algebra

Prefaţă ........................................................................................................................... 3 Capitolul I. Recapitulare şi completări ..................................................................... 4 1. Mulţimea numerelor reale ................................................................................... 9

2. Operaţii cu numere reale ................................................................................... 12 Capitolul II. Puteri cu exponent raţional ............................................................... 18

1. Radicali de ordinul n ......................................................................................... 20 2. Puteri cu exponent raţional ............................................................................... 25

Capitolul III. Funcţii ................................................................................................ 31 1. Noţiunea de funcţie ........................................................................................... 36 2. Funcţii numerice ................................................................................................ 42 3. Funcţia de gradul II ........................................................................................... 47 4. Funcţia putere ................................................................................................... 55

Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice ........................................................... 58 1. Recapitulare şi completări ................................................................................. 62 2. Împărţirea polinoamelor ................................................................................... 68 3. Divizibilitatea polinoamelor ............................................................................. 71 4. Fracţii algebrice ................................................................................................ 76

Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii ............................................... 83 1. Ecuaţii de forma ax + b = 0, a ∈ R, b ∈ R ...................................................... 88 2. Ecuaţii de gradul II cu o necunoscută ............................................................... 93 3. Ecuaţii raţionale ................................................................................................ 98 4. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii ......................................................................... 102

Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii ..................................... 111 1. Inecuaţii de gradul I. Recapitulare şi completări ............................................ 114 2. Inecuaţii de gradul II cu o necunoscută. Metoda intervalelor.......................... 123

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri .......................................................................... 129 Capitolul I ............................................................................................................ 129 Capitolul II .......................................................................................................... 131 Capitolul III ........................................................................................................ 132 Capitolul IV ........................................................................................................ 138 Capitolul V .......................................................................................................... 141 Capitolul VI ........................................................................................................ 149

To my grandchildren, Maria, Anna, Thomas and Sarah Copeland

Cartea de faţă continuă seria de culegeri de exerciţii şi probleme concepute şi publicate de acelaşi autor pentru clasele V, VI, VII, VIII. Conţinutul ei corespunde părţii destinate algebrei de noul manual pentru clasa a 9-a, „Matematică. Manual pentru clasa a IX-a“, Editura Prut Internaţional, 2003: I. Recapitulare şi com-pletări, II. Puteri cu exponent raţional, III. Funcţii, IV. Polinoame şi fracţii algebrice, V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii, VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii.

Cele peste 860 de exerciţii şi probleme sunt distribuite pe trei niveluri şi fiecare paragraf se termină cu evaluări (30 de teste).

Fiecare capitol conţine un rezumat teoretic în care se regăsesc atât elementele teoretice prezentate în manual, cât şi alte rezultate matematice suplimentare sau facultative, marcate ca atare. Exerci-ţiile ce se referă la elementele teoretice suplimentare sau facultati-ve sunt marcate cu semnul „*“.

Cartea se termină cu Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri. În această parte sunt prezentate rezolvările exerciţiilor de nivelul I şi se oferă indicaţii sau sugestii de rezolvare pentru exerciţiile şi pro-blemele de nivelurile II şi III.

Victor Raischi

3 octombrie 2004

3

Înainte de a fi un instrument de lucru, matematica repre-zintă un mod de gândire care ne poate ajuta în orice activi-tate.

Solomon Marcus

C A P I T O L U L I

Recapitulare şi completări

Mulţimea numerelor naturale este N = { 0, 1, 2, 3, ...}. Mulţimea numerelor naturale nenule este N* = {1, 2, 3, ...}. Mulţimea numerelor întregi este Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}. Mulţimea numerelor întregi nenule este Z* = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...}.

Fracţie. Dacă a ∈ Z şi b ∈ N*, atunci a : b = .ba ,

ba a ∈ Z şi b ∈ N*, este fracţia

cu numărătorul a şi numitorul b. Mulţimea numerelor raţionale. Q = { x | x este un număr ce poate fi scris sub

formă de fracţie} = { x | x este câtul împărţirii unui număr întreg la un număr natural nenul}.

Scrierea unui număr raţional. Un număr raţional poate fi scris în două variante: fracţie (scriere fracţionară); număr zecimal (scriere poziţională în baza 10).

Recunoaşterea numerelor zecimale raţionale. Numerele zecimale cu un număr finit de zecimale (de exemplu, −12,154) sunt numere raţionale. Numerele zecimale periodice (de exemplu, −13,(291) sau −81,35(47)) sunt numere raţionale. Convertirea într-o fracţie a unui număr raţional zecimal se face conform exemplelor:

.9902295

99022315)31(2,5;

9994134)413(,4;

103755,37 =

−+===

Numere zecimale iraţionale. Exemple: −15,0369… (după virgulă sunt scrise, la rând, toate numerele naturale, multipli ai lui 3); rădăcina pătrată a unui număr raţional ce nu este pătrat perfect );1,0,5,3,2( numărul π = 3,141592653589793238… (raportul dintre lungimea unui cerc şi diametrul lui); numărul e = 2,7182818... = 1 +

...,!3

1!2

1++ unde n! = 1⋅2⋅3⋅...⋅n. Un număr zecimal care nu are un număr finit de

zecimale şi care nu este număr zecimal periodic, este un număr iraţional. Pentru reprezentarea pe axă geometrică a numerelor iraţionale ce sunt rădăcini

pătrate ale unor numere naturale ce nu sunt pătrate perfecte se aplică teorema lui Pitagora. De exemplu: 2 este lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic ale că-rui catete au lungimile 1; 3 este lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic ale cărui catete au lungimile 2 şi 1; 5 este lungimea ipotenuzei unui triunghi drept-unghic ale cărui catete au lungimile 2 şi 1 etc.

Mulţimea numerelor reale este reuniunea mulţimii numerelor raţionale cu mulţimea numerelor iraţionale.

Intervale de numere reale. Fie numerele reale diferite a şi b, a < b. 1) Mulţimea {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} = [a, b] este un interval închis. 2) Mulţimea {x ∈ R | a < x < b} =

Capitolul 1. Recapitulare şi completări 4

(a, b) este un interval deschis. 3) Mul-ţimea {x ∈ R | a < x ≤ b} = (a, b] este un interval deschis la stânga şi închis la dreapta. 4) Mulţimea {x ∈ R | a ≤ x < b} = [a, b) este un interval închis la stânga şi deschis la dreapta. 5) Mulţimea {x ∈ R | x ≤ a} = (−∞, a] este un interval ne-mărginit închis la dreapta. 6) Mulţimea {x ∈ R | x < a} = (−∞, a) este un interval nemărginit deschis la dreapta. 7) Mul-ţimea {x ∈ R | x ≥ a} = [a, ∞) este un interval nemărginit închis la stânga. 8) Mulţimea {x ∈ R | x > a} = (a, ∞) este un interval nemărginit deschis la stânga. (Simbolul „∞“ se citeşte „infinit“.)

Suplimentar. Fracţii continue. Fie

numărul 4,9. Atunci 4,9 = 4 + 109 = 4 +

9101 = 4 +

911

1

+ = [4; 1, 9]. [4; 1, 9] este

scrierea sub formă de fracţie continuă a numărului 4,9. Procedând la fel cu ,3 ob-ţinem:

=−+

+=+

+=−+=)13(2

2131

21)13(13

2131

12

11

11

)13(222

11

11

)13(211

11

2131

11

−+

++

+=

−++

++=

−++

+=−

+

+

)].2,1(;1[...],2,1,2,1;1[

)13(211

12

11

11

3111

12

11

11 ==

−++

++

+=

++

++

+ De-

oarece 1, 2 se repetă de un număr nelimitat de ori, apare între paranteze ca la scrierea perioadei numerelor zecimale periodice.

Numărul de aur 2

15 +=ϕ se scrie ca fracţie continuă [1; (1)].

Scrierea ca fracţie continuă a unui număr real este unică. Numerele reale care sunt rădăcini ale unor polinoame cu coeficienţi întregi se nu-

mesc numere algebrice. Celelalte numere reale se numesc transcendente. În 1767 Lambert a demonstrat că numărul π este un număr iraţional, iar în 1882


Lindemann a demonstrat că π este un număr transcendent. Numărul transcendent e = 2,7182818... se scrie ca fracţie continuă [2; 1, 2, 1, 1, 4,

1, 1, 6, 1, 1, 8, ...]. În general, scrierea ca fracţie continuă a unui număr algebric aminteşte de scrierea

zecimală a numerelor raţionale, iar scrierea ca fracţie continuă a unui număr transcen-dent aminteşte de scrierea zecimală a unui număr iraţional. Prin urmare, scrierea ca fracţie continuă a unui număr real permite identificarea numerelor transcendente.

Submulţimi importante ale mulţimii numerelor reale (R). Mulţimea numerelor reale strict pozitive se notează ; mulţimea numerelor reale strict negative se notea-*+Rză ; mulţimea numerelor reale negative (nepozitive) se notează , iar mulţimea *−R −Rnumerelor reale pozitive (nenegative) se notează . Numerele reale pozitive se +Rscriu, în general, fără semn.

Modulul sau valoarea absolută a unui număr real. Modulul sau valoarea abso-lută a unui număr real este distanţa de la punctul de pe axa numerelor, care îi cores-punde numărului, până la origine. Notaţii: | x | este modulul lui x; max {a, b} este cel mai mare dintre numerele a şi b.

Dacă x ∈ R, atunci | x | = ⎩⎨⎧

≥<−

=⎪⎩

⎪⎨

⎧

>=<−

=−.dac,

dac,

dac,

dac,

dac,

},{max0ă0ă

0ă0ă00ă

xxxx

xxxxx

xx

Numere opuse. Numerele care au acelaşi modul se numesc numere opuse. Proprietăţi ale modulului: 1) pentru orice x ∈ R, | x | ∈ (modulul oricărui nu-+R

măr real este un număr real pozitiv); 2) pentru orice x ∈ R*, | x | ∈ (modulul ori-+*Rcărui număr real nenul este un număr real strict pozitiv); 3) | x | = 0 numai pentru x = 0 (singurul număr real cu modulul 0 este 0); 4) pentru orice x ∈ R*, | x | = | −x | (numerele reale opuse au acelaşi modul); 5) pentru x ∈ R, a ∈ R, | x | ≤ a, a > 0 ⇔ x ∈ [− a, a]; 6) pentru x ∈ R, a ∈ , |+*R x | ≥ a ⇔ x ∈ (–', − a] ∪ [a, '); 7) pentru x ∈ R, a ∈ R, | x | = a, a > 0 ⇔ x = a sau x = − a; 8) | a | ≥ a, a ∈ R; 9) | ab | = | a |⋅| b |, a ∈

R, b ∈ R; 10) ,||||

ba

ba

= a ∈ R, b ∈ R*; 11) | a + b | ≤ | a | + | b |, a ∈ R, b ∈ R; 12)

|| a | – | b || ≤ | a + b | ≤ | a | + | b |, a ∈ R, b ∈ R. Adunarea numerelor reale. Adunarea numerelor reale se efectuează, în prin-

cipiu, ca şi adunarea numerelor raţionale. Adunarea numerelor reale are proprietăţile adunării numerelor raţionale.

Scăderea. Diferenţa a două numere reale este suma dintre descăzut şi opusul scă-zătorului.

Desfacerea parantezelor. 1) Dacă în faţa unei paranteze se află semnul „+“, atunci, după desfacerea parantezelor, numerele din paranteze se scriu cu semnele lor: a + (−b + c − d) = a − b + c − d.

2) Dacă în faţa unei paranteze se află semnul „−“, atunci, după desfacerea parante-zelor, expresia se înlocuieşte cu opusa ei: a − (−b + c − d) = a + b − c + d.

Suplimentar. Partea întreagă. Partea neîntreagă. Partea întreagă a numărului


raţional a este [a] = n, n ∈ Z, dacă n ≤ a < n + 1. Se numeşte parte neîntreagă a numărului real a numărul {a} = a − [a]. Constatăm fără dificultate că 0 ≤ {a} < 1.

Signum. Pentru orice număr real a se defineşte =asgn⎪⎩

⎪⎨

⎧

>=<−

.0dacă,10dacă,00dacă,1

aaa

Proprietăţile înmulţirii numerelor raţionale: 1) asociativitatea: (ab)c = a(bc); 2) 1 este element neutru: 1⋅a = a; 3) comutativitatea: ab = ba; 4) −1⋅a = − a; 5) 0⋅ a = 0; 6) distributivitatea înmulţirii faţă de adunare: a(b + c) = ab + ac; 7) distributivitatea înmulţirii faţă de scădere: a(b − c) = ab − ac;

8) dacă a ∈ R*, atunci există numărul a1

∈ R*, numit inversul numărului a,

astfel încât .11=⋅

aa

Factor comun: ab + ac = a(b + c). Un produs de numere raţionale este un număr strict negativ dacă şi numai dacă are

un număr impar de factori strict negativi. Proprietăţi ale puterilor numerelor reale cu exponent natural: 1) pentru orice n şi p numere naturale, a ∈ R*; ,pnpn aaa +=⋅

2) n şi p sunt numere naturale, n ≥ p, a ∈ R*; ,: pnpn aaa −=

3) pentru orice a ≠ 0; 4) pentru a şi b numere raţionale ,10 =a ,)( nnn abba =⋅

nenule şi n ∈ N; 5) pentru a, b numere raţionale nenule şi n ∈ N; ,):(: nnn baba =

6) pentru a ∈ R, iar n, p numere naturale nenule; ,)( nppn aa =

7) nu are sens. ⎩⎨⎧−

=−.par estedacă,1

impar estedacă,1)1(

nnn 00

Medii. Media aritmetică a numerelor reale a şi b este .arit 2bam +

= Media geome-

trică a numerelor reale strict pozitive a şi b este .ab Media armonică a numerelor

reale a şi b este .arm baabm+

=2 Inegalitatea mediilor: marm ≤ mg ≤ marit.

Formule de calcul prescurtat. 1) Formula pătratului sumei cu doi termeni: 2)( ba + = 1′) .2 22 baba ++ 2)( ba + = a + ab2 + b. 2) Formula diferenţei pă-

tratului: = . 2′) 2)( ba − 2 22 baba +− 2)( ba − = a − ab2 + b. 3) Formula pro-dusului sumei cu diferenţa: (a + b)(a − b) = 3′) .22 ba − ))(( baba −+ = a − b. 4) Pătratul sumei de trei termeni: = + 2ab + 2bc + 2ac. 2)( cba ++ 222 cba ++

5) Cubul sumei cu doi termeni: = 6) Cubul diferenţei: 3)( ba + .33 3223 babbaa +++3)( ba − = 7) = 8) (a − b) + .33 3223 babbaa −+− ))(( 22 bababa +−+ .33 ba + 2(a


ab + = 9) (Facultativ) Cubul sumei de trei termeni = )2b .33 ba + 3)( cba ++333 cba ++ + 3(a + b)(b + c)(a + c) = + 3(a + b + c)(ab + bc + ac) − 333 cba ++

3abc. 10) (Facultativ) = − )...)(( 133221 nnnnnn babbababaaba ++++++− −−−− 1+na.1+nb 11) (Facultativ) = )...)(( 212332222122 nnnnnn babbababaaba +−+++−+ −−−−

12 +na + .12 +nbRelaţia de ordine pe R. Relaţia „≤“ (mai mic sau egal) are proprietăţile: 1) reflexivitatea (a ≤ a pentru orice a ∈ R); 2) antisimetria (a ≤ b şi b ≤ a implică a = b); 3) tranzitivitatea (a ≤ b şi b ≤ c implică b ≤ c, dacă a, b, c sunt numere reale). Relaţia „≤“ şi operaţiile aritmetice (adunarea şi înmulţirea): 1) a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c pentru a, b, m ∈ R; 2) a ≤ b şi c ≤ d ⇒ a + c ≤ b + d pentru a, b, c, d ∈ R; 3) a ≤ b şi m > 0 ⇒ am ≤ bm pentru a, b, m ∈ R; 4) a ≤ b şi m < 0 ⇒ am ≥ bm pentru a, b, m ∈ R;

5) a ≤ b şi c ≤ d ⇒ ac ≤ bd şi cb

da

≤ pentru a, b, c, d ∈ . +*R

Rotunjirea numerelor reale. Exemple. 1) Rotunjind la zeci numerele din interva-lul [35, 45) se obţine 40. 2) Rotunjind la zeci numerele din intervalul (–45, –35] se obţine –40. 2) Rotunjind la întregi numerele din intervalul [3,5; 4,5) se obţine 4. 3) Rotunjind la întregi numerele din intervalul (–4,5; –3,5] se obţine –4. 4) Rotunjind la zecimi numerele din intervalul [2,45; 2,55) se obţine 2,5. 5) Rotunjind la zecimi numerele din intervalul (–2,55; –2,45] se obţine –2,5. 6) Rotunjind la sutimi numerele din intervalul [2,355; 2,365) se obţine 2,36. 7) Rotunjind la sutimi numerele din inter-valul (–2,355; –2,365] se obţine –2,36.

Aproximări. Exemple. 1) 2,5 este aproximarea prin lipsă cu 0,1 (0,1-aproximarea prin lipsă) a tuturor numerelor reale din intervalul (2,5; 2,6). 2) 2,6 este aproximarea prin adaos cu 0,1 (0,1-aproximarea prin lipsă) a tuturor numerelor reale din intervalul (2,5; 2,6).

Trunchieri. Trunchierea de ordinul i a unui număr întreg înlocuieşte cu 0 toate cifrele numărului, de ordin mai mic decât i, iar trunchierea de ordinul i a unui număr neîntreg renunţă la toate zecimalele numărului (au ordinele –1, –2, –3, ...), de ordin mai mic decât i. Trunchierea de ordinul –1 a unei rădăcini pătrate este valoarea ei cu o zecimală exactă, trunchierea de ordinul i a unui număr de ordinul –2 a unei rădăcini pătrate este valoarea ei cu două zecimale exacte etc.


1. M u l ţ i m e a n u m e r e l o r r e a l e

1. Decideţi dacă este raţional sau iraţional numărul: a) –5,0369...; b) –34,563; c) –3,222...; d) –24,151617...; e) 32,103103103...; f) 78,111367.

2. Convertiţi în fracţie numărul: a) −23,5(41); b) –501,(34); c) −28,(362); d) 9,352; e) –26,34(5); f) 75,6(348).

3. Aplicând teorema lui Pitagora, reprezentaţi pe axa numerelor: a) ;2− b) ;3− c) ;5 d) ;6 e) ;7 f) .10

4. Enumeraţi numerele întregi din intervalul: a) (–2,2; 5); b) (–2,6; 3,4); c) (–5,2; –1,5); d) (–5,3; 1,4); e) (–7,4; –3,2); f) (–1,7; 2,8).

5. Scrieţi ca interval mulţimea numerelor reale x, ce satisfac condiţia: a) –5 < x < 17; b) –13 < x < 45; c) –26 < x < 31.

6. Scrieţi ca interval mulţimea numerelor reale x, ce satisfac condiţia: a) –11 < x ≤ 24; b) –25 < x ≤ 54; c) –19 < x ≤ 67; d) –33 ≤ x < 2,3; e) –21,1 ≤ x < 6,1; f) –2,4 ≤ x < 8,2.

7. Scrieţi ca interval mulţimea numerelor reale x, ce satisfac condiţia: a) –2,5 ≤ x ≤ 7,1; b) –9,6 ≤ x ≤ 11,3; c) –22,3 ≤ x ≤ 5,1.

8. Scrieţi ca interval mulţimea numerelor reale x, ce satisfac condiţia: a) x ≤ 15,2; b) x ≤ 24,6; c) x ≤ 44,3; d) x ≤ –31,4; e) x ≥ 3,12; f) x ≥ –5,21; g) x ≥ 26,2; h) x ≥ –2,19.

9. Scrieţi cu ajutorul modulului mulţimea numerelor reale x, ce satisfac condiţia: a) –2,9 < x < 2,9; b) –7,6 < x < 7,6; c) –11,3 < x < 11,3.

10. Scrieţi cu ajutorul modulului mulţimea numerelor reale x, ce satisfac condiţia: a) –13,2 ≤ x ≤ 13,2; b) –37,4 ≤ x ≤ 37,4; c) –55,3 ≤ x ≤ 55,3.

11. Scrieţi cu ajutorul modulului mulţimea numerelor reale x, ce satisfac condiţia: a) x < –3,27 sau x > 3,27; b) x < –8,13 sau x > 8,13; c) x < –11,8 sau x > 11,8; d) x < –15,2 sau x > 15,2; e) x < –73,1 sau x > 73,1; f) x < –85,6 sau x > 85,6.

12. Scrieţi cu ajutorul modulului mulţimea numerelor reale x, ce satisfac condiţia: a) x ≤ –3,27 sau x ≥ 3,27; b) x ≤ –29,1 sau x ≥ 29,1; c) x ≤ –14,8 sau x ≥ 14,8; d) x ≤ –39,3 sau x ≥ 39,3; e) x ≤ –75,3 sau x ≥ 75,3; f) x ≤ –84,9 sau x ≥ 84,9.

13. Încadraţi între două numere întregi consecutive numărul: a) ;73− b) ;11− c) ;15− d) ;26 e) ;37 f) .52

14. Rotunjiţi la întregi numărul: a) ;55 b) ;12 c) ;13 d) ;14 e) ;15 f) .17

15. Rotunjiţi la zecimi numărul: a) ;33 b) ;31 c) ;34 d) ;30 e) ;29 f) .28


16. Rotunjiţi la sutimi numărul: a) ;48 b) ;47 c) ;46 d) ;47 e) ;46 f) .45

17. Rotunjiţi la întregi numărul: a) ;51− b) ;52− c) ;53− d) ;54− e) ;55− f) .56−

18. Rotunjiţi la zecimi numărul: a) ;68− b) ;67− c) ;61− d) ;62− e) ;63− f) .65−

19. Rotunjiţi la sutimi numărul: a) ;78− b) ;70− c) ;71− d) ;72− e) ;73− f) .74

20. Aflaţi 0,1-aproximarea prin adaos a numărului: a) ;18 b) ;10 c) ;8 d) ;7 e) ;6 f) .5

21. Aflaţi 0,1-aproximarea prin lipsă a numărului: a) ;19 b) ;12 c) ;13 d) ;14 e) ;15 f) .17

22. Aflaţi 0,1-aproximarea prin adaos a numărului: a) ;19− b) ;18− c) ;17− d) ;14− e) ;13− f) .12−

23. Aflaţi 0,1-aproximarea prin lipsă a numărului: a) ;27− b) ;26− c) ;24− d) ;23− e) ;22− f) .21−

24. Aflaţi numerele întregi x pentru care este întreg numărul:

a) ;2

5+x

b) ;10

7+x

c) ;3

11+x

d) ;11

13+x

e) ;17

23+x

f) .23

29+x

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 25. Fără să calculaţi, decideţi în ce număr zecimal se converteşte fracţia:

a) ;127 b) ;

2513 c) ;

3223 d) ;

2017 e) ;

1511 f) .

2419

Formulaţi un exerciţiu asemănător.

26. Decideţi dacă pentru orice numere întregi x şi y fracţia 2004

174135 yxyx − este re-

ductibilă. Formulaţi un exerciţiu asemănător.

27. Aflaţi în ce număr zecimal se converteşte suma inverselor a trei numere întregi consecutive.

28. Decideţi dacă valoarea raportului este o fracţie reductibilă:

a) ;)(11

15cbaabc +++

b) .)(2

24dcbaabcd ++++

29. Fie numărul zecimal 0,2468... Aflaţi zecimala de rang 500. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 30. Fie numerele naturale 1, 2, 3, 4, 5, ..., 2005. Micşoraţi 4 termeni ai şirului cu 1.

Procedând în acest mod de un număr suficient de ori, se poate obţine un şir cu toţi


termenii egali cu 0? Formulaţi un exerciţiu asemănător. 31. Fie numărul zecimal 0,1112111123112211213... Decideţi dacă numărul este sau

nu periodic. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 32*. Scrieţi sub formă de fracţie continuă numărul .11 Formulaţi un exerciţiu asemănător. 33*. Precizaţi ce tip de număr (raţional, iraţional algebric, transcendent) este numă-

rul ce se scrie sub formă de fracţie continuă: a) [5; 3, 7, 1]; b) [5; 2, (4, 7)]; c) [5; 2, 4, 6, 8, 10, ...].


E v a l u a r e f o r m a t i v ă

1. Convertiţi în fracţie –5,42. 2. Convertiţi în fracţie:

a) –7,(261); b) –10,4(457).

3. Scrieţi ca interval mulţimea nu-merelor reale x, ce satisfac condiţia:

a) –14 < x ≤ 31; b) x ≤ –16,5.

4. Scrieţi cu ajutorul modulului mulţimea numerelor reale x, ce satisfac condiţia:

a) –5,4 < x < 5,4; b) x ≤ –9,32 sau x ≥ 9,32.

5. Rotunjiţi la sutimi numărul: a) 7,265; a) –2,213.

6. Aflaţi 0,01-aproximarea prin lipsă a numărului:

a) –12,428; b) .5

7. Aflaţi numerele întregi m pentru

care fracţia .10

31−x

8. Fie numărul 4,111213... Aflaţi zecimala de rang 350.

9. Fie a = 3,023456..., b = 3,02456... Aflaţi un raţional din inter-valul (a, b).

1. Convertiţi în fracţie –3,26. 2. Convertiţi în fracţie:

a) –8,(162); b) –12,3(375).

3. Scrieţi ca interval mulţimea nume-relor reale x, ce satisfac condiţia:

a) –21 < x ≤ 29; b) x ≤ –15,6.

4. Scrieţi cu ajutorul modulului mul-ţimea numerelor reale x, ce satisfac condiţia:

a) –3,9 < x < 3,9; b) x ≤ –8,23 sau x ≥ 8,23.

5. Rotunjiţi la sutimi numărul: a) 8,356; a) –3,318.


a) –15,374; b) .6

7. Aflaţi numerele întregi m pentru

care fracţia .15

17−x

8. Fie numărul 4,891011... Aflaţi zecimala de rang 350.

9. Fie a = 2,23456..., b = 3,2456... Aflaţi un raţional din intervalul (a, b).

Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.


2. O p e r a ţ i i c u n u m e r e r e a l e

1. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) ;)52( 2−x b) ;)32( 2x− c) ;)13( 2−x

d) ;)12( 2−x e) ;)14( 2−x f) .)5( 2−x 2. Aduceţi la forma cea mai simplă:

a) ;)53( 2− b) ;)32( 2− c) ;)63( 2−

d) ;)87( 2− e) ;)108( 2− f) .)1110( 2− 3. Aduceţi la forma cea mai simplă:

a) );75(3 − b) );103(5 − c) );37(10 − d) );35(2 − e) );65(7 − f) ).1311(2 −

4. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) );1121)(1121( −+ b) );211)(211( −+ c) );311)(311( −+ d) );521)(521( −+ e) );1921)(1921( −+ f) ).1721)(1721( −+

5. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) ;)231( 2+ b) ;)317( 2+ c) ;)215( 2+ d) ;)314( 2+ e) ;)213( 2+ f) .)711( 2+

6. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) ;)341( 2− b) ;)139( 2− c) ;)238( 2− d) ;)237( 2− e) ;)535( 2− f) .)633( 2−

7. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) ;177175172 +− b) ;1591511157 +− c) ;14614191412 +− d) ;131713451331 +− d) ;11811491127 +− e) .716778751 +−

8. Aproximaţi prin lipsă cu 0,01: a) ;1513 + b) ;1511 + c) ;1311 + d) ;1411 + e) ;1711 + f) .1413 +

9. Aproximaţi prin adaos cu 0,01: a) ;1129 − b) ;1126 − c) ;1326 − d) ;1522 − e) ;1423 − f) .1523 −

10. Scoateţi factori de sub radical: a) ;680 b) ;725 c) ;980 d) ;824 e) ;768 f) ;864 g) ;344 h) .608


11. Introduceţi factori de sub radical: a) ;1512 b) ;2311 c) ;2613 d) ;2114 e) ;1115 f) ;1016 g) ;1217 h) .1018

12. Aplicând o formulă de calcul, dezvoltaţi: a) b) c) ;)47( 3+a ;)45( 3+a ;)35( 3+ad) e) f) ;)25( 3+a ;)16( 3+a .)43( 3+a

13. Aplicând o formulă de calcul, dezvoltaţi: a) b) c) ;)67( 3−a ;)15( 3−a ;)25( 3−ad) e) f) ;)35( 3−a ;)45( 3−a .)54( 3−a

14. Aplicând o formulă de calcul, efectuaţi: a) (9x + 8)(81x2 – 72x + 64); b) (3x + 5)(9x2 – 15x + 25); c) (4x + 5)(16x2 – 20x + 25); d) (5x + 2)(25x2 – 10x + 4); e) (7x + 2)(49x2 – 14x + 4); f) (3x + 7)(9x2 – 21x + 49).

15. Aplicând o formulă de calcul, efectuaţi: a) (9x – 7)(81x2 + 63x + 49); b) (9x – 1)(81x2 + 9x + 1); c) (7x – 2)(49x2 + 14x + 4); d) (7x – 3)(49x2 + 21x + 9); e) (7x – 4)(49x2 + 28x + 16); f) (7x – 5)(49x2 + 35x + 25).

16. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 3x – 11 = 16; b) 2x – 9 = 15; c) 4x – 11 = 15; d) 2x – 11 = 17; e) 5x – 11 = 13; f) 5x – 9 = 11.

17. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 7x – 8 = 3x + 6; b) 6x – 7 = 5x + 3; c) 7x – 8 = 3x + 6; d) 5x – 4 = 7x + 9; e) 3x – 9 = 8x + 5; f) 4x – 11 = 7x + 12.

18. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) | 4x + 11 | = 25; b) | 2x + 11 | = 8; c) | 5x + 8 | = 12; d) | 6x + 7 | = 15; e) | 8x + 13 | = 13; f) | 3x + 5 | = 9.

19. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | 4x | ≤ 13; b) | 5x | ≤ 14; c) | 6x | ≤ 18; d) | 7x | ≤ 16.

20. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | x – 9 | ≤ 2; b) | x – 8 | ≤ 4; c) | x – 7 | ≤ 3; d) | x – 6 | ≤ 5; e) | x – 5 | ≤ 7; f) | x – 1 | ≤ 8; g) | x – 2 | ≤ 11; h) | x – 3 | ≤ 14.

21. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | 9x | ≥ 28; b) | 8x | ≥ 35; c) | 4x | ≥ 37; d) | 6x | ≤ 95.

22. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | x – 9 | ≥ 12; b) | x – 7 | ≥ 13; c) | x – 5 | ≥ 21; d) | x – 6 | ≥ 5; e) | x – 3 | ≥ 15; f) | x – 2 | ≥ 23; g) | x – 8 | ≥ 11; h) | x – 4 | ≥ 16.

23. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) x2 – 15 = 0; b) x2 – 14 = 0; c) x2 – 13 = 0; d) x2 – 12 = 0; e) x2 – 11 = 0; f) x2 – 10 = 0.

24. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) x2 – 34x = 0; b) x2 – 21x = 0; c) x2 – 22x = 0; d) x2 – 23x = 0; e) x2 – 24x = 0; f) x2 – 25x = 0.


25. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) x2 – 19x – 20 = 0; b) x2 – 20x – 21 = 0; c) x2 – 21x – 22 = 0; d) x2 – 22x – 23 = 0; e) x2 – 23x – 24 = 0; f) x2 – 24x – 25 = 0.

26. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) x2 – 12x + 36 = 0; b) x2 – 20x + 101 = 0; c) x2 – 21x + 442 = 0; d) x2 – 22x + 122 = 0; e) x2 – 23x + 530 = 0; f) x2 – 24x + 577 = 0.

27. Fără să rezolvaţi ecuaţia, aflaţi suma şi produsul soluţiilor ei: a) x2 – 12x + 34 = 0; b) x2 – 20x + 99 = 0; c) x2 – 21x + 442 = 0; d) x2 – 22x + 122 = 0; e) x2 – 23x + 520 = 0; f) x2 – 24x + 540 = 0.

28. Scrieţi ecuaţia redusă cu soluţiile: a) x1 = 5, x2 = –1,5; b) x1 = 2, x2 = –2,4; c) x1 = 3, x2 = –1,6; d) x1 = 8, x2 = –2,5; e) x1 = 7, x2 = –3,2; f) x1 = 6, x2 = –3,5.

29. Scrieţi polinomul cu coeficientul dominant 1, ale cărui rădăcini sunt: a) x1 = –3,1, x2 = 2,4; b) x1 = –2,1, x2 = 4; c) x1 = –2,3, x2 = 2,6; d) x1 = –4,5, x2 = 3,5; e) x1 = –1,4, x2 = 5,6; f) x1 = –6,2, x2 = 3,1.

30. Descompuneţi în factori polinomul: a) X 2 + 11X + 30; b) X 2 + 13X + 42; c) X 2 + 16X + 63; d) X 2 + 12X + 35; e) X 2 + 14X + 45; f) X 2 + 15X + 45.

31. Descompuneţi în produs de factori raţionali: a) x2 – 23; b) x2 – 13; c) x2 – 14; d) x2 – 15.

32. Descompuneţi în produs de factori raţionali: a) x2 – 6x – 112; b) x2 – 6x – 16; c) x2 – 6x – 27; d) x2 – 6x – 40; e) x2 – 6x – 55; f) x2 – 6x – 72.

33. Simplificaţi raportul:

a) ;12111

2

2

−−

xxx b) ;

42

2

2

−−

xxx c) ;

93

2

2

−−

xxx d) ;

164

2

2

−−

xxx

e) ;255

2

2

−+

xxx f) ;

366

2

2

−+

xxx g) ;

497

2

2

−+

xxx h) .

648

2

2

−+

xxx

34. Descompuneţi în factori raţionali: a) x2 + 50x + 625; b) x2 – 30x + 225.

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 34. Descompuneţi în factori raţionali:

a) 8x3 + 60x2 + 150x + 125; b) 64x3 – 154x2 + 108x – 27. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 35. Descompuneţi în factori raţionali:

a) 343x9 + 125y3; b) 216x3 – 343y6. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 36. Simplificaţi raportul:

a) ;8126

16823

2

+++++

xxxxx b) .

192727169

23

2

−+−+−

xxxxx



37. Simplificaţi raportul:

a) ;644812

6423

3

++++

xxxx b) .

1000300301000

23

3

−+−−

xxxx

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 38. Simplificaţi raportul:

a) ;51219224

801823

2

+++++

xxxxx b) .

216108186016

23

2

−+−+−

xxxxx

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 39. Raţionalizaţi numitorul raportului:

a) ;52

3+

b) .53

4−

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 40. Rezolvaţi în R ecuaţia:

a) x4 – 5x2 + 6 = 0; b) x4 + 7x2 + 12 = 0. Formulaţi un exerciţiu asemănător.

41. Rezolvaţi în R ecuaţia .0211

=−−

+− x

xx

x

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 42. Rezolvaţi în R ecuaţia .0124 =+−− xx Formulaţi un exerciţiu asemănător.

43. Rezolvaţi în R ecuaţia .010)52(3)52( 22 =−−−− xx Formulaţi un exerciţiu asemănător. 44. Rezolvaţi în R ecuaţia x2 + x4 + x6 + ... = 5, | x | < 1. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 45. Rezolvaţi în R ecuaţia x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + ... = 3, x < 1. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 46. Rezolvaţi în R ecuaţia:

a) ;0223

323 2

2

2 =++−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+− xxx

xxx b) .04

313

13

2

2

2

2

=−−+

⋅++

−xx

xx

xx

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 47. Rezolvaţi în R ecuaţia .44444 22 =+−+++ xxxx Formulaţi un exerciţiu asemănător.

48. Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiei .10031

20052004...

76

54

32

<⋅⋅⋅⋅

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 49. Cercetaţi dacă există numere întregi care verifică ecuaţia

(2x + 3)4568 + (5x – 1)5316 = 15023661. Formulaţi un exerciţiu asemănător.


50. Aflaţi numărul raţional e pentru care x ⊕ e = x, dacă pentru orice numere raţio-nale x şi y este adevărată relaţia:

a) x ⊕ y = x + y + 11; b) x ⊕ y = x + y − 15. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 51. Reprezentaţi grafic funcţia f : R → R, f(x) = | 3x – 5 |. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 52. Aflaţi câte numere naturale mai mici sau egale cu 2005 nu se divid cu 2, 5, 7. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 53. Cercetaţi dacă există numere întregi x, y, z pentru care x2 + x – 3y5 – 3y + 4z10 –

4z2 = 2 005. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 54. Fără să executaţi toate calculele, aflaţi coeficientul lui X

8 din forma canonică a polinomului (1 + X)(1 + X

2)(1 + X 3)(1 + X

4)(1 + X 5)(1 + X

6)(1 + X 7)(1 + X

8). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 55. Aflaţi forma canonică a polinomului P(X), dacă P(2 – X) = 3X

2 – 4X – 5. Formulaţi un exerciţiu asemănător.

56. Fie P(X) = 7X – 5. Calculaţi = P(1) + P(2) + P(3) + ... + P(2004). ∑=

2004

1

)(i

iP

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 57. Aduceţi la forma cea mai simplă:

a) ;30213015630156 +⋅++⋅+−

b) .6627682001

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−++

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 58*. Simplificaţi:

a) ;1

110 −

−zz b) .

131

++

zz


59*. Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiei ∑=

⋅−n

i

i

i1 71)1( ∈ Z.


60*. (Numărul de aur) Punctul M ∈ (AB), astfel încât AMAB

MBMA

= (împarte segmen-

tul AB în medie şi extremă raţie). Aflaţi MBMA (numărul de aur);

61*. (Numărul de aur) Scrieţi numărul de aur sub formă de fracţie continuă.

62*. (Numărul de aur) Comparaţi numărul ...111 +++ cu numărul de aur.

63*. Aflaţi numărul n pentru care ...+++ nnn = 1.



1. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) ;)72( 2−x

b) .)75( 2−

2. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) );73(5 − b) .1112119113 +−

3. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) ;)137( 2+ b) ).2129)(2129( −+

4. Dezvoltaţi: a) (2x + 7y)3; b) (3x – 5y)3.

5. Efectuaţi: a) (3x – 8y)(9x2 + 24xy + 64y2); b) (4x + 7y)(16x2 – 28xy + 49y2).

6. Aflaţi 0,01-aproximarea prin lip-să a numărului:

a) ;1719 + b) .1521 −

7. Rezolvaţi în R: a) | 4x + 35 | = 28; b) | x – 13 | ≤ 19.

8. Rezolvaţi în R ecuaţia

.033

23423

3=+

−⋅+

− xx

xx

9. Fie P(X) = 9X – 4. Calculaţi

∑=

2000

1

)(i

iP = P(1) + P(2) + P(3) + ... +

P(1000).

1. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) ;)94( 2−x

b) .)117( 2−

2. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) );75(6 − b) .138137135 +−

3. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) ;)116( 2+ b) ).1723)(1723( −+

4. Dezvoltaţi: a) (4x + 5y)3; b) (5x – 6y)3.

5. Efectuaţi: a) (4x – 7y)(16x2 + 28xy + 49y2); b) (4x + 5y)(16x2 – 20xy + 25y2).


a) ;2115 + b) .1722 −

7. Rezolvaţi în R: a) | 5x + 32 | = 27; b) | x – 12 | ≤ 17.

8. Rezolvaţi în R ecuaţia

.033

32432

2=+

−⋅+

− xx

xx

9. Fie P(X) = 8X – 5. Calculaţi

∑=

2000

1

)(i

iP = P(1) + P(2) + P(3) + ... +

P(1000). Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.


C A P I T O L U L II

Pute r i cu exponent r a ţ i ona l

Rădăcina pătrată a unui număr real nenegativ. Dacă a este un număr real pozi-tiv, atunci numărul pozitiv b este rădăcina pătrată a numărului a sau radicalul de ordi-nul 2 din a, dacă b2 = a. Rădăcina pătrată a numărului a este .a

Proprietăţi ale rădăcinii pătrate: 1) dacă a ∈ R, atunci ;2 || aa = 2) dacă a ∈ R+, atunci ;)( 2 aa = 3) dacă a ∈ , b ∈ , atunci +R +R ;abba =⋅ 2) dacă

ab ∈ , atunci +R ;|||| baab ⋅= 3) dacă a ∈ , b ∈ , atunci +R +*R ;:baba =

4) dacă ab ∈ +R , b ≠ 0, atunci ;||

||

ba

ba= 5) ;sgn 2baaba =

6) =ba 2 .ba || Suplimentar. Formulele radicalilor compuşi. Dacă − b = a ∈ , b ∈ 2a ,2c +R

+R , atunci

ba + = ,22

22 baabaa −−+

−+ iar

ba − = .22

22 baabaa −−−

−+

Radicali de ordinul n. 1) Fie n = 2k, k ∈ N* şi a ∈ R+. Soluţia pozitivă a ecuaţiei xn = a se numeşte radicalul de ordinul n din a şi se notează .n a

2) Fie n = 2k + 1, k ∈ N* şi b ∈ R. Soluţia ecuaţiei xn = b se numeşte radicalul de ordinul n din b şi se notează .n b

Observaţii. 1) Dacă n ∈ N* este număr par, a ∈ R+, atunci n a ≥ 0. Dacă n ∈ N* este număr par şi a < 0, atunci nu există .n a

2) Dacă n = 2k + 1, k ∈ N* şi b ∈ R, atunci .sgnsgn bbn =

Proprietăţi ale radicalilor de ordinul n. 1) ,)( aa nn = dacă n este număr natural

par şi a ∈ R+ sau n este număr natural impar şi a ∈ R. 2) ,|| aan n = dacă n este nu-

măr natural par sau ,aan n = dacă n este număr natural impar şi a ∈ R. 3) Dacă n

este impar şi b ≠ 0, atunci .n

nn

ba

ba= 4) Dacă n este par şi b ≠ 0, atunci .

n

nn

ba

ba

||

||=

5) Dacă n este par şi a ∈ R+, atunci .)( n kkn aa = 6) Dacă n este impar, atunci

Capitolul II. Puteri cu exponent raţional 18

.)( n kkn aa = 7) Dacă a ∈ , atunci +*R .mnn m aa = (Se aplică la înmulţirea radica-

lilor.) 8) Dacă a ∈ , k ∈ , k > 1, atunci +*R +*N .mmk k aa = 9) Dacă a ∈ R+, b ∈ R+, atunci a < b implică .nn ba <

Raţionalizarea numitorilor unor rapoarte. Dacă numitorul unui raport este de forma: 1) ,ba − atunci după amplificarea lui cu ba + se obţine un raport egal cu el, al cărui numitor este a − b; 2) ,ba + atunci după amplificarea lui cu

ba − se obţine un raport egal cu el, al cărui numitor este a − b; 3) ,33 ba +

atunci după amplificarea cu 3 233 2 baba +− se obţine un raport egal cu el, al cărui

numitor este a + b; 4) 3 233 2 baba +− atunci după amplificarea cu 33 ba + se obţine un raport egal cu el, al cărui numitor este a + b; 5) ,33 ba − atunci după am-

plificarea cu 3 233 2 baba ++ se obţine un raport egal cu el, al cărui numitor este a

– b; 6) ,3 233 2 baba ++ atunci după amplificarea cu ,33 ba − se obţine un raport egal cu el, al cărui numitor este a – b; 7) (Facultativ) ,1212 ++ + nn ba atunci după

amplificarea cu 12 212 21212 212 2 ... ++ −++ +−+− n nn nn nn n bbabaa se obţine un raport

egal cu el, al cărui numitor este a + b; 8) (Facultativ) 12 21212 212 2 + −++ +− n nn nn n babaa

12 2... ++− n nb atunci după amplificarea cu ,1212 ++ + nn ba se obţine un raport egal cu el, al cărui numitor este a + b; 9) (Facultativ) ,nn ba − atunci după amplificarea cu

n nn nn nn n bbabaa 12321 ... −−−− ++++ se obţine un raport egal cu el, al cărui nu-

mitor este a – b; 10) (Facultativ) n nn nn nn n bbabaa 12321 ... −−−− ++++ atunci după

amplificarea cu ,nn ba − se obţine un raport egal cu el, al cărui numitor este a – b. Puteri întregi ale numerelor reale. 1) = 1 pentru orice număr întreg m. 2) m1 m0

= 0 pentru orice m ∈ . 3) = 4) Dacă a ∈ R*, +*Z m)1(−⎩⎨⎧−

par.r num

imparr num

ă este dacă,1ă este dacă,1

mm

k ∈ Z şi m ∈ Z, atunci a k⋅a m = a k + m. 5) Dacă a ∈ R*, k ∈ Z şi m ∈ Z, atunci a k : a m = a k – m. În particular, = 1. 6) Dacă a ∈ R*, b ∈ R* şi m ∈ Z, atunci 0a mab)( =

.mmba 7) Dacă a ∈ R*, b ∈ R* şi m ∈ Z, atunci 8) mba ):( = .: mm ba nn a

a−=

1

pentru orice număr întreg n, a ∈ R*. Atenţie! nu are sens. 00Puteri raţionale ale numerelor reale. Pentru orice a ∈ , n ∈ N*, n > 1, m ∈ +*R

Z, .n mnm

aa = nm

a cu exponenţi neîntregi are sens numai pentru a > 0. 0m nu are sens

pentru m ∈ Q– . Pentru ,0>nm .00 =n

m


1) = 1 pentru orice număr raţional m. 2) = 0 pentru orice m ∈ . 3) Dacă m1 m0 +*Qa ∈ , k ∈ Q şi m ∈ Q, atunci a k⋅a m = a k + m. 4) Dacă a ∈ , k ∈ Q şi m ∈ Q, +*R +*Ratunci a k : a m = a k – m. În particular, = 1. 5) Dacă a ∈ , b ∈ şi m ∈ Q, 0a +*R +*Ratunci . 6) Dacă a ∈ , b ∈ şi m ∈ Q, atunci mab)( = mmba +*R +*R mba ):( = .: mm ba7) Dacă a ∈ , m ∈ Q şi n ∈ Q, atunci +*R .)( mnnm aa =

1. R a d i c a l i d e o r d i n u l n

1. Utilizând descompunerea în factori, calculaţi: a) ;4 b) ;0 c) ;16 d) ;9 e) ;81 f) .49


3. Utilizând descompunerea în factori, calculaţi: a) ;83 − b) ;273 − c) ;643 − d) ;1253 − e) ;2163 − f) .3433 −



6. Utilizând descompunerea în factori, calculaţi: a) ;325 − b) ;2435 − c) ;10245 − d) ;31255 − e) ;77765 − f) .168075 −

7. Scrieţi cât mai simplu: a) ;)2( 2− b) ;)3( 2− c) ;)4( 2− d) ;)3( 2− e) ;)7( 2− f) .)8( 2−

8. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) ;)2(4 4− b) ;)3(4 4− c) ;)4(4 4− d) ;)5(4 4− e) ;)6(4 4− f) .)7(4 4−

9. Aflaţi numerele reale pentru care: a) ;2 aa −= b) ;3 3 aa = c) ;4 4 aa =

d) ;5 5 aa = e) ;6 6 aa −= f) .7 7 aa = 10. Introduceţi factori sub radical:

a) ;534 b) ;32 5 c) ;42 3 d) ;456 e) ;277 f) ;548 g) ;76 9 h) .3810

11. Introduceţi factori sub radical: a) ;75 4− b) ;32 5 −− c) ;433− d) ;47 6− e) ;277− f) ;548− g) ;76 9− h) .3810−

12. Scoateţi factori de sub radical:

a) ;64 11 b) ;25 13 c) ;36 15 d) ;57 25


e) ;38 39 f) ;49 35 g) ;510 51 h) .611 37 13. Scoateţi factori de sub radical:

a) ;)7(4 14− b) ;)4(5 12− c) ;)3(6 16− d) ;)8(7 22−

e) ;)2(8 20− f) ;)5(9 25− g) ;)6(10 32− h) .)9(11 35− 14. Comparaţi numerele:

a) 5 şi 2; b) 7 şi 3; c) 17 şi 4; d) 11 şi 3; e) 21 şi 4; f) 19 şi 5.

15. Introduceţi factori sub radical: a) ;3)21( 8− b) ;2)32( 4− c) ;5)31( 6− d) ;2)53( 10− e) ;3)65( 12− f) .6)62( 14−


17. Comparaţi numerele: a) 4 15 şi 2; b) 3 3 şi 1; c) 5 33 şi 2; d) 6 65 şi 2; e) 3 120 şi 5; f) 4 82 şi 3.


19. Scoateţi factori sub radical: a) ;)2443(16 185− b) ;)122(4 63− c) ;)654(6 83−

d) ;)1265(8 103− e) ;)833(10 124− f) .)672(12 146− 20. Aduceţi la forma cea mai simplă:

a) ;)7( 53 2 b) ;)3( 54 2 c) ;)2( 65 3 d) ;)5( 76

e) ;)6( 47 3 f) ;)11( 98 3 g) ;)13( 119 2 h) .)17( 911 3 21. Aduceţi la forma cea mai simplă:

a) ;7 x b) ;3 5 y c) ;4 7 x d) ;17 5 x

e) ;11 8 x f) ;9 8 z g) ;6 10 t h) .5 12 u 22. Simplificaţi radicalul:

a) ;36 4 b) ;28 6 c) ;510 4 d) ;712 9

e) ;1114 4 f) ;1315 10 g) ;1716 6 h) .1920 10 23. Simplificaţi radicalul:

a) ;)2(12 4− b) ;)3(14 10− c) ;)5(6 2− d) ;)2(24 6−


e) ;)7(20 4− f) ;)9(22 2− g) ;)6(26 2− h) .)4(24 8−

24. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) ;75 43 ⋅ b) ;26 53 ⋅ c) ;37 54 ⋅ d) ;54 65 ⋅ e) ;29 73 ⋅ f) .210 74 ⋅

25. Raţionalizaţi numitorul raportului:

a) ;23

1−

b) ;35

1+

c) ;37

1−

d) ;710

1−

e) ;311

1−

f) ;1013

1+

g) ;515

1−

h) .317

1−

26. Raţionalizaţi numitorul raportului:

a) ;111

7 2 b) ;

31

9 4 c) ;

51

4 d) ;71

6 4 e) ;

81

5 3 f) .

21

8 5

27. Aflaţi pentru ce valori ale numărului x are sens expresia: a) ;76−x b) ;113 x− c) ;175−x d) ;197−x e) ;1512−x f) .2111−x

28. Aduceţi la forma cea mai simplă:

a) ;)32(5 5−x b) .)23(8 8−x Formulaţi un exerciţiu asemănător. 29. Aflaţi numerele reale x pentru care:

a) ;35)35(8 8 −=− xx b) .76)67(10 10 xx −=− Formulaţi un exerciţiu asemănător. 30. Introduceţi factori sub radical:

a) ;2)2( 4 −− xx b) .)32()23( 7 2−− xx Formulaţi un exerciţiu asemănător. 31. Comparaţi numerele 3 5 şi .155 Formulaţi un exerciţiu asemănător. 32. Introduceţi factori sub radical:

a) ;3)57( 434 − b) .2)47( 53− Formulaţi un exerciţiu asemănător. 33. Scoateţi factori de sub radical:

a) ;)310(11 1347 − b) .)109(6 845 − Formulaţi un exerciţiu asemănător. 34. Aduceţi la forma cea mai simplă:

a) ;328328 55 −⋅+ b) .32322322 200420042004 +⋅++⋅+− Formulaţi un exerciţiu asemănător.


35. Aduceţi la forma cea mai simplă ).12)(12)(12)(12)(12( 161684 +−+++ Formulaţi un exerciţiu asemănător.

36. Aduceţi la forma cea mai simplă .164 4 4 4 4 4 3

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 37. Aduceţi la forma cea mai simplă .42222 321684 ⋅⋅⋅⋅ Formulaţi un exerciţiu asemănător. 38. Aduceţi la forma cea mai simplă .42...22 964863 ⋅⋅⋅⋅ Formulaţi un exerciţiu asemănător. 39. Raţionalizaţi numitorul raportului:

a) ;15

63 +

b) .16

53 −

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 40. Aduceţi la forma cea mai simplă ).23)(23)...(23)(23( 3232323244 −+++ Formulaţi un exerciţiu asemănător. 41. Construiţi o ecuaţie de grad minim cu coeficienţi raţionali cu una dintre soluţii

.31 3+ Formulaţi un exerciţiu asemănător.

42. Aduceţi la forma cea mai simplă .22...2222 204810241684 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ Formulaţi un exerciţiu asemănător. 43. Raţionalizaţi numitorul raportului

a) ;41449

2333 ++

b) .253549

12333 +−


44. Demonstraţi că .141331313313 =−−+ Formulaţi un exerciţiu asemănător.

45. Demonstraţi că .3549549 33 =−++ Formulaţi un exerciţiu asemănător. 46. Construiţi o ecuaţie de grad minim cu coeficienţi raţionali cu una dintre soluţii

.32 33 + Formulaţi un exerciţiu asemănător.

47. Calculaţi ,...1111 unde „ ...“ indică faptul că expresia nu se termină. Formulaţi un exerciţiu asemănător.

48. Calculaţi ,...101010103 3 3 3 unde „ ...“ indică faptul că expresia nu se

termină, iar n ∈ N*. Formulaţi un exerciţiu asemănător.


49. Calculaţi ,...nnnn unde „ ...“ indică faptul că expresia nu se termină, iar

n ∈ N*. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 50. Aduceţi la forma cea mai simplă (radicalii se repetă de 2004 ori)

−++++++++ 347335335...33545

.347335335...33545 −+−+−+−+

51. Eliminaţi radicalii compuşi şi aduceţi la forma cea mai simplă: a) ;549− b) .13313−


.99002199

1...1227

1625

1223

1+

+++

++

++



1. Calculaţi: a) ;10003 − b) .7296

2. Aflaţi numerele reale pentru care:

a) ;7 7 aa = b) .12 12 aa −= 3. Introduceţi factori sub radical:

a) ;343 b) .434− 4. Scoateţi factori de sub radical:

a) ;)353(3 53−

b) .)524(6 8− 5. Aduceţi la forma cea mai simplă:

a) ;)11( 47 2 b) .)13( 720 3 6. Aduceţi la forma cea mai simplă:

a) ;)53(3 6 2643 −

b) .)11(8 10−

7. a) Aduceţi la forma cea mai sim-plă .4 33 2 xx ⋅

b) Raţionalizaţi numitorul rapor-

1. Calculaţi: a) ;10000003 − b) .2564

2. Aflaţi numerele reale pentru care:

a) ;8 8 aa −= b) .11 11 aa = 3. Introduceţi factori sub radical:

a) ;525 b) .326− 4. Scoateţi factori de sub radical:

a) ;)92(5 73−

b) .)265(4 6− 5. Aduceţi la forma cea mai simplă:

a) ;)10( 411 3 b) .)7( 524 5 6. Aduceţi la forma cea mai simplă:

a) ;)53(5 4 2254 −

b) .)13(10 12−

7. a) Aduceţi la forma cea mai simplă .3 24 5 xx ⋅

b) Raţionalizaţi numitorul rapor-


tului .711

4−

8. Raţionalizaţi raportul:

a) ;1013

333 −

b) .933121

14333 +−

9. Aduceţi la forma cea mai simplă: )23)(23)(469( 121266333 ++++

).23...( 4848 +

tului .713

6−

.711

4−

8. Raţionalizaţi raportul:

a) .1015

533 −

b) .426169

15333 +−

9. Aduceţi la forma cea mai simplă: )34)(34)(91216( 121266333 ++++

).34...( 9696 + Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.

2. P u t e r i c u e x p o n e n t r a ţ i o n a l

1. Scrieţi folosind puteri întregi:

a) ;38x

b) ;517z

c) ;1224y

d) ;2436x

e) ;4131y

f) .5346t

2. Scrieţi cât mai simplu folosind puterile cu exponent întreg: a) x–3y7x15y–17; b) x–27y39x49y–81; c) x–47y57x63y–32; d) x–55y28x81y–17; e) x–47y23x68y–13; f) x–75y64x94y–53.

3. Scrieţi cu ajutorul puterilor raţionale: a) ;35 7 b) ;36 9 c) ;57 9 d) ;810 11 e) ;913 11 f) .1217 9

4. Scrieţi 3 fracţii cu numitorii pari, echivalente cu:

a) ;53 b) ;

97 c)

118 d) ;

1311 e) ;

1712 f) .

1913

5. Scrieţi cu ajutorul puterilor raţionale: a) ;9212 13 b) ;1614 11 c) ;8216 33 d) ;7320 19 e) ;5424 17 f) .5528 25

6. Aflaţi numerele reale pentru care are sens:

a) ;)2( 93

−x b) ;)5( 117

+x c) ;)7( 73

−x

d) ;)11( 179

+x e) ;)21( 193

+x f) .)23( 215

−x 7. Aflaţi numerele reale pentru care are sens:

a) ;)24( 157

−−x b) ;)17( 19

9−

+x c) ;)26( 3511

−−x

d) ;)29( 3517

−+x e) ;)22( 39

11−

−x f) .)22( 2313

−+x



a) ;)46( 2011

−+x b) ;)49( 18

13−

−x c) ;)38( 3241

−+x

d) ;)76( 3433

−−x e) ;)35( 36

35−

+x f) .)77( 4017

−−x

9. Convertiţi în radical:

a) ;13 283

− b) ;17 22

5−

c) ;16 647

−

d) ;15 325

− e) ;12 38

9−

f) .20 4015

−

10. Scrieţi cu ajutorul puterilor raţionale: a) ;311 9− b) ;721 31− c) ;1225 11− d) ;923 15− e) ;917 5− f) .1429 25−


a) ;842 148

34

73

⋅⋅ b) ;2793 203

152

52

⋅⋅ c) ;125255 1811

127

65

⋅⋅

d) ;216366 187

125

94

⋅⋅ e) ;343497 3611

127

85

⋅⋅ f) .729819 335

227

113

⋅⋅ 12. Aduceţi la forma cea mai simplă:

a) ;81:9 1211

85

b) ;49:7 2014

1513

c) ;36:6 87

1615

d) ;9:3 3017

2017

e) ;16:4 3516

149

f) .100:10 2623

1317


a) ;9:3 5 7117

b) ;8:4 6 5158

c) ;25:5 39 41311

d) ;36:6 14 573

e) ;81:9 27 897

f) .49:7 18 1565


a) ;)5( 95

73

b) ;)3( 82

94

c) ;)7( 1310

1511

d) ;)6( 1712

1813

e) ;)8( 185

199

f) .)9( 139

1211


a) ;)53( 187

43

92

⋅ b) ;)53( 354

187

125

⋅ c) ;)87( 307

125

116

⋅

d) ;)911( 225

2011

83

⋅ e) ;)1213( 116

154

1411

⋅ f) .)53( 367

134

119

⋅ 16. Rezolvaţi în R ecuaţia:

a) ;5 353

xx = b) ;7 373

xx = c) ;9 595

xx =

d) ;11 7117

xx = e) ;13 111311

xx = f) .15 7157

xx = 17. Rezolvaţi în R ecuaţia:

a) ;0)( 7 3143

2 =+ xx b) ;0)( 11 7227

2 =+ xx c) ;0)( 15 113011

2 =+ xx

d) ;0)( 19 7387

2 =+ xx e) ;0)( 23 5465

2 =+ xx f) .0)( 25 215021

2 =+ xx


18. Construiţi ecuaţia de grad minim, cu coeficienţi raţionali şi cu soluţia reală: a) ;57 b) ;95 c) ;1611 d) ;1113 e) ;2115 f) .3219

19. Construiţi ecuaţia de grad minim, cu coeficienţi raţionali şi cu soluţia reală:

a) ;1791

b) ;3191

c) ;29151

d) ;54291

e) ;43231

f) .75391


a) );3)(3( 21

21

21

21

yxyx −+ b) );25)(25( 21

21

21

21

−+ xx

c) );7)(7( 21

21

21

21

−+ xx d) );32)(32( 21

21

21

21

−+ xx

e) );6)(6( 21

21

21

21

−+ xx f) ).37)(37( 21

21

21

21

−+ xx 21. Aduceţi la forma cea mai simplă:

a) );1525)(15( 31

32

31

++− xxx b) );42)(2( 31

32

31

++− xxx

c) );93)(3( 31

32

31

++− xxx d) );164)(4( 31

32

31

++− xxx

e) );255)(5( 31

32

31

++− xxx f) ).366)(6( 31

32

31

++− xxx 22. Aduceţi la forma cea mai simplă:

a) );16129)(43( 31

32

31

+−+ xxx b) );41025)(25( 31

32

31

+−+ xxx

c) );964)(32( 31

32

31

+−+ xxx d) );16205)(45( 31

32

31

+−+ xxx

e) );25159)(53( 31

32

31

+−+ xxx f) ).216305)(65( 31

32

31

+−+ xxx

23. Scrieţi ca putere cu exponent raţional: a) ,)1(19 9−x x < 1; b) ,)83(11 5−x x ∈ R. Formulaţi un exerciţiu asemănător.

24. Stabiliţi dacă sunt raţionale numerele:

a) ;10303013 b) .0011004006004 41

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

25. Rezolvaţi în R ecuaţia:

a) ;)12()12( 11 11115

−=− xx b) .0)35(])53[( 15 133013

2 =−−− xx Formulaţi un exerciţiu asemănător.

26. Dezvoltaţi:

a) ;)53( 221

21

yx + b) .)67( 221

21

yx − Formulaţi un exerciţiu asemănător.


27. Aflaţi numerele raţionale a pentru care este număr raţional:

a) ;1,540135 33 ++ a b) .2,654250 31

31

−⋅− a Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.


).15)(15)(15)...(15)(15)(15( 21

41

81

641

1281

2561

−−−−−− Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

29. Scrieţi cu ajutorul puterilor cu exponent raţional .)512()87(12 85 zxyx +−− Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

30. Aduceţi la forma cea mai simplă ).1)(1( 61

62

63

64

65

61

+++++− xxxxxx Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

31. Aduceţi la forma cea mai simplă ).1)(1( 71

72

73

74

75

76

71

+−+−+−+ xxxxxxx Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

32. Decideţi dacă există numere întregi x pentru care:

a) 32113

++

xx ∈ N; b)

41

3307

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

xx ∈ N.

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 33. Decideţi dacă există numere întregi x pentru care:

a) are sens ;5257

++

xx

b) 438

13 +−

xx

are exponentul întreg. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

34. Rezolvaţi în R inecuaţia

[ ] [ ] .75,0256)59(8)85( 41

231

2 ≥+−++−−−

yx Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

35. Aduceţi la forma cea mai simplă .... 5121

161

81

41

21

xxxxxx ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

36. Aduceţi la forma cea mai simplă ...811

271

91

31

⋅⋅⋅⋅⋅ xxxxx Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

37. Fie numerele 6, 28 şi 496. Aflaţi valoarea de adevăr a relaţiei 2222 61

31

21

=⋅⋅ şi construiţi două relaţii asemănătoare.



38. Dezvoltaţi:

a) ;)2( 331

21

yx + b) .)3( 321

31

yx − Formulaţi un exerciţiu asemănător.

39. Decideţi dacă există numere întregi x pentru care:

a) 32

2−−

xxx ∈ N; b)

41

2

344⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−x

xx ∈ N.

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 40. Decideţi dacă există numere întregi x pentru care:

a) are sens ;191244 2

++

xxx

b) 1326 2

73 −−

xxx

are exponentul întreg. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

41. Rezolvaţi în R inecuaţia

[ ] [ ] [ ] .164)75(81)113(216)47( 61

441

231

2 ≥+−++−+++−−−

zyx

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 42. Aflaţi numerele reale a pentru care este număr raţional:

a) ;2,580)45(405 424 −−++ aa b) .13,8192)37(375 31

231

−⋅−−+ aa

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 43. Aflaţi un număr întreg x pentru care:

a) ;523 2x

xx =+ b) .6543 3333 xxx

x =++


1. Scrieţi cu ajutorul puterilor raţio-nale:

a) ;167 3 b) .218 5 2. Aflaţi numerele reale pentru care

are sens:

a) ;)15( 73

−x b) .)9( 115

+x 3. Aflaţi numerele reale pentru care

are sens:

a) ;88 −x b) .)2( 73

−− x

1. Scrieţi cu ajutorul puterilor raţio-nale:

a) ;159 4 b) .2210 3 2. Aflaţi numerele reale pentru care

are sens:

a) ;)34( 119

−x b) .)73( 1511

+x 3. Aflaţi numerele reale pentru care

are sens:

a) ;1212 −x b) .)9( 259

−− x



a) ;55 214

72

⋅ b) .7:7 2013

54


a) ;)5( 653

b) .)11( 85

136


a) ;25 3253

xx =

b) .0)( 15 133013

2 =+ xx 7. Dezvoltaţi:

a) ;)35( 231

−

b) .)57( 331

+ 8. Decideţi dacă există numere în-

tregi x pentru care:

a) are sens ;111565 2

+−

xxx

b) 2319

56 +−

xx

are exponent întreg. 9. Aduceţi la forma cea mai simplă

)...35()35()35()35( 1251

251

51

−−−− xxxx


a) ;66 135

94

⋅ b) .11:11 2711

95


a) ;)7( 4116

b) .)15( 1411

157


a) ;17 5175

xx =

b) .0)( 19 153815

2 =+ xx 7. Dezvoltaţi:

a) ;)43( 231

−

b) .)56( 331

+ 8. Decideţi dacă există numere întregi

x pentru care:

a) are sens ;131757 2

+−

xxx

b) 34112

37 +−

xx

are exponent întreg. 9. Aduceţi la forma cea mai simplă

...)27()27()27( 641

161

41

−−− xxx



C A P I T O L U L III Funcţii

Corespondenţă între mulţimi. Fie mulţimile nevide A şi B. O corespondenţă între mulţimile A şi B este o submulţime (parte) nevidă a produsului cartezian A × B în care apar toate elementele mulţimii A.

Noţiunea de funcţie. Fie mulţimile nevide A şi B. Se numeşte corespondenţă între mulţimile A şi B o submulţime nevidă a produsului cartezian A × B. O funcţie f definită pe mulţimea A cu valori în mulţimea B este o corespondenţă între cele două mulţimi, care asociază fiecărui element al mulţimii A un singur element al mulţimii B. Funcţia f definită pe A cu valori în B se notează f : A → B. Dacă f asociază lui x ∈ A elementul y ∈ B, atunci f(x) = y şi imaginea lui x prin funcţia f este y; x este variabilă independentă, iar y este variabilă dependentă. Elementele unei funcţii sunt: domeniul de definiţie (funcţia f : A → B are domeniul de definiţie A); domeniul valorilor (func-ţia f : A → B are domeniul valorilor B); legea de corespondenţă sau regula de asociere (funcţia f : A → B are legea de corespondenţă f). Mulţimea valorilor funcţiei f este Im f = E(f) = {y ∈ B | y = f(x)}. Graficul funcţiei f este = {(x, y) | y = f(x), x ∈ A} fGsau reprezentarea acestei mulţimi într-un sistem de axe ortogonale. O funcţie numeri-că are domeniul de definiţie şi domeniul valorilor mulţimi de numere.

Moduri de definire a unei funcţii. O funcţie poate fi definită: sintetic (printr-o diagramă, un tabel, un grafic); analitic (o formulă, o regulă etc.).

Funcţii speciale. 1) Funcţia modul f(x) = | x | = 2) Funcţia semn ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>=<−

.0dacă,0dacă,00dacă,

xxxxx

(signum) f(x) = sgn x = 3) Funcţia parte întreagă f(x) = [x], x ∈ R. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>=

<−

.0dacă,10dacă,0

0dacă,1

xx

x

4) Partea neîntreagă sau zecimală f(x) = {x}. Zeroul unei funcţii. Funcţia f are zeroul m, dacă f(m) = 0. Funcţii monotone. Fie funcţia f : A → B. 1) f este crescătoare pe submulţimea C

a mulţimii A, dacă < implică ≤ pentru orice elemente şi 1x 2x )( 1xf ),( 2xf 1x 2xale mulţimii C; 2) f este strict crescătoare pe submulţimea C a mulţimii A, dacă < 1x

2x implică < pentru orice elemente şi ale mulţimii C; 3) f este )( 1xf ),( 2xf 1x 2xdescrescătoare pe submulţimea C a mulţimii A, dacă 1x < 2x implică )( 1xf ≥ ),( 2xf pentru orice elemente şi ale mulţimii C; 4) f este strict descrescătoare pe sub-1x 2xmulţimea C a mulţimii A, dacă < implică > pentru orice elemen-1x 2x )( 1xf ),( 2xfte şi ale mulţimii C; 5) f este monotonă pe submulţimea C a mulţimii A, dacă 1x 2xeste sau crescătoare sau descrescătoarea pe C; 6) f este monotonă dacă C = A.

Teoremă. Fie funcţia f : A → R şi B ⊆ A. 1) Funcţia f este crescătoare (descrescă-

Capitolul III. Funcţii 31

toare) pe mulţimea C dacă şi numai dacă 0)()(

12

12 ≥−−

xxxfxf

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≤

−−

0)()(

12

12

xxxfxf

pentru orice x1 ∈ B, x2 ∈ B, x1 < x2. 2) Funcţia f este strict crescătoare (strict descrescătoare) pe mulţimea C dacă şi

numai dacă 0)()(

12

12 >−−

xxxfxf

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<

−−

0)()(

12

12

xxxfxf

pentru orice x1 ∈ B, x2 ∈ B,

x1 < x2. Funcţii afine. Funcţiile f : R → R, f(x) = ax + b, a şi b numere reale, se numesc

funcţii afine. Funcţiile f : R → R, f(x) = b, b număr real, sunt funcţii constante. Func-ţiile f : R → R, f(x) = ax, a număr real nenul, sunt funcţii liniare. O relaţie de forma y = ax defineşte proporţionalitatea directă cu coeficientul a. Funcţiile f : R → R, f(x) = ax + b, a şi b numere reale, a ≠ 0, sunt funcţii ataşate polinoamelor de gradul I şi se numesc funcţii de gradul I. y = ax + b este ecuaţia unei drepte; a se numeşte coefici-entul unghiular al dreptei.

Funcţia de gradul I. Fie funcţia de gradul I f : R → R, f(x) = ax + b. Atunci: 1) f este strict descrescătoare, dacă a < 0; 2) f este strict crescătoare, dacă a > 0. Semnul funcţiei f este înregistrat în tabelul:

a < 0 a > 0

x −∞ ab

− ∞

x −∞ ab

− ∞

f(x) + + + 0 − − − f(x) − − − 0 + + + Graficul funcţiei afine. Fie funcţia afină f : A → R, A ⊆ R, f(x) = ax + b, a şi b

numere reale. Reprezentarea graficului funcţiei f într-un sistem de axe ortogonale este o mulţime de puncte: 1) conţinută de o dreaptă paralelă cu axa Ox, dacă a = 0; 2) con-ţinută de o dreaptă concurentă cu axa Ox în origine dacă a ≠ 0 şi b = 0; 3) conţinută de o dreaptă concurentă cu axa Ox într-un punct diferit de origine dacă a ≠ 0 şi b ≠ 0.

y = ax + b este ecuaţia dreptei de pantă a.

Funcţii f : R* → R, f(x) =

,xk k ∈ R*. Graficul funcţiei f

este o hiperbolă (vezi desenul din dreapta). 1) Pentru k < 0 funcţia f este strict crescă-toare pe intervalele (−∞, 0) şi (0, ∞). 2) Pentru k > 0 funcţia f este strict descrescătoare

pe intervalele (−∞, 0) şi (0, ∞). Relaţia y = xk defineşte proporţionalitatea directă cu

coeficientul k. Funcţia radical f : [0, ∞) → R, f(x) = .x Funcţia f este strict crescătoare. Gra-


ficul (vezi desenul din dreapta) funcţiei f este simetric graficului funcţiei g : [0, ∞) → R, g(x) = .2x

Paritatea funcţiilor. Funcţia f este pară, dacă f(x) = f(–x). Funcţia f este impară, dacă f(–x) = –f(x).

Funcţia de gradul II. Funcţia ataşată polinomului de gradul II P(X) = aX2 + bX + c, f(x) = ax2 + bx + c se numeşte funcţie de gradul II.

1) Funcţia de gradul II f(x) = ax2 este pară. a) a < 0.

x –' 0 ' f(x) –' % 0 & –'

crescătoare max descrescătoare Graficul funcţiei f este o parabolă cu vârful în origine şi ramurile orientate în jos

(∩).Punctul x = 0 este punctul de maxim al funcţiei f şi fmax = 0. f(x) ∈ (–', 0]. b) a > 0.

x –' 0 ' f(x) ' & 0 % '

descrescătoare min crescătoare Graficul funcţiei f este o parabolă cu vârful în origine şi ramurile orientate în sus

(∪). Punctul x = 0 este punctul de minim al funcţiei f şi fmin = 0. f(x) ∈ [0, '). 2) Funcţia de gradul II f(x) = ax2 + bx + c are forma canonică

.42

)(2

aabxaxf ∆−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

a) a < 0, ∆ > 0.

x –' x1 ab

2− x2 '

f(x) –' % 0 % a4

∆− & 0 & –'

crescătoare max descrescătoare

Graficul funcţiei f este o parabolă cu vârful V ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

−−aa

b4

,2

şi ramurile orientate

în jos (∩). Graficul lui f intersectează axa Ox în punctele (x1, 0) şi (x2, 0). Punctul x =

ab

2− este punctul de maxim al funcţiei f şi fmax =

a4∆

− (> 0). E(f) = ⎥⎦⎤

⎜⎝⎛ ∆

−−a4

,' .

b) a < 0, ∆ = 0.

x –' x1 = a

b2

− = x2 '

f(x) –' % 0 & –'

crescătoare max descrescătoare Graficul funcţiei f este o parabolă tangentă axei Ox în vârful ei, punctul


V ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− 0,

2ab , şi ramurile orientate în jos (∩). Punctul x =

ab

2− este punctul de

maxim al funcţiei f şi fmax = 0. f(x) ∈ (–', 0] sau Im f = E(f) = (–', 0]. c) a < 0, ∆ < 0.

x –' a

b2

− '

f(x) –' % a4

∆− & –'

crescătoare max descrescătoare Graficul funcţiei f este o parabolă ce nu intersectează axa Ox (situată sub axa Ox),

cu vârful V ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− 0,

2ab şi ramurile orientate în jos (∩). Punctul x =

ab

2− este punctul

de maxim al funcţiei f şi fmax = a4

∆− (< 0). f(x) ∈ ⎥⎦

⎤⎜⎝⎛ ∆

−−a4

,' sau Im f = E(f) =

⎥⎦⎤

⎜⎝⎛ ∆

−−a4

,' .

d) a > 0, ∆ > 0.

x –' x1 ab

2− x2 '

f(x) ' & 0 & a4

∆− % 0 % '

descrescătoare min crescătoare

Graficul funcţiei f este o parabolă cu vârful în V ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

−−aa

b4

,2

şi ramurile orien-

tate în sus (∪). Graficul lui f intersectează axa Ox în punctele (x1, 0) şi (x2, 0). Punctul

x = a

b2

− este punctul de minim al funcţiei f şi fmin = a4

∆− (< 0). f(x) ∈ ⎟

⎠⎞

⎢⎣⎡ ∆− ',

4a

sau Im f = E(f) = ⎟⎠⎞

⎢⎣⎡ ∆− ',

4a.

e) a > 0, ∆ = 0.

x –' x1 = a

b2

− = x2 '

f(x) ' & 0 % '

descrescătoare min crescătoare Graficul funcţiei f este o parabolă tangentă axei Ox în vârful ei, punctul

V ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− 0,

2ab , şi ramurile orientate în sus (∪). Punctul x =

ab

2− este punctul de

minim al funcţiei f şi fmin = 0. f(x) ∈ [0, ') sau Im f = E(f) = [0, ').


e) a > 0, ∆ < 0.

x –' x1 ab

2− x2 '

f(x) ' & a4

∆− % '

descrescătoare min crescătoare

Graficul funcţiei f este o parabolă cu vârful V ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

−−aa

b4

,2

şi ramurile orientate

în sus (∪). Graficul lui f nu intersectează axa Ox (se află deasupra axei Ox). Punctul x

= a

b2

− este punctul de minim al funcţiei f şi fmin = a4

∆− (> 0). f(x) ∈ ⎟

⎠⎞

⎢⎣⎡ ∆− ',

4a.

Semnul funcţiei de gradul II. Fie funcţia de gradul II f(x) = ax2 + bx + c. a) ∆ > 0.

x –' x1 x2 ' f(x) semn a 0 semn (–a) 0 semn a

b) ∆ = 0. x –' x1 = x2 '

f(x) semn a 0 semn a c) ∆ < 0.

x –' ' f(x) semn a

Translaţia unei parabole. Prin translaţia de vector (m, n) a parabolei y = ax2 + bx + c se obţine parabola y = a(x – m)2 + b(x – m) + c + n etc.

Funcţia putere. Fie polinomul de gradul III P(X) = aX3 + bX2 + cX + d. Funcţia f(x) = ax3 + bx2 + cx + d ataşată polinomului de gradul III este funcţia de gradul III. Analog se defineşte funcţia de gradul IV.

a) Funcţia f : R → R, f(x) = x3.

x –' –2 –1 0 1 2 ' f(x) – ' % –8 % –1 % 0 % 1 % 8 % '

Funcţia f este strict crescătoare. Graficul ei intersectează axa Ox în origine. Deoarece f este funcţie impară, graficul ei este simetric faţă de originea sistemului de coordonate.

b) Funcţia f : R → R, f(x) = x4.

x –' –2 –1 0 1 2 ' f(x) – ' & 16 & 1 & 0 % 1 % 16 % '

descrescătoare min crescătoare Funcţia f este strict descrescătoare pe (–', 0) şi este crescătoare pe (0, '). Graficul

ei intersectează axa Ox în origine. Deoarece f este funcţie pară, graficul ei este simetric faţă de axa Oy.


1. N o ţ i u n e a d e f u n c ţ i e

1. Enumeraţi domeniul de definiţie şi mulţimea valorilor funcţiei care asociază fie-cărui număr natural cifra:

a) miilor lui; b) unităţilor lui; c) sutelor lui; d) zecilor de mii; e) sutelor de mii; f) milioanelor lui.

2. Enumeraţi domeniul de definiţie şi mulţimea valorilor funcţiei care asociază fie-cărui număr real cifra:

a) zecimilor lui; b) sutimilor lui; c) miimilor lui; d) zecimilor de miimi; e) sutimilor de miimi; f) milionimilor de miimi.

3. Precizaţi domeniul maxim de definiţie al unei funcţii (polinomiale) de gradul: a) VI; b) I; c) II; d) III; e) IV; f) V.

4. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f : D → R, cu:

a) f(x) = ;17

5−x

b) f(x) = ;56

9,3+x

c) f(x) = ;18

1,7−x

d) f(x) = ;114

3,8−x

e) f(x) = ;79

6,13+x

f) f(x) = .311

7,21+x


a) f(x) = ;156

32 +− xx

b) f(x) = ;1712

52 ++ xx

c) f(x) = ;143

82 +− xx

d) f(x) = ;168

112 +− xx

e) f(x) = ;1710

122 +− xx

f) f(x) = .176

132 +− xx

6. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f : D → R, cu: a) f(x) = ;757 x− b) f(x) = ;51213 +x c) f(x) = ;13111 −x d) f(x) = ;52117 x− e) f(x) = ;11923 −x f) f(x) = .51425 +x


a) f(x) = ;134

9,531 −x

b) f(x) = ;413

3,173 −x

c) f(x) = ;314

5,65 −x

d) f(x) = ;2111

4,189 +x

e) f(x) = ;524

12,511 −x

f) f(x) = .916

2,3513 −x


a) f(x) = ;178

351 2 −− xx

b) f(x) = ;1718

123 2 −− xx

c) f(x) = ;1710

511 2 −− xx

d) f(x) = ;1744

321 2 −− xx

e) f(x) = ;1760

4519 2 −− xx

f) f(x) = .1742

317 2 −− xx

9. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f : D → R, cu: a) f(x) = ;11616 x− b) f(x) = ;3136 −x c) f(x) = ;6198 x− d) f(x) = ;91410 −x e) f(x) = ;23912 x− f) f(x) = .52214 x−



a) f(x) = ;1112

1320 x−

b) f(x) = ;215

324 x−

c) f(x) = ;165

546 +x

d) f(x) = ;149

138 x−

e) f(x) = ;326

1310 −x

f) f(x) = .433

1418 −x

11. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f : D → R, cu: a) f(x) = ;21712 x− b) f(x) = ;34193 +x c) f(x) = ;46135 +x d) f(x) = ;78139 −x e) f(x) = ;52231 −x f) f(x) = .16524 x−


a) f(x) = ;)829( 193

x− b) f(x) = ;)832( 317

−x c) f(x) = ;)3715( 3111

−x

d) f(x) = ;)145( 2915

−x e) f(x) = ;)427( 3331

x− f) f(x) = .)3411( 4137

x− 13. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f : D → R, cu:

a) f(x) = ;)274( 533

−− x b) f(x) = ;)512( 47

11−

− x c) f(x) = ;)261( 4337

−−x

d) f(x) = ;)391( 7773

−− x e) f(x) = ;)845( 51

21−

− x f) f(x) = .)665( 3529

−− x


a) f(x) = ;])152[( 1311

2 −−x b) f(x) = ;])421[( 27

252 −

− x c) f(x) = ;])537[( 4139

2 −− x

d) f(x) = ;])711[( 5751

2 −−x e) f(x) = ;])519[( 61

532 −

−x f) f(x) = .])329[( 3319

2 −−x

15. Recunoaşteţi care dintre diagrame definesc funcţii.

a) b) c) d) e) f)

abc

139 9 9 9 9 9

abc

abc

abc

abc

abc

13

13

13

13

13

a) b) c) d) e) f)

abc

139 9 9 9 9 9

abc

abc

abc

abc

abc

13

13

13

13

13

16. Examinaţi graficele şi recunoaşteţi care dintre ele definesc funcţii.

a) b) c) d) e) 17. Recunoaşteţi care dintre graficele de mai jos definesc funcţii.

x

y

O O OOx

y

x

y

x

y

O x

y

a) b) c) d) e)

x

y

O O OOx

y

x

y

x

y

O x

y

a) b) c) d) e)


18. Examinaţi desenul şi identificaţi o funcţie: constantă, nemonotonă, monoton descrescătoare, strict crescătoare.

y

x x

y

OO

a) b)

xO

c)

x

y

O

d)

g

h

if

19. Reproduceţi tabelul de valori şi completaţi-l cu săgeţi care indică faptul că func-

ţia este strict crescătoare sau strict descrescătoare pe un interval. x −5 2 9 x −8 2 10

f(x) 8 14 21 g(x) −1 −2 –4

x −10 –2 3 x −9 −5 9 h(x) –4 5 1 i(x) −2 −1 3

x −7 0 1 x −9 −5 9 j(x) 4 2 −1 k(x) −2 −1 3

20. Reproduceţi tabelul de valori şi completaţi-l cu săgeţi care indică faptul că func-ţia este strict crescătoare sau strict descrescătoare pe un interval.

x −∞ 3 16 x −∞ 6 22 f(x) −∞ −1 25 g(x) −∞ −9 −38

x −∞ 0 56 x −∞ 10 74 h(x) ∞ –2 8 i(x) ∞ −21 11

x −∞ 0 42 x −∞ –5 32 h(x) –∞ 11 –3 i(x) 1 11 '

21. Reproduceţi tabelul de valori şi completaţi-l cu săgeţi care indică faptul că func-ţia este strict crescătoare sau strict descrescătoare pe un interval.

x −∞ 18 ' x −∞ 3 ' f(x) −∞ 3 ' g(x) −∞ 9 −'

x −∞ 6 ' x −∞ 29 ' h(x) ∞ 32 –' i(x) ∞ −8 –'

x −∞ 1 ' x −∞ 16 ' h(x) –∞ 13 ' i(x) –' 11 –'

22. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi intersecţiile cu axa Ox (zerourile) funcţiei f, dacă: a) f(x) = 2 – 12x; b) f(x) = 11 – 33x; c) f(x) = 8 – 24x; d) f(x) = 13 – 39x; e) f(x) = 15 – 45x; f) f(x) = 18 – 5x.

23. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi intersecţiile cu axa Ox (zerourile) funcţiei f, dacă: a) f(x) = x2 – 12x + 20; b) f(x) = x2 – 9x + 20; c) f(x) = x2 – 11x + 28;


d) f(x) = x2 – 11x + 30; e) f(x) = x2 – 13x + 42; f) f(x) = x2 – 13x + 30. 24. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi zerourile funcţiei f, dacă:

a) f(x) = | 6x – 15 |; b) f(x) = | 7x – 14 |; c) f(x) = | 8x – 16 |; d) f(x) = | 9x – 27 |; e) f(x) = | 5x – 35 |; f) f(x) = | 6x – 62 |.

25. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi intersecţiile cu axa Ox (zerourile) funcţiei f, dacă: a) f(x) = | x2 – 14x – 40 |; b) f(x) = | x2 – 14x – 51 |; c) f(x) = | x2 – 14x – 72 |; d) f(x) = | x2 – 14x – 95 |; e) f(x) = | x2 – 14x – 32 |; f) f(x) = | x2 – 14x – 120 |.

26. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi intersecţia cu axa Oy a graficului funcţiei f, dacă: a) f(x) = 24 – 12x; b) f(x) = 19 – 57x; c) f(x) = 14 – 42x; d) f(x) = 56 – 28x; e) f(x) = 21 – 63x; f) f(x) = 16 – 48x.

27. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi intersecţia cu axa Oy a graficului funcţiei f, dacă: a) f(x) = x2 – 3x – 70; b) f(x) = x2 – 4x – 96; c) f(x) = x2 – 5x + 84; d) f(x) = x2 – 6x – 55; e) f(x) = x2 – 7x – 42; f) f(x) = x2 – 8x – 33.

28. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi semnul funcţiei f, dacă: a) f(x) = 12x + 3; b) f(x) = 15x – 3; c) f(x) = 18x + 3; d) f(x) = 9x – 54; e) f(x) = 4x + 16; f) f(x) = 5x + 25.

29. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi semnul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –3x + 27; b) f(x) = –2x – 8; c) f(x) = –4x + 12; d) f(x) = –5x – 20; e) f(x) = –6x + 24; f) f(x) = –7x – 28.

30. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi paritatea funcţiei f, dacă: a) f(x) = 8,2x; b) f(x) = 1,3x; c) f(x) = 2,5x; d) f(x) = 7,3x; e) f(x) = 9,3x; f) f(x) = 10,4x.

31. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi paritatea funcţiei f, dacă: a) f(x) = –2,6x; b) f(x) = –5,2x; c) f(x) = –3,7x; d) f(x) = –4,1x; e) f(x) = –6,4x; f) f(x) = –8,5x.

32. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi paritatea funcţiei f, dacă: a) f(x) = 2x2 – 3x; b) f(x) = 3x2 – 7x; c) f(x) = 4x2 – 9x; d) f(x) = 7x2 – 11x; e) f(x) = 13x2 – 8x; f) f(x) = 15x2 – 13x.

33. Aflaţi panta dreptei de ecuaţia: a) y = 3x – 11; b) y = –13x – 2; c) y = 4x + 17; d) y = –8x – 9; e) y = –19x + 8; f) y = –6x – 15.

34. Aflaţi mulţimea valorilor funcţiei, dacă există, care asociază numărului 152n, n ∈ N, ultima sa cifră.

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 35. Aflaţi mulţimea valorilor funcţiei, dacă există, care asociază numărului 243n,

n ∈ N, ultima sa cifră. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 36. Aflaţi mulţimea valorilor funcţiei, dacă există, care asociază numărului 347n,

n ∈ N, ultima sa cifră. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 37. Aflaţi mulţimea numerelor reale ale lui m pentru care funcţia f : R → R cu:

a) f(x) = (3m – 2)x + 6 este crescătoare;


b) f(x) = (7m – 3)x – 4 este strict descrescătoare. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 38. Aflaţi mulţimea numerelor reale ale lui m pentru care funcţia f : R → R cu:

a) f(x) = (4m2 – 3m – 1)x + 2 este constantă; b) f(x) = (2m – 7)x – 4 este constantă.

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 39. Aflaţi numărul real m pentru care funcţia f : R → R cu:

a) f(x) = 2x + 3m2 – 2m + 1 are zeroul 1; b) f(x) = 5x + 4m2 – 3m + 6, dacă graficul ei intersectează Oy în (0, 7).


40. Aflaţi numărul funcţiilor f : A → B, dacă: a) card A = 3 şi card B = 2; b) card A = 2 şi card B = 3.

41. Examinând rezultatele exerciţiului anterior, aflaţi numărul funcţiilor f : A → B, dacă:

a) card A = 2 şi card B = 5; b) card A = n şi card B = k. 42. Fie funcţia f : N* → N, f(n) este restul împărţirii numărului 232n la 100. Aflaţi

Im f = E(f). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 43. Fie funcţia f : N* → N, f(n) este restul împărţirii numărului 51763n la 1000.

Aflaţi numărul maxim de elemente al mulţimii Im f = E(f). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 44. Fie funcţia f : Z → N, f(n) este restul împărţirii numărului n la 9. Aflaţi numărul

de elemente al mulţimii Im f = E(f) şi aflaţi f(–378), f(–4629), f(–38932). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 45. Fie corespondenţa între mulţimea R şi ea însăşi, definită de regula f(x) + f(2 − x)

= 2x2 – 1. Decideţi dacă f este o funcţie. Formulaţi un exerciţiu asemănător.


1. Aflaţi domeniul maxim de defini-ţie în R al funcţiei f : D → R, cu

f(x) = .149

42 +− xx


f(x) = .1627

7,211 2 −− xx


f(x) = .71522 x−

1. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f : D → R, cu

f(x) = .2411

32 +− xx


f(x) = .1730

6,113 2 −− xx


f(x) = .91326 x−



f(x) = .)1411( 135

x− 5. Aflaţi domeniul maxim de defini-

ţie în R al funcţiei f : D → R, cu

f(x) = .)253( 5319

−− x


f(x) = .])512[( 3531

2 −− x

7. Reproduceţi tabelul de valori şi completaţi-l cu săgeţi care indică faptul că funcţia este strict crescătoare sau strict descrescătoare pe un interval. x –' 2 ' f(x) ' –5 '

8. Aflaţi mulţimea numerelor reale ale lui m pentru care funcţia f : R → R cu:

a) f(x) = (5m – 9)x + 11 este cres-cătoare;

b) f(x) = (9m – 11)x – 3 este strict descrescătoare.

9. Fie corespondenţa între mulţimea R şi ea însăşi, definită de regula f(x) +

f(3 − x) = 4x2 – 1. Decideţi dacă f este o funcţie.


f(x) = .)1217( 157

x− 5. Aflaţi domeniul maxim de definiţie

în R al funcţiei f : D → R, cu

f(x) = .)236( 5521

−− x


f(x) = .])613[( 3733

2 −− x

7. Reproduceţi tabelul de valori şi completaţi-l cu săgeţi care indică faptul că funcţia este strict crescătoare sau strict descrescătoare pe un interval. x –' 1 ' f(x) –' 11 –'

8. Aflaţi mulţimea numerelor reale ale lui m pentru care funcţia f : R → R cu:

a) f(x) = (8m – 13)x + 9 este crescă-toare;

b) f(x) = (11m – 13)x – 5 este strict descrescătoare.

9. Fie corespondenţa între mulţimea R şi ea însăşi, definită de regula f(x) +

f(5 − x) = 2x2 – 1. Decideţi dacă f este o funcţie.


T e s t d e c a p a c i t ă ţ i

1. Reprezentaţi prin diagrame toate funcţiile f : {0, 1, 3} → {4, 8}. 2. Decideţi dacă există funcţii f : R → R, cu proprietatea f(x) + 2f(1− x) = 5x – 2. 3. Fie funcţia f : R → R, f(x) = sgn (3 – 4x). Explicitaţi expresia funcţiei f. 4. Fie funcţia f : N* → N, f(n) este restul împărţirii numărului 62347n la 1000.

Aflaţi numărul maxim de elemente al mulţimii Im f = E(f).

Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 2,25 puncte. Timp de lucru efectiv: 45 minute.


2. F u n c ţ i i n u m e r i c e

1. Construiţi tabelul de valori şi graficul funcţiei: a) f : {2, 4, 6} → R, f(x) = –2; b) f : {1, 4, 7} → R, f(x) = 1; c) f : {–6, –4, –2} → R, f(x) = –3; d) f : {–5, –3, –1} → R, f(x) = –4.

2. Construiţi tabelul de valori şi graficul funcţiei: a) f : {0, 2, 4} → R, f(x) = 0,5x; b) f : {0, 4, 8} → R, f(x) = –0,25x; c) f : {–5, –3, –1} → R, f(x) = 2x; d) f : {–8, –6, –4} → R, f(x) = 0,5x.

3. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi semnul funcţiei f, dacă: a) f(x) = 3x − 2; b) f(x) = 5x – 3; c) f(x) = 3x – 6; d) f(x) = 2x – 4; e) f(x) = 4x – 2; f) f(x) = 2x – 7.

4. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi semnul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –2x + 5; b) f(x) = –3x – 9; c) f(x) = –5x + 4; d) f(x) = –5x – 5; e) f(x) = –4x – 6; f) f(x) = –2x – 9.

5. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi monotonia funcţiei f, dacă: a) f(x) = 0,4x − 11; b) f(x) = 2,5x – 7; c) f(x) = 3,1x – 8; d) f(x) = 4,6x – 12; e) f(x) = 0,3x – 13; f) f(x) = 0,8x – 13.

6. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi monotonia funcţiei f, dacă: a) f(x) = –0,2x + 3; b) f(x) = –0,5x – 8; c) f(x) = –2,9x + 5; d) f(x) = –3,4x – 23; e) f(x) = –6,7x + 3,4; f) f(x) = –5,8x + 7,3.

7. Fie funcţia f : R → R. Construiţi tabelul de valori (intersecţiile cu axele, monoto-nia) şi graficul funcţiei f, dacă:

a) f(x) = 0,25x + 1; b) f(x) = 0,5x – 2; c) f(x) = 0,2x + 1; d) f(x) = 0,4x – 2; e) f(x) = 0,75x + 3; f) f(x) = 0,8x – 4.

8. Fie funcţia f : (–1, ') → R. Construiţi tabelul de valori (intersecţiile cu axele, monotonia) şi graficul funcţiei f, dacă:

a) f(x) = –0,2x + 1; b) f(x) = –0,5x – 1; c) f(x) = –0,4x + 2; d) f(x) = –0,25x – 1; e) f(x) = –0,8x + 4; f) f(x) = –0,75x – 3.

9. Fie funcţia f : (–1, 6] → R. Construiţi tabelul de valori şi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –x + 1; b) f(x) = x – 2; c) f(x) = –x + 2; d) f(x) = x – 3; e) f(x) = –x + 3; f) f(x) = x – 4.

10. Fie funcţia f : D → R, D domeniul maxim de definiţie al funcţiei f în R. Con-struiţi tabelul de valori (vezi rezolvarea itemului a)) şi graficul funcţiei f, dacă:

a) f(x) = ;2

1−x

b) f(x) = ;1

1−x

c) f(x) = ;1

1+x

d) f(x) = ;2

1+x

e) f(x) = ;3

1−x

f) f(x) = .3

1+x


a) f(x) = ;3

1−

−x

b) f(x) = ;1

1+

−x

c) f(x) = ;1

1−

−x


d) f(x) = ;2

1+

−x

e) f(x) = ;2

1−

−x

f) f(x) = .3

1+

−x


a) f(x) = ;3

1|| +x

b) f(x) = ;1

1|| +x

c) f(x) = ;2

1|| +x

d) f(x) = ;1

1|| −x

e) f(x) = ;2

1|| −x

f) f(x) = .3

1|| −x


a) f(x) = ;3

1|| −

−x

b) f(x) = ;2

1|| −

−x

c) f(x) = ;1

1|| −

−x

d) f(x) = ;3

1|| +

−x

e) f(x) = ;2

1|| +

−x

f) f(x) = .1

1|| +

−x


a) f(x) = ;3−x b) f(x) = ;1+x c) f(x) = ;2+x d) f(x) = ;3+x e) f(x) = ;2−x f) f(x) = .1−x


a) f(x) = ;3 x− b) f(x) = ;1 x− c) f(x) = ;2 x− d) f(x) = ;3 x−− e) f(x) = ;2 x−− f) f(x) = .1 x−−


a) f(x) = ;3 || −x b) f(x) = ;1 || −x c) f(x) = ;2 || −x

d) f(x) = ;3 || +x e) f(x) = ;2 || +x f) f(x) = .1 || +x 17. Fie funcţia f : R → R. Construiţi tabelul de valori (vezi rezolvarea itemului a))

şi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = | 3x |; b) f(x) = | x |; c) f(x) = | 2x |; d) f(x) = | 0,5x |; e) f(x) = | 0,25x |; f) f(x) = | 0,2x |.

18. Fie funcţia f : R → R. Construiţi tabelul de valori (vezi rezolvarea itemului a)) şi graficul funcţiei f, dacă:

a) f(x) = | x – 3 |; b) f(x) = | x + 1 |; c) f(x) = | x – 1 |; d) f(x) = | x – 2 |; e) f(x) = | x + 3 |; f) f(x) = | x + 2 |.


a) f(x) = – | x + 3 |; b) f(x) = – | x – 1 |; c) f(x) = – | x – 1 |; d) f(x) = – | x + 2 |; e) f(x) = – | x – 3 |; f) f(x) = – | x + 2 |.



a) f(x) = b) f(x) = ⎩⎨⎧

∈−−∈

);,2(ă,3]2,(ă,1

''

xx

dac

dac

⎩⎨⎧

∈−−∈

);,1(ă,1]1,(ă,3

''

xx

dac

dac

c) f(x) = d) f(x) = ⎩⎨⎧

∈−−∈

);,3(ă,2]3,(ă,1

''

xx

dac

dac

⎩⎨⎧

∈−−∈

);,4(ă,1]4,(ă,2

''

xx

dac

dac

e) f(x) = f) f(x) = ⎩⎨⎧

∈−−∈

);,5(ă,2]5,(ă,4

''

xx

dac

dac

⎩⎨⎧

∈−−∈

).,6(ă,4]6,(ă,1

''

xx

dac

dac


a) f(x) = b) f(x) = ⎩⎨⎧

−∈−−−∈);,1(ă,1

]1,(ă,'

'xxx

dac

dac

⎩⎨⎧

∈−∈

);,1(ă,1]1,(ă,

''

xxx

dac

dac

c) f(x) = d) f(x) = ⎩⎨⎧

−∈−−−∈);,2(ă,2

]2,(ă,'

'xxx

dac

dac

⎩⎨⎧

∈−∈

);,2(ă,2]2,(ă,

''

xxx

dac

dac

e) f(x) = f) f(x) = ⎩⎨⎧

−∈−−−∈);,3(ă,3

]3,(ă,'

'xxx

dac

dac

⎩⎨⎧

−∈−−−∈).,4(ă,4

]4,(ă,'

'xxx

dac

dac


a) f(x) = b) f(x) = ⎩⎨⎧

∈−∈−);,3(ă,3

]3,(ă,2''

xxx

dac

dac

⎩⎨⎧

−∈−−∈−

);,1(ă,2]1,(ă,1

''

xxx

dac

dac

c) f(x) = d) f(x) = ⎩⎨⎧

∈−∈−);,2(ă,1

]2,(ă,3''

xxx

dac

dac

⎩⎨⎧

∈−∈−);,3(ă,1

]3,(ă,4''

xxx

dac

dac

e) f(x) = f) f(x) = ⎩⎨⎧

∈−∈−);,3(ă,2

]3,(ă,5''

xxx

dac

dac

⎩⎨⎧

∈−∈−).,1(ă,5

]1,(ă,6''

xxx

dac

dac

23. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi: a) f(x + 5), dacă f(x) = 3x + 1; b) f(x), f(x – 7) = 2x2 – 1.


24. Reprezentaţi grafic funcţia f : R → R, ⎩⎨⎧

−∈+−−∈+

=).,1[ă,32)1,(ă,2

)('

'xx

xxxf

dac

dac

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 25. Fie funcţia f : D → R, D domeniul maxim de definiţie al funcţiei f în R. Con-

struiţi tabelul de valori şi graficul funcţiei f, dacă:

a) f(x) = ;42

1−x

b) f(x) = ;63

1−

−x

c) f(x) = .8

1|4| −x

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 26. Fie funcţia f : D → R, D domeniul maxim de definiţie al funcţiei f în R. Con-

struiţi tabelul de valori şi graficul funcţiei f, dacă:


a) f(x) = ;42 −x b) f(x) = ;36 x− c) f(x) = .124 || −x Formulaţi un exerciţiu asemănător. 27. Fie funcţia f : D → R, D domeniul maxim de definiţie al funcţiei f în R. Con-

struiţi tabelul de valori şi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = | 3x – 6 |; b) f(x) = | –5x – 10 |.

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 28. Construiţi funcţia al cărui grafic este:

a) segmentul închis AB cu A(–3, 5) şi B(4, –3); b) (AB] cu A(–4, –3) şi B(7, 5).


a) [AB cu A(–6, 3) şi B(10, –5); b) (AB cu A(9, 5) şi B(–2, –7).


a) [AB ∪ (AC cu A(–2, 1), B(–10, 1) şi C(3, 2); b) [AB ∪ (CD cu A(–1, 5), B(–8, 2), C(–1, 2) şi D(4, 5).

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 31. Reprezentaţi grafic funcţia f : R → Z:

a) f(x) = sgn (3x − 6); b) f(x) = sgn (–2x + 4). Formulaţi un exerciţiu asemănător.

32. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi: a) f(2x – 3), dacă f(x) = 5x + 2; b) f(x), f(4x – 3) = 3x2 – 2. Formulaţi un exerciţiu asemănător.

33. Reprezentaţi grafic funcţia f : D → N, (D domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f):

a) f(x) = (−2x + 5)⋅sgn (3x − 9); b) f(x) = .43

34|| x

x−

− f(x) = .32

376 2

|| −−−

xxx

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 34. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi f(x), dacă:

a) f(x) + 2f(3 – x) = 3x + 1; b) f(x) + 3f(1 – x) = 2x2 + 1. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 35. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R şi mulţimea valorilor funcţiei f cu f(x)

= − 8x + 3. 2xFormulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 36. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R şi mulţimea valorilor funcţiei f cu f(x)

= − 14x + 64. 2xFormulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.


37. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R şi mulţimea valorilor funcţiei f cu f(x) = x2 − 14x + 64.

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 38. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R şi mulţimea valorilor funcţiei f cu f(x)

= x4 − 26x2 + 98. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 39. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R şi mulţimea valorilor funcţiei f cu f(x)

= x4 − 28x2 + 200. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 40. Explicitaţi funcţia f : R → R, f(x) = max {8x – 11, 2 – 9x}. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 41. Explicitaţi funcţia f : R → R, f(x) = min {9x − 5, 7 – 11x}. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 42. Aflaţi mulţimea valorilor funcţiei definită pe R de formula f(x) = | x4 – 8x + 10 |. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 43. Aflaţi numărul real m pentru care graficul funcţiei f : R → R definită de formula

f(x) = are graficul un unghi. ⎩⎨⎧

∈−−∈−

),2(ă,23]2,(ă,35'

'xxm

xxdac

dac

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 44. Aflaţi numerele reale m şi n pentru care graficul funcţiei f : R → R definită de

formula f(x) = are graficul o linie poligonală. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈−−∈−

−−∈−

),1(ă,24]1,3(ă,

]3,(ă,35

'

'

xxxnmx

xx

dac

dac

dac



1. Reprezentaţi grafic funcţia f : (−', 2] → R, f(x) = 3x – 6.

2. Reprezentaţi grafic funcţia f : R → R, f(x) = –2x + 6.

3. Reprezentaţi grafic funcţia f : [− 4, 2) → R, f(x) = 0,5x − 3.

4. Reprezentaţi grafic pe domeniul său maxim de definiţie în R funcţia

f(x) = .4

5−x

5. Reprezentaţi grafic pe domeniul său maxim de definiţie în R funcţia:

f(x) = .5−x 6. Reprezentaţi grafic funcţia

f : R → R, f(x) = | 6x |.

1. Reprezentaţi grafic funcţia f : (−', 1] → R, f(x) = 2x – 6.

2. Reprezentaţi grafic funcţia f : R → R, f(x) = –4x + 8.

3. Reprezentaţi grafic funcţia f : (−2, 4] → R, f(x) = 0,5x + 2.

4. Reprezentaţi grafic pe domeniul său maxim de definiţie în R funcţia

f(x) = .5

4−x

5. Reprezentaţi grafic pe domeniul său maxim de definiţie în R funcţia:

f(x) = .6−x 6. Reprezentaţi grafic funcţia

f : R → R, f(x) = | 5x |.


7. Reprezentaţi grafic funcţia f :

R → R, f(x) = ⎩⎨⎧

∈−∈−).,4(ă,2

]4,(ă,6''

xxx

dac

dac

8. Construiţi funcţia al cărui grafic este [AB ∪ (CD cu A(–2, 4), B(–5, 3), C(–2, 1) şi D(3, 1).

9. Aflaţi numerele reale m şi n pentru care graficul funcţiei f : R → R definită de formula

f(x) =

are graficul o linie poligonală.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈−−∈−

−−∈−

),3(ă,5]3,1(ă,

]1,(ă,13

'

'

xxxnmx

xx

dac

dac

dac

7. Reprezentaţi grafic funcţia f : R →

R, f(x) = ⎩⎨⎧

∈−∈−).,5(ă,2

]5,(ă,7''

xxx

dac

dac

8. Construiţi funcţia al cărui grafic este (AB ∪ [CD cu A(–3, 2), B(–6, 1), C(–3, 4) şi D(4, 2).

9. Aflaţi numerele reale m şi n pentru care graficul funcţiei f : R → R definită de formula

f(x) = are

graficul o linie poligonală.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈−−∈−

−−∈+

),2(ă,41]2,2(ă,

]2,(ă,12

'

'

xxxnmx

xx

dac

dac

dac


3. F u n c ţ i a d e g r a d u l I I

1. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi intersecţiile graficului lui f cu axele de coordonate, dacă:

a) f(x) = –3x2; b) f(x) = –7x2; c) f(x) = –8x2; d) f(x) = –6x2; e) f(x) = 10x2; f) f(x) = 12x2; g) f(x) = 15x2; h) f(x) = 12x2.

2. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi Im f = E(f) şi studiaţi monotonia funcţiei f, dacă: a) f(x) = –9x2; b) f(x) = –13x2; c) f(x) = –17x2; d) f(x) = –19x2; e) f(x) = 23x2; f) f(x) = 25x2; g) f(x) = 26x2; h) f(x) = 31x2.


a) f(x) = –5x2 + 2; b) f(x) = –3x2 + 8; c) f(x) = –6x2 + 11; d) f(x) = –7x2 + 3; e) f(x) = –8x2 + 3; f) f(x) = –10x2 + 7.

4. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi Im f = E(f) şi studiaţi monotonia funcţiei f, dacă: a) f(x) = x2 – 9; b) f(x) = x2 – 1; c) f(x) = x2 – 4; d) f(x) = x2 – 16; e) f(x) = x2 – 36; f) f(x) = x2 – 49.

5. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi Im f = E(f) şi studiaţi monotonia funcţiei f, dacă: a) f(x) = –9x2 + 4; b) f(x) = –4x2 + 1; c) f(x) = –9x2 + 1; d) f(x) = –16x2 + 1; e) f(x) = –x2 + 25; f) f(x) = –25x2 + 1.


a) f(x) = 3x2 + 7; b) f(x) = 8x2 + 5; c) f(x) = 6x2 + 13; d) f(x) = –12x2 – 1; e) f(x) = –14x2 – 1; f) f(x) = –17x2 – 1.

7. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi Im f = E(f) şi studiaţi monotonia funcţiei f, dacă: a) f(x) = 3x2 + 5; b) f(x) = 5x2 + 4; c) f(x) = 7x2 + 3;


d) f(x) = 9x2 + 1; e) f(x) = 12x2 + 5; f) f(x) = 13x2 + 2. 8. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi intersecţiile graficului lui f cu axele de coordonate,

dacă: a) f(x) = 5x2 + 4x; b) f(x) = 6x2 + 7x; c) f(x) = 8x2 + 3x; d) f(x) = 9x2 + 5x; e) f(x) = 8x2 + 4x; f) f(x) = 12x2 + 3x.


a) f(x) = –2x2 + 9x; b) f(x) = –8x2 + 4x; c) f(x) = –5x2 + 15x; d) f(x) = –12x2 + 8x; e) f(x) = –9x2 + 3x; f) f(x) = –7x2 + 14x.

10. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = 4x2; b) f(x) = 2x2; c) f(x) = 3x2; d) f(x) = 5x2; e) f(x) = 0,5x2; f) f(x) = 0,25x2; g) f(x) = 0,2x2; h) f(x) = 0,4x2.

11. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –2x2; b) f(x) = –0,6x2; c) f(x) = –0,8x2; d) f(x) = –0,2x2; e) f(x) = –0,4x2; f) f(x) = –0,16x2; g) f(x) = –2,4x2; h) f(x) = –0,32x2.

12. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi minimul sau maximul unei funcţiei f, dacă: a) f(x) = 5x2 – 7x; b) f(x) = 6x2 – 11x; c) f(x) = 8x2 – 3x; d) f(x) = 10x2 – 9x; e) f(x) = 13x2 – 7x; f) f(x) = 14x2 – 5x.

13. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi minimul sau maximul unei funcţiei f, dacă: a) f(x) = –21x2 + 5x; b) f(x) = –14x2 – 9x; c) f(x) = –15x2 – 4x; d) f(x) = –3x2 – 10x; e) f(x) = –12x2 – 5x; f) f(x) = –8x2 – 7x.

14. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi Im f = E(f) şi studiaţi monotonia funcţiei f, dacă: a) f(x) = 13x2 – 4x; b) f(x) = 11x2 – 2x; c) f(x) = 7x2 – 6x; d) f(x) = 9x2 – 13x; e) f(x) = 4x2 – 3x; f) f(x) = 8x2 – 9x.

15. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi Im f = E(f) şi studiaţi monotonia funcţiei f, dacă: a) f(x) = –3x2 – 8x; b) f(x) = –5x2 – 6x; c) f(x) = –9x2 – 7x; d) f(x) = –8x2 – 3x; e) f(x) = –6x2 – 5x; f) f(x) = –10x2 – 3x.

16. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = 2x2 – 6x; b) f(x) = 3x2 – 6x; c) f(x) = 4x2 – 8x; d) f(x) = x2 + 3x; e) f(x) = x2 – 4x; f) f(x) = 2x2 – 3x.

17. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –2x2 + 8x; b) f(x) = –3x2 – 9x; c) f(x) = –5x2 – 10x; d) f(x) = –4x2 + 4x; e) f(x) = –x2 – 4x; f) f(x) = –2x2 – 6x.

18. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi minimul sau maximul unei funcţiei f, dacă: a) f(x) = 4x2 – 7x + 1; b) f(x) = 6x2 – 9x + 1; c) f(x) = 8x2 – 5x – 1; d) f(x) = 9x2 – 7x + 1; e) f(x) = 12x2 – 7x + 1; f) f(x) = 14x2 – 5x – 1.

19. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi minimul sau maximul unei funcţiei f, dacă: a) f(x) = –6x2 + 5x + 1; b) f(x) = –8x2 – 9x + 1; c) f(x) = –7x2 – 4x + 2; d) f(x) = –3x2 – 9x + 2; e) f(x) = –3x2 – 4x + 1; f) f(x) = –4x2 – 7x + 3.

20. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi minimul sau maximul unei funcţiei f, dacă: a) f(x) = 6x2 + 7x + 3; b) f(x) = 8x2 – 9x + 3; c) f(x) = 6x2 – 5x + 2; d) f(x) = 4x2 – 6x + 3; e) f(x) = 5x2 – 4x + 1; f) f(x) = 4x2 – 7x + 5.

21. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi minimul sau maximul unei funcţiei f, dacă: a) f(x) = –6x2 + 5x – 3; b) f(x) = –7x2 + 9x – 3; c) f(x) = –6x2 + 5x – 3;


d) f(x) = –2x2 + 5x – 6; e) f(x) = –5x2 + 3x – 1; f) f(x) = –4x2 + 7x – 5. 22. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă:

a) f(x) = x2 – 7x + 12; b) f(x) = x2 – 7x + 10; c) f(x) = x2 – 5x + 6; d) f(x) = x2 – 6x + 5; e) f(x) = x2 – 8x + 15; f) f(x) = x2 – 9x + 20.

23. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –x2 – 3x + 10; b) f(x) = –x2 – 3x + 18; c) f(x) = –x2 – 2x + 15; d) f(x) = –x2 – 2x + 8; e) f(x) = –x2 – x + 6; f) f(x) = –x2 – 2x + 24.

24. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = 2x2 – 3x + 2; b) f(x) = x2 – 3x + 3; c) f(x) = x2 – 2x + 3; d) f(x) = x2 – 2x + 4; e) f(x) = x2 – x + 3; f) f(x) = x2 – 3x + 4.

25. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –3x2 + 3x – 2; b) f(x) = –x2 + 3x – 4; c) f(x) = –x2 – 2x – 5; d) f(x) = –x2 – 2x – 6; e) f(x) = –x2 + x – 4; f) f(x) = –x2 + 4x – 5.

26. Aflaţi coordonatele vârfului parabolei: a) y = x2 – 6x + 4; b) y = x2 – 7x + 5; c) y = x2 – 5x + 3; d) y = x2 – 8x + 5; e) y = x2 – 3x + 5; f) y = x2 – 9x + 21.

27. Aflaţi coordonatele vârfului parabolei: a) y = –2x2 + 5x + 1; b) y = –x2 – 7x + 2; c) y = –x2 – 3x + 3; d) y = –x2 – 9x + 2; e) y = –x2 – 3x + 4; f) y = –x2 – 10x + 2.

28. Aflaţi coordonatele vârfului parabolei: a) y = 3x2 – 7x + 5; b) y = 2x2 – 6x + 5; c) y = 2x2 – 5x + 4; d) y = 4x2 – 8x + 5; e) y = 5x2 – 3x + 1; f) y = 2x2 – 8x + 9.

29. Aflaţi coordonatele vârfului parabolei: a) y = –3x2 + 6x – 5; b) y = –2x2 + 6x – 5; c) y = 2x2 – 5x + 4; d) y = –5x2 + 8x – 4; e) y = –3x2 + 3x – 1; f) y = –3x2 + 8x – 7.

30. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi semnul funcţiei f, dacă: a) f(x) = 2x2 – 5x + 1; b) f(x) = 3x2 – 6x + 1; c) f(x) = 4x2 – 5x + 1; d) f(x) = 3x2 – 7x + 4; e) f(x) = 5x2 – x – 1; f) f(x) = 6x2 – 5x + 1.

31. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi semnul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –2x2 – 3x + 1; b) f(x) = –2x2 – 5x + 3; c) f(x) = –3x2 – 4x + 1; d) f(x) = –3x2 – 6x + 2; e) f(x) = –5x2 – 4x + 1; f) f(x) = –6x2 – 5x + 1.

32. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi semnul funcţiei f, dacă: a) f(x) = 2x2 – 3x + 2; b) f(x) = 2x2 – 4x + 3; c) f(x) = 3x2 – 4x + 2; d) f(x) = 4x2 – 6x + 3 e) f(x) = 5x2 – 4x + 1; f) f(x) = 3x2 – 5x + 3.

33. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi semnul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –2x2 + 3x –3; b) f(x) = –3x2 + 5x – 3; c) f(x) = –3x2 + 4x – 2; d) f(x) = –5x2 – 6x – 2 e) f(x) = –5x2 + 5x – 2; f) f(x) = –4x2 + 5x – 3.

34. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi semnul funcţiei f, dacă: a) f(x) = 4x2 – 12x + 9; b) f(x) = 9x2 – 12x + 4; c) f(x) = 25x2 – 10x + 1; d) f(x) = 4x2 – 20x + 25 e) f(x) = 4x2 – 28x + 49; f) f(x) = 4x2 – 40x + 25.

35. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi semnul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –9x2 + 42x – 49; b) f(x) = –9x2 + 30x – 25; c) f(x) = –25x2 + 30x – 9; d) f(x) = –4x2 + 28x – 49; e) f(x) = –25x2 + 70x – 49; f) f(x) = –25x2 + 60x – 36.


36. Fie funcţia f : R → R. Explicitaţi: a) f(x) = | 5x2 – 8x + 1 |; b) f(x) = | 2x2 – 8x + 1 |; c) f(x) = | 3x2 – 8x + 1 |; d) f(x) = | 4x2 – 8x + 1 |; e) f(x) = | x2 – 7x + 1 |; f) f(x) = | 2x2 – 7x + 1 |.

37. Fie funcţia f : R → R. Explicitaţi: a) f(x) = | –2x2 – 3x + 1 |; b) f(x) = | –2x2 – 4x + 1 |; c) f(x) = | –3x2 – 4x + 1 |; d) f(x) = | –4x2 – 3x + 1 |; e) f(x) = | –3x2 – 5x + 1 |; f) f(x) = | –5x2 – 5x + 1 |.

38. Fie funcţia f : R → R. Explicitaţi: a) f(x) = | 9x2 + 12x + 4 |; b) f(x) = | 4x2 + 12x + 9 |; c) f(x) = | 4x2 + 20x + 25 |; d) f(x) = | 4x2 + 28x + 49 |; e) f(x) = | 25x2 + 20x + 4 |; f) f(x) = | 49x2 + 20x + 4 |.

39. Fie funcţia f : R → R. Explicitaţi: a) f(x) = | –3x2 + 2x – 1 |; b) f(x) = | –4x2 + 5x – 2 |; c) f(x) = | –3x2 + 3x – 2 |; d) f(x) = | –3x2 + 4x – 3 |; e) f(x) = | –5x2 + 6x – 2 |; f) f(x) = | –4x2 + 5x – 3 |.

40. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care f este pozitivă, dacă: a) f(x) = 3x2 + 8x – m; b) f(x) = 4x2 + 6x + m; c) f(x) = 5x2 + 7x – m; d) f(x) = 3x2 + 6x + m; e) f(x) = 2x2 + 5x – m; f) f(x) = 4x2 + 3x + m.

41. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care f este strict pozitivă, dacă:

a) f(x) = 4x2 + 8x – m; b) f(x) = 3x2 + 6x + m; c) f(x) = 9x2 + 2x – m; d) f(x) = 5x2 + 6x + m; e) f(x) = 5x2 + 8x – m; f) f(x) = 6x2 + 6x + m.

42. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care f este negativă, dacă: a) f(x) = –4x2 + 3x – 2m; b) f(x) = –4x2 + 9x + 5m; c) f(x) = –6x2 + 5x – 3m; d) f(x) = –3x2 + 7x + 6m; e) f(x) = –8x2 + 7x – 4m; f) f(x) = –4x2 + 5x + 3m.

43. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care f este strict negativă, dacă:

a) f(x) = –3x2 + 8x – 5m; b) f(x) = –3x2 + 10x + m; c) f(x) = –6x2 + 8x – 4m; d) f(x) = –5x2 + 10x + m; e) f(x) = –9x2 + 8x – 3m; f) f(x) = –6x2 + 10x + m.

44. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care f are semn constant pe R, dacă:

a) f(x) = 3mx2 + 12x – 4; b) f(x) = 2mx2 + 8x + 5; c) f(x) = 2mx2 + 8x – 5; d) f(x) = 5mx2 + 4x + 6; e) f(x) = 4mx2 + 10x – 3; f) f(x) = 8mx2 + 6x + 3.

45. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care f nu are acelaşi semn pe R, dacă:

a) f(x) = 11mx2 + 12x – 4; b) f(x) = 3mx2 + 10x + 3; c) f(x) = 3mx2 + 8x – 5; d) f(x) = 7mx2 + 12x + 2; e) f(x) = 5mx2 + 10x – 3; f) f(x) = 9mx2 + 14x + 1.


46. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care graficul funcţiei f este situat deasupra axei Ox, dacă:

a) f(x) = 9x2 + 8x – (m – 3); b) f(x) = 5x2 + 10x + m – 2; c) f(x) = 7x2 + 8x – (m – 1); d) f(x) = 5x2 + 12x + m – 3; e) f(x) = 5x2 + 8x – (m – 2); f) f(x) = 3x2 + 10x + m – 1.

47. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care graficul lui f este situat sub axa Ox, dacă:

a) f(x) = –9x2 + 12x – (3m –1); b) f(x) = –5x2 + 4x + 3m – 1; c) f(x) = –2x2 + 8x – (2m – 1); d) f(x) = –5x2 + 6x + 2m – 1; e) f(x) = –3x2 + 6x – (2m – 1); f) f(x) = –3x2 + 2x + 3m – 1.

48. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care graficul funcţiei f este tangent axei Ox, dacă:


49. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care graficul funcţiei f este secant axei Ox, dacă:


50. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care graficul funcţiei f este o parabolă cu vârful „în jos“ (sau ramurile orientate „în sus“), dacă:

a) f(x) = (3m – 5)x2 + 16x – 9; b) f(x) = (2m – 3)x2 + 13x + 9; c) f(x) = (2m – 1)x2 + 11x – 2; d) f(x) = (3m – 4)x2 + 14x + 11; e) f(x) = (3m – 2)x2 + 28x – 5; f) f(x) = (4m – 5)x2 + 15x + 13.

51. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care graficul funcţiei f este o parabolă cu vârful „în sus“ (sau ramurile orientate „în jos“), dacă:

a) f(x) = (5m – 4)x2 + 74x – 15; b) f(x) = (2m – 5)x2 + 55x + 1; c) f(x) = (4m – 3)x2 + 34x – 21; d) f(x) = (3m – 6)x2 + 27x + 3; e) f(x) = (2m – 5)x2 + 40x – 33; f) f(x) = (4m – 8)x2 + 33x + 6.

52. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care intersecţia graficului funcţiei f cu axa Oy are ordonata nenegativă, dacă:

a) f(x) = 15x2 + 9x – (6m – 5); b) f(x) = 2x2 + 5x + 4m – 5; c) f(x) = 14x2 + 8x – (2m – 7); d) f(x) = 3x2 + 6x + 8m – 3; e) f(x) = 13x2 + 7x – (3m – 8); f) f(x) = 4x2 + 7x + 10m – 7.

53. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care intersecţia graficului funcţiei f cu axa Oy are ordonata nepozitivă, dacă:

a) f(x) = 16x2 + 13x – (16m – 9); b) f(x) = 11x2 + 7x + 8m – 25; c) f(x) = 22x2 + 9x – (2m – 11); d) f(x) = 12x2 + 3x + 4m – 13; e) f(x) = 25x2 + 10x – (3m – 12); f) f(x) = 13x2 + 9x + 2m – 19.

54. Aflaţi numerele reale m pentru care vârful parabolei se află deasupra axei Ox: a) y = 5x2 + 14x – 9m; b) y = 3x2 + 4x + 3m; c) y = 4x2 + 8x – 3m; d) y = 5x2 + 6x + 4m;


e) y = 9x2 + 4x – 5m; f) y = 6x2 + 2x + 7m. 55. Aflaţi numerele reale m pentru care vârful parabolei se află sub axa Ox:

a) y = 6x2 + 18x – 7m; b) y = 5x2 + 10x + 6m; c) y = 7x2 + 8x – 4m; d) y = 7x2 + 12x + 3m; e) y = 11x2 + 6x – 6m; f) y = 9x2 + 6x + 5m.

56. Aflaţi numerele reale m pentru care vârful parabolei se află deasupra axei Ox: a) y = –10x2 + 12x – 5m; b) y = –13x2 + 2x + 5m; c) y = –9x2 + 10x – 2m; d) y = –11x2 + 4x + 6m; e) y = –8x2 + 2x – 3m; f) y = –7x2 + 6x + 8m.

57. Aflaţi numerele reale m pentru care vârful parabolei se află sub axa Ox: a) y = –11x2 + 16x – 9m; b) y = –8x2 + 2x + 11m; c) y = –9x2 + 4x – 8m; d) y = –6x2 + 4x + 10m; e) y = –7x2 + 8x – 2m; f) y = –4x2 + 8x + 9m.

58. Aflaţi ecuaţia parabolei ce se obţine prin translaţia parabolei: a) y = 4x2 + 3x – 8 de vector (0, –3); b) y = 3x2 + 2x – 1 de vector (0, 4); c) y = 5x2 – 3x + 1 de vector (0, –5); d) y = –6x2 + 2x + 1 de vector (0, 5); e) y = –3x2 + 7x – 2 de vector (0, –9); f) y = 9x2 + 11x – 2 de vector (0, 8).

59. Aflaţi ecuaţia parabolei ce se obţine prin translaţia parabolei: a) y = 8x2 + 5x – 1 de vector (3, 0); b) y = 2x2 + 5x – 1 de vector (–2, 0); c) y = 2x2 – 6x + 1 de vector (1, 0); d) y = –9x2 + 5x + 1 de vector (–1, 0); e) y = –3x2 + 8x – 1 de vector (2, 0); f) y = 3x2 + 5x – 1 de vector (–3, 0).

60. Rezolvaţi ecuaţia: a) | 9x2 + 12x + 1 | = 3; b) f(x) = | 4x2 + 12x – 1 | = 7; c) | 2x2 + 20x + 3 | = 6; d) f(x) = | 4x2 + 28x + 3 | = 8; e) | 5x2 + 20x – 4 | = 11; f) f(x) = | 9x2 + 10x + 2 | = 3.

61. Aduceţi la forma canonică funcţia f : R → R, dacă: a) f(x) = 2x2 + 3x –3; b) f(x) = –4x2 + 5x + 3; c) f(x) = 5x2 + 4x + 2.

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 62. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care f este strict pozitivă,

dacă: a) f(x) = 4x2 + 2(m – 2)x – 3; b) f(x) = 3x2 + (2m – 1)x + m + 1.

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 63. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care f este negativă, dacă:

a) f(x) = 4x2 + 2(m + 3)x – 5m; b) f(x) = 3x2 + 2(2m + 1)x + 4m. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 64. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care f are semn constant,

dacă: a) f(x) = 3x2 + 4(m – 4)x – 4m; b) f(x) = –5x2 + 2(3m – 2)x + 3m.

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 65. Fie funcţia f : R → R, f(x) = (2m + 1)x2 + 2(m – 3)x + 2m. Aflaţi numerele

reale m pentru care graficul funcţiei f nu are puncte comune cu axa Ox. Formulaţi un exerciţiu asemănător.


66. Construiţi funcţia de gradul II al cărui grafic intersectează axele de coordonate în punctele (–18, 0), (–3, 0) şi (0, 6).

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 67. Construiţi funcţia de gradul II cu un zerou –2 şi cu graficul o parabolă de vârf

(2, –16). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 68. Explicitaţi funcţia f : R → R, f(x) = | 4x2 – 12x + 3 | . Formulaţi un exerciţiu asemănător.

69. Construiţi funcţia de gradul II, dacă graficul ei intersectează axa Oy în (0, 6) şi punctul de extrem x = 2,5.

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 70. Aflaţi ecuaţia parabolei ce se obţine prin translaţia parabolei y = 6x2 + 9x – 5 de

vector (2, –3). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 71. Aflaţi ecuaţia parabolei din care se obţine prin translaţia de vector (–3, 2) para-

bola y = 4x2 + 8x – 3. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 72. Aflaţi ecuaţia parabolei ce se obţine prin translaţia de vector (m, n) a parabolei

y = ax2 + bx + c. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 73. Aflaţi numerele reale m şi n pentru care y = 2x2 + 9x – 5 este ecuaţia parabolei

ce se obţine prin translaţia de vector (m, n) a parabolei y = 7x2 – 9. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 74. Reprezentaţi grafic funcţia f : R → R, f(x) = | x2 – 8x + 12 |. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 75. Rezolvaţi grafic în R inecuaţia | x2 – 6x + 8 | ≥ 5. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 76. Rezolvaţi grafic în R inecuaţia | x2 – 2x – 15 | ≥ 3 – x. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 77. Fie mulţimea parabolelor (fascicolul de parabole) y = 3(m – 1)x2 + 2(m + 3)x –

1, m ∈ R. Aflaţi m pentru care parabolele fascicolului au ramurile orientate în sus şi au vârfurile situate deasupra dreptei y = –2.

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 78. Fie fascicolul de parabole y = 2x2 + 3(m – 1)x + 3m – 1, m ∈ R. Arătaţi că toate

parabolele au un punct comun (punct fix). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 79. Fie fascicolul de parabole y = 3x2 + (m – 2)x + m + 1, m ∈ R. Arătaţi că toate

vârfurile parabolelor fascicolului sunt conţinute de o parabolă. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 80. Fie ecuaţia (m – 1)x2 + 2(m – 3)x – 1 = 0, m ∈ R. Aflaţi valoarea minimă a su-

mei pătratelor soluţiilor ecuaţiei. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 81. Rezolvaţi grafic în R ecuaţia || x2 – x | – 2 | = x + 3. Formulaţi un exerciţiu asemănător.


82. Aflaţi mulţimea valorilor funcţiei f : R → R, f(x) = .122

2

2

++

xxx



1. Studiaţi monotonia funcţiei f : R → R, cu:

a) f(x) = 5x2; b) f(x) = –2x2. 2. Studiaţi monotonia funcţiei f :

R → R, cu: a) f(x) = 6x2 + 7x; b) f(x) = –9x2 – 23x.

3. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, cu:

a) f(x) = 4x2; b) f(x) = –5x2. 4. Studiaţi monotonia funcţiei f :

R → R, cu: a) f(x) = 13x2 – 3x; b) f(x) = –15x2 + 11x.


a) f(x) = x2 – 3x; b) f(x) = –x2 + 4x.


a) f(x) = x2 – 2x – 3; b) f(x) = –x2 + 4x + 3.


a) f(x) = x2 – 2x + 3; b) f(x) = –x2 + 4x – 5.

8. Aflaţi numerele reale m pentru care (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x + 3 este negativă.

9. a) Aflaţi ecuaţia unei parabole cu vârful V(3,5; –2,25) şi unul dintre punctele ei de intersecţie cu axa Ox are abscisa 3.

b) Rezolvaţi grafic în R inecuaţia | x2 – 7x + 12 | ≥ 2 – x.

1. Studiaţi monotonia funcţiei f : R → R, cu:

a) f(x) = 5x2; b) f(x) = –2x2. 2. Studiaţi monotonia funcţiei f : R →

R, cu: a) f(x) = 6x2 + 7x; b) f(x) = –9x2 – 23x.


a) f(x) = 5x2; b) f(x) = –4x2. 4. Studiaţi monotonia funcţiei f : R →

R, cu: a) f(x) = 15x2 – 4x; b) f(x) = –13x2 + 2x.


a) f(x) = x2 – 2x; b) f(x) = –x2 + 5x.


a) f(x) = x2 – 3x + 2; b) f(x) = –x2 + 3x – 4.


a) f(x) = x2 – 2x + 4; b) f(x) = –x2 + 4x – 6.

8. Aflaţi numerele reale m pentru care (m – 1)x2 – 2(2m + 1)x – 3 este negativă.

9. a) Aflaţi ecuaţia unei parabole cu vârful V(3,5; –0,25) şi unul dintre punctele ei de intersecţie cu axa Ox are abscisa 3.

b) Rezolvaţi grafic în R inecuaţia | x2 – 7x + 10 | ≥ 3 – x.



4. F u n c ţ i a p u t e r e

1. Fie funcţia f : R → R. Ordonaţi valorile funcţiei f, dacă: a) f(x) = –8x3 pentru –6, –5, –1, 0, 1, 5, 6; b) f(x) = –2x3 pentru –10, –2, –1, 0, 1, 2, 10; c) f(x) = –3x3 pentru –100, –4, –1, 0, 1, 4, 100; d) f(x) = –4x3 pentru –7, –3, –1, 0, 1, 3, 7; e) f(x) = –10x3 pentru –10, –5, –1, 0, 1, 5, 10; f) f(x) = –5x3 pentru –10, –2, –1, 0, 1, 2, 10.

2. Fie funcţia f : R → R. Ordonaţi valorile funcţiei f, dacă: a) f(x) = 12x3 pentru –4, –3, –1, 0, 1, 3, 4; b) f(x) = 2x3 pentru –10, –5, –1, 0, 1, 5, 10; c) f(x) = 3x3 pentru –100, –2, –1, 0, 1, 2, 100; d) f(x) = 4x3 pentru –4, –3, –1, 0, 1, 3, 4; e) f(x) = 10x3 pentru –6, –2, –1, 0, 1, 2, 6; f) f(x) = 5x3 pentru –7, –5, –1, 0, 1, 5, 7.

3. Fie funcţia f : R → R. Decideţi paritatea funcţiei f, dacă: a) f(x) = 16x3; b) f(x) = 7x3; c) f(x) = 13x3; d) f(x) = 4x3; e) f(x) = 9x3; f) f(x) = 5x3.

4. Fie funcţia f : R → R. Decideţi paritatea funcţiei f, dacă: a) f(x) = –28x4; b) f(x) = –19x4; c) f(x) = –27x5; d) f(x) = –15x4; e) f(x) = –25x4; f) f(x) = –14x4.

5. Fie funcţia pară f : R → R. Aflaţi fără calcul încă trei valori ale lui f, dacă: a) f(–17) = –56, f(5) = –15, f(–7) = 13; b) f(–25) = 81, f(11) = –31, f(–3) = 10; c) f(31) = –100, f(–15) = 51, f(20) = –75; d) f(–42) = –37, f(35) = –31, f(–13) = 24; e) f(–28) = 76, f(–23) = –27, f(15) = –109; f) f(98) = –65, f(–71) = –48, f(22) = –36.

6. Fie funcţia impară f : R → R. Aflaţi fără calcul încă trei valori ale lui f, dacă: a) f(–82) = 12, f(10) = –37, f(–11) = –6; b) f(–8) = 26, f(5) = –42, f(–2) = –32; c) f(14) = –83, f(–16) = 93, f(28) = –63; d) f(–3) = 55, f(19) = –21, f(–34) = 44; e) f(–38) = 84, f(31) = –69, f(8) = 26; f) f(2) = –28, f(–39) = 123, f(–38) = 49.

7. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = 4x3; b) f(x) = 3x3; c) f(x) = 2x3; d) f(x) = 5x3.

8. Fie funcţia f : R → R. Construiţi, cât mai simplu, graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = 2x3 – 3; b) f(x) = 3x3 + 2; c) f(x) = 2x3 – 1; d) f(x) = 4x3 – 3.

9. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –3x3; b) f(x) = –4x3; c) f(x) = –5x3; d) f(x) = –2x3.


10. Fie funcţia f : R → R. Construiţi, cât mai simplu, graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –2x3 + 1; b) f(x) = –3x3 + 2; c) f(x) = –4x3 – 2; d) f(x) = –5x3 – 1.

11. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = 4x4; b) f(x) = 3x4; c) f(x) = 2x4; d) f(x) = 5x4.

12. Fie funcţia f : R → R. Construiţi, cât mai simplu, graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = 2x4 – 3; b) f(x) = 3x4 + 2; c) f(x) = 2x4 – 1; d) f(x) = 4x4 – 3.

13. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –3x4; b) f(x) = –4x4; c) f(x) = –5x4; d) f(x) = –2x4.

14. Fie funcţia f : R → R. Construiţi, cât mai simplu, graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –2x4 + 1; b) f(x) = –3x4 + 2; c) f(x) = –4x4 – 2; d) f(x) = –5x4 – 1.

15. Fie funcţia f : R → R, f(x) = | 2x3 – 3 |. Reprezentaţi grafic, cât mai simplu, func-ţia f.


16. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, ⎩⎨⎧

>−≤−

=.1ă,31ă,13)(

3

xxxxxf

dac

dac


17. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, ⎪⎩

⎪⎨⎧

>−

≤−=

.1ă,3

1ă,2)(

2

3

xx

xxxf

dac

dac



⎪⎨⎧

−>−

−≤+=

.1ă,3

1ă,3)(

3

4

xx

xxxf

dac

dac

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 19. Construiţi graficul funcţiei f : D → R, D domeniul maxim de definiţie în R,

.)( 332

xxxf ⋅= Formulaţi un exerciţiu asemănător.

20. Construiţi graficul funcţiei f : D → R, D domeniul maxim de definiţie în R,

.23)23()( 332

−⋅−= xxxf Formulaţi un exerciţiu asemănător. 21. Construiţi graficul funcţiei f : D → R, D domeniul maxim de definiţie în R,

.43])43[()( 331

2 xxxf −⋅−= Formulaţi un exerciţiu asemănător. 22. Rezolvaţi grafic în R inecuaţia x3 – 2 > –x2 + 3x. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 23. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, f(x) = sgn (x2 – 5x + 6). Formulaţi un exerciţiu asemănător.



⎪⎨

⎧

−∈+

−∈+

−−∈+

=

).,1(ă,2

]1,1[ă,12

)1,(ă,12

)(2

3

'

'

xx

xx

xx

xf

dac

dac

dac



1. Funcţia f : R → R este pară şi f(5) = –5, f(9) = –8, f(–5) = 9. Aflaţi alte trei valori ale funcţiei f.

2. Funcţia f : R → R este impară şi f(–8) = 13, f(4) = –8, f(6) = 16. Aflaţi alte trei valori ale funcţiei f.

3. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, f(x) = 1,5x3.

4. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, f(x) = –0,2x3.


a) f(x) = 0,25x4; b) f(x) = –1,5x4.

6. Construiţi, cât mai simplu, grafi-cul funcţiei f : R → R, cu:

a) f(x) = 0,6x3 – 2; b) f(x) = –0,4x3 + 3.

7. Construiţi, cât mai simplu, grafi-cul funcţiei f : R → R, cu:

a) f(x) = 0,5x4 – 2; b) f(x) = –0,6x4 + 3.

8. Construiţi, cât mai simplu, grafi-cul funcţiei f : R → R,

f(x) = ⎪⎩

⎪⎨⎧

∈−

−∈−

).,1[ă,3

)1,(ă,24

3

'

'

xx

xx

dac

dac

9. Construiţi graficul funcţiei f : D → R, D domeniul maxim de definiţie în

R, a) ;41)14()( 554

xxxf −⋅−=

b) .)2(])2[()( 7 372

2 xxxf −⋅−=

1. Funcţia f : R → R este pară şi f(6) = –8, f(11) = –2, f(–9) = 3. Aflaţi alte trei valori ale funcţiei f.

2. Funcţia f : R → R este impară şi f(–10) = 10, f(2) = –19, f(5) = 21. Aflaţi alte trei valori ale funcţiei f.

3. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, f(x) = 0,5x3.

4. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, f(x) = –0,6x3.


a) f(x) = 0,2x4; b) f(x) = –0,5x4.

6. Construiţi, cât mai simplu, graficul funcţiei f : R → R, cu:

a) f(x) = 0,4x3 – 1; b) f(x) = –0,25x3 + 2.

7. Construiţi, cât mai simplu, graficul funcţiei f : R → R, cu:

a) f(x) = 0,4x4 – 3; b) f(x) = –0,2x4 + 1.

8. Construiţi, cât mai simplu, graficul funcţiei f : R → R,

f(x) = ⎪⎩

⎪⎨⎧

∈−

−∈−

).,1[ă,4

)1,(ă,34

3

'

'

xx

xx

dac

dac

9. Construiţi graficul funcţiei f : D → R, D domeniul maxim de definiţie în R,

a) ;51)15()( 998

xxxf −⋅−=

b) .)3(])3[()( 11 3114

2 xxxf −⋅−=



C A P I T O L U L IV

Polinoame şi fracţii algbrice

Expresie algebrică raţională. O expresie algebrică care nu conţine litere (varia-bile) sub radical este o expresie raţională.

Monom. Un monom este o expresie algebrică formată din numere şi variabile între care se execută numai înmulţiri şi/sau ridicări la putere cu exponenţi naturali. Un monom este format din coeficient (un număr) şi parte literală. Variabilele unui monom se numesc nedeterminate. Pentru a distinge un monom de alte expresii alge-brice, nedeterminatele se scriu cu majuscule: X, Y, Z etc.

Forma canonică a unui monom. Un monom cu partea literală formată din nede-terminate diferite (fiecare literă apare o singură dată) este scris în forma canonică.

Gradul unui monom. Exponentul puterii unei nedeterminate a unui monom scris în forma canonică este gradul monomului în raport cu acea nedeterminată. Gradul monomului în raport cu toate nedeterminatele este egal cu suma exponenţilor puteri-lor nedeterminatelor. Numerele se consideră monoame de gradul 0.

Monoame asemenea. Două monoame care au aceeaşi parte literală sunt monoame asemenea.

Polinom. Un polinom este o sumă algebrică de monoame ce nu sunt toate monoa-me asemenea.

Forma canonică (standard) a unui polinom. Considerăm polinoamele într-o singură nedeterminată. Fie un polinom în nedeterminata X cu monoamele scrise în forma canonică. Polinomul este scris în forma canonică dacă monoamele lui sunt scrise în ordinea descrescătoare a gradelor lor. Gradul unui polinom este egal cu exponentul maxim al lui X când polinomul este scris în forma canonică. Gradul polinomului P(X) se notează grad P(X). Forma canonică a unui polinom de gradul I în X este P(X) = aX + b; forma canonică a unui polinom de gradul II în X este P(X) =

;cbXaX ++2 forma canonică a unui polinom de gradul III în X este P(X) = +3aX+2bX cX + d. Coeficienţii polinomului P(X) = aX + b sunt, în ordine, numerele a şi

b, adică coeficienţii monoamelor polinomului. În plus, a este coeficientul termenului de grad maxim (coeficientul dominant); b este termenul liber.

Reducerea monoamelor (termenilor) asemenea. Reducerea monoamelor (terme-nilor) asemenea este operaţia prin care doi sau mai multe monoame asemenea se înlocuiesc cu un singur monom asemenea cu celelalte, a cărui coeficient este egal cu suma algebrică a coeficienţilor celorlalte monoame. Prin reducerea termenilor aseme-nea ai unui polinom se obţine forma canonică a acelui polinom.

Binom, trinom. Un polinom în forma canonică cu doi termeni se numeşte binom, iar unul cu trei termeni se numeşte trinom.

Polinoame în două nedeterminate. Polinoame în X şi Y: P(X, Y) = aX + bY + c, cu a şi b numere reale nenule, este forma generală a unui polinom de gradul I în X şi Y; cu a şi f numere reale nenule, este for-,),( 22 fYeYdcXbXYaXYXP +++++=

Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice 58

ma generală a unui polinom de gradul II în X şi Y. Valoarea numerică a unui polinom. Fie polinomul P(X) = 6X – 5. Valoarea

polinomului P(X) pentru X = 3 (sau în 2) este P(3) = 6⋅3 – 5 = 13, iar pentru X = 1 (sau în 1) este P(1) = 6 – 5 = 1. Valoarea unui polinom în 1 (când nedeterminata sau nedeterminatele sunt egale cu 1) este egală cu suma coeficienţilor.

Rădăcină a unui polinom. Numărul r este rădăcină a polinomului P(X), dacă P(X) = 0.

Polinom constant. Un polinom care are coeficienţii nedeterminatelor nuli este un polinom constant. Polinomul nul (se notează 0) are toţi coeficienţii egali cu 0.

Polinoame egale (identice). Două polinoame sunt egale dacă au aceeaşi formă canonică. Două polinoame sunt egale dacă au valorile egale pentru aceleaşi valori ale nedeterminatelor lor.

Reducerea monoamelor (termenilor) asemenea. Reducerea monoamelor (terme-nilor) asemenea este operaţia prin care doi sau mai multe monoame asemenea se înlocuiesc cu un singur monom asemenea cu celelalte, a cărui coeficient este egal cu suma algebrică a coeficienţilor celorlalte monoame.

Adunarea polinoamelor. Adunarea polinoamelor are proprietăţile adunării nume-relor întregi: a) asociativitatea; b) comutativitatea; c) polinomul nul (0) este element neutru la adunarea polinoamelor; d) polinomul −P(X) este opusul polinomului P(X).

Scăderea polinoamelor. Scăderea polinoamelor P(X) şi Q(X) constă în adunarea lui P(X) cu opusul lui Q(X), adică P(X) – Q(X) = P(X) + (– Q(X)).

Înmulţirea polinoamelor. Înmulţirea polinoamelor se execută ca înmulţirea ex-presiilor algebrice. Fie polinoamele P(X) şi Q(X) polinoame scrise în forma canonică. Atunci, grad P(X)⋅Q(X) = grad P(X) + grad Q(X). Înmulţirea polinoamelor are propri-etăţile înmulţirii numerelor întregi: a) asociativitatea; b) comutativitatea; c) polinomul 1 (de exemplu, P(X) = 1) este element neutru la înmulţirea polinoamelor (în nede-terminata X); d) înmulţirea polinoamelor este distributivă faţă de adunare şi scădere. Pentru orice polinom P(X) este adevărată relaţia: −P(X) = −1⋅P(X). Forma canonică a produsului a două polinoame se obţine aplicând distributivitatea înmulţirii faţă de adunare şi reducerea termenilor asemenea.

Exemple. 1) (3X – 4)(X2 + 2X – 1) = 3X(X2 + 2X – 1) – 4(X2 + 2X – 1) = 3X3 + 6X2 – 3X – 4X2 – 8X + 4 = 3X3 + 2X2 – 11X + 4.

2) (2X3 – 5X + 4)(2X – 7) = 4X4 – 14X3 – 10X2 + 43X – 28. 2X3 – 5X + 4 × 2X – 7

4X4 – 10X2 + 8X –14X3 + 35X – 28 4X4–14X3 –10X2+43X – 28

Pătratul unui binom. Dezvoltarea unui binom la pătrat se face aplicând una din-tre formulele: .)(,)( 222222 22 YXYXYXYXYXYX +−=−++=+

Cubul unui binom. Dezvoltarea unui binom la pătrat se face aplicând una dintre formulele: .33)(,33)( 3223332233 YXYYXXYXYXYYXXYX −+−=−+++=+

Produsul sumei a două monoame cu diferenţa lor. (X + Y)(X – Y) = X2 – Y2. Alte formule. (X + Y)(X2 – XY + Y2) = X3 + Y3; (X – Y)(X2 + XY + Y2) = X3 – Y3;

(suplimentar) (X + Y + Y)2 = X2 + Y2 + Z2 + 2XY + 2XZ + 2YZ; (X – Y)(Xn–1 + X n–2Y + ... + X Y n–2 + Y n–1) = Xn – Yn; (X + Y)(X2n – X2n–1Y + ... – X Y 2n–1 + Y 2n) = X2n+1 – Y2n+1; (X + Y + Z)3 = X3 + Y3 + Z3 + 3(X + Y)(X + Z)(Y + Z) = X3 + Y3 + Z3 + 3(X + Y


+ Z)(XY +XZ + YZ) – 3XYZ. Descompunerea unui polinom. Descompunerea unui polinom constă în scrierea

unui polinom ca produs de polinoame de grad cel puţin egal cu 1. Pentru a descompu-ne un polinom, se aplică: – metoda factorului comun general; – metoda grupării termenilor; – formule de calcul prescurtat; – metode combinate şi alte metode bazate pe proprietăţile polinoamelor.

Teorema împărţirii. Fie polinoamele P1 şi P2, P2 ≠ 0. Atunci există o singură pe-reche de polinoame Q şi R, astfel încât P1 = P2Q + R şi grad R < grad Q.

Polinoamele din teorema împărţirii se numesc: deîmpărţit (P1), împărţitor (P2), cât (Q), rest (R); grad P1 = grad P2 + grad Q.

Exemplu. Scrieţi teorema împărţirii pentru polinoamele 4X4 – 14X3 – 10X2 + 45X – 25 şi 2X3 – 5X + 4.

4X4 – 14X3 – 10X2 + 45X – 25 2X3 – 5X + 4 (împărţitorul) –4X4 + 10X2 – 8X 2X – 7 (câtul)

–14X3 + 37X – 25 14X3 – 35X + 28 2X + 3 (restul) Conform teoremei împărţirii, 4X4 – 14X3 – 10X2 + 45X – 25 = (2X3 – 5X + 4)( 2X –

7) + 2X + 3. Suplimentar. Schema lui Horner. Pentru împărţirea unui polinom la X – a. Fie

P(X) = 4X4 – 5X3 + 7X – 3 şi Q(X) = X + 3. Executăm împărţirea P : Q aplicând sche-ma lui Horner. Evident, –3 este rădăcina lui Q (împărţitorul). X4 X3 X2 X1 X0

–3 4 –5 0 7 –3 rădăcina lui Q coeficienţii deîmpărţitului P 4

(de sus) –3⋅4 + (–5)

= –17 –3⋅(–17) +

0 = 51 –3⋅51 + 7 =

–146 –3⋅(–146) + (–3) =

435 coeficienţii câtului restul

Rezultă 4X4 – 5X3 + 7X – 3 = (X + 3)(4X3 – 17X2 + 51X – 146) + 435. Divizibilitatea polinoamelor. Polinomul F se divide cu polinomul G (sau G divi-

de F), dacă există polinomul H, astfel încât F = GH. Se notează G | F. Polinom reductibil. Un polinom care se descompune în produsul a două polinoa-

me de grade cel puţin egale cu 1 se numeşte polinom reductibil. Celelalte polinoame se numesc ireductibile.

Teoremă. Restul împărţirii polinomului P(X) la X – a este P(a). Teoremă. Polinomul P(X) se divide cu X – a dacă şi numai dacă P(a) = 0. Teoremă (Bézout). Numărul r este rădăcină a polinomului P(X) dacă şi numai

dacă P(X) se divide cu X – r. Suplimentar. Teoremă. Rădăcinile întregi ale unui polinom cu coeficienţi întregi

se află printre divizorii întregi ai termenului liber. Suplimentar. Exemplu. Descompuneţi, aplicând teorema lui Bézout, polinomul

P(X) = X3 + 3X2 – 2X – 16. Rezolvare. Rădăcinile întregi ale polinomului se află printre divizorii întregi ai ter-

menului liber. 16 are divizorii întregi: –16, –8, –4, –2, –1, 1, 2, 4, 8, 16. În continuare se poate înlocui direct sau se poate aplica schema lui Horner. Aplicăm a doua metodă.


X3 X2 X1 X0

–1 1 3 –2 –16 divizor al lui 16 coeficienţii polinomului

1

(de sus) –1⋅1 + 3 = 2 –1⋅2 – 2 = –4 –1⋅(–4) + (–16) =

–12 2 coeficienţii câtului restul

1 2⋅1 + 3 = 5 2⋅5 – 2 = 8 2⋅8 + (–16) = 0 2 este o rădăcină a polinomului şi P(X) = (X – 2)(X2 + 5X + 8). Polinomul X2 + 5X

+ 8 este ireductibil în R, deoarece are ∆ = –15. Deci P(X) = (X – 2)(X2 + 5X + 8). Pentru polinoame de grad mai mare se pot continua încercările. Facultativ. Cel mai mare divizor comun a două polinoame. D este cel mai

mare divizor comun al polinoamelor P şi Q, dacă divide P şi Q, iar orice divizor al polinoamelor P şi Q divide D. (P, Q) este c.m.m.d.c. al polinoamelor P şi Q.

Facultativ. Polinoame prime între ele (reciproc prime). Dacă grad (P, Q) = 0, atunci P şi Q sunt polinoame prime între ele.

Facultativ. Algoritmul lui Euclid. Fie polinoamele F şi G, F = GC1 + R1, G = R1C2 + R2, R1 = R2C3 + R3, ..., Rk = Rk+1Ck+2. Atunci (F, G) = Rk+1.

Facultativ. Cel mai mic multiplu comun a două polinoame. M este cel mai mic multiplu comun al polinoamelor P şi Q, dacă se divide cu P şi Q, iar orice multiplu comun al polinoamelor P şi Q se divide cu M. [P, Q] este c.m.m.m.c. al polinoamelor P şi Q.

Facultativ. Teoremă. Dacă P şi Q sunt polinoame, atunci .),(

],[QP

PQQP =

Fracţii algebrice. Raportul polinoamelor P şi Q, Q ≠ 0, este fracţia algebrică .QP

Domeniul valorilor admisibile (DVA). Fie fracţia algebrică .)(

)(

XQXP Fie M una

dintre mulţimile N, Z, Q, R. Atunci {a ∈ M | Q(a) ≠ 0} este domeniului valorilor ad-

misibile (DVA) în M al fracţiei .)(

)(

XQXP

Valoarea unei fracţii algebrice. Valoarea în a ∈ DVA a fracţiei algebrice )()(

XQXP

este .)()(

aQaP

Amplificarea fracţiilor. Amplificarea unei fracţii algebrice constă în înmulţirea numărătorului şi a numitorului unei fracţii cu un polinom de grad cel puţin egal cu 1.

Simplificarea fracţiilor. Simplificarea unei fracţii algebrice constă în împărţirea numărătorului şi a numitorului unei fracţii la un polinom de grad cel puţin egal cu 1, care divide atât numitorul, cât şi numărătorul ei.

Atenţie! Prin amplificarea sau simplificarea unei fracţii algebrice se pot obţine fracţii algebrice cu alt DVA decât cel al fracţiei iniţiale.

Fracţie algebrică ireductibilă. O fracţie algebrică ireductibilă este o fracţie care


nu se poate simplifica cu un polinom de grad mai mare sau egal cu 1. Adunarea fracţiilor algebrice. Adunarea fracţiilor are proprietăţile adunării nu-

merelor raţionale: a) asociativitatea; b) comutativitatea; c) fracţia nulă (cu numărăto-rul egal cu polinomul nul şi numitorul diferit de polinomul nul) este element neutru la adunarea fracţiilor; d) fracţia −F(X) este opusa fracţiei F(X).

Înmulţirea fracţiilor algebrice. Înmulţirea fracţiilor algebrice se execută ca în-mulţirea fracţiilor; produsul a două fracţii algebrice este fracţia algebrică care are nu-mărătorul egal cu produsul numărătorilor fracţiilor şi numitorul egal cu produsul nu-mitorilor fracţiilor. Înmulţirea fracţiilor algebrice are proprietăţile înmulţirii fracţiilor: a) asociativitatea; b) comutativitatea; c) fracţia 1 (de exemplu, F(X) = 1) este element neutru la înmulţirea fracţiilor (în nedeterminata X); d) pentru orice fracţie algebrică

diferită de fracţia nulă, F = ,QP există inversa ei, F′ = ,

PQ astfel încât FF′ = 1; e) în-

mulţirea fracţiilor este distributivă faţă de adunare şi scădere. 1. R e c a p i t u l a r e ş i c o m p l e t ă r i

1. Fie monoamele: .57,)5(,6,,3 3523171421310911824 ZYXZYXZYXZYX −− Recu-noaşteţi coeficientul şi partea literală a fiecărui monom.

2. Enumeraţi nedeterminatele fiecăruia dintre monoamele: .3,59,1,6,1,4,2,3 2128245153119 ZYZYXZXZYX −−

3. Fie monoamele: .9,4),21(3,11,34,2 553284532122464 ZYXZYXZYX −−− Preci-zaţi gradul fiecărui monom în raport cu fiecare nedeterminată şi în raport cu toate nedeterminatele.

4. Scrieţi în forma canonică monomul: a) –3X

3Z 11X

5Z 8; b) 2,8X

7Z 4X

8X 3Z

2; c) 51,3X 2Y

12Y 11X

22Y 5;

d) 3,1X 26X

7X 13Y

18Y 9; e) 7X

23Z 9X

43X 51Z

31; f) –6Y 49Z

62Y 19Z

5Y 25.

5. Identificaţi monoamele asemenea din lista: .115,3,5,2,4,3,8,13,7,3,)6(,4,21 4747212474 XYXXYXYXXYXX −−

6. Scrieţi în forma canonică polinomul: a) 3X – 2X 3 + 5X 4 – 7X 6 + 11; b) 12 + 4X 2 – 6X – 11X 5 + 9X 3 – 3X 6; c) –15 + 8X 3 – 18X – 9X 4 + 14X 5 – 21X 6; d) –25 + 7X 3 – 23X – 3X 2 + 4X 4 – 32X 5.

7. Scrieţi în forma canonică polinomul: a) 3X 4 + 8X 3 – (7X 4 – 53X 3 – 3); b) 9X 3 – 3X 2 – (5X 3 – 4X 2 – 8); c) –9X 2 + 7X – (13X 2 – 42X – 2); d) 14X 3 + 5X 2 – (12X 3 – 3X 2 – 7); e) –10X 5 + 14X 3 – (9X 5 – 6X 3 – 24); f) 25X 2 – 4X – (9X 2 – 41X – 19).

9. Aflaţi opusul polinomului: a) 15X 4 – 13X 3 – 8X 2 + 3X + 11; b) 34X 4 + 2X 3 – 17X 2 + 4X – 28; c) –16X 4 + 8X 3 – 5X 2 – 9X + 13; d) 24X 4 – 15X 3 – 6X 2 + 9X + 4; e) 28X 4 – 3X 3 + 42X 2 – 21X – 4; f) –7X 4 + 34X 3 – 19X 2 + 3X – 35.


8. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) (–3X 12Y 25)(–7X 12Y 14); b) (–2X 4Y 9)(–9X 7Y 17); c) (–5X 6Y 19)(–4X 24Y 25); d) (–8X 18Y 25)(–7X 33Y 28).

10. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) (–132X 45Y 72) : (33X 38Y 69); b) (–78X 43Y 67) : (–39X 31Y 52); c) (–72X 52Y 36) : (36X 49Y 31); d) (–98X 35Y 27) : (49X 29Y 23); e) (–156X 78Y 51) : (52X 69Y 34); f) (–204X 49Y 75) : (–51X 33Y 71).

11. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) (–4X 29Y 31)5; b) (–3X 11Y 15)4; c) (–2X 13Y 16)6; d) (–5X 14Y 17)3.

12. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) –5X 9Y 5(3X 3 – 4X 2 + 2X – 6); b) –2X 5Y 3(4X 3 – 5X 2 + 9X – 8); c) –4X 7Y 8(5X 3 – 3X 2 + 4X – 2); d) –3X 11Y 2(6X 3 – 8X 2 + 3X – 5); e) –7X 12Y 21(7X 3 – 11X 2 + 4X – 9); f) –9X 13Y 15(9X 3 – 5X 2 + 6X – 7).

13. Reproduceţi şi completaţi egalitatea: a) (2X − 9)(3X − 8) = 2X(…) − 9(…) = … = …; b) (8X − 3)(7X − 2) = 8X(…) − 3(…) = … = …; c) (9X − 11)(4X − 7) = 9X(…) − 11(…) = … = …; d) (12X − 5)(5X − 3) = 12X(…) − 5(…) = … = …; e) (13X − 6)(2X − 5) = 13X(…) − 6(…) = … = …; f) (15X − 4)(8X − 3) = 15X(…) − 4(…) = … = …

14. Aplicând o formulă, aduceţi la forma cea mai simplă: a) (9X + 8Y)(9X − 8Y); b) (3X + 5Y)(3X − 5Y); c) (7X + 5Y)(7X − 5Y); d) (8X + 5Y)(8X − 5Y); e) (7X + 9Y)(7X − 9Y); f) (10X + 9Y)(10X − 9Y).

15. Aplicând o formulă, aduceţi la forma cea mai simplă: a) (3X + 5Y)(3X − 5Y)(9X

2 − 25Y 2); b) (2X + 3Y)(2X − 3Y)(4X

2 − 9Y 2);

c) (2X + 5Y)(2X − 5Y)(4X 2 − 25Y

2); d) (4X + 5Y)(4X − 5Y)(16X 2 − 25Y

2); e) (2X + 9Y)(2X − 9Y)(4X

2 − 81Y 2); f) (5X + 7Y)(5X − 7Y)(25X

2 − 49Y 2).

16. Aplicând o formulă, aduceţi la forma cea mai simplă: a) (9X + 8Y)2; b) (9X + 5Y)2; c) (9X + 4Y)2; d) (9X + 2Y)2; e) (9X + 7Y)2; f) (7X + 5Y)2.

17. Aplicând o formulă, aduceţi la forma cea mai simplă: a) (11X − 8Y)2; b) (3X − 7Y)2; c) (3X − 4Y)2; d) (9X − 5Y)2; e) (9X − 4Y)2; f) (8X − 5Y)2.

18. Aplicând o formulă, aduceţi la forma cea mai simplă: a) (9X + 8Y)3; b) (9X + 5Y)3; c) (9X + 4Y)3; d) (9X + 2Y)3; e) (9X + 7Y)3; f) (7X + 5Y)3.

19. Aplicând o formulă, aduceţi la forma cea mai simplă: a) (11X − 8Y)3; b) (3X − 7Y)3; c) (3X − 4Y)3; d) (9X − 5Y)3; e) (9X − 4Y)3; f) (8X − 5Y)3.

20. Aplicând o formulă, aduceţi la forma cea mai simplă: a) (3X + 5Y)(9X

2 − 15XY + 25Y 2); b) (2X + 3Y)(4X

2 − 6XY + 9Y 2);


c) (3X + 2Y)(9X 2 − 6XY + 4Y

2); d) (4X + 3Y)(16X 2 − 12XY + 9Y

2); e) (5X + 2Y)(25X

2 − 10XY + 4Y 2); f) (5X + 3Y)(25X

2 − 15XY + 9Y 2).

21. Aplicând o formulă, aduceţi la forma cea mai simplă: a) (4X − 5Y)(16X

2 + 20XY + 25Y 2); b) (5X − 3Y)(25X

2 + 15XY + 9Y 2);

c) (3X − 5Y)(9X 2 + 15XY + 25Y

2); d) (4X − 7Y)(16X 2 + 28XY + 49Y

2); e) (7X − 2Y)(49X

2 + 14XY + 4Y 2); f) (7X − 3Y)(49X

2 + 21XY + 9Y 2).

22. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) (30X 12Y 13Z 14 – 12X 9Y 8Z 11) : (–6X 5Y 9Z 10); b) (24X 19Y 17Z 15 – 18X 11Y 21Z 14) : (–6X 10Y 17Z 14); c) (32X 21Y 23Z 25 – 24X 19Y 22Z 31) : (–8X 19Y 22Z 25); d) (36X 33Y 26Z 21 – 20X 18Y 29Z 19) : (–4X 18Y 26Z 19); e) (48X 29Y 31Z 32 – 12X 22Y 34Z 35) : (–12X 22Y 31Z 32); f) (45X 34Y 26Z 29 – 15X 31Y 28Z 35) : (–15X 31Y 26Z 29).

23. Descompuneţi în factori polinomul: a) 3X

6Y 9 – 4X

4Y 10 + 5X

3Y 11; b) 8X

8Y 12 – 3 X

7Y 14 + 7X

5Y 17;

c) 5X 12Y

14 – 7X 11Y

16 + 3X 10Y

17; d) 7X 15Y

25 – 12X 14Y

26 + 8X 13Y

27; e) 9X

18Y 15 – 8X

16Y 17 + 4X

14Y 19; f) 12X

22Y 24 – 5X

21Y 26 – 3X

20Y 29.


2(4X − 7Y) + 5Y 3(4X − 7Y); b) 3X

3(5X − 2Y) + 7Y 4(5X − 2Y);

c) 5X 2(7X − 11Y) + 2Y

3(7X − 11Y); d) 7X(6X − 5Y) + 3Y 4(6X − 5Y).

25. Descompuneţi în factori polinomul: a) 7X(2X − 3Y + 7) + 9Y(2X − 3Y + 7) − 3(2X − 3Y + 7); b) 10X(5X − 7Y + 2) − 13Y(5X − 7Y + 2) + 7(5X − 7Y + 2); c) 3X(9X − 8Y + 5) − 4Y(9X − 8Y + 5) + 8(9X − 8Y + 5); d) 12X(10X − 9Y + 6) − 7Y(10X − 9Y + 6) + 3(10X − 9Y + 6).

26. Aplicând formula diferenţei pătratelor, descompuneţi în factori polinomul: a) 9X

2 – Y 2; b) 4X

2 – Y 2; c) 16X

2 – Y 2; d) 25X

2 – Y 2;

e) 49X 2 – Y

2; f) 64X 2 – Y

2; g) 81X 2 – Y

2; h) 121X 2 – Y

2. 27. Aplicând formula diferenţei pătratelor, descompuneţi în factori polinomul:

a) 2X 2 – 5Y

2; b) 3X 2 – 5Y

2; c) 7X 2 – 5Y

2; d) 11X 2 – 5Y

2; e) 11X

2 – 3Y 2; f) 11X

2 – 6Y 2; g) 11X

2 – 7Y 2; h) 11X

2 – 13Y 2.

28. Aplicând formula diferenţei pătratelor, descompuneţi în factori polinomul: a) (3X + 7Y)2 – 4; b) (7X + 5Y)2 – 9; c) (9X + 5Y)2 – 16; d) (11X + 2Y)2 – 25; e) (11X + 3Y)2 – 4; f) (11X + 5Y)2 – 9.

29. Aplicând formula diferenţei pătratelor, descompuneţi în factori polinomul: a) (7X + 2Y)2 – (3X − 4Y)2; b) (8X + 3Y)2 – (2X − 5Y)2; c) (9X + 5Y)2 – (8X − 3Y)2; d) (10X + 3Y)2 – (6X − 7Y)2; e) (7X + 9Y)2 – (5X − 2Y)2; f) (11X + 5Y)2 – (2X − 5Y)2.

30. Aplicând de două ori formula diferenţei pătratelor, descompuneţi în factori poli-nomul:


a) 9X 4 – Y

4; b) 4X 4 – Y

4; c) 16X 4 – Y

4; d) 25X 4 – Y

4; e) 49X

4 – Y 4; f) 64X

4 – Y 4; g) 81X

4 – Y 4; h) 121X

4 – Y 4.

31. Reproduceţi şi completaţi: a) 2X

2 + ... + 1 = ,...)2( 2+X 2X 2 – ... + 1 = ;...)2( 2−X

b) 3X 2 + ... + 1 = ,...)3( 2+X 3X

2 – ... + 1 = ;...)3( 2−X

c) 5X 2 + ... + 1 = ,...)5( 2+X 5X

2 – ... + 1 = ;...)5( 2−X

d) 7X 2 + ... + 1 = ,...)7( 2+X 7X

2 – ... + 1 = ....)7( 2−X 32. Descompuneţi prin restrângerea pătratului unui binom:

a) 169X 2 + 26X + 1; b) 81X

2 + 18X + 1; c) 100X 2 + 20X + 1;

d) 64X 2 + 16X + 1; e) 144X

2 + 24X + 1; f) 49X 2 + 14X + 1.

33. Descompuneţi prin restrângerea pătratului unui binom: a) 81X

2 – 36X + 4; b) 49X 2 – 28X + 4; c) 121X

2 – 44X + 4; d) 64X

2 – 48X + 9; e) 144X 2 – 120X + 25; f) 81X

2 – 90X + 25. 34. Descompuneţi polinomul de gradul II:

a) X 2 – 12X + 32; b) X

2 – 10X + 9; c) X 2 – 9X + 18;

d) X 2 – 13X + 30; e) X

2 – 14X + 40; f) X 2 – 15X + 50.

35. Decideţi dacă este reductibil (se descompune în factori) polinomul de gradul II: a) 4X

2 – 12X + 11; b) 3X 2 – 10X + 9; c) 2X

2 – 9X + 12; d) 4X

2 – 13X + 11; e) 5X 2 – 12X + 8; f) 6X

2 – 12X + 7. 36. Reproduceţi şi completaţi egalităţile:

a) X 3 + 15X

2 + 75X + 125 = (... + ...)3, X 3 – 15X

2 + 75X – 125 = (... – ...)3; b) X

3 + 9X 2 + 27X + 27 = (... + ...)3, X

3 – 9X 2 + 27X – 27 = (... – ...)3;

c) X 3 + 6X

2 + 12X + 8 = (... + ...)3, X 3 – 6X

2 + 12X – 8 = (... – ...)3; d) X

3 + 12X 2 + 48X + 64 = (... + ...)3, X

3 – 12X 2 + 48X – 64 = (... – ...)3;

e) X 3 + 21X

2 + 147X + 343 = (... + ...)3, X 3 – 21X

2 + 147X – 343 = (... – ...)3; f) X

3 + 18X 2 + 108X + 216 = (... + ...)3, X

3 – 18X 2 + 108X – 216 = (... – ...)3.

37. Aplicând formula cubului binomului, descompuneţi în factori polinomul: a) 125X

3 + 75X 2 + 15X + 1; b) 64X

3 + 48X 2 + 12X + 1;

c) 8X 3 + 12X

2 + 6X + 1; d) 27X 3 + 27X

2 + 9X + 1; e) 343X

3 + 147X 2 + 21X + 1; f) 216X

3 + 108X 2 + 18X + 1.

38. Aplicând formula cubului binomului, descompuneţi în factori polinomul: a) 125X

3 – 300X 2 + 240X – 64; b) 64X

3 – 240X 2 + 300X – 125;

c) 8X 3 – 36X

2 + 54X – 27; d) 27X 3 – 108X

2 + 48X – 64; e) 343X

3 – 294X 2 + 84X – 8; f) 216X

3 – 540X 2 + 450X – 125.

39. Reproduceţi şi completaţi egalităţile: a) X

3 + 125 = (X + 5)(X 2 – ... + 25), X

3 – 125 = (X – 5)(X 2 + ... + ...);

b) X 3 + 27 = (X + 3)(X

2 – ... + 9), X 3 – 27 = (X – 3)(X

2 + ... + ...); c) X

3 + 64 = (X + 4)(X 2 – ... + 16), X

3 – 64 = (X – 4)(X 2 + ... + ...);

d) X 3 + 8 = (X + 2)(X

2 – ... + 4), X 3 – 8 = (X – 2)(X

2 + ... + ...); e) X

3 + 216 = (X + 6)(X 2 – ... + 36), X

3 – 216 = (X – 6)(X 2 + ... + ...);

f) X 3 + 343 = (X + 7)(X

2 – ... + 49), X 3 – 343 = (X – 7)(X

2 + ... + ...).


40. Reduceţi termenii asemenea 5X 5 + 10X

5 + ... + 2005X 5.

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 41. Scrieţi în forma canonică monomul –2XX

3X 5... X

2005. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 42. Aduceţi la forma cea mai simplă X

16000 : X 3 : X

6 : ... : X 300.

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 43. Aplicând o formulă, aduceţi la forma cea mai simplă:

a) (X + 2Y + 5Z)2; b) (2X – 3Y + 5Z)2. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 44. Aduceţi la forma cea mai simplă

a) (X – 1)(X + 1)(X 2 + 1)...(X

1024 + 1); b) (X

5 – 1)(X 5 + 1)(X

10 + 1)...(X 1280 + 1).


a) (2X – 1)(2X + 1)(4X 2 + 1)...(256X

8 + 1); b) (3X

5 – 1)(3X 5 + 1)(9X

10 + 1)...(6561X 40 + 1).


a) (X – 1)(X 3 + X

2 + X + 1); b) (X + 1)(X 4 – X

3 + X 2 – X + 1).

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 47. Descompuneţi în factori (X + 2)6 – (X – 1)6. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 48. Descompuneţi în factori:

a) (X 4 + 1)2 + 2X

2(X 4 + 1) + X

4; b) (X 4 + 1)2 – 2X

2(X 4 + 1) + X

4. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 49. Descompuneţi în factori (X

6 + X 2)2 – 2(X

2 – 1)(X 6 + X

2) + (X 2 – 1)2.

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 50. Descompuneţi în factori polinomul:

a) X 6 + 5X

3 + 6; b) X 6 + 7X

3 – 30. Formulaţi un exerciţiu asemănător.

51. Fie monomul 3X aX

b. Aflaţi monomul de forma dată, dacă: a) a este egal cu numărul divizorilor naturali ai numărului 315 şi b este egal cu

suma divizorilor naturali ai numărului 56; b) a este egal cu restul împărţirii la 100 a numărului 22553, iar b este restul împăr-

ţirii la 100 a numărului 32773; c) a = ϕ(36) (numărul de numere prime cu 36 care sunt mai mici decât 36), iar b

este cel mai mic număr natural cu 12 divizori. 52. Aplicând o formulă, aduceţi la forma cea mai simplă:

a) (2X + Y + 3Z)3; b) (2X – 3Y + Z)3. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 53. Aduceţi la forma cea mai simplă:

a) (X – 1)(X 2 + X + 1)(X

6 + X 3 + 1)(X

18 + X 9 + 1)...(X

1458 + X 729 + 1);


b) (X + 1)(X 2 – X + 1)(X

6 – X 3 + 1)(X

18 – X 9 + 1)...(X

486 – X 243 + 1);.


a) (X – 1)(X 99 + X

98 + ... + X + 1); b) (X + 1)(X 100 – X

99 + ... – X + 1). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 55. Aduceţi la forma cea mai simplă:

a) (X – 1)(X 3 + X

2 + X + 1)(X 12 + X

8 + X 4 + 1)...(X

768 + X 512 + X

256 + 1); b) (X + 1) (X

4 – X 3 + X

2 – X + 1)(X 20 – X

15 + X 10 – X

5 + 1)... (X 500 – X

375 + X250 – X

125 + 1). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 56. Aduceţi la forma cea mai simplă:

a) (X – 1)(X 99 + X

98 + ... + X + 1); b) (X + 1)(X 100 – X

99 + ... – X + 1). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 57. Aflaţi primii 7 termeni, în ordinea crescătoare a gradelor, ai produsului

(1 + X)(1 + X 2)(1 + X

3)(1 + X 4)(1 + X

5)(1 + X 6)...

58. Descompuneţi în factori (X 16 + X

3)2 – 2(X 3 + 1)(X

16 + X 3) + (X

3 + 1)2. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 59. Transcrieţi şi completaţi egalitatea

a) 1 + X + X 2 + X

3 + ... = (1 + X + X 2)(...);

b) 1 – X + X 2 + X

3 – ... = (1 – X + X 2)(...).

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 60. Descompuneţi în factori polinomul X

9 + 2X 6 + 3X

3 + 1. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 61. Descompuneţi în factori polinomul (X + 2Y – 3Z)3 – X

3 – 2Y 3 + 27Z

3. Formulaţi un exerciţiu asemănător.


1. Aduceţi la forma cea mai simplă: (3X + 2Y)(4X – 5Y).

2. Aplicând o formulă de calcul, aduceţi la forma cea mai simplă

(4X + 7Y)( 4X – 7Y). 3. Aplicând o formulă de calcul, adu-

ceţi la forma cea mai simplă: a) (3X + 7Y)2; b) (5X – 8Y)2.

4. Aplicând o formulă de calcul, adu-ceţi la forma cea mai simplă:

a) (4X + 1)3; c) (5Y – 2)3. 5. Aplicând o formulă de calcul, adu-

ceţi la forma cea mai simplă: a) (3X + 1)(9X

2 – 3X + 1); b) (5X – 1)(25X

2 + 5X + 1). 6. Descompuneţi în factori polino-

1. Aduceţi la forma cea mai simplă: (4X + 3Y)(5X – 2Y).

2. Aplicând o formulă de calcul, adu-ceţi la forma cea mai simplă

(5X + 6Y)( 5X – 6Y). 3. Aplicând o formulă de calcul, adu-

ceţi la forma cea mai simplă: a) (4X + 5Y)2; b) (6X – 7Y)2.

4. Aplicând o formulă de calcul, adu-ceţi la forma cea mai simplă:

a) (5X + 1)3; c) (4Y – 3)3. 5. Aplicând o formulă de calcul, adu-

ceţi la forma cea mai simplă: a) (4X + 1)(16X

2 – 4X + 1); b) (3X – 1)(9X

2 + 3X + 1). 6. Descompuneţi în factori polino-


mul: a) 9X

5Y 7 – 3X

2Y 9;

b) 3X 4(6X − 5Y) + 4Y

2(6X − 5Y). 7. Descompuneţi în factori polino-

mul: a) 9X

4 – 5Y 2;

b) .31525 2 +− XX 8. Descompuneţi în factori polino-

mul X 4 – 4X

2Y 2 + 4Y

4. 9. Descompuneţi în factori polino-

mul 125X 9 – 150X

6 + 60X 3 – 8.

mul: a) 4X

9Y 8 – 8X

6Y 9;

b) 4X 6(7X − 3Y) + 3Y

6(7X − 3Y). 7. Descompuneţi în factori polino-

mul: a) 10X

2 – 9Y 4;

b) .21427 2 +− XX 8. Descompuneţi în factori polinomul

X 4 – 6X

2Y 2 + 9Y

4. 9. Descompuneţi în factori polinomul

64X 9 – 144X

6 + 36X 3 – 27.


2. Î m p ă r ţ i r e a p o l i n o a m e l o r

1. Aflaţi gradul produsului polinoamelor P1 şi P2, dacă: a) grad P1 = 15 şi grad P2 = 13; b) grad P1 = 18 şi grad P2 = 21; c) grad P1 = 21 şi grad P2 = 8; d) grad P1 = 28 şi grad P2 = 10.

2. Aflaţi gradul câtului împărţirii polinomului P1 la polinomul P2, dacă: a) grad P1 = 39 şi grad P2 = 17; b) grad P1 = 54 şi grad P2 = 32; c) grad P1 = 45 şi grad P2 = 26; d) grad P1 = 68 şi grad P2 = 53.

3. Aflaţi gradul maxim al restului împărţirii polinomului P1 la polinomul P2, dacă: a) grad P1 = 6 şi grad P2 = 4; b) grad P1 = 72 şi grad P2 = 70; c) grad P1 = 107 şi grad P2 = 76; d) grad P1 = 91 şi grad P2 = 74; c) grad P1 = 85 şi grad P2 = 54; d) grad P1 = 78 şi grad P2 = 46.

4. Efectuaţi prin descompunere: a) (X

4 – 4) : (X 2 – 2); b) (X

4 – 9) : (X 2 – 3); c) (X

6 – 16) : (X 3 – 4);

d) (X 8 – 9) : (X

4 – 3); e) (X 10 – 36) : (X

2 – 6); f) (X 12 – 49) : (X

6 – 7). 5. Efectuaţi prin descompunere:

a) (4X 2 + 4X + 1) : (2X + 1); b) (X

4 – 4X 2 + 4) : (X

2 – 2); c) (X

6 – 2X 3 + 1) : (X

3 – 1); d) (X 8 – 6X

4 + 9) : (X 4 – 3);

e) (9X 10 – 6X

5 + 1) : (3X 5 – 1); f) (25X

6 – 10X 3 + 1) : (5X

3 – 1). 6. Scrieţi teorema împărţirii pentru:

a) (X 4 – 5) : (X

2 – 2); b) (X 4 – 12) : (X

2 – 3); c) (X 6 – 19) : (X

3 – 4); d) (X

8 – 13) : (X 4 – 3); e) (X

10 – 40) : (X 2 – 6); f) (X

12 – 54) : (X 6 – 7).

7. Scrieţi teorema împărţirii pentru: a) (4X

2 + 4X + 5) : (2X + 1); b) (X 4 – 4X

2 + 7) : (X 2 – 2);

c) (X 6 – 2X

3 + 4) : (X 3 – 1); d) (X

8 – 6X 4 + 12) : (X

4 – 3); e) (9X

10 – 6X 5 + 5) : (3X

5 – 1); f) (25X 6 – 10X

3 + 7) : (5X 3 – 1).

8. Efectuaţi prin descompunere şi scrieţi teorema împărţirii: a) (X

6 – 5) : (X 2 – 2); b) (X

3 – 24) : (X – 3); c) (X 6 – 59) : (X

2 – 4); d) (X

9 – 22) : (X 3 – 3); e) (X

12 – 123) : (X 4 – 5); f) (X

15 – 210) : (X 5 – 6).


9. Scrieţi teorema împărţirii pentru: a) [(2X

2 + 1)3 + 2X + 5] : (2X 2 + 1); b) [(3X

2 – 1)3 + 7X – 1] : (3X 2 – 1);

c) [(4X 3 + 3)3 + 4X – 5] : (4X

3 + 3); d) [(5X 2 + 1)3 + 3X + 4] : (5X

2 + 1); e) [(7X

2 – 3)3 + 8X – 2] : (7X 2 – 3); f) [(2X

2 + 1)3 + 2X + 5] : (2X 2 + 1).

10. Aflaţi câtul şi restul: a) (8X

6 + 12X 4 + 6X

2 + 2X – 5) : (2X 2 + 1);

b) (27X 6 + 27X

4 + 9X 2 + 11X + 9) : (3X

2 + 1); c) (X

9 + 6X 6 + 12X

4 + 7X + 5) : (X 3 + 2);

d) (X 6 + 9X

4 + 27X 2 + 2X – 4) : (X

2 + 3); e) (64X

6 + 48X 4 + 12X

2 – 8X + 10) : (4X 2 + 1);

f) (125X 9 + 75X

6 + 15X 2 + 8X + 3) : (5X

3 + 1). 11. Fără să aflaţi câtul şi restul scrieţi teorema împărţirii pentru:

a) (5X 4 + 4X

3 – 7X 2 + 5X – 6) : (X + 3);

b) (8X 4 + 7X

3 – 10X 2 + 6X – 2) : (X + 4);

c) (9X 4 + 2X

3 – 3X 2 + 4X – 7) : (X + 2);

d) (11X 4 + 9X

3 – 2X 2 + 18X – 3) : (X + 5);

e) (12X 4 + 2X

3 – 9X 2 + 3X – 8) : (X + 6);

f) (7X 4 + 5X

3 – 4X 2 + 12X – 1) : (X + 7).

12. Efectuaţi: a) (7X

4 – 3X 3 – 11X

2 + 8X – 9) : (X – 2); b) (9X

4 – 8X 3 – 7X

2 + 5X – 3) : (X – 3); c) (3X

4 – 5X 3 – 2X

2 + 14X – 2) : (X – 5); d) (2X

4 – 18X 3 – 8X

2 + 5X – 6) : (X – 4); e) (4X

4 – 15X 3 – 9X

2 + 3X – 1) : (X – 6); f) (12X

4 – 9X 3 – 5X

2 + 6X – 7) : (X – 7).

13. Efectuaţi prin descompunere şi scrieţi teorema împărţirii: a) (27X

6 – 4) : (9X 4 + 6X

2 + 4); b) (8X 9 + 22) : (4X

6 – 6X 3 + 9).

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 14. Aflaţi restul împărţirii unui polinom P(X) la X – 1, dacă suma coeficienţilor lui

este –14. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 15. Aflaţi restul împărţirii unui polinom P(X) la X – 3, dacă P(3) = 18. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 16. Aflaţi restul împărţirii unui polinom P(X) la 2X – 1, dacă P(0,5) = –7. Formulaţi un exerciţiu asemănător.

17. Aplicând schema lui Horner, aflaţi câtul şi restul împărţirii (12X 4 – 5X

3 – 3X 2 +

4X – 2) : (X + 5). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 18. Aplicând schema lui Horner, aflaţi câtul şi restul împărţirii (2X

6 – 7X 4 – 9X

2 + 15X – 8) : (X – 7).



19. Aflaţi restul împărţirii unui polinom P(X) la (X – 5)(X + 2), dacă P(–2) = 8 şi P(5) = –3.

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 20. Aflaţi câtul şi restul împărţirii polinomului X

9 + 6X 6 + mX

4 + 7X + n la (X – 2)(X + 3), dacă P(–3) = 5 şi P(2) = –8.

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 21. Aflaţi câtul împărţirii:

a) 1 : (1 + X 2); b) 1 : (1 – X

3). Formulaţi un exerciţiu asemănător.


1. Aflaţi gradul câtului împărţirii po-linomului P1 la polinomul P2, dacă grad P1 = 17 şi grad P2 = 8.

2. Aflaţi gradul maxim al restului împărţirii polinomului P1 la polinomul P2, dacă grad P1 = 25 şi grad P2 = 19.


16 – 64) : (X 8 – 2);

b) (16X 2 – 8X + 1) : (4X – 1).

4. Scrieţi teorema împărţirii pentru: a) (X

20 – 20) : (X 10 – 4);

b) (9X 2 – 12X + 9) : (3X – 2).

5. Fie P(X) : (X + 13). Fără să cu-noaşteţi câtul şi restul, scrieţi teorema împărţirii.


18 – 8) : (3X 6 – 2);

b) [(2X – 5)3 + 10] : (2X – 5). 7. Efectuaţi:

a) (X 3 – 3X

2 + 7X – 4) : (X + 2); b) (X

4 – 5X 2 + 9X – 2) : (X – 3).

8. Aflaţi restul împărţirii unui po-linom P(X) la X – 9, dacă suma coefi-cienţilor lui este P(3) = 18.

9. Aflaţi restul împărţirii unui po-linom P(X) la (X – 4)(X + 3), dacă P(4) = –9 şi P(–3) = 4.

1. Aflaţi gradul câtului împărţirii po-linomului P1 la polinomul P2, dacă grad P1 = 14 şi grad P2 = 10.

2. Aflaţi gradul maxim al restului împărţirii polinomului P1 la polinomul P2, dacă grad P1 = 27 şi grad P2 = 25.


14 – 81) : (X 7 – 9);

b) (25X 2 – 10X + 1) : (5X – 1).

4. Scrieţi teorema împărţirii pentru: a) (X

18 – 20) : (X 9 – 5);

b) (25X 2 – 30X + 12) : (5X – 3).

5. Fie P(X) : (X + 19). Fără să cu-noaşteţi câtul şi restul, scrieţi teorema împărţirii.


21 – 27) : (2X 7 – 3);

b) [(3X – 4)3 + 15] : (3X – 4). 7. Efectuaţi:

a) (X 3 – 4X

2 + 6X – 3) : (X + 2); b) (X

4 – 7X 2 + 8X – 4) : (X – 3).

8. Aflaţi restul împărţirii unui po-linom P(X) la X – 11, dacă suma coefi-cienţilor lui este P(11) = 23.

9. Aflaţi restul împărţirii unui po-linom P(X) la (X – 5)(X + 2), dacă P(5) = –10 şi P(–2) = 3.



3. D i v i z i b i l i t a t e a p o l i n o a m e l o r

1. Comparaţi restul împărţirii polinomului: a) P(X) = X

2 – 3X – 10 la X – 5 cu P(5); b) P(X) = X

2 – 4X – 21 la X – 7 cu P(7); c) P(X) = X

2 – 6X – 40 la X – 10 cu P(10); d) P(X) = X

2 – 8X – 20 la X – 10 cu P(10); e) P(X) = X

2 – 8X – 33 la X – 11 cu P(11); f) P(X) = X

2 – 7X – 30 la X – 10 cu P(10). 2. Controlaţi dacă polinomul:

a) P(X) = X 2 – 3X + 2 se divide cu X – 2;

b) P(X) = X 2 – 51X + 50 se divide cu X – 50;

c) P(X) = X 2 – 79X + 78 se divide cu X – 78;

d) P(X) = X 2 – 83X + 82 se divide cu X – 82;

e) P(X) = X 2 – 105X + 2 se divide cu X – 104;

f) P(X) = X 2 – 301X + 300 se divide cu X – 300.

3. Controlaţi dacă polinomul: a) P(X) = X

3 – X 2 + 3X – 3 se divide cu X

2 + 3; b) P(X) = X

3 – 2X 2 + 4X – 8 se divide cu X

2 + 4; c) P(X) = X

3 – 3X 2 + 5X – 15 se divide cu X

2 + 5; d) P(X) = X

3 – 4X 2 + 7X – 28 se divide cu X

2 + 7; e) P(X) = X

3 – 5X 2 + 11X – 66 se divide cu X

2 + 11. 4. Decideţi dacă polinomul:

a) X 2 – 5X este reductibil; b) X

2 + 7X este reductibil; c) X

2 – 9X este reductibil; d) X 2 – 11X este reductibil;

e) X 2 + 5X este reductibil; f) X

2 + 12X este reductibil. 5. Decideţi dacă polinomul:

a) X 2 + 5X + 4 este reductibil; b) X

2 + 7X + 12 este reductibil; c) X

2 + 8X + 12 este reductibil; d) X 2 + 6X + 8 este reductibil;

e) X 2 + 9X + 20 este reductibil; f) X

2 + 10X + 16 este reductibil. 6. Decideţi dacă polinomul:

a) X 2 + 54 este reductibil; b) X

2 + 17 este reductibil; c) X

2 + 12 este reductibil; d) X 2 + 8 este reductibil;

e) X 2 + 20 este reductibil; f) X

2 + 16 este reductibil. 7. Decideţi dacă polinomul:

a) X 2 + 5X + 7 este reductibil; b) X

2 + 7X + 13 este reductibil; c) X

2 + 8X + 17 este reductibil; d) X 2 + 6X + 10 este reductibil;

e) X 2 + 9X + 21 este reductibil; f) X

2 + 10X + 26 este reductibil. 8. Aflaţi pentru ce valori reale ale lui m polinomul:

a) X 2 + 6X + m – 2 este reductibil; b) X

2 + 14X + m – 1 este reductibil; c) X

2 + 12X + m – 3 este reductibil; d) X 2 + 16X + m – 5 este reductibil;

e) X 2 + 10X + m – 4 este reductibil; f) X

2 + 18X + m – 6 este reductibil.


9. Aflaţi pentru ce valori reale ale lui m polinomul: a) X

2 + 20X + m – 6 este ireductibil; b) X 2 + 14X + m – 7 este ireductibil;

c) X 2 + 12X + m – 8 este ireductibil; d) X

2 + 22X + m – 11 este ireductibil; e) X

2 + 10X + m – 9 este ireductibil; f) X 2 + 18X + m – 6 este ireductibil.


2 + 4m – 11 este ireductibil; b) X 2 + 5m – 9 este ireductibil;

c) X 2 + 2m – 13 este ireductibil; d) X

2 + 7m – 3 este ireductibil; e) X

2 + 10m – 7 este ireductibil; f) X 2 + 18m – 13 este ireductibil.

11. Decideţi dacă polinomul: a) X

3 + 6 este ireductibil; b) X 3 + 13 este ireductibil;

c) X 3 + 8 este ireductibil; d) X

3 + 21 este ireductibil; e) X

3 + 14 este ireductibil; f) X 3 + 19 este ireductibil.







2n+1 + 19 este ireductibil; b) X 2n+3 + 33 este ireductibil;

c) X 2n–1 + 17 este ireductibil; d) X

2n–3 + 56 este ireductibil; e) X

2n+5 + 15 este ireductibil; f) X 2n–5 + 35 este ireductibil.







4 + 5X 2 – 11 este reductibil; b) X

4 + 9X 2 – 3 este reductibil;

c) X 4 + 7X

2 – 31 este reductibil; d) X 2 + 6X – 2 este reductibil;

e) X 4 + 11X

2 + 18 este reductibil; f) X 2 + 10X – 6 este reductibil.




c) X 6 + 7X

3 – 3 este reductibil; d) X 6 + 4X

3 – 7 este reductibil; e) X

6 + 11X 3 – 2 este reductibil; f) X

6 + 6X 3 – 13 este reductibil.




c) X 8 + 5X

4 – 3 este reductibil; d) X 8 + 8X

4 – 7 este reductibil; e) X

8 + 9X 4 – 6 este reductibil; f) X

8 + 4X 4 – 13 este reductibil.


10 + 18X 5 + m – 9 este reductibil;

b) X 10 + 4X

5 + m – 3 este reductibil; c) X


d) X 10 + 10X

5 + m – 2 este reductibil; e) X


f) X 10 + 12X

5 + m – 4 este reductibil. 19. Aflaţi pentru ce valori reale ale lui m polinomul:

a) X 12 – 18X

6 + m – 10 este ireductibil;


b) X 12 – 16X

6 + m – 9 este ireductibil; c) X

12 – 12X 6 + m – 11 este ireductibil;

d) X 12 – 10X

6 + m – 13 este ireductibil; e) X

12 – 8X 6 + m – 15 este ireductibil;

f) X 12 + 12X

6 + m – 7 este ireductibil. 20. Aflaţi restul împărţirii polinomului:

a) 4X 3 – 12X

2 + 8X – 9 la X – 6; b) 2X 3 – 10X

2 + 3X – 11 la X – 3; c) 5X

3 – 4X 2 + 9X – 10 la X – 5; d) 6X

3 – 14X 2 + 7X – 4 la X – 7;

e) 8X 3 – 5X

2 + 3X – 6 la X – 4; f) 7X 3 – 15X

2 + 11X – 2 la X – 8. 21. Aflaţi restul împărţirii polinomului:

a) 2X 3 – 9X

2 + 8X – 11 la X + 6; b) 3X 3 – 9X

2 + 3X – 11 la X + 3; c) 4X

3 – 6X 2 + 9X – 13 la X + 5; d) 5X

3 – 3X 2 + 7X – 4 la X + 7;

e) 8X 3 – 3X

2 + 3X – 12 la X + 4; f) 7X 3 – 6X

2 + 4X – 5 la X + 8. 22. Aflaţi restul împărţirii polinomului:

a) X 3 – X

2 + 8X – 11 la 2X + 1; b) X 3 – X

2 + 3X – 11 la 8X + 3; c) X

3 – X 2 + 9X – 13 la 5X + 1; d) X

3 – X 2 + 7X – 4 la 10X + 5;

e) X 3 – X

2 + 3X – 1 la 4X + 1; f) X 3 – X

2 + 4X – 5 la 4X + 3. 23. Aflaţi numărul real m pentru care polinomul:

a) 9X 3 – 12X

2 + 8mX – 7 se divide cu X – 1; b) 2X

3 – 10X 2 + 3X – 4m se divide cu X – 2;

c) 5X 3 – 4X

2 + 7mX – 6 se divide cu X – 1; d) 6X

3 – 14X 2 + 5X – 3m se divide cu X – 2;

e) 8X 3 – 5X

2 + 5mX – 6 se divide cu X – 1; f) 7X

3 – 15X 2 + 4mX – 2 se divide cu X – 2.


3 + 150X 2Y + 60XY

2 + 8Y 3 şi 125X

3 – 150X 2Y + 60XY

2 – 8Y 3;

b) 64X 3 + 144X

2Y + 108XY 2 + 27Y

3 şi 64X 3 – 144X

2Y + 108XY 2 – 27Y

3; c) 125X

3 + 225X 2Y + 135XY

2 + 27Y 3 şi 125X

3 – 225X 2Y + 135XY

2 – 27Y 3;

d) 8X 3 + 36X

2Y + 54XY 2 + 27Y

3 şi 8X 3 – 36X

2Y + 54XY 2 – 27Y

3; e) 27X

3 + 108X 2Y + 144XY

2 + 64Y 3 şi 27X

3 – 108X 2Y + 144XY

2 – 64Y 3;

f) 125X 3 + 300X

2Y + 240XY 2 + 64Y

3 şi 125X 3 – 300X

2Y + 240XY 2 – 64Y

3. 25*. Descompuneţi în factori polinomul:

a) 4X 2 + 9Y

2 + 1 + 12XY + 4X + 6Y şi 4X 2 + 9Y

2 + 1 – 12XY + 4X – 6Y; b) 16X

2 + 9Y 2 + 1 + 24XY + 8X + 6Y şi 16X

2 + 9Y 2 + 1 – 24XY + 8X – 6Y;

c) 9X 2 + 4Y

2 + 1 + 12XY + 6X + 4Y şi 9X 2 + 4Y

2 + 1 + 12XY – 6X – 4Y; d) 16X

2 + 4Y 2 + 1 + 16XY + 8X + 4Y şi 16X

2 + 4Y 2 + 1 + 16XY – 8X – 4Y;

e) 25X 2 + 4Y

2 + 1 + 20XY + 10X + 4Y şi 25X 2 + 4Y

2 + 1 + 20XY – 10X – 4Y; f) 9X

2 + 25Y 2 + 1 + 30XY + 6X + 10Y şi 9X

2 + 25Y 2 + 1 – 30XY – 6X + 10Y.

26. Aflaţi valorile reale ale lui m pentru care polinomul X 2 + 6(m + 3)X + 5 este

reductibil. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 27. Aflaţi valorile reale ale lui m pentru care polinomul X

2n + 4(m – 5)X n + 11, n ∈ N*, este reductibil.



28. Aplicând schema lui Horner, aflaţi restul împărţirii polinomului 8X 3 – 13X

2 + 9X – 11 la X – 7.

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 29. Aplicând schema lui Horner, aflaţi restul împărţirii polinomului 7X

3 – 3X 2 + 8X

– 13 la 2X + 1. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 30. Fie polinomul P(X). Aflaţi restul împărţirii polinomului P(X):

a) la X 2 + 4X – 21, dacă restul împărţirii lui P(X) la X – 3 este 4 şi împărţit la X

+ 7 dă restul –5; b) la X

2 + X – 20, dacă restul împărţirii lui P(X) la X – 4 este 2 şi împărţit la X + 5 dă restul –2.

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 31. Decideţi dacă numerele de forma n2 + 2n + 2, n ∈ N, sunt prime. Formulaţi un exerciţiu asemănător.

32. Aflaţi pentru ce valori reale ale lui m pentru care polinomul X 4 + 4(m – 5)X 2 +

m – 2 se descompune în factori de gradul I. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 33. Fie polinomul P(X). Aflaţi restul împărţirii polinomului P(X):

a) la X 2 – 5X + 4, dacă restul împărţirii lui P(X) la X – 1 este 4 şi P(8 – X) +

XP(X) împărţit la X – 4 dă restul 5; b) la X

2 – 5X + 6, dacă restul împărţirii lui P(X) la X – 2 este 4 şi P(6 – X) + XP(X) împărţit la X – 3 dă restul 16.

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 34. Fie polinomul P(X). Aflaţi restul împărţirii polinomului P(X):

a) la X 2 + X – 6, dacă restul împărţirii lui P(X) la X + 3 este 1 şi P(4 – X) + (X –

1)P(X) împărţit la X – 2 dă restul 8; b) la X

2 – X – 6, dacă restul împărţirii lui P(X) la X – 3 este 6 şi P(3X + 4) + (X + 3)P(X) împărţit la X + 3 dă restul 6.

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 35. Aflaţi restul împărţirii polinomului:

a) P(X) = X 3 – 2mX

2 + 3nX – 4 la X – 2, dacă restul împărţirii lui P(X) la X – 1 este –3 şi P(X) împărţit la X + 2 dă restul 4;

b) P(X) = X 3 – 5mX

2 + 2nX – 4 la X – 2, dacă restul împărţirii lui P(X) la X – 1 este –2 şi P(X) împărţit la X + 2 dă restul –4.

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 36. Demonstraţi că:

a) P(X) = P(X + 1) dacă şi numai dacă P(X) este polinom constant; b) P(X) = P(X + 2) dacă şi numai dacă P(X) este polinom constant.

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 37. Să se afle toate polinoamele cu coeficienţi reali care satisfac:

a) (X – 1)P(X – 1) = (X – 4)P(X); b) (X – 2)P(X – 2) = (X – 5)P(X).



38. Aflaţi polinomul de gradul III: a) divizibil cu X

2 – 3X – 4 şi care împărţit la X 2 + X – 12 dă restul 5X – 7;

b) divizibil cu X 2 – 3X – 10 şi care împărţit la X

2 + 2X – 24 dă restul 10X – 3. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 39. Scrieţi X

2 + 2(X + 1)2 – (X + 1) ca diferenţă a două cuburi. 40*. Aflaţi rădăcinile întregi ale polinomului:

a) X 4 + 2X

3 – 13X 2 – 14X + 24; b) X

4 + 2X 3 – 25X

2 – 26X + 120; c) X

4 – 2X 3 – 13X

2 + 14X + 24; d) X 4 – 2X

3 – 25X 2 + 26X + 120.

41*. Descompuneţi în factori polinomul: a) 2X

4 + 3X 3 – 3X – 2; b) 2X

4 + 3X 3 – X

2 + 3X + 2. 42*. Fie polinomul X

2 + 3mX – 5 cu rădăcinile x1, x2. Fără să calculaţi rădăcinile polinomului, aflaţi:

a) b) c) d) e) ;22

21 xx + ;3

231 xx + ;4

241 xx + ;5

251 xx + .6

261 xx +


1. Aflaţi valorile reale ale lui m pentru care polinomul X



2 + 12X + m – 7 este ireductibil.

3. Decideţi dacă polinomul X

16 – 3X 8 – 5 este reductibil.


24 + 4X 12 + m –

5 este reductibil. 5. Aflaţi restul împărţirii polinomu-

lui: a) 2X 2 + 7X – 3 la X – 4;

b) 7X 3 – 5X

2 + 3X – 8 la X + 3. 6. Aflaţi restul împărţirii polinomu-

lui: a) 3X 2 + 4X – 1 la 2X – 1;

b) 8X 3 – 2X

2 + 7X – 3 la 4X + 1. 7. Aflaţi valorile reale ale lui m

pentru care polinomul 5X 3 – 6X

2 + 4X – 2m se divide cu X – 3.

8. Aflaţi cea mai mică valoare reală a lui m pentru care polinomul X

2 + 4(m –2)X – 7 este reductibil.

9. Aflaţi restul împărţirii polinomului P(X) la X

2 + 5X + 6, dacă restul împăr-ţirii lui P(X) la X + 2 este 5 şi P(9 – 2X) + XP(X) împărţit la X + 3 dă restul 10.




2 + 14X + m – 5 este ireductibil.

3. Decideţi dacă polinomul X

18 – 5X 9 – 3 este reductibil.


26 + 6X 13 + m –

6 este reductibil. 5. Aflaţi restul împărţirii polinomu-

lui: a) 2X 2 + 9X – 2 la X – 4;

b) 6X 3 – 7X

2 + 2X – 9 la X + 3. 6. Aflaţi restul împărţirii polinomu-

lui: a) 4X 2 + 3X – 1 la 2X – 1;

b) 6X 3 – 3X

2 + 6X – 5 la 4X + 1. 7. Aflaţi valorile reale ale lui m

pentru care polinomul 4X 3 – 9X

2 + 3X – 4m se divide cu X – 2.

8. Aflaţi cea mai mică valoare reală a lui m pentru care polinomul X

2 + 6(m –2)X – 9 este reductibil.

9. Aflaţi restul împărţirii polinomului P(X) la X

2 – 9X + 20, dacă restul împăr-ţirii lui P(X) la X – 4 este 2 şi P(15 – 2X) + XP(X) împărţit la X – 5 dă restul 12.



4. F r a c ţ i i a l g e b r i c e

1. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens valoarea fracţiei (DVA):

a) ;322X

X − b) ;235X

X − c) ;549X

X − d) .837X

X −


a) ;11543

−−

XX b) ;

15492

−−

XX c) ;

17297

−−

XX d) .

194134

−−

XX


a) ;2543

46 XXX−− b) ;

47175

23 XXX−+ c) ;

5294

69 XXX−+ d) .

7356

911 XXX−+


a) ;325

122 −−

−XX

X b) ;142

752 −−

−XX

X c) ;243

232 −−

−XX

X

d) ;387

162 −−

−XX

X e) ;3102

82 −−

−XX

X f) .349

732 −−

−XX

X


a) ;124

132 +−

−XX

X b) ;243

152 +−

−XX

X c) ;342

142 +−

−XX

X

d) ;562

172 +−

−XX

X e) ;463

182 +−

−XX

X f) .265

192 +−

−XX

X


a) ;11025

122

2

+−+

XXX b) ;

14413

2

2

+−+XX

X c) ;169

142

2

+−+XX

X

d) ;1816

342

2

+−+XX

X e) ;11236

32

2

+−+

XXX f) .

114493

2

2

+−+

XXX


a) ;1610

224

2

+−+XX

X b) ;149

324

2

+−+

XXX c) ;

1894

24

2

+−+XX

X

d) ;209

524

2

+−+

XXX e) ;

3010124

2

+−+XX

X f) .2410

724

2

+−+XX

X


a) ;2410

224

2

−−+XX

X b) ;3910

524

2

−−+XX

X c) ;5610

624

2

−−+XX

X

d) ;7510

724

2

−−+XX

X e) ;208

124

2

−−+

XXX f) .

3389

24

2

−−+

XXX



a) ;2410

936

2

−−+XX

X b) ;109

136

2

−−+

XXX c) ;

2292

36

2

−−+

XXX

d) ;369

336

2

−−+

XXX e) ;

9094

36

2

−−+

XXX f) .

2085

36

2

−−+

XXX


a) ;1511

3

2

−+

XX b) ;

174

3

2

−+

XX c) ;

1113

3

2

−+

XX

d) ;143

3

2

−+

XX e) ;

174

3

2

−+

XX f) .

187

3

2

−+

XX


a) ;239

3

2

++

XX b) ;

222

3

2

++

XX c) ;

243

3

2

++

XX

d) ;154

3

2

++

XX e) ;

268

3

2

++

XX f) .

117

3

2

++

XX

12. Simplificaţi fracţia algebrică:

a) ;19

32

2

−+

XXX b) ;

142

2

2

−+

XXX c) ;

1255

2

2

−+

XXX

d) ;136

62

2

−+

XXX e) ;

1497

2

2

−+

XXX f) .

1819

2

2

−+

XXX


a) ;149

72

2

+++XX

XX b) ;209

52

2

+++XX

XX c) ;189

62

2

+++XX

XX

d) ;89

82

2

+++

XXXX e) ;

1893

2

2

+++XX

XX f) .209

42

2

+++XX

XX


a) ;145

724

3

−++XX

XX b) ;454

524

3

−++XX

XX c) ;505

524

3

−++XX

XX

d) ;665

624

3

−++XX

XX e) ;604

624

3

−++XX

XX f) .703

724

3

−++XX

XX


a) ;772

72

2

+−−

XXX b) ;

2222

2

2

+−−

XXX c) ;

3323

2

2

+−−

XXX

d) ;552

52

2

+−−

XXX e) ;

6626

2

2

+−−

XXX f) .

1111211

2

2

+−−

XXX



a) ;44

1072

2

+−+−

XXXX b) ;

96127

2

2

+−+−

XXXX c) ;

4423

2

2

+−+−

XXXX

d) ;9634

2

2

+−+−

XXXX e) ;

16845

2

2

+−+−

XXXX f) .

9665

2

2

+−+−

XXXX


a) ;324127

2

2

−++−

XXXX b) ;

214127

2

2

−++−

XXXX c) ;

454107

2

2

−++−

XXXX

d) ;124107

2

2

−++−

XXXX e) ;

454209

2

2

−++−

XXXX f) .

365209

2

2

−++−

XXXX


a) ;8

1073

2

+++

XXX b) ;

25107

3

2

+++

XXX c) ;

27127

3

2

+++

XXX

d) ;64

1273

2

+++

XXX e) ;

123

3

2

+++

XXX f) .

823

3

2

+++

XXX


a) ;125

1073

2

−+−

XXX b) ;

8107

3

2

−+−

XXX c) ;

27127

3

2

−+−

XXX

d) ;64

1273

2

−+−

XXX e) ;

125158

3

2

−+−

XXX f) .

27158

3

2

−+−

XXX


a) ;125

25103

2

−+−

XXX b) ;

844

3

2

−+−

XXX c) ;

2796

3

2

−+−

XXX

d) ;64

1683

2

−+−

XXX e) ;

1252510

3

2

+++

XXX f) .

2796

3

2

+++

XXX


a) ;27

933

2

−++

XXX b) ;

842

3

2

−++

XXX c) ;

11

3

2

−++

XXX

d) ;64

1643

2

−++

XXX e) ;

125255

3

2

−++

XXX f) .

216366

3

2

−++

XXX


a) ;216

3663

2

++−

XXX b) ;

11

3

2

++−

XXX c) ;

842

3

2

++−

XXX

d) ;27

933

2

++−

XXX e) ;

64164

3

2

++−

XXX f) .

125255

3

2

++−

XXX


a) ;1343333 XXX

−+ b) ;14114444 XXX

−+ c) ;1783555 XXX

−+


d) ;2187666 XXX

−+ e) ;16128777 XXX

−+ f) .351411101010 XXX

−+

24. Efectuaţi:

a) ;23

21

−−

+− X

XX

b) ;34

31

−−

+− X

XX

c) ;45

41

−−

+− X

XX

d) ;56

51

−−

+− X

XX

e) ;67

61

−−

+− X

XX

f) .78

71

−−

+− X

XX

25. Efectuaţi:

a) ;25

225

3−

−− X

XX

b) ;53

353

4−

−− X

XX

c) ;52

552

6−

−− X

XX

d) ;56

256

3−

−− X

XX

e) ;27

327

4−

−− X

XX

f) .74

274

9−

−− X

XX

26. Aflaţi c.m.m.m.c. al polinoamelor: a) X

2, (X – 1)3, X 2 – 1; b) X

3, (X – 1)2, X 2 – 1; c) X

2, X 3 + 1, X

6 – 1; d) X

5, X 2 + 1, X

4 – 1; e) X 4, X

2 – 1, X 4 – 1; f) X

2, X 3 – 1, X

6 – 1. 27. Aflaţi c.m.m.m.c. al polinoamelor:

a) 2X – 3, 2X + 3, 4X 2 + 12X + 9; b) 3X – 1, 3X + 1, 9X

2 – 6X + 1; c) 5X – 1, 5X + 1, 25X

2 + 10X + 1; d) 7X – 1, 7X + 1, 49X 2 + 14X + 1;

e) 2X – 1, 2X + 1, 4X 2 + 4X + 1; f) 3X – 2, 3X + 2, 9X

2 + 12X + 4. 28. Efectuaţi:

a) ;12

212

3+

+− XX

b) ;2

52

3+

+− XX

c) ;13

513

4+

+− XX

d) ;14

514

2+

+− XX

e) ;3

33

2+

+− XX

f) .4

34

5+

+− XX

29. Efectuaţi:

a) ;469

223

32 ++

+− XXX

b) ;42

42

32 ++

+− XXX

c) ;139

213

52 ++

+− XXX

d) ;124

412

52 ++

+− XXX

e) ;1416

314

52 ++

+− XXX

f) .164

34

22 ++

+− XXX

30. Efectuaţi:

a) ;23

723

4+

−− XX

b) ;3

23

5+

−− XX

c) ;4

34

4+

−− XX

d) ;5

35

5+

−− XX

e) ;7

67

4+

−− XX

f) .8

38

2+

−− XX

31. Efectuaţi:

a) ;25104

752

32 +−

−+ XXX

b) ;255

25

32 +−

−+ XXX

c) ;164

44

32 +−

−+ XXX

d) ;124

412

52 +−

−+ XXX


e) ;139

313

52 +−

−+ XXX

f) .1525

315

42 +−

−+ XXX


a) ;93

87

−−

⋅++

XX

XX b) ;

94

86

−−

⋅++

XX

XX c) ;

32

79

−−

⋅++

XX

XX d) .

21

67

−−

⋅++

XX

XX


a) ;)6()8(

)8()6(

10

8

5

7

−+

⋅+−

XX

XX b) ;

)1()2(

)2()1(

4

7

9

5

−+

⋅+−

XX

XX c) ;

)2()2(

)2()2(

8

4

3

7

−+

⋅+−

XX

XX

d) ;)3()1(

)1()3(

5

6

7

6

−+

⋅+−

XX

XX e) ;

)3()4(

)4()3(

4

6

5

3

−+

⋅+−

XX

XX f) .

)5()3(

)3()5(

8

5

6

9

−+

⋅+−

XX

XX


a) ;143:

7243

−−

+−

XX

XX b) ;

152:

1252

+−

+−

XX

XX c) ;

232:

1332

+−

+−

XX

XX

d) ;372:

1272

+−

+−

XX

XX e) ;

434:

1234

+−

+−

XX

XX f) .

254:

1654

+−

+−

XX

XX

35. Efectuaţi şi scrieţi rezultatul ca putere:

a) ;)56()15(

4

7

6

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

XX b) ;

)15()13(

6

3

2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

XX c) ;

)34()32(

7

4

3

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

XX d) .

)23()14(

3

5

5

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

XX

36. Simplificaţi fracţia algebrică .4911264

)53()2(22

22

YXYXYXYX

+−−−−

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 37. Aflaţi fracţia algebrică ireductibilă egală cu fracţia algebrică:

a) ;64336588243

16564923

2

−+−+−

XXXXX b) .

125225272712527

23

3

−+−−

XXXX


a) ;2754368

29124

3232 −+−

++− XXXXX

b) .6414410827

76427

1233 +++

−+ XXXX


39. Aduceţi la forma cea mai simplă .64481227279

2764

23

23

3

3

−+−−+−

⋅−−

XXXXXX

XX


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−++

−−

+ 411

1228

31

41

2 XXXXX.



⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

+−

−++−

+8

91249492

322

325:

18128278 2

22

3 XXXX

XXXXX .

42. Se ştie că x

x 1+ = 2004. Calculaţi 2

2 1x

x + şi .13

3

xx +


43. Decideţi dacă fracţia 52

3++

nn este reductibilă pentru orice n ∈ Z.


44. Stabiliţi dacă fracţia 7532

++

nn este ireductibilă pentru orice n ∈ Z.


45. Simplificaţi fracţia algebrică: a) ;1

12004 −−

XX b) .

11

2005 ++

XX


a) ;)1(

2004...)1(

41

320022 +

+++

++ XXX

b) .)1(

2005)1(

2004...)1(

61

5200120002 −

+−

−+−

−− XXXX


47. Reprezentaţi sintetic mulţimea ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∈−−+

∈ ZZ5

5652

24

nnnn .

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 48. Scrieţi cât mai simplu:

a) ...;151

151

151

32 +++ b) ...,11132 +++

xxx | x | > 1.


49. Raţionalizaţi numitorul raportului: a) ;1

12004 −x

b) .1

12005 +x


50*. Aduceţi la forma cea mai simplă .)2)((

12004

0∑= +++i iXiX

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 51*. Aflaţi fracţia algebrică ireductibilă egală (pe acelaşi DVA) cu:

a) ;241015

24227424

234

+−−++−−

XXXXXXX b) .

3051053

234

234

−+−+−−+−

XXXXXXXX



1. Simplificaţi fracţia algebrică

.16

862

2

−+−

XXX


.652411

2

2

+−+−

XXXX


.64

4443

2

−+−

XXX


a) ;9

129

3−−

+− X

XX

b) .72

17283

−−

−−−

XX

XX


a) ;13

213

3+

+− XX

b) .23

323

2+

−− XX


a) ;)12()9(

)9()12(

9

8

6

8

−−

⋅−−

XX

XX

b) .32

5:2312

−−

−−

XX

XX


a) ;139

313

22 ++

+− XXX

b) .1464

314

12 +−

−+ XXX

8. Decideţi dacă fracţia algebrică

4332

++

XX este ireductibilă.

9. Reprezentaţi sintetic mulţimea

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∈−−+

∈ ZZ3

2432

24

nnnn .


.4

862

2

−+−

XXX


.891610

2

2

+−+−

XXXX


.125

5053

2

−+−

XXX


a) ;8

158

7−−

+− X

XX

b) .52

15263

−−

−−−

XX

XX


a) ;12

312

2+

+− XX

b) .32

232

3+

−− XX


a) ;)13()3(

)3()13(

7

7

5

5

−−

⋅−−

XX

XX

b) .234:

1213

−−

−−

XX

XX


a) ;1464

314

22 ++

+− XXX

b) .139

313

12 +−

−+ XXX

8. Decideţi dacă fracţia algebrică

2312

++

XX este ireductibilă.

9. Reprezentaţi sintetic mulţimea

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∈+−−

∈ ZZ3

1432

24

nnnn .



C A P I T O L U L V

Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii

Ecuaţie. O ecuaţie este o propoziţie cu variabile (în logica matematică se numeşte predicat). Variabilele unei ecuaţii se numesc necunoscute. Fie expresiile f(x), g(x), x ∈ M (mulţime de numere). Atunci f(x) = g(x), x ∈ M, este o ecuaţie cu necunoscu-ta x. Ecuaţia f(x) = g(x), x ∈ M, are membrul stâng f(x) şi membrul drept g(x). Numă-rul s este soluţie a ecuaţiei f(x) = g(x), x ∈ M, dacă s ∈ M şi f(s) = g(s) este o propo-ziţie adevărată. Mulţimea soluţiilor unei ecuaţii se notează S.

Ecuaţia de gradul I cu o necunoscută. Fie polinomul de gradul I P(X) = aX + b. Ecuaţia ataşată polinomului P(X), ax + b = 0, a ∈ R*, x ∈ R, este o ecuaţie de gradul I cu necunoscuta x. Ecuaţia ax + b = 0 are coeficienţii a şi b. În plus, ei se numesc: a – coeficientul necunoscutei şi b – termenul liber.

Ecuaţii echivalente. Două ecuaţii de gradul I sunt echivalente dacă au aceeaşi ne-cunoscută aparţinând aceleiaşi mulţimi şi se obţin una din cealaltă aplicând proprie-tăţile egalităţii numerelor reale. Ecuaţiile echivalente au aceeaşi mulţime de soluţii.

Tipuri de ecuaţii cu o necunoscută. Fie ecuaţia ax + b = 0, x ∈ R. 1) Dacă a şi b

sunt numere nenule, atunci ecuaţia are o singură soluţie, .ab

− 2) Dacă a = 0 şi b ≠ 0,

atunci ecuaţia nu are soluţii sau S = ∅. 3) Dacă a = 0 şi b = 0, atunci orice număr real este soluţie a ecuaţiei sau S = R.

Ecuaţia de gradul II în R. Fie polinomul de gradul II cu coeficienţi reali +2aX

bX + c. Evident că a ≠ 0. Atunci ecuaţia ataşată acestui polinom, + bx + c = 0, 2axeste o ecuaţie de gradul II. La rezolvarea unei ecuaţii de gradul II se aplică proprietă-ţile egalităţii numerelor reale şi teorema: un produs de numere reale este egal cu 0 dacă şi numai dacă cel puţin unul dintre factorii produsului este egal cu 0.

Ecuaţii de gradul II forme incomplete. 1) Ecuaţia = 0 are mulţimea soluţii-2axlor S = {0}. 2) Fie ecuaţia + bx = 0. + bx = 0 ⇔ x(ax + b) = 0. Ecuaţia are 2ax 2ax

mulţimea soluţiilor S = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

ab,0 . 3) Fie ecuaţia + c = 0. Atunci + c = 0 ⇔ 2ax 2ax

2ax = − c ⇔ = 2x .ac

− a) Dacă ac < 0, atunci ecuaţia are S =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−ac

ac , .

b) Dacă ac > 0, atunci ecuaţia nu are soluţii reale sau S = ∅.

Ecuaţia de gradul II forma completă. Fie ecuaţia + bx + c = 0 cu a, b, c 2axnumere reale nenule. + bx + c = 0 ⇔ + 4abx + 4ac = 0 ⇔ + 4abx 2ax 224 xa 224 xa+ − + 4ac = 0 ⇔ − ) = 0. Numărul ∆ (se citeşte „delta“) = 2b 2b 2)2( bax + 4( 2 acb −

Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii 83

acb 42 − este discriminantul (realizantul) ecuaţiei. a) Dacă ∆ > 0, atunci = 1x

ab

2∆−− şi = 2x ,

2ab ∆+− iar S =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∆+−∆−−

ab

ab

2,

2. În particular, dacă: b =

2b′, atunci = 1x acbb −′−′− 2 şi = 2x ,2 acbb −′+′− iar S = ,2{ acbb −′−′−

}2 acbb −′−′− ; a = 1, atunci = 1x2

42 cbb −−− şi = 2x ,2

42 cbb −+− iar S =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∆+−∆−−

ab

ab

2,

2. b) Dacă ∆ = 0, atunci = = 1x 2x ,

2ab

− iar S = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

ab

2.

c) Dacă ∆ < 0, atunci ecuaţia nu are soluţii reale, S = ∅. Teoremă. Mulţimea soluţiilor în R ale unei ecuaţii de gradul II: a) are două ele-

mente dacă şi numai dacă discriminantul său este mai mare decât 0 (∆ > 0); b) un sin-gur element dacă şi numai dacă discriminantul său este egal cu 0 (∆ = 0); c) mulţimea vidă dacă şi numai dacă discriminantul său este mai mic decât 0 (∆ < 0).

Rădăcinile reale ale polinomului de gradul II cu coeficienţi reali P(X) = 2aX+ bX + c. Numărul r este rădăcină a polinomului P(X), dacă P(r) = 0. a) Dacă ∆ > 0,

atunci polinomul are rădăcinile =1x ab

2∆−− şi =2x .

2ab ∆+− În particular, dacă: b

= 2b′, atunci polinomul are rădăcinile = 1x acbb −′−′− 2 şi = 2x ;2 acbb −′+′−

a = 1, atunci el are = 1x2

42 cbb −−− şi = 2x .2

42 cbb −+− b) Dacă ∆ = 0,

atunci rădăcinile polinomului sunt = = 1x 2x .2ab

− c) Dacă ∆ < 0, atunci polinomul

nu are rădăcini reale. Teoremă. Un polinom de gradul II: a) are două rădăcini reale diferite dacă şi

numai dacă are discriminantul mai mare decât 0 (∆ > 0); b) două rădăcini reale egale dacă şi numai dacă are discriminantul egal cu 0 (∆ = 0); c) nu are rădăcini reale dacă şi numai dacă are discriminantul mai mic decât 0 (∆ < 0).

Descompunerea polinomului de gradul II cu coeficienţi reali P(X) = + bX 2aX+ c. Dacă ∆ > 0, atunci P(X) = ),)(( 21 xXxXa −− unde rădăcinile şi sunt rădă-1x 2xcinile reale ale polinomului.

Teorema lui Viète pentru rădăcinile polinomului de gradul II + bX + c. 2aX

a) Dacă ∆ > 0, atunci polinomul are rădăcinile = 1xa

b2

∆−− şi = 2x .2a

b ∆+−

Suma rădăcinilor este s = = 21 xx + ,ab

− iar produsul rădăcinilor este p = = 21xx .ac

b) Dacă ∆ = 0, atunci rădăcinile polinomului sunt = = 1x 2x .2ab

− Suma rădăcinilor


este s = = 21 xx + ,ab

− iar produsul rădăcinilor este p = = 21xx .ac

Alte relaţii între coeficienţii şi rădăcinile polinomului de gradul II + bX 2aX+ c. Fie s = 21 xx + şi p = 1) Suma pătratelor rădăcinilor este = = .21xx )2(s 2

221 xx +

221 )( xx + − = − 2p. 2) Suma cuburilor rădăcinilor este = = 212 xx 2s )3(s 3

231 xx +

321 )( xx + − )( 2121 xxxx + = − 3sp. 3) + c = 0 ⇒ 3s 1

21 bxax + 1

21 x

abx + +

ac = 0 ⇒

121 sxx − + p = 0, (1). Analog se obţine relaţia + p = 0, (2). Înmulţind relaţia 2

22 sxx −

(1) cu obţinem + = 0, (3). Înmulţind relaţia (2) cu obţi-,21−nx 1

11−− nn sxx 2

1−npx ,2

2−nx

nem + = 0, (4). Adunând relaţiile (3) şi (4), obţinem − 122−− nn sxx 2

2−npx )( 21

nn xx +

)( 12

11

−− + nn xxs + = 0, de unde rezultă − + = 0, (5). )( 22

21

−− + nn xxp )(ns )1( −nss )2( −npsPolinom de gradul II cu rădăcinile date şi coeficientul dominant 1. Polinomul

de gradul II în nedeterminanta X cu coeficientul dominant 1 şi rădăcinile m şi n este 2X − sX + p, unde s = m + n şi p = mn. Relaţii între coeficienţii şi soluţiile ecuaţiei de gradul II + bx + c = 0. Dacă 2ax

∆ ≥ 0, atunci ecuaţia are soluţiile = 1xa

b2

∆−− şi = 2x .2a

b ∆+− Suma soluţiilor

este s = = 21 xx + ,ab

− iar produsul soluţiilor este p = = 21xx .ac

Alte relaţii între coeficienţii şi soluţiile ecuaţiei de gradul II + bx + c = 0. 2axFie s = şi p = 1) Suma pătratelor soluţiilor este = = − 2p. 21 xx + .21xx )2(s 2

221 xx + 2s

2) Suma cuburilor rădăcinilor este = = − 3sp. 3) + c = 0 ⇒ )3(s 32

31 xx + 3s 1

21 bxax +

121 x

abx + +

ac = 0 ⇒ + p = 0, (1). Analog se obţine relaţia + p = 0, 1

21 sxx − 2

22 sxx −

(2). Înmulţind relaţia (1) cu obţinem + = 0, (3). Înmulţind ,21−nx 1

11−− nn sxx 2

1−npx

relaţia (2) cu obţinem + = 0, (4). Adunând relaţiile (3) şi (4), ,22−nx 1

22−− nn sxx 2

2−npx

obţinem − + = 0, de unde rezultă − )( 21nn xx + )( 1

21

1−− + nn xxs )( 2

22

1−− + nn xxp )(ns

)1( −nss + = 0, (5). )2( −npsReciproca teoremei lui Viète. Dacă se dau suma şi diferenţa a două numere,

atunci există o ecuaţie de gradul II care are soluţiile cele două numere. Ecuaţia de gradul II cu soluţiile date. Ecuaţia de gradul II cu soluţiile m şi n este

2x − sx + p, unde s = m + n şi p = mn. Suplimentar. Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mare decât II.

Ecuaţia ataşată unui polinom de gradul III este o ecuaţie (algebrică) de gradul III. Pentru a rezolva o astfel de ecuaţie se poate aplica teorema lui Bézout şi schema lui Horner.

Exemplu. Rezolvaţi ecuaţia x4 – 8x3 + 25x2 – 38x + 24 = 0.


Rezolvare. Divizorii întregi ai lui 24 sunt: –24, –12, –8, –6, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Prezentăm numai variantele încercările reuşite. X4 X3 X2 X1 X0

3 1 –8 25 –38 24 2 1 3–8 = –5 –15+25 = 10 30–38 = –8 –24+24 = 0 1 2–5 = –3 2(–3)+10 = 4 8–8 = 0

Am obţinut X4 – 8X3 + 25X2 – 38X + 24 = (X – 3)(X – 2)(X2 – 3X + 4). X2 – 3X + 4 este ireductibil în R, deoarece are ∆ = 9 – 16. Prin urmare, ecuaţia x4 – 8x3 + 25x2 – 38x + 24 = 0 are soluţiile reale 2 şi 3.

Suplimentar. Relaţiile lui Viète pentru polinomul de gradul III şi ecuaţia de gradul III. Pentru aceasta este suficient să examinăm egalitatea aX3 + bX2 + cX + d = a(X – x1)(X – x2)(X – x3), unde x1, x2, x3 sunt rădăcinile reale are polinomului aX3 + bX2 + cX + d. Forma canonică a polinomului a(X – x1)(X – x2)(X – x3) este aX3 – a(x1 + x2 + x3)X2 + a(x1x2 + x1x3 + x2x3)X – ax1x2x3 şi rezultă b = – a(x1 + x2 + x3), c =

a(x1x2 + x1x3 + x2x3), d = –ax1x2x3, de unde x1 + x2 + x3 = ,ab

− x1x2 + x1x3 + x2x3 =

,ac x1x2x3 = .

ad

− Obţinem: s1 = x1 + x2 + x3, s2 = x1x2 + x1x3 + x2x3, s3 = x1x2x3.

Suplimentar. Ecuaţia de gradul III cu soluţiile reale date. Ecuaţia de gradul III cu soluţiile reale x1, x2, x3 este (x – x1)(x – x2)(x – x3) = 0 este echivalentă cu x3 – s1x2 + s2x – s3 = 0, unde s1 = x1 + x2 + x3, s2 = x1x2 + x1x3 + x2x3, s3 = x1x2x3.

Sistem, totalitate. Fie ecuaţiile f(x, y) = 0, g(x, y) = 0, (x, y) ∈ D ⊆ R × R. Propoziţia cu variabile „ f(x, y) = 0 şi g(x, y) = 0, (x, y) ∈ D ⊆ R × R“ este un sistem

de două ecuaţii cu două necunoscute şi se notează ⎩⎨⎧

==

.),(

),(

00

yxgyxf

s = ∈ D ),( 00 yx

este soluţie a sistemului, dacă propoziţia „ = 0 şi = 0“ este ),( 00 yxf ),( 00 yxgadevărată. Propoziţia cu variabile „ f(x, y) = 0 sau g(x, y) = 0, (x, y) ∈ D ⊆ R × R“

este o totalitate de două ecuaţii cu două necunoscute şi se notează s = ⎢⎣

⎡==

.),(

),(

00

yxgyxf

),( 00 yx ∈ D este soluţie a totalităţii, dacă propoziţia „ = 0 sau = ),( 00 yxf ),( 00 yxg0“ este adevărată.

Sisteme de ecuaţii echivalente. Două sisteme de ecuaţii sunt echivalente dacă au aceleaşi necunoscute aparţinând aceleiaşi mulţimi şi se obţin unul din celălalt apli-când proprietăţile egalităţii numerelor reale. Sistemele de ecuaţii echivalente au ace-eaşi mulţime de soluţii.

Metode de rezolvare algebrică a sistemelor de două ecuaţii cu două necunoscute. Rezolvarea prin metoda substituţiei: 1) din una dintre ecuaţii se expri-mă o necunoscută în funcţie de cealaltă; 2) se substituie (înlocuieşte) această necunoscută în cealaltă ecuaţie a sistemului; 3) se rezolvă ecuaţia obţinută; 4) se află cealaltă necunoscută a sistemului; 5) se obţine soluţia sistemului sau mulţimea soluţii-lor sistemului.

Rezolvarea prin metoda reducerii: 1) se examinează sistemul şi se constată dacă coeficienţii unei necunoscute sunt egali sau opuşi, după care se alege una dintre vari-


antele: a) pentru da se trece la pasul 3); b) pentru nu se trece la pasul 2); 2) aplicând proprietăţile egalităţii, se obţine un sistem echivalent cu cel dat, care are proprietatea că una dintre necunoscute are coeficienţii egali sau opuşi în ambele ecuaţii; 3) prin adunarea sau scăderea ecuaţiilor sistemului, se obţine un sistem echivalent cu cel ini-ţial (sau cu precedentul, dacă s-a executat pasul 2)); 4) se află una dintre necunoscute; 5) se află prin substituţie a doua soluţie a sistemului; 6) se scrie soluţia sau mulţimea soluţiilor sistemului.

Introducerea unor necunoscute auxiliare. Exemple:

1) Rezolvaţi în R × R sistemul

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=+

.1623

2111

yx

yx

Rezolvare. Fie .1y

u = Se obţine sistemul ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+

,1632

11

ux

ux care se rezolvă prin substi-

tuţie.

2) Rezolvaţi în R × R sistemul simetric Sistemul este simetric, ⎩⎨⎧

=+

=+

.152

833 yx

yx

deoarece înlocuind necunoscutele între ele se obţine acelaşi sistem. Se înlocuieşte x + y = s şi xy = p. Se ţine cont că x3 + y3 = s3 – 3sp şi se obţine

sistemul ⎩⎨⎧

=−

=

.1523

83 sps

s

⎩⎨⎧

==

⇔⎩⎨⎧

=−=

.158

152245128

ps

ps

Soluţiile sistemului se obţin rezolvând ecuaţia t2 –

8t + 15 = 0. Soluţiile ecuaţiei sunt 3 şi 5 iar soluţiile sistemului sunt (3, 5) şi (5, 6).

3) Rezolvaţi în R × R sistemul omogen Sistemul este omogen, de-⎩⎨⎧

=+=+

.1135723

yxyx

oarece polinoamele P(X, Y) = 3X + 2Y şi Q(X, Y) = 5X + 3Y sunt polinoame omogene de gradul I. Fie x = ty. Atunci:

.5,01221352233117

3523

11)35(7)23(

=⇔=⇔+=+⇒=++

⇒⎩⎨⎧

=+=+

tttttt

tyty

y(1,5 + 2) = 7 ⇔ y = 2 ⇒ x = 1. Sistemul are soluţia (1, 2).

4) Rezolvaţi în R × R sistemul omogen Sistemul este omogen, ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−

−=−

.72

1322

22

yx

yx

deoarece polinoamele P(X, Y) = 3X2 – Y2 şi Q(X, Y) = –X2 + 2Y2 sunt polinoame omo-gene de gradul II. Fie x = ty. Atunci:

.5,025,0272171

213

7)2(

1)13( 2222

2

22

22

=⇔=⇔−=−⇒−=+−−

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−

−=−|| tttt

tt

ty

ty


y2(0,75 –1) = –1 ⇔ y2 = 4. Soluţiile în R × R ale sistemului sunt (–1, –2), (–1, 2), (1, –2), (1, 2).

Totalităţi de ecuaţii. Exemple. 1) Rezolvaţi în R ecuaţia x2 – 14x + 13 = 0.

Rezolvare. Ecuaţia are ∆′ = 49 – 13 = 36. Atunci x2 – 14x + 13 = 0 ⇔ ⇔ ⎢⎣

⎡==

131

xx

S = {1, 13}. 1) Rezolvaţi în R ecuaţia (x2 – 15x + 50)(x2 – 4x – 21) = 0. Rezolvare. Ecuaţia x2 – 15x + 50 = 0 are ∆ = 225 + 200 = 425, x2 – 4x – 21 = 0 are

∆′ = 4 + 21 = 25 Atunci (x2 – 15x + 50)(x2 – 4x – 21) = 0 ⇔ ⇔ ⎢⎢⎣

⎡

=−−

=+−

0214

050152

2

xx

xx

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−=

==

73

105

xxxx

⇒ S = {–3, 5, 7, 10}.

1. E c u a ţ i i d e f o r m a ax + b = 0, a ∈ R, b ∈ R

1. Stabiliţi care dintre ecuaţiile următoare au soluţii în mulţimea {−2, −1, 0, 2, 3, 4}: a) 5x − 2 = 8; b) 8x + 3 = 11; c) x2 + 2x – 3 = 0; d) x2 + 2x – 3 = 0.

2. Aplicând proprietăţile egalităţii numerelor reale, construiţi trei ecuaţii echivalente cu ecuaţia:

a) 6x − 7 = 8; b) 3x − 4 = 5; c) 6x − 4 = 5; d) 5x − 8 = 7. 3. Rezolvaţi în R ecuaţia:

a) 3x + 14 = 0; b) 5x + 9 = 0; c) 5x + 8 = 0; d) 4x + 19 = 0. 4. Rezolvaţi în R ecuaţia:

a) ;052

43

=+x b) ;041

53

=+x c) ;032

61

=+x d) .043

85

=+x

5. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 4x − 7 = −15; b) 2x − 3 = 4; c) 8x − 16 = 7; d) 5x + 11 = −3.

6. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) ;37334 =−x b) ;211275 =−x c) ;611678 =−x d) ;713744 =−x e) ;1141138 =−x f) .13713145 =−x

7. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 8z + 9 = 3z − 6; b) 3z + 9 = 12z − 4; c) 2z + 5 = 9z − 11; d) 4z + 5 = 3z − 9; e) 11z + 9 = 8z − 13; f) 14z + 8 = 9z − 16.

8. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 4(2t + 5) = 9t − 23; b) 2(3t + 4) = 12t − 28; c) 3(2t + 5) = 15t − 18; d) 5(2t + 3) = 16t − 12; e) 4(2t + 1) = 24t − 3; f) 2(11t + 2) = 19t − 25.


9. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 8(7z −9) = 9(8z − 5); b) 2(4z − 3) = 3(2z − 1); c) 3(5z − 2) = 2(4z − 1); d) 5(2z − 1) = 2(2z − 3); e) 2(5z − 2) = 3(4z − 3); f) 4(3z − 2) = 3(3z − 2).


a) ;7326

52

−=− xx b) ;4312

41

−=− xx c) ;8213

53

−=− xx

d) ;11528

43

−=− xx e) ;9415

85

−=− xx d) .16217

83

−=− xx


a) ;5

123

7=

x b) ;4

115

6=

x c) ;5

1283

=x d) ;

115

94

=x e) .

65

119

=x

12. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) ;553 −=x b) ;774 =x c) ;885 −=x d) .15156 =x

13. Aflaţi raţia unei progresiei aritmetice dacă: a) suma a cinci termeni consecutivi ai ei este 72 şi primul termen 2; b) suma a trei termeni consecutivi ai ei este 44 şi primul termen 8; c) suma a patru termeni consecutivi ai ei este 48 şi primul termen 6; d) suma a cinci termeni consecutivi ai ei este 64 şi primul termen 3; e) suma a cinci termeni consecutivi ai ei este 36 şi primul termen 5; f) suma a cinci termeni consecutivi ai ei este 28 şi primul termen 4.

14. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) | 3x – 7 | = 9; b) | 2x – 3 | = 4; c) | 4x – 1 | = 12; d) | 2x – 3 | = 5; e) | 3x – 2 | = 7; f) | 2x – 5 | = 4.

15. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 8(x + 7) + 6 = 5(x − 2) + 11; b) 9(x + 4) + 5 = 8(x − 2) + 7; c) 5(x + 2) + 9 = 4(x − 3) + 12; d) 6(x + 5) + 10 = 3(x − 4) + 15; d) 2(x + 3) + 2 = 3(x − 5) + 13; e) 3(x + 6) + 8 = 6(x − 7) + 5.


a) ;13

31195 xx −

= b) ;741

163 xx −

= c) ;851

173 xx −

=

d) ;551

134 xx −

= e) ;551

134 xx −

= f) .241

196 xx −

=

17. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) (3x – 2)2 + (5x + 1)2 = (3x + 5)2 + (5x – 2)2; b) (4x – 1)2 + (2x + 3)2 = (4x + 3)2 + (2x – 1)2; c) (5x – 1)2 + (3x + 1)2 = (3x + 2)2 + (5x – 2)2; d) (6x – 1)2 + (3x + 2)2 = (6x + 5)2 + (3x – 1)2; e) (5x – 2)2 + (4x + 3)2 = (5x + 1)2 + (4x – 1)2; f) (6x – 5)2 + (5x + 2)2 = (6x + 1)2 + (5x – 3)2.

18. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) (20x – 1)2 + (21x + 2)2 = (29x + 1)2; b) (3x – 2)2 + (4x + 1)2 = (5x + 2)2; c) (5x – 2)2 + (12x + 1)2 = (13x + 3)2; d) (8x – 1)2 + (15x + 2)2 = (17x + 2)2; e) (7x – 1)2 + (24x + 1)2 = (25x + 2)2; f) (9x – 1)2 + (40x + 1)2 = (41x + 3)2.


19. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) (4x − 3)(5x + 4) = (2x + 7)(10x − 8) + 11; b) (2x − 5)(3x + 1) = (6x + 1)(x − 6) + 26; c) (2x − 3)(6x + 1) = (3x + 1)(4x − 3) + 15; d) (8x − 1)(3x + 3) = (6x + 5)(4x − 1) + 21; e) (2x − 3)(12x + 1) = (6x + 1)(4x − 5) + 25.

20. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) | 2x + 3 | + | 3y − 8 | + | 5z − 14| = 0; b) | 7x + 3 | + | 4y − 6 | + | 5z − 3| = 0; c) | 3x + 4 | + | 5y − 8 | + | 9z − 2| = 0; d) | 8x + 11 | + | 5y − 9 | + | 7z − 2| = 0.


a) ;32

213

5+

=− xx

b) ;32

352

2−

=− xx

c) ;72

123

4−

=− xx

d) ;92

274

3−

=− xx

e) ;72

394

4+

=− xx

f) .112

434

3+

=+ xx

22. Aflaţi parametrul a pentru care: a) –5 este soluţie a ecuaţiei 2x + 11 = 3x + a; b) –2 este soluţie a ecuaţiei 3x + 9 = 4x + a; c) –1 este soluţie a ecuaţiei 5x + 4 = 5x + a; d) 2 este soluţie a ecuaţiei 4x + 3 = 2x + a; e) –3 este soluţie a ecuaţiei 6x + 7 = 8x + a; f) 3 este soluţie a ecuaţiei 5x + 2 = 9x + a.

23. Aflaţi numărul real m pentru care: a) 3X

3 – 6X 2 + 5X – 7m se divide cu X + 3;

b) 2X 3 – 2X

2 + 3X – 9m se divide cu X – 2; c) 2X

3 – 7X 2 + 2X – 6m se divide cu X + 4;

d) 4X 3 – 3X

2 + 8X – 11m se divide cu X – 3; e) 5X

3 – 8X 2 + 4X – 5m se divide cu X – 4;

f) 2X 3 + 2X

2 – 9X – 2m se divide cu X + 5. 24. Aflaţi numărul real m pentru care:

a) restul împărţirii lui 8X 3 – 2X

2 + 9mX – 12 la X + 3 să fie egal cu –17; b) restul împărţirii lui 2X

3 – 3X 2 + 4mX – 19 la X – 2 să fie egal cu 11;

c) restul împărţirii lui 3X 3 – 4X

2 + 8mX – 4 la X + 4 să fie egal cu 15; d) restul împărţirii lui 2X

3 – 5X 2 + 2mX – 5 la X – 3 să fie egal cu 14;

e) restul împărţirii lui 4X 3 + 2X

2 – 7mX – 18 la X + 5 să fie egal cu 13; f) restul împărţirii lui 5X

3 + 3X 2 – 3mX – 11 la X – 5 să fie egal cu 12.

25. Rezolvaţi în Z ecuaţia: a) (2x − 1)(y + 3) = 6; b) (4x − 3)(2y + 1) = 8.

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 26. Controlaţi dacă:

a) 28− este soluţie a ecuaţiei x4 – 16x2 + 14 = 0;


b) 53+ este soluţie a ecuaţiei x4 – 9x2 + 5 = 0. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 27. Aflaţi ecuaţia de grad minim, cu coeficienţi întregi, cu 73− una dintre so-

luţii. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 28. Dacă adunăm, pe rând, unui număr 24, 32, 41, obţinem trei numere a căror sumă

este cu 8 mai mare decât numărul dat. Aflaţi numărul. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 29. Un tren trebuie să parcurgă o anumită distanţă într-un interval de timp. Dacă s-

ar deplasa cu viteza medie de 90 km/h, ar ajunge cu 3 h mai devreme, iar dacă s-ar deplasa cu viteza medie de 60 km/h, ar ajunge cu 2 h mai târziu decât timpul stabilit. Ce distanţă trebuie să parcurgă trenul?

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 30. Dacă pun câte 3 creioane în cutiile pe care le am, atunci îmi rămâne un creion,

iar dacă pun câte 5 creioane în cutiile pe care le am, atunci două cutii rămân goale. Câte cutii şi câte creioane am?

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 31. Pentru suma de bani pe care a depus-o la o bancă pentru un an, dl B primeşte lu-

nar 540 lei. Ce sumă de bani a depus dl B la bancă, dacă dobânda anuală este de 18%? Formulaţi un exerciţiu asemănător. 32. Rezolvaţi în R ecuaţia:

a) ;52028213646 22 =+−++− yyxx

b) .6502208377127 22 =+−++− yyxx Formulaţi un exerciţiu asemănător. 33. Rezolvaţi în R ecuaţia 14x + 15x + 16x + … + 199x + 200x = 9 800. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 34. Ovidiu a citit 33,(3)% din numărul capitolelor unei cărţi. După ce a mai citit un

capitol i-au mai rămas de citit 50% din numărul capitolelor cărţii. Câte capitole are car-tea?

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 35. Rezolvaţi în R ecuaţia, dacă a este un parametru real:

a) 3ax − 14 = 0; b) 2ax − 5 = 0. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 36. Rezolvaţi în R ecuaţia, dacă a este un parametru real:

a) (a − 2)x − 17 = 0; b) (a − 4)x − 28 = 0. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 37. Aflaţi numerele reale m şi n pentru care graficul funcţiei definită prin

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈−−∈−

−−∈−=

),3[ă,3)3,2[ă,5

)2,(ă,1)(

'

'

xxnxx

xmxxf

dac

dac

dac

este o linie poligonală deschisă.



38. Aflaţi ecuaţia de grad minim, cu coeficienţi întregi, cu una dintre soluţii: a) ;653 − b) .123 3−

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 39. Rezolvaţi în R ecuaţia, dacă a este un parametru real:

a) 4ax − 17 = 3x + 14; b) 5ax − 6 = 8x − 10; c) 8ax − 25 = 4x − 9. 40. Aflaţi numerele întregi x pentru care

).1()1(8

88

)1(8...24

1616

88

+−=+

−+

−−++

−+

−+ n

nnx

nnxxxx

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 41. Rezolvaţi în mulţimea numerelor întregi ecuaţia

.110

)510(...15

1010

55

=−−

⋅⋅−

⋅−

⋅nnxxxx

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 42. Aflaţi raţia unei progresii geometrice cu trei termeni, dacă are primul termen

egal cu 2 şi suma termenilor este 42. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 43. a) Un ogar urmăreşte o vulpe. Aflaţi peste câte sărituri ogarul ajunge vulpea,

dacă vulpea se află la 60 de sărituri (de vulpe) înaintea ogarului, că în timp ce vulpea face 9 sărituri ogarul face 6 sărituri şi că 3 sărituri de ogar măsoară cât 7 sărituri de vulpe.

b) Un ogar urmăreşte o vulpe. Aflaţi peste câte sărituri ogarul ajunge vulpea, dacă vulpea se află la 63 de sărituri (de vulpe) înaintea ogarului, că în timp ce vulpea face 7 sărituri ogarul face 4 sărituri şi că 2 sărituri de ogar măsoară cât 5 sărituri de vulpe.



1. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 4x + 9 = 3; b) .56523 =−x

2. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 5z + 6 = 2z – 11; b) 3(2t – 3) = 11t – 7.


a) ;7

45

3 xx=

b) .11117 =x 4. Rezolvaţi în R ecuaţia:

2(4x + 5) = 3(7x + 8). 5. Rezolvaţi în R ecuaţia:

1. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 5x + 8 = 5; b) .67643 =−x

2. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 4z + 7 = 3z – 10; b) 2(3t – 2) = 10t – 7.


a) ;72

65 xx

=

b) .778 =x 4. Rezolvaţi în R ecuaţia:

4(2x + 3) = 3(5x + 6). 5. Rezolvaţi în R ecuaţia:


| 5x – 3 | = 9. 6. Rezolvaţi în R ecuaţia:

a) ;432

52 xx −

=

b) .52

332

2+

=− xx

7. Aflaţi numărul real m pentru care: a) –2 este soluţie a ecuaţiei 4x +

5 = 3x + m; b) polinomul 4X

3 – 3X 2 + 5X –

6m se divide cu X + 2. 8. Aflaţi numerele întregi x pentru

care 373

+−

xx este număr întreg.

9. Rezolvaţi în R ecuaţia, dacă a este un parametru real 3ax − 5 = 4x + 9.


a) ;523

43 xx −

=

b) .52

272

3−

=+ xx

7. Aflaţi numărul real m pentru care: a) 2 este soluţie a ecuaţiei 5x + 3 =

4x + m; b) polinomul 3X

3 – 4X 2 + 6X – 5m

se divide cu X + 2. 8. Aflaţi numerele întregi x pentru

care 373

−+

xx este număr întreg.

9. Rezolvaţi în R ecuaţia, dacă a este un parametru real 4ax − 6 = 3x + 8.


2. E c u a ţ i i d e g r a d u l I I c u o n e c u n o s c u t ă

1. Scrieţi ecuaţia ataşată polinomului: a) −3X + 8; b) −5X + 2; c) −11X − 3; d) −9X + 18.

2. Scrieţi ecuaţia ataşată polinomului: a) 3X

2 – 11X – 12; b) 4X 2 – 9X – 7; c) 5X

2 – 25X – 4. 3. Rezolvaţi în R ecuaţia:

a) x2 − 18 = 0; b) x2 − 24 = 0; c) x2 − 32 = 0; d) x2 − 48 = 0. 4. Aflaţi rădăcinile reale ale polinomului:

a) 4X 2 – 12; b) 9X

2 – 28; c) 4X 2 – 45; d) 16X

2 – 24. 5. Aflaţi rădăcinile reale ale polinomului:

a) 6X 2 + 58; b) 8X

2 + 36; c) 5X 2 + 18; d) 6X

2 + 14. 6. Rezolvaţi în R ecuaţia:

a) (x – 3)2 − 7 = 0; b) (x – 6)2 − 5 = 0; c) (x – 7)2 − 13; d) (x – 8)2 − 14. 7. Rezolvaţi în R ecuaţia:

a) 7x2 − 8x = 0; b) 9x2 − 5x = 0; c) 5x2 − 6x = 0; d) 8x2 − 11x = 0. 8. Rezolvaţi în R ecuaţia:

a) 12x2 = 0; b) 14x2 = 0; c) 29x2 = 0; d) 15x2 = 0; e) 57x2 = 0. 9. Aflaţi rădăcinile reale ale polinomului:

a) 4X 2 + 12X + 9; b) 9X

2 + 44X + 49; c) 25X 2 + 20X + 4.

10. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 16x2 – 24x + 9 = 0; b) 16x2 – 56x + 49 = 0; c) 25x2 – 40X + 16.


11. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) x2 + 4x + 1 = 0; b) x2 + 7x + 1 = 0; c) x2 + 8x + 1 = 0; d) x2 + 9x + 1 = 0; e) x2 + 12x + 1 = 0; f) x2 + 14x + 1 = 0.

12. Aflaţi rădăcinile reale ale polinomului: a) 4X

2 + 12X – 1; b) 9X 2 + 44X – 1; c) 25X

2 + 20X – 1. 13. Rezolvaţi în R ecuaţia:

a) x2 + 4x + 5 = 0; b) x2 + 7x + 10 = 0; c) x2 + 8x + 17 = 0; d) x2 + 9x + 23 = 0; e) x2 + 12x + 37 = 0; f) x2 + 14x + 50 = 0.

14. Aflaţi m, astfel încât una dintre soluţiile ecuaţiei: a) 5x2 − 12x + m = 0 să fie –3; b) 2x2 − 10x + m = 0 să fie –2; c) 3x2 − 8x + m = 0 să fie –2; d) 3x2 − 12x + m = 0 să fie –3.

15. Aflaţi numerele reale m, astfel încât polinomul: a) mX

2 − 11X + 2 să nu aibă rădăcini reale; b) mX

2 − 111X + 10 să nu aibă rădăcini reale; c) mX

2 − 1 111X + 100 să nu aibă rădăcini reale; d) mX

2 − 11 111X + 1 000 să nu aibă rădăcini reale; e) mX

2 − 111 111X + 100 000 să nu aibă rădăcini reale; f) mX

2 − 1 111 111X + 1 000 000 să nu aibă rădăcini reale. 16. Aflaţi numerele reale m, astfel încât polinomul:

a) 3X 2 − 6X + 2m să aibă rădăcini egale;

b) 4X 2 − 8X + 5m să aibă rădăcini egale;

c) 2X 2 − 10X + 4m să aibă rădăcini egale;

d) 5X 2 − 12X + 6m să aibă rădăcini egale;

e) 2X 2 − 14X + 7m să aibă rădăcini egale;

f) 3X 2 − 16X + 8m să aibă rădăcini egale.

17. Aflaţi m astfel încât mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei: a) 7mx2 − 18x + 8 = 0 să aibă două elemente; b) 3mx2 − 16x + 2 = 0 să aibă două elemente; c) 2mx2 − 14x + 3 = 0 să aibă două elemente; d) 4mx2 − 10x + 4 = 0 să aibă două elemente; e) 5mx2 − 8x + 3 = 0 să aibă două elemente; f) 6mx2 − 65x + 2 = 0 să aibă două elemente.

18. Aflaţi m astfel încât mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei: a) 9mx2 − 12x + 11 = 0 să nu aibă elemente; b) 2mx2 − 8x + 9 = 0 să nu aibă elemente; c) 5mx2 − 16x + 6 = 0 să nu aibă elemente; d) 4mx2 − 10x + 7 = 0 să nu aibă elemente; e) 6mx2 − 6x + 3 = 0 să nu aibă elemente; f) 3mx2 − 8x + 8 = 0 să nu aibă elemente.

19. Aplicând formule, rezolvaţi în R ecuaţia: a) x4 − 8x2 + 12 = 0; b) x4 − 15x2 + 14 = 0; c) x4 − 11x2 + 18 = 0; d) x4 − 20x2 + 36 = 0; e) x4 − 15x2 + 26 = 0; f) x4 − 11x2 + 24 = 0.


20. Aplicând formule, rezolvaţi în R ecuaţia: a) x6 − 13x3 + 30 = 0; b) x6 − 13x3 + 36 = 0; c) x6 − 9x3 + 20 = 0; d) x6 − 9x3 + 14 = 0; e) x6 − 13x3 + 42 = 0; f) x6 − 13x3 + 40 = 0.

21. Aplicând formule, rezolvaţi în R ecuaţia: a) x6 − 30x3 − 64 = 0; b) x6 − x3 − 72 = 0; c) x6 − 10x3 − 39 = 0; d) x6 − 8x3 − 20 = 0; e) x6 − 2x3 − 120 = 0; f) x6 − 13x3 − 48 = 0.

22. Examinaţi desenul! Aplicând teoremele triunghiului dreptunghic completaţi ta-belul:

a b c m n h 64 4 26 6 12 7 152 11 34 8

23. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teo-rema lui Viète), aflaţi suma şi produsul rădăcinilor polinomului:

a) X 2 + 11X + 28; b) X

2 + 12X + 20; c) X 2 + 12X + 24;

d) X 2 + 13X + 30; b) X

2 + 14X + 40; c) X 2 + 15X + 50.

24. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), aflaţi suma şi produsul soluţiilor ecuaţiei:

a) x2 − 21x + 5 = 0; b) x2 − 13x + 6 = 0; c) x2 − 15x + 47 = 0; d) x2 − 11x + 19 = 0; b) x2 − 17x + 42 = 0; c) x2 − 19x + 51 = 0.

25. Aflaţi numerele reale cu: a) suma 12 şi produsul 27; b) suma 8 şi produsul 12; c) suma 15 şi produsul 54; d) suma 15 şi produsul 56; b) suma 16 şi produsul 60; c) suma 14 şi produsul 48.

26. Aflaţi polinomul ale căror rădăcini au: a) suma 13 şi produsul 85; b) suma 10 şi produsul 23; c) suma 11 şi produsul 29; d) suma 9 şi produsul 19; b) suma 12 şi produsul 30; c) suma 14 şi produsul 46.

27. Aflaţi numărul real m pentru care una dintre rădăcinile polinomului: a) X

2 + 5mX + 15 este 11; b) X 2 + 7mX + 11 este 4;

c) X 2 + 4mX + 12 este 3; d) X

2 + 12mX + 3 este 2; e) X

2 + 8mX + 19 este –3; f) X 2 + 15mX + 6 este –2.


a) ;7

77

2

−=

− xx

xx b) ;

22

2

2

−=

− xx

xx c) ;

33

3

2

−=

− xx

xx

d) ;4

44

2

−=

− xx

xx e) ;

55

5

2

−=

− xx

xx f) .

66

6

2

−=

− xx

xx



a) ;8

108162

−=

−+

xx

xx b) ;

25

262

−=

−+

xx

xx c) ;

35

362

−=

−+

xx

xx

d) ;4

74122

−=

−+

xx

xx e) ;

37

3122

−=

−+

xx

xx f) .

29

2142

−=

−+

xx

xx


a) ;59

47

−−

=−−

xx

xx b) ;

14

23

−−

=−−

xx

xx c) ;

25

34

−−

=−−

xx

xx

d) ;35

42

−−

=−−

xx

xx e) ;

56

43

−−

=−−

xx

xx f) .

63

52

−−

=−−

xx

xx

30. Calculaţi rădăcinile reale şi descompuneţi polinomul: a) X

2 + 11X + 28; b) X 2 + 12X + 20; c) X

2 + 12X + 24; d) X

2 + 13X + 30; b) X 2 + 14X + 40; c) X

2 + 15X + 50. 31. Simplificaţi fracţia:

a) ;6075015

2

2

−−+−

XXXX b) ;

128189

2

2

+−+−

XXXX c) ;

1492110

2

2

+−+−

XXXX

d) ;3011209

2

2

+−+−

XXXX e) ;

28112410

2

2

+−+−

XXXX f) .

28113512

2

2

+−+−

XXXX

32. Aflaţi numerele reale m pentru care polinomul X 2 + (m + 3)X + 2m – 1 are rădă-

cini opuse. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 33. Rezolvaţi în R ecuaţia x2 − 13| x | + 42 = 0. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 34. Fie x1 şi x2 rădăcinile polinomului X

2 + 7X + 5m. Aflaţi în funcţie de m:

a) ;11

21 xx+ b) c) ;2

221 xx + .3

231 xx +


35. Fie x1 şi x2 rădăcinile polinomului X 2 + 3(m – 2)X + 2m. Aflaţi în funcţie de m

. 72

71 xx +

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 36. Fie x1 şi x2 rădăcinile polinomului P(X) = X

2 + 5(m – 3)X + 4m. Aflaţi un poli-nom ale cărui rădăcini sunt inversele rădăcinilor polinomului P(X).


2 – 3(2m – 3)X + 9m. Aflaţi un poli-nom ale cărui rădăcini sunt opusele rădăcinilor polinomului P(X).


2 + 3(2m – 1)X + m – 1. Aflaţi un polinom ale cărui rădăcini sunt x1 + 1 şi x2 + 1.



2 + 2(2m – 3)X + m – 3. Aflaţi un polinom ale cărui rădăcini sunt x1 – 1 şi x2 – 1.


2 + 2(2m – 3)X + m – 3. Aflaţi un polinom ale cărui rădăcini sunt 3x1 şi 3x2.

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 41. Un dreptunghi are semiperimetrul p. În ce condiţii aria dreptunghiului este

maximă? 42. Aflaţi mulţimea valorilor funcţiei definite pe domeniul maxim de definiţie în R

prin .1

53)( 2

2

++−

=x

xxxf


1. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) (x + 3)2 – 5 = 0; b) 5x2 – 3x = 0.

2. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 16x2 – 40x + 25 = 0; b) 3x2 – 5x + 2 = 0.

3. Aflaţi m, astfel încât una dintre so-luţiile ecuaţiei 2x2 − 3x + m = 0 să fie –5.

4. Aflaţi numerele reale m, astfel încât polinomul:

a) 2X 2 − 5X + 3m să aibă rădăcini

egale; b) 3X

2 − 2X + 5m să aibă rădăcini diferite.

5. Aflaţi suma şi produsul: a) rădăcinilor polinomului 3X

2 − 8X + 2;

b) soluţiilor ecuaţiei 5x2 – 9x + 3 = 0.

6. Aflaţi numerele reale cu suma 15 şi produsul 56.


a) ;13

1313

2

−=

− xx

xx

b) .9

7129 22

2

xx

xx

−−

=−

8. Fie x1 şi x2 rădăcinile polinomului X


1. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) (x + 2)2 – 6 = 0; b) 4x2 – 5x = 0.

2. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 25x2 – 40x + 16 = 0; b) 2x2 – 5x + 3 = 0.

3. Aflaţi m, astfel încât una dintre so-luţiile ecuaţiei 2x2 − 4x + m = 0 să fie –3.

4. Aflaţi numerele reale m, astfel încât polinomul:

a) 3X 2 − 6X + 2m să aibă rădăcini

egale; b) 5X

2 − 4X + 3m să aibă rădăcini diferite.

5. Aflaţi suma şi produsul: a) rădăcinilor polinomului 3X

2 − 10X + 4;

b) soluţiilor ecuaţiei 3x2 – 9x + 5 = 0.

6. Aflaţi numerele reale cu suma 14 şi produsul 44.


a) ;15

1515

2

−=

− xx

xx

b) .16

71216 22

2

xx

xx

−−

=−

8. Fie x1 şi x2 rădăcinile polinomului X



a) ;11

21 xx+ b) .3

231 xx +

9. Fie x1 şi x2 rădăcinile polinomului P(X) = X

2 + 2mX + m – 1. Aflaţi un po-linom ale cărui rădăcini sunt:

.11,1121 xx

++

a) ;11

21 xx+ b) .3

231 xx +

9. Fie x1 şi x2 rădăcinile polinomului P(X) = X

2 + mX + m – 4. Aflaţi un poli-nom ale cărui rădăcini sunt:

.11,1121 xx

++


3. E c u a ţ i i r a ţ i o n a l e


a) ;71

91

4=

−−

− xx b) ;4

312

36

=−

−− xx

c) ;136

36

12=

−−

− xx

d) ;24

54

11=

−−

− xx e) ;3

515

58

=−

−− xx

f) .57

57

16=

−−

− xx


a) ;02

91

4=

−−

− xx b) ;0

37

13

=−

−− xx

c) ;04

122

5=

−−

− xx

d) ;04

63

2=

−−

− xx e) ;0

55

49

=−

−− xx

f) .06

95

15=

−−

− xx


a) ;09

99

=−

−− xxx b) ;0

44

4=

−−

− xxx c) ;0

66

6=

−−

− xxx

d) ;07

77

=−

−− xxx e) ;0

1111

11=

−−

− xxx f) .0

1010

10=

−−

− xxx


a) ;089

=−−xx b) ;05

1=−

−xx c) ;03

2=−

−xx

d) ;063

=−−xx e) ;04

4=−

−xx f) .07

5=−

−xx


a) ;019

2=−

− xx b) ;01

13

=−− xx

c) ;012

4=−

− xx

d) ;013

5=−

− xx e) ;01

46

=−− xx

f) .015

7=−

− xx



a) ;54

82

+−

=− x

xx

b) ;13

12

+−

=− x

xx

c) ;22

14

+−

=− x

xx

d) ;21

23

+−

=− x

xx

e) ;32

13

+−

=+ x

xx

f) .12

12

−+

=+ x

xx


a) ;118

8=−

− xx b) ;11

12

=−− xx

c) ;111

3=−

+ xx

d) ;212

3=−

− xx e) ;11

32

=−− xx

f) .114

4=−

− xx


a) ;088

8=

−−

− xx

x b) ;0

111

=−

−− x

xx

c) ;022

2=

−−

− xx

x

d) ;033

3=

−−

− xx

x e) ;0

444

=−

−− x

xx

f) .055

5=

−−

− xx

x


a) ;91

89

++

=−−

xx

xx b) ;

31

23

−+

=−+

xx

xx c) ;

43

24

−+

=−+

xx

xx

d) ;21

42

−−

=−+

xx

xx e) ;

51

25

−−

=−+

xx

xx f) .

63

26

−+

=++

xx

xx


a) ;065

87

=−+

−−−

xx

xx b) ;0

23

12

=−+

−−+

xx

xx c) ;0

43

24

=−+

−−+

xx

xx

d) ;034

13

=−+

−−+

xx

xx e) ;0

54

25

=−+

−−+

xx

xx f) .0

43

35

=−+

−−+

xx

xx


a) ;98

89

++

=−+

xx

xx b) ;

17

71

++

=−+

xx

xx c) ;

26

62

++

=−+

xx

xx

d) ;35

53

++

=−+

xx

xx e) ;

43

34

++

=−+

xx

xx f) .

54

45

++

=−+

xx

xx


a) ;52

9952

++

=−+

xx

xx b) ;

128

812

++

=−+

xx

xx c) ;

127

712

−+

=−−

xx

xx

d) ;136

613

−+

=−−

xx

xx e) ;

235

523

−+

=−−

xx

xx f) .

434

443

−+

=−−

xx

xx


a) ;18

1292

=+

−−−

xxx b) ;1

71

81

=+

−−−

xxx c) ;2

61

72

=+

−−−

xxx


d) ;15

163

=+

−−−

xxx e) ;1

42

52

=+

−−−

xxx f) .2

31

41

=+

−−−

xxx


a) ;38

698

=+

−−−

xxx b) ;2

71

87

=+

−−−

xxx c) ;2

61

76

=+

−−−

xxx

d) ;25

165

=+

−−−

xxx e) ;2

41

54

=+

−−−

xxx f) .2

31

43

=+

−−−

xxx


a) ;49

37

678

2 −=

+−

−−

xxxx b) ;

41

22

21

2 −=

+−

−−

xxxx

c) ;1

21

112

2 −=

+−

−−

xxxx d) ;

92

31

31

2 −=

+−

−−

xxxx

e) ;16

14

241

2 −=

+−

−+

xxxx f) .

251

52

51

2 −=

+−

−+

xxxx


a) ;343

1497

27

132 −

=++

−− xxxx

b) .125

1255

25

132 −

=+−

−+ xxxx

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 17. Rezolvaţi în R ecuaţia:

a) ;021

312

12 =+

−−

+− xxx b) .05

24

442

2

=++

−++ x

xxx

x



)2(621

=−+−

+−+

xx

xx



63

=++

−+ x

xx

x



2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

xx

xx



2 =−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+

xx

xx





.82

32

6=

+−

+ xx


.03

82

5=

+−

+ xx


.06

66

=+

++ xxx


a) ;035

=++xx

b) .018

3=+

+ xx


a) ;64

56

+−

=+−

xx

xx

b) .046

53

=+−

−+−

xx

xx


a) ;76

67

+−

=++

xx

xx

b) .84

48

+−

=++

xx

xx


a) ;12

272

=+

−−−

xxx

b) .25

15

252

2 −=

+−

−−

xxxx


.0302

)3(732

=−+−

+−+

xx

xx


.012547

54

=++−

−+−

xx

xx


.93

53

7=

+−

+ xx


.02

73

3=

+−

+ xx


.07

77

=+

++ xxx


a) ;054

=++xx

b) .016

4=+

+ xx


a) ;54

65

+−

=+−

xx

xx

b) .035

64

=+−

−+−

xx

xx


a) ;67

76

+−

=++

xx

xx

b) .75

57

+−

=++

xx

xx


a) ;13

283

=+

−−−

xxx

b) .36

16

265

2 −=

+−

−−

xxxx


.0403

)2(623

=−+−

+−+

xx

xx


.010457

45

=++−

−+−

xx

xx



4. S i s t e m e ş i t o t a l i t ă ţ i d e e c u a ţ i i

1. Rezolvaţi în R × R sistemul:

a) b) c) ⎩⎨⎧

=−=

;2234

yxx

⎩⎨⎧

−=−−=

;16523yx

x

⎩⎨⎧

=−=

;2345

yxx

d) e) f) ⎩⎨⎧

=−−=

;5352yx

x

⎩⎨⎧

=−−=

;1564yx

x

⎩⎨⎧

−=−−=

.1566yx

x


a) b) c) ⎩⎨⎧

=−=

;12322

yxyx

⎩⎨⎧

=−=

;8735

yxyx

⎩⎨⎧

−=−=

;18343

yxyx

d) e) f) ⎩⎨⎧

=−=

;9745,2yxyx

⎩⎨⎧

−=+=

;20658,0yxyx

⎩⎨⎧

−=+=

.24325,2yxyx


a) b) c) ⎩⎨⎧

=−

=

;124

52 yx

yx

⎩⎨⎧

=−

=

;127

22 yx

yx

⎩⎨⎧

−=−

−=

;14

22 yx

yx

d) e) f) ⎩⎨⎧

=−

−=

;110

32 yx

yx

⎩⎨⎧

=+

=

;110

32 yx

yx

⎩⎨⎧

=+

=

.110

42 yx

yx


a) b) c) ⎩⎨⎧

=+=−

;1353752

yxyx

⎩⎨⎧

=+=−

;17351132

yxyx

⎩⎨⎧

=+=−

;1525923

yxyx

d) e) f) ⎩⎨⎧

=+=−

;1525923

yxyx

⎩⎨⎧

=+=−

;1123525

yxyx

⎩⎨⎧

=+=−

.94334

yxyx

5. Rezolvaţi în R × R sistemul simetric:

a) b) c) ⎩⎨⎧

==+

;127

xyyx

⎩⎨⎧

==+

;2811

xyyx

⎩⎨⎧

==+

;3512

xyyx

d) e) f) ⎩⎨⎧

==+

;128

xyyx

⎩⎨⎧

==+

;209

xyyx

⎩⎨⎧

==+.8

6xy

yx


a) b) c) ⎩⎨⎧

=−=−+

;183133

xyxyyx

⎩⎨⎧

=−=−+

;543272

xyxyyx

⎩⎨⎧

=−=−+

;4043

xyxyyx

d) e) f) ⎩⎨⎧

==++

;453382

xyxyyx

⎩⎨⎧

==++

;644583

xyxyyx

⎩⎨⎧

−=−=++

.755282

xyxyyx



a) b) c) ⎩⎨⎧

=+=−+;24)(3

1)(2yx

xyyx

⎩⎨⎧

=+−=−+

;21)(363)(2

yxxyyx

⎩⎨⎧

=+=−+

;15)(552)(3

yxxyyx

d) e) f) ⎩⎨⎧

=+=−+

;12)(373)(4

yxxyyx

⎩⎨⎧

=+−=−+

;25)(523)(2

yxxyyx

⎩⎨⎧

=+−=−+

.24)(494)(3

yxxyyx


a) b) c) ⎩⎨⎧

=+=+

;10)(21322

yxyx

⎩⎨⎧

=+=+

;16)(41022

yxyx

⎩⎨⎧

=+=+

;15)(31722

yxyx

d) e) f) ⎩⎨⎧

=+=+

;10)(52022

yxyx

⎩⎨⎧

=+=+

;1)(62522

yxyx

⎩⎨⎧

=+=+

.14)(73422

yxyx


a) b) c) ⎩⎨⎧

==+

;18094122

xyyx

⎩⎨⎧

−==+

;4024122

xyyx

⎩⎨⎧

−==+

;3032922

xyyx

d) e) f) ⎩⎨⎧

−==+

;6043422

xyyx

⎩⎨⎧

−==+

;6054022

xyyx

⎩⎨⎧

−==+

.10864522

xyyx

10. Rezolvaţi în R × R sistemul omogen:

a) b) c) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=−

;2823

12832

22

yxy

xyyx⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=−

;132

14432

22

yxy

xyyx⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

−=−

;162

54332

22

yxy

xyyx

d) e) f) ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=+

−=−

;633

42232

22

yxy

xyyx⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=+

;82

8232

22

yxy

xyyx⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−

=+

.42

66332

22

yxy

xyyx

11. Rezolvaţi în R × R sistemul omogen:

a) b) c) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=−

;253

113843

322

yxy

xyyx⎪⎩

⎪⎨⎧

−=+

=−

;423

113243

322

yxy

xyyx⎪⎩

⎪⎨⎧

−=+

=−

;12

332343

322

yxy

xyyx

d) e) f) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

−=−

;52

2343

322

yxy

xyyx⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

−=+

;66

9243

322

yxy

xyyx⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+

.4

3243

322

yxy

xyyx


a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−

=+

;6412

1138

yx

yx b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=+

=−

;24712

2256

yx

yx c)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

−=+

;20712

4518

yx

yx

d)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=+

−=+

;5415

2320

yx

yx e)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=+

;18718

11524

yx

yx f)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=+

−=+

.4310

7515

yx

yx



a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

−=−

;856

134

yx

yx b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=+

=−

;383

549

yx

yx c)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=−

;365

433

yx

yx

d)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=+

;543

562

yx

yx e)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=+

;432

256

yx

yx f)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=−

.7152

194

yx

yx


a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

+−

=+

−−

;53

82

9

23

122

15

yx

yx b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

+−

=+

−−

;52

41

3

22

61

5

yx

yx c)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

−−

−=+

−−

;51

32

8

31

52

4

yx

yx

d)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

+−

=+

−−

;71

81

9

21

41

15

yx

yx e)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

+−

=+

−−

;73

91

8

23

151

6

yx

yx f)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

+−

−=+

−−

.43

84

2

53

44

3

yx

yx


a) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=+

;1023

2

yxxy

yx

b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−

=+

;1234

32

yxxy

yx

c) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−

=+

;532

43

yxxy

yx

d) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−

=+

;82

54

yxxy

yx

e) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−

=+

;93

65

yxxy

yx

f) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−

=+

.634

76

yxxy

yx

16. Scrieţi cu ajutorul totalităţilor rezolvarea în R a ecuaţiei: a) x2 + 5x – 3 = 0; b) x2 + 3x – 4 = 0; c) x2 + 4x – 5 = 0; d) x2 + 5x – 2 = 0; e) x2 + 6x – 7 = 0; f) x2 + 5x – 4 = 0.

17. Scrieţi cu ajutorul totalităţilor rezolvarea în R a ecuaţiei: a) (x2 + 7x)(x2 – 6) = 0; b) (x2 + 6x)(x2 – 2) = 0; c) (x2 + 3x)(x2 – 5) = 0; d) (x2 + 4x)(x2 – 7) = 0; e) (x2 + 5x)(x2 – 8) = 0; f) (x2 + 10x)(x2 – 11) = 0.

18. Rezolvaţi în R totalitatea:

a) b) ⎢ c) ⎢ ⎢⎣

⎡

=−−

=−

;0123

0722 xx

x

⎣

⎡

=−−

=−

;0142

0832 xx

x

⎣

⎡

=−−

=−

;0165

0922 xx

x

d) e) ⎢ f) ⎢ ⎢⎣

⎡

=−−

=−

;0173

01142 xx

x

⎣

⎡

=−−

=−

;0194

01332 xx

x

⎣

⎡

=−−

=−

.01115

01122 xx

x



a) b) c) ⎢⎢⎣

⎡

=−+

=−−

;0123

0542

2

xx

xx

⎢⎢⎣

⎡

=−+

=+−

;0103

0652

2

xx

xx

⎢⎢⎣

⎡

=−−

=−−

;0532

08532

2

xx

xx

d) e) f) ⎢⎢⎣

⎡

=+−

=+−

;0145

01342

2

xx

xx

⎢⎢⎣

⎡

=−−

=−−

;054

07522

2

xx

xx

⎢⎢⎣

⎡

=−−

=−−

.067

03362

2

xx

xx


a) b) c) ⎢⎢⎣

⎡

=−+

=−−

;0123

0542

2

xx

xx

⎢⎢⎣

⎡

=−+

=+−

;0103

0652

2

xx

xx

⎢⎢⎣

⎡

=−−

=−−

;0532

08532

2

xx

xx

d) e) f) ⎢⎢⎣

⎡

=+−

=+−

;0145

01342

2

xx

xx

⎢⎢⎣

⎡

=−−

=−−

;054

07522

2

xx

xx

⎢⎢⎣

⎡

=−−

=−−

.067

03362

2

xx

xx


a) ⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−

=−

;0123

123

2

2 xxx b)

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=+−

=−

;0132

121

3

2 xxx c)

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−

=−

;0235

131

1

2 xxx

d) ⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−

=−

;056

241

1

2 xxx e)

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−

=−

;0527

251

1

2 xxx f)

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−

=−

.0437

161

4

2 xxx


a) ⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−

=−

+−

;034511

09

13

2

2

2

xxxx b)

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−

=−

+−

;07512

04

12

3

2

2

xxxx c)

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−

=−

+−

;07613

01

11

1

2

2

xxxx

d) ⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−

=−

+−

;09514

016

14

1

2

2

xxxx e)

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−

=−

+−

;08715

025

15

1

2

2

xxxx f)

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−

=−

+−

.09716

036

16

1

2

2

xxxx


a) ⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−

=−

−−

;07411

216

14

5

2

2

xxxx b)

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−

=−

−−

;0123

11

11

4

2

2

xxxx c)

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−

=−

−−

;023

14

12

5

2

2

xxxx

d) ⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−

=−

−−

;0134

19

13

3

2

2

xxxx e)

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−

=−

−−

;034

116

14

3

2

2

xxxx f)

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−

=−

−−

.0325

125

15

3

2

2

xxxx

24. Scrieţi cu ajutorul totalităţilor rezolvarea în R a ecuaţiei: a) | 2x – 3 | = 5; b) | 2x – 1 | = 3; c) | 3x – 1 | = 2; d) | x – 2 | = 6; e) | 2x – 5 | = 3; f) | 3x – 2 | = 3.



a) ⎢⎢⎢

⎣

⎡

=+−

=+

−−

;0145

25

16

4

2 xxxx b)

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=+−

=+

−−

;0124

32

11

2

2 xxxx c)

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=+−

=+

−−

;0123

23

11

3

2 xxxx

d) ⎢⎢⎢

⎣

⎡

=+−

=+

+−

;0122

31

22

1

2 xxxx e)

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=+−

=+

+−

;0232

11

13

2

2 xxxx f)

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=+−

=+

+−

.0452

13

11

3

2 xxxx


a) ⎢⎢⎢

⎣

⎡

=+−−

=+

−−

;0)35)(4(

36

15

5

22 xxxxxx b)

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−−

=+

−−

;0)22)(3(

22

11

5

22 xxxxxx

c) ⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−−

=+

−−

;0)13)(2(

13

11

4

22 xxxxxx d)

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−−

=+

−−

;0)23)(4(

21

12

3

22 xxxxxx

e) ⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−−

=+

−−

;0)35)(5(

21

12

2

22 xxxxxx f)

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−−

=+

−−

.0)25)(6(

11

22

1

22 xxxxxx

27. Scrieţi cu ajutorul totalităţilor rezolvarea în R a ecuaţiei: a) | x2 – 5x | = 5; b) | x2 – 4x | = 2; c) | x2 – 6x | = 2; d) | x2 – 2x | = 1; e) | x2 – 3x | = 2; f) | x2 – 7x | = 6.

28. Scrieţi cu ajutorul totalităţilor rezolvarea în R a ecuaţiei: a) | x2 – 5x – 1 | = 6; b) | x2 – 4x + 3 | = 2; c) | x2 – 6x + 5 | = 2; d) | x2 – 2x – 3 | = 7; e) | x2 – 3x + 2 | = 2; f) | x2 – 7x + 6 | = 7.

29. Aflaţi numerele reale m şi n, astfel încât f să fie definită pe R de: a) f(x) = x2 – 3mx + n – 2, f(–1) = 3 şi f(2) = 8; b) f(x) = x2 – 2mx + n + 1, f(–1) = 2 şi f(1) = 5; c) f(x) = x2 – 3mx + n – 1, f(–1) = 1 şi f(1) = 4; d) f(x) = x2 – 2mx + n + 2, f(–1) = –1 şi f(2) = 0; e) f(x) = x2 – 4mx + n – 1, f(–1) = –2 şi f(1) = 3; f) f(x) = x2 + 2mx – n + 2, f(–1) = –3 şi f(2) = 2.

30. Aflaţi numerele reale m şi n, astfel încât polinomul de gradul II: a) P(X) = 5X

3 – 6X 2 + 5mX – 2n are suma coeficienţilor 11 şi P(–1) = 18;

b) P(X) = 2X 3 – 3X

2 + 2mX – 3n are suma coeficienţilor 15 şi P(–1) = 12; c) P(X) = 3X


d) P(X) = 2X 3 – 4X

2 + 3mX – n are suma coeficienţilor 8 şi P(–1) = 11; e) P(X) = 4X


f) P(X) = 3X 3 – 3X

2 + 5mX – 6n are suma coeficienţilor 25 şi P(–1) = 6. 31. Aflaţi numerele reale m şi n, astfel încât polinomul de gradul II:

a) P(X) = 5X 3 – 2X

2 + 5mX – n + 2 se divide cu X – 2 şi X + 1; b) P(X) = 4X

3 – 3X 2 + 5mX – n + 1 se divide cu X – 1 şi X + 1;

c) P(X) = 2X 3 – 2X

2 + 5mX – n + 3 se divide cu X – 2 şi X + 2;


d) P(X) = 2X 3 – 3X

2 + 4mX – n – 1 se divide cu X – 3 şi X + 1; e) P(X) = 3X

3 – 4X 2 + 3mX – n + 3 se divide cu X – 1 şi X + 3;

f) P(X) = 2X 3 – 2X

2 + 3mX – n + 1 se divide cu X – 1 şi X + 1. 32. Aflaţi două numere reale, dacă:

a) suma lor este 7 şi produsul lor –30; b) suma lor este 9 şi produsul lor 14; c) suma lor este 11 şi produsul lor 24; d) suma lor este 12 şi produsul lor 32; e) suma lor este 13 şi produsul lor 36; b) suma lor este 17 şi produsul lor 72.

33. Aflaţi numerele reale care verifică sistemul:

a) b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=+=+

;635

zyzxyx

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+

=+

=+

.811

511

711

zy

zx

yx


34. Rezolvaţi în R × R sistemul

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=+

.494

338

xyyx

xyyx



⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

=+

.41

203

71

169

yxxy

yxxy



⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=+

.2911

711

22 yx

yx


37. Rezolvaţi în R × R sistemul ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+

.6

922

33

xyyx

yx



⎪⎨⎧

=−

=++

.3

72

yx

xyyx



39. Aflaţi numerele reale care verifică sistemul:

a) b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

;201512

yzxzxy

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

.2874

yxzxyzzxy

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 40. Aflaţi două numere, dacă diferenţa lor este –2 şi suma pătratelor lor 74. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 41. Aflaţi două numere, dacă produsul lor este –6 şi suma cuburilor lor este 19. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 42. Un bazin se poate umple prin două robinete: dacă primul robinet este deschis 30

minute şi al doilea 45 minute sau dacă primul robinet este deschis 20 minute şi al doilea 70 minute. În cât timp poate umple bazinul fiecare robinet?

43. Aflaţi numerele reale care verifică sistemul

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+

=+

=+

.7

108

1556

zxxz

zyyz

yxxy


44. Aflaţi numerele reale care verifică sistemul

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+

=+

=+

.12967961196

zyxyz

zxxyz

yxxyz


45. Aflaţi numerele reale care verifică sistemul ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=+=+

.64)(55)(39)(

yxzxzyzyx



⎪⎨⎧

=+

=+

.28

1033

22

yx

yx

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 47. Fie funcţia f : D → R, D domeniul ei maxim de definiţie în R. Aflaţi expresia

funcţiei f, dacă f(x) + 3f(1 – x) = 5x2 + 2x. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 48. Aflaţi polinomul P(X), dacă P(X) – 2P(2 – X) = 2X

2 – X.


Formulaţi un exerciţiu asemănător. 49. Fie parabola y = ax2 + bx + c. Aflaţi a, b, c, dacă vârful parabolei este punctul

V(2,5; –0,25) şi parabola intersectează axa Oy în punctul (0, 6). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 50. Rezolvaţi în R, cu ajutorul unui sistem, ecuaţia .4233 22 =−−+− xxxx Formulaţi un exerciţiu asemănător.



⎩⎨⎧

=−

=

.14

32 yx

yx


⎩⎨⎧

=+=−

.835432

yxyx

3. Rezolvaţi în R × R sistemul si-metric:

⎩⎨⎧

==+

.128

xyyx


⎢⎣

⎡

=−−

=−

.06015

8532 xx

x

5. Scrieţi cu ajutorul totalităţilor re-zolvarea în R a ecuaţiei:


a) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

−=−

;7223

21223

32

xyy

yyx

b) ⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−

=+−−

.57

30)4217)(7( 22

x

xxxx

7. Aflaţi numerele reale m şi n: a) astfel încât f să fie definită pe

R de f(x) = x2 – 5mx + n – 3, f(–2) = 5 şi f(1) = 6;

b) astfel încât polinomul 2X 3 –

3X 2 + 2mX – m + 4 are suma coeficien-

ţilor 15 şi se divide cu X – 2. 8. Aflaţi numerele reale care veri-


⎩⎨⎧

=−

=

.12

52 yx

yx


⎩⎨⎧

=+=−

.925323

yxyx

3. Rezolvaţi în R × R sistemul sime-tric:

⎩⎨⎧

==+

.158

xyyx


⎢⎣

⎡

=−−

=−

.05016

9532 xx

x

5. Scrieţi cu ajutorul totalităţilor rezol-varea în R a ecuaţiei:

| 4x – 13 | = 3. Rezolvaţi în R ecuaţia:

a) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=−

;4532

51223

32

xyy

yyx

b) ⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−

=+−−

.59

40)7217)(9( 22

x

xxxx

7. Aflaţi numerele reale m şi n: a) astfel încât f să fie definită pe R

de f(x) = x2 – 6mx + n – 2, f(–2) = 5 şi f(1) = 6;

b) astfel încât polinomul 2X 3 – 3X

2 + 4mX – m + 3 are suma coeficienţilor 16 şi se divide cu X – 2.

8. Aflaţi numerele reale care verifică


fică sistemul:

a)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+

=+

=+

;811

711

511

zy

zx

yx

b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=−

.11131

yxxy

yxxy

9. Aflaţi numerele reale care veri-

fică sistemul

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+

=+

=+

.14135445

8135

zyxyz

zxxyz

yxxyz

sistemul:

a)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+

=+

=+

;1011

911

711

zy

zx

yx

b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=−

.13131

yxxy

yxxy

9. Aflaţi numerele reale care verifică

sistemul

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+

=+

=+

.8

1052214

35

zyxyz

zxxyz

yxxyz


T e s t d e c a p a c i t ă ţ i


⎪⎨⎧

=+

−=+

.103

15243

34

yyx

xyx

2. Fie parabola y = ax2 + bx + c. Aflaţi a, b, c, dacă vârful parabolei este punctul V(4, –4) şi parabola intersectează axa Oy în punctul (0, 1).

3. Rezolvaţi grafic ecuaţia | x2 – 7x + 10 | = | 2x – 7 |. 4. Fie funcţia f : D → R, D domeniul ei maxim de definiţie în R. Aflaţi expresia

funcţiei f, dacă f(x) – 2f(5 – x) = 2x2 – 3x.


⎪⎨⎧

=+

=+

.97

1344

22

yx

yx

6. Rezolvaţi în R utilizând totalităţi ecuaţia |||| x2 – 3x + 4 | – 11 | – 5 | – 2 | = 1. Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1,6 puncte. Timp de lucru efectiv: 60 minute.


C A P I T O L U L VI

Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii

Inecuaţie. O inecuaţie este o propoziţie cu variabile (în logica matematică se nu-

meşte predicat). Variabilele unei inecuaţii se numesc necunoscute. Fie expresiile f(x), g(x), x ∈ M (mulţime de numere). Atunci f(x) < g(x), x ∈ M, este o inecuaţie cu necu-noscuta x. Inecuaţia f(x) < g(x), x ∈ M, are membrul stâng f(x) şi membrul drept g(x). Numărul s este soluţie a inecuaţiei f(x) < g(x), x ∈ M, dacă s ∈ M şi f(s) < g(s) este o propoziţie adevărată. Mulţimea soluţiilor unei inecuaţii se notează S. Analog se defi-nesc inecuaţiile: f(x) > g(x), x ∈ M; f(x) ≤ g(x), x ∈ M; f(x) ≥ g(x), x ∈ M.

Proprietăţile inegalităţii numerelor reale şi operaţii cu numere reale. 1) a < b ⇔ a + c < b + c. 2) a < b ⇔ a − c < b − c. 3) Dacă c > 0, atunci a < b ⇔ a⋅c < b⋅c. 4) Dacă c < 0, atunci a < b ⇔ a⋅c > b⋅c. 5) Dacă c > 0, atunci a > b ⇔ a : c > b : c. 6) Dacă c < 0, atunci a > b ⇔ a : c < b : c.

7) Dacă ab > 0, atunci a < b ⇔ .ba11

>

Proprietăţile 1) – 7) se extind pentru „>“, „≤“ şi „≥“. Inecuaţii de gradul I cu o necunoscută. Rezolvaţi în R inecuaţia ax + b < 0,

a ∈ R*, b ∈ R.

1) Dacă a > 0, atunci ax + b < 0 ⇔ ax < −b ⇔ x <ab

− ⇒ S = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

ab

,' .

2) Dacă a < 0, atunci ax + b < 0 ⇔ ax < −b ⇔ x >ab

− ⇒ S = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− ',

ab .

3) Dacă a = 0 şi b < 0, atunci S = R. 4) Dacă a = 0 şi b ≥ 0, atunci S = ∅. Fie inecuaţia ax + b ≤ 0, a ∈ R, b ∈ R.

1) Dacă a > 0, atunci ax + b ≤ 0 ⇔ ax ≤ −b ⇔ x ≤ ab

− ⇒ S = ⎥⎦⎤

⎜⎝⎛ −−

ab

,' .

2) Dacă a < 0, atunci ax + b ≤ 0 ⇔ ax ≤ −b ⇔ x ≥ab

− ⇒ S = ⎟⎠⎞

⎢⎣⎡− ',

ab .

3) Dacă a = 0 şi b ≤ 0, atunci S = R. 4) Dacă a = 0 şi b > 0, atunci S = ∅. Inecuaţii echivalente. Două inecuaţii de gradul I sunt echivalente dacă au aceeaşi

necunoscută aparţinând aceleiaşi mulţimi şi se obţin una din cealaltă aplicând proprie-tăţile inegalităţii numerelor reale. Inecuaţiile echivalente au aceeaşi mulţime de so-luţii.

Sisteme de inecuaţii. Un sistem de inecuaţii este format din două sau mai multe inecuaţii. Mulţimea soluţiilor în R a unui sistem de inecuaţii este mulţimea numerelor

Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii 111

reale ce verifică simultan inecuaţiile sistemului. Mulţimea soluţiilor unui sistem de inecuaţii este intersecţia mulţimilor soluţiilor inecuaţiilor sistemului de inecuaţii.

Exemple. 1) Rezolvaţi în R sistemul de inecuaţii ⎩⎨⎧

>+<−

.211141763

xx

Rezolvare. ⇒ ⎩⎨⎧

><

⇔⎩⎨⎧

><

⇔⎩⎨⎧

−>+<

⇔⎩⎨⎧

>+<−

5,2)6(,7

104233

112146173

211141763

xx

xx

xx

xx

S = {2,5; 7,(6)}. 2) Rezolvaţi în R inecuaţia | 2x – 9 | < 3.

Rezolvare. | 2x – 9 | < 3 ⇔ ⇒ S = (3, 6). ⎩⎨⎧

<>

⇔⎩⎨⎧

+<+−>

⇔⎩⎨⎧

<−−>−

63

932932

392392

xx

xx

xx

Totalitate de inecuaţii. Fie două sau mai multe inecuaţii. Dacă se cere să se afle mulţimea numerelor cu proprietatea că ele sunt soluţii a cel puţin uneia dintre ine-cuaţii, se spune că trebuie să se rezolve o totalitate formată de acele inecuaţii. Mulţi-mea soluţiilor unei totalităţi de inecuaţii este intersecţia mulţimilor soluţiilor acelor inecuaţii.

Exemple. 1) Rezolvaţi în R totalitatea de inecuaţii ⎢⎣

⎡<−<+

.1285513

xx

Rezolvare. ⎢⎣

⎡−∈−∈

⇔⎢⎣

⎡<<

⇔⎢⎣

⎡<<

⇔⎢⎣

⎡+<

−<⇔⎢

⎣

⎡<−<+

)4,()3,1;(

4)3(,1

20543

8125153

1285513

''

xx

xx

xx

xx

xx

⇒ S = (–'; 1,3) ∪ (–', 4) = (–', 4). 2) Rezolvaţi în R inecuaţia | 3x – 5 | ≥ 7.

Rezolvare. | 3x – 5 | ≥ 7 ⇔ ⎢⎣

⎡≥

−≤⇔⎢

⎣

⎡≥

−≤⇔⎢

⎣

⎡+≥

+−≤⇔⎢

⎣

⎡≥−

−≤−4

)6(,0123

23573

573753

753xx

xx

xx

xx

⇔ ⇒ S = (–'; –0,(6)] ∪ [4, '). ⎢⎣

⎡∈

−−∈),4[

)]6(,0;(''

xx

Inecuaţii de gradul II cu o necunoscută. Fie funcţia de gradul II f : R → R, f(x) = ax2 + bx + c. Inecuaţiile de forma f(x) < 0, f(x) ≤ 0, f(x) > 0, f(x) ≥ 0, unde f este o funcţie de gradul II. Rezolvarea în R sau pe o submulţime a mulţimii R se face apli-când teorema semnului funcţiei de gradul II.

Teorema semnului funcţiei de gradul II. Fie funcţia de gradul II f : R → R, f(x) = ax2 + bx + c. 1) Dacă ∆ > 0, atunci x1, x2 sunt zerourile funcţiei f şi ea are semnul lui a în afara intervalului rădăcinilor, semn contrar lui a pe intervalul rădăcini-lor. 2) Dacă ∆ = 0, atunci x1 = x2 şi f are semnul lui a pe R \ {x1}. 3) Dacă ∆ < 0, atunci f are semnul lui a pe R.

Exemple. Rezolvaţi în R: 1) 4x2 – 5x + 1 < 0; 2) 25x2 + 10x + 1 ≥ 0;

3) 3x2 – 5x + 3 ≤ 0; 4) ;023

142 <

+−+−xx

x 5) .365

252 ≥

+−−xx

x

Rezolvare. 1) Funcţia f definită pe R de f(x) = 4x2 – 5x + 1 are ∆ = 9 şi zerourile x1 = 0,25, x2 = 1. Deoarece coeficientul lui x2 este „+“, f(x) < 0 pe (0,25; 1). Rezultă S =


(0,25; 1). 2) Funcţia f definită pe R de f(x) = 25x2 + 10x + 1 are ∆ = 0 şi x1 = x2 = –0,2.

Deoarece coeficientul lui x2 este „+“, f(x) ≥ 0 pe R. Rezultă S = R. 3) Funcţia f definită pe R de f(x) = 3x2 – 5x + 3 are ∆ < 0. Deoarece coeficientul

lui x2 este „+“, f(x) > 0 pe R. Rezultă S = ∅.

4) ;023

142 <

+−+−xx

x Fie .23

14)( 2 +−+−

=xx

xxF Studiind semnul numărătorului şi sem-

nul numitorului lui F, se stabileşte semnul lui F pe domeniul său de definiţie. x –' 0,25 1 2 '

–4x + 1 + 0 – – – x2 – 3x + 2 + + 0 – 0 +

F(x) + 0 – ⏐ + ⏐ – [0,25; 1) ∪ (2, ') S = [0,25; 1) ∪ (2, ').

5) .0652020303

65253

6525

2

2

22 ≥+−+−

⇔≥−+−

−⇔≥

+−−

xxxx

xxx

xxx

Fie .6520203)( 2

2

+−+−

=xxxxxF Studiind semnul numărătorului şi semnul numitorului

lui F, se stabileşte semnul lui F pe domeniul său de definiţie. x –' 1,2... 2 3 5,4... '

3x2 – 20x + 20 + 0 – – – 0 + x2 – 5x + 6 + + 0 – 0 + +

F(x) + 0 – ⏐ + ⏐ – 0 + (–'; 1,2251...] ∪ (2, 3) ∪ [5,4415..., ') S = (–'; 1,2251...] ∪ (2, 3) ∪ [5,4415...; '). Metoda intervalelor. Semnul unei funcţii raţionale (definită de o fracţie algebri-

că) se stabileşte executând algoritmul: 1) se stabileşte domeniul maxim de definiţie în R, al funcţiei; 2) se află zerourile funcţiei; 3) pe fiecare dintre intervalele găsite se stabileşte semnul funcţiei.

Aplicăm metoda intervalelor exerciţiilor 4) şi 5) de mai sus. 4) DF = R \ {1, 2}. Rezultă

0,25 1 2 S = [0,25; 1) ∪ (2, '). 5) DF = R \ {2, 3}. Rezultă

1,2251...

2 3

5,4415... S = (–'; 1,2251...] ∪ (2, 3) ∪ [5,4415...; ').


1. I n e c u a ţ i i d e g r a d u l I R e c a p i t u l a r e ş i c o m p l e t ă r i

1. Scrieţi sub formă de interval mulţimea soluţiilor inecuaţiei: a) x < 13; b) x > 6,2; c) x > 9,3; d) x > –17,2; e) x > 3,8; f) x < –9,1; g) x > –1,6; h) x > –10,3.

2. Scrieţi sub formă de interval mulţimea soluţiilor inecuaţiei: a) x ≥ –2,8; b) x ≥ 7,5; c) x ≥ –3,8; d) x ≥ –4,5; e) x ≤ –6,2; f) x ≤ 14,1; g) x ≤ –5,3; h) x ≤ –22,3.

3. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | x | ≤ 4,7; b) | x | ≤ 2,4; c) | x | ≤ 5,5; d) | x | ≤ 11,5; e) | x | ≤ 6,2; f) | x | ≤ 7,6; g) | x | ≤ 9,4; h) | x | ≤ 27,1.

4. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | x | ≥ 8,4; b) | x | ≥ 18; c) | x | ≥ 27; d) | x | ≥ 39,1; e) | x | ≥ 3,3; f) | x | ≥ 19; g) | x | ≥ 38; h) | x | ≥ 29,5.

5. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 3x < 7; b) 8x > 13; c) 5x > 26; d) 7x > 36; e) 14x < 9; f) 15x < 7; g) 24x < 5; h) 9x < 16.

6. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) –8x < 5; b) –7x > 11; c) –12x > 5; d) –3x > 19; a) –9x < 22; b) –4x > 35; c) –5x > 78; d) –6x > 49.

7. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 4x − 7 < 0; b) 8x − 3 < 0; c) 4x − 9 < 0; d) 2x − 11 < 0; e) 5x − 11 < 0; f) 8x − 13 < 0.

8. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) –5x + 13 < 0; b) –5x − 24 < 0; c) –8x − 31 < 0; d) –4x − 25 < 0; e) –2x − 27 < 0; f) –16x − 37 < 0.

9. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 4x − 3 < 14; b) 8x − 7 < 16; c) 4x − 19 < 28; d) 2x − 9 < 23; e) 5x − 38 < 43; f) 8x − 53 < 46.

10. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) –2x + 11 < 9; b) –5x − 19 < 4; c) –8x − 38 < 21; d) –5x − 31 < 14; e) –2x − 51 < 7; f) –4x − 45 < 12.

11. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 2(x + 3) < 15; b) 4(x + 7) < 19; c) 8(x + 9) < 27; a) 5(x + 5) < 4; b) 25(x + 2) < 1; c) 16(x + 3) < 3.

12. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 2(–x + 7) ≥ 3; b) 5(–x + 7) ≥ 9; c) 4(–x + 6) ≥ 27; d) 5(–x + 2) ≤ 6; b) 8(–x + 11) ≤ 3; c) 2(–x + 5) ≤ 15.


13. Rezolvaţi în R inecuaţia:

a) ;03

3≤

−x b) ;0

24

≥−x

c) ;07

11≤

−x d) .0

117

≥−x


a) ;013

2<

−x b) ;0

527

>−x

c) ;016

8<

−x d) .0

3510

<−x

15. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 5x + 3 ≤ 7x − 4; b) 8x + 5 ≤ 4x − 9; c) 11x + 6 ≤ 9x − 3; d) 13x − 6 ≥ 6x − 9; e) 16x + 1 ≥ 17x − 2; f) 21x + 8 ≥ 3x − 1.

16. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 2(x − 3) ≤ 10x − 7; b) 3(x − 8) ≤ 11x − 5; c) 7(x − 1) ≤ 16x − 3; d) 4(x − 5) ≥ 8x − 1; e) 5(x − 6) ≥ 19x − 8; f) 6(x + 2) ≥ 23x − 8.

17. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 3(x − 1) ≤ 4(x − 3); b) 3(x − 5) ≤ 8(x − 2); c) 4(x − 6) ≤ 3(x − 7); d) 4(x − 8) ≥ 3(x − 6); e) 5(x − 7) ≥ 9(x − 3); f) 7(x + 8) ≥ 9(x − 11).

18. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) (x + 2)2 ≥ (x + 3)(x – 3); b) (x + 4)2 ≥ (x + 2)(x – 2); c) (x + 3)2 ≥ (x + 4)(x – 4); d) (x + 5)2 ≥ (x + 6)(x – 6); e) (x + 6)2 ≥ (x + 7)(x – 7); f) (x + 7)2 ≥ (x + 5)(x – 5).

19. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) (x + 3)2 ≤ (x − 2)2; b) (x − 2)2 ≤ (x + 7)2; c) (x + 4)2 ≤ (x − 5)2; d) (x + 6)2 ≤ (x − 1)2; e) (x − 8)2 ≤ (x + 5)2; f) (x + 7)2 ≤ (x − 3)2.

20. Rezolvaţi în R sistemul de inecuaţii:

a) b) c) ⎩⎨⎧

>−<+

;1732

xx

⎩⎨⎧

>+<−

;51176

xx

⎩⎨⎧

>+<−

;1431311

xx

d) e) f) ⎩⎨⎧

>+<−

;513812

xx

⎩⎨⎧

>−<+

;718215

xx

⎩⎨⎧

>−<+

.9251321

xx


a) b) c) ⎩⎨⎧

>−<−

;013012

xx

⎩⎨⎧

>+<−

;0115073

xx

⎩⎨⎧

>+<−

;01520134

xx

d) e) f) ⎩⎨⎧

<+>−

;033100118

xx

⎩⎨⎧

>−<+

;02780195

xx

⎩⎨⎧

>+<−

.02950354

xx


a) b) c) ⎩⎨⎧

<+>−

;1154113

xx

⎩⎨⎧

>−<+

;21551374

xx

⎩⎨⎧

>+<−

;5141782

xx

d) e) f) ⎩⎨⎧

>+<−

;16135231910

xx

⎩⎨⎧

<−>+

;151941632

xx

⎩⎨⎧

>−<−

.381245238

xx


23. Rezolvaţi în R cu ajutorul unui sistem de inecuaţii: a) –2 < 3x < 18; b) –7 < 9x < 11; c) –3 < 12x < 14; d) –13 < 5x < 34; e) –22 < 5x < 56; f) –34 < 4x < 42.

24. Rezolvaţi în R cu ajutorul unui sistem de inecuaţii: a) –2 < x + 7 < 13; b) –8 < x + 23 < 4; c) –3 < x – 9 < 7; d) –3 < x – 8 < 26; e) –4 < x + 15 < 9; f) –11 < x – 11 < 31.

25. Rezolvaţi în R cu ajutorul unui sistem de inecuaţii: a) –5 < 4 – x < 25; b) –1 < 15 – x < 19; c) –7 < 16 – x < 1; d) –12 < 8 – x < 45; e) –32 < 17 – x < 6; f) –54 < 18 – x < 9.

26. Rezolvaţi în R cu ajutorul unui sistem de inecuaţii: a) –8 < 9 – 2x < 25; b) –17 < 2 – 5x < 14; c) –9 < 6 – 5x < 7; d) –33 < 21 – 4x < 2; e) –16 < 4 – 5x < 5; f) –17 < 11 – 8x < 15.

27. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | 2x | ≤ 5; b) | 4x | ≤ 13; c) | 5x | ≤ 27; d) | 2x | ≤ 15; e) | 3x | ≤ 18; f) | 8x | ≤ 37; g) | 7x | ≤ 28; h) | 9x | ≤ 36.

28. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | x + 7 | ≤ 2; b) | x – 8 | ≤ 9; c) | x + 15 | ≤ 7; d) | x – 12 | ≤ 8; e) | x – 12 | ≤ 3; f) | x + 9 | ≤ 15; g) | x + 17 | ≤ 6; h) | x + 21 | ≤ 3.

29. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | 5 – x | ≤ 7; b) | 3 – x | ≤ 11; c) | 4 – x | ≤ 13; d) | 11 – x | ≤ 21; e) | 9 – x | ≤ 11; b) | 8 – x | ≤ 17; c) | 1 – x | ≤ 9; d) | 6 – x | ≤ 36.

30. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | 2x + 9 | ≤ 5; b) | 4x – 3 | ≤ 11; c) | 5x + 9 | ≤ 12; d) | 4x – 17 | ≤ 25; e) | 8x + 3 | ≤ 9; f) | 5x – 7 | ≤ 67; g) | 2x – 3 | ≤ 34; h) | 4x + 31 | ≤ 19.

31. Reproduceţi şi completaţi:

a) x2 + 5x – 6 = 0, x ∈ R ⇔ b) x⎢⎣

⎡...;... 2 + 7x – 6 = 0, x ∈ R ⇔ ⎢

⎣

⎡...;...

c) x2 + 7x – 30 = 0, x ∈ R ⇔ d) x⎢⎣

⎡...;... 2 + 5x – 36 = 0, x ∈ R ⇔ ⎢

⎣

⎡...;...

e) x2 + 9x – 22 = 0, x ∈ R ⇔ f) x⎢⎣

⎡...;... 2 + 10x – 21 = 0, x ∈ R ⇔ ⎢

⎣

⎡......


a) b) ⎢ c) ⎢ d) ⎢ ⎢⎣

⎡>+<−

;0204

xx

⎣

⎡>+<−

;013011

xx

⎣

⎡>−<+

;035023

xx

⎣

⎡>+<−

;027021

xx


e) f) ⎢ g) ⎢ h) ⎢ ⎢⎣

⎡>+<−

;05016

xx

⎣

⎡>−<+

;09014

xx

⎣

⎡>+<−

;051041

xx

⎣

⎡>−<−

.026038

xx


a) b) ⎢ c) ⎢ d) ⎢ ⎢⎣

⎡>+<−

;212811

xx

⎣

⎡>−<+

;313172

xx

⎣

⎡>+

<−;1613

261xx

⎣

⎡<−

<−;1119

325xx

e) f) ⎢ g) ⎢ h) ⎢ ⎢⎣

⎡>+

<−;1423

187xx

⎣

⎡>−<−

;233124

xx

⎣

⎡>+<−

;26132111

xx

⎣

⎡>−

<+.423

527xx


a) b) ⎢ c) ⎢ d) ⎢ ⎢⎣

⎡>+<−

;2538172

xx

⎣

⎡>−<+

;15121314

xx

⎣

⎡>+<−

;29941235

xx

⎣

⎡<−<−

;7352998

xx

e) f) ⎢ g) ⎢ h) ⎢ ⎢⎣

⎡>+<−

;13538212

xx

⎣

⎡>−

<−;4243

1948xx

⎣

⎡>+<−

;253123275

xx

⎣

⎡>−<+

.38851234

xx

35. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | 2x | ≥ 33; b) | 4x | ≥ 11; c) | 5x | ≥ 23; d) | 2x | ≥ 71; e) | 4x | ≥ 41; f) | 5x | ≥ 82; g) | 4x | ≥ 34; h) | 8x | ≥ 39.

36. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | x + 3 | ≥ 9; b) | x – 12 | ≥ 13; c) | x + 11 | ≥ 2; d) | x – 31 | ≥ 43; e) | x + 7 | ≥ 8; f) | x – 6 | ≥ 16; g) | x + 17 | ≥ 9; h) | x – 4 | ≥ 35.

37. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | 7 – x | ≥ 9; b) | 4 – x | ≥ 13; c) | 5 – x | ≥ 3; d) | 3 – x | ≥ 12; e) | 8 – x | ≥ 2; f) | 6 – x | ≥ 14; g) | 9 – x | ≥ 5; h) | 13 – x | ≥ 6.

38. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | 2x – 1 | ≥ 13; b) | 4x + 3 | ≥ 33; c) | 5x + 1 | ≥ 7; d) | 8x + 1 | ≥ 91; e) | 4x – 3 | ≥ 17; f) | 4x + 5 | ≥ 26; g) | 9x + 4 | ≥ 2; h) | 8x + 15 | ≥ 9.

39. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | 3 – 2x | ≥ 18; b) | 5 – 4x | ≥ 28; c) | 8 – 5x | ≥ 16; d) | 12 – 5x | ≥ 45; e) | 9 – 2x | ≥ 25; f) | 7 – 4x | ≥ 39; g) | 1 – 8x | ≥ 34; h) | 27 – 2x | ≥ 2.

40. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care are rădăcini reale polinomul: a) 2X2 – 3X – 5m; b) 4X2 – 5X – 2m; c) 5X2 – 4X – 6m; d) 7X2 – 2X – 4m; e) 5X2 – 4X + 3m; f) 9X2 – 5X – 7m.

41. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care are rădăcini reale polinomul: a) 3X2 – 2X + 3m – 1; b) 7X2 – 2X + 2m – 3; c) 2X2 – 4X + 3m – 2; d) 8X2 – 6X + 4m – 3; e) 5X2 – 12X + 2m – 5; f) 9X2 – 8X + 6m – 1.

42. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care are rădăcini reale polinomul: a) 2X2 – 2X – 3m – 4; b) 9X2 – 2X – 6m – 1; c) 4X2 – 6X – 5m – 3; d) 5X2 – 2X – 2m – 3; e) 7X2 – 2X – 8m – 1; f) 5X2 – 10X – 4m – 9.

43. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care are rădăcini reale polinomul: a) (m – 2)X2 – 2X – 7; b) (m – 4)X2 – 4X – 7; c) (m + 3)X2 – 6X – 5;


d) (m – 5)X2 – 8X – 3; e) (m – 6)X2 – 4X – 9; f) (m + 4)X2 – 8X – 3. 44. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care nu are rădăcini reale polinomul:

a) 4X2 – 3X + 2m; b) 5X2 – 7X + 3m; c) 7X2 – 9X + 5m; d) 8X2 – 5X + 3m; e) 2X2 – 9X + 11m; f) 3X2 – 11X + 4m.

45. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care nu are rădăcini reale polinomul: a) 3X2 – 2X + m – 3; b) 5X2 – 4X + 2m – 3; c) 9X2 – 2X + 3m – 1; d) 7X2 – 4X + m – 1; e) 3X2 – 4X + m – 5; f) 5X2 – 6X + m – 7.

46. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care nu are rădăcini reale polinomul: a) 3X2 – 2X – 3m – 1; b) 4X2 – 4X – 5m – 1; c) 7X2 – 2X – 4m – 3; d) 9X2 – 6X – 3m – 4; e) 7X2 – 8X – 6m – 5; f) 5X2 – 2X – 7m – 4.

47. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care are rădăcini reale diferite polino-mul:

a) 3X2 – 6X – 7m – 2; b) 5X2 – 4X – 3m – 4; c) 9X2 – 2X – 6m – 7; d) 7X2 – 8X – 3m – 5; e) 4X2 – 2X – 4m – 3; f) 8X2 – 4X – 2m – 5.


a) 3X2 – 10X – 5m + 7; b) 2X2 – 8X – 6m + 1; c) 4X2 – 2X – 7m + 3; d) 8X2 – 2X – 6m + 1; b) 3X2 – 4X – 9m + 2; c) 7X2 – 6X – 9m + 4.

49. Fie funcţia f : D → R. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f, dacă:

a) ;7−x b) ;9−x c) ;12 x− d) ;4,3 x− e) ;3,11 x− f) ;6,1+x g) ;6,13−x h) .13,2 x−


a) ;92 −x b) ;37 −x c) ;92 x− d) ;413 x− e) ;511 x− f) ;233 +x g) ;135 −x h) .32 x−


a) ;103

1−x

b) ;94

1−x

c) ;75

1−x

d) ;133

4x−

e) ;29

1x−

f) ;511

1x−

g) ;815

1x−

h) .134

1−x

52. Fie funcţia f : D → R. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f, dacă f(x) este:

a) ;54 −x b) ;74 x− c) ;8,24 −x d) ;3,74 x−

e) ;7,54 +x f) ;8,64 x− g) ;4,94 +x h) .6,44 x− 53. Fie funcţia f : D → R. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f,

dacă f(x) este: a) ;1126 −x b) ;896 x− c) ;8,748 −x d) ;51,810 x−


e) ;4,538 −x f) ;1,5810 −x g) ;21,14 x− h) .8,346 +x 54. Fie funcţia f : D → R. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f,

dacă f(x) este:

a) ;4,23

6,48 −

−x

b) ;2,47

14 −x

c) ;68,1

16 x−

d) ;4,56

112 +x

e) ;135

114 x−

f) ;1,97

816 −x

g) ;6,123

114 x−

− h) .8,96,4

312 x−

−


a) ;)6,2( 53

x− b) ;)7,4( 74

+x c) ;)9,2( 1311

x− d) ;)4,8( 176

x−

e) ;)3,4( 83

x− f) ;)5,8( 347

−x g) ;)6,11( 358

+x h) .)3,9( 2113

x− 56. Aflaţi numerele reale pentru care are sens:

a) ;)42,3( 135

−− x b) ;)5,37( 16

3−

+x c) ;)37,5( 193

x− d) ;)114( 2117

−x

e) ;)35( 53

−+x f) ;)23,6( 15

8−

− x g) ;)6,15( 239

−−x h) .)52,8( 26

3−

− x 57. Aflaţi numerele reale pentru care are sens:

a) ;)7,3(

3

137

x−

− b) ;)7,4(

11

1511

+

−

x c) ;

)2,9(

7

1915

x−

− d) ;)6,8(

1

323

+

−

x

e) ;)8,5(

13

519

x−

− f) ;)7(

6,5

253

+

−

x g) ;

)7,11(

9,8

283

−

−

x h) .

)3,5(

7,2

307

x−

−

58. Lungimile în centimetri ale laturilor unui triunghi sunt numere naturale. Aflaţi lungimea laturii a treia dacă două dintre ele au lungimile: a) 1 cm, 7 cm; b) 1 cm, 9 cm.


a) ;05312

<+−

xx b) ;0

7254

≤+

−x

x c) ;01376

>+−

xx d) .0

51235

≥−−

xx


a) ;24

1<

−x b) ;3

51

≤−x

c) ;59

1>

−x d) .4

62

≥−x


a) ;12

17

1−

<− xx

b) ;23

435

3−

≤− xx

c) .72

554

6+

≥− xx

62. Rezolvaţi în R:

a) ;311 ≤<x

b) ;113 −<≤−x

c) .725 ≤≤−x



a) ;531 <≤x

b) ;254 −≤<−x

c) .576 <≤−x


a) ;8713 ≤<x

b) ;1615 −<≤−x

c) .9817 ≤<−x

65. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) (x + 2)3 – (x + 3)3 + 3x2 ≤ 0; b) (x – 4)3 – (x – 5)3 – 27x2 ≥ 0.

66. Rezolvaţi în R inecuaţia reproducând şi completând:

(x – 2)(3 – x)(x + 4) ≥ 0 ⇔ ⇔ ...

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥+≤−≤−

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤+≥−≤−

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤+≤−≥−

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥+≥−≥−

040302

040302

040302

040302

xx

x

xx

x

xx

x

xx

x

67. Procedând ca la ex. 65, rezolvaţi în R inecuaţia (x – 5)(4 – x)(x – 7) ≤ 0. 68. Rezolvaţi în R inecuaţia:

a) ;35

2≤

−x b) .5

343

≤− x

69. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens expresia:

a) ;34

5523x

x−

−− b) .85

9437 3 xxx−

−+−


a) ;)75(7)83( 49

94

xx −−− b) .)115(12)512( 139

74

−−−−− xx


a) b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−<−≤−

;029043052

xxx

x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−≥−−≤−+<−

.223159126184

41175

xxxx

xx



a) b) ⎩⎨⎧

−<−=++

;545301492

xxxx

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−≥++<−

=+−

.2713103772

018112

xxxx

xx


a) b) ⎢⎣

⎡

=−−

+≤−

;074

1721372 xx

xx

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+>−+<−

=−+

.231215231874

0532

xxxx

xx


a)

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−≤−

<−

≤−

<

;13

15

71

13

x

x b)

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−<−

<−

≤−

<−

.12

15

27

14

x

x

75. Fie numerele reale a, b, c. Comparaţi numerele: a) 25a2 + 9b2 şi 30ab; b) 9a2b2 + c2 şi 6abc.

76. Fie numerele reale pozitive c şi d. Comparaţi numerele: a) 3c + d şi ;32 cd b) 5c + 2d şi .102 cd

77. Fie numerele reale pozitive a, b şi c. Comparaţi numerele: a) 9a2 + 25b2 + 49c2 şi 15ab + 21ac + 35bc; b) 9a2 + 4b2 + 25c2 şi 6ab + 15ac + 10bc.


a) ;23216

≤+−

xx b) .3

7635

≥−−

xx

79. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | 3x – 9 | ≤ | 4x + 1 | ; b) | 5x – 2 | ≥ | 3x + 1 | .


a) ;543

22 ≤−

≤x

b) ;152

33 −<−

<−x

c) .515

22 <−

≤−x


a) b) ⎩⎨⎧

≤−<−

;7831

||

||

xx

⎩⎨⎧

≤−<−

.6531

|2|

|2|

xx


a) b) ⎢ ⎢⎣

⎡≥−

<−;1911

86||

||

xx

⎣

⎡≥−

<−.8213

41||

|3|

xx



a) b) ⎢ ⎢⎣

⎡≥−>−

;178147

||

||

xx

⎣

⎡≥−>−

.125657

||

|3|

xx

84. Demonstraţi că:

.00527

00420032...

1211

109

87

00426

<⋅⋅⋅⋅<


1. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | x | ≤ 23; b) | x | ≥ 31.

2. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 2x + 37 ≤ 0; b) 3x − 45 ≥ 0.

3. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 4x + 7 < 18; b) 4x − 9 > 25.

4. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 2(x + 1) ≤ 3; b) 5(x − 3) ≥ 4.

5. Rezolvaţi în R inecuaţia: 7x + 9 < 3x + 2.

6. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) (2x + 3)2 < (2x + 3)(2x – 3); b) (4x − 5)2 ≥ (4x + 5)(4x – 5).


a) ⎩⎨⎧

≥+<−

;2794873

xx

b) ⎢⎣

⎡≤+>−

.7563125

xx


⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

≤−

≤−

≤−

<

.254

13

432

12

x

x


⎢⎣

⎡≥−≤−

.1034752

||

||

xx

1. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | x | ≤ 32; b) | x | ≥ 38.

2. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 2x + 56 ≤ 0; b) 3x − 72 ≥ 0.

3. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 4x + 6 < 19; b) 4x − 9 > 29.

4. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 2(x + 2) ≤ 1; b) 5(x − 4) ≥ 3.

5. Rezolvaţi în R inecuaţia: 7x + 10 < 2x + 3.

6. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) (3x + 2)2 < (3x + 4)(3x – 4); b) (4x − 3)2 ≥ (4x + 6)(4x – 6).


a) ⎩⎨⎧

≥+<−

;2373594

xx

b) ⎢⎣

⎡≤−>+

.8451536

xx


⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

≤−

≤−

≤−

<

.325

12

423

13

x

x


⎢⎣

⎡≥−≤−

.625894

||

||

xx



2. I n e c u a ţ i i d e g r a d u l I I c u o n e c u n o s c u t ă . M e t o d a i n t e r v a l e l o r

1. Reproduceţi şi completaţi fiecare reprezentare grafică a unei funcţii cu semnul ei.

x

y

OO

OOx

y

x

y

x

y

Ox

y

x

y

OO

OOx

y

x

y

x

y

Ox

y

2. Studiaţi semnul funcţiei f : R → R cu:

a) f(x) = x2 + 15x – 2; b) f(x) = 3x2 + 6x – 4; c) f(x) = 4x2 – 7x – 5; d) f(x) = 7x2 + 2x – 2; e) f(x) = 8x2 + 3x – 2; f) f(x) = 5x2 + 2x – 4.

3. Studiaţi semnul funcţiei f : R → R cu: a) f(x) = 4x2 + 12x + 9; b) f(x) = 9x2 + 12x + 4; c) f(x) = 25x2 – 30x + 9; d) f(x) = 16x2 + 8x + 1; e) f(x) = 49x2 + 28x + 4; f) f(x) = 36x2 – 60x + 25.

4. Studiaţi semnul funcţiei f : R → R cu: a) f(x) = 5x2 + 2x + 1; b) f(x) = 9x2 + 3x + 1; c) f(x) = 5x2 – 6x + 2; d) f(x) = 4x2 + 3x + 1; f) f(x) = 2x2 + 4x + 3; g) f(x) = 3x2 – 6x + 2.

5. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) x2 + 5x + 6 < 0; b) x2 – 3x + 10 < 0; c) x2 – 7x – 30 < 0; d) 12x2 + 8x + 1 < 0; e) 14x2 – 9x + 1 < 0; f) 18x2 – 11x + 1 < 0.

6. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 18x2 + 11x + 1 ≥ 0; b) 27x2 – 12x + 1 ≥ 0; c) 44x2 – 7x + 1 ≥ 0; d) 22x2 + 9x + 1 ≥ 0; e) 33x2 – 14x + 1 ≥ 0; f) 50x2 – 15x + 1 ≥ 0.

7. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) –70x2 + 11x + 1 ≥ 0; b) –55x2 – 6x + 1 ≥ 0; c) –60x2 – 7x + 1 ≥ 0; d) –102x2 + 11x + 1 ≥ 0; e) –50x2 – 5x + 1 ≥ 0; f) –70x2 – 3x + 1 ≥ 0.

8. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 9x2 + 12x + 4 > 0; b) 4x2 – 12x + 9 > 0; c) 9x2 + 12x + 4 > 0; d) 36x2 + 12x + 1 > 0; e) 25x2 – 10x + 1 > 0; c) 49x2 + 14x + 1 > 0.

9. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) –9x2 + 6x – 1 > 0; b) –4x2 + 12x – 9 > 0; c) –16x2 + 24x – 9 > 0; d) –25x2 + 10x – 1 > 0; e) –49x2 + 14x – 1 > 0; f) –16x2 + 8x – 1 > 0.

10. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 9x2 + 5x + 4 > 0; b) 4x2 – 11x + 9 > 0; c) 9x2 + 10x + 4 > 0; d) 3x2 + 5x + 3 > 0; e) 4x2 – 6x + 3 > 0; f) 9x2 + 11x + 4 > 0.

11. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) –6x2 + 7x – 4 > 0; b) –4x2 + 7x – 9 > 0; c) –8x2 + 9x – 4 > 0; a) –5x2 + 6x – 2 > 0; b) –7x2 + 7x – 2 > 0; c) –8x2 + 5x – 2 > 0.


12. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) –7x2 + 5x < 0; b) 2x2 + 3x < 0; c) –x2 + 7x < 0; d) –2x2 + 8x < 0; e) –17x2 – 9x < 0; f) 8x2 – 15x < 0.


a) ;012

32 ≥

+ xx b) ;0

745

2 <− xx

c) ;098

32 >

− xx d) ;0

534

2 <+ xx

e) ;045

12 <

−x f) ;0

5872 ≥

−x g) ;0

432

2 <+x

h) .092

102 >

+x

14. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens expresia: a) ;152 −x b) ;34 2 −x c) ;35 2 xx − d) ;37 2 xx +

e) ;43 2 +x f) ;76 2 −x g) ;310 2 xx − h) .35 2 +x


a) ;1045

16 2 −− xx

b) ;1640

24 2 +−− xx

c) ;1340

18 2 −− xx

d) ;1566

34 2 +−− xx

e) ;1778

46 2 −+ xx

f) .13

54 2 −− xx


a) ;)35( 65

2 −+−− xx b) ;)24( 3

52 −

+−− xx c) ;)52( 114

2 −++− xx

d) ;)13( 54

2 −+−− xx e) ;)34( 7

22 −

++− xx f) .)143( 95

2 −++− xx

17. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) x2 − 2x + 1 ≤ 4; b) x2 − 3x + 3 ≤ 5; c) x2 − 5x + 3 ≤ 5; d) x2 − 6x + 2 ≤ 5; e) x2 − 7x + 6 ≤ 1; f) x2 − 8x + 3 ≤ 8.

18. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) (x + 2)2 < 5; b) (x + 4)2 < 15; c) (x + 3)2 < 5; d) (x + 5)2 < 23; e) (x + 6)2 < 33; f) (x + 7)2 < 40.


a) b) c) ⎩⎨⎧

>−<−−

;020132

xxx

⎩⎨⎧

<+−

>−

;025

032 xx

x

⎩⎨⎧

<+−

<+

;0127

042 xx

x

d) e) f) ⎩⎨⎧

<+

<+

;08

032 xx

x

⎩⎨⎧

<+

<+

;07

062 xx

x

⎩⎨⎧

<−

>+

.03

052 xx

x

20. Rezolvaţi în R cu ajutorul unui sistem de inecuaţii: a) –2 < x2 + 4x < 5; b) –3 < x2 + 6x < 4; c) –1 < x2 – 7x < 2; d) –3 < x2 – 8x < 6; e) –5 < x2 – 9x < 8; f) –9 < x2 + 10x < 6.


a) b) c) ⎪⎩

⎪⎨⎧

≥−

<−

;0

042

2

xx

x⎪⎩

⎪⎨⎧

≤−

>−

;06

092

2

xx

xx⎪⎩

⎪⎨⎧

>−

≤−

;03

0252

2

xx

x


d) e) f) ⎪⎩

⎪⎨⎧

≥−

<−

;02

0112

2

xx

x⎪⎩

⎪⎨⎧

≤−

>−

;03

0152

2

xx

x⎪⎩

⎪⎨⎧

<−

≥−

.07

052

2

xx

xx

22. Rezolvaţi în R cu ajutorul unui sistem de inecuaţii: a) | x2 + 2x | ≤ 5; b) | x2 – 3x | ≤ 2; c) | x2 + 4x | ≤ 3; d) | x2 – 7x | ≤ 3; e) | x2 – 8x | ≤ 4; f) | x2 – 11x | ≤ 6.

23. Rezolvaţi în R cu ajutorul unui sistem de inecuaţii: a) | x2 – 7 | ≤ 3; b) | x2 – 9 | ≤ 6; c) | x2 – 12 | ≤ 4; d) | x2 – 15 | ≤ 7; e) | x2 – 18 | ≤ 2; f) | x2 – 26 | ≤ 10.

24. Rezolvaţi în R cu ajutorul unui sistem de inecuaţii: a) | x2 + 10x + 1 | ≤ 8; b) | x2 – 12x + 2 | ≤ 3; c) | x2 + 9x – 1 | ≤ 4; d) | x2 + 15x + 3 | ≤ 6; b) | x2 – 17x + 2 | ≤ 7; c) | x2 + 18x + 2 | ≤ 5.


a) b) c) ⎢⎢⎣

⎡

<−

≤−

;06

042

2

x

xx

⎢⎢⎣

⎡

≤−

<+

;011

092

2

x

xx

⎢⎢⎣

⎡

≤−

<−

;08

0252

2

xx

x

d) e) f) ⎢⎢⎣

⎡

<+

≤−

;03

0362

2

xx

x

⎢⎢⎣

⎡

≤+

<−

;05

0492

2

xx

x

⎢⎢⎣

⎡

≤−

≤−

.081

072

2

x

xx

26. Rezolvaţi în R cu ajutorul unei totalităţi de inecuaţii: a) | x2 – 7 | ≥ 5; b) | x2 – 3 | ≥ 1; c) | x2 – 4 | ≥ 2; d) | x2 – 9 | ≥ 7; e) | x2 – 11 | ≥ 2; b) | x2 – 13 | ≥ 9; c) | x2 – 15 | ≥ 6; d) | x2 – 18 | ≥ 10.

27. Rezolvaţi în R cu ajutorul unei totalităţi de inecuaţii: a) | x2 – 10x | ≥ 5; b) | x2 – 11x | ≥ 3; c) | x2 – 12x | ≥ 4; d) | x2 – 13x | ≥ 6; e) | x2 – 15x | ≥ 11; b) | x2 – 16x | ≥ 10; c) | x2 – 18x | ≥ 12; d) | x2 – 20x | ≥ 14.

28. Rezolvaţi în R aplicând metoda intervalelor: a) (x2 + 5x)(x2 – 8x) < 0; b) (x2 + 7x)(x2 – 10x) < 0; c) (x2 – 17x)(x2 – 12x) < 0; d) (x2 – 23x)(x2 – 16x) < 0; e) (x2 + 21x)(x2 – 18x) < 0; f) (x2 + 4x)(x2 – 9x) < 0.

29. Rezolvaţi în R aplicând metoda intervalelor: a) (x2 – 1)(x2 – 3) < 0; b) (x2 – 7)(x2 – 9) < 0; c) (x2 – 7)(x2 – 11) < 0; d) (x2 – 12)(x2 – 15) < 0; e) (x2 – 25)(x2 – 16) < 0; b) (x2 – 36)(x2 – 31) < 0.

30. Rezolvaţi în R aplicând metoda intervalelor: a) (x2 – 2x + 1)(x2 – 3x + 2) ≤ 0; b) (x2 – 4x + 4)(x2 – 5x + 6) ≤ 0; c) (x2 – 6x + 9)(x2 – 7x + 12) ≤ 0; d) (x2 – 8x + 16)(x2 – 5x + 4) ≤ 0; e) (x2 – 10x + 25)(x2 – 8x + 15) ≤ 0; f) (x2 – 12x + 36)(x2 – 8x + 12) ≤ 0.

31. Rezolvaţi în R aplicând metoda intervalelor:

a) ;07332

<+−

xx b) ;0

3473

<+−

xx c) ;0

5625

<−+

xx d) ;0

11547

<+−

xx

e) ;05694

<+−

xx f) ;0

8958

<+−

xx g) ;0

85310

<−−

xx h) .0

18134

<−−

xx



a) ;065

232 ≥

−−−xx

x b) ;0187

852 ≥

−+−xx

x c) ;0338

542 ≥

−+−xx

x

d) ;06011

922 ≥

−+−xx

x e) ;08011

982 ≥

−+−xx

x f) .010211

11102 ≥

−+−xx

x


a) ;0369

352

2

<−−

−xx

xx b) ;08016

472

2

<−−

−xx

xx c) ;010516

382

2

<−−

−xx

xx

d) ;06016

9102

2

<+−

−xx

xx e) ;04813

5122

2

<−−

−xx

xx f) .5015

562

2

+−+xx

xx

34. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care nu are rădăcini reale polinomul: a) 3X2 – (m – 2)X + 4; b) X2 – (2m – 3)X + 5; c) 3X2 – (3m – 1)X + 5; d) 2X2 – (m – 1)X + 6; e) 2X2 – (m – 5)X + 6; f) 5X2 – (m – 7)X + 2.


a) 3X2 – (7m – 2)X – 3; b) 5X2 – (3m – 4)X – 4; c) 2X2 – (6m – 7)X – 9; d) 7X2 – (3m – 5)X – 6; e) 4X2 – (4m – 3)X – 3; f) 3X2 – (2m – 5)X – 2.

36. Alcătuiţi o inecuaţie de gradul II cu mulţimea soluţiilor: a) (0, 5); b) [–3, 7]; c) (–5, 5); d) R \{–2, 5}.

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 37. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens expresia:

.)1640(1514 97

28 2 −−−−+− xxxx


38. Rezolvaţi în R sistemul de inecuaţii ⎪⎩

⎪⎨⎧

≥+−−

<−−

.0703

06042

2

xx

xx



⎪⎨⎧

≥−−

<−−

.02611

4792

2

xx

xx ||


40. Rezolvaţi în R totalitatea ⎢⎢⎣

⎡

≥−−

<−−

.04512

36102

2

xx

xx ||


41. Rezolvaţi în R aplicând metoda intervalelor .1774723

2

2

≤−−+−

xxxx




332

1≥

+−

− xx



⎪⎨⎧

≤+−

<+−

.459

11582

2

||

||

xx

xx

44. Rezolvaţi în R totalitatea ⎢⎢⎣

⎡

≤+−

<+−

.5210

2472

2

||

||

xx

xx

45. Rezolvaţi în R, .24213

751 2 <−−

−≤

xxx



132

2≤

−−

− xx



532 <

−−−xx

x



541 2 <−−

−<

xxx

Formulaţi un exerciţiu asemănător. 49. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care polinomul 5X2 – (m – 3)X + m –

1 are suma rădăcinilor strict pozitivă şi produsul strict negativ. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 50. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care polinomul 2X2 – (m – 1)X + 3m

are rădăcinile mai mari decât 1. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 51. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care polinomul 3X2 – (m – 2)X + 4m

are o rădăcină mai mare decât 1 şi cealaltă mai mică decât 1. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 52. Rezolvaţi grafic, în R, inegalitatea | x2 + 3x + 2 | ≤ 5. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 53. Rezolvaţi grafic, în R, inegalitatea | x2 + 5x + 4 | ≤ x – 1. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 54. Rezolvaţi grafic, în R, inegalitatea | x2 + 7x + 12 | ≤ | x – 3 |. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 55. Rezolvaţi grafic, în R, inegalitatea | x2 – 8x + 12 | ≤ | x2 + 9x + 18 |. Formulaţi un exerciţiu asemănător.




a) f(x) = x2 + 7x – 3; b) f(x) = x2 + 6x + 2.

2. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) x2 + 3x ≤ 0; b) x2 – 0,25 ≥ 0.

3. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) x2 + 13x – 30 ≤ 0; b) x2 + 21x – 46 ≥ 0.

4. Rezolvaţi în R sistemul

⎩⎨⎧

<+

>−

.03

042 xx

x

5. Rezolvaţi în R totalitatea

⎢⎢⎣

⎡

≤−

<−

.06

052

2

x

xx


a) ;114284 2 −− xx

b) .)8016( 73

2 −−− xx

7. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | x2 – 13 | ≤ 7; b) | x2 – 19 | ≥ 6.


.311020

322

2

≥−−

−xx

x


⎢⎢⎣

⎡

≤+−

<+−

.2612

34112

2

||

||

xx

xx


a) f(x) = x2 + 6x – 4; b) f(x) = x2 + 8x + 3.

2. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) x2 + 5x ≤ 0; b) x2 – 0,16 ≥ 0.

3. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) x2 + 12x – 45 ≤ 0; b) x2 + 19x – 42 ≥ 0.

4. Rezolvaţi în R sistemul

⎩⎨⎧

<+

>−

.04

052 xx

x


⎢⎢⎣

⎡

≤−

<−

.08

072

2

x

xx


a) ;113306 2 −− xx

b) .)7515( 74

2 −−− xx

7. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | x2 – 16 | ≤ 6; b) | x2 – 18 | ≥ 7.

8. Rezolvaţi în R aplicând metoda in-tervalelor:

.21927

232

2

≥−−

−xx

x


⎢⎢⎣

⎡

≤+−

<+−

.3411

45122

2

||

||

xx

xx



Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri Cap. I. Recapitulare şi completări. 1. Mulţimea numerelor reale (9–11)

1. a) Zecimalele numărului –5,0369... sunt formate din toţi multiplii naturali ai lui 3. Răspuns: –5,0369... este număr

iraţional. 2. a) 495268

990536

9905541

==− implică −23,5(41) =

.49526823− 3. Examinaţi desenul! 4. a) –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4.

5. a) (–5, 17). 6. a) ( –11, 24]. 7. a) [–2,5; 7,1]. 8. a) (–'; 15,2]. 9. a) | x | < 2,9. 10. a) | x | ≤ 13,2. 11. a) | x | > 3,27. 12. a) | x | ≥ 3,27. 13. a) .8739 −<−<− 14. a) 55 ≈ 7,4. Răspuns: 7. 15. a) 33 ≈ 5,74. Răspuns: 5,7. 16. a) 48 ≈ 6,28. Răspuns: 6,3. 17. a) 51− ≈ –7,1. Răspuns: –7. 18. a) 68− ≈ –8,24. Răspuns: –8,2. 19. a) 78− ≈ –8,831. Răspuns: –8,83. 20. a) 18 ≈ 4,24. Răspuns: 4,3. 21. a) 19 ≈ 4,24. Răspuns: 4,2. 22. a) 19− ≈ –4,35. Răspuns: –4,3.

23. a) 27− ≈ –5,19. Răspuns: –5,2. 24. a) 2

5+x

∈ Z ⇔ x + 2 ∈ {–5, –1, 1, 5} ⇔ x

+ 2 ∈ {–7, –3, –1, 3}. 25. a) Divizorii naturali primi ai lui 12 sunt: 2, 3. Deoarece 2 se

află printre divizorii lui 12, rezultă că 127 se converteşte într-un număr zecimal

periodic compus. 26. Deoarece termenii numărătorului au aceeaşi paritate, numărătorul

este număr par. Fracţia 2004

174135 yxyx − este reductibilă. 27. Număr zecimal periodic

compus. 28. a) )(11 cbaabc +++ = 111a + 21b + 12c se divide cu 3, deci

)(1115

cbaabc +++ este fracţie ireductibilă.

29. Zecimalele numărului se obţin din termenii şirului 2, 4, 6, 8, ... Calculăm câte numere pare nenule de o cifră există, câte numere pare de două cifre există etc. 30. Suma tuturor numerelor este 1002⋅2005 = 2007005. Deoarece 2007005 – 4k ≈ 0 pentru orice k ∈ N*, nu se poate obţine un şir cu toţi termenii egali cu 0. 31. Nu este periodic. 32. Examinaţi exemplul de la p. 5. 33. a) [5; 3, 7, 1] este un număr raţional. 2. Operaţii cu numere reale (12–16) 1. a) 2)52( −x = | 2x – 5 |. 2. a) .35)53( 2 −=− 3. a) )75(3 − = 15 – .21 4. a) 10. 5. a) 431431 ++ = .31435 + 6. a) 941641 +− = .41650 − 7. a) .174 8. a) 3,605 < 13 < 3,606, 3,872 < 15 < 3,873 implică 7,477 <

1513 + < 7,479. Răspuns: 7,47. 9. a) 5,385 < 29 < 5,386, 3,316 < 11 < 3,317, 2,06 < 1129 − < 2,07. Răspuns: 2,07. 10. a) .1702 11. a) .2160 12. a) 343a3 + 588a2 + 336a + 64. 13. a) 343a3 – 882a2 + 756a – 216. 14. a) 729x3 + 512. 15. a) 729x3

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri 129

– 343. 16. a) 3x – 11 = 16 ⇔ 3x = 27 ⇔ x = 9 ⇒ S = {9}. 17. a) 7x – 8 = 3x + 6 ⇔ 7x – 3x = 8 + 6 ⇔ 4x = 14 ⇒ S = {3,5}. 18. a) | 4x + 11 | = 25 ⇔ 4x + 11 = 25 sau 4x + 11 = –25 ⇔ 4x = 14 sau 4x = –36 ⇔ 4x = 14 sau 4x = –36 ⇔ x = 3,5 sau x = –9 ⇒ S = {–9; 3,5}. 19. a) | 4x | ≤ 13 ⇔ –13 ≤ 4x ≤ 13 ⇔ –3,25 ≤ x ≤ 3,25 ⇒ S = [–3,25; 3,25]. 20. a) | x – 9 | ≤ 2 ⇔ –2 ≤ x – 9 ≤ 2 ⇔ 7 ≤ x – 9 ≤ 11 ⇒ S = [7; 11]. 21. a) | 9x | ≥ 28 ⇔ 9x ≥ 28 sau 9x ≤ –28 ⇔ x ≥ 3,(1) sau x ≤ –3,(1) ⇒ S = (–'; –3,(1)] ∪ [3,(1); '). 22. a) | x – 9 | ≥ 12 ⇔ x – 9 ≥ 12 sau x – 9 ≤ –12 ⇔ x ≥ 21 sau x ≤ –3 ⇒ S = (–'; –3] ∪ [21, '). 23. a) S = }.15,15{− 24. a) S = {0, 34}. 25. a) S = {–1, 20}. 26. a) S = {6}. 27. a) S = 12, P = 34. 28. a) x2

– 3,5x –7,5 = 0. 29. a) X2 – (–3,1 + 2,4)X + (–3,1⋅2,4) etc. 30. a) X 2 + 11X + 30 are rădăcinile –6 şi –5. X 2 + 11X + 30 = (X + 5)(X + 6). 31. a) x2 – 23 =

).23)(23( −+ xx 32. a) x2 – 6x – 112 = (x – 14)(x + 8). 33. a) .

11+xx 34. a) (x + 25)2.

34. a) (2x + 5)3. 39. a) .52 − 40. a) }.3,2,2,3{ −−=S 41. Fie y = .1 x

x−

Se

rezolvă mai întâi ecuaţia y2 – 2y + 1 = 0 etc. 42. Fie y2 = x – 2 etc. 43. Fie y = 2x – 5

etc. 44. x2 + x4 + x6 + ... = 2

2

1 xx−

etc. 45. Fie S = x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + ... Atunci S – xS

= x + x2 + x3 + x4 + ... = x

x−1

etc. 46. a) y = 23

32 +− xx

x etc. 47. Rezolvaţi în R

ecuaţia | x + 2 | + | x – 2 | = 4 etc. S = [–2, 2]. 48. a = ,20052004...

76

54

32

⋅⋅⋅⋅ a <

20062005...

87

65

43

⋅⋅⋅⋅ etc. 49. Se află ultima cifră a sumei din membrul stâng şi se compară

cu ultima cifră a numărului din dreapta. Ecuaţia nu are soluţii întregi. 50. a) e se află din ecuaţia x + e + 11 = x. 51. Graficul funcţiei este unghiul ABC cu A(0, 5), B(1,(6); 0), C(2, 1). 52. Aflaţi câte numere naturale se divid cu 2, 5, 7 şi apoi câte mai rămân. 53. Ţineţi cont că produsul a două numere întregi consecutive se divide cu 2 şi că suma a două sau mai multe numere întregi pare este un număr par. 54. Deoarece 2 = 0 + 2, 3 = 0 + 3 = 1 + 2, 4 = 4 + 0 = 1 + 3 etc., X

2 are coeficientul 1, X 3 are coeficientul 2, X

4 are coeficientul 2 etc. 55. Se înlocuieşte 2 – X cu X şi X cu 2 – X etc. 56. P(1) + P(2) + P(3) + ... + P(2004) =7(1 + 2 + ... + 2004) – 5⋅20004 etc. 57. a)

3015630156 ++⋅+− = 3021− etc. 58. a) 1...

189 +++ zz

etc. 59. Pro-

poziţia este falsă. 60. Se află x din ecuaţia x

x−1

= x1 şi apoi valoarea comună ϕ a

rapoartelor (numărul de aur). ϕ = 2

51+ = 1,618033... 61. [1; (1)].

62. ...111 +++ = ϕ. 63. n = 0. Cap. II. Puteri cu exponent raţional. 1. Radicali de ordinul n (20–25)

1. a) .224 2 == 2. a) .228 3 33 == 3. a) .228 3 33 ==− 4. a) .2216 4 44 ==


5. a) .2232 5 55 == 6. a) .2)2(32 5 55 −=−=− 7. a) .2)2( 2 =− 8. a) 2. 9. a) a ∈ (–',

0]. 10. a) 405. 11. a) –4375. 12. a) 11 = 4⋅2 + 3 implică .6366 4 34 11 = 13. a) 14 = 4⋅3

+ 2 implică .49343)7( 44 14 =− 14. a) 2 < .5 15. a) =− 8 3)21( .)12(38 8−−

16. a) .)52(33)52( 7 77 −=− 17. a) 4 15 şi 2 = 4 16 implică 4 15 < 2. 18. a)

.)12(33)21( 16 165165 −−=− 19. a) .)3244()3244()2443( 16 259516 185 −−=−

20. a) .7343)7( 353 2 = 21. a) .147 xx = 22. a) .33 3 26 4 = 23. a) .2)2( 312 4 =−

24. a) .7575 12 3443 ⋅=⋅ 25. a) .2323

1+=

− 26. a) .

1111

111 7 5

7 2= 27. a) x ∈

{8, 9, 10, …}. 28. a) 2x – 3. 29. a) [0,6; '). 30. a) .)2(4 5−− x 31. 153 31255 = şi 5 15

.337515= 32. a) Aflaţi semnul numărului .57 34 − 34. a) 2. 35. 1.

36. 4 4 4 4 44 4 4 4 4 4 3 816 = etc. 37. 16 4416 81632 22,22,24 === etc.

39. a) .152515

6 333 +−=

+ 40. 1. 41. Fie x = .31 3+ (x – 1)3 = 3 etc.

42. 2048 10245122 22...22 ⋅⋅⋅⋅ etc. 43. a) .11

)47(241449

2 33

333

−=

++ 44. Se ridică

egalitatea la pătrat etc. 45. Se ridică egalitatea la cub. 46. Fie x = .32 33 +

3)2( 33 =−x etc. 47. x = ...1111 implică x2 = x etc. 50. 2. 52. Restrângeţi pătra-tele de la numitori şi raţionalizaţi numitorii rapoartelor. 2. Puteri cu exponent raţional (25–30)

1. a) 3x–8. 2. a) x12y–10. 3. a) .33 57

5 7 = 4. a) .3018

2012

106

53

=== 5. a) .9292 1213

12 13 =

6. a) x ∈ [2, '). 7. a) x ∈ (24, '). 8. a) x ∈ (24, '). 9. a) .1328 3− 10. a) .3119

− 11. a) ⋅73

2

.2284 21101

712

38

73

148

34

==⋅++

12. a) .9981:9 2429

611

85

1211

85

−−== 13. a) 5 711

7

9:3 = :3117

.333 55119

514

117

514

−−== 14. a) .5)5( 63

1595

73

= 15. a) .53 247

817

⋅ 16. a) S = {0}. 17. a) S = (–', 0]. 18. a) x7

– 5 = 0. 19. a) x9 – 17 = 0. 20. a) 9x – y. 21. a) 125x – 1. 22. a) 3x + 64.

23. a) .1,)1( 199

<−− xx 24. a) 101. 25. a) S = [0; 0,5). 26. a) .5159 21

21

yyxx ++ 27. a)

.1,552531,540135 3333 ++=++ aa Răspuns: a) a = –1,5. 28. .15

4

15

15

2561

2561

+

=

+

−

29. .512)78( 32

125

|| +− xxy 30. x – 1. 31. x + 1. 32. a) x ∈ {–1}. 33. a) Aflaţi numerele


întregi x pentru care 257

++

xx este număr natural mai mare sau egal cu 2.

34. [ ] 5,08)85(max 31

2 =+−−

x şi [ ] 41

2 256)59(max−

+−y = 0,25 etc. 35. Aplicaţi formula sumei termenilor unei progresii cu un număr finit de termeni. 43. a) Rezolvarea grafică conduce la unicitatea soluţiei 4. Cap. III. Funcţii. Noţiunea de funcţie (36–41) 1. a) Domeniul de definiţie este N \ {0, 1, 2, …, 999}, mulţimea valorilor este {0, 1, 2, …, 9}. 2. a) Domeniul de definiţie este R, mulţimea valorilor este {0, 1, 2, …, 9}. 3. a)

R. 4. a) R \ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

71 . 5. a) f nu este definită când se anulează numitorul raportului. R \

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

2

1,31 . 6. a) R. 7. a) R \ {3,25}. 8. a) f nu este definită când se anulează numitorul

raportului. R \ {–0,125; 1}. 9. a) ⎥⎦⎤

⎜⎝⎛−

116,' . 10. a) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

1112,' . 11. a) 12 – 7x trebuie să

fie un număr natural cel puţin egal cu 2. Răspuns: {…, –1, 0, 1}. 12. a) ⎥⎦⎤

⎜⎝⎛−

829,' .

13. a) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

274,' . 14. a) R \ {7,5}. 15. a) Defineşte o funcţie. 16. a) Nu defineşte o

funcţie. 17. a) Defineşte o funcţie. 18. a) f este o funcţie nemonotonă. 19. x −5 2 9

f(x) 8 & 14 % 21

20. x −∞ 3 16 f(x) −∞ % −1 % 25

21. x −∞ 18 '

f(x) −∞ % 3 % '

22. a) .61 23. a) 2 şi 10. 24. a) 2,5. 25. a) .897,897 +− 26. a) Obţinem punctul

(0, 24). 27. a) (0, –70). 28. a) f(x) < 0 pe intervalul (–'; –0,25) şi f(x) > 0 pe intervalul (–0,25; '). 29. a) f(x) > 0 pe intervalul (–', 9) şi f(x) < 0 pe intervalul (–9, '). 30. a) f(–x) = 8,2x = –f(x). f este o funcţie impară. 31. a) f este o funcţie impară. 32. a) f nu este nici pară, nici impară. 33. a) y = 3x – 11 are panta 3. 34. {1, 2, 4, 8, 6}. 35. {1, 3, 7, 9}. 36. {1, 3, 7, 9}. 37. a) f(x) = (3m – 2)x + 6 este crescătoare pentru 3m – 2 > 0 ⇔ m > 0,(6). 38. a) f(x) = (4m2 – 3m – 1)x + 2 este constantă pentru 4m2 – 3m – 1 = 0 ⇔ m = –0,25 sau m = 1. 39. a) f(1) = 0. 40. a) 23 = 8. 41. a) 32. 42. Se cercetează cazurile: m = 4k + r, r ∈ {0, 1, 2, 3, 4}. 43. Se cercetează cazurile: m = 4k + r, r ∈ {0, 1, 2, 3, 4}. 44. f(–378) = 0, f(–4629) = 7 etc. 45. f nu este o funcţie. x

yO

2. Funcţii numerice (42–46) 1. a) x 2 4 6

f(x) −2 −2 –2


x

y

O

2. a) x 0 2 4 f(x) 0 1 2

3. a) x −∞ 1,5 ∞ f(x) − − − 0 + + +

4. a) x −∞ 2,5 ∞

f(x) + + + 0 − − − 5. a) x −∞ 27,5 ∞

f(x) % 0 %

6. a) x −∞ 15 ∞ f(x) & 0 &

x

y

O

7. a) x −∞ –4 0 ∞ f(x) % 0 % 1 %

O

( x

y8. a) x −1 0 5 ∞

f(x) (1,2 & 1 & 0 &

O

]

(x

y 9. a) x −1 6

f(x) (2 & & & –5]

Ox

y

Ox

y

10. a) D = R. x −∞ 1 2 3 ∞f(x) 0 & –1 & −∞║∞ & 1 & 0

11. a) x −∞ 2 3 4 ∞

f(x) 0 % 1 % ∞║–∞ % –1 % 0 D = R \ {3}.

O x

y

12. a) x −∞ –4 –3 –2 ∞ f(x) 0 % 1 % ∞║∞ & 1 & 0 D = R \ {–3}.

O xy

Ox

y

13. a) x −∞ 2 3 4 ∞ f(x) 0 & –1 & –∞║–∞ % –1 % 0 D = R \ {3}.

14. a) x 3 4 7 ∞ f(x) 0 % 1 % 2 % ∞ D = [3, ').

x

y

O

15. a) x −∞ –1 2 3 f(x) ∞ & 2 & 1 & 0 D = (–', 3].


16. a) x −∞ –1 2 3 4 7 ∞ f(x) ∞ & 2 & 1 & 0 % 1 % 2 % ∞

x

y

O

D = R.

x

y

O

17. a) x −∞ –1 0 1 ∞ f(x) ∞ & 3 & 0 % 3 % ∞

x

y

O

x −∞ 2 3 4 ∞ f(x) ∞ & 3 & 0 % 3 % ∞

18. a)

x

y

Ox −∞ 2 3 4 ∞ f(x) –∞ % –3 % 0 & –3 & –∞

19. a)

x

y ]

O

(

x −∞ 2 ∞ f(x) 1 1](–3 –3

20. a)

x

yO21. a) x −∞ –2 –1 ∞

f(x) −∞ % –2 % –1 –1

x

y

O

]

(

22. a) x −∞ 0 3 ∞ f(x) ∞ & 2 & 1](3 3

23. a) f(x + 5) = 3(x + 5) + 1. 24. Procedaţi ca mai sus. Graficul funcţiei este un unghi. 25. a) Procedaţi ca la rezolvarea exerciţiului 10–13. 26. a) Procedaţi ca la rezolvarea exerciţiului 14–16. 27. a) a) Procedaţi ca la rezolvarea exerciţiului 17–19. 28. a) Proce-daţi ca la rezolvarea exerciţiului 9. 29. a) Procedaţi ca la rezolvarea exerciţiului 8.

31. a) f(x) = sgn (3x − 6) = etc. 33. a) f(x) = (−2x + 5)⋅sgn (3x −

9) = etc. 34. a) Se află f(x) din sistemul de ecuaţii f(x) + 2f(3

– x) = 3x + 1 şi f(3 – x) + 2f(x) = 3(3 – x) + 1. 35. Domeniul maxim de definiţie în R este R şi mulţimea valorilor funcţiei f se află examinând f(x) = (x – 4)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈=

−∈−

),2(ă,12ă,0

)2,(ă,1

'

'

xxx

dac

dac

dac

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈−=

−∈−

),2(ă,253ă,0

)3,(ă,52

'

'

xxx

xx

dac

dac

dac

2 – 13. 36. V. rez.

ex. 35. 40. 8x – 11 – 2 + 9x > 0 ⇔ 17x > 13 ⇔ x > .1713 f(x) = max {8x – 11, 2 – 9x} =

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎢⎣⎡∈−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−∈−

'

'

,1713ă,118

1713,ă,92

xx

xx

dac

dac etc. 41. V. ex. 40. 43. f(2) = 10 – 3 = 3m – 4 etc.


44. Procedând ca la ex. 41 obţineţi un sistem în m şi n. 3. Funcţia de gradul II (47–54) 1. a) Graficul lui f intersectează axele de coordonate în (0, 0). 2. a) Im f = E(f) = (–', 0]. f este crescătoare pe (–', 0) şi este descrescătoare pe (0, '). 3. a) Zerourile funcţiei

f sunt .52,

52

− Graficul lui f intersectează axa Ox în punctele ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 0,

52 , ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0,

52

şi axa Oy în (0, 2). 4. a) Im f = E(f) = [–9, '). f este descrescătoare pe (–', 0) şi este crescătoare pe (0, '). 5. a) ) Im f = E(f) = (–'; 0,(6)]. f este crescătoare pe (–', 0) şi este crescătoare pe (0, '). 6. a) Graficul lui f nu intersectează axa Ox, dar intersectează axa Oy în (0, 7). 7. a) Im f = E(f) = [5, '). f este descrescătoare pe (–', 0) şi este cres-cătoare pe (0, '). 8. a) Zerourile funcţiei f sunt –0,8 şi 0. Graficul lui f intersectează axa Ox în punctele (–0,8; 0), (0, 0) şi axa Oy în (0, 0). 9. a) Zerourile funcţiei f sunt 0 şi 4,5. Graficul lui f intersectează axa Ox în punctele (0, 0), (4,5; 0) şi axa Oy în (0, 0). 10. a) x −∞ –1 0 1 ∞

f(x) ∞ & 1 & 0 % 1 % ' x

y

O

11. a) x −∞ –1 0 1 ∞ f(x) −∞ % –2 % 0 & –2 & –'

12. a) Funcţia f are coeficientul lui x2 un număr pozitiv, deci fmin =

.2049

− 13. a) Funcţia f are coeficientul lui x2 un număr negativ, deci fmax = .8449

x

yO

14. a) Im f = E(f) = ⎥⎦⎤

⎜⎝⎛ −−

134,' . f este descrescătoare pe ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

134,' şi este crescătoa-

re pe ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− ',

134 . 15. a) Im f = E(f) = ⎥⎦

⎤⎜⎝⎛ −−

332,' . f este crescătoare pe (–'; –1,(3)) şi

este descrescătoare pe (–1,(3); '). x

yO

16. a) x −∞ 0 1,5 3 ∞ f(x) ∞ & 0 & –4,5 % 0 % '

x

y

O

x −∞ 0 2 4 ∞ f(x) −∞ % 0 % 8 & 0 & –'

17. a)

18. a) Funcţia f are coeficientul lui x2 un număr pozitiv, deci fmin = .3613

4−=

∆−

a 19. a)

Funcţia f are coeficientul lui x2 un număr negativ, deci fmax = .2449

4=

∆−

a 20. a) Func-

ţia f are coeficientul lui x2 un număr pozitiv, deci fmin = .2423

4=

∆−

a 21. a) Funcţia f are

coeficientul lui x2 un număr negativ, deci fmax = .247

4=

∆−

a


22. a) x −∞ 3 3,5 4 ∞ f(x) ∞ & 0 & –0,25 % 0 % '

x

y

O 23. a) x −∞ 2 3,5 5 ∞

f(x) −∞ % 0 % 12,25 & 0 & –' x

y

O

24. a) x −∞ 0 0,75 1,5 ∞ f(x) ∞ & 2 & 1,75 % 2 % '

x

y

O

25. a) x −∞ 0 0,5 1 ∞

f(x) −∞ % –2 % –2,5 & –2 & –'

x

y

O 26. a) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

−−aa

bV4

,2

= V(3, –5). 27. a) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

−−aa

bV4

,2

= V(1,5; 4,125).

28. a) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

−−aa

bV4

,2

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1211,

67V . 29. a) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

−−aa

bV4

,2

= V(1, –2).

30. a) ∆ > 0, x −∞

4175 −

4175 + ∞

f(x) + + + 0 – – – 0 + + +

a > 0.

x −∞ 4

175 −− 4

175 − ∞

f(x) – – – – 0 + + + + 0 – – –

31. a) ∆ > 0, a < 0.

32. a) ∆ < 0, x −∞ ∞

f(x) + + + + + + + + a > 0.

33. a) ∆ < 0, x −∞ ∞ f(x) – – – – – – – – – – a < 0.

34. a) ∆ = 0, x −∞ 1,5 ∞ f(x) + + + + 0 + + + + a > 0.

x −∞ 1,5 ∞ f(x) – – – – 0 – – – – –

35. a) ∆ = 0, a < 0. 36. a) ∆ < 0 şi a > 0 implică f(x) = | 5x2 – 8x + 1 | = 5x2 – 8x + 1.

37. a) ∆ > 0, x1 = ,4

173 −− x2 = .4

173 +− Prin urmare f(x) = | –2x2 – 3x + 1 | =

38. a) ∆ = 0 implică f(x) = | 9x⎪⎩

⎪⎨⎧

∈+−−

−∈−+

].,[ă,132

),(),(ă,132

212

212

xxxxx

xxxxx

dac

dac '' U 2 + 12x + 4 | =

9x2 + 12x + 4. 39. a) ∆ < 0, a < 0 implică f(x) = | –3x2 + 2x – 1 | = 3x2 – 2x + 1. 40. a) Deoarece a = 3 > 0, f este pozitivă, dacă 16 – 3m ≤ 0. Rezultă m ∈ [5,(3); '). 41. a) Deoarece a = 4 > 0, f este strict pozitivă, dacă 16 + 4m < 0. Rezultă m ∈ (–', –4).


42. a) Deoarece a = –4 > 0, f este negativă, dacă 9 – 32m ≤ 0. Rezultă m ∈ ⎟⎠⎞

⎢⎣⎡ ',329 .

43. a) Deoarece a = –3 > 0, f este strict negativă, dacă 16 – 15m < 0. Rezultă m ∈ (1,0(6); '). 44. a) f are semn constant pe R, dacă şi numai dacă ∆ < 0. 36 + 12m < 0 ⇒ m ∈ (–', –3). 45. a) f nu are acelaşi semn pe R, dacă şi numai dacă ∆ > 0. 36 + 44m >

0 ⇒ m ∈ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− ',

119 . 46. a) Graficul funcţiei f este situat deasupra axei Ox, dacă a > 0

şi ∆ < 0. 16 – 9(m – 3) < 0 ⇒ m ∈ (4,(7); '). 47. a) Graficul funcţiei f este situat sub axa Ox, dacă a < 0 şi ∆ < 0. 36 – 9(3m – 1) < 0 ⇒ m ∈ (1,(6); '). 48. a) Graficul func-ţiei f este tangent axei Ox dacă şi numai dacă ∆ = 0. Rezultă 49 + 11(m – 4) = 0 ⇔ m = –2,2. 49. a) Graficul funcţiei f este secant axei Ox dacă şi numai dacă 49 + 11(m – 5) = 0 ⇔

.116

=m 50. a) Condiţia este satisfăcută dacă şi numai dacă a > 0. 3m – 5 > 0 ⇔ m >

1,(6). m ∈ (1,(6); '). 51. a) Condiţia este satisfăcută dacă şi numai dacă a < 0. 5m – 4 < 0 ⇔ m < 0,8. m ∈ (–'; 0,8). 52. a) f(0) = – (6m – 5) ≥ 0 ⇒ m ≤ 0,8(3). Rezultă m ∈ (–'; 0,8(3)]. 53. a) f(0) = – (16m – 9) ≥ 0 ⇒ m ≤ 0,5625. Rezultă m ∈ (–'; 0,5625].

54. a) a > 0 şi ∆ < 0. 49 + 45m < 0 ⇔ 4549

−<m ⇒ m ∈ ⎥⎦⎤

⎜⎝⎛ −−

4549,' . 55. a) 0

4<

∆−

a

⇒ – (81 + 42m) < 0 ⇔ 42m > –81 ⇒ m ∈ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− ',

4281 . 56. a) 0

4>

∆−

a ⇒ – (36 –

50m) > 0 ⇔ 50m > 36 ⇒ m ∈ (0,72; '). 57. a) 04

<∆

−a

⇒ 64 – 99m < 0 ⇔ 99m > 64

⇒ m ∈ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ',

9964 . 58. a) y = 4x2 + 3x – 11. 59. a) y = 8(x – 3)2 + 5(x – 3) – 1 ⇒ y = 8x2

– 43x + 56. 60. a) 9x2 + 12x + 1 = 3 sau 9x2 + 12x + 1 = –3 ⇔ 9x2 + 12x – 2 = 0 sau

9x2 + 12x + 4 = 0 etc. 61. a) Înlocuiţi în .42

)(2

aabxaxf ∆−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += 62. a) ∆ < 0 nu are

soluţii. Nu există m pentru care f satisface condiţia cerută. 65. ∆ < 0. 67. Fie f(x) = ax2 + bx + c. Atunci 4a – 2b + c = 0, b = – 4a, b2 – 4ac = 64a etc. 70. y = 6(x – 2)2 + 9(x – 2) – 8 etc. 75. Se intersectează graficul lui f cu dreapta y = 5 şi se aleg valorile lui x pentru care valorile lui f sunt cel puţin egale cu 5. 76. Se intersectează graficul lui f cu dreapta y = 3 – x şi se aleg valorile lui x pentru care punctele graficului lui f aparţin

dreptei sau sunt situate deasupra dreptei. 77. 3(m – 1) > 0 şi 24

−>∆

−a

etc.

78. y = 2x2 + 3(m – 1)x + 3m – 1 ⇔ y = 2x2 – 3x – 1+ 3m(x + 1). Pentru x = –1, y nu depinde de m, deci punctul (–1, 4) este fix. 79. Coordonatele vârfului parabolei sunt x = 0,1(6)(2 – m), y = 0,08(3)(–m2 + 16m + 8). Din prima relaţie m = 2 – 6x. Se înlocuieşte m în a doua relaţie. 82. Fie f(x) = m. Se obţine 2x2 + 2x = m(x2 + 1) ⇔ (2 – m)x2 + 2x – m = 0. Mulţimea valorilor lui f este mulţimea soluţiilor inecuaţiei ∆ ≥ 0.


4. Funcţia putere (55–57) 1. a) f(6) < f(5) < f(1) < f(0) < f(–1) < f(–5) < f(–6). 2. a) f(–4) < f(–3) < f(–1) < f(0) < f(1) < f(3) < f(4). 3. a) f(–x) = –16x3 = –f(x). f este funcţie impară. 4. a) f(–x) = –28x4 = f(x). f este funcţie pară. 5. a) f(–17) = –56, f(5) = –15, f(–7) = 13 implică f(17) = –56, f(–5) = –15, f(7) = 13. 6. a) f(–82) = 12, f(10) = –37, f(–11) = –6 implică f(82) = –12, f(–10) = 37, f(11) = 6.

x

y

Ox −∞ –1 0 1 ∞

f(x) −∞ % –4 % 0 % 4 % –' 7. a)

x

y

Ox −∞ –1 0 1 ∞ f(x) −∞ % –5 % –3 % –1 % –'

8. a) 9. Procedaţi ca la rezolvarea ex. 7. 10. Procedaţi ca la rezolvarea ex. 8.

x

y

Ox −∞ –1 0 1 ∞

f(x) −∞ % 4 % 0 % 4 % –' 11. a) 12. a) Aplicaţi o translaţie. 14. a) Aplicaţi o translaţie. 15. Aplicaţi o simetrie faţă de Ox. 19. D = [0, '). Graficul funcţiei este o semidreaptă închisă. 20. D = [0,(6); '). Graficul funcţiei este o semidreaptă închisă. 21. D = R. Graficul este o dreaptă. 22. Se construiesc în acelaşi sistem de axe ortogonale xOy graficele a două funcţii: o funcţie de gradul III şi o funcţie de gradul II. Se aleg valorile lui x pentru care este verificată inecuaţia x3 – 2 > –x2 + 3x. Cap. IV. Polinoame şi fracţii algebrice. 1. Recapitulare şi completări (62–68) 1. are coeficientul –3 şi partea literală 2. are nedetermi-natele X şi Y. 3.

8243 ZYX− .824 ZYX YX 92,324642 ZYX are gradul: 4 în raport cu X; 6 în raport cu Y; 24 în raport cu

Z; 34 în raport cu toate nedeterminatele. 4. a) –3X 8Z

19. 5. ,2,4,7,3,21 444 XXX −

.115 4X 6. a) – 7X 6 + 5X 4 – 2X 3 + 3X + 11. 7. a) 3X 4 + 8X 3

– 7X 4 + 53X 3 + 3 = –4X 4 + 61X 3 + 3. 9. a) –(15X 4 – 13X 3 – 8X 2 + 3X + 11) = –15X 4 + 13X 3 + 8X 2 – 3X – 11. 8. a) 21X 24Y 39. 10. a) –4X 7Y 3. 11. a) –1024X 145Y 155. 12. a) –15X 12Y 5 + 20X 11Y 5 – 10X10Y 5 + 30Y 5. 13. a) (2X − 9)(3X − 8) = 2X(3X − 8) − 9(3X − 8) = 6X 2 − 16X − 27X + 72 = 6X 2 − 43X + 72. 14. a) 81X 2 − 64Y 2. 15. a) 81X

4 − 625Y 4. 16. a) 81X

2 + 144XY + 64Y

2. 17. a) 121X 2 − 176XY + 64Y

2. 18. a) 729X 3 + 1944X

2Y + 1728XY 2 + 512Y

2.19. a) 1331X

3 − 2904X 2Y + 2112XY

2 − 512Y 3. 20. a) 27X

3 + 125Y 3. 21. a) 64X

3 – 125Y

3. 22. a) –5X 7Y 5Z 4 + 2X 7Y 4Z. 23. a) X 3Y

9(3X 3 – 4XY + 5Y

2). 24. a) (4X − 7Y)(2X2 + 5Y

3). 25. a) (2X − 3Y + 7)(7X + 9Y − 3). 26. a) (3X + Y)(3X – Y). 27. a) ).52)(52( YXYX −+ 28. a) (3X + 7Y + 2)(3X + 7Y – 2). 29. a) (7X + 2Y + 3X − 4Y)(7X + 2Y – 3X + 4Y) = (10X − 2Y)(4X + 6Y) = 4(5X − Y)(2X + 3Y). 30. a) (3X

2 + Y 2)(3X

2 – Y 2) = ).3)(3)(3( 22 YXYXYX −++ 31. a) 2X

2 + X22 + 1 = ,)12( 2+X 2X

2 – X22 + 1 = .)12( 2−X 32. a) (13X + 1)2. 33. a) (9X – 2)2. 34. a) X

2 – 12X + 32 = (X – 4)(X – 8), deoarece are rădăcinile 4 şi 8. 35. a) 4X 2 – 12X

+ 11 este ireductibil deoarece nu are rădăcinii reale (are ∆ < 0). 36. a) X 3 + 15X

2 + 75X + 125 = (X + 5)3, X

3 – 15X 2 + 75X – 125 = (X – 5)3. 37. a) (5X + 1)3. 38. a) (5X – 4)3.


39. a) X 3 + 125 = (X + 5)(X

2 – 5X + 25), X 3 – 125 = (X – 5)(X

2 + 5X + 25). 40. 5X 5(1

+ 2 + ... + 401) etc. 41. –2X 1+3+5+...+2005 etc. 42. X

16000 : X 3+6+...+300 etc. 43. a) X

2 + 4Y 4 +

25Z 2 + 4XY + 10XZ + 20YZ. 44. a) X

2048 – 1. 45. a) (2X – 1)(2X + 1)(4X 2 + 1)(16X

4 + 1)(256X

8 + 1) = 2562X 16 – 1. 46. a) X

4 – 1. 47. (X + 2)6 – (X – 1)6 = [(X + 2)3 + (X – 1)3][(X + 2)3 – (X – 1)3] = [(X + 2) + (X – 1)][(X + 2)2 – (X + 2)(X – 1) + (X – 1)2] [(X + 2) – (X – 1)][(X + 2)2 + (X + 2)(X – 1) + (X – 1)2] etc. 48. a) (X

4 + X 2 + 1)2 = [(X

2 + 1)2 – X

2]2 etc. 49. (X 6 + X

2 – X 2 + 1)2 = (X

6 + 1)2 etc. 50. a) X 6 + 5X

3 + 6 = (X 3 + 2)(

X 3 + 3) etc. 51. a) 315 are 12 divizori naturali şi suma divizorilor naturali ai numărului

56 este 1 + 2 + 4 + 8 + 7 + 14 + 28 + 56 etc. 55. a) (X – 1)(X 3 + X

2 + X + 1)(X 12 + X

8 + X

4 + 1)...(X 768 + X

512 + X 256 + 1) = (X

4 – 1)(X 12 + X

8 + X 4 + 1)...(X

768 + X 512 + X

256 + 1) etc. 57. 1 + X + X

2 + 2X 3 + etc. 59. a) 1 + X + X

2 + X 3 + ... = (1 + X + X

2)(1 + X 3 + X

6 + ...). 60. X 9 + 2X

6 + 3X 3 + 1 = (X

3 + 1)3 – X 3 etc.

2. Împărţirea polinoamelor (68–70) 1. a) 28. 2. a) 22. 3. a) 2. 4. a) (X

2 + 4)(X 2 – 4) : (X

2 – 2) = X 2 + 4. 5. a) (4X

2 + 4X + 1) : (2X + 1) = (2X + 1)2 : (2X + 1) = 2X + 1. 6. a) X

4 – 5 = (X 2 – 2)(X

2 + 2) – 1. 7. a) 4X

2 + 4X + 5 = (2X + 1)2 + 1. 8. a) X 6 – 5 = X

6 – 8 + 3 = (X 2 – 2)(X

4 + 2X 2 + 4)

+ 3. 9. a) (2X 2 + 1)3 + 2X + 5 = (2X

2 + 1)(2X 2 + 1)2 + 2X + 5. 10. a) 8X

6 + 12X 4 +

6X 2 + 2X – 5 = 8X

6 + 12X 4 + 6X

2 + 1 + 2X – 6 = (2X 2 + 1)3 + 2X – 6 = (2X

2 + 1)(2X 2

+ 1)2 + 2X – 6. 11. a) (5X 4 + 4X

3 – 7X 2 + 5X – 6) : (X + 3); 5X

4 + 4X 3 – 7X

2 + 5X – 6 = 5X

3(X + 3) – 11X 3 – 33X

2 + 26X 2 + 78X – 73X – 219 + 213 = 5X

3(X + 3) – 11X 2(X

+ 3) + 26X(X + 3) – 73(X + 3) + 213. 5X 4 + 4X

3 – 7X 2 + 5X – 6 = (X + 3)( 5X

3 – 11X 2

+ 26X – 73) + 213. 12. a) 7X 4 – 3X

3 – 11X 2 + 8X – 9 = 7X

3(X – 2) + 11X 3 – 22X

2 + 11X

2 – 22X + 30X – 60 + 51 = 7X 3(X – 2) + 11X

2(X – 2) + 11X(X – 2) + 30(X – 2) + 51 = (X – 2)(7X

3 + 11X 2 + 11X + 30) + 51. 13. a) 27X

6 – 4 = 27X 6 – 8 + 4 = (9X

4 + 6X 2 + 4)(3X – 2) + 4. 14. P(X) = (X – 1)C(X) + R implică P(1) = R = –14. 16. P(X) = (2X – 1)C(X) + R implică R = P(0,5) = –7.

X4 X3 X2 X1 X0

–5 12 –5 –3 4 –2 12 –65 322 –1606 8028

17.

Câtul 12X

3 – 65X 2 + 322X – 1606 şi restul 8028. 19. P(X) = (X – 5)(X + 2)C(X) + (aX

+ b), P(–2) = 8 şi P(5) = –3 implică –2a + b = 8 şi 5a + b = –3 etc. 21. 1 = 1 + X 2 – X

2 – X 4 + X

4 + X 6 – ... = (1 + X

2)(1 – X 2 + X

4 – ...) etc. 3. Divizibilitatea polinoamelor (71–75) 1. a) P(X) = X

2 – 3X – 10 = (X – 5)C(X) + R implică P(5) = R. 2. a) Deoarece P(2) = 0, P(X) = X

2 – 3X + 2 se divide cu X – 2. 3. a) Înlocuind în P(X) pe X 2 cu –3, se obţine –

3X + 3 + 3X – 3 = 0. Deci P(X) se divide cu X 2 + 3. 4. a) X

2 – 5X este reductibil, de-oarece are rădăcinile 0 şi 5. 5. a) X

2 + 5X + 4 este reductibil deoarece are rădăcini reale (∆ = 9 > 0). 6. a) X

2 + 54 este ireductibil, deoarece nu are rădăcini reale. 7. a) X 2 + 5X

+ 7 are ∆ = 25 – 28 < 0, deci este ireductibil. 8. a) X 2 + 6X + m – 2 este reductibil dacă

şi numai dacă are ∆ ≥ 0. 9 – (m – 2) ≥ 0 ⇔ m ≤ 11. m ∈ (–', 11]. 9. a) X

2 + 20X + m – 6 este ireductibil dacă şi numai dacă are ∆ ≤ 0. 100 – (m – 6) ≤ 0 ⇔ m ≥ 106. m ∈ [106, '). 10. a) X

2 + 4m – 11 este ireductibil dacă şi numai dacă are ∆ ≥ 0. 4m2 + 11 ≥ 0 ⇒ m ∈ R. 11. a) X

3 + 6 este reductibil, deoarece are rădăcina reală – ,63 deci se divide cu X + .63 12. a) X

5 + 19 este reductibil, deoarece are rădăcina reală .195− 13. a) X

2n+1 + 19 este reductibil, deoarece are rădăcina reală .1912 +− n 14. a) X

4 + 6 este ireductibil, deoarece nu are rădăcini reale. 15. a) f(x) = x2 + 5x – 11


f(0) = –11, adică 0 se află între zerourile lui f. Prin urmare X 4 + 5X

2 – 11 este reducti-bil, deoarece are rădăcini reale. 16. a) X

6 + 5X 3 – 5 este reductibil, deoarece ecuaţia y2

+ 5y – 5 = 0 are soluţii reale. 17. a) X 8 + 3X

4 – 11 este reductibil, deoarece f(x) = x2 + 3x – 11 f(0) = –11, adică 0 se află între zerourile lui f. Prin urmare X

8 + 3X 4 – 11 are

rădăcini reale. 18. a) X 10 + 18X

5 + m – 9 este reductibil dacă şi numai dacă x2 + 18x + m – 9 = 0 are ∆ > 0. 81 – m + 9 ≥ 0 ⇔ m ≤ 90, m ∈ (–', 90]. 19. a) X

12 – 18X 6 + m –

10 este ireductibil dacă şi numai dacă x2 – 18x + m – 10 = 0 are ∆ < 0. 81 – m + 10 < 0 ⇔ m > 91, m ∈ (90, '). 20. a) Restul împărţirii lui P(X) = 4X

3 – 12X 2 + 8X – 9 la X –

6 este P(6) = 471. 21. a) P(–6) = –815. 22. a) P(–0,5) = 15,375. 23. a) P(1) = 0 ⇒ 8m – 10 = 0 ⇔ m = 1,25. 24. a) 125X

3 + 150X 2Y + 60XY

2 + 8Y 3 = (5X + 2Y)3 şi 125X

3 – 150X

2Y + 60XY 2 – 8Y

3 = (5X – 2Y)3. 25. a) 4X 2 + 9Y

2 + 1 + 12XY + 4X + 6Y = (2X + 3Y + 1)2 şi 4X

2 + 9Y 2 + 1 – 12XY + 4X – 6Y = (2X – 3Y + 1)2. 26. ∆ ≥ 0. 9(m + 3)2 –

20 ≥ 0 ⇔ 9m2 + 54m + 61 ≥ 0 etc. 27. 4(m – 5)2 – 11 ≥ 0 etc. 30. a) X 2 + 4X – 21 = (X

– 3)(X + 7), P(X) = (X – 3)(X + 7)C(X) + aX + b etc. 31. Există numere compuse de această formă. 32. 0 trebuie să se afle situat între zerourile funcţiei f, f(x) = x2 + 4(m – 5)x + m – 2, adică f(0) < 0 etc. 33. a) Se ţine cont că P(1) = 3 şi P(4) + 4P(4) = 5 ⇒ P(4) = 1 etc. 35. a) Aflaţi m şi n, apoi P(2). 36. a) Fie grad P(X) = n ∈ N*. P(X) = P(X + 1) ⇒ P(0) = P(1) = P(2) = ... = P(n) = P(n + 1) = ... ⇒ P(X) – P(0) se divide cu un polinom de grad mai mare decât n, ceea ce este imposibil. Prin urmare, grad P(X) = 0. Evident, P(X) = c satisface condiţia din enunţ. 37. a) (X – 1)P(X – 1) = (X – 4)P(X) im-plică P(1) = 0 = P(2) = P(3). Rezultă P(X) = (X – 1)(X – 2)(X – 3)Q(X). Înlocuind în re-laţia din enunţ, se obţine Q(X – 1) = Q(X). Conform exerciţiului anterior ultima relaţie implică Q(X) = c, deci P(X) = c(X – 1)(X – 2)(X – 3). 39. Se adună şi se scade X3 şi se descompune o diferenţă de cuburi. 40. a) Ţineţi cont că rădăcinile întregi se află printre divizorii întregi ai termenului liber şi aplicaţi schema lui Horner. 42. a) S = –3m, P = –5, = S2

221 xx + 2 – 2P etc.

4. Fracţii algebrice (76–81)

1. a) R*. 2. a) R \ {2,2}. 3. a) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−32,

32\R . 4. a) Rădăcinile numitorului sunt – 0,6

şi 1. Răspuns: R \ {– 0,6; 1}. 5. a) Numitorul nu are rădăcini reale. Răspuns: R. 6. a) R \ {0,2}. 7. a) Deoarece x2 –10x + 16 = 0 are soluţiile 2 şi 8, numitorul are rădăcinile

,22− ,2− ,2 .22 Răspuns: R \ }.22,2,2,22{ −− 8. a) R \ }.32,32{− 9. a) R \ }.12,2{ 33− 10. a) R \ }.15{3 11. a) R \ }.23{ 3−

12. a) .13)13)(13(

)13(19

32

2

−=

−++

=−

+XX

XXXX

XXX 13. a) .

7)7()7(

2 +=

++

XX

XXX

14. a) .2)2)(7(

)7(222

2

−=

−++

XX

XXXX 15. a) .

77

)7()7)(7(

2 −+

=−

−+XX

XXX

16. a) .25

)2()5)(2(

2 −−

=−

−−XX

XXX 17. a) .

83

)4)(8()4)(3(

+−

=−+−−

XX

XXXX

18. a) .42

5)42)(2(

)5)(2(22 +−

+=

+−+++

XXX

XXXXX 19. a) .

2552

)255)(5()5)(2(

22 ++−

=++−

−−XX

XXXX

XX

20. a) .255

5)255)(5(

)5(22

2

++−

=++−

−XX

XXXX

X 21. a) .3

1)93)(3(

932

2

−=

++−++

XXXXXX


22. a) .6

1)366)(6(

3662

2

+=

+−++−

XXXXXX 23. a) .6

3X− 24. a) .1

22

=−−

XX 25. a) .

2523−

−X

X

26. a) [X 2, (X – 1)3, X

2 – 1] = X 2(X + 1)(X – 1)3. 27. a) [2X – 3, 2X + 3, (2X + 3)2] =

(2X – 3)(2X + 3)2. 28. a) .14110

14)12(2)12(3

22 −+

=−

−++XX

XXX

29. a) .827

82427827

46)469(33

2

3

2

−++

=−

−+++X

XXX

XXX 30. a) 49

14218122 −

+−+X

XX =

.49229

2 −+−

XX

31. a) .1258

4044121258

35147530123

2

3

2

++−

=+

−−+−X

XXX

XXX 32. a) .72214

2

2

−−−+

XXXX

33. a) .)6()8(

2

3

−+

XX 34. a) .

721

431

7243

+−

=−−

⋅+−

XX

XX

XX 35. a) .

)56()15(

28

24

+−

XX

36. 2)74()532)(532(

YXYXYXYXYX

−+−−−+− etc. 37. a) 3

2

)47()47(

−−

XX etc.

38. a) 3)32(2)32(3

−+−

XX etc. 40.

45

122843

2 −−

⋅−+

+−−−XX

XXXX etc. 42. 211 2

22 −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+

xx

xx

etc. 43. Fracţia este ireductibilă. 46. a) Aduceţi la forma cea mai simplă 3a + 4a2 + 5a3 + ... + 2004a2002. 46. Se aplică teorema împărţirii polinoamelor şi se obţine n2 + 10 –

56

2 −n etc. 47. a) .

11...;

11 20042004 20022004 2003

2004 −++++

− xxxx

x

50. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

−+

=+++ ∑∑∑

===

2004

0

2004

0

2004

0 211

21

)2)((1

iii iXiXiXiX. 51. a) Descompuneţi aplicând

teorema rădăcinilor întregi şi schema lui Horner. Cap. V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii 1. Ecuaţii (87–92) 1. a) Are soluţia 2. 2. a) 6x − 7 = 8 ⇔ 6x = 7 + 8 ⇔ 6x = 15 ⇔ x = 2,5. 3. a) 3x + 14 =

0 ⇔ 3x = –14 ⇔ x = –4,(6) ⇒ S = {–4,(6)}. 4. a) 052

43

=+x ⇔ 52

43

−=x ⇔ 158

−=x

⇒ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−=

158S . 5. a) 4x − 7 = −15 ⇔ 4x = 7 – 15 ⇔ 4x = –8 ⇔ x = –2 ⇒ S = {–2}. 6.

a) }.35,2{35,2310437334 =⇒=⇔=⇔=− Sxxx 7. a) 8z + 9 = 3z − 6 ⇔ 8z – 3z = –9 − 6 ⇔ 5z = –15 ⇔ z = –3 ⇒ S = {–3}. 8. a) 4(2t + 5) = 9t − 23 ⇔ 8t + 20 = 9t − 23 ⇔ –t = –43 ⇔ t = 43 ⇒ S = {43}. 9. a) 8(7z −9) = 9(8z − 5) ⇔ 56z – 72 = 72z − 45 ⇔ –16z = 27 ⇔ z = –1,6875 ⇒ S = {–1,6875}.

10. a) 7326

52

−=− xx ⇔ 7632

52

−=− xx ⇔ 1154

−=x ⇔ x = –3,75 ⇒ S = {–3,75}.

11. a) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=⇒=⇔=

3536

3536

512

37 Sxx . 12. a) 3

33 25

5555 −=⇔−=⇔−= xxx ⇒

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

3536S . 13. a) Fie x raţia progresiei aritmetice. 2 + 2 + x + 2 + 2x + 2 + 3x + 2 + 4x


= 72 ⇔10x + 10 = 72 ⇔ 10x = 62 ⇔ x = 6,2 ⇒ S = {6,2}. 14. a) | 3x – 7 | = 9 ⇔ 3x – 7 = 9 sau 3x – 7 = –9 ⇔ 3x = 16 sau 3x = –2 ⇔ x = 5,(3) sau x = – 0,(6) ⇒ S = {– 0,(6); 5,(3)}. 15. a) 8(x + 7) + 6 = 5(x − 2) + 11 ⇔ 8x + 56 + 6 = 5x – 14 + 11 ⇔ 8x – 5x = –

65 ⇔ x = –21,(6) ⇒ S = {–21,(6)}. 16. a) 1912257196513

31195

=⇔−=⇔−

= xxxxx

⇔ 12219

=x ⇒ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=12219S . 17. a) (3x – 2)2 + (5x + 1)2 = (3x + 5)2 + (5x – 2)2 ⇔ 9x2 –

12x + 4 + 25x2 + 10x + 1 = 9x2 + 30x + 25 + 25x2 – 20x + 4 ⇔ –12x + 1 = 25 ⇔ –12x = 24 ⇔ x = –2 ⇒ S = {–2}. 18. a) (20x – 1)2 + (21x + 2)2 = (29x + 1)2 ⇔ 400x2 – 40x + 1 + 441x2 + 84x + 4 = 841x2 + 58x + 1 ⇔ – 40x + 84x + 4 = 58x ⇔ –14x = – 4 ⇔ 7x =

2 ⇒ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

72S . 19. a) (4x − 3)(5x + 4) = (2x + 7)(10x − 8) + 11 ⇔ 20x2 – 15x + 16x –

12 = 20x2 – 16x + 70x – 56 ⇔ –15x + 16x + 16x – 70x = –56 + 12 ⇔ –53x = –44 ⇔

53x = 44 ⇒ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

5344S . 20. a) | 2x + 3 | + | 3y − 8 | + | 5z − 14| = 0 ⇔ 2x + 3 = 0, 3y − 8 =

0, 5z − 14 = 0 ⇔ x = –1,5, y = 2,(6), z = 2,8. 21. a) x ≠ 0,(3), x ≠ –1,5. 32

213

5+

=− xx

⇔ 10x + 15 = 6x – 2 ⇔ 4x = –17 ⇔ x = –4,25 ⇒ S = {–4,25}. 22. a) –10 + 11 = –15 + a ⇔ a = 16. 23. a) 3X

3 – 6X 2 + 5X – 7m se divide cu X + 3 ⇔

–81 – 54 – 15 – 7m = 0 ⇔ 7m = 150 ⇔ m = 7

150 ⇒ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

7150S . 24. a) –216 – 18 –

27m – 12 = –17 ⇔ 216 + 18 + 27m + 12 = 17 ⇔ 27m = –229 ⇔ m = 27229

− ⇒

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−=

27229S . 25. a) Se ţine cont că 6 = (–1)(–6) = (–6)(–1) = (–2)(–3) = (–3)(–2) = 1⋅6

= 6⋅1 etc. 28. Fie x numărul căutat. x + 24 + x + 32 + x + 41 = x + 8 etc. 29. Fie x intervalul de timp în care trebuia parcursă distanţa. 90(x – 3) = 60(x + 2) etc. 32. a) 52028213646 22 =+−++− yyxx ⇔ 9)26( 2 +−x +

54)42( 2 =+−y etc. 35. a) 1) Dacă a = 0, S = ∅. 2) Dacă a ≠ 0, ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

aS

314 .

37. –2m – 1 = 7 şi 3n – 3 = 2 etc. 38. a) x = 3 65 − ⇒ x3 = 25 − etc. 39. a) 4ax − 17 = 3x + 14 ⇔ (4a – 3)x = 41 etc. 40. –8. 41. –5. 42. Fie x raţia progresiei. 2(1 + x + x2) = 42 etc. 43. a) 72 de salturi. 2. Ecuaţii de gradul II cu o necunoscută (93–97) 1. a) −3x + 8 = 0. 2. a) 3x2 – 11x – 12 = 0. 3. a) x2 − 18 = 0 are }.23,23{−=S 4. a) 4X

2 – 12 are rădăcinile .3,3− 5. a) 6X 2 + 58 nu are rădăcini reale. 6. a) (x –

3)2 − 7 = 0 ⇔ | x – 3 | = 7 ⇔ x – 3 = 7 sau x – 3 = –7 ⇔ x = 10 sau x = –4 ⇒ S = {–4,

10}. 7. a) 7x2 − 8x = 0 are ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

78,0S . 8. a) 12x2 = 0 are S = {0}. 9. a) 4X

2 + 12X + 9 =


(2X + 3)2 are rădăcinile – 0,75. 10. a) 16x2 – 24x + 9 = 0 are S = {0,75}. 11. a) x2 + 4x +

1 = 0 are }32,32{ +−−−=S . 12. a) 4X 2 + 12X – 1 are rădăcinile

2103 −− şi

.2

103 +− 13. a) x2 + 4x + 5 = 0 are S = ∅. 14. a) 45 + 36 + m = 0 ⇔ m = –81.

15. a) 121 – 8m < 0 ⇔ m > 15,125 ⇒ m ∈ (15,125; '). 16. a) 9 – 24m = 0 ⇔ m = 0,375. 17. a) 81 – 56m > 0 etc. 18. a) 36 – 99m < 0 etc. 19. a) Fie y = x2. y2 – 8y + 12 = 0 are soluţiile 2 şi 6. x4 − 8x2 + 12 = 0 are }.6,2,2,6{ −−=S 20. a) Fie y = x3. y2 – 13y + 30 = 0 are soluţiile 3 şi 10. x6 − 13x3 + 30 = 0 are }.10,3{ 33=S 21. a) Fie y = x3. y2 – 30y – 64 = 0 are soluţiile 32 şi –2. x6 − 30x3 − 64 = 0 are }.32,2{ 33−=S 22. c2 = am = a(a – n) sau c2 = a2 – an şi b2 = an = a(a – m) sau c2 = a2 – am.

a b c m n h

12 64 34 4 8 24

23. a) X 2 + 11X + 28 are

abS −=

acP = = –11, = 28. 24. a) x2 − 21x + 5 = 0 are

abS −= = 21,

acP = = 5. 25. a) Numerele căutate sunt soluţiile ecuaţiei x2 – Sx + P =

0. x2 – 12x + 27 = 0 are soluţiile 3 şi 9. 26. a) Polinomul cu coeficientul dominant 1 P(X) = X 2 – SX + P. P(X) = X 2 – 13X + 85. Condiţia cerută este satisfăcută de toate polinoamele cX 2 – 13cX + 85c, c o constantă. 27. a) X

2 + 5mX + 15 este 11; 121 +

55m + 15 = 0 ⇔ m = .55

136− 28. a)

77

7

2

−=

− xx

xx ⇔ x2 = 7x, x ≠ 7 ⇔ x(x – 7) = 0, x ≠

7 ⇒ S = {0}. 29. a) 8

108162

−=

−+

xx

xx ⇔ x2 + 16 = 10x, x ≠ 8 ⇔ x2 – 10x + 16 = 0, x ≠ 8

⇒ S = {2}. 30. a) 59

47

−−

=−−

xx

xx ⇔ x2 + 16 = 10x, x ≠ 4, x ≠ 5 ⇔ x2 + 12x + 35 = x2 +

13x + 36, x ≠ 4, x ≠ 5 ⇔ 12x + 35 = 13x + 36, x ≠ 4, x ≠ 5 ⇒ S = {–1}. 30. a) X 2 + 11X

+ 28 are rădăcinile –7 şi – 4, X 2 + 11X + 28 = (X + 7)( X + 4).

31. a) .1210

)12)(5()10)(5(

6075015

2

2

+−

=+−−−

=+−+−

XX

XXXX

XXXX 32. m se află din condiţiile: ∆ > 0 şi

S = 0 etc. 33. Fie y = | x | ≥ 0. Rezolvaţi în R+ ecuaţia y2 − 13y + 42 = 0 etc.

34. a) 21

11xx

+ = 21

21

xxxx + etc. 35. Se ţine cont că şi

⇒ ⇒ ) + 3(m – 2) ⇒ etc.

0

00

2)2(3 121 =+−+ mxmx

02)2(3 222 =+−+ mxmx 4))(2(3)( 21

22

21 =++−++ mxxmxx ( 3

231 xx +

0)(2)( 2122

21 =+++ xxmxx )(2))(2(3)( 2

221

32

31

42

41 =+++−++ xxmxxmxx

36. Ecuaţia ataşată lui P(X) este x2 + 5(m – 3)x + 4m = 0. Ecuaţia ataşată noului

polinom se obţine înlocuind x cu x1 în ecuaţia anterioară. Rezultă 1 + 5(m – 3)x + 4mx2


= 0 etc. 41. Dimensiunile dreptunghiului sunt x şi p – x. Aria dreptunghiului este o funcţie de gradul II ce are valoare maximă etc. 3. Ecuaţii raţionale (98–100)

1. a) 71

91

4=

−−

− xx ⇔ –5 = 7x – 7, x ≠ 1 ⇒ 7x = 2. Ecuaţia iniţială are soluţia .

72

2. a) 02

91

4=

−−

− xx ⇔

29

14

−=

− xx ⇔ 4x – 8 = 9x – 9, x ≠ 1, x ≠ 2 ⇒ 5x = 1.

Ecuaţia iniţială are soluţia 0,2. 3. a) 09

99

=−

−− xxx ⇔ 0

99

=−−

xx ⇒ S = ∅.

4. a) 089

=−−xx ⇔ x – 8x + 72 = 0, x ≠ 9 ⇒ 7x = 72. Ecuaţia dată are soluţia .

772

5. a) 019

2=−

− xx ⇔

xx1

92

=−

⇔ 2x = x – 9, x ≠ 0, x ≠ 9 ⇔ x = –9, x ≠ 0, x ≠ 9.

Ecuaţia iniţială are soluţia –9. 6. a) 54

82

+−

=− x

xx

⇔ 2x + 10 = x2 – 12x + 32, x ≠ –5, x

≠ 8 ⇔ x2 – 14x + 22 = 0, x ≠ –5, x ≠ 8. Ecuaţia dată are }.377,377{ +−=S

7. a) 118

8=−

− xx ⇔

xx11

88

+=−

⇔ x

xx

18

8 +=

− ⇔ 8x = x2 – 7x – 8, x ≠ 0, x ≠ 8 ⇒

x2 – 15x – 8 = 0, x ≠ 0, x ≠ 8. Ecuaţia dată are ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +−

=2

25515,2

25515S .

8. a) 088

8=

−−

− xx

x ⇔ 0

88

=−−

xx ⇒ S = ∅. 9. a)

91

89

++

=−−

xx

xx ⇔ x2 – 81 = x2 – 7x –

8, x ≠ 8, x ≠ –9 ⇒ 7x = 73. Ecuaţia dată are ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

773S . 10. a) 0

65

87

=−+

−−−

xx

xx ⇔

65

87

−+

=−−

xx

xx ⇔ x2 – 13x + 42 = x2 – 3x – 40, x ≠ 8, x ≠ 6 ⇒ 10x = 82. Ecuaţia dată are

S = {8,2}. 11. a) 98

89

++

=−+

xx

xx ⇔ x2 + 18x + 81 = x2 – 64, x ≠ 8, x ≠ –9 ⇒ 18x = –145.

Ecuaţia dată are S = {–8,0(5)}. 12. a) 52

9952

++

=−+

xx

xx ⇔ 4x2 + 20x + 25 = x2 – 81, x ≠

9, x ≠ –2,5 ⇔ 3x2 + 20x + 106 = 0, x ≠ 9, x ≠ –2,5 ⇒ Ecuaţia dată nu are soluţii.

13. a) 18

1292

=+

−−−

xxx ⇔ 1

812

92

++

=−−

xxx ⇔

820

92

++

=−−

xx

xx ⇔ x2 + 6x – 16 = x2 +

11x – 180, x ≠ 9, x ≠ –8 ⇔ 5x = 164, x ≠ 9, x ≠ –8. Ecuaţia dată are S = {32,8}.

14. a) 38

698

=+

−−−

xxx ⇔

863

98

++=

−−

xxx ⇔

8303

98

++

=−−

xx

xx ⇔ x2 – 64 = 3x2 + 3x,

x ≠ 9, x ≠ –8 ⇔ 3x = –64, x ≠ 9, x ≠ –8. Ecuaţia dată are S = {–21,(3)}.

15. a) 49

37

678

2 −=

+−

−−

xxxx ⇔

493

4942656

22

2

−=

−+−−−

xxxxx ⇔ x2 – 7x – 14 = 3,


x ≠ –7, x ≠ 7 ⇔ x2 – 7x – 17 = 0, x ≠ –7, x ≠ 7. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +−

=21177,

21177S .

16. a) 343

1497

27

132 −

=++

−− xxxx

⇔ x2 + 7x + 49 – 2x + 14 = 1, x ≠ 7 etc. 17. a) y

= ,1

1−x

y2 – 3y + 2 = 0 are soluţiile 1 şi 2. Rezultă x – 1 = 1 sau x – 1 = 0,5 etc.

18.21

−+

=xxy etc. 20.

xxy 1

+= ⇒ .21 22

2 −=+ yx

x Se obţine ecuaţia y2 + 2y – 6 = 0

etc. 21. x

xy 1−= ⇒ .21 2

22 +=+ y

xx Se obţine ecuaţia y2 – 5y – 14 = 0 etc.

4. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii (102–109)

1. a) ⇒ S = {(4, 5)}. 2. a) ⇔

⇒ S = {(24, 12)}. 3. a) ⇔ ⇔

⇔ ⇒ S = {(–0,2; –0,04), (5, 1)}. 4. a) ⇔

⇔ ⇔ ⇒ S = {(4; 0,2)}. 5. a) Soluţiile sistemu-

lui sunt soluţiile ecuaţiei t

⎩⎨⎧

==

⇔⎩⎨⎧

=−=

⇔⎩⎨⎧

=−=

54

22124

2234

yx

yx

yxx

⎩⎨⎧

=−=

12322

yxyx

⎩⎨⎧

==

⇔⎩⎨⎧

=−=

1224

12342

yx

yyyx

⎩⎨⎧

=−

=

124

52 yx

yx

⎩⎨⎧

=−

=

12425

52 yy

yx

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎢⎣

⎡=

−=

=

104,0

5

yy

yx

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎩⎨⎧

==

⎩⎨⎧

−=−=

15

04,02,0

yx

yx

⎩⎨⎧

=+=−

1353752

yxyx

⎩⎨⎧

=+=

1353205yx

x

⎩⎨⎧

=+=

135124

yx

⎩⎨⎧

==

2,04

yx

2 – 7t + 12 = 0. Ecuaţia are soluţiile 3 şi 4. S = {(3, 4), (4, 3)}.

6. a) x + y = S şi xy = P implică ⇔ Soluţiile sistemului sunt

soluţiile ecuaţiei t⎩⎨⎧

=−=−

183133

PPS

⎩⎨⎧

==

.65

PS

2 – 5t + 6 = 0. Ecuaţia are soluţiile 2 şi 3. S = {(2, 3), (3, 2)}. 7. a) x +

y = S şi xy = P implică ⇔ Soluţiile sistemului sunt soluţiile ecu-

aţiei t⎩⎨⎧

==−

24312

SPS

⎩⎨⎧

==

.158

PS

2 – 8t + 15 = 0. Ecuaţia are soluţiile 3 şi 5. S = {(3, 5), (5, 3)}. 8. a) x + y = S şi xy

= P implică x2 + y2 = S2 – 2P. ⇔ Soluţiile sistemului sunt

soluţiile ecuaţiei t⎩⎨⎧

==−

1021322

SPS

⎩⎨⎧

==

.65

PS

2 – 5t + 6 = 0. Ecuaţia are soluţiile 2 şi 3. S = {(2, 3), (3, 2)}.

9. a) x + y = S şi xy = P implică x⎩⎨⎧

==+

;18094122

xyyx 2 + y2 = S2 – 2P. ⇔

⇔ Soluţiile sistemului sunt soluţiile ecuaţiei t

⎩⎨⎧

==−

18094122

PPS

⎩⎨⎧

==20812

PS

⎩⎨⎧

==20

9PS || 2 – 9t + 20 = 0 sau


ale ecuaţiei t2 + 9t + 20 = 0. Prima ecuaţie are soluţiile 4 şi 5; a doua ecuaţie are soluţiile –4, –5. S = {(–5, –4), (–4, –5), (4, 5), (5, 4)}.

10. a) Aplicăm substituţia x = ty. Rezultă ⇒ ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=−

2823

12833

332

yty

tyyt73

)23()8(

3

23

=+−

tytty ⇒ 56t2

– 7t = 9t + 6 ⇔ 56t2 – 16t – 6 = 0 cu soluţiile 0,5 şi .143

− sau ⎩⎨⎧

=+

=

2825,1

5,033 yy

yx

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−

−=

282149

143

33 yy

yx ⇔ sau

⎩⎨⎧

==

21

yx

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−=

.492749

3

3

y

x 11. a) x = ty. Atunci

⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=−

253

113844

442

yty

tyyt

211

)53()38(

4

24

=+−

tytty ⇒ 16t2 – 6t = 33t + 55 ⇔ 16t2 – 39t – 55 = 0 cu soluţiile –1 şi

.1655 sau

⎩⎨⎧

=+−

−=

253 44 yy

yx

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

216245

1655

4y

yx ⇔ sau

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎢⎣

⎡−=

=

=

11

1

yy

x

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

=

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

=

.24532

24532

24532

1655

24532

1655

4

4

4

4

y

y

x

x

12. a) t =

x1 implică ⇔ ⇔ ⇒ ⇒ S = {(1, 1)}.

⎩⎨⎧

=−=+

4261138

ytyt

⎩⎨⎧

=−=+

1261822616

ytyt

⎩⎨⎧

==

11

yt

⎩⎨⎧

==

11

yx

13. a) ,1x

u = y

v 1= ⇒ ⇔ ⇔ ⇒ S = {(2,

1)}. 14. a) x ≠ 2, y ≠ –3.

⎩⎨⎧

=+−=−856

134vuvu

⎩⎨⎧

=+−=−241518

51520vuvu

⎩⎨⎧

==

15,0

vu

,2

1−

=x

u 3

1+

=y

v ⇒ ⇔ ⎩⎨⎧

=+=−589

21215vu

vu

⎩⎨⎧

=+=−

15242742430

vuvu

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

4131

v

u ⇒ S = {(3, 4)}. 15. a) x ≠ 0, y ≠ 0. .

yxt = 21

=+t

t ⇒ t2 –

2t + 1 = 0 ⇒ t = 1. ⇔ ⇒ S = {(2, 2)}. 16. a) x⎩⎨⎧

==

105yyx

⎩⎨⎧

==

2yyx 2 + 5x – 3 = 0 ⇔

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−=

−−=

.2

3752

375

x

x 17. a) (x2 + 7x)(x2 – 6) = 0 ⇔ ⇔

⎢⎢⎣

⎡

=−

=+

06

072

2

x

xx

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−=

−==

.66

70

xxxx


18. a) ⇔ ⎢⎣

⎡

=−−

=−

0123

0722 xx

x

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

=

=

.31

127

x

x

x

19. a) ⇔ ⎢⎢⎣

⎡

=−+

=−−

0123

0542

2

xx

xx

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−=

=−=

).3(,01

51

xxxx

20. a) ⇔ 21. a) x ≠ 1,5. ⎢⎢⎣

⎡

=−+

=−−

0123

0542

2

xx

xx

⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

−=

).3(,05

1

xxx

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−

=−

0123

123

2

2 xxx ⇔

⇔ ⇒ S = {–0,(3); 1; 1,5}. 22. a) x ≠ –3, x ≠ 3.

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−==

=−

)3(,01

223

xx

x

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−===

)3(,01

5,1

xxx

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−

=−

+−

034511

09

13

2

2

2

xxxx ⇔

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

=−

=−

1117

29

13

22

x

xxx

⇔

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−=

−=

21117

5,2

x

x

x

⇒ S = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −− 2;

1117;5,2 . 23. a) x ≠ –4, x ≠ 4.

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−

=−

−−

07411

216

14

5

2

2

xxxx ⇔

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

=−

=−−

227

5,016

124

52

x

xxx

⇔

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

=−

=−−

227

5,016

14213

2

x

xxx

x

⇔

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−=

=+−

5,0227

05252 2

x

x

xx

⇔

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−=

==

.5,0227

5,64

x

x

xx

24. a) | 2x – 3 | = 5 ⇔ ⇔ ⇒ S = {–1, 4}. ⎢⎣

⎡=−

−=−532

532xx

⎢⎣

⎡=

−=4

1xx

25. a) ⎢⎢⎢

⎣

⎡

=+−

=+

−−

0145

25

16

4

2 xxxx ⇔ 2

51

64

++

=− xx

⇔ 57

64

++

=− x

xx

⇔ 0)5)(6(

6232

=+−

−−xx

xx

⇒ S = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +−

22573,

22573 . 26. a)

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=+−−

=+

−−

0)35)(4(

36

15

5

22 xxxxxx ⇔

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=

−=

=

++

=−

2135

2135

0

36

15

5

x

x

xxx


⇔

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=

−=

=++

=−

2135

2135

06193

55

x

x

xxx

x

etc. 27. a) | x2 – 5x | = 5 ⇔ ⇔ ⎢⎢⎣

⎡

−=−

=−

55

552

2

xx

xx

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=

−=

+=

−=

.2

5352

5352

552

55

x

x

x

x

29. a) ⇔ ⇔ ⇔ ⎩⎨⎧

=−+−=−++

82643231

nmxnmx

⎩⎨⎧

=+−=+

6643

nmnm

⎩⎨⎧

−==+29

43m

nm

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

=+−

32

432

m

n ⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

=

.32

324

m

n 30. a) Suma coeficienţilor este P(1). ⇔

⇔ ⇔ ⇔ etc. 31. a) Re-

zolvaţi sistemul ⇔ etc. 32. a) Se rezolvă sis-

temul simetric 33. a) Se adună ecuaţiile! ⇔ ⇔

b) După substituţiile

⎩⎨⎧

=−−−=−+−

182565112565

nmnm

⎩⎨⎧

=−−=−

19251225

nmnm

⎩⎨⎧

=−−=−

19251225

nmnm

⎩⎨⎧

=+−−=

193155,15

mn

⎩⎨⎧

=−=

255,15

mn

⎩⎨⎧

=+−−−−=+−+−

025250210840

nmnm

⎩⎨⎧

=−−−=−553410

nmnm

⎩⎨⎧

==+

.367

xyyx

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=+=+

635

zyzxyx

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=+

=++

63

7

zyzx

zyx

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

.241

zyx

,1x

u = v = ,1y

t = z1 se continuă ca la punctul a).

34.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=+

494

338

xyyx

xyyx

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=+

494

338

xy

xy etc. 35.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

=+

41

203

71

169

yxxy

yxxy

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

=+

4203

7169

xyyx

xyyx

etc.

36. Fie .1,1 vy

ux

== Rezultă sistemul simetric etc. 37. Sistemul este

simetric omogen. Fie x + y = S şi xy = P etc. ⎩⎨⎧

=+

=+

29

722 vu

vu

38. x ∈ R+, y ∈ R+. ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=++

3

72

yx

xyyx ⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=+

3

7

yx

yx etc.


39. a) ⇒ etc. 40. Rezolvaţi sistemul 42. Un

robinet umple bazinul în x minute, iar al doilea – în y minute. Rezolvaţi sistemul

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

201512

yzxzxy

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

=

2015

3600222

yzxz

zyx

⎩⎨⎧

=+

−=−

.74

222 yx

yx

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=+

.17020

14530

yx

yx 43. Se ţine cont că 56

=+ yxxy ⇒

65

=+xy

yx ⇒ 6511

=+xy

etc. 46. Siste-

mul este simetric. 47. Înlocuind x cu 1 – x, 1 – x se înlocuieşte cu x şi se obţine f(1 – x) + 3f(x) = 5(1 – x)2 + 2(1 – x) etc. f(x) se află eliminând f(1 – x) din relaţia iniţială şi cea obţinută anterior. 48. Se înlocuieşte X cu 2 – X, de unde 2 – X se înlocuieşte cu X. Se

continuă ca la ex. 47. 49. 5,22

=−a

b ⇒ b = –5a; 25,04

42

−=−

−a

acb ⇒ b2 – 4ac = a; c

= 6 etc. 50. Fie x2 – 3x – 2 = t2. Atunci x2 – 3x = t2 + 2 etc. Cap VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii (114–122) 1. a) (–', 13). 2. a) [–2,8; '). 3. a) S = [–4,7; 4,7]. 4. a) S = (–'; 8,4] ∪ [8,4; '). 5. a) S = (–'; 2,(3)). 6. a) –8x < 5 ⇔ x > – 0,625 ⇒ S = (– 0,625; '). 7. a) 4x − 7 < 0 ⇔ 4x < 7 ⇔ x < 1,75 ⇒ S = (–'; 1,75). 8. a) –5x + 13 < 0 ⇔ 5x > 13 ⇔ x > 2,6 ⇒ S = (2,6; '). 9. a) 4x − 3 < 14 ⇔ 4x < 17 ⇔ x < 4,25 ⇒ S = (–'; 4,25). 10. a) –2x + 11 < 9 ⇔ 2x > 2 ⇔ x > 1 ⇒ S = (1, '). 11. a) 2(x + 3) < 15 ⇔ 2x + 6 < 15 ⇔ 2x < 9 ⇔ x < 4,5 ⇒ S = (4,5; '). 12. a) 2(–x + 7) ≥ 3 ⇔ –2x + 14 ≥ 3 ⇔ x ≤ 5,5 ⇒ S = (–'; 5,5].

13. a) 03

3≤

−x ⇔ x – 3 < 0 ⇔ x < 3 ⇒ S = (–', 3). 14. a) 0

132

<−x

⇔ 3x – 1 < 0 ⇔

3x < 1 ⇒ S = (–'; 0,(3)). 15. a) 5x + 3 ≤ 7x − 4 ⇔ –4x ≤ –7 ⇔ 4x ≥ 7 ⇔ x ≥ 1,75 ⇒ S = [1,75; '). 16. a) 2(x − 3) ≤ 10x − 7 ⇔ 2x – 6 ≤ 10x –7 ⇔ 8x ≥ 1 ⇔ x ≥ 0,125 ⇒ S = [0,125; '). 17. a) 3(x − 1) ≤ 4(x − 3) ⇔ 3x – 3 ≤ 4x –12 ⇔ x ≥ 9 ⇒ S = [9, '). 18. a) (x + 2)2 ≥ (x + 3)(x – 3) ⇔ x2 + 4x + 4 ≥ x2 – 9 ⇔ 4x ≥ –13 ⇔ x ≥ –3,25 ⇒ S = [–3,25; '). 19. a) (x + 3)2 ≤ (x − 2)2 ⇔ x2 + 6x + 9 ≤ x2 – 4x + 4 ⇔ 10x ≤ –5 ⇔ x ≤ –2 ⇒ S =

(–', –2]. 20. a) ⇔ ⇒ S = ∅. 21. a) ⇔ ⇒ S =

(0,(3); 0,5). 22. a) ⇔ ⇒ S = (0,(6); 1,5). 23. a) –2 < 3x < 18

⇔ ⇔ ⇒ S = (–

⎩⎨⎧

>−<+

1732

xx

⎩⎨⎧

><

81

xx

⎩⎨⎧

>−<−

013012

xx

⎩⎨⎧

><

)3(,05,0

xx

⎩⎨⎧

<+>−

1154113

xx

⎩⎨⎧

<>

5,1)6(,0

xx

⎩⎨⎧

<−>8,1323

xx

⎩⎨⎧

<−>

6,0)6(,0

xx

0,(6); 1,6). 24. a) –2 < x + 7 < 13 ⇔

⇔ ⇒ S = (–⎩⎨⎧

<+−>+137

27xx

⎩⎨⎧

<−>6

9xx

9, 6). 25. a) –5 < 4 – x < 25 ⇔ ⇔

⇒ S = (–21, 9). 26. a) –8 < 9 – 2x < 25 ⇔ ⇔ ⇒ S =

⎩⎨⎧

<−−>−254

54xx

⎩⎨⎧

−><

219

xx

⎩⎨⎧

<−−>−2529

829xx

⎩⎨⎧

−><

85,8

xx


(–8; 8,5). 27. a) | 2x | ≤ 5 ⇔ ⇔ ⇒ S = [–2,5; 2,5]. 28. a) | x + 7 | ≤

2 ⇔ ⇔ ⇒ S = [–9, –5]. 29. a) | 5 – x | ≤ 7 ⇔ | x – 5 | ≤ 7 ⇔

⇔ ⇒ S = [–2, 12]. 30. a) | 2x + 9 | ≤ 5 ⇔ ⇔

⇒ S = [–7, –2]. 31. a) x

⎩⎨⎧

≤−≥52

52xx

⎩⎨⎧

≤−≥

5,25,2

xx

⎩⎨⎧

≤+−≥+27

27xx

⎩⎨⎧

−≤−≥

59

xx

⎩⎨⎧

≤−−≥−75

75xx

⎩⎨⎧

≤−≥12

2xx

⎩⎨⎧

≤+−≥+592

592xx

⎩⎨⎧

−≤−≥

27

xx 2 + 5x – 6 = 0, x ∈ R ⇔ 32. a) ⇔

⇔ ⇒ S = (–', 4) ∪ (–2, ') = R. 33. a) ⇔

⇔ ⇒ S = (–', 19) ∪ (–10, ') = R. 34. a) ⇔

⇔ ⇒ S = (–'; 12,5) ∪ (–1, ') = R. 35. a) | 2x | ≥ 33 ⇔

⇔ ⇒ S = (–', –33) ∪ (33, '). 36. a) | x + 3 | ≥ 9 ⇔

⇔ ⇔ ⇒ S = (–', –12) ∪ (6, '). 37. a) | 7 – x |

≥ 99 ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ S = (–', –92) ∪ (106, ').

⎢⎣

⎡=

−=.16

xx

⎢⎣

⎡>+<−

0204

xx

⎢⎣

⎡−>

<2

4xx

⎢⎣

⎡−∈−∈

),2()4,(

''

xx

⎢⎣

⎡>+<−

212811

xx

⎢⎣

⎡−>

<10

19xx

⎢⎣

⎡−∈−∈

),10()19,(

''

xx

⎢⎣

⎡>+<−2538172

xx

⎢⎣

⎡−>

<1

5,12xx

⎢⎣

⎡−∈−∈

),1()5,12;(

''

xx

⎢⎣

⎡>

−<332

332xx

⎢⎣

⎡∈

−−∈),33(

)33,('

'xx

⎢⎣

⎡>+

−<+93

93xx

⎢⎣

⎡>

−<6

12xx

⎢⎣

⎡∈

−−∈),6(

)12,(''

xx

⎢⎣

⎡>−

−<−997

997xx

⎢⎣

⎡>

−<106

92xx

⎢⎣

⎡∈

−−∈),106(

)92,('

'xx

38. a) | 2x – 1 | ≥ 13 ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ S = (–', –6) ∪

(7, '). 39. a) | 3 – 2x | ≥ 18 ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ S =

(–'; –7,5) ∪ (10,5; '). 40. a) 2X

⎢⎣

⎡>−

−<−1312

1312xx

⎢⎣

⎡>

−<7

6xx

⎢⎣

⎡∈

−−∈),7(

)6,('

'xx

⎢⎣

⎡>−

−<−1832

1832xx

⎢⎣

⎡>

−<5,105,7

xx

⎢⎣

⎡∈

−−∈),5,10(

)5,7,('

'xx

2 – 3X – 5m trebuie să aibă ∆ ≥ 0. 9 + 40m ≥ 0 ⇔ m ≥ 4,(4). m ∈ [4,(4); '). 41. a) ∆ ≥ 0 ⇒ 1 – 9m + 3 ≥ 0 ⇔ m ≤ 0,(4). m ∈ (–'; 0,(4)]. 42. a) ∆ ≥ 0 ⇒ 1 + 6m + 8 ≥ 0 ⇔ m ≥ –1,5. m ∈ [–1,5; '). 43. a) ∆ ≥ 0 ⇒ 1 + 7m – 14 ≥ 0 ⇔

m ≥ .7

13 44. a) ∆ ≥ 0 ⇒ 9 + 32m ≥ 0 ⇔ m ≥ –0,28125. m ∈ [–0,28125; ').

45. a) ∆ ≤ 0 ⇒ 1 – 3m + 9 ≤ 0 ⇔ m ≥ 3,(3). m ∈ [3,(3); '). 46. a) ∆ ≤ 0 ⇒ 1 + 9m + 3 ≤ 0 ⇔ m

≤ –0,(4). m ∈ [–0,(4); '). 47. a) ∆ > 0 ⇒ 9 + 21m + 6 > 0 ⇔ m > .75

−

48. a) ∆ > 0 ⇒ 25 + 15m – 21 > 0 ⇔ m > .154

− 49. a) x – 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ 7. D = [7; ').

50. a) 2x – 9 ≥ 0 ⇔ x ≥ 4,5. D = [4,5; '). 51. a) 3x – 10 > 0 ⇔ x > 3,(3) ⇒ D = (3,(3); ').


52. a) x – 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5 ⇒ D = [5, '). 53. a) 2x – 11 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5,5 ⇒ D = [5,5; '). 54. a) 3x – 2,4 > 0 ⇔ x > 0,8 ⇒ D = (0,8; '). 55. a) x – 2,6 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2,6. x ∈ [2,6; '). 56. a) 3,2 – 4x > 0 ⇔ x < 0,8. x ∈ (–'; 0,8). 57. a) 3,7 – x > 0 ⇔ x < 3,7. x ∈ (–'; 3,7). 58. a) 7 cm. 59. a)

05312

<+−

xx ⇔ (2x – 1)(3x + 5) < 0 ⇒ S = (–1,(6); 0,5).

60. a) 24

1<

−x ⇔ 02

41

<−−x

⇔ 04

92<

−+−

xx etc. 61. a)

121

71

−<

− xx ⇔

)12)(7(7

)12)(7(12

−−−

<−−

−xx

xxx

x ⇔ 0)12)(7(

712<

−−+−−

xxxx ⇔ 0

)12)(7(6

<−−

+xx

x ⇔

etc. 62. a)

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎩⎨⎧

>−−<+

⎩⎨⎧

<−−>+

0)12)(7(06

0)12)(7(06

xxx

xxx

311 ≤<x

⇔ 0,(3) < x < 1 etc. 66. (x – 2)(3 – x)(x + 4) ≥ 0 ⇔

⇔ etc. 68. a)

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎩⎨⎧

≤−≤−+

⎩⎨⎧

≥−≥−+

03082

03082

2

2

xxx

xxx

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎩⎨⎧

−∈−∈

⎩⎨⎧

−∈−−∈

),3[]2,4[

]3,(),2[]4,(

'

'''

xx

xx U

35

2≤

−x ⇔ | x – 5 | ≥ 0,(6) etc.

69. a) etc. 71. a) ⇔ etc. ⎩⎨⎧

>−≥−

034052

xx

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−<−≤−

029043052

xxx

x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥>≤

075,05,2

xxx

74. a)

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−≤−

<−

≤−

<

13

15

71

13

x

x ⇔

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−<−≤−

<−≤

5131

311

71

x

x etc. 75. a) 25a2 + 9b2 ≥ 30ab. 76. a) 3c + d ≥

.32 cd 77. a) 9a2 + 25b2 + 49c2 ≥ 15ab + 21ac + 35bc. 78. a) 23216

≤+−

xx ⇔

232162 ≤

+−

≤−xx

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥+

++−

≤+

−−−

032

6216

032

6216

xxx

xxx

etc. 79. a) | 3x – 9 | ≤ | 4x + 1 | ⇔

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎪⎩

⎪⎨⎧

+≤−

≤≤−

⎩⎨⎧

+≤−>

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−≤−

−≤

1439

341

14933

143941

xx

x

xxx

xx

x

etc. 81. a) ⇔ etc. ⎩⎨⎧

≤−<−

7831

||

||

xx

⎩⎨⎧

≤−≤−<−<−

787313

xx


82. a) ⇔ etc. ⎢⎣

⎡≥−

<−1911

86||

||

xx

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−≤−≥−

<−<−

xxx

11191911

868

84. a = ,00420032...

1211

109

87

⋅⋅⋅⋅ a < ,00520042...

1312

1110

98

⋅⋅⋅⋅ a > 00320022...

1110

98

76

⋅⋅⋅⋅ etc.

2. Inecuaţii de gradul II. Metoda intervalelor (123–127) 1. Rezolvarea este ilustrată în stânga.

2. a) f are zerourile 2

233151

−−=x şi .

223315

2+−

=x f(x) < 0 pe

intervalul (x1, x2) şi f(x) > 0 pe (–', x1) ∪ (x2, '). 3. a) f are zeroul –1,5, f(x) = (2x + 3)2 ≥ 0. 4. a) f nu are zerouri f(x) = 5x2 + 2x + 1 > 0.

5. a) S = (–3, –2). 6. a) S = (–', –1] ∪ [0,(2); '). 7. a) S = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−140

30111,140

30111 .

x

y

O

8. a) 9x2 + 12x + 4 = (3x + 2)2 > 0. S = R \ {0,(6)}. 9. a) S = ∅. 10. a) S = R.11. a) S =

∅. 12. a) S = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− '' ,

75)0,( U . 13. a) 0

123

2 ≥+ xx

⇔ x2 + 12x > 0. S = (–', –12) ∪

(0, '). 14. a) x ∈ ).,15[]15,( '' U−− 15. a) Expresia are sens pentru x2 – 5x – 104 > 0. x ∈ (–', –8) ∪ (13, '). 16. a) Expresia are sens pentru –x2 – 5x + 3 > 0. x ∈

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−−−2

375,2

375 . 17. a) x2 − 2x + 1 ≤ 4 ⇔ x2 − 2x – 3 ≤ 0. S = [–1, 3]. 18. a) (x +

2)2 < 5 ⇔ | x + 2 | < 5 ⇔ – 5 < x + 2 < 5 ⇔ –2 – 5 < x < –2 + 5 ⇒ S = (–2

– ,5 –2 + 5 ). 19. a) ⇔ ⎩⎨⎧

>−<−−

020132

xxx

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−∈

),2(2

133,2

133

'x

x ⇒

S = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

2

133,2 . 20. a) –2 < x2 + 4x < 5 ⇔ ⇔ ⇒ S

=

⎪⎩

⎪⎨⎧

<+

−>+

54

242

2

xx

xx⎪⎩

⎪⎨⎧

<−+

>++

054

0242

2

xx

xx

),22()22,( '' +−−−− U ∩ (–5, 1) = ).1,22()22,5( +−−−− U

21. a) ⇒ S = (–2, 2) ∩ ((–', 0] ∪ [1, ')) = (–2, 0] ∪ [1, 2). ⎪⎩

⎪⎨⎧

≥−

<−

0

042

2

xx

x

22. a) | x2 + 2x | ≤ 5 ⇔ –5 ≤ x2 + 2x ≤ 5 ⇔ ⇔ ⇔ ⎪⎩

⎪⎨⎧

−≥+

<+

52

522

2

xx

xx⎪⎩

⎪⎨⎧

≥++

<−+

052

0522

2

xx

xx

⎩⎨⎧

∈+−∈

Rxx )61,61(

⇒ S = ).61,61( +− 23. a) | x2 – 7 | ≤ 3 ⇔ –3 ≤ x2 – 7 ≤ 3 ⇔

⇔ ⇔ ⎪⎩

⎪⎨⎧

−≥−

≤−

37

372

2

x

x⎪⎩

⎪⎨⎧

≥−

≤−

04

0102

2

x

x

⎩⎨⎧

−∈−∈

]2,2[]10,10[

xx

⇒ S = [–2, 2]. 24. a) | x2 + 10x +


1 | ≤ 8 ⇔ –8 ≤ x2 + 10x + 1 ≤ 8 ⇔ ⇔ ⇔ ⎪⎩

⎪⎨⎧

−≥++

≤++

8110

81102

2

xx

xx⎪⎩

⎪⎨⎧

≥++

≤−+

0910

07102

2

xx

xx

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−∈

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−−−∈

),1()9,(2

245,2

245

'' Ux

x ⇒ S = ⎥

⎦

⎤⎜⎜⎝

⎛ +−−

2245,1 . 25. a) S = ).3,0[ 26. a) | x2

– 7 | ≥ 5 ⇔ ⇔ ⇔ ⎢⎢⎣

⎡

−≤−

≥−

57

572

2

x

x

⎢⎢⎣

⎡

≤−

≥−

02

0122

2

x

x

⎢⎢⎣

⎡

−∈

−−∈

]2,2[),32[]32,(

xx '' U

⇒

S = ),32[]2,2[]32,( '' UU −−− . 27. a) | x2 – 10x | ≥ 5 ⇔ ⇔

⇔

⎢⎢⎣

⎡

−≤−

≥−

510

5102

2

xx

xx

⎢⎢⎣

⎡

≤+−

≥−−

0510

05102

2

xx

xx

⎢⎢⎣

⎡

+−∈

+−−∈

]525,525[),305[]305,(

xx '' U

⇒

S = U]305,( −−' ),305[]525,525[ '++− U . 28. a) Fie f(x) = (x2 + 5x)(x2 – 8x). Mulţimea soluţiilor se identifică conform tabelului

x –' –5 0 8 ' f(x) + 0 – 0 – 0 +

S = (–5, 8) \ {0}. 29. a) Fie f(x) = (x2 – 1)(x2 – 3). Mulţimea soluţiilor se identifică conform tabelului

x –' –1 3− 1 3 ' f(x) + 0 – 0 + 0 – 0 +

S = (–1, 3− ) ∪ (1, 3 ). 30. a) Fie f(x) = (x2 – 2x + 1)(x2 – 3x + 2). Mulţimea soluţiilor se identifică conform tabelului

x –' 1 2 ' f(x) + 0 – 0 +

S = [1, 2]. 31. a) Fie f(x) = .7332

+−

xx Mulţimea soluţiilor se identifică conform tabelului

x –' –2,(3) 1,5 ' f(x) + || – 0 +

S = (–2,(3); 1,5). 32. a) Fie f(x) = .65

232 −−

−xx

x Mulţimea soluţiilor se identifică conform

tabelului x –' –1 1,5 6 '

f(x) – || + 0 – || +

S = (–1; 1,5]∪(6, '). 33. a) Fie f(x) = .369

352

2

−−−xx

xx Mulţimea soluţiilor se identifică con-

form tabelului x –' –3 0,6 12 '

f(x) + || – 0 + || –


S = (–3; 0,6)∪(12, '). 34. a) Rezolvaţi inegalitatea ∆ < 0. (m – 2)2 – 48 < 0 ⇔ | m – 2 | < 34 etc. 35. a) R. 36. a) x2 – 5x < 0.

37. Rezolvaţi sistemul 39. ⇔

etc. 40. ⇔ etc. 41.

⎪⎩

⎪⎨⎧

>−−

≥+−

.01640

015142

2

xx

xx⎪⎩

⎪⎨⎧

≥−−

<−−

02611

4792

2

xx

xx ||

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥−−

⎪⎩

⎪⎨⎧

−>−−

<−−

02611

479

479

2

2

2

xx

xx

xx

⎢⎢⎣

⎡

≥−−

<−−

04512

36102

2

xx

xx ||

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

≥−−

⎪⎩

⎪⎨⎧

−>−−

<−−

04512

3610

3610

2

2

2

xx

xx

xx|

1774723

2

2

≤−−+−

xxxx ⇔

0774

7747232

22

≤−−

++−+−xx

xxxx etc. 42. 01

332

1≥

+−

− xx ⇔ 0

32961

≥−

+−+x

xx etc.

43. ⇔ etc. 44. ⇔

etc. 45.

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤+−

<+−

459

11582

2

||

||

xx

xx

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥+−

≤+−

⎪⎩

⎪⎨⎧

−>+−

<+−

459

459

1158

1158

2

2

2

2

xx

xx

xx

xx

⎢⎢⎣

⎡

≤+−

<+−

5210

2472

2

||

||

xx

xx

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎪⎩

⎪⎨⎧

−≥+−

≤+−

⎪⎩

⎪⎨⎧

−>+−

<+−

5210

5210

247

247

2

2

2

2

xx

xx

xx

xx

24213

751 2 <−−

−≤

xxx ⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥−−

−

<−−

−

24213

75

24213

75

2

2

xxx

xxx

etc.

46. 113

132

2≤

−−

− xx ⇔ 01

131

322

≤−−

−− xx

⇔ 013

13132

2≤

−+−

−− x

xx

etc.

47. 110211

532 <

−−−xx

x ⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−>−−

−

<−−

−

110211

53

110211

53

2

2

xxx

xxx

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>−−

−−+−

<−−

++−−

010211

1021153

010211

1021153

2

2

2

2

xxxxx

xxxxx

etc.

48. 57510

541 2 <−−

−<

xxx ⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>−−

−

<−−

−

17510

54

57510

54

2

2

xxx

xxx

etc.

49. Rezolvaţi sistemul de inecuaţii ⇒ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<>

0>∆

00

PS

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

<−

>−−−

>−

05

10)1(20)3(

05

3

2

mmm

m

etc.


50. Rezolvaţi sistemul de inecuaţii unde f este funcţia ataşată polinomului,

f(x) = 2x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>>

0≥∆

,0)1(2

fS

2 – (m – 1)x + 3m. Rezultă

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>+−−

>−

>−−

03)1(2

02

1024)1( 2

mm

mmm

etc.

51. Rezolvaţi sistemul de inecuaţii unde f este funcţia ataşată polinomului,

f(x) = 3x

⎩⎨⎧

<0>∆

,0)1(f

2 – (m – 2)x + 4m. Rezultă

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<+−−

>−

>−−

04)2(3

03

2048)2( 2

mm

mmm

etc.

52. Examinaţi reprezentarea grafică!

xx 2x 1 xx 2 x3x1

53. Ţineţi cont de sugestia oferită de reprezentarea grafică!


Prefaţă ........................................................................................................................... 3 Capitolul I. Recapitulare şi completări ..................................................................... 4 1. Mulţimea numerelor reale ................................................................................... 9

2. Operaţii cu numere reale ................................................................................... 12 Capitolul II. Puteri cu exponent raţional ............................................................... 18

1. Radicali de ordinul n ......................................................................................... 20 2. Puteri cu exponent raţional ............................................................................... 25

Capitolul III. Funcţii ................................................................................................ 31 1. Noţiunea de funcţie ........................................................................................... 36 2. Funcţii numerice ................................................................................................ 42 3. Funcţia de gradul II ........................................................................................... 47 4. Funcţia putere ................................................................................................... 55

Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice ........................................................... 58 1. Recapitulare şi completări ................................................................................. 62 2. Împărţirea polinoamelor ................................................................................... 68 3. Divizibilitatea polinoamelor ............................................................................. 71 4. Fracţii algebrice ................................................................................................ 76

Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii ............................................... 83 1. Ecuaţii de forma ax + b = 0, a ∈ R, b ∈ R ...................................................... 88 2. Ecuaţii de gradul II cu o necunoscută ............................................................... 93 3. Ecuaţii raţionale ................................................................................................ 98 4. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii ......................................................................... 102

Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii ..................................... 111 1. Inecuaţii de gradul I. Recapitulare şi completări ............................................ 114 2. Inecuaţii de gradul II cu o necunoscută. Metoda intervalelor.......................... 123

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri .......................................................................... 129 Capitolul I ............................................................................................................ 129 Capitolul II .......................................................................................................... 131 Capitolul III ........................................................................................................ 132 Capitolul IV ........................................................................................................ 138 Capitolul V .......................................................................................................... 141 Capitolul VI ........................................................................................................ 149

algebra

Documents