avem:
0)j(Hargk|)j(H|
, respectiv
0
|k|klg20H
H
dBdB .
Reprezentarea grafica este cea din figura alăturată.
2. ET-I s1)s(H H(jω) =
j1 = -
1j =
1 e-j(п/2)
Deci: |H| =1 |H|dB= - 20lgω= - 20ωlg
iar arg H = -2 ; φH= -
2 .
Diagramele au aspectul din figură.
3. ET-D s)s(H
Caracteristicile Bode ale ET-D se construiesc având în vedere că ET-D este inversul ET-I. 1)
4. ET-Tm se)s(H je)j(H
lgωlgωdB
10τ10τωτ)j(Harg
0H1)j(H,
1)
1) Spaţiile libere se completează la curs.
Dragomir, T.L., Teoria sistemelor, Curs anul II CTI, 2014/2015 129
5. ET-PT1 1TsK)s(H
H(jω) = )T(jarctg2)T(jarctg2
e)T(1
1
e)T(1
1Tj1
1
Deci |H|=2)T(1
1
iar arg H=-arctg ωT.
Modulul |H| se poate aproxima astfel:
|H|≈
.,
;,
1111
TdacaT
Tdaca
(26)
Se introduce notaţia:
ω0 = T1
, (27)
unde ω0 se numeşte pulsaţie de frângere. Atunci relatia (26)
devine:
|H| ≈
;,
;,
Tdaca
T
Tdaca
11
11
.daca),(20;daca,0
H0gg0
0dB
Reprezentarea grafică a caracteristicilor Bode este cea din figură. S-a considerat H=-arctg ωT.
Exemplu : Să se determine caracteristicile Bode ale sistemului
din figură considerând că R=10kΩ şi C=0.01 F.
Cuadripolul are modelul matematic: RCy(1)(t)+y(t)=u(t),
respectiv f.d.t. este:H(s) =1RCs
1
.
Constanta de timp a sistemului este T = RC =
= 104 10-2 10-6 = 10-4 sec=0.1 msec.
Rezultă pulsaţia de frângere ω0 = 14 sec10T1 .
Pentru reprezentarea grafică a caracteristicilor Bode
particularizăm construcţia din cazul general
folosindu-ne de ω0 şi de pante.
6. ET-PD )sT1(K)s(H D
ET-PD este ET invers al ET-PT1.
Dragomir, T.L., Teoria sistemelor, Curs anul II CTI, 2014/2015 130
Ca aplicaţie la cele prezentate se consideră ET-PDT1 . El are f.d.t. sT1sT1K)s(H D
. Pentru
simplitate adoptăm K=1. Elementului de transfer i se poate asocia schema bloc din figură, adică o structură în
care apar înseriate un ET-PD şi un ET-PT1.
Se disting 2 cazuri TD > T ET cu anticipare-întârziere (lead-lag)
T > TD ET cu întârziere anticipare (lag-lead)
7. ET-PT2...F.d.t. este 1sT2sT
KsH 22 )(
sau 2nn
2
2n
s2sKsH
)( . Formulele sunt
legate prin relaţia T1
n .
În figura alăturată sunt reprezentate caracteristicile
Bode ale ET-PT2. Reprezentarea s-a făcut pentru K
= 1. În abscisă s-a considerat variabila lgn
gˆ
, numită pulsaţie raportată, în loc de lg , denumită în
acest context pulsaţie absolută. Amortizarea joacă rol de parametru. Ca urmare, spre deosebire de cazurile
anterioare, nu mai avem două caracteristici ci două familii de caracteristici corespunzătoare diferitelor valori
ale lui . Familia de c.a-p. redă faptul că pentru foarte mică apare un vârf de rezonanţă cu atât mai pronunţat
cu cât valoarea lui este mai redusă.
u sT1 D
y
sT11
Dragomir, T.L., Teoria sistemelor, Curs anul II CTI, 2014/2015 131
8. ET-DT2 H(s) = K·(T2s2+2Ts+1). Întrucât pentru K = 1 cele două elemente de transfer de la punctele 7 şi 8 sunt inverse, caracteristicile Bode din acest caz sunt în principiu simetrice în raport cu axele g sau
lgn
faţă de cele de la punctul 7.
3. Tipuri de probleme în care se folosesc caracteristici Bode
Filtre
Transmiterea, generarea sau prelucrarea de semnale este afectată în general de perturbații. Pentru
prelucrarea semnalelor afectate de perturbaţii se interpun, în aval de receptor filtre. Filtrele sunt sisteme
destinate prelucrării semnalelor de intrare astfel încât semnalele de la ieșirea lor să reţină numai o parte din
componentele semnalului de intrare (sau din spectrul semnalului de intrare). Cu ajutorul filtrelor:
i) pot fi eliminate componentele parazite ale semnalului de intrare, atunci când acesta este afectat din
anumite cauze de perturbaţii parazite, reţinându-se semnalul util (semnalul purtător de informaţie);
ii) pot fi selectate componente dintr-o bandă îngustă din semnalul de intrare necesare pentru prelucrări
ulterioare (filtre selective) sau dintr-o bandă largă (filtre trece jos, - trece bandă sau –trece sus);
componentele din afara plajei fiind rejectate.
Principalul mod de caracterizare al filtrelor îl reprezintă f.d.t. şi caracteristicile Bode asociate.
Ca exemplu, ne referim la trei filtre de ordin 2 care apar frecvent în aplicaţii. De obicei amortizarea lor
are valoarea F 22
. Pulsaţia F este pulsaţia proprie a filtrului. Reprezentăm doar c.a-p.
a) Filtrul trece-jos cu f.d.t. 1sT2sT
1sHFF
22F
F
)( sau 2FFF
2
2F
Fs2s
sH
)( .
b) Filtrul trece-bandă cu f.d.t. 2FFF
2F
s2sssH
)(
Dragomir, T.L., Teoria sistemelor, Curs anul II CTI, 2014/2015 132
c) Filtrul trece-sus cu f.d.t. FFF
2
2
s2sssH
)( .
Definirea unor indicatori de calitate ai sistemelor cu ajutorul caracteristicilor Bode
În tehnică, pentru evaluarea diverselor aparate destinate prelucrării de semnale sau evaluarea unor
sisteme de reglare, se utilizează diferiţi indicatori de calitate, inclusiv indicatori definiţi pe baza caracteristicilor
Bode ale aparatelor, respectiv ale sistemelor de reglare.
De regulă se consideră că atenuările semnificative se produc atunci când 22H . Aceasta înseamnă
dBHlgH dBdB 32220 .
În acest context pe c.a.-p se definesc două mărimi: banda de pulsaţie şi pulsaţia de bandă. Modul în
care sunt definiţi rezultă din figură. Banda de pulsaţie este notată cu b şi reprezintă domeniul de valori ale lui
pentru care | |dBH dB3 . Banda de pulsaţie este mărginită superior de valoarea b numită pulsaţie de
bandă.
Dragomir, T.L., Teoria sistemelor, Curs anul II CTI, 2014/2015 133
Figura evidenţiază şi posibilitatea producerii unor procese rezonante. Ele se manifestă faţă de
componentele sinusoidale ale semnalului de intrare de pulsaţii apropiate de r , pe care le amplifică foarte mult.
Banda de pulsaţii, pulsaţia de bandă şi dBr )j(H sunt considerate indicatori de calitate ai sistemelor.
De regulă se cere ca primii doi să aibă valori cât mai mari, iar cel de ak treia să tindă spre valoarea 0 dB.
§ 3.3 Stabilitatea sistemelor
1. Conceptul de stabilitate Stabilitatea este o proprietate fundamentală a unui sistem, anume: proprietatea de a ajunge într-un
regim de funcţionare impus prin semnalele de intrare şi de a se menţine în acel regim la apariţia perturbaţiilor.
(Conceptul de stabilitate).
Primul aspect al conceptului de stabilitate are în vedere cerinţa ca sistemul să ajungă într-un regim de
funcţionare impus prin aplicarea unui semnal de intrare începând cu un moment t0, în situaţia în care,
până la momentul t0 el se găsea într-un alt regim de funcţionare, datorat formei anterioare de variaţie
a mărimii de intrare.
Figurile a şi b, următoare, se referă la traiectorii reprezentate în spaţiul stărilor. Curbele 1 reprezintă
traiectorii corespunzătoare regimului impus începând cu momentul t0, iar curbele 2 traiectoriile pe care sistemul
evoluează în realitate. În cazul când traiectoria 1 este stabilă, traiectoria 2 trebuie să tindă spre traiectoria 1.
Trecerea nu poate fi instantanee datorită inerţiei sistemului.
Se observă că în situaţia din fig. a traiectoria 2 se apropie de traiectoria 1. Deci regimul 1 este stabil. În
situaţia din fig. b cerinţa nu este îndeplinită, traiectoria 2 se depărtează de traiectoria 1, deci regimul 1 este
instabil.
Cel de al doilea aspect al conceptului de stabilitate se referă
la menţinerea sistemului în regimul de funcţionare impus la
apariţia perturbaţiilor, în ideea că acestea acţionează asupra
sistemului pe un interval de timp limitat. După încetarea
acţiunii perturbaţiilor sistemul trebuie să aibă capacitatea de
a reveni în regimul de funcţionare impus.
Alăturat, în fig. a, curba 1 reprezintă traiectoria neperturbată
(traiectoria pe care sistemul ar evolua dacă asupra lui nu ar acţiona
perturbaţii). În realitate, datorită acţiunii unor perturbaţii care
acționează începând cu momentul t-1, sistemul ajunge pe una din
Dragomir, T.L., Teoria sistemelor, Curs anul II CTI, 2014/2015 134
traiectoriile 2. Perturbaţiile încetează la momentul t0. Se observă că traiectoriile 2 converg spre traiectoria 1.
Aceasta înseamnă că regimul de funcţionare reprezentat prin traiectoria 1 este stabil. În medalioane se detaliază
două situaţii. În cazul din fig. b traiectoriile 2 ajung în regim permanent constant (pentru t ), la fel ca şi
traiectoria 1, în starea x*; spunem să regimul de funcţionare este asimptotic stabil. În cazul din fig. c traiectoriile
2 ajung în final într-o vecinătate a stării x*; spunem că regimul de funcţionare este stabil.
Conceptul de stabilitate fiind asociat regimului de funcţionare al unui sistem, vorbim de stabilitatea
regimului de funcţionare respectiv. Un sistem poate avea regimuri de funcţionare stabile dar şi regimuri de
funcţionare instabile. De aceea, vom spune că un sistem este stabil numai atunci când toate regimurile de
funcţionare ale sistemului sunt stabile.
Prezentarea anterioară a fost de factură calitativă. Plecând de la exemplele date putem trece în
continuare la o abordare cantitativă. Un regim de funcţionare al unui sistem este descris prin ansamblul variaţiei mărimilor caracteristice ale
acestuia pe un interval de timp finit sau infinit. Datorită inerţiei sistemului regimul impus nu se poate instala sau
reinstala instantaneu ci doar temporizat, printr-un proces tranzitoriu. Fie )t(x* şi )t(y* semnalele corespun-
zătoare mărimilor de stare şi de ieşire care descriu regimul de funcţionare impus unui sistem în timp continuu
prin aplicarea semnalului de intrare )t(u* . Fie x(t) şi y(t) semnalele care descriu variaţiile mărimilor de stare şi
de ieşire în regimurile tranzitorii ce urmează momentului impunerii noului regim de funcţionare sau momentului
încetării acţiunii perturbaţiilor. În cazul când regimul de funcţionare este stabil, valorile curente, x(t) şi y(t), ale
stării şi ieşirii diferă la începutul procesului tranzitoriu de valorile impuse )t(x* şi )t(y* , dar ajung în
vecinătatea lor odată cu trecerea timpului.
În contextul de mai sus proprietatea de stabilitate poate fi urmărită prin intermediul diferenţelor
)t(x)t(x)t(x * , (1)
respectiv
)t(y)t(y)t(y * , (2)
conceptul de regim stabil formulându-se astfel:
Regimul de funcţionare al unui sistem este considerat stabil dacă începând cu un anumit moment t0
diferenţele )t(x)t(x)t(x * sau )t(y)t(y)t(y * pot fi păstrate între anumite limite sau,
mai mult, dacă 0)t(xlimt
sau 0)t(ylimt
.
Dacă proprietatea este valabilă pentru orice regim impus )t(*x spunem că sistemul este stabil.
Atunci când urmărim problema stabilităţii regimurilor prin intermediul mărimilor de stare x, vorbim
despre stabilitate internă, şi definim stabilitatea regimului prin următorul enunţ cunoscut în literatură sub
denumirea de stabilitate în sens Liapunov:
Regimul impus )t(x* este stabil dacă pentru orice 0 ( R ) şi orice Rt0 există R)t,( 0
astfel încât: dacă )t,(xx)t(x 00*00 atunci şi )t(x)t(x)t(x * pentru t>t0.
Dragomir, T.L., Teoria sistemelor, Curs anul II CTI, 2014/2015 135
Dacă există cel puţin o stare iniţială 0x pentru care implicaţia )t,(xx)t(x 00*00 →
)t(x)t(x)t(x * nu este valabilă, regimul impus este considerat instabil.
Dacă în definiţia stabilităţii în sens Liapunov )t,( 0 este o cantitate care nu depinde de momentul
iniţial t0, (notăm acest lucru scriind )( ), spunem că regimul impus este invariant stabil în timp sau că regimul
impus este uniform stabil. Dacă, în plus, pentru orice 0 ( R ) există un )(0 astfel încât dacă
)()t(x 00 atunci şi 0)t(xlimt
spunem că regimul impus este asimptotic stabil.
Stabilitatea internă poate fi studiată folosind ca o variabilă de stare auxiliară, pe )t(x)t(x)t(x~ * . În
acest caz diferenţa )t(x)t(x)t(x * are tocmai semnificaţia variabilei de stare nou introduse, iar
)t(x)t(x * este echivalentă cu 0)t(x~ . Problema este astfel redusă la stabilitatea regimului 0)t(x~ .
În cazul în care urmărim stabilitatea sistemului prin diferenţa )t(y)t(y)t(y * vorbim despre
stabilitatea externă a sistemului. Totodată, vom reţine că pentru sistemele liniare stabilitatea internă
asimptotică a unui sistem implică stabilitatea externă a acelui sistem.
Stabilitatea internă este din punct de vedere teoretic un concept deosebit de important prin faptul că
furnizează mijloace sistematice de investigare a stabilităţii şi permite obţinerea a numeroase rezultate. Din punct
de vedere experimental stabilitatea internă este însă un concept cu care de cele mai multe ori nu se poate
opera. Explicaţie: pe de-o parte, nu toate variabilele de stare sunt măsurabile, iar pe de altă parte, provocarea
unor situaţii experimentale acoperitoare din punctul de vedere al variabilelor de stare este de regulă imposibilă.
Experimental se operează cu conceptul de stabilitate externă prin raportarea variației semnalului de
ieșire y(t) la variația semnalul de intrare u(t). Forma de operare este: „intrarea mărginită implică ieşire
mărginită”. Conceptul este cunoscut sub denumirea de BIBO-stabilitate (Bounded Input Bounded Output –
Stability). El caracterizează comportarea sistemului într-un număr foarte mare de regimuri de funcţionare.
Conceptul de BIBO-stabilitate se utilizează în practică sub forma următoare:
„Se aplică sistemului un semnal de intrare )t(u* mărginit în amplitudine şi limitat în durată, adoptat
astfel încât să solicite sistemul cât mai puternic din punctul de vedere al funcţiei pe care sistemul o
îndeplineşte. Dacă răspunsul sistemului la această solicitare este mărginit atunci se consideră că
regimurile de funcţionare cauzate de funcţii de intrare u(t) mai puţin solicitante decât )t(u* vor fi, de
asemenea mărginite, deci stabile extern.”
În figurile următoare apar câteva exemple referitoare la BIBO – stabilitate.
Fig. a: Pentru un sistem de tip SISO sunt ilustrate un semnal de intrare şi răspunsul sistemului la acest
semnal. Se observă că max* u)t(u şi că există un ymax astfel încât maxy)t(y . În ipoteza că acest
tip de comportare este general valabil, vom considera că sistemul este BIBO-stabil.
Dragomir, T.L., Teoria sistemelor, Curs anul II CTI, 2014/2015 136
Fig. b: La intrările unui sistem MIMO, cu două intrări şi două ieşiri, se aplică două semnale de intrare
)t(u*1 şi )t(u*
2 mărginite în amplitudine ( max* u)t(u 11 şi max
* u)t(u 22 ). Răspunsul sistemului,
redat de semnalele )t(y1 şi )t(y2 , nu verifică în ansamblu condiţiile max* y)t(y 11 şi
max* y)t(y 22 . A doua condiţie fiind încălcată înseamnă că sistemul nu este BIBO – stabil. Aceasta
nu exclude existenţa unor semnale de intrare mărginite la care sistemul să răspundă cu semnale de
ieşire mărginite.
În cele prezentate în această secţiune, până aici, ne-am referit doar la sisteme în timp continuu.
Conceptele sunt valabile şi pentru sistemele în timp discret. Pentru aceste sisteme urmărirea proceselor care au
loc se realizează prin intermediul valorile mărimilor caracteristice corespunzătoare numai momentelor de
discretizare. Traiectoriile sunt constituite din puncte discrete şi nu din curbe continue.
2. Criteriul rădăcinilor
S-a precizat anterior că „stabilitatea internă a oricărui regim poate fi studiată folosind ca variabilă de
stare pe )t(x)t(x)t(x~ * şi că în acest caz problema este redusă la stabilitatea regimului 0)t(x~ ”, adică la
stabilitatea punctului 0x~ .
Fie sistemul liniar în timp continuu:
)t(Du)t(Cx)t(yx)t(x , )t(Bu)t(Ax)t(x 00
(3)
În cazul traiectoriilor notate cu 1 în figurile din secțiunea 1, sistemul evoluează sub acțiunea semnalului
de intrare u*(t), t > t0, plecând din starea inițială 0x . În cazul traiectoriilor notate cu 2 în aceleași figuri sistemul
Dragomir, T.L., Teoria sistemelor, Curs anul II CTI, 2014/2015 137
evoluează tot sub acțiunea semnalului de intrare u*(t), t > t0, dar plecând din starea inițială 0x . Ca urmare )t(x*
și )t(x vor satisface relațiile:
*00
*** x) x(t, (t)Bu(t)Ax(t)x
00 x) x(t, (t)BuAx(t)(t)x
Atunci, scăzându-le membru cu membru și introducând variabila de stare )t(x)t(x)t(x~ * , se obţine
sistemul
0000 tt,xx)t(x~),t(x~A)t(x~ * . (4)
Polinomul caracteristic al matricei A (matrice de tipul n x n), este
)AsIdet()s( . (5)
În acest context este valabil următorul rezultat cunoscut sub denumirea de criteriul rădăcinilor sau
criteriul fundamental al stabilităţii pentru sistemele liniare în timp continuu:
Sistemul (3) este:
o asimptotic stabil atunci când valorile proprii ale polinomului caracteristic (5) au partea reală
strict negativă,
o stabil atunci când unele valori proprii au partea reală strict negativă iar restul sunt pur
imaginare, dar simple (în acest caz se mai spune că sistemul este “la limita de stabilitate”)
şi
o instabil în restul cazurilor.
Celor trei situaţii le corespund reprezentările din figură.
În cazul sistemului în timp discret
]t[Du]t[Cx]t[yx]t[x , ]t[Bu]t[Ax]t[x 001
, (6)
similar sistemului (4), obţinem
00001 tt,Nt,xx]t[x~],t[x~A]t[x~ * . (7)
Dragomir, T.L., Teoria sistemelor, Curs anul II CTI, 2014/2015 138
cu polinomul caracteristic
)AzIdet()z( . (8)
În acest caz este semnificativă amplasarea rădăcinilor polinomului caracteristic în raport cu cercul de
rază unitară 1z . Criteriul rădăcinilor (criteriul fundamental al stabilităţii) pentru sistemele în timp discret
este:
Sistemul (7) este:
o asimptotic stabil atunci când valorile proprii ale polinomului caracteristic (8) sunt în modul
subunitare, adică n;i,z i 11 ,
o stabil dacă, cu excepţia unor rădăcini simple amplasate pe cercul 1z , restul rădăcinilor
sunt în interiorul cercului unitar (sistem la limita de stabilitate)
şi
o instabil în restul cazurilor.
De data aceasta, celor trei situaţii le corespund reprezentările următoare:
Se observă că analizarea stabilităţii sistemelor liniare pe baza calculării valorilor proprii (rădăcinilor) se
reduce, formal, la identificarea amplasării imaginilor lor în planul complex faţă de axa imaginară a planului
complex „s” (în cazul sistemelor în timp continuu), respectiv faţă de cercul de rază unitate 1z din planul
complex „z” (în cazul sistemelor în timp discret).
Majoritatea programelor de analiză a stabilităţii sistemelor se bazează pe acest criteriu şi pe metode
numerice de rezolvare a ecuaţiilor polinomiale.
3. BIBO – stabilitatea sistemelor liniare, Criteriul răspunsului la impuls.
Limităm prezentarea la cazul SISO, corespunzător sistemului:
00 0
t,
)t(du)t(xc)t(y
x)(x , )t(bu)t(Ax)t(xT
(9)
pentru care răspunsul sistemului la semnalul de intrare 0t),t(*u este 2)
2) Textul scris cu roşu pe fond gri nu se cere pentru examen.
Dragomir, T.L., Teoria sistemelor, Curs anul II CTI, 2014/2015 139
)t(dud)(bueC)(xec)t(yt
*)t(AAtT
0
0 . (10)
Dacă ţinem seama de funcţia răspuns cauzal la impuls T At
0 , t 0 h(t)
c e b , t 0
, rezultatul devine
)t(udd)(u)t(h)(xec)t(y *t
*AtT 0
0 . (11)
Potrivit conceptului de BIBO – stabilitate introdus în secţiunea 1 a acestui paragraf răspunsul y(t) al sistemului (9) la o intrare 0t),t(*u mărginită trebuie să fie mărginit. Semnalul )t(*u fiind mărginit
deducem că şi termenul )t(*ud este mărginit. Ca urmare, trebuie să fie mărginită suma
t
*AtT d)(u)t(h)(xec0
0 . Întrucât, )(x 0 şi )t(*u sunt cantităţi independente, rezultă că, pe de-o
parte răspunsul liber )(xec AtT 0 trebuie să fie mărginit, iar pe de altă parte că răspunsul forţat
t
* d)(u)t(h0
trebuie să fie mărginit.
Ţinând seama de (11) deducem că
t
max
t*
t*
t* d)t(hud)(u)t(hd)(u)t(hd)(u)t(h
0000
,
respectiv inegalitatea t
max
t* d)(hud)(u)t(h
00
. Deoarece proprietatea trebuie să fie adevărată
pentru orice t > 0 rezultă că
00
d)(hud)(u)t(h max* . (12)
Ca urmare, termenul t
0duth )()( * să fie mărginit atunci când 0t),t(*u este mărginită,
adică:
Pentru ca sistemul (9) să fie BIBO stabil este necesar şi suficient ca funcţia răspuns la impuls unitar
h(t) să fie absolut convergentă adică
0
d)(h să ia o valoare finită. (Criteriul răspunsului la
impuls).
Întrucât h(t) = bec AtT H(s) = b)AsI(cT 1 , o condiţie necesară şi suficientă pentru ca h(t) să fie absolut convergentă este ca toate valorile proprii ale matricei A, adică toţi polii funcţiei de transfer H(s), să îndeplinească condiţia 0sRe i . În consecinţă:
Pentru ca sistemul (9) să fie BIBO – stabil, o condiţie necesară şi suficientă este ca sistemul (9) să fie asimptotic stabil.
Similar, pentru sistemul în timp discret:
]t[du]t[xc]t[y
x][x , ]t[bu]t[Ax]t[xT
001 (13)
Dragomir, T.L., Teoria sistemelor, Curs anul II CTI, 2014/2015 140
este valabilă precizarea:
Pentru ca sistemul (13) să fie BIBO – stabil, o condiţia necesară şi suficientă este ca sistemul să fie asimptotic stabil. Aceasta înseamnă n;i,z i 11 .
În locul condiţiei „
0
d)(h mărginită”, în cazul sistemului (13) în criteriul răspunsului la impuls apare
condiţia „
0t]t[h mărginită”.
Exemplul 1: Să se analizeze stabilitatea internă şi existenţa proprietăţii de BIBO – stabilitate pentru sistemul de poziţionare.
Soluţie: Matricea A =
0010
a sistemului de poziţionare are valorile proprii s1 = s2 = 0. Deoarece
valoarea proprie este pe axa imaginară şi este dublă sistemul este instabil şi nu are proprietatea de BIBO - stabilitate.
Exemplul 2: Să se analizeze stabilitatea internă şi existenţa proprietăţii de BIBO – stabilitate pentru
sistemul
[t]x[t]x
01y[t]
u[t]a0
[t]x[t]x
0010
1][tx1][tx
2
1
2
1
2
1
.
Soluţie: Şi în acest caz A =
0010
iar valorile proprii sunt z1 = z2 = 0. Datorită faptului că valoarea
proprie este în origine (deci în interiorul cercului de rază unitară) sistemul este stabil şi are proprietatea de BIBO - stabilitate.
top related