2007-1
Post on 27-Jan-2016
7 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Ministerul Educa�iei �i Cercet�rii – Serviciul Na
�ional de Evaluare �i Examinare
PROBA D. M1: Filiera Teoretic�: sp.: matematic�-informatic�, Filiera Voca�ional�, profil Militar, specializarea matematic�-informatic� Varianta 050
1
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2007 Proba scris� la MATEMATIC
PROBA D Varianta ….050 Profilul: Filiera Teoretic �: sp.: matematic�-informatic�, Filiera Voca�ional�, profil Militar, Specializarea: specializarea matematic�-informatic� ♦ Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord� 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
La toate subiectele se cer rezolvri cu solu ii complete
SUBIECTUL I ( 20p )
(4p) a) S se calculeze modulul numrului complex i34 −− .
(4p) b) S se calculeze lungimea segmentului cu capetele în punctele ( )23 −,A i ( )34 −,C .
(4p) c) S se calculeze suma de numere complexe 753 iiiiS +++= .
(4p) d) S se determine R∈ba, , astfel încât punctele ( )23 −,A i ( )34 −,C s fie pe dreapta
de ecuaie 0=++ bayx .
(2p) e) S se calculeze aria triunghiului cu vârfurile în punctele ( )23 −,A , ( )2,2B i ( )34 −,C .
(2p) f) S se determine distana de la punctul ( )0,0O la dreapta 01=−+ yx .
SUBIECTUL II ( 30p ) 1.
(3p) a) S se calculeze elementul 102̂ în ( )⋅,Z8 .
(3p) b) S se calculeze expresia 58
38 CCE −= .
(3p) c) S se rezolve în mulimea numerelor reale strict pozitive ecuaia 15 =xlog .
(3p) d) S se rezolve în mulimea numerelor reale ecuaia 03216 =−x .
(3p) e) S se calculeze probabilitatea ca un element { }5,4,3,2,1∈n s verifice relaia 193 >n .
2. Se consider func ia RR →:f , ( ) 1215 −+= xxxf .
(3p) a) S se calculeze ( )xf ′ , R∈x .
(3p) b) S se calculeze ( )∫1
0
dxxf .
(3p) c) S se calculeze ( ) ( )
x
fxfx
0lim
0
−→
.
(3p) d) S se arate c func ia f este strict cresctoare pe R .
(3p) e) S se calculeze 25
32lim
−+
∞→ n
nn
.
Ministerul Educa�iei �i Cercet�rii – Serviciul Na
�ional de Evaluare �i Examinare
PROBA D. M1: Filiera Teoretic�: sp.: matematic�-informatic�, Filiera Voca�ional�, profil Militar, specializarea matematic�-informatic� Varianta 050
2
SUBIECTUL III (20p)
Se consider matricele
=
1 0
0 12I ,
=
1- 0
0 1C i ( ){ }22 IAAMAG T =⋅∈= R , unde
prin TA am notat transpusa matricei A .
(4p) a) S se arate c GI ∈2 i C G∈ .
(4p) b) S se arate c dac GA∈ i GB∈ , atunci GBA ∈⋅ .
(4p) c) S se arate c dac GA∈ , atunci matricea A este inversabil i GA ∈−1 .
(2p) d) S se arate c ( )⋅,G este grup în raport cu înmulirea matricelor .
(2p) e) S se arate c funcia { } ( ) ( )AAfGf det,1,1-: =→ este surjectiv dar nu este injectiv.
(2p) f) S se arate c mul imea
∈
−= Ra
aa
aaH
cossin
sincos este un subgrup al lui G .
(2p) g) S se dea exemplu de subgrup al lui G care are 2007 elemente.
SUBIECTUL IV (20p)
Se consider func iile [ ] R→10,:f , [ ] R→10,:g , [ ] R→1,0:h , [ ] R→10,:G , definite prin
x
xxg
)1ln()(
+= , ( ]1,0∈∀x , 1)0( =g , xxxf −+= )1ln()( , ( ) ( )2
2xxfxh += , [ ]1,0∈∀x ,
∫=x
dttgxG0
)()( , ]1,0[∈∀x i irul 1)( ≥nna , definit prin ∫ +=1
0
)1ln( dxxa nn , *∈∀n .
(4p) a) S se calculeze )(xf ′ i )(xh′ , ]1,0[∈x .
(4p) b) S se arate c 0)( ≤′ xf i 0)( ≥′ xh , ]1,0[∈∀x .
(4p) c) S se arate c xxx
x ≤+≤− )1ln(2
2
, ]1,0[∈∀x .
(2p) d) S se arate c func ia g este continu pe intervalul ]1,0[ .
(2p) e) S se arate c 1
10
+≤≤
nan , ∗∈∀ Nn i c 0lim =
∞→ nn
a .
(2p) f) Utilizând metoda integrrii prin p r i, s se arate c ∫−=⋅1
0
)()1( dxxGGan nn , 1≥∀n .
(2p) g) S se arate c ( )1lim Gan nn
=⋅∞→
.
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, M1 (2007) Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică. Filiera vocaţională: profil militar, specializarea matematică-informatică.
1
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2008 – Sesiunea iunie-iulie Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D-M1 (2007) - Varianta 50
BAREM DE CORECTARE ŞI DE NOTARE Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică. Filiera vocaţională: profil militar, specializarea matematică-informatică.
♦ Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. ♦ Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem. SUBIECTUL I (20 puncte)
a) 2 24 3 4 3i− − = + ,
deci rezultatul este 5.
2p 2p
b) ( ) ( )2 24 3 2 ( 3)AC = − + − − − =
2= .
2p 2p
c) 3 5 7, ,i i i i i i= − = = − , deci 0S = .
3p 1p
d) 3 2 0a b− + = 4 3 0a b− + =
1a = şi 1b = − .
1p 1p 2p
e) 3 2 1
2 2 1 3
4 3 1
−= −
−
1 3
2 2ABCS = ∆ =
1p
1p
f)
2 2
| 0 0 1|
1 1d
+ −=+
2
2= 2p
SUBIECTUL II (30 puncte) 1.a) 3ˆ ˆ2 0=
10ˆ ˆ2 0=
2p
1p
b) 5 38 8
8!
3!5!C C= =
0E =
2p 1p
c) 15 5x = = 3p
d) 4 52 2x = 5
4x =
2p
1p
e) 1 şi 2 nu verifică relaţia 3, 4 şi 5 verifică relaţia
3
5P =
1p 1p
1p
2.a) ( ) 1415 2f x x′ = + 3p
b) ( )
116 2 1
00
1
16f x dx x x x= + − =∫
1
16
2p 1p
c) Limita este egală cu ( )0f ′ = 2p 1p
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, M1 (2007) Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică. Filiera vocaţională: profil militar, specializarea matematică-informatică.
2
2= d) ( ) 1415 2 0,f x x x′ = + > ∀ ∈ ,
deci f este strict crescătoare.
2p
1p
e) Limita
2
5= 3p
SUBIECTUL III (20 puncte) a)
2 2 2 2 2TI I I I I⋅ = ⋅ = ;
2TC C C C I⋅ = ⋅ =
2p 2p
b) ( )T T TAB AB ABB A= =
2 2T TAI A AA I= = = , în cazul în care ,A B G∈ .
2p
2p
c) Dacă A G∈ , atunci 2det det det 1TA A I⋅ = = , deci A este inversabilă. Apoi, 1 1 1
2T T TAA I A AA A A A− − −= ⇒ = ⇒ = şi 1
2( )T T T TA A A A A A I−= = =
2p
2p d) Conform b) şi c), G este subgrup al grupului multiplicativ 2 ( )GL .
Astfel, ( , )G ⋅ este grup.
1p
1p
e) 2( ) 1, ( ) 1f I f C= = − şi 2 ,I C G∈ , deci f este surjectivă.
2 2( ) ( )f I f I= − şi 2 2,I I G− ∈ , deci f nu este injectivă. 1p
1p
f) Dacă ( )cos sin
sin cosaa aM a a
−= , atunci aM G∈ , a b a bM M M H+= ∈
şi 1a aM M H−
−= ∈ .
1p 1p
g) Exemplul este dat de mulţimea
2 4 4012| {0, , ,..., }
2007 2007 2007{ }aM a
π π π∈ . 2p
SUBIECTUL IV (20 puncte) a)
( )1
xf x
x
−′ =+
2
( ) ( )1
xh x f x x
x′ ′= + =
+
2p 2p
b) Ambele afirmaţii rezultă din faptul că [0,1]x ∈ . 2p + 2p c) Din b), f este descrescătoare pe [0,1] , deci ( ) (0) 0, [0,1]f x f x≤ = ∀ ∈ ,
iar h este crescătoare pe [0,1] , deci ( ) (0) 0, [0,1]h x h x≥ = ∀ ∈ . 2p 2p
d) Pe (0,1] , g este cât de funcţii continue,
iar în 0, 0 0
ln(1 )lim ( ) lim 1 (0)x x
xg x g
x→ →
+= = =
1p 1p
e) Folosind c),
1
0
1
1n
na x dxn
≤ =+∫ .
Din 1
01na
n≤ ≤
+ şi 1
lim 01n n→∞
=+
reiese lim 0nn
a→∞
= .
1p 1p
f) 1 10 1
0 01( ) ( ) ( )n n n nG x dx xG x x nx G x dx− ′= − ⋅∫ ∫ =
1 1
0 0(1) ( ) (1) ln(1 ) (1)n n n
nG n x g x dx G n x dx G na= − = − + = −∫ ∫
1p 1p
g) Din c), 0 ( ) 1g x≤ ≤ , deci 0
0 ( ) 1x
G x dx x≤ ≤ =∫ .
Astfel, 1 1
0 0
10 ( )
1n nG x dx x dx
n≤ ≤ =
+∫ ∫ , de unde 1
0lim ( ) 0n
nG x dx
→∞=∫ .
1p 1p
♦ Total 100 de puncte din care 10 sunt din oficiu. ♦ Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului obţinut la 10.
Ministerul Educa�iei �i Cercet�rii – Serviciul Na
�ional de Evaluare �i Examinare
Proba D.Programa M1.Filiera teoretic�, specializarea �tiin�e ale naturii; Filier� tehnologic�, profil Tehnic, toate specializ�rile
Varianta 050 1
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2007 Proba scris� la MATEMATIC
PROBA D Varianta ….050 Proba D.Programa M1.Filiera teoretic�, specializarea �tiin
�e ale naturii; Filier� tehnologic�, profil Tehnic, toate specializ�rile
♦ Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord� 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri cu solu ii complete SUBIECTUL I ( 20p ) În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider punctele ( )1,nAn , N∈∀n
i ( )00,O .
(4p) a) S se determine panta dreptei 1OA .
(4p) b) S se arate c punctele 0A i 1A aparin dreptei de ecuaie 1=y .
(4p) c) S se calculeze aria triunghiului 10 AOA .
(4p) d) S se calculeze lungimea segmentului [ ]nOA , N∈n .
(2p) e) S se determine numrul dreptelor determinate de punctele mulimii { }1010 A,...,A,A,O .
(2p) f) S se determine numrul triunghiurilor care au vârfurile în câte 3 puncte din mul imea { }1010 A,...,A,A,O .
SUBIECTUL II ( 30p ) 1.
(3p) a) S se calculeze determinantul
73
51.
(3p) b) S se calculeze numrul de mulimi X care verific relaia { } { }6,5,4,3,2,12,1 =∪X .
(3p) c) S se calculeze matricea 2007
11
11
−−
.
(3p) d) S se rezolve în mulimea numerelor raionale ecuaia 06116 23 =−+− xxx .
(3p) e) S se calculeze probabilitatea ca un element n din mul imea { }5,4,3,2,1 , s verifice
relaia 022 ≥− nn .
2. Se consider func ia RR →:f , ( ) 12 += xxf .
(3p) a) S se calculeze ( )xf ′ , R∈x .
(3p) b) S se calculeze ( )dxxf∫
1
02
1.
(3p) c) S se calculeze ( ) ( )
x
fxfx
0lim
0
−→
.
(3p) d) S se determine ecuaia asimptotei spre ∞+ la graficul funciei f .
(3p) e) S se calculeze ( )x
xfx −∞→lim .
Ministerul Educa�iei �i Cercet�rii – Serviciul Na
�ional de Evaluare �i Examinare
Proba D.Programa M1.Filiera teoretic�, specializarea �tiin�e ale naturii; Filier� tehnologic�, profil Tehnic, toate specializ�rile
Varianta 050 2
SUBIECTUL III ( 20p )
Se consider mul imea ( ){ }∗∈−+=→= RRR aaaxxffG ,1: i func ia
RRR →:1 , ( ) xx =R1 , R∈∀ x .
(4p) a) S se arate c dac Ggf ∈, , atunci Ggf ∈� .
(4p) b) S se arate c G∈R1 .
(4p) c) S se arate c fff == �� RR 11 , Gf ∈∀ .
(2p) d) S se arate c dac Gf ∈ , ( ) aaxxf −+= 1 i RR →:g , ( )
a
axxg
+−= 1, atunci
Gg ∈ i R1== fggf �� .
(2p) e) S se calculeze ( ) ( ) ( )1001...2111 RRR +++ .
(2p) f) S se calculeze hhh �� , unde Gh∈ , ( ) 12 −= xxh .
(2p) g) S se arate c mul imea G, împreun cu operaia de compunere a funciilor, formeaz
o structur de grup comutativ.
SUBIECTUL IV ( 20p )
Se consider func ia ( ) R→∞,: 0f , ( )3
1
xxf = i se definete irul ( ) *N∈nna ,
( ) ( ) ( )nfffan +++= ...21 , *N∈∀n .
(4p) a) S se calculeze ( )∫ dxxf , ( )∞∈ ,0x .
(4p) b) S se calculeze ( )xf ' , ( )∞∈ ,0x .
(4p) c) S se arate c func ia f este strict descresctoare pe intervalul ( )∞,0 .
(2p) d) S se arate c irul ( ) *N∈nna este strict cresctor.
(2p) e) S se arate c ( ) ( )
012
1
2
1
1
1223
>∀+
−<+
kkkk
, .
(2p) f) S se arate c na≤15,1 , *N∈∀ n , 4≥n .
(2p) g) S se arate c 21,1≤na , *N∈∀n .
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ Proba D_M1 (2007) Filiera teoretică: specializarea ştiinţe ale naturii. Filiera tehnologică: profil tehnic, toate specializările.
1
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT –– sesiunea iunie-iulie 2008 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D – M1 (2007) Varianta 50
BAREM DE CORECTARE ŞI DE NOTARE
Filiera teoretică: specializarea ştiinţe ale naturii. Filiera tehnologică: profil tehnic, toate specializările. ♦ Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. ♦ Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem. SUBIECTUL I (20 puncte)
a) 1A are coordonatele (1,1)
panta este 1
2p 2p
b) Ambele puncte au ordonata egală cu 1, deci aparţin dreptei 1y =
2p 2p
c) Triunghiul este dreptunghic isoscel având catetele de lungime 1
Aria este egală cu 1
2
2p 2p
d) 2 1nOA n= + 4p
e) Punctele 0 1 10, , ...,A A A aparţin dreptei d de ecuaţie 1y = .
Punctul O nu aparţine dreptei d, deci dreptele cerute sunt 0 0 10, ,...,OA OA OA şi d în
total 12 drepte
1p 1p
f) Toate triunghiurile au un vârf în O şi două vârfuri pe dreapta 1y =
deci sunt 211 55C = de drepte
1p 1p
SUBIECTUL II (30 puncte) 1.a) Determinantul este egal cu 7 15 8− = − 3p b) { }3, 4,5,6 X⊂
{ }3, 4,5, 6X Y= ∪ cu { }1, 2Y ⊂
Sunt 4 mulţimi Y , deci 4 mulţimi X
1p 1p 1p
c) Dacă A este matricea din enunţ, avem 22A O=
20072A O=
2p 1p
d) 1 2 31, 2, 3x x x= = = 3p
e) Din cele 5 cazuri posibile, cazurile favorabile sunt 2,3, 4,5n = .
Probabilitatea este 4
5
1p 1p 1p
2.a) 2
'( )1
xf x
x=
+
3p
b) 1 1
2 00
1
1dx arctg x
x= =
+∫
4
π=
2p 1p
c) Limita este egală cu '(0)f =
0=
2p 1p
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ Proba D_M1 (2007) Filiera teoretică: specializarea ştiinţe ale naturii. Filiera tehnologică: profil tehnic, toate specializările.
2
d) lim ( )x
f x→∞
= +∞
( )lim 1x
f xm
x→∞= = şi lim( ( ) ) 0
xn f x x
→∞= − =
Ecuaţia asimptotei este y x=
1p 1p 1p
e) ( )lim 1x
f x
x→−∞= − 3p
SUBIECTUL III (20 puncte) a) ( ) 1 , ( ) 1 ,f x ax a g x bx b= + − = + − cu ,a b ∗∈ , ( )( ) ( ( ))f g x f g x= =
( ) 1 1ag x a abx ab= + − = + −
ab ∗∈ , deci f g G∈
1p 2p 1p
b) 1 ( ) 1 1 1x x= ⋅ + −
1 ∗∈ , deci 1 G∈
2p 2p
c) (1 )( ) ( ),f x f x x= ∀ ∈
( 1 )( ) ( ),f x f x x= ∀ ∈
2p
2p d) ( )( ) ( ) 1 1 1 ,f g x ag x a x a a x x= + − = − + + − = ∀ ∈
1 1 1 1( )( ) ( ) 1 1 1 ,g f x f x x x x
a a a a= + − = + − + − = ∀ ∈
1p 1p
e) Suma cerută este egală cu 1 2 ... 100+ + + = 100 101
50502
⋅= =
1p 1p
f) ( )( ) ( (2 1))h h h x h h x= − =
(4 3) 8 7,h x x x= − = − ∀ ∈
1p
1p g) Compunerea funcţiilor este lege de compoziţie pe G din a); compunerea funcţiilor
este asociativă. 1 ,G∈ orice f din G este inversabilă şi 1f G− ∈ , , ,f g g f f g G= ∀ ∈
1p 1p
SUBIECTUL IV (20 puncte) a) ( )3 2
1 1, 0,
2dx C x
x x= − + ∈ +∞∫ 4p
b) ( ) ( )4
3, 0,f x x
x′ = − ∈ +∞
4p
c) Cum ( )'( ) 0, 0,f x x< ∀ ∈ +∞
Rezultă că f este strict descrescătoare pe ( )0, +∞
2p 2p
d) 1 3
10,
( 1)n na a nn
∗+ − = > ∀ ∈
+
Deci şirul este strict crescător
1p 1p
e) 3 2 2
1 2 1
( 1) 2 ( 1)
k
k k k
+< ⇔+ +
2 22 2 3 1,k k k⇔ < + + adevărat 0k∀ >
1p 1p
f) 3
1 11 1,15
8 27a = + + ≥
Pentru 4n ≥ , rezultă 3 1,15na a≥ ≥
1p 1p
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ Proba D_M1 (2007) Filiera teoretică: specializarea ştiinţe ale naturii. Filiera tehnologică: profil tehnic, toate specializările.
3
g) 1
3 2 34
1 1 1 1 9 1 1 1 1 9 1 11 1 1 1,21
8 27 64 ( 1) 64 27 2 4 64 27 32
n
nk
ak n
−
=
= + + + + < + + + − < + + + < + ∑ ,
5n ≥ ; pentru { }1,2,3,4n ∈ rezultă 5 1,21na a< <
2p
♦ Total 100 de puncte din care 10 sunt din oficiu. ♦ Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului obţinut la 10.
Ministerul Educa�iei �i Cercet�rii – Serviciul Na
�ional de Evaluare �i Examinare
Proba D. Programa M2. Filiera tehnologic�: profil: Servicii, toate specializ�rile, profil Resurse naturale �i protec�ia mediului,
toate specializ�rile Proba F. Programa M2.Filiera teoretic�:profil Uman, specializarea �tiin �
e sociale;Filiera voca�ional�:profil Militar,
specializarea �tiin �e sociale
Varianta 050
1
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2007 Proba scris� la MATEMATIC
PROBA D/F Varianta ….050 Proba D. Programa M2. Filiera tehnologic�: profil: Servicii, toate specializ�rile, profil Resurse naturale �i protec
�ia mediului,
toate specializ�rile Proba F. Programa M2.Filiera teoretic�:profil Uman, specializarea �tiin �
e sociale;Filiera voca�ional�:profil Militar,
specializarea �tiin �e sociale
NOT�.Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord� 10 puncte din oficiu.Timp de lucru efectiv 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri cu solu ii complete
SUBIECTUL I ( 20p )
(4p) a) S se calculeze distana de la punctul )1,1( −A la punctul ( )3,2−B .
(4p) b) S se afle aria triunghiului determinat de punctele )7,2(),3,2(),1,1( −−−− CBA .
(4p) c) S se arate c expresia 2cos3sin3 22 −+= xxE nu depinde de x .
(4p) d) S se arate c un triunghi având lungimile laturilor de 5, 12 i 13 este dreptunghic.
(2p) e) S se calculeze numrul complex 53 ii + .
(2p) f) S se afle perimetrul unui ptrat care are diagonalele de lungime 2 .
SUBIECTUL II ( 30p ) 1.
(3p) a) S se calculeze 16log2 .
(3p) b) S se calculeze probabilitatea ca un element x din mul imea { }3,2,1,0 s verifice relaia
52 <x .
(3p) c) S se calculeze 25A .
(3p) d) S se rezolve ecuaia 1,22 1 ≥=− xx .
(3p) e) Dac 12)(,: −=→ xxff RR i 2: +=→ xg(x)g R,R , s se calculeze ))(( xgf � .
2. Se conside func ia xexff x −=→ )(,: RR .
(3p) a) S se calculeze ( ) ∈x,x'f R .
(3p) b) S se calculeze 3
)3()(lim
3 −−
→ x
fxfx
.
(3p) c) S se calculeze coordonatele punctului de extrem local al func iei f .
(3p) d) S se calculeze ( )xfx −∞→lim .
(3p) e) S se calculeze ∫1
0
)( dxxf .
Ministerul Educa�iei �i Cercet�rii – Serviciul Na
�ional de Evaluare �i Examinare
Proba D. Programa M2. Filiera tehnologic�: profil: Servicii, toate specializ�rile, profil Resurse naturale �i protec�ia mediului,
toate specializ�rile Proba F. Programa M2.Filiera teoretic�:profil Uman, specializarea �tiin �
e sociale;Filiera voca�ional�:profil Militar,
specializarea �tiin �e sociale
Varianta 050
2
SUBIECTUL III ( 20p )
În mul imea )(2 RM se consider matricea
=
33
22A .
(4p) a) S se calculeze determinantul matricei A .
(4p) b) S se arate c AA 52 = .
(4p) c) S se determine o matrice )(2 RMB∈ , astfel încât ABBA ⋅≠⋅ .
(2p) d) S se determine o matrice )(2 RMC ∈ , AC ≠ , astfel încât ACCA ⋅=⋅ .
(2p) e) Utilizând metoda induciei matematice, s se arate c *1 ,5 N∈∀⋅= − nAA nn .
(2p) f) S se calculeze suma .... 10032 AAAA ++++
(2p) g) S se arate c toate elementele matricei 10110032 ... AAAAA −++++ sunt strict negative.
SUBIECTUL IV ( 20p )
Se consider func ia
)1(1
)(:),0(:+
=+∞xx
xf,f R i irul 1)( ≥nna definit prin
*,)(...)2()1( N∈∀+++= nnfffan .
(4p) a) S se verifice c ),0(,1
11)( +∞∈∀
+−= x
xxxf .
(4p) b) S se calculeze ( ) ( )∞∈ ,0,' xxf .
(4p) c) S se arate c func ia f este descresctoare pe intervalul ),0( +∞ .
(2p) d) S se determine ecuaia asimptotei spre ∞+ la graficul funciei f .
(2p) e) S se calculeze ∫2
1
)( dxxf .
(2p) f) S se arate c 1+
=n
nan , *N∈∀n .
(2p) g) S se calculeze nn
na 2)(lim
∞→.
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ – Proba D/F_M2_2007 D_Filiera tehnologică; profil servicii-toate specializările; profil resurse naturale şi protecţia mediului-toate specializările. F_Filiera teoretică; profil uman, specializarea ştiinţe sociale; F_Filiera vocaţională; profil militar, specializarea ştiinţe sociale.
1
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – Sesiunea iunie-iulie 2008 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D/F-M2_2007
BAREM DE CORECTARE ŞI DE NOTARE Varianta 50 D_Filiera tehnologică; profil servicii-toate specializările; profil resurse naturale şi protecţia mediului-toate specializările. F_Filiera teoretică; profil uman, specializarea ştiinţe sociale; F_Filiera vocaţională; profil militar, specializarea ştiinţe sociale. ♦ Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. ♦ Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem. SUBIECTUL I (20 puncte)
a) ( ) ( )2 21 2 3 1AB = + + + =.
5=
2p 2p
b) 1 1 11
2 3 12
2 7 1ABCA
−= − =
− −
15
2p
2p
c) ( )2 23 1 cos 3cos 2E x x= − + − =
1=
2p
2p
d) 2 2 25 12 13+ = ⇒ triunghiul este dreptunghic 4p e) 3i i= −
5i i= , deci 3 5 0i i+ =
1p
1p f) Latura = 1
Perimetrul = 4 1p 1p
SUBIECTUL II (30 puncte) 1.a) 4
2 2log 16 log 2= =
4=
2p 1p
b) Verifică { }0,1,2x ∈
Probabilitatea3
4=
2p
1p
c) 25 5 4 20A = ⋅ = 3p
d) 1 1x − = 2x =
1p 2p
e) ( )( ) ( )2 1f g x g x= − =
( )2 1 1 2 3x x= − − = +
1p
2p
2.a) ( ) 1xf x e′ = − 3p
b) ( ) ( ) ( )3
3lim 3
3x
f x ff
x→
−′= =
−
3 1e= −
2p 1p
c) ( ) 0f x′ =
0x = este punct de extrem local
2p 1p
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ – Proba D/F_M2_2007 D_Filiera tehnologică; profil servicii-toate specializările; profil resurse naturale şi protecţia mediului-toate specializările. F_Filiera teoretică; profil uman, specializarea ştiinţe sociale; F_Filiera vocaţională; profil militar, specializarea ştiinţe sociale.
2
d) lim 0, limx
x xe x
→−∞ →−∞= = −∞
( )limx
f x→−∞
= −∞
2p
1p
e) ( )
1 12
002
x xf x e
= − =
∫
3
2e= −
2p 1p
SUBIECTUL III (20 puncte)
a) det 6 6 0A = − = 4p
b)
2 10 1015 15
A =
210 105
15 15A A = =
2p
2p
c) 0 10 0
B =
0 2 3 30 3 0 0
AB BA = ≠ =
2p 2p
d) 2C A A= ≠ ( ) ( )2 2A A A A⋅ = ⋅
1p 1p
e) 1 1 15A A A−= = , ( )1 1 1 25 5 5n n n n nA A A A A A A+ − −= ⋅ = = = ⋅ 2p
f) suma 995 ... 5A A A= + + + = 1005 1
4A
−=
1p 1p
g) matricea
1003 5 10
4A
− ⋅ −= < 2p
SUBIECTUL IV (20 puncte) a)
( ) ( )1 1 1
1 1
x xf x
x x x x
+ −− = =+ +
4p
b) ( )( )2 2
1 1
1f x
x x′ = − + =
+
( )22
2 1
1
x
x x
+= −+
2p
2p
c) ( ) 0, 0f x x′ < ∀ <
deci f este descrescătoare
2p
2p d) ( )lim 0
xf x
→∞= ,
deci 0y = este asimptotă orizontală la +∞
1p
1p e)
( ) ( )2
2 21 1
1
ln ln 1f x dx x x= − + =∫
4ln
3=
1p
1p
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ – Proba D/F_M2_2007 D_Filiera tehnologică; profil servicii-toate specializările; profil resurse naturale şi protecţia mediului-toate specializările. F_Filiera teoretică; profil uman, specializarea ştiinţe sociale; F_Filiera vocaţională; profil militar, specializarea ştiinţe sociale.
3
f) 1 1 1 1 1 1...
1 2 2 3 1nan n
= − + − + + − = +
11
1 1
n
n n= − =
+ +
1p
1p
g) 2 2
1 1lim
11
n n e
n
→∞=
+
2p
♦ Total 100 de puncte din care 10 sunt din oficiu. ♦ Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului obţinut la 10.
Ministerul Educa�iei �i Cercet�rii – Serviciul Na
�ional de Evaluare �i Examinare
M3:Proba d. Filiera Voca� ional�: profil Pedagogic, specializ�rile înv���tor-educatoare Varianta 050
1
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2007 Proba scris� la MATEMATIC
PROBA D Varianta ….050 M3:Proba d. Filiera Voca� ional�: profil Pedagogic, specializ�rile înv���tor-educatoare NOT�.Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord� 10 puncte din oficiu.Timp de lucru efectiv 3 ore
La toate subiectele se cer rezolvri complete
SUBIECTUL I ( 20p )
(4p) a) S se calculeze media aritmetic a numerelor 1 i 2007 .
(4p) b) S se calculeze x , dac
5
6
3
1
2
1=
−
x
(4p) c) S se calculeze ( ) ( ) ( )2222 321 +++−+− kkkk , unde N∈k .
(4p) d) S se calculeze .1024
(2p) e) S se afle cifra x tiind c num rul xx5 se divide cu 5 i nu se divide cu 10 .
(2p) f) S se calculeze determinantul 32
11
−−
.
SUBIECTUL II ( 30p )
1.
(3p) a) S se determine numrul valorilor lui N∈n care verific relaia 200!20 << n .
(3p) b) Se consider mul imea { }5,4,3,2,1=A . S se calculeze probabilitatea ca un element
n arbitrar din A s verifice relaia 200!20 << n .
(3p) c) S se calculeze câte numere de trei cifre, cu cifre distincte din mulimea { }3,2,1,9
exist .
(3p) d) S se rezolve în mulimea numerelor reale strict pozitive ecuaia 3log2 =x .
(3p) e) S se rezolve în mulimea numerelor întregi inecuaia 0452 ≤+− xx .
2. Se consider dreptunghiul ABCD cu 4=AB i 3=AD , iar E piciorul
perpendicularei din A pe BD .
(3p) a) S se calculeze lungimea diagonalei dreptunghiului.
(3p) b) S se calculeze perimetrul dreptunghiului .
(3p) c) S se calculeze aria dreptunghiului .
(3p) d) S se calculeze lungimea segmentului [ ]AE .
(3p) e) S se calculeze lungimea segmentului [ ]DE .
Ministerul Educa�iei �i Cercet�rii – Serviciul Na
�ional de Evaluare �i Examinare
M3:Proba d. Filiera Voca� ional�: profil Pedagogic, specializ�rile înv���tor-educatoare Varianta 050
2
SUBIECTUL III ( 20p )
Se consider triunghiul ABC, triunghiurile echilaterale ABC ′ , BAC ′ i CAB ′
construite în exterior. Mai considerm punctele { } BACCM ∩′= , { } ACBBN ∩′= i
{ } CCBBT ′∩′= .
(4p) a) S se arate c ( ) ( )CACmBABm ′=′ ˆˆ .
(4p) b) S se arate c triunghiurile BBA ′ i ACC′ sunt congruente.
(4p) c) S se arate c triunghiurile CAM ′ i TMB sunt asemenea i MB
MT
CM
AM =′
.
(2p) d) S se arate c triunghiurile CBM ′ i TMA sunt asemenea .
(2p) e) S se arate c ( ) ( )BCMmTAMm ˆˆ ′= .
(2p) f) S se arate c triunghiurile BCC′ i AAB ′ sunt congruente i ( ) ( )AABmCCBm ′=′ ˆˆ .
(2p) g) S se arate c AA ′ , BB ′ i CC ′ sunt concurente.
SUBIECTUL IV ( 20p )
Se consider mul imea ( )
∈
== Za
aa
aa
aAM
0
000
0
.
(4p) a) S se arate c MO ∈
=000
000
000
3 .
(4p) b) S se arate c dac ( ) MxA ∈ i ( ) MyA ∈ , atunci ( ) ( ) MyAxA ∈+ .
(4p) c) S se calculeze ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21012 AAAAA +++−+− .
(2p) d) S se arate c dac ( ) MxA ∈ i ( ) MyA ∈ , atunci ( ) ( ) MyAxA ∈⋅ .
(2p) e) S se calculeze ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21012 AAAAA ⋅⋅⋅−⋅− .
(2p) f) Dac ( ) MaA ∈ , s se calculeze ( )aA2 i ( )aA3 .
(2p) g) S se calculeze ( )12007A .
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ Proba D_M3_2007_Filiera vocaţională: profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
1
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT - Sesiunea iunie-iulie 2008 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D-M3_2007
BAREM DE CORECTARE ŞI DE NOTARE Varianta 50 Filiera vocaţională: profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare ♦ Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. ♦ Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem. SUBIECTUL I (20 puncte)
a) Scrierea formulei (explicit sau implicit) Finalizare: 1004
2p 2p
b) 6 1 1
5 2 3x
= −
6 3 2
5 6x
− =
1
5x =
1p 1p
2p
c) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 4 4 6 9k k k k k k k− + + − + + + + + =
= 4
2p
2p
d) 1024 32= 4p e) 5x = 2p f) 3 2 1− = 2p
SUBIECTUL II (30 puncte) 1.a) { }4,5n ∈
2 valori
2p 1p
b) Scrierea formulei (explicit sau implicit) 2
5
1p
2p
c) 34A =
24=
1p
2p
d) 32x = 8x =
2p 1p
e) [ ]1,4x ∈
Finalizare: { }1,2,3,4x ∈
2p
1p
2.a) 2 2 2BD AB AD= + (explicit sau implicit) 5BD =
1p 2p
b) Perimetrul = 14 3p c) Aria = 12 3p
d) 12
5AE = 3p
e) 9
5DE = 3p
SUBIECTUL III (20 puncte)
a) ( ) ( ) 60m BAB m BAC′ = +
Finalizare
2p
2p
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ Proba D_M3_2007_Filiera vocaţională: profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
2
b) , ,AB AC AC AB CAC BAB′ ′ ′ ′= = ≡ Finalizare
3p 1p
c) AC C AB B′ ′≡ AMC BMT′ ≡
Finalizare
1p 1p 2p
d) AM MT
MC MB=
′
BMC AMT′ ≡ , deci triunghiurile sunt asemenea
1p
1p e) ( ) ( )BMC TMA m MAT m MC B′ ′⇒ =∼ 2p
f) , ,A B BC BC AB CBC ABA′ ′ ′ ′= = ≡ Finalizare
1p 1p
g) MAT MC B BAA′ ′≡ ≡ 2p SUBIECTUL IV (20 puncte)
a) 0a = ∈ 4p b) 0 0
0 0 0 0 0 00 0
x x y y
x x y y
+ =
00 0 0
0
x y x yM
x y x y
+ + ∈ + +
2p
2p
c) ( )2 1 0 1 2A − − + + + =
( ) 30A O=
2p 2p
d) 0 00 0 0 0 0 0
0 0
x x y y
x x y y
=
2 0 20 0 0
2 0 2
xy xyM
xy xy
∈
1p
1p
e) ( )( )2 1 0 1 2A − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ =
( ) 30A O=
1p
1p
f) ( )2 2
2
2 2
02 0 0 0
0
a aA a
a a
=
( )3 3
3
3 3
04 0 0 0
0
a aA a
a a
=
1p
1p
g) ( ) ( )2007 20061 2 1A A= 2p ♦ Total 100 de puncte din care 10 sunt din oficiu. ♦ Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului obţinut la 10.
Ministerul Educa�iei �i Cercet�rii – Serviciul Na
�ional de Evaluare �i Examinare
Proba D.Programa M1.Filiera teoretic�, specializarea �tiin�e ale naturii; Filier� tehnologic�, profil Tehnic, toate specializ�rile
Varianta 075 1
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2007 Proba scris� la MATEMATIC
PROBA D Varianta ….075 Proba D.Programa M1.Filiera teoretic�, specializarea �tiin
�e ale naturii; Filier� tehnologic�, profil Tehnic, toate specializ�rile
♦ Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord� 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri cu solu ii complete SUBIECTUL I ( 20p )
(4p) a) S se calculeze modulul numrului complex 32 i+ .
(4p) b) S se determine R∈a astfel încât partea real a numrului complex ( )( )iaz −−+= 311 s
fie 4.
(4p) c) S se calculeze
6cos
6sin
ππ ⋅ .
(4p) d) S se determine R∈ba, , astfel încât punctele ( )0,3A i ( )3,0 −C s aparin dreptei de
ecuaie 0=++ bayx .
(2p) e) S se scrie ecuaia cercului cu centrul în punctul ( )1,1P i cu raza 2.
(2p) f) S se scrie ecuaia unei drepte paralele cu dreapta 0532: =+− yxd .
SUBIECTUL II ( 30p ) 1.
(3p) a) S se rezolve în 8Z ecuaia 7̂ˆ3̂ =⋅ x .
(3p) b) S se calculeze !3!4 − .
(3p) c) S se calculeze 92...21 +++ .
(3p) d) S se rezolve în mulimea numerelor reale ecuaia 0123 =−+− xxx .
(3p) e) S se calculeze probabilitatea ca un element { }5,4,3,2,1∈n s verifice relaia 30!<n .
2. Se consider func ia RR →:f , ( ) xxxxf ++= sin3 .
(3p) a) S se calculeze ( )xf ' , R∈x .
(3p) b) S se calculeze ( )∫1
0
dxxf .
(3p) c) S se calculeze ( ) ( )
x
fxfx
0lim
0
−→
.
(3p) d) S se arate c func ia f este strict cresctoare pe R .
(3p) e) S se calculeze ( )nnn
−+∞→
1lim .
Ministerul Educa�iei �i Cercet�rii – Serviciul Na
�ional de Evaluare �i Examinare
Proba D.Programa M1.Filiera teoretic�, specializarea �tiin�e ale naturii; Filier� tehnologic�, profil Tehnic, toate specializ�rile
Varianta 075 2
SUBIECTUL III ( 20p )
În mul imea ( )RM 2 se consider matricea
=
10
012I i submulimea
( )
∈∞∈
= Rbca
cb
aG ,,0,
0.
(4p) a) S se verifice c GI ∈2 .
(4p) b) S se calculeze determinantul matricei Gcb
aM ∈
=
0.
(4p) c) S se arate c, dac GBA ∈, , atunci GBA ∈⋅ .
(2p) d) S se verifice c, dac Gcb
aC ∈
=
0, atunci matricea G
cac
baD ∈
−=
1
01
i
2ICDDC =⋅=⋅ . (2p) e) S se gseasc dou matrice GVU ∈, pentru care UVVU ⋅≠⋅ .
(2p) f) Utilizând metoda induciei matematice, s se arate c ∗∈∀ Nn , 2≥n , ( )∞∈∀ ,0,ca
i R∈∀b are loc ( )
++++=
−−−− nnnnn
nn
ccaccaab
a
cb
a1221 ...
00.
(2p) g) S se arate c ∗∈∀ Nn , GA∈∀ , exist GX ∈ astfel încât AX n = .
SUBIECTUL IV ( 20p )
Se consider func ia RR →:f , ( ) xxxf 23 += .
(4p) a) S se calculeze ( )xf ′ , R∈x .
(4p) b) S se calculeze ( )xfx −∞→lim .
(4p) c) S se arate c func ia f este strict cresctoare pe R .
(2p) d) S se arate c func ia f este convex pe R .
(2p) e) S se arate c orice primitiv a funciei f este strict cresctoare pe R .
(2p) f) S se calculeze aria suprafeei plane cuprinse între graficul funciei f , axa Ox
i dreptele de ecuaii 0=x i 1=x .
(2p) g) S se rezolve ecuaia ( ) ( ) ( ) 632 =++ xfxfxf .
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ Proba D_M1 (2007) Filiera teoretică: specializarea ştiinţe ale naturii. Filiera tehnologică: profil tehnic, toate specializările.
1
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – sesiunea iunie-iulie 2008_rezervă Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D – M1 (2007) Varianta 75
BAREM DE CORECTARE ŞI DE NOTARE
Filiera teoretică: specializarea ştiinţe ale naturii. Filiera tehnologică: profil tehnic, toate specializările. ♦ Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. ♦ Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem. SUBIECTUL I (20 puncte)
a) 2 3 2 3i+ = + =
5=
3p
1p b) 1 3 3z a ai i= + − − − =
( )3 2 1a a i= − + −
Re 3 2 4 2z a a= − = ⇒ =
1p 1p 2p
c) 1sin
6 2
π = şi 3cos
6 2
π =
Finalizare: 3
4
2p 2p
d) 3 0b+ = şi 3 0a b− + = ⇒ 3b = − şi 1a = −
2p 2p
e) ( ) ( )2 21 1 4x y− + − = 2p
f) De exemplu: 2 3 0x y− = 2p
SUBIECTUL II (30 puncte) 1.a) 1ˆ ˆ3 3,− = deci
ˆ ˆ ˆˆ 3 7 5x = ⋅ =
1p
2p b) 24 6 18− = 3p c) 10
102 12 1
2 1
− = −−
3p
d) ( )( )21 1 0x x− + =
1x =
2p
1p e) Din cele 5 cazuri posibile,
cazurile favorabile sunt 1, 2,3, 4n =
Probabilitatea este 4
5
1p 1p 1p
2.a) 2'( ) 3 cos 1f x x x= + + 3p
b) ( )
1 4 2 1
00
cos4 2
x xf x dx x
= − + =
∫
7cos1
4= −
2p 1p
c) Limita este egală cu '(0)f =
2=
2p 1p
d) ( ) 0,f x x′ > ∀ ∈
deci f este strict crescătoare 2p 1p
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ Proba D_M1 (2007) Filiera teoretică: specializarea ştiinţe ale naturii. Filiera tehnologică: profil tehnic, toate specializările.
2
e) 1lim 0
1n n n→∞=
+ + 3p
SUBIECTUL III (20 puncte) a) 1 0a c= = > şi
0b = ∈ 2p 2p
b) det M ac= 4p c) 0 0 0a x ax
b c y z bx cy cz
⋅ = +
, cu , , , 0; ,a c x z b y> ∈
Din , 0,ax cz bx cy> + ∈ rezultă cerinţa
3p
1p
d)
2
2
0
0
a
aCD Ib bc c
a ac c
a
aDC Ib ba c
c ac c
= = −
= = −
1p 1p
e) De exemplu
1 0 2 0,
3 2 1 1U V
= =
Verificare: UV VU≠
1p 1p
f) Pentru 1n = evident. Presupunem că pentru n afirmaţia este adevărată. Atunci
( )11
1 1
00 0 0...
nn n
n n n n
aa a ab c b c b c b a a c c c
++
− +
= ⋅ = + + + 2p
g) Fie n ∗∈ şi 0a
Ab c =
.
Căutăm 0x
Xy z
=
cu ( )1 2 1...
n
n n n n
n
x a
X A y x x z z b
z c
− − −
== ⇒ + + + =
=
Avem 1 2 1
, ,...
n n
n n nn n n
bx a z c y
a a c c− − −= = =
+ + +
1p 1p
SUBIECTUL IV (20 puncte) a) ( ) 3 ln 3 2 ln 2x xf x′ = + 4p
b) ( )lim 3 2 0x x
x→−∞+ = 4p
c) Cum '( ) 0,f x x> ∀ ∈
Rezultă că f este strict crescătoare pe
2p 2p
d) ( ) 2 23 ln 3 2 ln 2 0,x xf x x′′ = + > ∀ ∈
Rezultă că f este convexă pe
1p 1p
e) Dacă F este o primitivă a lui f, atunci 0F f′ = > ,
deci F este strict crescătoare pe
1p 1p
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ Proba D_M1 (2007) Filiera teoretică: specializarea ştiinţe ale naturii. Filiera tehnologică: profil tehnic, toate specializările.
3
f) ( )
1
0
10
3 2 2 1
ln 3 ln 2 ln 3 ln 2
x x
f x dx =
= + = +
∫
1p 1p
g) Cum ( ) ( ) ( ) ( )2 3g x f x f x f x= + + este strict crescătoare pe şi
( )0 6g = , ecuaţia are soluţia unică 0x =
1p 1p
♦ Total 100 de puncte din care 10 sunt din oficiu. ♦ Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului obţinut la 10.
top related