1

Afirmatia este adevarata [G:H]= A

Aplicatia f:C*→R+*,f(z)=IzI= = daca z=a+ib, este morfism de la grupul (C*,+,.) la grupul

(R+*,+,.)?

A

Aplicatia f:M2(Z), f(A)=Â, unde A= ЄM2(Z,) Â= ,nu este morfism surjectiv de inele? F

Aplicatia f:M2(Z)→Z,F(A)=IAI este morfism de la monoidul (M2(R),.,I2) la monoidul(Z,.,1) A Aplicatia f:Z→Zn, f(α)=â este morfism surjectiv de la inelul (Z,·,1)la inelul (Zn,·,î)? A

A

Astfel in inelul Z8xZ, produsul direct al inelului (Z8,+,·) cu inelul (Z,+,·), avem(5,3).(3,-7=( ,7)? F(7,-21)

Care este polinomul g 8[X] astfel incat ( X+ )g= g(x)=4x2+6x+3 Care sunt automorfismele grupului (Z,+)(Z fiind multimea numerelor intregi)? morfismul x

si morfismul -x Care sunt elementele inversabile ale inelului(Z6,+,·)? 1,5 Cate elemente inversabile sunt in inelul (Z6,+, )? 2 Cate morfisme de monoizi exista de la (Q,+) la (Q,+)? nici unul Cate morfisme de monoizi exista de la(Z*,·) la (N,+)? NICI UNUL Cate morfisme exista de la grupul (Q,+) la grupul(Z,+)? 1

Ce morfism (morfisme) de la(Q,+)(Q fiind multimea numerelor rationale) la(Z,+)(Z fiind multimea numerelor intregi) putem definii?

orice morfism de tipul Kx, cu

K Consideram multimea numerelor reale si relatia binara definita pe aceasta multime

astfel: .Atunci relatia este reflexiva si nu este tranzitiva?

F(pt ca e o rel de echiv)

Constanta a R este astfel incat legea de compozitie ,, ” definita prin x,y) 2 , x*y=xy+ax-ay este asociativa pentru a=... . a {0,1}

C

C Cu cine este izomorf grupul multiplicativ(R+*,·)(unde prin R+* am notat multimea numerelor reale strict pozitive)?

(R,+) grupul aditiv al nr.

reale Daca (C*,·,1) este grupul multiplicativ al numerelor complexe, atunci cate subgrupuri de ordin 10 ale acestui grup exista? 1 subgrup

Daca (G,.,e) este un grup abelian atunci orice subgrup H al lui G nu este subgrup normal. F Daca (G,.,e) este un grup atunci subgrupul unitate 1={e} si G sunt subgrupuri normale ale lui G. A Daca (G,.,e) este un grup, aЄG, aplicatia φ:G→G φ(x)=axa-1 este bijectiva. A Daca (G,·,e) si (G’,·,e’) doua grupuri si f:G→G’, f(x)=e’ este morfism de grupuri. A Daca (R,+,·) este un inel, atunci daca IRI>1 atunci 1≠0. A Daca (R,+,·) este un inel, atunci daca R nu are divizori ai lui zero, iar xy=xz sau yx=zx cu x≠0, atunci y=z. A

Daca (R,+,·) este un inel, atunci VxЄR avem x·0=0·x=0. A Daca (R,+,·) este un inel, atunci x(-y)=(-x)y=-xy si (-x)(-y)=xy oricare ar fi x,yЄR. A Daca (R,+,·) este un inel, atunci x(y-z)=xy-xz si (y-z)x=yx-zx oricare ar fi x,y,zЄR. A Daca x,y R,x≠0,y≠0, avem 1/xy=0 spunem ca R este un inel fara divizori ai lui 0? F(xy=0) Daca a este un element de ordin finit, atunci numarul natural notat cu ord(a), ord(a)=min{kЄN

*/a

k=e} se

numeste ordinul lui a. A

Daca A si B sunt multimi care verifica proprietatile:AUB={1,2,3,4,5,6,7,8,9,};B-A={4,5,6,7,8};{3,9}∩B=Ø;A∩B={1}, determinati multimile A si B.

A={1,2,3,9,} B={1,4,5,6,7,8}

Daca A= 2(Z) si f= X2-(a+d)X+ad-bc din Z[X], atunci f(A)= ? F

Daca definim aZ+bZ={x+y/x aZ,y bZ}, unde prin Z am notat multimea numerelor intregi, atunci determinati 25Z+20Z.

5Z

Daca f si g sunt doua functii monotone, de monotonii diferite, atunci gof (g compus cu f) este crescatoare?

F este monotona

Daca f:M→M’ este un morfism bijectiv de monoizi iar f-1 este inversa aplicatiei f, atunci f-1 este morfism bijectiv de la monoidul (M’,·,e’) la monoidul (M,·,e). A

Daca f:R→R’ este un morfism de inele, atunci Im(f)≈ . A

Daca G este un grup finit, atunci orice element aЄG are ordinul finit si ord(a)/ordG. A Daca G este un grup si H1,H2 subgrupuri ale sale atunci H1U H2 nu poate fi subgrup a lui G? F Daca H={2n+1/nЄ N}, atunci H este submonoid al monoidului (N,.,1) A Daca I≤R, atunci I este subgrup al grupului (R,+,0)? A

D

Daca m,nЄN* sunt prime intre ele, atunci inelul Zmn nu este izomorf cu produsul direct al inelului Zm cu inelul Zn? F

2

Daca m N si z= , atunci ord(z)=...? ord(z)=m

Daca n>1, atunci An={ σЄSn / ε(σ)= 1} nu este un subgrup de ordin n!/2 al lui Sn. F Daca n≥3, grupul altern An este generat de ciclurile de ordin 3. A Daca n≥5, atunci grupul altern An este simplu. A

Daca nЄ□ iar I= , atunci I nu este ideal bilateral al lui R. F

Daca nЄN si I=nZ={nqIqЄZ} atunci I este ideal al lui Z? A Daca R este un domeniu de integritate exista un corp comutativ K, numit corpul fractiilor lui R, astfel incat R este subinel al lui K si pentru orice xЄK exista a,bЄR,b≠0 astfel incat x=ab-1.

A

Daca R este un domeniu de integritate, atunci R[X] este domeniul de integritate si grad(fg)= grad(f)+ grad(g) oricare ar fi f,gЄ R[X],f≠0,g≠0. A

Daca R este un inel.Atunci T2(R)= nu este subinel al inelului M2(R), F

Daca z=1+i C* ,atunci ord(z)=...? ord(z)=8 Daca σЄSn,n≥2, notam cu Inv(σ) numarul perechilor (i,j) cu i<j astfel inat σ(i)> σ(j).Vom spune ca Inv(σ) este numarul inversiunilor permutarii σ. A

Determinati in Z7[X] restul impartirii polinomului f= X4+ X2+X+ la polinomul g =X+ 5

Determinati numarul de elemente din multimea M2(Z2) 16 Determinati solutiile ecuatiei 3x2-4x+1=0 in Z17. x1=1,x2=6 Determinati solutiile ecuatiei 3x2-4x+1=0 in Z5. x1=1,x2=2 Determinati solutiile ecuatiei x2-x+5=0 in Z19. x1=10,x2=10

D

D

Determinati solutiile ecuatiei x2-x+5=0 in Z7. x1=2,x2=6 Elementul unitate al inelului Z8xZ este (î,1)? A E Elementul zero al inelului Z8xZ este (ô,1)? F (0,0) Fie (G,○,e).Daca x2=e atunci avem (G,○,e). grup abelian? A Fie (G,○,e).Stabiliti daca x,y G,x,y=x2y2 face ca (G,○,e) sa fie un grip abelian. A Fie (G,.,e) si (G’,.,e’) doua grupuri.O aplicatie f:G→G’ se numeste morfism de la grupul G la grupul G’ daca f(xy)=f(x)f(y) oricare ar fi x,yЄG. A

Fie (G,.,e) un grup finit si H un subgrup a lui G.Atunci IGI=IHI·[G:H]. A Fie (G,.,e) un grup finit si n=IGI.Atunci an=e,VaЄG. A Fie (G,.,e) un grup. Pentru orice valoare aЄG, aplcatiile λa:G→G , λa(x)=ax si ρa:G→G, ρa(x)=xa nu sunt bijective. F

Fie (G,.,e) un grup.Un subgrup N al grupului G se numeste subgrup normal al lui G daca VaЄG,VxЄN => axa-1

Є N A

Fie (G,·,e) si (G’,·,e’) doua grupuri si f:G→G’ un morfism de grupuri.Atunci f(e)=e’ si f(x-1)=(f(x))-1, oricare ar fi x G.

F

Fie (S3,○) grupul permutarilor de ordin 3 si H un subgrup cu 3 elemente al acestui grup.Cate elemente are grupul factor S3/H? 1

Fie A un inel cu proprietatea ca x3=x, .Atunci inelul este comutativ? A

Fie A un inel si I,J,L ideale bilaterale in A astfel incat I+J=A si I JL.Atunci I J? A

Fie A un inel unitar cu proprietatea ca x12=x, Atunci, oricare ar fi x :x2=1? F pt. ca x2=x Fie A un inel unitar inclus in corpul C al numerelor complexe si care include intervalui (0,1).Operatiile inelului sunt cele induse de operatiile din C.Atunci A=R sau A=C,R si C avand semnificatia de mai sus.

F,pt.ca A=C unde C este

mul nr. complexe

Fie A un subcorp al lui R.Atunci: Q F

Fie A,B M2(R), A= , B= ,n N*.Atunci An-1=I2?

A

F

F

Fie A={0,1,2,3,4}mAtunci x a A a.i. x a (med5)? A

Fie f :Z→Z,f(x)= unde prin se intelege partea intreaga a numarului q.Atunci f este surjectiva? A

Fie f: → , f(x)2x+1. Este adevarata afirmatia f este bijectiva? F (este injectiva)

Fie f: → , f(x)2x+1. Este adevarata afirmatia f nu este bijectiva? F (este bijectiva)

Fie f:A→B si f:B→C doua functii injective.Atunci g○f nu este injectiva? F (este injectiva)

F

Fie f:A→B si g :B→C doua functii surjective. Atunci g ○f este surjectiva? A

3

Fie f:R→R,f(x)= .Atunci f este injectiva? F(pt ca este

bijectiva) Fie f:R→R’ un morfism de inele, atunci f este injectiv daca si numai daca Ker(f)≠0 A Fie f:R→R’ un morfism de inele, atunci Ker(f) este ideal bilateral al lui R, iar Im(f) este subinel al lui R’. A

Fie f:Z→C*,f(k)= , unde nЄN*.Atunci avem f(hk)=f(h)f(k)? F pentru ca

f(h+k)=f(h)+f(k)

Fie f= X+ ЄZ4[X].Atunci 4[X] astfel incat f(X)g(X)=ô? A

Fie f= + XЄZ4[X].Atunci 4[X] astfel incat f(X)g(X)= ? F f(X)g(X)≠

Fie f= x+ ,cu coeficientul in Z3, atunci avem (f(x))3=f(x)? F((f(x))3=f(x3))

Fie F=2X4-2X3-15X2+10X+3 Z[X].Sa se calculeze f(3). f(3)=6

Fie F=2X4-2X3-15X2+10X+3 Z[X].Sa se determine catul impartirii lui f la x-3 2X3+4X2+3X+1

Fie functia f:A→B cu proprietatea : x1,x2) , x1≠x2 x1) ≠ x2) este adevarata afirmatia f este bijectiva?

F (este injectiva)

Fie functia f(-1,0)→ , f(x)= .Stabiliti daca functia este bijectiva. A

Fie functiile f,g:R→R date d f(x)=ax+b cu a,b ≠0, respectiv g(x)=3x+5.Sa se determine a si b astfel incat f○g=g○f.

A=1,B=0

Fie functiile f:R→R o functie cu proprietatea (f○f)(x)=x2-x+1 pentru oricare x .Atunci calculati f(1). f(1)=1 Fie G un grup cu 6 elemente .Atunci G este intotdeauna izomorf cu grupul (Z6,+)? F Fie G un grup cu proprietatea : x2=e.Atunci stabiliti daca grupul G este izomorf cu (Z6,+) F(e comutativ) Fie G un grup finit si a,bЄG doua elemente oarecare astfel incat ab=ba.Daca ord(a) =m,ord(b)=n si (m,n)=1 atunci ord(ab)=mn A

Fie G un grup.Exista o Submultime stricta H a lui G (adica H sa fie inclusa in G) astfel incat si sa rezulte ab ?

F

F

F

Fie G= .Atunci A3=I3?

F (A3=A)

Fie grupul (Z,+) si multimea 5Z={5m/m }.Stabiliti daca 5Z este subgrup al grupului (Z,+), dar nu este normal?

F

Fie grupul (Z10,+).Cate subgrupuri are acest grup? 2 Fie grupul (Z12,+).Cate grupuri factor are acest grup? 2 Fie grupul (Z4,+,ô) si 3 Z4, atunci ord(3)=5? F (=4)

Fie grupul simetric (S3, ).Atunci numarul subgrupurilor lui S3 este... 6

Fie grupul simetric (S3, ).Atunci numarul subgrupurilor normale ale lui S3 este. 3 Fie grupul simetric (S3,○).Atunci gasiti numarul subgrupurilor normale ale lui S3. 3 Fie grupul simetric (S3,○).Atunci stabiliti numarul subgrupurilor lui S3. 6 Fie H={ σ ЄSn/ σ (n)=n}, atunci H nu este subgrup al lui Sn. F Fie H={2n/nЄ N}, atunci H este submonoid al monoidului (N,+,0)? A

Fie K = .Atunci stabiliti daca (K,+,*) este un inel cu divizori ai lui zero.

F (e un corp comutativ cu 9

elemente) Fie K si K’ doua corpuri.O aplicatie f:K→K’ se numeste morfism (izomorfism) de corpuri daca este morfism (izomorfism) de la K la K’considerate ca inele. A

Fie M o multime cu 3 elemente. Cite legi de compozitie se pot defini pe M? 3 la a 9a Fie M si N doua multimi finite avand m, respectiv n elemente .Cate functii bijective definite pe M cu valori in N exista? mn

Fie M si N doua multimi finite avand m, respectiv n elemente m≤n. Cate functii injective definite pe M cu valori in N exista? An

m

Fie M si N doua multimi finite avand m, respectiv n elemente.Cate functii definite pe M cu valori in N exista? nm

Fie M2(nZ) multimea matricelor patrate cu coeficienti in nZ.Daca f:M2(Z) → M2(Zn) este morfismul cu

actiunea f = avem Ker(f)=M2(nZ) si Im(f)=M2(Zn)? A

Fie M2(R) multimea matricelor cu doua linii, doua coloane si elemente din multimea numerelor

reale.Multimea I= este ideal la stanga al inelului (M2(R),+,·), dar nu este ideal la dreapta al acestui inel?

F

F

F

F

Fie morfismele de grupuri f:Z→C*, f(x)= . Atunci Kerf=... Kerf(f)=5Z={5q/

q }

4

Fie multimea U={z IzI=1}.Stabiliti daca U este subgrup al grupului (C*,·), dar nu este normal?

F pt.ca U este subgrup normal

al grupului C

Fie multimea U={z 5=1}.Cate elemente are aceasta multime? 5

Fie multimea U={z 7=1}.Cate elemente are aceasta multime? 5

Fie nЄN* si (Zn,.,Î)monoid multiplicativ al claselor de resturi modulo n.Aplicatia f:Z→Zn,f(a)=â aste

morfism de la monoidul(Zn,.,Î)? A

Fie permutarea 6, Determinari ordinul permutarii 2. 2=12

Fie permutarea 6, Stabiliti ordinul permutarii -1. 0 la -1=3

Fie permutarea σ S6 ,σ= Atunci numarul inversiunilor permutarii σ este... 3

Fie permutarea σ S6 ,σ= Atunci ordinul lui σ in S6 este: 3

Fie permutarea 5 are descompunerea A

Fie permutarea 8 are descompunerea F

Fie permutarea 9, Descompuneti permutarea in produs de ciclici disjuncti.

(1,4,7)(2,6)(3,9,5) (8)

Fie Q( )={a+b /a,bЄQ}. Atunci (Q( ),+,·) este grup necomutativ? F

Fie Q( )={a+b }.Atunci (Q( ),+,*)este inel comutativ cu divizori ai lui zero? F(este corp

comut.)

Fie R un inel astfel incat x6=x, x R.Stabiliti daca 1+1=6? F(1+1=0)

Fie R un inel astfel incat x6=x, x R.Stabiliti daca x5=5 x R? F(x2=x)

Fie R=M2(Z) si I= atunci I este ideal la stanga lui R si nu este ideal la dreapta? A

Fie R=M2(Z) si J= atunci J este ideal la stanga lui R si este ideal la dreapta al lui R? F

Fie T2(R) ={ /a,b,cER} multimea matricelor superioar triunghiulare din M2(R).Atunci T2(R) nu este submonoid al monoidului (M2(R),.,I2)

F

Fie U grupul multiplicativ al numerelor complexe de modul 1,C* grupul multiplicativ al numerelor complexe si R+* grupul multiplicativ al numerelor reale pozitive si nenule.Stabiliti daca C*/R+* este izomorf cu U.

A

Fie Z[i]={a+ib,ab Z }.Determinati multimea elementelor sale inversabile, U(Z[i]). {1,-1,i,-i}

Fie z C* , z=i , atunci ord(i)=...? ord(i)=4

Fie σ Sn, n=3, cu proprietatea :σ○ = ○ σ. Atunci stabiliti daca σ=e= permutarea identica.

F(σ=(1,2))

Fie σЄSn,n>1 si σ=τ1◦τ2◦...◦τm o reprezentare a lui σ ca produs de transpozitii.Atunci numerele m si Inv(σ) au aceeasi paritate si deci ε(σ)= (-1)m. A

Fieun grup Gsi x un element de ordin finit din G.Daca m,n sunt doi intregi pozitivi cu proprietatile (m,n)=1 ord (xm)=n ord (xn)=m atunci ord (x)=mn? A

Functia f:(0, )→(-2,2),f(x)= este injectiva si nu este surjectiva? DA

F

F Functia f:R→R,f(x)=x2007- 4x2005+2 este bijectiva? F pt. ca este

surj. si nu inj Gasiti solutiile ecuatiei 3x2-4x+1=0 in Z19. x1=1,x2=13 Gasiti solutiile ecuatiei x2-x+5=0 in Z17. x1=4,x2=14 Gasiti solutiile ecuatiei 3x2-4x+1=0 in Z11. x1=1,x2=4 Grupul (Z15,+) este ciclic? F pt. ca este

finit generat Grupul (ZxZ20,+) este finit generat, dar nu este ciclic. F(este ciclic) Grupurile (□*,·,1) si (□*,·,1) nu sunt izomorfe A Grupurile (□,+,0) si (□*+,·,1) nu sunt izomorfe A

G

Grupurile (□,+,0) si (□,+,0) sunt izomorfe F

5

In inelul Z8xZ, produsul direct al inelului (Z8,+,·) cu inelul (Z,+,·), avem (5,3)+(3,-7)=(ô,3)? F(0,4) In multimea M2(Z2) se considera multimea G={XЄM2(Z2)/x

2=x} atunci stabiliti dacaO2 si I2 ? F

In multimea M2(Z2) se considera multimea G={XЄM2(Z2)/x2=x} determinati matricea U, daca U este

o matrice inversabila. U=I2

In multimea M2(Z2) se considera multimea G={XЄM2(Z2)/x2=x} gasiti doua matrice P,Q astfel incat

P+Q P= ,Q=

In multimea M2(Z2) se considera multimea G={XЄM2(Z2)/x

2=x} sa se determine numarul de elemente din G.

8

In multimea M2(Z2) se considera multimea G={XЄM2(Z2)/x2=x} si B= , atunci stabiliti dacaB ?

A

In multimea M3(Z2) se considera multimea G= , atunci A,B G?

A

In multimea M3(Z2) se considera multimea G= , atunci G?

A

In multimea M3(Z2) se considera multimea G= , atunci determinati A3,A G

A3=I3

I

Inelul (Z,+,·) al numerelor intregi nu este domeniu de integritate. F

K K= este corp in raport cu adunarea si inmultirea matricelor si K≈C? A

Legea de compozitie x○y=(x+y-xy+1) , x,y R.Gasiti elementul neutru. e=-1

Legea de compozitie x○y=(x-1)ln (y-1)+1, x,y (1,∞).Gasiti elementul neutru. e+1

Legea de compozitie x○y=Ix-yI , x,y unde M={0,1,2,3,4}. Solutiile ecuatiei (x○y)○3=1 sunt {1,4}? F pt.ca {0,4}

Legea de compozitie x○y=x+y-2xy , x,y R.Gasiti elementul neutru. e=0 L

Legea de compozitie x○y=x+y-5 , x,y Z admite ca element simetric pe 10+x? A M2(Z) nu este subinel al inelului M2(R)? F M2(Zn) nu este ideal bilateral al lui M2(Z)? F M Multimea S a sirurilor Cauchy de numere reale este subinel al inelului □□ al sirurilor de numere reale. A O permutare σЄSn este impara daca ε(σ)= 1. F O permutare σЄSn este para daca ε(σ)= -1. F Orice grup G de ordin p, p numar prim, nu este simplu. F Orice grup G de ordin p2, cu p numar prim , este comutativ? A Orice gtrup (G,.,e) de ordin 3 este izomorf cu grupul aditiv (Zε,+,ô)al claselor de resturi modulo 3. A

O

Orice subgrup al unui grup abelian este normal? A Pe multimea G=(-1,∞) se considera legea de compozitie x○y=xy+x+y, .Determinati grupul (M,*) astfel incat functia f:G→M. data de relatia f(x)=x+1, sa fie un izomorfism al celor doua grupuri.

M={R+,·}

Pe multimea G=(-1,∞) se considera legea de compozitie x○y=xy+x+y determinati elementul neutru.

e=0

Pe multimea numerelor naturale consideram operatia algebrica m n=mn.Atunci operatia este asociativa si nu este comutativa?

F

Pe multimea R se considera legea de compozitie x○y =x+y+ atunci R/Q nu este parte stabila? A

Pe multimea R se considera legea de compozitie x○y =x+y+ atunci stabiliti daca R/Q este parte stabila in rapot cu legea ‘’○’’?

F

Pe multimea R se considera legea de compozitie x○y =x+y+ atunci determinati elementul neutru. e=-

Pe multimea R se considera legea de compozitie x○y =x+y+ atunci gasiti solutia ecuatiei

2x○4x=6+ ,x .

x=1

Pe multimea R se considera legea de compozitie x○y=2xy+6x+6y+15 atunci x○y=2(x+3)(y+3)-3? A Pe multimea R se considera legea de compozitie x○y=2xy+6x+6y+15 atunci x○(-3)=(-3)○x=(-1)? F

P Pe multimea R se considera legea de compozitie x○y=2xy+6x+6y+15 atunci stabiliti daca Q/Z este

parte stabila in rapot cu legea ‘’○’’? -

6

Pe multimea R se considera legea de compozitie x○y=2xy-2x-2y+3 atunci x○1=1○x=2? F Pe multimea R se considera legea de compozitie x○y=2xy-2x-2y+3 atunci solutia ecuatiei x○x ○x○x ○x =1, va fi x=3?

x=1

Pe multimea R se considera legea de compozitie x○y=2xy-2x-2y+3 atunci Q/Z este parte stabila in rapot cu legea ‘’○’’?

A

Pe multimea R se considera legea de compozitie x○y=2xy-2x-2y+3 atunci x○y=(x-1)(y-1)+1? F Pe R este definita legea de compozitie x*y=xy+3x+3y+m.Egalitatea(2*3)*4=175 are loc pentru... m=2 Pe R se defineste legea de compozitie x*y=x+y+mxy, unde , cu proprietatea ca multimea [-1,∞) este parte stabila a lui R in raport cu aceasta operatie algebrica.Determinati e elementul neutru al acestei legi de compozitie.

e=0

Pe R se defineste legea de compozitie astfel x*y=ax+by+c, x R unde a,b,c R.Calculati suma S=a2+b2+c2 stiind ca aceasta lege de compozitie admite elementul neutru e=3.

S=11

Pe R se defineste legea de compozitie x*y=xy-2x-2y+6 pentru oricare .Atunci gasiti suma elementelor din R care coincid cu simetricele lor fata de aceasta lege.

4

Pe Z definim legea de compozitie x*y=xy-6x-6y+42.Suma elementelor simetrizabile in raport cu aceasta lege este... infinit 8

Pentru monoidul (zn,-,î) multimea elementelor inversabile din Z esteU(Zn)= {âЄZn/(a,n)=1} unde s-a notat cu (a,n) cel mai mare divizor comun al numerelor intregi a si n.

A

Pentru orice x,y R se defineste legea de compozitie x*y=ln(ex+ey).Multimea solutiilor ecuatiei (x*x)*x=0 este...

x=ln3

P Polinomul X3+X+1 2[X] este ireductibil? F

Sa se calculeze elementul 2005 in Z8 0

Sa se calculeze elementul 2007 in Z7. 6 Sa se determine polinoamele fЄZ3[X] astfel incat grad f=1,f2=X2 x,2x Se considera corpurile (R,+,·) si (R,○,*), unde x,y ,x○y=x+y-2, x*y=xy-2x-2y+6. Daca f;R→R, f(x)=ax+b este izomorf de corpuri de la (R,+,·) la (R,○,*), atunci determinati a si b?

a=1,b=2

Se considera elementul z= π)+i π) apartinand grupului multiplicativ al numerelor complexe(C*,·,1).Determinati ordinul lui z.

Se considera elementul z= π)+i apartinand grupului multiplicativ al numerelor complexe(C*,·,1).Atunci determinati ordinul lui z.

10

Se considera inelul (Z,*, ) unde x*y=x+y+2 x +2x+2y+2 x Z.Fie T numarul divizorilor lui zero ai acestui inel.Atunci T=...

T=0

Se considera inelul (Z,*, ) unde x*y=x+y-3 x x-3y+12 x Z.Fie P Z[X] polinomul care are drept radacini elementele inversabile ale inelului si coeficientul dominant egal cu unu.Notam cu S suma patratelor elementelor inversabile.Atunci S=?

S=5

Se considera multimea G=(0,∞)XR pe care se defineste legea de compozitie (a1,x1)○ (a2,x2)=(a1a2,a1x2+x1),gasiti elementul neutru? e=(1,0)

Se considera multimea G=(0,∞)XR pe care se defineste legea de compozitie (a1,x1)○ (a2,x2)=(a1a2,a1x2+x1),gasiti elementul simetrizabil?

X’=1/a-x/a

Se considera multimea G={a+b /a,b Q,a2+b2≠0}, care impreuna cu operatia de inmultire formeaza

un grup abelian.Determinati inversul lui 6+7 . -3/31+7/62

Se considera multimea M={1,2,3,4}.Cate submultimi de doua elemente exista? 6

Se considera permutarea σ S4 ,σ= .Sa se rezolve ecuatia σ11 X=

Se considera permutarea σ S5 ,σ= .Determinati permutarea x 3 cu proprietatea ca x○σ= .

X=

Se considera permutarea σ S10 ,σ= .Gasiti ordinul permutarii. 12

Se considera permutarea σ S5 ,σ= .Atunci determinati σ120. 02

SL2(R)≤ GL2(R), unde SL2(R)={XЄM2(R)/IXI=1}? A

Stabiliti daca â, Z5 astfel incat (â+ )5≠ â5+ 5. F

Stabiliti daca (R,+) si (Q,+) sunt izomorfe. F Stabiliti daca 3= , 3 A

Stabiliti X2+X+ =... in Z3 (x+2)2

S

S Stiind ca legea de compzite x○y=a2xy-ax-ay+7, * admite element neutru sa se determine e=1

7

acesta. S Stiind ca legea de compzite x○y=xy-x-y+2, admite element neutru sa se determine acesta. e=2

T T2(Z)= M2(Z) este o Z-subalgebra a Z-algebrei M2(Z)? A

Un domeniu de integritate finit este corp.Inelul (Zp,+,·) este corp daca si numai daca p este numar prim? A Un grup (G,.,e) se numeste simplu daca are cel putin doua elemente si nu are subgrupuri normale diferite de 1={e} si G. A U Un inel comutativ R cu 1≠0 si cu divizori ai lui 0 se numeste domeniul de integritate sau inel integru. F