ascs seminar 2013
Post on 17-Dec-2015
122 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
-
Ediia 1 - Galai -2013
Analiza i sinteza circuitelor i sistemelor
Exerciii pentru seminar
Autor:
Aiordchioaie Dorel
-
Analiza i sinteza circuitelor i sistemelor. Exerciii pentru seminar
2
Cuprins Nr. Denumire Tematica Pag.
1. Reprezentarea sistemelor dinamice. Recapitulare.
Transformata Laplace / Z Conversie modele: fdt > zpk, Conversie modele intrare-iesire fdt Caracteristici de frecventa Calculul functiei de transfer pentru sisteme in timp continuu si in timp discret Ecuatia in diferente
3
2. Analiza sistemelor si
circuitelor prin grafuri de semnal
Calculul functiei de transfer cu ajutorul grafurilor de fluenta Analiza circuitelor cu grafuri de semnal
23
3.
Analiza circuitelor elementare cu
amplificatoare operationale ideale.
Conversia: funcie de
transfer caracteristici Bode asimptotice
Analiza circuitelor I1, I2, D1, D2 si D3. (ec. diferentiala si fdt) Trasarea caracteristicilor Bode pentru aceste circuite.
33
4.
Reprezentari de stare forme canonice
Conversia functie de transfer modele de stare canonice Trasarea caracteristiclor asimptotice plecand de la functia de transfer
46
5. Discretizarea sistemelor i evaluarea stabilitii Discretizarea cu metodele extrapolator si Tustin Evaluarea stabilitatii cu Hurwitz si Nyquist 58
6. Analiza uniporilor i diporilor
Echivalena i inversarea uniporilor Diagrame poli-zerouri Calculul parametrilor Z Valori normalizate Echivalena diporilor Teorema lui Bartlett
78
7. Sinteza uniporilor LC i RC Metode Foster si Cauer
95
8. Anexa 1 Transformata Laplace 106 9. Anexa 2 Transformata Z 107
-
3
Seminar 1. Reprezentarea sistemele dinamice. Recapitulare
Mrimile fizice care intervin ntr-un proces fizic (in general) sau circuit (in particular) pot fi clasificate n: mrimi cu variaie independent, numite mrimi de intrare, i mrimi care sunt dependente de cele de intrare, numite mrimi de ieire. Notaia generic a marimilor de intrare este u(t), iar a mrimilor de ieire, y(t).
Legtura ntre mrimile de intrare i cele de ieire (transferul intrare-ieire) este dat de modelul matematic al sistemului/procesului fizic respectiv. In accepiunea teoriei sistemelor, acest model matematic se numete sistem sau sistem dinamic. Mrimile de intrare sunt mrimi cauz, iar cele de ieire sunt mrimi efect. O condiie care se impune unui model (deci,unui sistem dinamic), pentru ca el s poat reflecta un proces fizic, este cauzalitatea. Cauzalitatea implic faptul c un efect nu poate apare independent de cauz i naintea cauzei. Se spune c un sistem este strict cauzal, dac efectul apare strict dup cauz. Dac exist efecte sau componente ale efectelor care apar simultan cu cauza, sistemul se numete la limit cauzal. O mrime de intrare aplicat la intrarea unui sistem strict cauzal produce modificarea mrimii de ieire printr-un regim dinamic, astfel nct nu exist un transfer instantaneu intrare-ieire. Transferul instantaneu poate caracteriza parial relaia intrare ieire, doar n cazul sistemelor la limit cauzale. Pentru sistemele uzuale se pot specifica: (1) ecuaia intrare-ieire ; (2) rspunsul la impuls i (3) funcia indicial, (4) funcia de transfer; (5) distribuia poli-zerouri ; (6) rspunsul la frecven; (7) expresiile amplificrii; (8) defazajului; caracteristicile (9) Nyquist i (10) Bode. Sistemele liniare se prezint distinct pentru cazurile: timp continuu i, respectiv, timp discret.
1. Modele intrare-ieire pentru sisteme liniare Pentru un sistem liniar de ordinul n, in timp continuu, modelul intrare-ieire este
1 1
1 0 1 01 1d d d... ...d d d
n n n
n nn n ny y ua a y b b u
t t t
(1)
Dac sistemul este la limit cauzal, n partea dreapt a ecuaiei (1) intervine i termenul
dd
n
n nub
t. Mrimea de intrare u(t), t 0, determin un rspuns al sistemului care depinde i de
condiiile iniiale : n-10 01d d0 ; ; ;d dt tn
y yyt t
(1.a)
In timp discret, modelul intrare-ieire n domeniul timp este dat ecuaia n diferene liniar :
-
Analiza i sinteza circuitelor i sistemelor. Exerciii pentru seminar
4
1 2 11 2 ... 1 ...n ny k a y k a y k a y k n b u k b u k n (2)
La aplicarea unei mrimi de intrare u[k], k0, evoluia rspunsului, y[k], depinde i de condiiile iniiale
0 , 1 , , 1y y y n (2.a)
Atunci cnd sistemul este la limit cauzal, n partea dreapt a ecuaiei (2) intervine i termenul
0 ( )b u k .
2. Funcia de transfer
Pentru sistemele cu timp continuu, se aplic transformata Laplace ecuaiei (1), considernd condiiile iniiale nule :
1 11 0 1 0n n nn ns Y s a s Y s ... a Y s b s U s ... b U s (3) Prin definiie, functia de transfer este raportul transformatelor Laplace
Y sH s
U s
= 11 01
1 0
nn
n nn
b s ... bH ss a s ... a
(4) unde Y(s) i U(s) sunt deduse n condiii iniiale nule. Pentru un sistem cu timp discret, funcia de transfer este raportul transformatelor z ale variabilelor de ieire i de intrare, deduse n condiii iniiale nule :
Y z
H zU z
(5) Pornind de la ecuaia n diferene (2), prin aplicarea transformatei z n condiii iniiale nule, se obine:
1 2 1 21 2 1 2n nn nY z a z Y z a z Y z ... a z Y z b z U z b z U z ... b z U z (6) de unde rezult :
1 21 21 21 2
...1+ ...
nn
nn
b z b z b zH za z a z a z
(7)
sau, n raport cu variabila z :
1 21 2 11 2 11 2 1
...+ ...
n nn n
n n nn n
b z b z b z bH zz a z a z a z a
(8)
Observaie: Caracterul cauzal al unui sistem se remarc uor, dup cum urmeaz. Dac se noteaz cu n i m gradele polinoamelor de la numitorul, respectiv numrtorul funciilor de transfer n s sau n z, se disting trei situaii :
-
Seminar 1. Reprezentarea sistemelor dinamice. Recapitulare.
5
nm : sistemul este est cauzal (strict cauzal).
3. Distribuia poli-zerouri Considernd c toi coeficienii din funcia de transfer (4) sunt nenuli, modelul intrare-
ieire al unui sistem cu timp continuu strict cauzal de ordinul n se pune sub forma:
1 2 1 2
1 2 0 2 01 1
1 0 1 0
... ...... ...
n n n nn n n
n n n nn n
P sb s b s b s b s bH s K KQ ss a s a s a s a
(1) unde 1nK b . Notnd prin , 1, 1iz i n , zerourile i prin , 1,ip i n , polii lui H(s), modelul intrare-ieire n domeniul s se poate exprima, pn la constanta K, prin mulimea polilor i zerourilor sistemului. In mod similar, funcia de transfer a sistemului strict cauzal cu timp discret poate fi poate fi descris, pn la o constant, de distribuia poli-zerouri n planul z. Reprezentrile prin distribuii poli-zerouri n planul s sau n planul z (fig. 1) presupun utilizarea funciilor de transfer de tipul :
1
1
1
ni
in
ii
s zH s K
s p
, respectiv
1
1
1
ni
in
ii
z zH z K
z p
(2)
n care cei 2n parametri ce definesc modelul sistemului strict cauzal sunt: , 1,ip i n , , 1, 1iz i n i K.
Figura 1. Distribuia poli-zerouri pentru sisteme cu timp continuu (a) i cu timp discret (b)
4. Rspunsul la impuls i rspunsul indicial Fie un sistem cauzal de ordinul n, avnd funcia de transfer H(s). Prin definiie, transformatele Laplace ale variabilelor de intrare i de ieire, deduse n condiii iniiale nule, sunt legate prin relaia
-
Analiza i sinteza circuitelor i sistemelor. Exerciii pentru seminar
6
Y s H s U s (1) Considernd sistemul n condiii iniiale nule, se vor analiza, consecutiv, rspunsurile sistemului la trei tipuri de semnale aplicate la intrare. I. Cazul cnd la intrare se aplic un impuls unitar, u(t) = (t). Intruct 1U s t L , imaginea Laplace a rspunsului la impuls este Y s H s , iar rspunsul la impuls se obine prin transformata Laplace invers a funciei de transfer :
1y t h t H s L (2) Pentru deducerea expresiei analitice a rspunsului la impuls, h(t), se va admite, pentru
nceput, ca exemplu, c funcia de transfer are poli distinci. n acest caz, adica prin descompunere in fractii simple, H(s) se poate pune sub forma:
1
nk
kk
rH ss p
(3) n care pk i rk sunt polii funciei de transfer i reziduurile aferente. Rspunsul la impuls are expresia analitic :
11 1
e kn n p tk
kk kk
rh t rs p
L (4)
fiind definit prin 2n parametri, ca i funcia de transfer (n funcia de transfer se consider i coeficienii nuli). Dac ntre cei n poli simpli, exist poli compleci conjugai, de forma , 1k k k kp j , atunci reziduurile aferente vor fi complexe conjugate : , 1k k k kr a jb , iar termenii afereni din expresia (3) pot fi pui sub forma :
1
2 21
k k k k
k k k k
r r A s Bs s s s s
(5) Polii , 1k kp introduc urmtoarea component n rspunsul la impuls :
1
2 2e sinktk k k k k
k k
A s B D ts
L (6)
n care
; arctgsin
k kk k
k k k k
ADB A
(6.a)
Rspunsul la impuls a crei form parametric este dat de relaia (4) este complet definit prin 2n parametri: 1i ir ,s ,i ,n .
-
Seminar 1. Reprezentarea sistemelor dinamice. Recapitulare.
7
II. Cazul cnd la intrare se aplic o trapt unitar, u(t)= (t). Deoarece
1U s u t s L (1) rezult c /Y s H s s iar rspunsul sistemului, numit rspuns indicial, se poate deduce analitic cu relaia
1 1 1y t Y s H ss L L (2)
Intruct factorul 1/s are semnificaie operaional de integrare, rezult relaia dintre rspunsul indicial i rspunsul la impuls:
t10
dy t h t h (3) Se poate defini urmatoare metodologiei schematizata de conversie a modelelor prezentate:
III. Cazul cnd la intrare se aplic un semnal oarecare, u(t). Transformata Laplace a rspunsului este dat de relaia general Y s H s U s i rezult
1 1y t Y( s ) H s U s L L (4) iar relaia intrare-ieire a sistemului este exprimat prin produsul de convoluie :
y t h t u t (5) Avnd n vedere c h(t) i u(t) sunt egale cu zero pentru t
-
Analiza i sinteza circuitelor i sistemelor. Exerciii pentru seminar
8
Astfel, dac funcia de transfer H(z) a unui sistem cauzal are polii simpli, , 1,ip i n , i reziduurile , 1,ir i n , atunci ea poate fi pus sub forma:
1 11 11
n ni i
i ii i
r r zH zz p p z
(7) i rspunsul la impuls al sistemului cu timp discret este
11 1 11 1n i
i i
r zh k H z Zp z
Z 1
11,2,... .
n ki i
ir .p , k
(8)
Deoarece transformata z a treptei unitare cu timp discret este 111U z z , rezult funcia indicial a sistemului cu timp discret:
1 1 11 01 ( )1 kiy k h k H z h iz Z (9) Dac semnalul de intrare este oarecare, atunci pe baza relaiei Y z H z U z se obine
1 1y k Y z H z U z h k u k Z Z (10)
i modelul intrare-ieire se prezint prin expresia convoluiei discrete :
0
k
iy k h i u k i
(11)
5. Reprezentarea frecvenial a sistemelor
Modelele frecveniale au la baz o alt abodrare n caracterizarea transferului: intrare u(t) ieire y(t). Variabilele u(t) i y(t) sunt descrise prin funciile spectrale U(j) i, respectiv Y(j) (transformatele Fourier ale variabilelor de intrare - ieire). Este tiut c aceste funcii complexe exprim:
- caracteristicile densitilor spectrale de amplitudine:
U ; Y , i
- caracteristicile spectrale de faz.:
arg ; argu yU Y . Modelul frecvenial este definit prin intermediul a dou caracteristici:
-
Seminar 1. Reprezentarea sistemelor dinamice. Recapitulare.
9
- caracteristica de amplificare, A(), care permite determinarea funciei Y , cunoscnd pe U :
Y A U (1)
- caracteristica de faza (mai exact, de defazaj), )( , prin care se determin funcia y , cunoscnd pe u :
y u (2) Deci, n esen, modelul frecvenial definete legtura dintre semnalele u(t) i y(t), modelate spectral, utiliznd caracteristici de frecven, i anume : caracteristica de amplificare i caracteristica de defazaj. Determinarea rspunsului la frecven se face nlocuind s=j n funcia de transfer i calculnd modulul i argumentul funciei H(j). Fie H(s) funcia de transfer a unui sistem, sunt valabile relatiile
YA H jU
(3)
arg H j (4) Funcia H(j) numit rspuns la frecven furnizeaz cele dou caracteristici care descriu transferul intrare-ieire, i anume: caracteristica de amplificare, A(), i caracteristica de faz, (). Ea poate fi pus sub forma
e jH j A (5) Se poate arata ca
e jH j A (6) deci A() este o funcie par, iar () impar. Rspunsul la frecven poate fi pus si sub forma
H j P j Q (7) unde P() este par iar Q() impar.
6. Reprezentri grafice ale rspunsului la frecven In general, reprezentarea grafic a rspunsului la frecven se face n dou moduri: locul de transfer (caracteristica Nyquist) caracteristicile logaritmice de frecven (caracteristicile Bode)
Locul de transfer (caracteristica Nyquist) este locul geometric n planul complex al vrfului vectorului H(j), atunci cnd variaza de la - la +. Uzual se utilizeaz ramura aferent domeniului de frecven [0 +). In figura 2 se prezint un exemplu de loc de transfer. Pentru
-
Analiza i sinteza circuitelor i sistemelor. Exerciii pentru seminar
10
un punct M de pe locul de transfer, cruia i corespunde pulsaia *, amplificarea i defazajul se determin direct din diagram : amplificarea A(*) este dat de *OM H j iar defazajul este * *arg H j .
Figura 2. Caracteristica Nyquist
Caracteristicile logaritmice de frecven (caracteristicile Bode)
Reprezentarea Bode a rspunsului la frecven implic dou caracteristici distincte (fig. 3) :
caracteristica amplificrii exprimat in decibeli [dB] n funcie de pulsaie:
20log 20logdBA A H j (1) caracteristica de faz
arg H j (2)
Figura 3. Caracteristici Bode
La ambele caracteristici, pulsaia n abscis se consider n scar logaritmic. Fie H(j) rspunsul la frecven al unui sistem, exprimat ca produsul funciilor de transfer
1H j i 2H j . Caracteristicile Bode pentru 1 2H j H j H j se deduc pe baza celor aferente funciilor 1( )H j i 2H j , astfel:
1 220log 20log 20logH j H j H j (3)
1 2arg arg argH j H j H j (4) sau
-
Seminar 1. Reprezentarea sistemelor dinamice. Recapitulare.
11
1 2dB dB dBA A A , 1 2 (5) Deci, caracteristicile Bode ale sistemului se obin prin nsumare, din cele aferente funciilor de transfer 1H j i 2H j .
Rspunsul la frecven al sistemelor cu timp discret Fie H(z) funcia de transfer a unui sistem discret, unde esTz e , Te fiind perioada de eantionare. Prin substituia s j se impune ca punctul curent din planul complex s s fie situat pe axa imaginar. Intruct semnalele de intrare-ieire sunt eantionate, este necesar ca s fie n domeniul
2 2e e , care corespunde fiei de baz (fig. 4.a). Pulsaia e/2 se mai
numete pulsaie Shannon. Substituia s j n e esTz plaseaz variabila z pe cercul unitar n planul z (fig. 4.b).
Figura 4. Traiectoriile punctului curent n planurile s i z, asociate rspunsului la frecven
Rspunsul la frecven al sistemelor cu timp discret se obine prin nlocuirea variabilei z cu e ej T n funcia de transfer in z:
( ) ( )e j Te
j Tz eH e H z
(1)
Caracteristicile de amplificare i de faz sunt definite prin relaiile:
20loge ej T j TdBA H e ; A H e (2)
arg e ej TH ; 0 2e (3) i genereaz reprezentrile grafice prezentate anterior.
-
Analiza i sinteza circuitelor i sistemelor. Exerciii pentru seminar
12
2: Exercitii
Obiectiv: Recapitulare despre sisteme dinamice liniare: reprezentare prin ec. diferentiale, functii de transfer, calculul raspunsului la impuls. Exercitiu 1-2: Sa se stabileasca diverse modele matematice (ecuatie diferentiale, functie de transfer, raspuns la impuls, raspuns la treapta unitara, etc) pentru circuitele fizice din figurile urmatoare si valorile: R1=1 kOhm; R2 = 2 kOhm; C = 100 uF; L = 100 H.
(a) (b)
Solutie pentru (a): Trebuie sa stabilim o legatura intre iesirea circuitului y(t) si intrarea acestuia u(t). Relatia se obtine usor folosindu-ne de relatiile de legatura dintre tensiuni si curenti, precum si de relatiile constitutive (functionale) ale elementelor de circuit: Pentru figura (a):
)(2200
)(1)( 3 tiRcUt
diC
ty (1) )(3)(2)(1 tititi (2) )()(11)( tytiRtu (3)
In conditii initiale nule, 00 cU . Scotand curentii din (1) si (2) si inlocuind in (3) se obtine:
2
)()(2;)()(3 R
tytidt
tdyCti (4) )()(31)(21)( tytiRtiRtu (5.a) )()(1
)(1)(
2ty
dttdyCR
RtyRtu (5.b)
1)()()(
2
11 R
Rtydt
tdyCRtu (5.c)
sau, expresia finala:
)(1)()(
112
21 tuCR
tyCRRRR
dttdy (5.d)
ceea ce corespunde formei simbolice generale:
-
Seminar 1. Reprezentarea sistemelor dinamice. Recapitulare.
13
)()()( 00 tubtyadttdy (5.e)
cu
1010100101
11;1510100102
103631
063
3
21
210
CRbCRRRRa (5.c)
Calculul functiei de transfer: In conditii initiale nenule, se aplica transformata Laplace ecuatiei (5.d) si se obtine:
)()()( 00 sUbsYasYs (7) Rezulta
1510
)()()(
0
0 sas
bsUsYsH (8)
Calculul raspunsului la impuls:
0),()}({)( 000
011
ttueb
asb
LsHLth ta (9)
Modelul in timp discret: Ec. dif. in timp cont inuu poate fi transformata in ecuatie in diferente tinand cont de definitia derivatei (backward):
TTkykTy
dttdy ))1(()()( (9.a)
sau forward
TkTyTky
dttdy )())1(()( (9.b)
cu T perioada de esantionare. Cu formula (9.a) rezulta:
)()())1(()( 00 kTubkTyaTTkykTy (10)
sau )())1(()(1 00 kTubTTkykTyaT (11) sau
)(1))1((11)(
0
0
0kTu
aTbT
TkyaT
kTy (11)
sau
][1]1[11][
0
0
0ku
aTbT
kyaT
ky (11)
sau ][]1[][ 01 kubkyaky dd (11)
-
Analiza i sinteza circuitelor i sistemelor. Exerciii pentru seminar
14
unde
0099,01
;9852,01
1
0
00
01
TabT
bTa
a dd (5.c)
Functia de transfer in timp discret este
)()()( 01
1 zUbzYzazY dd (12.a) sau
11
0
1
0
1)()()(
za
baz
zbzUzYzH
d
d
d
d (12.b)
Observatie: Cu formula (9.b) rezulta un model instabil (pol in afara cercului de raza unitara !)
)()()())1(( 00 kTubkTyaTkTyTky (10)
sau )()(1))1(( 00 kTubTkTyaTTky (11) sau ][][1]1[ 00 kubTkyaTky (11) sau
][][]1[ 00 kubkyaky dd (11) unde
01.0;015,11 0000 bTbTaa dd (5.c) Functia de transfer in timp discret este
)()()( 00 zUbzYazYz dd (12.a) sau
015.101.0
015.1101.0
1)()()( 1
1
10
10
zzz
zazb
zUzYzH
d
d (12.b)
Rezultate obtinute prin simulare numerica. Programul de simulare si rezultatele sunt prezentate in continuare. clc; clear; clf; % parametrii fizici: R1 = 1000; R2 = 2000; C = 100e-6; %1). simularea modelului bazat pe ecuata diferentiala: % coeficientii ec. diferentiale: b0 = 1/R1/C; b = [b0]; a0 = (R1+R2) / R1 /R2 / C; a = [1 a0]; N = 100; T = 0.01; t = 0:T:(N-1)*T; N0 = round(N/5); u = [zeros(1,N0) ones(1,N-N0)]; u = ones(1,N);
-
Seminar 1. Reprezentarea sistemelor dinamice. Recapitulare.
15
y = lsim(b,a,u,t); % functia de baza; % plot results: subplot(221),plot(t,1.1*u); title('Intrarea'); subplot(222),plot(t,y); title('Iesirea'); % 2) calculul raspunsului la semnal treapta via H(s); num = [b0]; den = [1 a0]; sys = tf(num,den); hm = impulse(sys,t); ht = b0 .* exp(-a0*t); a = step(sys, t); subplot(221), plot(t,ht);title('raspuns la impuls (teoretic)' ); subplot(222), plot(t,hm); title('raspuns la impuls (simulat)') subplot(223), plot(t,y, t,a); title('raspunsuri indiciale (ODE+TF)'); subplot(224), plot(t,ht, t,hm); title('semnale pondere (suprapunere)');
Pentru circuitul din figura (b):
)(2200
)(1)( 3 tiRcUt
diC
ty (1) )(3)(2)(1 tititi (2)
)()()(11)(1 tydt
tdiLtiRtu (3) In conditii initiale nule, 00 cU . Scotand curentii din (1) si (2) si inlocuind in (3) se obtine:
-
Analiza i sinteza circuitelor i sistemelor. Exerciii pentru seminar
16
2
)()(2;)()(3 R
tytidt
tdyCti (4)
)()()()(31)(21)(32 tydt
tdiLdt
tdiLtiRtiRtu (5.a)
)()()()(1)(
1)( 22
22
tydt
tydLCdt
tdyRL
dttdyCR
RtyRtu (5.b)
)(11)()()(2
12
2
2
tyR
R
dttdyCR
RL
dttydLCtu
(5.c)
Sau, in forma finala:
)()(11)()(
21
22
2
tutyR
R
dttdyCR
RL
dttydLC
(5.d)
Ceea ce corespunde unui sistem de ordinul doi. Intrucat forma generala este
)()()()( 00122
tubtyadt
tdyadt
tyd (5.e) Se rescrie (5.d) prin impartirea termenilor la coeficientul derivatei a doua:
LCtuty
LCRR
dttdy
LCCR
RL
dttyd 1)()(111)(1)(
21
22
2
(5.f)
Coeficientii sunt:
1001;15011;151 02
101
21
LCb
LCRRa
LCCR
RLa (5.e)
Pentru calculul raspunsului y(t) este nevoie de conditiile initiale ale circuitului:
dtdysiy )0()0( (6)
Pentru circuitele electrice, conditiile initiale sunt uzual specificate prin tensiunile pe capacitati si prin curentii prin bobine. In acest exemplu s-a ales tensiunea u(t) ca intrare si tensiunea y(t) ca iesire. Ca marime de iesire, putea fi insa aleasa oricare dintre curentii sau tensiunile din circuit. Calculul functiei de transfer: In conditii initiale nenule, se aplica transformata Laplace ecuatiei (5) si se obtine:
)()()()( 0012 sUbsYasYsasYs (7)
Rezulta
15015100
)()()( 2
012
0
ssasasb
sUsYsH (8)
Pentru calculul raspunsului la impuls se scrie functia de transfer sub forma de produse la numitor si se descompune in fractii simple. Pentru fiecare fractie simpla se scrie originalul transformtei Laplace:
-
Seminar 1. Reprezentarea sistemelor dinamice. Recapitulare.
17
21012
0)()()(
psB
psA
asasb
sUsYsH (8)
0),()()()( 211 ttueBtueAsHLth tptp (8)
Calculul ecuatiei in diferente. Folosind aproximarea derivatei de ordinul doi cu relatia
22
2 ))1(()(2))1(()(T
TkykTyTkydt
tyd (8) Se obtine ecuatia
][]1[)1(][)2(]1[ 20112
0 kuTbkyTakyTaTaky (8) ][]1[][]1[ 010 kubkyakyaky ddd (8)
Cu 0001.0;9850.0;9849.1 010 ddd baa (8)
si functia de transfer in timp discret
21
10
10
110
0
1)()()(
zazazb
zaazb
zUzYzH
dd
d
dd
d (8)
Rezultatele obtinute prin simulare sunt prezentate in continuare. % Exercitiul 2, seminar 1; exemplul 2: clc; clear; clf; % parametrii fizici: R1 = 1000; R2 = 2000; C = 100e-6; L = 100; %1). simularea modelului bazat pe ecuatiei diferentiale: % coeficientii ec. diferentiale: b0 = 1/L /C; b = [b0]; a0 = (R1 / R2 +1 ) / L / C; a1 = (L / R2 + R1*C) / L / C; a = [1 a1 a0]; N = 1000; T = 0.001; t = 0:T:(N-1)*T; N0 = round(N/5); u = [zeros(1,N0) ones(1,N-N0)]; u = ones(1,N); y = lsim(b,a,u,t); % functia de baza % plot results: subplot(221),plot(t,1.1*u); title('Intrarea'); subplot(222),plot(t,y); title('Iesirea'); subplot(212),plot(t,1.1*u,t,y); title('Intrarea si iesirea'); %3). Simulare parte discreta: % formula backward pentru aprox. derivatei % y(k+1) = - a0d * y(k) - a1d * y(k-1)+ b0d * u(k); a0d = (a0*T*T + a1*T - 2); a1d = 1 - T*a1; b0d = T * b0 * T; ydb = zeros(1,N); for k = 2:N,
-
Analiza i sinteza circuitelor i sistemelor. Exerciii pentru seminar
18
ydb(k) = - a0d * y(k) - a1d * y(k-1)+ b0d * u(k); end; clf; subplot(221), plot(t,u,t,y); title('lsim'); subplot(222), plot(t,u,t,ydb); title('discret backward'); subplot(212), plot(t,y,t,ydb); title('continuu; discret backward');
Exercitiul 3: Sa se calculeze functia de transfer a circuitului de tip filtru trece sus de ordinul 2. Valorile componentelor sunt: R1 = 6.8 kOhmi, R2 = 15 kOhmi, C1 = 10 nF, C2 = 22 nF. Sa se traseze caracteristicile de frecventa Bode cu Matlab.
Pentru stabilirea functiei de transfer se lucreaza in domeniul s, domeniul transformatelor Laplace ale marimilor implicate in circuit. Se scriu relatii de functionare bazate pe teoremele de tensiune si curenti ale lui Kirchoff. Se elimina, apoi variabilele intermediare, astfel incat, in final, sa se obtina o relatie intre marimea de iesire si marimea de intrare. Se scriu relatiile:
111
1 )()(1)()( sCsYsI
sCsIsY
-
Seminar 1. Reprezentarea sistemelor dinamice. Recapitulare.
19
12222122
221 )()()(1)()( CCsRsYCsRsIsI
sCsIRsI
221122121 1)()()()()()( CsRsCsYCCsRsYsCsYsIsIsI )()(1)()()()()( 122211121 sYsCsYRCsRsCsYRsYsIRsIRsU
Rezulta
11
111
)()()(
2112
2211122211 RRsCsCRCRsCRCsRsCRSU
sYsH
sau in forma standard
22
2
22112211
21122211
211
)()()(
nn
n
ssCRCRCRCR
RRCss
CRCRSUsYsH
cu
2211
2 1CRCRn
; 2211
2112 CRCR
RRC ; 1K Valorile obtinute si programul de simulare sunt prezentate in continuare. omegan = 6.6756e+003; csi = 0.7276; clc; clear; clf; R1= 6.8e3; R2=15e3; C1=10e-9; C2=22e-9; omegan = 1/sqrt(R1*R2*C1*C2); csi = C1 * (R1+R2) / 2 / sqrt(R1*R2*C1*C2); K = 1; num = K * omegan ^2; den = [1 2*csi*omegan omegan^2]; sysc = tf(num, den); bode(sysc); grid;
-
Analiza i sinteza circuitelor i sistemelor. Exerciii pentru seminar
20
Exercitiul 4: Sa se scrie functia de transfer a circuitului din figura, ce reprezinta un fitru trece sus de ordinul doi. Valorile componentelor sunt: R1 = 15 kOhmi, R2 = 6.8 kOhmi, C1 = 22 nF, C2 = 10 nF. Sa se traseze caracteristicile de frecventa Bode cu Matlab.
1111 /)()()()( RsYsIRsIsY
221221222
21
)(1)()()(1)(CRsR
sYCsR
sIsIsIRsC
sI
221
22
221
22
221121
1)(1)()()()()()(CRRsCRssY
CRsRCsRsY
CRsRsY
RsYsIsIsI
-
Seminar 1. Reprezentarea sistemelor dinamice. Recapitulare.
21
)()(11)()()(1)(1)(211221
221
21sY
CsRsY
sCCRRsCRssYsYsI
sCsI
sCsU
Rezulta
222
21212211
2212
2
12222
2211
21212
211221
22
21
111111
)()()(
nnsssK
CCRRCRCRRCCss
s
CsRRsCsCRCRCCRRs
CRssCCRRsCRsSU
sYsH
cu
2211
2 1CRCRn
; 1;2 2211
212 KCRCR
CCR Valorile obtinute sunt si programul de simulare sunt prezentate in continuare. omegan = 6.6756e+003; csi2 = 0.7263; clc; clear; clf; R1= 15e3; R2=6.8e3; C1=22e-9; C2=10e-9; omegan = 1/sqrt(R1*R2*C1*C2); csi = R2 * (C1+C2) / 2 / sqrt(R1*R2*C1*C2); K = 1; num = [K 0 0]; den = [1 2*csi2*omegan2 omegan2^2]; sysc = tf(num, den); bode(sysc); grid;
-
Analiza i sinteza circuitelor i sistemelor. Exerciii pentru seminar
22
Exercitii pentru acasa
E1) Dinamica miscarii ochiului (muschi + ochi + orbita) poate fi modelata printr-un sistem reprezentat de ecuatia:
)(1)(1)(11)(
2121212
2
tutydt
tdydt
tyd
(1)
Unde ms131 si ms2242 sunt constantele de timp minima si maxima. Marimea y(t) este pozitia ochiului in grade, u(t) este forta de stimulare a ochiului in grade (influenta pozitie-ochi, pozitie tinta). Sa se calculeze prin simulare numerica raspunsul la un semnal sinusoidal si unul dreptunghiular cu frecventa de 2 Hz si amplitudinea de +/- 1 V..
E2: Un exemplu de sistem neliniar este modelul unui pendul simplu descris prin ecuatia diferentiala neliniara:
0)(sin)(22
tmg
dttd (1)
Unde g=9.8 m/s2 este acceleratia gravitationala, m este masa pendulului si teta este unghiul pendulului. Sistemul dinamic este neliniar din cauza functiei sinus ce este o functie neliniara. Sa se calculeze prin simulare numerica raspunsul la un semnal sinusoidal si unul dreptunghiular cu frecventa de 2 Hz si amplitudinea de +/- 1 V.
-
23
Seminar 2 Analiza sistemelor i circuitelor cu grafuri de semnal Obiectiv: Aplicarea grafurilor de fluenta la analiza circuitelor si sistemelor. 2.1. Introducere
Analiza i simplificarea unei scheme bloc poate fi uurat simitor prin utilizarea grafurilor de
semnal. Acestea sunt grafuri orientate, numite i grafuri de fluen, avnd n componena lor noduri i arce (laturi). In figura alaturata se prezinta un arc orinetat cu doua noduri. Grafurile de semnal sunt foarte utile la analiza expeditiva a
schemelor bloc. Un graf de semnal (de fluenta) este o retea formata din noduri legate prin arce orientate. Nodurile initial si final ale unui arc au semnificatia de marimi de intrare, respectiv de iesire. Nodurilor le sunt ataate semnale din schema bloc. Se numete nod surs nodul cruia i se asociaz (care genereaz) semnalul de intrare n sistem. Semnalului de ieire din sistem i corespunde nodul sarcin. In structura unui sistem reprezentat prin grafuri de fluen intervin i noduri mixte. Un nod mixt poate avea unul sau mai multe semnale care converg spre nod. Suma semnalelor ce converg n nod se consider a fi semnalul aferent nodului. El poate fi direcionat, prin arce, spre unul sau mai multe noduri din schem. Arcele definesc transferul ntre noduri, avnd asociat sensul de transfer al semnalelor. Fiecare arc este caracterizat prin funcia de transfer, care exprim legtura ntre semnalele aferente nodurilor. O succesiune de arce parcurse de semnal formeaz o cale. Dac ntr-o cale toate nodurile sunt parcurse o singur dat, calea se numete cale deschis. Se numete bucl sau cale nchis, calea care pornete i se termin n acelai nod. O bucl cu o singur latur se numete bucl proprie. 2.2. Formula generala (Mason ) de calcul a transmitantei unui graf Arcul orientat este caracterizat de functia sa de transfer (in general, de transmitanta arcului orientat). Valoarea transmitantei Tij dintre nodurile i si j, respectiv dintre marimile xi si xj se obtine cu formula lui Mason:
N
k kijkijij CT 1
1 (1)
in care: (1) Suma dupa k se face dupa numarul maxim de cai intre nodurile intrare i si iesire j. Fie
acesta N; (2)
kijC este transmitanta caii directe, de indice k, intre nodul de intrare i si nodul de
iesire, j; (3) este determinantul grafului, calculat cu formula
...1,,
,
1,1
tsr tsrQM
qmqm
N
nn BBBBBB (2)
-
Analiza i sinteza circuitelor i sistemelor. Exerciii pentru seminar
24
unde nB , n=1,N, sunt transmitantele buclelor existente in graf. Regula de calcul a determinantului este:
= 1- suma transmitantelor buclelor + + suma produselor combinatiilor de cate doua blucle, fara noduri comune (3)
(4) kij
este cofactorul (relativ la ) al caii k. Acesta se determina din eliminand buclele care au noduri comune cu calea k.
Ca i n cazul schemelor bloc, la care s-au definit reguli de simplificare bazate pe transformri elementare (conexiunile serie, derivaie i n circuit nchis), reducerea grafurilor de fluen are ca obiectiv obinerea unui graf soluie, compus din arce simple, care fac legtura dintre nodurile surs i nodurile sarcin. In Tabelul 1. sunt sintetizate cteva reguli elementare de transformare a grafurilor de fluen. Tabelul 1 Reguli elementare de transformare a grafurilor de fluen Nr. Denumirea Graful iniial Graful echivalent
1
Inlocuirea arcelor conectate n paralel
2 Inlocuirea arcelor conectate n serie
3 Inlocuirea unei bucle
1 2
1 3
.1 .
H HH H
4 Inlocuirea unei bucle
proprii
1 2
3
.1H H
H
5
Inlocuirea unor bucle nseriate
H1 H2 H1.H2
H1+H2H1
H2
H1 H2
H3
H1 H2
H3
H11 H2
H4
H3
H5
H1H2 H3
H2.H4+H3.H5
-
Seminar 2: Analiza sistemelor i circuitelor cu grafuri de semnal
25
6 Transformarea stea-triunghi
Exercitiul 1: Sa se calculeze transmitanta grafului de mai jos, cu regula lui Mason.
Solutie:
Numarul de bucle este M=3. Transmitantele buclelor sunt: 521 GGB , 432 GGB , 63213 GGGGB Determinantul grafului: 63214352321 1)(1 GGGGGGGGBBB
(ceilalti termeni nu apar pentru ca toate buclele au noduri in comun) Caile directe sunt:
o de la U1 la Y: 32111 GGGC 111 o de la U2 la Y: 312 GC 112
Cele doua functii de transfer (transmitante), conform relatiei (1), au expresiile:
321
101
GGGUYG ,
3
202
GUYG
Exercitiul 2: Sa se calculeze transmitanta grafului cu regula lui Mason.
Exista trei bucle, M=3.
H15 H35
H52
H54
2
3
4
5
1
H15.H52 H35.H52
2
3
4H15.H54 H35.H54
1
-
Analiza i sinteza circuitelor i sistemelor. Exerciii pentru seminar
26
Transmitantele buclelor sunt: 6321 GGGB , 5432 GGGB , 743213 GGGGGB Determinantul grafului : 3211 BBB Calea directa , de la U la Y este: 432111 GGGGC 11 Functia de transfer:
43210
GGGGUYG
Observatii: 1). Grafurile de fluenta din exemplele anterioare fac parte dintr-o clasa caracterizata prin:
(i) toate buclele au noduri comune. Ca urmare, determinantul este diferenta dintre valoarea 1 si suma transmitantelor buclelor;
(ii) Toate caile directe au noduri comune cu buclele. Ca urmare Nkk ,1,1 . Pentru aceasta clasa de grafuri, se utilizeaza urmatoarea regula simplificata 1:
Functia de transfer echivalenta intre marimea de intrare si marimea de iesire este egala cu raportul dintre suma functiilor de transfer ale cailor directe dintre cele doua marimi si (1-
suma algebrica a f.d.t. ale buclelor). Exercitiul 3: Pentru sistemul din figura de mai jos se cere functia de transfer
Solutie : Se pot gandi mai multe solutii, din care una bazata pe graful de fluenta. Graful de fluenta (semnal) corespunztor este
1). Urmnd regulile de simplificare ale blocurilor, se obine :
34
3 812 5
31 6 4 73 8
( ) ( )1 ( )( ( ))( )( ) 1. ( ) ( ).1( )1 ( )( ( )) 1 ( )( ( ))
1 ( )( ( ))
H s H sH s H sH sH s H s H sH sH s H s H s H s
H s H s
sau, dup simplificri, 1 2 3 4 5
1 6 3 8 3 4 7
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
(1 ( ) ( ))(1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))H s H s H s H s H s
H sH s H s H s H s H s H s H s
1 (Voicu, 1998)
-
2). Folo n T D C F
Exercitiesirea y
Solutie:forma a
Rezulta
Pentru s
S
osind regulanumarul deTransmitanDeterminanCalea direcFunctia de t
1)( CsH
tiul 4: Sa sy(t).
: Folosind ra doua suma
a schema ech
schema loca
Seminar 2: An
a lui Mason: bucle este N
ntele buclelontul grafuluita , de la R transfer:
1
111 H
se calculeze
regulile de atoare cu cat
hivalenta
ala formata
naliza sistem
: N = 3;
or sunt: 1B i : 1 Bla Y este: C
361 HHH
e functia d
simplificarte doua intr
din Ha si H
)(sHe
melor i circu
27
61HH , 21 BBB
111 HHC
438
1HHHHHH
de transfer,
re a blocurirari ca in fig
Hc se aplica f
)(1(
sHH
a
a
uitelor cu gra
32 HHB 213 BBB 5432 HHHH
617
432HHHHHHH
H(s), pentr
lor, sumatogura de mai
formula une
)())(
sHs
c
furi de semn
8H , 3B 31BB 5
836
5HHH
H
ru sistemul
orul cu trei jos:
ei conexiuni
nal
743 HHH
4361 HHHH
l cu intrare
intrari se s
i cu reactie:
74H
a x(t) si
scrie sub
:
-
Functia
A doua
Caile: BucleleDetermiBucelel
Cofacto
Transm
Exercitgraful dieire, amplific
Solutie:stabilire Caile: C Buclele
An
de transfer
)(sHe
metode folo
C 1: aHB 1inantul: e au noduri
orul caii: 1
mitanta garfu
tiul 5: Fie sdin figura. Spolii i zecrii.
Se folosesea functiei d
1 11 zC
: 1 1 zB
naliza i sinte
este
1
)(1)(HsH
sH
e
e
oseste grafu
a HH 1cH )(B (1 1
i in comun c
011 Bului : T
1
sistemul disS se deducerourile, pr
ste formulade transfer:
1 115.0 1 16.1
eza circuitelo
)(
()()()
HsHH
HsHsH
ca
db
b
ul echivalen
ab HH 1ca HH
BB 1)2cu calea C1.
10,0 2B
C 111
scret in timpc ecuaia irecum i e
a lui Mason
15.0 z ; 16.1 z , B
or i sistemel
28
()()(
11
1)(
sHsHsH
s
ac
ba
nt circuitulu
bH , aHB 2
BB 121.
1
ca
aHH
H
mp avnd intrare expresia
n pentru
2 11 zC1
2 1 zB
lor. Exerciii
)())(
)()()(1
)(
HsHs
HsHsH
HsHsH
b
ca
aa
a
ui si, apoi, re
db HH (ca HH
ba
baHH
H
11 ( zz1 6.0( z
pentru semi
)(
)()(
()(
)
sH
sHs
HsH
d
b
bc
egula lui Ma
ad HH )ba HHH
dH
111)25.0
6.01.1)6
inar
)(
)(
sH
s
d
ason.
db HH dH
25.01 z26 z
2z
-
Seminar 2: Analiza sistemelor i circuitelor cu grafuri de semnal
29
Determinantul: 212121 6.06.111)(1 zzBBBB
Bucelele au noduri in comun cu calea C1 si C2.
Cofactorul cailor: 10,0 21
1 BB ; 10,0 212 BB
Transmitanta grafului : 2121
22116.06.11
25.05.01)(
zzzzCCzT
2). Pentru ecuatia intrare-iesire se pleaca de la H(z-1) si se aplica transformata z inversa:
21
21
6.06.1125.05.0
)()()(
zz
zzzUzYzH
)(25.0)(5.0)(6.0)(6.1)( 2121 zUzzUzzYzzYzzY
Prin aplicarea tranformatei in z inverse:
]2[25.0]1[5.0]2[6.0]1[6.1][ kukukykyky
]2[25.0]1[5.0]2[6.0]1[6.1][ kukukykyky
3). Calculul polilor se face din functia de transfer scriind in forma factorizata numitorul si numaratorul:
)6.0)(1()5.0(5.0
6.06.125.05.0
6.06.1125.05.0
)()()( 221
21
zz
zzz
zzz
zzzUzYzH
deci avem 2 poli: p1=1, p2=0.6; si un zero : z1=0.5; 3) Expresia amplificrii:
2
2
2 2
2 2
0.5 0.25( ) ( )1 1.6 0.6
0.5cos( ) 0.25cos(2 ) 0.5sin( ) 0.25sin(2 )
1 1.6cos( ) 0.6cos(2 ) 1.6sin( ) 0.6sin(2 )
e ee
e e
j T j Tj T
j T j T
e e e e
e e e e
e eA H ee e
T T T T
T T T T
Exercitiul 7: Fie graful unui sistem cu timp discret, prezentat n figura. Sa se calculeze transmitanta grafului.
Solutie : Problema poate fi rezolvata prin doua cai : (a) prin transformari elementare ale grafului ; (b) prin aplicarea regulii luui Mason. Folosind transformarile elementare, dac se elimin arcele cu transfer unitar, atunci acest graf poate fi desenat i sub forma din fig a. Se aplic transformarea stea-triunghi la steaua care
-
Analiza i sinteza circuitelor i sistemelor. Exerciii pentru seminar
30
conine arcele cu transfer z-1, a2 i b2, obinndu-se schema din fig. b. Aici, avem dou perechi de arce conectate n paralel : cele cu transfer 1a i
12a z
, i respectiv cele cu transfer 1b i 12b z . In consecin, graful poate fi redesenat ca n fig. c. In continuare, se aplic din nou transformarea stea-triunghi, la steaua care conine arcele cu funciile de transfer z-1, 11 2a a z
i 11 2b b z , obinndu-se graful din fig. d. Aici sunt dou conexiuni:
bucl care are pe calea direct transfer unitar i pe calea invers funcia de transfer 1 21 2a z a z ;
dou arce n paralel, cu funciile de transfer b0 i 1 21 2b z b z . Funcia de transfer a ntregului sistem este
1 21 2 0 1 2
0 1 21 2 1 21 2 1 2
1( ) 1. ( ).11 ( ) 1
b b z b zH z b b z b za z a z a z a z
Pentru folosirea formulei lui Mason, se scriu caile si buclele din graf : 1). exista trei cai, toate adiacente :
001 111 bbC 1
111
2 1111 zbbzC
-
Seminar 2: Analiza sistemelor i circuitelor cu grafuri de semnal
31
222
113 11111
zbbzzC 2). Exista doua bucle adiacente cu caile :
111
11 11
zaazB 2
2211
2 111 zaazzB
3). Determinantul grafului :
22
1121 1)(1
zazaBB 4). Transmitanta grafului :
22
11
22
110321
1
zazazbzbbCCC
T
Exercitiul 8: Se da ecuatia in diferente a unui filtru numeric cu Te = 1e-6:
]2[5.0]1[]2[1.0]1[5.0][ kukukykyky , k=0,1,2, 1). Sa se calculeze functia de transfer in z, prin aplicarea transformatei z. 2). Sa se deseneze graful de fluenta. 3). Sa se calculeza transmitanta grafului. Este egala cu fdt de la pct 1? 4). Sa se calculeza raspunsul la impuls. 5). Sa se calculeze raspunsul la semnalul numeric u = [0 1 1 1 0 0 0], k=0,1,2, 6). Sa se scrie programul Matlab pentru calculul raspunsului la impuls, calculul raspunsului la semnal treapta, trasarea diagramei Nyquist, a diagramei Bode, a raspunsului la un semnal sinusoidal si la un semnal dreptunghiular de frecventa f0 fs/20; Solutie: 1). Fdt din aplicarea transformatei z este
)(5.0)()(1.0)(5.0)( 2121 zUzzUzzYzzYzzY
1.05.05.0
1.05.015.0
)()()( 221
21
zzz
zzzz
zUzYzH
2). Raspunsul la impuls
1.05.05.0)(][ 2
11
zzzZzHZkh
Polii fdt rezulta din ecuatia 01.05.02 zz
cu polii:
153.0;653.0
4031,025.0265.025.0
21.0425.05.0
242
2,1
aacbbp
Se descompune fdt in fractii simple
-
1pz
z
Rezulta
Unde s-
Exercit T1: Sa s T2: Sa mai jos.
T3:. Undistribu
An
5.0
2pz
a
][ Zkh
-a folosit pe
tii pentru a
se demonstr
se calculeze.
n filtru numutia poli-zero
Fig
naliza i sinte
1pzA
)(1
ZzH
erechea
Z
acasa
reze echiva
e functia sis
meric are grouri si sa se
gura 1
eza circuitelo
1.0
5.0
2
BA
B
pzB
1
1
1
BkpA
pzzZ
1
1
pzA
lenta grafur
stem H(s) a
raful din fige calculeze e
or i sistemel
32
806153.0
1
1 ApBBA
[
5.0
2
21
pB
pzk
1 pA k
rilor de pe u
sistemului
gura 1. Sa expresia am
lor. Exerciii
1898.08102.0
5.02
AB
p
2,1],[
.01
kk
zZ
,1,0],[ kk
ultimele 3 li
cu intrarea
se scrie funmplificarii A
pentru semi
1
1pBA
,..2
0653.0
1898. z
,...2,
nii ale tabel
x(t) si iesire
nctia de tran(w).
Figur
inar
2 ppA
B
153.08102.0
lului 1.
ea y(t) din f
ansfer, sa se
ra 2
5.0
21
2ppp
figura de
e deduca
-
33
Seminar 3 - Analiza circuitelor elementare cu amplificatoare operationale ideale.
Obiective:
1). Analiza circuitelor elementare cu amplificatoare operationale. 2). Conversia: funcie de transfer > caracteristica Bode asimptotic
Exercitiul 1: (Circuite integratoare). 1) Pentru fiecare din circuitele din figura 1 sa se scrie/calculeze: ecuatia diferentiala si functia de transfer. 2). Sa se calculeze si sa se traseze raspunsul la impuls si functia indiciala. Sa se compare cu rezultatele generate de Matlab pentru ]10;0[ Tt . 3). Sa se traseseze diagramele Bode si sa se compare cu rezultatele Matlab. 4). Sa se reprezinte grafic raspunsurile la un semnal sinusoidal si rectangular, cu urmatoarele frecvente unghiulare: fff 10,,1.0 unde f este pulsatia de frangere.
Figura 1. Circuite integratoare cu AO (R=R1=1000 Ohm; C= 100 nF).
Solutie: Considerand amplificatorul operational ideal, se pot scrie relatiile de legatura in domeniul timp si frecventa. Pentru primul circuit I1:
tt
c duRCdi
Ctuty
00)(1)(1)()( ,
TssH 1)(
Raspunsul la impuls
0),(1111)()( 111
tt
TsL
TsTLsHLth
Raspunsul indicial:
0,11)()(00
tTtd
Tdhta
tt Pentru circuitul I2 avem relatiile:
ttt
Cc dRty
Rtu
Cdtiti
Cdi
Ctuty
0 101
0
)()(1)()(1)(1)()( Prin aplicarea transformatei Laplace, in conditii initiale nule, se obtine:
sRCsU
sCRsYsY
sCRsY
sRCsUsY
)()(1)(,)()()(
11
-
Analiza i sinteza circuitelor i sistemelor. Exerciii pentru seminar
34
RRKsT
KsCRR
RsUsYsH 1
11
1 ,11
1)()()(
Caracteristicile de frecventa pentru cele doua circuite integratoare sunt prezentate in figura 2. (R=R1=1000 Ohm; C= 100 nF). Circuitul I1 lucreaza ca integrator in toata gama de frecventa. Circuitul I2 lucreaza ca integrator numai pentru frecvente mai mari de 1.6 kHz. Pentru ultimul circuit, raspunsul la impuls este
0,/1
1/)()( 111
11
teTK
sTTKLsHLth T
t
Raspunsul indicial:
0,10
)()( 11)1(1
10
110
teKteT
KdeTKdhta T
tTT
tT
t
2). Codul Matlab pentru calculul marimilor de interes este prezentat in Anexa 1. Pentru circuitul I2 se obtine semnalele
Figura 2. Caracteristici pentru integratorul I2
-
Seminar 3 Analiza circuitelor cu amplificatoare operaionale ideale
35
Figura: Circuitul I2. Raspunsul la semnal sinusoidal: f1 = 0.1ff, ff si 10ff
Figura: Circuitul I2. Raspunsul la semnal dreptunghiular: f1 = 0.1ff, ff si 10ff
-
Analiza i sinteza circuitelor i sistemelor. Exerciii pentru seminar
36
Figura 2. Caracteristicile de frecventa ale integratoarelor I1 si I2
Exercitiul 2: (Circuite derivatoare). 1) Pentru fiecare din circuitele din figura 1 sa se scrie/calculeze: ecuatia diferentiala si functia de transfer 2). Sa se calculeze si sa se traseze raspunsul la impuls si functia indiciala. Sa se compare cu rezultatele generate de Matlab. 3). Sa se traseseze diagramele Bode si sa se compare cu rezultatele Matlab. 4). Sa se reprezinte grafic raspunsurile la un semnal sinusoidal si rectangular, cu urmatoarele frecvente unghiulare: fff 10,,1.0 unde f este pulsatia de frangere.
-
Seminar 3 Analiza circuitelor cu amplificatoare operaionale ideale
37
Figura 3. Circuite derivatoare cu AO: D1 (simplu), D2 (cu oprire), D3 (cu dubla oprire) (R=10 kOhmi; R1=1000 Ohm; C= 100 nF; C1 = 10 nF).
Solutie: Circuitele sunt descrise de relatiile: Pentru D1 (standard):
dttduT
dttduRCty )()()( ; sTsH )(
Raspunsul indicial este
0),(1)()( 11
ttTTL
ssHLta
Raspunsul la impuls:
0,)()( tTdt
tdath
Pentru D2 (cu oprire):
)()()()()(;)(
)()( 1 RRtitytutudttdu
CRtiRty CC
dttduRCtyCRCR
dttdyRC
dttdy
dttduCRtyCRCR
RRRtyRC
dttdyRC
dttduRCty
RRRty
dttdy
dttduCRty
)()(1)(
)()()(1
)()()()(
)()()()(
1
1
1
1
TTsT
sTsCR
sRCsH
111
;11
)(
Raspunsul indicial este
0,1
111
1)()( 111
1
1
11
teTT
sTLT
ssTsTL
ssHLta T
t
Raspunsul la impuls:
0,1)()( 121
111
teTTe
TTT
dttdath T
tTt
Pentru D3 (cu dubla oprire):
212111 ;1111)( TTTsTsTsT
sRCsCRsRCsH
Raspunsul indicial este
sTB
sTALT
sTsTTL
ssHLta
21
1
21
111111
1)()(
Calcule simple indica
12
2
12
1 ,TT
TBTT
TA
-
Analiza i sinteza circuitelor i sistemelor. Exerciii pentru seminar
38
Rezulta
0,)( 2112
22
11
tee
TTTe
TBe
TATta T
tTt
Tt
Tt
Raspunsul la impuls:
0,11)()( 22
1112
te
Te
TTTT
dttdath T
tTt
Din cauza cresterii castigului cu cresterea frecventei, derivatorul simplu (D1) este sensibil in conditii de zgomot, adica zgomotul de frecventa mare este amplificat, ceea ce poate genera probleme de instabilitate (oscilatii) in timpul functionarii. Derivatoarele D2 si D3 isi propun sa scada amplificarea la frecvente inalte, prin intoducerea unui pol (pentru D2) sau a doi poli (varianta D3) la frecvente mari. Caracteristicile de frecventa rezultate sunt prezentate in figura
4. Frecventa maxima de lucru ca derivator este kHz6.12
1
1max Tf . Frecventa de
castig 0 (intersectia cu axa Ox) este Hz1602
1 TfT .
Figura: Caracteristicile pentru D3
-
Seminar 3 Analiza circuitelor cu amplificatoare operaionale ideale
39
Raspunsul D3 la semnal sinusiodal: 0.1ff, ff si 10 ff
Raspunsul D3 la semnal dreptughiular: 0.1ff, ff si 10 ff
-
Analiza i sinteza circuitelor i sistemelor. Exerciii pentru seminar
40
Figura 4. Caracteristicile de frecventa ale derivatoarelor D1, D2 si D3
Figura 5. Raspunsul derivatorului la un semnal dreptunghiular (f = 400 Hz)
Exercitiul 3: Sa se traseze caracteristicile Bode asimptotice pentru sistemul descris prin functia de transfer:
)105.0)(10(10)(
ss
ssH
Solutie: Exercitiul se rezolva prin parcurgerea urmatorilor pasi. 1). Se scrie fdt in forma standard, pentru evidentierea termenilor elemenatri de tipn monom, binom si trinom precum si a contantelor de timp:
-
Seminar 3 Analiza circuitelor cu amplificatoare operaionale ideale
41
)()()(
)101.0)(11.0()101.0)(11.0(10/10
)105.0)(10(10)(
21 sBsBsM
sss
sss
ssssH
2). Se calculeaza pulsatiile de frangere corespunzatoare celor trei termeni sunt si se verifica conditia de separare a pulsatiilor de frangere (distanta la mai mult de o decada):
]/[1)( 0 sradsM f ]/[101.0/1)( 11 sradsB f
]/[10001.0/1)( 22 sradsB f 3). Pentru fiecare din cei trei termeni se traseaza cu line subtire caracteristicile asimptotice de amplificare si faza. 4). Se sumeaza punct cu punct caractersticile elementare. 5). Se traseaza caracteristicel reale tinand seama de valoriel asimptotice precum si de valorile de la pulsatiile de frangere. Rezultatul este prezentat in figura.
Exercitii pentru acasa: Sa se traseze caracteristicile Bode pentru sistemele descrise prin functiile de transfer :
)105.0)(10(5.0)(1 ss
ssH ;)101.0)(11.0(
2.0)(2 ssssH ;
)1002)(10()1()(
23
sssssH
-
Analiza i sinteza circuitelor i sistemelor. Exerciii pentru seminar
42
Anexa 1 Condul Matlab pentru studiul integratoarelor % seminar 3; exemplul 1: circuite integratoare clc; clear; clf; % parametrii fizici: R = 1000; R1 = 1000; C = 0.1e-6; % definirea sistemului I1: T = R * C; num = [-1]; den = [T 0]; sys1 = tf(num, den); % paramteri de simulare: Te = T / 10; N = ceil(10*T/Te); t = (0:N-1)*Te; % axa timpului % valori analitice si ale Matlab: for i = 1:N, ha(i) = -1/T; aa(i) = -t(i) / T; end; hm = impulse(sys1,t); am = step(sys1,t); % comparatie: figure(1); subplot(221), plot(t,ha,t,hm,'r'); title('Raspunsul la impuls');grid subplot(222), plot(t,aa,t,am,'r'); title('Raspunsul la treapta');grid eroarea = sum(aa-am') % Caracteristicile Bode: omegaf = 1 / T ; omega = [omegaf/100:10:100*omegaf]; [M, P] = bode(sys1, omega); M = squeeze(M); P = squeeze(P); M_dB = 20*log10(M); subplot(223), semilogx(omega, M_dB); grid;title('Amplificarea'); subplot(224), semilogx(omega, P); grid; title('Faza'); %2). Integratorul I2. % =======================================> T1 = R1 * C; K = R1 / R; num2 = [-K]; den2 = [T1 1]; sys2 = tf(num2, den2); % valori analitice si ale Matlab:
-
Seminar 3 Analiza circuitelor cu amplificatoare operaionale ideale
43
for i = 1:N, ha(i) = -K/T1*exp(-t(i)/T1); aa(i) = K*(exp(-t(i)/T1)-1); end; hm = impulse(sys2,t); am = step(sys2,t); % comparatie: figure(2); subplot(221), plot(t,ha,t,hm,'r'); title('Raspunsul la impuls');grid; subplot(222), plot(t,aa,t,am,'r'); title('Raspunsul la treapta'); grid eroarea = sum(aa-am') % Caracteristicile Bode: omegaf = 1 / T ; omega = [omegaf/100:10:100*omegaf]; [M, P] = bode(sys2, omega); M = squeeze(M); P = squeeze(P); M_dB = 20*log10(M); subplot(223), semilogx(omega, M_dB); grid;title('Amplificarea'); subplot(224), semilogx(omega, P); grid; title('Faza'); % 3). Raspunsuri la diverse semnale: % ============================================ figure(3); NP = 4; %numarul de perioade pentru vizualizare TF = NP / (0.01*omegaf / 2 / pi); N = ceil(TF / Te); t=(0:N)*Te; omegav = [0.1*omegaf, omegaf, 10*omegaf] ; fv = omegav ./ 2 ./ pi; for i =1:3, u(:,i) = sin(2*pi*fv(i)*t); y(:,i) = lsim(sys1, u(:,i), t); end; subplot(311), plot(t,u(:,1),t, y(:,1),'r') subplot(312), plot(t,u(:,2),t, y(:,2),'r') subplot(313), plot(t,u(:,3),t, y(:,3),'r') figure(4) for i = 1:3, u(:,i) = sign(sin(2*pi*fv(i)*t)); y(:,i) = lsim(sys1, u(:,i), t); end; subplot(311), plot(t,u(:,1),t, y(:,1),'r') subplot(312), plot(t,u(:,2),t, y(:,2),'r') subplot(313), plot(t,u(:,3),t, y(:,3),'r') %===========================================================|
-
Analiza i sinteza circuitelor i sistemelor. Exerciii pentru seminar
44
Anexa 2 Codul pentru studiul derivatoarelor % seminar 3; exemplul 1: circuite derivatoare clc; clear; clf; % parametrii fizici: R = 10e3; R1 = 1e3; C = 100e-9; C1 = 5e-9; % sistemul D1 nu poate si simulat; T = R * C; % numai Bode pot fi trasate. % definirea sistemului D2: % ================================> T1 = R1 * C; if T1 > T, disp('Error 1'); break; end; num2 = [-T/T1 0]; den2 = [1 1/T1]; sys2 = tf(num2, den2); % paramteri de simulare: Te = T / 20 ; N = 100; t = (0:N-1)*Te; % axa timpului % valori analitice si ale Matlab: for i = 1:N, ha(i) = T/T1/T1*exp(-t(i)/T1); aa(i) = - T/T1 * exp(-t(i) / T1); end; hm = impulse(sys2,t); am = step(sys2,t); % comparatie: figure(1); subplot(221), plot(t,ha,t,hm,'r'); title('Raspunsul la impuls');grid subplot(222), plot(t,aa,t,am,'r'); title('Raspunsul la treapta');grid eroarea = sum(aa-am') % Caracteristicile Bode: omegaf = 1 / T ; omega = [omegaf/100:10:100*omegaf]; [M, P] = bode(sys2, omega); M = squeeze(M); P = squeeze(P); M_dB = 20*log10(M); subplot(223), semilogx(omega, M_dB); grid;title('Amplificarea'); subplot(224), semilogx(omega, P); grid; title('Faza'); %2). Derivatorul D3. % =================================> T1 = R1 * C; T2 = R* C1; num3 = [-T 0]; den31 = [T1 1]; den32 = [T2 1]; den3 = conv(den31, den32); sys3 = tf(num3, den3);
-
Seminar 3 Analiza circuitelor cu amplificatoare operaionale ideale
45
% valori analitice si ale Matlab: for i = 1:N, ha(i) = exp(-t(i)/T1)/T1 - exp(-t(i)/T2)/T2; aa(i) = -exp(-t(i)/T1) + exp(-t(i)/T2); end; ha = -T/(T2-T1) .* ha; aa =- T/(T2-T1) .*aa; hm = impulse(sys3,t); am = step(sys3,t); % comparatie: figure(2); subplot(221), plot(t,ha,t,hm,'r'); title('Raspunsul la impuls');grid; subplot(222), plot(t,aa,t,am,'r'); title('Raspunsul la treapta'); grid eroarea = sum(aa-am') % Caracteristicile Bode: omegaf = 1 / T ; omega = [omegaf/100:10:100*omegaf]; [M, P] = bode(sys3, omega); M = squeeze(M); P = squeeze(P); M_dB = 20*log10(M); subplot(223), semilogx(omega, M_dB); grid;title('Amplificarea'); subplot(224), semilogx(omega, P); grid; title('Faza'); % 3). Raspunsuri la diverse semnale: % ============================================ figure(3); NP = 4; %numarul de perioade pentru vizualizare TF = NP / (0.01*omegaf / 2 / pi); N = ceil(TF / Te); t=(0:N)*Te; omegav = [0.1*omegaf, omegaf, 10*omegaf] ; fv = omegav ./ 2 ./ pi; for i =1:3, u(:,i) = sin(2*pi*fv(i)*t); y(:,i) = lsim(sys3, u(:,i), t); end; subplot(311), plot(t,u(:,1),t, y(:,1),'r') subplot(312), plot(t,u(:,2),t, y(:,2),'r') subplot(313), plot(t,u(:,3),t, y(:,3),'r') figure(4) for i = 1:3, u(:,i) = sign(sin(2*pi*fv(i)*t)); y(:,i) = lsim(sys3, u(:,i), t); end; subplot(311), plot(t,u(:,1),t, y(:,1),'r') subplot(312), plot(t,u(:,2),t, y(:,2),'r') subplot(313), plot(t,u(:,3),t, y(:,3),'r')
%===========================================================|
-
46
Seminar 4 Reprezentari de stare Obiective: 1). Reprezentrari de stare ale sistemelor si circuitelor 2). Conversia modelelor fdt ecuatii de stare Exercitiul 1: Pentru circuitele RLC serie si paralel de mai jos, sa se scrie ecuatia diferentiala pentru modelul intrare-iesire, modelul de stare si sa se calculeze, prin simulare in Matlab, raspunsul la semnal treapta. Se considera valorile R= 100 Ohm, L = 0.1 uH, C=10 nF.
Solutie: Circuitul RLC serie este comandat in tensiune si este citit in curent, de obicei. Trasatura de baza a circuitului este rezonanta de curenti, astfel incat curentul prin circuit devine maxim la frecventa de rezonanta LC/10 . Se pot scrie ecuatiile de circuit:
)(/)( tidttduC C (1) Rtutututi CL /)()()()( (2)
)(/)( tudttdiL L (3) Considerand variabila de iesire )()( tuty C si variabila de intare u(t), rezulta ecuatiile diferentiale
Rty
dttdi
RL
RtudttdyC )()()(/)( (4)
22 )()()()(dt
tydR
LCRtu
Rty
dttdyC (5)
Rtu
Rty
dttdyC
dttyd
RLC )()()()(
2
2 (6)
LC
tuLC
tydt
tdyLR
dttyd )()()()(
2
2 , )()()()( 0012
2tubtya
dttdya
dttyd (7)
Sistemul fiind de ordinul 2 rezulta ca trebuie definite 2 variabile de stare. Considerand variabilele de stare )()(),()()( 21 titxtutytx C se obtin ecuatiile
-
Analiza i sinteza circuitelor i sistemelor. Exerciii pentru seminar
47
)()()()(),()( 12221 txRtxtudttdxLtx
dttdxC (8)
sau
)()(),(1)()(1)(),(1)( 121221 txtytuLLRtxtx
Ldttdxtx
Cdttdx (9)
Matricele modelului de stare sunt:
01,/10
,//1
/10
CBA LLRL
C , D = [0]; (10)
Folosind codul de mai jos se obtin rezultatele din figura, in ceea ce priveste raspunsul la impuls. Se oberva ca modelul de stare si modelul inrare-iesire furnizeaza aceleasi valori pentru h(t). S-au reprezentat si starile circuitului, avand semnal treapta unitate la intrare.
clc; clear; clf; Ts = 1e-7; N = 50; t = (0:N-1) .* Ts; % 1. circuitul RLC serie: % ====================================> % R= 100 Ohm, L = 0.1 uH, C=10 nF. % x1 = uC(t); x2 = i(t); R=100 ; L = 0.1e-6; C =10e-9; a1 = R/L; a0 = 1/L/C; b0 = 1 / L / C; den = [1 a1 a0]; num = [b0]; sys=tf(num, den); % in descriere de stare: Am = [0 1/C; -1/L -R/L]; Bm=[0 1/L]'; Cm =[1 0]; Dm = [0]; sys_ss = ss(Am,Bm,Cm,Dm); % comparatie in h(t): ht = impulse(sys,t); hs = impulse(sys_ss,t); subplot(221), plot(t,ht); title('h(t) din ec.dif.') subplot(222), plot(t,hs); title('h(t) din ec.stare') % evolutia starilor: u = ones(1,N); [y,t,x] = lsim(sys_ss,u,t); % for state-space models only subplot(223), plot(t,x(:,1)); title('x1(t)'); subplot(224), plot(t,x(:,2)); title('x2(t)');
-
Seminar 4. Reprezentari de stare
48
Circuitul RLC paralel este comandat in tensiune iar marimea de iesire este tensiunea pe
bobina. Intrucat marimea de intrare este notata de obicei - cu u(t) iar aici semnalul de intrae este curent, s-au schimbat notatiile in ce priveste tensiunile. In loc de u(t) se va folosi v(t). Marimea de intrare este u(t)=i(t) si marimea de iesire este y(t)=vL(t). Se pot ecrie ecuatiile de circuit pentru ecuatia diferentiala, deci pentru o legatura intrare-iesire:
)()( titu , dt
tdiLty L )()( , )()()( tititi CL (1), (2), (3)
dttdv
Cti CC)(
)( , )()()( tvRtitv LLC (4), (5)
Rezulta
2
2
2
2
2
2 )()()()()()()()(dt
tydLCdt
tidLCRdt
tdiLdt
tvdLC
dttdiL
dttdi
Ldt
tdiLty LCC (6)
dttdiLty
dttdyCR
dttydLC
dttydLC
dttdyCR
dttdiLty )()()()(,)()()()( 2
2
2
2 (7)
-
Analiza i sinteza circuitelor i sistemelor. Exerciii pentru seminar
49
dttdu
Cty
LCdttdy
LR
dttyd )(1)(1)()(2
2 ,
dttdubtya
dttdya
dttyd )()()()( 1012
2 (8)
Se aleg urmatoarele variabile de stare:
)()(),()( 21 tvtxtitx CL (9) Se pot scrie ecuatiile in marimi fizice pentru calculul derivatelor de stare
)()()(),()()(
,)()()( tiRtvtvtitidt
tdvCRtitv
dttdiL LCLL
CLC
L (10) si-n variabile de stare
)()()(),()()(,)()()( 1212121 txRtxtytxtudttdxCRtxtx
dttdxL (11)
)()()(),(11)()(),(1)()( 2112211 txtxRtytuCCtx
dttdxtx
LLRtx
dttdx (12)
Matricele modelului de stare sunt:
1,/10
,0/1/1/
RCC
LLR
CBA (13)
Prin simulare se obtin rezultatele din figura
-
Seminar 4. Reprezentari de stare
50
Exercitiul 2: Sa se scrie modelul intrare-iesire, modelul de stare si sa se calculeze, prin simulare in Matlab, raspunsul la semnal treapta. Se considera valorile R1= 100 Ohm, R2 = 10 kOhm, L = 0.1 uH, C=10 nF.
Solutie: In sistemul fizic exist dou elemente acumulatoare de energie (o inductivitate i o capacitate), deci ordinul sistemului este n = 2. Modelul matematic se scrie utiliznd ecuaiile teoremelor lui Kirchhoff:
t
diC
Rtity0
122 )(1)()( , )()()( 21 tititi (1), (2)
1/)()()()( R
dttdiLtytuti
(3) Din (1) rezulta
dttdyCti )()(1 si
22
)()(R
tyti (4) si (5) Inlocuind in (3) se obtine:
22
2
1112
)()()()()()(R
tydt
tydCRL
Rty
Rtu
Rty
dttdyC (6)
121122
2
1
)(11)()()(R
tuRRL
RRty
dttdyC
dttyd
RLC
(7)
LCtu
LCRLRRty
dttdy
LR
dttyd 1)()()()(
2
2112
2 (8)
Cu forma generala
)()()()( 00122
tubtyadt
tdyadt
tyd (8.a) Modelul de stare. Fie variabilele de stare
)()();()()( 21 titxtutytx C (9)
Pentru scrierea ecuatiilor de stare se pot scrie relatiile:
22
)()()()()()(
Rtytitititi
dttdu
C CC (10)
si
-
Analiza i sinteza circuitelor i sistemelor. Exerciii pentru seminar
51
)()()()( 1 tytiRtudttdiL (11)
Ecuatia de iesire: )()( 1 txty (12)
Considerand variabilele de stare se obtin ecuatiile
)(1)()(
22
11 txCCR
txdt
tdx , Ltutx
LR
Ltx
dttdx )()()()( 2112 , )()( 1 txty (13)
Cu parametrii
01,/10
,//1
/1/1
1
2
CBALLRL
CCR (14)
Observaie: Definirea vectorului de stare nu este unic. In exemplul analizat, s-au considerat ca variabile de stare curentul i(t) i tensiunea y(t). Este posibil s fie alese variabilele de stare n alt mod, de exemplu: )()(),()( 221 titxtitx . Se obtine modelul de stare
1 2
22 2
1 0; ;1 1
0
R RL L
LR
R C R C
A b c
(15)
Prin simulare se obtin rezultatele din figura.
Exercitiul 3: S se deduc ecuatia diferentiala si modelul de stare pentru circuitul din figura 3. Se cunosc: R1= 100 kOhm; R2 = 50; L = 0.1e-6; C = 10e-9;
-
Seminar 4. Reprezentari de stare
52
Solutie: Sunt valabile ecuatiile
dttdiLtiRty )()()( 2 (1)
)()()( 21 tititi (2)
dt
tdydt
tduCtiR
tytuti )()()(,)()()( 21
1
(3),(4) Inlocuind (2),(3) si (4) in (1) se obtine:
dt
tdydt
tduCR
tytudtdL
dttdy
dttduC
RtytuRty )()()()()()()()()(
112 (5.a)
2
2
2
2
11112
)()()()()()()()()(dt
tyCdt
tudCdtRtdy
dtRtduL
dttdyC
dttduC
Rty
RtuRty (5.b)
)()()()()()()()()(
1
2
122
2
11
222
2tu
RR
dttdu
RL
dttduCR
dttudLCty
dttdy
RLty
RR
dttdyCR
dttyLC
(5.c)
2
2
12
1
2
1
22
12
2 )()()()(1)()(
dttudLC
dttdu
RLCRtu
RR
tyRR
dttdyCR
RL
dttyLC
(5.d)
2
2
1
21
1
2
1
21
1
212
2 )()()()()()(
dttud
dttdu
LCRCRRL
tuLCR
Rty
LCRRR
dttdy
LCRCRRL
dtty (5.e)
2
210012
2 )()()()()()(
dttud
dttdubtubtya
dttdya
dtty (5.f)
Modelul de stare. Numrul variabilelor de stare este n = 2. Fie variabilele de stare
)()(),()( 21 tutxtitx C (6) Se pot scrie ecuatiile
)()()()()()( 22 tiRtututiRtydttdiL C (7)
112 )()()()()()(
Rtutitititidt
tduC C
C (8) )()()( tututy C (9)
In variabile de stare
Figura 3:
-
Analiza i sinteza circuitelor i sistemelor. Exerciii pentru seminar
53
)(1)(1)()( 2121 tuLtx
Ltx
LR
dttdx (10)
)()(1)( 211
12 txtx
Cdttdx
CR (11)
)()()( 2 tutxty (12) Cu parametrii
]1[,10,0/1
,/1/1
/1/
1
2
DCBA L
CRCLLR
(14)
Observatie: Alegand ca variabile de stare
)()(),()( 221 titxtitx (15)
1 11 2
1 10
; ( )1R C R C u u = UR R
LL L
x x (16.a)
122
0x
y R . ux
(16.b)
Prin simulare se obtin rezultatele din figura.
Exercitiul 4: Fie sistemul dinamic descris prin ecuatia diferentiala.
uuuyyyyyy 473526 )1()3()1()2()4()5()6(
-
Seminar 4. Reprezentari de stare
54
unde iii dttydy /)()( . Sa se scrie modelul de stare in forma canonica controlabila.
Solutie: Se scrie ecuatia diferentiala in forma normala:
)3()1()1()2()4()5()6( 743526 uuuyyyyyy sau
)3(3
)1(100
)1(1
)2(2
)4(4
)5(5
)6( ubububyayayayayay La fel ca in metodologia genrala de conversie, prezentata la curs, se considera mai intai o ecuatie simplificata si apoi se aplica principiul suprapunerii efectelor. Ecuatia simplificata este:
uyayayayayay 0)1(1)2(2)4(4)5(5)6( Sistemul este de ordinul 6, deci rezulta 6 variabile de stare. Variabilele de stare sunt:
1122321 /)()(,...,/)()(,/)()(),()(
nnn dttydtxdttydtxdttdytxtytx Derivatele variabilelor de stare:
)(....)()()()()1(....)2()1()()(
)()(),...,()(),()(),()(
1322110
1210)(
1343221
txatxatxatxatunyayayayatuytx
txtxtxtxtxtxtxtx
nn
nn
n
nn
In raport cu modelul de stare descris in curs se obtin, prin identificarea coeficientilor, matricele:
,
100000
620153100000010000001000000100000010
100000010000001000000100000010
543210
BA
aaaaaa Prin aplicarea principiului (teoremei) suprapunerii efectelor, ecuatia de iesire:
)(....)()()()( 1322110 txbtxbtxbtxbty nn deci ]0[,007014543210 DC bbbbbb Solutie Matlab: >> den = [1 6 -2 0 1 -5 3]; >> num = [7 0 1 4]; >> [A,B,C,D ] = tf2ss(num, den); A = -6 2 0 -1 5 -3
B = 1
-
Analiza i sinteza circuitelor i sistemelor. Exerciii pentru seminar
55
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
C = 0 0 7 0 1 4
D = 0
Se observa ca solutia Matlab corespunde unui vector de stare cu starile numerotate invers fata de solutia noastra.
Exercitiul 5: Fie fdt a unui sistem
)2)(3()1(
)()()(
ss
ssUsYsH
Sa se scrie modelul de stare in forma canonica modala, controlabila si observabila.
Solutie: Forma modala. Se descompune sistemul in fractii simple:
32)2)(3()1()(
s
Bs
Ass
ssH
;212
321;1
11
231
ss
sBss
sA
2
2
1
13
22
1)2)(3(
)1()(ps
rps
rssss
ssH
Sistemul este de ordinul 2, cu doi poli p1= -2 si p2 = -3. Avem doua variabile de stare iesiri ale filtrelor
21
)()()( 11 ssU
sXsH , 3
1)()()( 22 ssU
sXsH
Ecuatiile de stare, in s, sunt
)()(3)()()(2)(
2
1sUsXssXsUsXssX
Ecuatia de iesire:
)(2)(1)( 21 sXsXsY Rezulta matricele
]0[,21,11
,30
12
DCBA
Solutie Matlab: >> num = [1 1]; den1 =[1 3]; den2 = [1 2]; >> den = conv(den1, den2); >> sys = tf(num, den); >> [sys_ss] = canon(sys, 'modal') A = -3 0 0 -2
B = -3.6 -2.8
C = -0.55 0.35 D = 0
-
Seminar 4. Reprezentari de stare
56
Forma controlabila. Se scrie fdt sub forma de produs a doi termeni:
)()(
)()(1
651
651
)2)(3(1)(
1
122 sY
sYsUsYs
sssss
ssssH
Pentru prima fractie se scrie:
)()(
651 1
2 sUsY
ss , )()(6)(5)( 111
2 sUsYssYsYs Se definesc variabilele de stare:
)()(),()( 1211 ssYsXsYsX Ecuatiile de stare:
)()()( 211 sXssYssX )(6)(5)()()( 121
22 sXsXsUsYsssX
Ecuatia de iesire rezulta din al doilea subsistem:
)()()()()()1()( 21111 sXsXssYsYsYssY
Rezulta matricele
]0[,11,10
,56
10
DCBA
Solutie Matlab: >> num = [1 1]; den1 =[1 3]; den2 = [1 2]; >> den = conv(den1, den2); >> sys = tf(num, den); >> [sys_ss] = canon(sys, 'companion') % forma controlabila A = 0 -6 1 -5
B = 1 0
C = 1 -4 D = 0
Forma observabila. Se scrie fdt sub forma:
)()(
651
)2)(3(1)( 2 sU
sYss
sss
ssH
1)(65)( 2 ssUsssY
)()()(6)(5)(2 SUssUsYsYssYs
)()(5)()(6)(1)(5)()( 2 sXsYsUsYsUssYsUssY Derivatele variabilleor de stare:
-
Analiza i sinteza circuitelor i sistemelor. Exerciii pentru seminar
57
)()(5)()( 211 sXsXsUssX )(6)()( 12 sXsUssX
Ecuatia de iesire: )()( 1 sXsY Rezulta matricele
]0[,01,11
,0615
DCBA
Tema pentru acasa: 1) Sa se scrie modelele de stare in forma canonica modala, controlabila si observabila pentru sistemele descrise prin fdt.
)4)(3()2)(1()(,
)2)(1()( 21
sssssH
ssssH
Pentru fiecare model sa se deseneze schema de implementare analogica cu filtre si apoi cu integratoare. Sa se deseneze grafurile de fluenta corespunzatoare.
-
58
Seminar 5 Discretizarea sistemelor n timp continuu i evaluarea stabilitii sistemelor Obiective 1. Discretizarea sistemelor analogice
2. Analiza sistemelor prin evaluarea stabilitatii
1. Introducere 1.1. Discretizarea sistemelor cu timp continuu Pentru un sistem cu timp continuu dat, se cere deducerea unui sistem cu timp discret care s aproximeze caracteristicile dinamice ale sistemului cu timp continuu. Aceast problem apare atunci cnd se dorete implementarea numeric (soft) a unui sistem dat n realizare analogic. 1.1. Abordarea bazat pe ansamblul eantionator-extrapolator
Figura 1: Sistem cu timp continuu (a) schema de discretizare utiliznd ansamblul
eantionator-extrapolator (b)
EH z H s H sZ (1) 0). Pentru extrapolatorul de ordinul zero (cel mai rspndit) :
11 e 11s eT sH z H s z H ss Z Z (1.a) 1). Pentru extrapolatorul de ordinul unu :
2
11)(
s
seTeT
sTsHe
eE (1.b)
1.2. Abordarea bazat pe metoda Tustin. Transformarea biliniara care proiecteaz axa imaginar s j pe cercul de raz unitar 1z :
e esTz (2) 22
e
e
sTzsT
, 1
12 1
1e
zsT z
(3)
11
2 11e
zsT z
H z H s
(4)
-
Seminar 5. Discretizarea sistemelor i evaluarea stabilitii
59
Observaii: 1). Sistemul cu timp discret, obinut prin discretizarea cu metoda Tustin a unui sistem strict cauzal cu timp continuu, este un sistem la limit cauzal. 2). Relaia (2.a) poate fi utilizat pentru conversia : funcie de transfer cu timp discret funcie de transfer cu timp continuu. 3). Metoda Tustin genereaza un sistem in timp discret cu acelasi raspuns la impuls cu cel continuu. (Metodele zoh si foh genereaza sisteme discrte cu acelasi raspuns indicial cu cel al sistemului continuu). 4). Transformata biliniara, transformand semiplanul stang al planului s complex in interiorul cercului unitate in planul z, determina obtinerea unor filtre in timp discret care conserva stabilitatea. Un filtru stabil in timp continuu va fi stabil si-n timp discret. 5). Filtrele cu zerourile in semiplanul stang al lui s sunt de faza minima. Prin maparea realizata de transformarea Tustin se obtin deci si filtre in timp discret tot de faza minima, deci se conserva si aceasta proprietate. 6). Ca reguli generale, se pot retine urmatoarele indicatii de utilizare:
Extrapolatorul de ordinul zero 'foh' se foloseste pentru sisteme cu semnale lente (netede);
Extrapolatorul de ordinul unu 'zoh' se foloseste pentru sisteme cu semnale discontinue (impulsuri sau treapta);
7). Conversiile: sisteme cu timp continuu sisteme cu timp discret nu sunt niciodat unice. 8). Funcia Matlab care realizeaz conversia : model liniar cu timp continuu model cu timpdiscret este c2d(), a crei utilizare este: >> sysd=c2d(sys, Te, metoda) unde sys et sysd sunt sisteme cu timp continuu i, respectiv, cu timp discret, Te perioada de eantionare, metoda permite selecia procedurii de discretizare, dup cum urmeaz: zoh utilizarea extrapolatorului de ordinul zero; foh - utilizarea extrapolatorului de ordinul 1 (variant ameliorat); tustin utilizarea metodei Tustin.
1.2.Stabilitatea intrare-iesire (Intrare Marginita Iesire Marginta IMEM) Conditia necesara si suficienta ca sistemul sa fie stabil IMEM este ca radacinile polinomului Q(s) sa fie in seminplanul stang al planului complex. Pentru indeplinirea acestei conditii este necesar, nu insa si suficient, ca toti coeficientii polinomului Q(s) (numitorul functiei de transfer) sa fie strict pozitivi, niai ,...,2,1,0 Stabilitatea sistemelor analogice poate fi analizata utilizand criterii de stabilitate algebrice (tip Hurwitz) sau criterii de modul si faza (grafice) (tip Nyquist). Un sistem analogic, liniar si invariant intimp, avand functia de transfer H(s)=P(s)/Q(s), este strict stabil daca polinomul Q(s) este un polinom strict Hurwitz. Sistemul este stabil in sens larg (la limita de stabilitate) daca Q(s) este polinom Hurwitz in sens larg (are si zerorui simple pe axa jw). Pentru sistemele oarecare, descrise prin fdt H(s)=P(s)/Q(s), se folosesc
-
Analiza i sinteza circuitelor i sistemelor. Exerciii pentru seminar
60
Fie
nnnnnn asasasasasasQ 13322110 ...)(
Caracterul Hurwitz al polinomului Q(s) se poate aprecia utilizand: 1.2.1). Criteriul algebric Hurwitz, care consta in calculul a n determinanti (n=grad(Q)) construiti din coeficientii lui Q(s); Un polinom Hurwitz are toti determinantii de ordin n,
0n . In sens larg, daca cel putin unul dintre ei este zero, 0k . Determinantul este:
n
n
a
aaaaaaaaaaaaaaaa
aa
...0000.....0...0...0...0...0...00
6789
4567
2345
0123
01
Regului de constructie: - Pe diagonala principala se trec coeficeintii polinomului Q(s), incepand cu a1; - La stanga fiecarui element de pe diagonala principala se plaseaza coeficientii care sunt
la dreapta in polinomul Q(s); - La dreapta fiecarui element de pe diagonala principala, se plaseaza coeficentii care
sunt la stanga in polinomul Q(s); - Spatiile libere se completeaza cu valori nule.
1.2.2). Testul Hurwitz. Acesta este un algoritm carea asociaza lui Q(s) functia rationala impara:
......
)()()( 3
31
1
220
nn
nn
sasasasa
sNsMs
Fractia se dezvolta in fractie continua prin impartiri succesive:
ssss
ss
ss
ssn
1...11
)(1
1)(
1)(32
1
22
11
1
Concluzii: 1). Daca toti coeficientii nkk ,...,2,1, sunt pozitivi atunci polinomul este strict Hurwitz; 2). Daca dezvoltarea se termina prematur, adica nu dureaza n etape, inseamna ca polinoamele M(s) si N(s) au un dizivor in comun. In aceasta situatie, daca toti coeficientii k pana la terminarea prematura sunt pozitivi si divizorul comun are zerouri simple pe axa (jw), atunci Q(s) este un polinom Hurwithz in sens larg. Daca cel putin un coeficient k este negativ sau divizorul comun are zerouri in SPD (semiplanul drept) sau multiple pe axa (jw), Q(s) nu este polinom Hurwitz. 1.2.3. Criteriul de stabilitate Nyquist (pentru sisteme cu reactie negativa)
-
Seminar 5. Discretizarea sistemelor i evaluarea stabilitii
61
Fie
0 1 d cH s
H sH s
(1) funcia de transfer a sistemului n bucl nchis, n care
c d rH s H s H s (2)
este funcia de transfer a buclei deschise (calea direct n serie cu calea de reacie).
Formularea criteriului Nyquist, dat n cele ce urmeaz, are la baz ipoteza c bucla deschis nu are poli n semiplanul drept, ns poate s aib poli pe axa imaginar. Aceast ipotez privind funcia de transfer cH s este ndeplinit n aproape toate aplicaiile din electronic. Formularea criteriului Nyquist, n ipoteza menionat, este urmtoarea :
Un sistem este stabil n bucl nchis atunci cnd caracteristica Nyquist aferent funciei de transfer n bucl deschis, cH j , las punctul de coordonate 1, 0j , numit punct critic, n partea stng, atunci cnd pulsaia variaz de la zero la . In fig. 2 sunt exemplificate caracteristici Nyquist pentru sisteme stabile i sisteme instabile (1, 2-sisteme stabile; 3, 4-sisteme instabile). Atunci cnd caracteristica Nyquist trece prin punctul critic, sistemul este instabil, ns la limita de stabilitate.
Figura 2: Caracteristici Nyquist pentru sisteme stabile (1,2) i instabile (3, 4)
Evaluarea rezervei de stabilitate Rezerva de stabilitate exprim distana dintre caracteristica Nyquist cH j i punctul critic 1, 0j . Concret, ea se definete prin doi indicatori, numii margine de faz i margine de amplificare. Fie caracteristica Nyquist a unui sistem stabil, reprezentat n fig. 3. Pe aceast caracteristic se definesc dou pulsaii : 1). pulsaia t , numit pulsaie de tiere, pentru care amplificarea buclei deschise este unitar, adic :
1 0c t c t cdB tH j A A (3) 2). pulsaia notat prin , la care defazajul buclei deschise este egal cu (sau 180 ) :
argc cH j (4)
-
Analiza i sinteza circuitelor i sistemelor. Exerciii pentru seminar
62
Figura 3: Definirea marginii de amplificare i a marginii de faz pe caracteristica Nyquist
Fie cA amplificarea buclei deschise la pulsaia . Dac sistemul este stabil, atunci
1cA (vezi fig. 3). Marginea de amplificare este definit prin relaia
1
cm
A (5) Marginea de faz este unghiul format de semiaxa real negativ i vectorul c tH j (vezi fig. 3):
180 c t (6) La un sistem stabil sunt valabile relaiile:
1; 0; tm (7)
Dac sistemul este instabil, avem : 1; 0; tm , iar pentru un sistem la limita de stabilitate rezult :
1; 0; tm (8) Indicatorii rezervei de stabilitate pot fi definii i pe caracteristicile Bode. Marginea de amplificare exprimat n dB este
120log 20log 20log( )dB c cdBc
m m A AA
(9)
Relaiile (3), (6) i (9) dau regulile de determinare a marginii de amplificare i a marginii de faz pe caracteristicile Bode, aa cum se ilustreaz n fig. 4.a, pentru un sistem stabil, i n fig. 4.b, pentru un sistem instabil.
-
Seminar 5. Discretizarea sistemelor i evaluarea stabilitii
63
Figura 4: Marginea de amplificare i marginea de faz deduse pe caracteristicile Bode pentru un sistem stabil (a) i pentru un sistem instabil (b)
Observaie : 1). Criteriul Nyquist se aplic i pentru sistemele cu timp discret. Marginea de amplificare i marginea de faz se definesc n acelai mod. Singura diferen este c, n acest caz, caracteristcile de frecven se traseaz n domeniul [0, ] [0, / 2]S e . 2). Funcia Matlab care permite determinarea marginii de amplificare, a marginii de faz i a pulsaiilor sit este margin. Apelarea acestei funcii este margin(sys), unde sys este sistemul n circuit deschis (calea direct nseriat cu calea de reacie).
2. Exercitii Exercitiul 1 (discretizare): Fie un sistem analogic liniar si invariant in timp descris prin functia de transfer
3)(1 s
AsH , 321)(2
ss
ssH , 312)( 23
ss
ssH
a). Sa se calculeze functia de transfer in z, H(z), folosind extrapolatorul de ordin zero. b). Sa se calculeze functia de transfer in z, H(z), prin metoda transformatei biliniare (Tustin). c). Pentru fiecare din functiile obtinute sa se scrie ecuatia in diferente. d). Sa se simuleze in Matlab sistemele in timp continuu si in timp discret obtinute anterior, cu perioada de esantionare Te=0.01, reprezentandu-se: raspunsul la impuls, raspunsul la treapta unitara, si caracteristicile Bode. Sa se compare cu marimile corespunzatoare sistemului in timp continuu.
Solutie: Pentru primul sistem: a). Metoda extrapolatorului de ordin zero:
ssHZzsH
seZsHsHZzH
Tese
)()1()(1)()()( 12
-
Analiza i sinteza circuitelor i sistemelor. Exerciii pentru seminar
64
3/,3/3)3(
)(21
21 ArArsr
sr
ssA
ssH
eTezzA
zzA
sAZ
sAZ
ssHZ 33133
3/3/)(
9704.0098.01
31
33
top related