1.2.alg-relatiile lui viete

Relatiile lui Viete : - reprezinta relatiile intre radacini (gradul maxim al polinomului indica numarul de radacini sau solutii a polinomului)Daca avem o ecuatie de gradul II de forma : ax2 +bx+c = 0 , cu solutiile x1,x2

se pot scrie relatiile lui Viete , adica x1+x2 = − b/a x1∙x2 = c/a

Daca avem o ecuatie de gradul III de forma : ax3+bx2+cx+d = 0 , cu solutiile x1 ,x2 ,x3

se pot scrie relatiile lui Viete , adica x1+x2+x3 = − b/a x1∙x2+x1∙x3+x2∙x3 = c/a x1∙x2∙x3 = − d/a Daca avem o ecuatie de gradul IV de forma : ax4+bx3+cx2+dx+e =0 ,cu solutiile x1 ,x2 ,x3 ,x4 se pot scrie reletiile lui Viete , adica x1+x2+x3+x4 = − b/a x1∙x2+x1∙x3+x1∙x4+x2∙x3+x2∙x4+x3∙x4 = c/a x1∙x2∙x3+x1∙x3∙x4+x2∙x3∙x4+x1∙x2∙x4 = − d/a x1∙x2∙x3∙x4= e/a

De exemplu : Fie ecuatia : x3+4x-6 = 0 , cu solutiile x1 ,x2 ,x3 , se cere : a ) x1+x2+x3 = ?

b) x1∙x2∙x3 = ? c) x1

2+x22+x3

2 = ? d) x1

3+x23+x3

3 = ?

a),b) x3 +4x-6 = 0 ax3+bx2+cx+d = 0 , prin comparatie a=1, b=0, c=4 ,d=−6

se pot scrie relatiile lui Viete , adica x1+x2+x3 = − 0/1 =0 x1∙x2+x1∙x3+x2∙x3 = 4/1 =4 x1∙x2∙x3 = − (−6)/1 = 6

c) exista formula ( a+b+c )2= a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc , analog pentru radacini ( x1+x2+x3)2= x1

2+x22+x3

2+ 2x1∙x2+2x1∙x3+2x2∙x3 ,de unde scoatem ce ne intereseaza : x1

2+x22+x3

2 = ( x1+x2+x3)2- 2x1∙x2-2x1∙x3-2x2∙x3

x12+x2

2+x32 = ( x1+x2+x3)2- 2(x1∙x2+x1∙x3+x2∙x3) = 02-2∙4 =-8

d) atunci cand se cere suma radacinilor la puterea maxima a polinomului se foloseste ideea : ca o solutie a unei ecuatii, trebuie sa verifice ecuatia ,adica prin inlocuire sa se ajunga la un adevar. Deci radacinile ecuatie noastre sunt : x1 ,x2 ,x3 si le punem pe rand sa verifice ecuatia

x1 : x13 + 4 x1- 6 = 0

x2 : x23 + 4 x2- 6 = 0

x3 : x33 + 4 x 3- 6 = 0 , iar acum adunam cele trei ecuatii membru cu membru

x13+x2

3+x33+4 x1+4x2+4x3 -6-6-6 =0

x13+x2

3+x33+4( x1+x2+x3) -18 = 0 x1

3+x23+x3

3+4 ∙0 -18 =0 x1

3+x23+x3

3 =18