6

ALGEBRĂ

CAPITOLUL I. NUMERE REALE I. 1. ���� ⊂⊂⊂⊂ ���� ⊂⊂⊂⊂ ���� ⊂⊂⊂⊂ ����. Exerciţii de recunoaştere

a numerelor întregi, raţionale, iraţionale

� = �– ∪ {0} ∪ �+; n = 0,02002000200002000002000000200000002000000002...

� ⊂ � ⊂ � ⊂ �.

π = 3,1415926535897932384626433832795028841971... Observaţii: 1. Ecuaţia x2 = 6 nu are soluţii în �.

Demonstraţie: Presupunem prin absurd că există m

n� �,

unde m, n � �* şi (m, n) = 1, astfel încât 2

6m

n

=

. Din 2

26

m

n= rezultă m2 = 6n2, de unde

2/m. Deci m = 2k (k � �*) şi 4k2 = 6n2 sau 2k2 = 3n2.

1. Cum (2, 3) = 1 rezultă 2/n2, adică 2/n. Contradicţie, pentru că (m, n) = 1.

2. 6 = 2,4494897427831…

3. Un număr este raţional dacă şi numai dacă se poate scrie sub formă de fracţie zecimală cu un număr finit de zecimale sau cu o infinitate de zecimale care se succed periodic.

4. Numărul 0,01001000100001000001000000100000001... nu este fracţie zecimală periodică. (are o infinitate de zecimale care nu se succed periodic)

5. Un număr este iraţional dacă poate fi scris ca o fracţie zecimală cu o infinitate de zecimale dar care nu se succed periodic.

6. Mulţimea numerelor raţionale reunită cu mulţimea numerelor iraţionale formează mulţimea numerelor reale pe care o notăm cu �.

7. Orice număr real pozitiv se reprezintă printr-o fracţie zecimală de forma x = 0 1 2 3, ...a a a a ,

unde a0 este partea întreagă a lui x şi se notează cu [x], iar 1 2 30, ...a a a este partea fracţionară

a lui x şi se notează {x}. Avem x = [x] + {x}, oricare ar fi x ∈ �.

8. Orice număr real negativ x (x ∈ �\�) se reprezintă printr-o fracţie zecimală de forma

x = 0 1 2 3, ...a a a a , unde a0 – 1 este partea întreagă a lui x, iar 1 – 1 2 30, ...a a a este partea

fracţionară a lui x. Avem x = [x] + {x}. Dacă x ∈ �, atunci [x] = x şi {x} = 0.

1 1

1+n

n 1

SPIRALA LUI ARHIMEDE

7

Probleme rezolvate:

1. Demonstraţi că pentru orice n � � numerele 5 8n + şi 5 7n + sunt iraţionale. Rezolvare:

Presupunem că 5 8n + � �. Atunci 5n + 8 = k2, k � �*, deci numărul 5n + 8 este pătrat perfect. Dar U(5n + 8) � {3;8}, contradicţie! Analog, U(5n + 7) � {2; 7} etc.

2. Determinaţi cifrele distincte a şi b în baza zece ştiind că 4ab � �. Rezolvare:

4ab � � implică 4xy = k2, unde k � �*.

Însă 202 ≤ 4ab ≤ 222, de unde 4ab � {202; 212; 222} şi 4ab � {400; 441; 484}. Cum a ≠ b

rezultă că 4ab � {441; 484}. Deci a = 4, b = 1 sau a = 8 şi b = 4.

3. Aflaţi partea întreagă şi partea fracţionară a următoarelor numere reale:

a) 7,12; b) –9; c) –4,(3); d) 17

3; e) –14

3

7; f)

4 7

4 3

n

n

++

, n ∈ �*; g) 23 .

Rezolvare:

a) [7,12] = 7; {7, 12} = 0,12; b) [–9] = –9; {–9} = 0; c) [–4,(3)] = –5; {–4,(3)} = 2

3;

d) 17 17 2

5;3 3 3

= = ; e)

3 3 414 15; 14

7 4 7 − = − − =

; f) 4 7

14 3

n

n

+ = + şi

4 7 4

4 3 4 3

n

n n

+ = + + .

g) 4 23 5< < , deci 23 4 = şi { }23 23 4= − .

EXERCIŢII ŞI PROBLEME

1. Scrieţi în formă zecimală numerele raţionale: a) 5 7 3 1 3 1; ; ; ; ; ;

8 25 125 80 40 12

b) 1;

33 1 4 7 11 2; ; ; ; ;

39 7 16 50 3 c)

7 5 36 5 11; ; ; ; .

6 80 28 32 75 (nota 5)

2. Determinaţi: a) � ∪ �; b) � ∩ �; c) � ∩ �; d) � ∪ �; e) � ∪ � – ; f) � ∩ �; g) � ∪ �; h) �* ∪ �; i) � ∩ �; j) � \ �; k) � \ �; l) � \ �; m) � \ �. (nota 7)

3. Scrieţi fracţiile în formă ireductibilă şi precizaţi dacă fracţia zecimală care reprezintă numărul raţional este periodică simplă, periodică mixtă sau are un număr

finit de zecimale (nu toate nule). a) 25

75; b)

4

28; c)

305

427; d)

1,2

5,6; e)

2,01

8,1; f)

6

80;

g) 21

45; h)

0,2

1,1; i)

3,5

0,(6); j)

35

30; k)

35

56; l)

1,15

69; m)

26

14; n)

2,1

3,3; o)

56

40.

a) → o) – (nota 5); d) → n) – (nota 7)

148

II. 11. Secţiuni paralele cu baza în corpurile geometrice studiate. Trunchiul de piramidă.

� Secţiunea făcută într-o prismă cu un plan paralel cu bazele este un poligon congruent cu bazele. � Prin secţionarea unei prisme cu un plan paralel cu bazele se obţin două prisme de acelaşi tip cu prisma iniţială. (fig. 102) � Prin secţionarea unei piramide cu un plan paralel cu planul bazei se obţine o piramidă asemenea cu piramida iniţială şi un trunchi de piramidă, iar secţiunea obţinută este un poligon asemenea cu baza. (fig. 93) � Un trunchi de piramidă care provine dintr-o piramidă regulată se numeşte trunchi de piramidă regulată (fig. 103b).

apotema

A

C

B

D

O M

S

A'B'

C'D'

O' M'

A

C

B

D

O M

A'B'

C'D'

O' M'

h

a) b)

– În figura 103 a) piramidele SA’B’C’D’ şi SABCD sunt piramide asemenea.

Avem: ' ' ' ' ' ' ' ' '

.SO SB SM O B O M A B

SO SB SM OB OM AB= = = = =

Reţineţi!

� Secţiunea efectuată într-o prismă de un plan determinat de două muchii laterale care nu sunt incluse în aceeaşi faţă laterală a prismei se numeşte secţiune diagonală a prismei. (fig. 104 a) 104 b))

A B

CD

A' B'

C'D'

Fig. 104

A

B

C

DEB'

C'

D'E'

A'

Secţiuni diagonale: dreptunghiul ACC'A' şi dreptunghiul BDD'B' (dacă AA' ⊥ (ABC))

De exemplu: dreptunghiul BDD'B' (dacă AA' ⊥ (ABC))

Fig. 102

Fig. 103

A B

CD

A' B'

C'D'

E

E'

A1 B1

C1D1

E1

h2

h1

a) b)

149

� Secţiunea efectuată într-o piramidă de un plan determinat de vârful piramidei şi o diagonală a bazei piramidei se numeşte secţiune diagonală a piramidei (fig. 105 a) şi fig. 105 b))

A

V

B

CD

O A B

C

DE

FO

V

Secţiuni diagonale:

triunghiul VAC şi triunghiul VBD De exemplu: triunghiul VBE.

Reţineţi! Trunchi de piramidă patrulateră regulată (Fig. 106)

A B

CD

A'

C'D'

MO

muchia bazei mici ( )�

înălţimea ( )h

apotema trunchiului ( )atr

muchia ( )m

muchia bazei mari ( )L

faţă laterală

h

MO

M'O'

atr

2

2L

m

M B

M' B'

atr

2

2L

m

O B

O' B'

R

r

h

22 2 –

2trL l

a h = +

2

2 2 –

2trL l

m a = +

2 2 2 ' '

( – ) . ; 2 2

OB O Bm h R r R r

= + = =

Problemă rezolvată:

În figura 108 este reprezentată o piramidă patrulateră regulată secţionată de planul α paralel cu planul bazei. Arătaţi că:

a) B'C' || BC; b) ' ' 'VB B C

VB BC= ;

c) Dacă AB = 8 cm, A'B' = 3 cm şi VA' = 6 cm, aflaţi lungimea muchiei [VA]. Rezolvare:

a) Din α || (ABC), α ∩ (VBC) = B'C' şi (ABC) ∩ (VBC) = BC rezultă B'C' || BC (intersecţiile a două plane paralele α şi β cu planul γ sunt două drepte paralele);

A

CB

D

V

A'

B' C'

D'

a) b) Fig. 105

Fig. 106

Fig. 107

Fig. 108

150

b) B'C' || BC implică �VB'C' ∼ �VBC (t. f. a.), de unde ' ' 'VB B C

VB BC= ;

c) Analog ca la a) se arată că A'B' || AB, deci �VA'B' ∼ �VAB (t. f. a.), de unde ' ' 'A B VA

AB VA= .

Deci 3 6

8 VA= şi VA = 16 cm.

EXERCIŢII ŞI PROBLEME

1. O prismă triunghiulară regulată ABCA’B’C’ este secţionată cu un plan (MNP) paralel cu (ABC) (M ∈ AA’, N ∈ BB’, P ∈ BB’, C ∈ PP’) (fig . 109) Ştiind că AA’ = 3 6 6AB = cm şi AM = 2A’M, determinaţi: a) raportul ariilor laterale ale celor două corpuri obţinute prin secţionare; b) raportul ariilor totale ale corpurilor obţinute prin secţionarea prismei iniţiale. a) - (nota 5); b) - (nota 7)

2. O prismă patrulateră regulată ABCDA’B’C’D’ este secţionată cu un plan paralel cu bazele care intersectează muchiile [AA’], [BB’], [CC’] şi [DD’] în punctele E, F, G şi, respectiv, H. Ştiind că suma ariilor totale ale celor două prisme obţinute este egală cu 360 cm2, iar valoarea raportului dintre înălţimea prismei şi latura bazei este 1,5, determinaţi înălţimea prismei. (nota 7)

3. Printr-un punct M al muchiei [AA’] a unui cub ABCDA’B’C’D’ se duce planul α paralel cu (ABC) care intersectează muchiile BB’, CC’, DD’ în punctele N, P şi

respectiv Q. Să se determine valoarea raportului '

AM

MA ştiind că raportul ariilor totale

ale corpurilor ABCDMNPQ şi A’B’C’D’MNPQ este 1

2. (nota 10)

4. O prismă triunghiulară regulată ABCA’B’C’ cu latura bazei de 6 cm se intersectează cu un plan α paralel cu (ABC), notându-se cu M, N, P punctele în care acest plan intersectează muchiile [AA’], [BB’] şi respectiv [CC’]. Determinaţi înălţimea prismei ştiind că raportul ariilor totale ale celor două corpuri obţinute are valoarea 0,(6), iar A’M = 2AM. (nota 9)

5. Se consideră un cub ABCDA’B’C’D’. Un plan α paralel cu (BCC’) intersectează muchiile [AB], [CD], [C’D’] şi [A’B’] în punctele E, F, G şi H. Să se determine

valoarea raportului AE

EB ştiind că

3

2

DH

CH= . (nota 9)

6. Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD cu înălţimea [VO] de 2 6 dm şi secţiunea diagonală triunghi dreptunghic. Fie P piciorul perpendicularei din O pe (VAB). Se secţionează piramida cu planul α care conţine punctul P şi este paralel cu (ABC). Să se determine: a) aria secţiunii; b) înălţimea trunchiului de piramidă obţinut.(nota 10)

Fig. 109

151

7. Se consideră un trunchi de piramidă patrulateră regulată ABCDA’B’C’D’ cu latura bazei mari AB = 18 cm şi latura bazei mici A’B’ = 12 cm. Dacă diagonalele unei feţe laterale a trunchiului sunt perpendiculare, să se determine: a) înălţimea trunchiului de piramidă; b) înălţimea piramidei din care provine trunchiul. (nota 10)

8. Se consideră o piramidă triunghiulară regulată SABC cu latura bazei de 12 cm şi înălţimea SO = 15 cm. Printr-un punct O’ al înălţimii se construieşte un plan α paralel

cu planul bazei care determină o secţiune cu aria de 16 3 cm2. Aflaţi înălţimea trunchiului de piramidă obţinut. (nota 9)

9. În figura 110 este reprezentată o desfăşurare a unui trunchi de piramidă triunghiulară regulată. Folosind datele din figură, determinaţi: latura bazei mici, apotema şi înălţimea trunchiului de piramidă. (Lungimile sunt exprimate în centimetri). (nota 7)

10. Într-un trunchi de piramidă regulată se notează cu n, L, l, aB, ab, at, m, h, Af numărul laturilor unei baze, latura bazei mari, latu-ra bazei mici, apotema bazei mari, apotema bazei mici, apo-tema trunchiului, muchia latera-lă, înălţimea trunchiului şi aria unei feţe laterale. Completaţi tabelul alăturat. (nota 7)

11. Într-un trunchi de piramidă patrulateră regulată ABCDA’B’C’D’ se notează cu O şi O’

centrele bazelor ABCD şi A’B’C’D’. Ştiind că AB =12 3 cm, A’B’ =4 3 cm şi OC’ ⊥ O’C, să se determine înălţimea, muchia laterală şi apotema trunchiului de piramidă. (nota 10)

12. Aria bazei unei piramide triunghiulare regulate este de 3 dm2 iar înălţimea

piramidei este de 3 2 dm. Se secţionează piramida cu un plan paralel cu planul bazei astfel încât aria secţiunii să fie jumătate din aria bazei. Să se determine înălţimea trunchiului de piramidă obţinut. (nota 9)

13. Într-un trunchi de piramidă triunghiulară regulată ABCA’B’C’ muchia laterală are lungimea de 6 cm şi este congruentă cu latura bazei mici. Ştiind că BB’ ⊥ (AB’C), determinaţi: a) latura bazei mari, apotema şi înălţimea trunchiului de piramidă; b) înălţimea piramidei din care provine trunchiul; c) distanţa de la vârful A’ la planul feţei BCC’B’. (nota 10)

n L l aB ab at m h Af 3 18 4 3 63 2 3 36 3 12 6 36

4 24 17 161

4 4 9 2 12

6 12 13 65 3 6 4 2 3 2 2 3

Fig. 110

152

���� Test 14

I. Completaţi spaţiile punctate: 1. Patru puncte necoplanare determină ... drepte. (5p) (nota 5)

2. Punctele necoplanare A, B, C, D determină planele: ... . (5p) (nota 5)

3. Un paralelipiped are ... muchii. (5p) (nota 5)

4. Dacă ABCDEF este un hexagon, atunci numărul de plane determinat de punctele A, B, C, D, E, F este egal cu ... . (5p) (nota 5)

5. Dacă ABCDA’B’C’D’ este un paralelipiped dreptunghic atunci dreptele BC şi AD’ sunt ... . (5p) (nota 5)

6. Dacă VABCD este o piramidă, atunci intersecţia planelor (VAB) şi (BCD) este ... . (5p) (nota 5)

7. ABCA’B’C’ este o prismă triunghiulară. Dreapta de intersecţie a planelor (AB’C) şi (BCC’) este ... . (10p) (nota 5)

8. ABCDA’B’C’D’ este paralelipiped dreptunghic cu AB = 6 cm, BC =2 3cm şi AA’ = 6 cm. Măsura unghiului dintre dreptele BC şi AD’ este egală cu ...˚. (10p) (nota 7)

II. Scrieţi pe foaia de teză rezolvările complete. 1. ABCDA’B’C’D’ este un cub. Asociaţi fiecare literă din coloana A cu cifra din coloana B corespunzătoare unghiului specificat în coloana A. Scrieţi toate asocierile care exprimă enunţuri matematice adevărate. (10p) (nota 7) A B a) măsura unghiului dintre dreptele DC şi A’B’ este egală cu 1. 0˚ b) măsura unghiului dintre dreptele AD şi B’D’ este egală cu 2. 45˚ c) măsura unghiului dintre dreptele AC şi BC’ este egală cu 3. 60˚ 4. 90˚.

2. Într-o piramidă VABCDEF cu baza hexagon regulat şi muchiile laterale congruente se notează cu M şi N mijloacele muchiilor AB şi ED. Determinaţi lungimea muchiei laterale dacă ∆VMN este echilateral cu înălţimea de 8 cm. (10p) (nota 9)

3. Fie cubul ABCDA’B’C’D’, iar M şi N mijloacele muchiilor CC’ şi, respectiv, DD’. Dacă AN ∩ A'D' = {P} şi BM ∩ B'C' = {Q}, arătaţi că: a) Punctele D, C, Q, P sunt coplanare; b) patrulaterul DCQP este paralelogram. (10p) (nota 9)

4. O piramidă patrulateră cu baza un pătrat cu lungimea laturii de 30 cm are feţele laterale triunghiuri echilaterale. Determinaţi distanţa dintre centrele de greutate a: a) două feţe alăturate ale piramidei; b) două feţe laterale alăturate ale piramidei.

(10p) (nota 10)

Timp de lucru: 2 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

192

6. Muchia laterală a unei piramide triunghiulare regulate este 2a şi formează cu planul bazei un unghi de 30°. Să se determine: a) aria şi volumul piramidei; b) distanţa de la mijlocul unei muchii a bazei la muchia opusă; c) sinusul unghiului a două feţe laterale alăturate. a) – (nota 7); b) – (nota 9); c) – (nota 10)

IV.8 Tetraedrul regulat

Desfăşurarea tetraedrului regulat (fig. 151 a şi 151 b) 2 2 2

32

3 3 3 3 3 33 ; ; ; ; ;

2 2 4 4 4

6 23 ; ; .

3 3 12

p b b l

bt

R a a R aa R ; r a A A A

A h a aA a ; V h V

= = = = = =

⋅= = = =

Problemă rezolvată:

Într-un tetraedru regulat ABCD se notează cu M şi N mijloacele muchiilor [AB] şi, respectiv, [CD]. a) Demonstraţi că MN ⊥ CD.

b) Dacă MN = 6 2 cm, determinaţi: i) lungimea muchiei tetraedrului; ii) lungimea înălţimii tetraedrului; iii) aria totală şi volumul tetraedrului ABCD. Rezolvare: a) Într-un tetraedru regulat toate feţele sunt triunghiuri echilaterale congruente. Ştim că în triunghiuri congruente medianele omoloage sunt congruente. [CM] şi [DM] fiind mediane în triunghiurile echilaterale congruente ∆ABC şi ∆ADC, rezultă că [CM] ≡ [DM] deci ∆MCD este isoscel cu baza CD şi cum [MN] este mediană a triunghiului, rezultă că [MN] este şi înălţime, deci MN ⊥ CD.

b) i) Dacă notăm cu a lungimea muchiei tetraedrului avem: 3

2

aCM = ;

2

aCN = .

Cu teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic NMC obţinem: ( )2 2

236 2

2 2

a a − =

de unde rezultă a = 12, deci lungimea muchiei tetraedrului este egală cu 12 cm (fig. 152).

Fig. 151

a) b) c)

(fig. 151 c)

Fig. 152

193

ii) Înălţimea tetraedrului, DO, poate fi determinată cu teorema lui Pitagora din ∆DOC,

unde DC = a = 12 cm şi 34 3

3

aOC = = cm. Se obţine 4 6DO = cm (fig. 152).

iii) At = 4⋅AABC = 4⋅2 3

4

a= 2 3a = 144 3 cm2.

V – 1

3AABC⋅DO = 48 6 cm3.

EXERCIŢII ŞI PROBLEME

1. Fie un tetraedru regulat în care am notat cu: a – muchia; h – înălţimea; R – raza cercului circumscris unei feţe; r – raza cercului înscris unei feţe; Al – aria laterală; At – aria totală; V – volumul. Să se completeze spaţiile libere din tabelul următor:

a h R r Al At V Nota 1. 9 5

2. 2 6 7

3. 108 3 7

4. 10 5

5. 250 2

3

7

6. 64 3 7

7. 4 7 (nota 7)

2. Pe înălţimea VO a tetraedrului regulat VABC, de muchie a, se ia un punct M, care se găseşte la aceeaşi distanţă de bază şi de o faţă laterală (O ∈ (ABC)) . Să se determine: a) raportul dintre volumul piramidei MABC şi volumul tetraedrului; b) unghiul dintre planele (VOB) şi (VOA). (nota 10)

3. Fie cubul ABCDA’B’C’D’ de muchie a. Să se determine: a) Aria şi volumul piramidei triunghiulare regulate ABDA’. b) Unghiul dintre DA’ şi BC’. c) Aria şi volumul tetraedrului regulat A’BDC’; d) Distanţa de la A’ la planul BDC’. (nota 9)

4. Fie un tetraedru regulat în care distanţa de la un punct M de pe înălţimea sa la bază

şi la o faţă laterală este de 6 cm. Să se determine: a) aria laterală a tetraedrului; b) volumul tetraedrului; c) aria totală a piramidei cu vârful în M şi bază, o faţă a tetraedrului. (nota 10)

5. Un tetraedru regulat ABCD are muchia a. O furnică se deplasează pe feţele ABD şi BCD, plecând din A şi ajungând în C şi apoi din A în mijlocul lui CD, pe drumul cel mai scurt. Cele două drumuri intersectează pe DB în M şi pe DC în N. Să se determine MN.

(nota 10) 6. Se dau două tetraedre regulate. Muchia unuia este cât apotema celuilalt. Să se determine raportul ariilor şi raportul volumelor lor. (nota 7)

194

A

B C

D

O

M NP

A’

B’

7. Fie VABC un tetraedru regulat şi P mijlocul muchiei VC. a) Să se arate că VC ⊥ (PAB). b) Să se afle raportul dintre volumele piramidelor VABP şi PABC. c) Să se arate că ariile totale ale acestor piramide sunt egale. d) Ce poziţie trebuie să aibă P pe VC, pentru ca aria triunghiului ABP să fie minimă? (nota 10)

8. Demonstraţi că, într-un tetraedru regulat, suma distanţelor De la centrul uneia dintre feţe la feţele laterale este egală cu înălţimea tetraedrului (fig. 153). (nota 10)

V.9 Piramida hexagonală regulată

Desfăşurarea piramidei haxagonale regulate (fig. 154 a şi 154 b)

Ab =2 23 3 3 3

2 2

a R= ; Al =

2b pP a⋅

; At = Al + Ab; V = 3bA h⋅; OM =

3

2

a; a = R.

(fig. 154 c şi 154 d)

Problemă rezolvată:

Într-o piramidă hexagonală regulată VABCDEF, înălţimea [VO] este de 6 3 dm, iar unghiul format de o muchie laterală cu planul bazei are măsura egală cu 60˚. Determinaţi: a) muchia bazei şi apotema piramidei; b) aria laterală, aria totală şi volumul piramidei; c) cosinusul unghiului format de o faţă laterală a piramidei cu planul bazei.

Rezolvare: a) Măsura unghiului format de muchia VB cu planul bazei este egală cu măsura unghiului VBO, deoarece proiecţia dreptei VB pe planul bazei este dreapta OB.

Fig. 154

a) b)

d) c)

Fig. 153

232

REZULTATE, INDICAŢII, SOLUŢII, COMENTARII

ALGEBRĂ. CAPITOLUL I. Numere reale. I. 1. ���� ⊂⊂⊂⊂ ���� ⊂⊂⊂⊂ ���� ⊂⊂⊂⊂ ����. Exerciţii de recunoaştere a numerelor întregi, raţionale, iraţionale. 1. a) 0,625; 0,28; 0,024; 0,0125; 0,075; 0,08(3); b) 0,(03); 0,(025641); 0,(571428); 0,4375; 0,22; 0,(6); c) 1,1(6); 0,0625; 1,(285714); 0,15625; 0,14(6). 2. a) �; b) �; c) �; d) �; e) �*; f) �; g) �; h) �; i) �; j) ∅; k) �–; l) ∅; m) ∅. 3. a), b), c), h) periodică simplă; d), e), g), j) periodică mixtă; f), i) un număr finit de zecimale.

4. a) 9 63 9 10 60 5 7; ; ; ; ; ;

5 20 20 3 11 37 6− ; b)

131 1001;

90 900;

617 9 31; ;

4995 50 6− ; c)

41631 712 11 211; ; ;

9990 225 9 900− ;

d)45 7 11 3

;2 ;1 ;311 60 12 16

. 5. a) 3; b) 7; c) 1. 6. M = {7; 9; 20; 107}; P = {–6; 9; 7; –10; 20; 107; –38};

T = {1,3(6); –1,5; –3,1(6); –6; 9,7; 3

5− ;

7

6; 7,167; –4,(15); –10; 20;107; –38}; S = { 3 ; – 5 ; π;

– 3 2 ; 5 6 ; –π; 11 ; – 2 }. 7. a) A; b) A; c) F; d) A; e) A; f) A; g) A; h) F; i) A; j) F; k) A; l) A. 8. D12 = {–12; –6; –4; –3; –2; –1; 1; 2; 3; 4; 6; 12}; D–8 = {–8; –4; –2; –1; 1; 2; 4; 8}; D–14 = {1; 2; 7; 14}.

9. A = {5, 6, 8, 12}; B = {1, 2, 4, 5, 8, 13}; C = {–2}; D = {5, 9}2

1

x

x

+

−∈ � ⇒ x – 1/ x + 2 ⇒ x – 1/ (x – 1) + 3 ⇒

⇒ x – 1/3 ⇒ x – 1 ∈ {–3, –1, 1, 3} ⇒ E = {2, 4}; F = {0, 2};( 1)

2 1

x x

x

+

+∈ � ⇒ 2x + 1/x2 + x ⇒

⇒ 2x + 1/2x2 + 2x ⇒ 2x + 1/x(2x + 1) + x ⇒ 2x + 1/x ⇒ 2x + 1/2x ⇒ 2x + 1/(2x +1) – 1 ⇒ ⇒ 2x + 1/1 ⇒ 2x + 1 ∈ {–1, 1} ⇒ G = {0; –1}; H = {(–6, 1), (6, –1), (–2, 3), (3, –2), (1, –6), (2, –3), (–3, 2),

(–1, 6)}; I = {–4, –2, –1, 1}. 10. a) 21; b) 31; c) 123; d) 1,5, e) 2,5; f) 1,01; g) 5

7; h)

13

15; i)

11113

; j) 5

4;

k) 31

12; l)

9213

. 11. (x, y) ∈ {(2, 5), (5, 6), (8, 9)}. 12. a) Presupunem că 6 ∈ �. Putem scrie 6m

n= ,

unde m, n ∈ �*, (m, n) = 1. Avem: 6 = 2

2

m

n ⇒ 6n2 = m2 ⇒ 2/m2, 2 prim ⇒ 2/m ⇒ m = 2k (k ∈ �*) şi,

deci 6n2 = 4k2 ⇒ 3n2 = 2k2 ⇒ 2/n, contradicţie; b) 5n + 2 şi 5n + 3 nu sunt pătrate perfecte oricare ar fi n ∈ �; c) Produsul 1⋅2⋅3⋅...⋅100 se divide cu 97 şi nu se divide cu 972, deci nu este pătrat perfect etc.; d) Ultima cifră a numărului 1⋅2⋅3⋅...⋅2000 + 2 este 2, deci nu este pătrat perfect. 13. a) Presupunem prin

absurd că 5 + 3 = r, r ∈ �, rezultă 5 = r – 3 ∈ �, contradicţie; d) Presupunem prin absurd că

5 + 3 = r, r ∈ �, rezultă 5 = r – 3 ⇒ 5 = r2 – 2r 3 + 3 ⇒ 3 = 2 2

2

r

r

− ∈ �, contradicţie;

f) ( )229 12 5 3 2 5+ = + = 3 + 2 5. 14. a) [–5,16] = – 6; {– 5,16} = 0,84; b) [3,14] = 3; {3,14} = 0,14;

c) [4,(7)] = 4; {4,(7)} = 7

9; d)

10

4

= 2; 10 1

4 2 =

; e) 4

5 65

− = − ;

4 155 5

− =

; f) 9

34

− = − ;

9 3

4 4 − =

; g) 2 3

02 4

n

n

+ = + ;

2 3 2 3

2 4 2 4

n n

n n

+ + = + +

; h) 3 5

3 4

n

n

+

+= 1 +

1

3 4n + etc; i) 4 < 17 < 5, deci

[ 17 ] = 4 şi { 17 } = 17 – 4; j) [ 7 – 2] = 0; { 7 – 2} = 7 – 2; k) [ 13 – 4] = –1; { 13 – 4}= 13 – 3.

15. a)1

2013 2(1 2 3 ... 2012) 2013 2+ + + + + = +2012·2013

· 2

2

1

2013 2012·2013 2013 2013= + = = ∈�,

deci propoziţia este adevărată; b) 2 2 2343 – (336 7·336) 343 – 336·343+ = = 343·7 = 47 = 72 ∈ �, deci

propoziţia este adevărată; c)1 1 1 1

...10·11 11·12 12·13 99·100

+ + + + =1 1 1 1 1 1 1 1– – – ... –

10 11 11 12 12 13 99 100+ + + + =

269

19. a) Reduceţi la absurd. Ipoteza A’, B’, C’ coliniare implică OA, OB, OC sunt drepte coplanare, ceea

ce este absurd. b) Se arată că ' ' 'OA OB OC

OA OB OC= = şi cu reciproca teoremei lui Thales rezultă A’B’ ∥ AB şi

B’C’∥ BC şi urmează (A’B’C’) ∥ (ABC). c) Fie OM ⊥ (ABC), M ∈ (ABC) şi OM ∩ (A’B’C’) = {M’}

(fig. 212). Cel puţin două dintre punctele A, B, C sunt diferite de M. Presupunem B ≠ M şi rezultă

B’ ≠ M’. Se arată că B’M’ ∥ BM (intersecţiile a două plane paralele cu un al treilea plan sunt două

drepte paralele) şi rezultă că ∆BOM ∼ ∆B’O’M’ etc. MM’ = 16 cm.

II. 10. Înălţimea prismei. 1. a) dreptunghiuri; b) dreaptă. 2. a) F; b) A; c) A. 3. BB’ ⊥ BC şi AA’ ∥ BB’

implică AA’ ⊥ BC. Cum AA’ ⊥ AD, iar AD şi BC sunt concurente, rezultă AA’ ⊥ (ABC), deci

ABCDA’B’C’D’ este prismă dreaptă. 4. congruente. 5. Feţele ABB’A’ şi CDD’C’ fiind pătrate, avem (1) AA’⊥ AB şi (2) CC’ ⊥ CD. Cum AA’ ∥ CC’, rezultă (3) AA’ ⊥ CD. Din (1) şi (3)rezultă că AA’ este

perpendiculară pe planul bazei, deci prisma este dreaptă şi cum baza este poligon regulat, prisma este prismă regulată. Atunci aria laterală este egală cu 6AABB’A’. Se obţine AB = 4 cm, Al = 6 · 16 cm

2 = 96 cm2.

6. Din AABC = 9 3 cm2 se deduce că AB = 6 cm. Aria laterală a prismei este 126 3 cm2 – 2 · 9 3 cm2 =

= 108 3 cm2 şi cum feţele laterale sunt congruente, rezultă că aria unei feţe laterale este egală cu

36 3 cm2. Se obţine h = 6 3 cm.

II. 11. Secţiuni paralele cu baza în corpurile geometrice studiate. Trunchiul de piramidă. 1. Prin secţionarea prismei ABCA’B’C’ cu planul (MNP) se obţin prismele triunghiulare regulate

ABCMNP şi MNPA’B’C’. a) Raportul ariilor laterale este egal cu 3· ·

2.3· ' '· ' '

AB AM AM

A B MA MA= =

b) AB = 6 2 cm, AABC = AA’B’C’ = AMNP = 18 3 cm2. Raportul ariilor totale este egal cu

' ' '

3· · 2 3·6 2·4 6 36 3 5.

3· ' '· ' 2 33·6 2·2 6 36 3ABC

A B C

AB AM

A B MA

+ += =

+ +

A

A 2. Dacă notăm cu a latura bazei şi cu h înălţimea prismei,

atunci suma ariilor totale ale celor două prisme este 4a2 + 4ah. Se obţine ecuaţia 4a2 + 4a · 1,5a = 360, de unde a = 6 (cm) şi h = 9 cm. 3. Corpurile obţinute sunt paralelipipede dreptunghice (fig. 213). Dacă

notăm AB cu a şi AM cu x se obţine ecuaţia 2

2

2 4 1

22 4 ( )

a ax

a a a x

+=

+ − echivalentă cu x =

6

a, deci

1

' 5

AM

MA= . 4. Corpurile care se obţin sunt de asemenea prisme triunghiulare regulate (fig. 214).

Fig. 212

Fig. 211

Fig. 210