193

8.

PLĂCI ŞI STRUCTURI DIN PLĂCI

8.1. Generalităţi

O placă este un corp solid care are una dintre dimensiuni

(grosimea) mai mică decât celelalte două şi poate fi privit ca

“materializarea” unei suprafeţe, aşa cum o bară este materializarea

unei linii. O placă se defineşte, în general, prin forma şi dimensiunile

“suprafeţei mediane”, iar în fiecare punct al acesteia, se consideră o

normală pe care se defineşte grosimea, h, de o parte şi de alta a

suprafeţei mediane, prin valorile h/2.

Plăcile au o importanţă deosebită în ingineria mecanică, deoarece

numeroase structuri au în componenţa lor plăci de o foarte mare

varietate de forme şi dimensiuni. Este cazul echipamentelor

energetice, chimice, siderurgice, al maşinilor unelte şi de lucru,

vehiculelor auto, navale şi feroviare, al unor cupole şi acoperişuri etc.

Structurile mecanice se realizează prin “asamblarea” diverselor plăci

componente prin sudură, turnare, nituire etc, sau prin combinaţii ale

acestor procedee.

Calculul plăcilor şi structurilor din plăci este dificil, deoarece se

ajunge la sisteme de ecuaţii cu derivate parţiale, greu de integrat.

Chiar pentru probleme relativ simple volumul calculelor este foarte

mare. De asemenea, trebuie făcut calcul static, dinamic, de vibraţii,

de stabilitate etc.

Chiar la începuturile teoriei elasticităţii şi rezistenţei materialelor

s-a ajuns la concluzia că pentru plăci trebuie elaborată o “teorie”

proprie, deoarece nu este posibilă utilizarea ecuaţiilor generale (5.10)

ale teoriei elasticităţii (din nou se poate face o paralelă cu barele).

Teoria plăcilor face o serie de ipoteze simplificatoare, unele generale,

de principiu şi altele “de calcul”, prin care se neglijează unii termeni

din ecuaţiile sau soluţiile respective. Din aceste motive s-a ajuns în

situaţia „de fapt” că se utilizează mai multe variante ale teoriei

194

plăcilor, fiecare având delimitările, precizia, avantajele şi

dezavantajele sale.

Încercările de a elabora o “teorie generală a plăcilor” au fost

abandonate datorită dificultăţilor de calcul. Prin urmare, în prezent,

din considerente practice, se folosesc în inginerie teorii distincte

pentru, cel puţin, următoarele categorii de plăci:

- plăci subţiri (cu grosime mică), cu deformaţii şi deplasări mici;

- plăci subţiri, cu deplasări mari;

- plăci groase.

De asemenea, s-au elaborat teorii şi relaţii de calcul pentru

plăcile curbe şi pentru cele plane, care, la rândul lor, se împart în

plăci de rotaţie (în general), cilindrice, sferice, conice, toroidale etc,

respectiv plăci plane dreptunghiulare, circulare etc. O placă plană

poate fi privită ca un caz particular al unei plăci curbe şi anume o

placă curbă cu curbură nulă.

Conceptul de grosime mică sau mare a plăcii, determină

posibilităţile de neglijare a unor termeni din ecuaţiile sau relaţiile de

calcul pentru plăcile subţiri. Placă subţire se consideră cea pentru

care grosimea este relativ mică în comparaţie cu raza de curbură sau

cu dimensiunile plăcii şi anume:

- dacă placa este curbă, raportul dintre grosimea h şi raza de

curbură principală R trebuie să satisfacă condiţia h/R < 10…20;

- dacă placa este plană, raportul dintre grosimea h şi lungimea

(sau lăţimea plăcii) ℓ trebuie să satisfacă condiţia h/ℓ < 10…20.

Deplasarea w a plăcii pe direcţia normalei la suprafaţa mediană

se consideră mică, dacă w/h < 5…10, iar placa se consideră

cu deplasări mici.

În cadrul categoriilor menţionate, de obicei, se consideră că

plăcile sunt elastice, calculul în regim elasto-plastic de solicitare

fiind foarte dificil.

S-au impus, de asemenea, teorii şi relaţii de calcul distincte

pentru plăci plane şi pentru plăci curbe (învelişuri), deoarece există o

diferenţă esenţială în privinţa efectului sarcinilor exterioare asupra

plăcilor curbe, comparativ cu cele plane:

1. Echilibrul static al unui element de placă plană, încărcat cu o

sarcină transversală, este posibil numai datorită “apariţiei”

195

momentelor încovoietoare şi de răsucire, însoţite, de obicei şi de

forţe tăietoare.

2. O placă curbă, în general, transmite sarcinile exterioare către

reazeme prin solicitările “de membrană”, care acţionează paralel cu

planul tangent la suprafaţa mediană a plăci, din punctul considerat,

tensiunile (normale, σ, de întindere sau compresiune) fiind constante

pe grosime, studiul acestei probleme făcând obiectul teoriei de

membrană a plăcilor. Această proprietate a plăcilor curbe subţiri le

face, de regulă, să fie mult mai rigide şi mai eficiente decât plăcile

plane, în aceleaşi condiţii de solicitare, de rezemare şi de material

(aspectele tehnologice nu se comentează aici). În principiu,

solicitările de membrană sunt independente de deformaţiile produse

de solicitările de încovoiere, răsucire şi forfecare (când acestea sunt

mici).

Reacţiunile şi deplasările obţinute cu teoria de membrană în

zonele de margine sunt, de regulă, incompatibile cu condiţiile reale

de pe frontieră (contur, margine), motiv pentru care, trebuie avută în

vedere şi încovoierea în aceste zone, care, în general, are efecte

locale.

Pentru studiul tensiunilor în vecinătatea sarcinilor concentrate

aplicate plăcilor, trebuie folosite teorii „speciale”, specifice

problemelor spaţiale ale teoriei elasticităţii.

Calculul structurilor din plăci se poate face numai cu ajutorul

calculatoarelor, fie pentru cazuri particulare, ca cel al structurilor

axial simetrice (de rotaţie), pentru care s-au elaborat algoritmi şi

programe adecvate, fie, în cazul general, cu metode numerice, ca

metoda elementelor finite, metoda diferenţelor finite sau metoda

elementelor de frontieră.

Din considerente didactice, în continuare, se vor prezenta doar

câteva probleme (relativ simple) ale plăcilor subţiri, elastice, cu

deplasări mici.

Ipotezele care se au în vedere în teoria plăcilor subţiri, elastice,

cu deplasări mici sunt următoarele:

- suprafaţa mediană a plăcii este “inextensibilă”, adică în ea nu se

produc deformaţii de întindere sau compresiune: suprafaţa mediană

196

rămâne neutră la încovoierea plăci, ceea ce se realizează dacă

suprafaţa este desfăşurabilă;

- o normală rectilinie la suprafaţa mediană, nedeformată a plăcii,

rămâne rectilinie şi normală la suprafaţa mediană, deformată, a

plăcii;

- tensiunile normale σ, pe direcţia normalei la suprafaţa mediană

a plăcii sunt mici şi se neglijează.

De asemenea, se face precizarea că, pentru plăci, eforturile se

definesc pe unitatea de lungime în planul median, adică forţele axiale

şi cele tăietoare au unităţile de măsură N/mm, iar momentele

Nm/mm, sau variante ale acestora.

8.2. Plăci curbe subţiri elastice

O placă curbă subţire este definită de o suprafaţă mediană curbă.

După forma suprafeţei mediane, plăcile se clasifică în plăci cu

curbură simplă şi plăci cu dublă curbură. În geometria diferenţială a

suprafeţelor se demonstrează că există totdeauna două secţiuni

realizate cu plane care conţin normala, perpendiculare între ele, în

care razele de curbură au valori extreme, ρ1 şi ρ2. Curburile

corespunzătore, cea maximă, 1/ρ1, respectiv, 1/ρ2, minimă, se

numesc curburile principale ale plăcii.

Raza de curbură, ρ, într-un plan care face unghiul υ cu planul

principal I (relaţia lui Euler), este:

2

2

1

2 sincos1

. (8.1)

În geometria suprafeţelor (şi în teoria plăcilor curbe) se folosesc

şi mărimile:

-curbura totală sau curbura lui Gauss: K=1/ρ1ρ2; (8.2)

-curbura medie: H = 1/ρ1 + 1/ρ2 . (8.3)

a b c

Figura 8.1

197

Când curbura lui Gauss este pozitivă (K>0), curburile principale

au acelaşi semn, suprafaţa este convexă şi se numeşte sinclastică

(elipsoidul, sfera, paraboloidul de rotaţie), ca în figura 8.1.a, iar când

K<0, curburile principale au semne contrare, suprafaţa are forma de

şa şi se numeşte anticlastică (hiperboloidul de rotaţie, paraboloidul

hiperbolic, elicoizii, fig. 8.1.b). Dacă una dintre curburile principale

este nulă (K=0), suprafaţa este cu simplă curbură (cilindrul, conul,

fig. 8.1.c), iar când ambele curburi sunt nule, placa este plană.

Cele mai utilizate plăci curbe în inginerie au suprafeţe mediane

care sunt de următoarele tipuri:

- de rotaţie: generate de drepte sau curbe plane care se rotesc în

jurul unei axe conţinută în planul respectiv;

- cilindrice: generate de o dreaptă care se deplasează rămânând

paralelă cu ea însăşi şi se sprijină pe o curbă directoare;

- suprafeţe riglate: generate de o dreaptă care se deplasează după

o anumită lege;

- suprafeţe oarecare: generate în moduri diferite de cele de mai

sus, prin diverse combinaţii ale modalităţilor prezentate sau prin

îmbinarea unor „fragmente” de suprafeţe „clasice”.

Din cele de mai sus rezultă marea varietate a formelor

geometrice ale plăcilor curbe, la care trebuie adăugate şi gama

dimensiunilor, materialelor, tehnologiilor de fabricaţie etc.

Eforturi şi tensiuni.

Se consideră un element cu dimensiuni infinit mici, dx şi dy,

detaşat dintr-o placă curbă subţire, cu două perechi de plane

paralele, normale între ele, ca în figura 8.2.a, pe care s-a notat şi

grosimea h şi razele de curbură ρx şi ρy ale suprafeţei mediane în

planele secţiunilor.

Se presupune curbura totală K >0.

Într-un punct situat la distanţa z de suprafaţa mediană starea de

tensiuni este definită de componentele σx, σy, τxy = τyx şi τxz, τyz (v. fig.

8.2.a). Se observă că arcele situate la distanţa z de suprafaţa mediană

au lungimile dx+(z/ρx)dx, respectiv dy +(z/ρy)dy.

Efortul circumferenţial Nx este:

2h

2h y

xxdzdy

zdydyN ,

198

care se simplifică cu dy, deoarece nu variază cu z şi rezultă relaţia de

echivalenţă mecanică dintre tensiunea σx şi efortul Nx

2h

2h y

xxdz

z1N .

Analog, se obţine şi efortul axial

2h

2h x

yydz

z1N . (8.1.a)

Procedând asemănător rezultă şi expresiile pentru celelalte eforturi:

- eforturile tangenţiale

2h

2h y

xyxydz

z1T ;

2h

2h x

yxyxdz

z1T ; (8.1.b)

- eforturile de forfecare

2h

2h y

xzxdz

z1T ;

2h

2h x

yzydz

z1T ; (8.1.c)

- momentele încovoietoare

2h

2h y

xxdz

z1zM ;

2h

2h x

yydz

z1zM ; (8.1.d)

a b

Figura 8.2

199

- momentele de răsucire

2h

2h y

xyxydz

z1zM ;

2h

2h x

yxyxdz

z1zM . (8.1.e)

În figura 8.2.b s-au reprezentat eforturile definite prin relaţiile

(8.1), momentele fiind reprezentate prin săgeţi duble. Observaţii: 1. Conform principiului dualităţii tensiunilor tangenţiale τxy = τyx,

dar, având în vedere că, în general, ρx ≠ ρy, rezultă că (a se vedea relaţiile (8.1.b) şi

(8.1.e)) pentru eforturile tangenţiale şi pentru cele de răsucire principiul dualităţii

nu mai este valabil, adică

Txy ≠ Tyx şi Mxy ≠ Myx. (8.2)

2. Notaţiile şi sensurile (pozitive) ale tensiunilor şi eforturilor din figura 8.2

sunt cele mai des utilizate, dar se folosesc, de diverşi autori şi diverse variante ale

acestora.

3. Relaţiile (8.1) se mai numesc şi relaţiile de echivalenţă mecanică dintre

tensiuni şi eforturi.

Pentru determinarea tensiunilor într-un punct al plăcii trebuie

determinate cele zece eforturi din relaţiile (8.1), dar nu sunt

disponibile decât şase ecuaţii de echilibru, adică problema este de

patru ori static nedeterminată. Cele patru ecuaţii suplimentare

necesare se pot obţine prin studiul deformaţiilor elementului de placă

avut în vedere.

Dacă grosimea h a plăcii este relativ mică în raport cu razele de

curbură ρx şi ρy, se pot neglija rapoartele z/ρx şi z/ρy în relaţiile (8.1)

şi expresiile celor zece eforturi devin:

2h

2h

yy

2h

2h

xx ;dzN;dzN

2h

2h

yzy

2h

2h

xzx

2h

2h

xyyxxy ;dzT;dzT;dzTT (8.3)

2h

2h

xyyxxy

2h

2h

yy

2h

2h

xx dzzMM;dzzM;dzzM .

Numărul eforturilor necunoscute a scăzut la opt. Pentru sistemul

spaţial de forţe şi momente din figura 8.2.b se pot scrie şase ecuaţii

200

de echilibru mecanic. Trebuie, deci, să se scrie două ecuaţii de

deformaţii.

Rigiditatea la încovoiere a plăcii.

Ca urmare a ipotezelor enunţate, într-o placă subţire, solicitată

numai la încovoiere, starea de tensiuni este plană (s-a făcut ipoteza

că σz = 0), deci

- deformaţiile specifice sunt:

εx = (σx – υσy) / E şi εx = (σx – υσy) / E; (8.4.a)

- tensiunile normale sunt:

).(1

E),(

1

Exz2yyx2x

(8.4.b)

Se consideră o secţiune a

plăcii în planul Oxz, ca în figura

8.3 şi se au în vedere punctele

A şi P, înainte ca placa să se

deformeze (punctul P se află la

distanţa z faţă de suprafaţa

mediană a plăcii). După

deformarea plăcii punctele

ajung în A’, respectiv P’.

Deplasarea u a punctului P este

u ≈ -zθx, în care θx = dw/dx, este panta tangentei dusă în punctul A’

la suprafaţa deformată, adică

u ≈ -z dw/dx. (8.5.a)

Procedând asemănător şi în planul Oyz, se obţine

v ≈ -z dw/dy. (8.5.b)

Se scriu succesiv:

-deformaţiile specifice:

εx= du / dx = -z d2w/dx

2; εy= dv / dy = -z d

2w/dy

2;

-tensiunile:

2

2

2

2

2x2

2

2

2

2xdx

wd

dy

wd

1

Ez,

dy

wd

dx

wd

1

Ez. (8.6)

Momentele încovoietoare se calculează cu relaţiile (8.3)

corespunzătoare:

Figura 8.3

201

2

2

2

2

2

32h

2h

2h

2h

2

2

2

2

2

2

xx

dy

wd

dx

wd

)1(12

Ehdz

dy

wd

dx

wd

1

EzdzzM ,

în care se notează rigiditatea la încovoiere a plăcii:

D = Eh3 / [12(1-υ

2)], (8.7)

forma finală a expresiilor celor două momente încovoietoare, în

funcţie de deplasări fiind:

2

2

2

2

y2

2

2

2

xdx

wd

dy

wdDM,

dy

wd

dx

wdDM . (8.8)

Starea de echilibru de membrană.

Pentru numeroase probleme inginereşti se pot accepta

următoarele ipoteze simplificatoare:

- tensiunile σx, σy, τxy = τyx sunt constante pe grosimea plăcii;

- tensiunile τxz şi τyz sunt nule (sau neglijabile).

În acest caz particular sunt trei eforturi necunoscute: Nx, Ny şi

Nxy=Nyx, ca în figura 8.4, pentru care se pot scrie doar trei ecuaţii de

echilibru, pentru forţe (pe direcţia normalei la suprafaţa mediană şi

pe două direcţii din planul tangent), ecuaţiile

de momente fiind identic satisfăcute.

Starea de solicitare a unei plăci curbe,

caracterizată numai prin eforturile Nx, Ny şi

Nxy=Nyx, se numeşte stare de echilibru de

membrană. Plăcile curbe aflate într-o astfel

de stare de solicitare sunt, în general, static

determinate, deoarece numărul eforturilor

este egal cu cel al ecuaţiilor de echilibru care

se pot scrie, adică, eforturile pot fi determinate doar din ecuaţiile de

echilibru, condiţii de deformare a plăcii ne fiind necesare. Observaţii: 1. Starea de solicitare de membrană într-o placă curbă nu se

poate realiza pentru orice condiţii de încărcare şi rezemare. De exemplu,

pentru o sarcină concentrată, cel puţin în zona din vecinătatea punctului de

aplicaţie, trebuie să se ţină seama de efectele de încovoiere, deoarece ele nu pot fi neglijate.

2. Rezemarea plăcii trebuie să se facă astfel încât reacţiunile să

acţioneze în planul tangent la suprafaţa mediană. În general această condiţie este greu de îndeplinit din cauza deformaţiilor plăcii sau din cauza

Figura 8.4

202

deplasărilor reazemului. Prin urmare, foarte frecvent în zonele de rezemare

apar solicitări de încovoiere locale, valorile lor scăzând foarte repede la distanţe relativ mici de reazem.

8.3. Metodologia generală de analiză a plăcilor subţiri

elastice

Pentru a stabili ecuaţiile diferenţiale ale plăcilor (curbe sau

plane) de regulă, primele trei etape “metodologice” sunt aceleaşi cu

cele care s-au prezentat în § 5.1, intitulat “Sistemul de ecuaţii al

teoriei elasticităţii” şi anume:

1. Se scriu ecuaţiile de echilibru pentru elementul de placă

considerat, sub acţiunea eforturilor (v. fig. 8.2.b) şi a unei sarcini

aplicată în centrul elementului, acesta reprezentând aspectul mecanic

al problemei. Pentru aceasta trebuie să se facă ipoteze asupra

tensiunilor care se au în vedere şi a eforturilor corespunzătoare.

2. Se scriu relaţiile între deplasări şi deformaţii specifice,

denumite şi relaţii de compatibilitate geometrică, care reprezentă

aspectul geometric al problemei. Aceasta este, de regulă, etapa cea

mai dificilă a demersului. Pentru scrierea acestor relaţii se consideră

modul în care se deformează placa, se aleg componentele

deplasărilor care urmează să se considere în calcul şi care sunt

deformaţiile specifice pe care le produc.

3. Se scriu relaţiile dintre tensiuni şi deformaţiile specifice

(lege lui Hooke), ceea ce reprezintă aspectul fizic al problemei.

4. Se fac diverse operaţii de calcul asupra ecuaţiilor obţinute, cu

scopul de a le aduce la forme mai simple, de exemplu: se neglijează

unii termeni, se fac înlocuiri ale unor expresii în altele, cu scopul

eliminării unora dintre necunoscute etc. În final se ajunge la una sau

mai multe ecuaţii diferenţiale în care, cel mai frecvent, necunoscutele

sunt componente ale deplasărilor unui punct al suprafeţei mediane a

plăcii, adică ecuaţiile obţinute sunt scrise „în funcţie de deplasări” şi

pot fi omogene sau neomogene, lineare sau nelineare, cu sau fără

derivate parţiale.

5. Se integrează ecuaţia diferenţială (sau sistemul) şi se

determină o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene (dacă este

cazul). Soluţiile pot fi “închise”, pentru probleme mai simple, sau pot

fi de forma unor dezvoltări în serie, cu un număr oarecare de

203

termeni, pentru probleme mai complicate, caz în care precizia

soluţiei depinde de numărul termenilor luaţi în calcul.

Metodele de calcul folosite pentru integrarea ecuaţiilor plăcilor

sunt de o mare diverse: analitice, cu funcţii de variabile complexe,

numerice etc. Soluţiile găsite conţin un număr de constante de

integrare, pentru aflarea cărora se pot utiliza alte metode de calcul: a

colocaţiei, a celor mai mici pătrate etc.

6. Pentru calculul unei plăci date trebuie scrise condiţiile la

limită şi de rezemare, pentru determinarea constantelor de integrare,

ale căror valori se înlocuiesc în soluţia ecuaţiei.

7. Relaţiile de calcul obţinute permit determinarea valorilor

deplasărilor şi tensiunilor în punctele de interes ale plăcii. În

numeroase situaţii starea de tensiuni din placă este spaţială, ceea ce

implică utilizarea unei teorii de stare limită, pentru a verifica dacă

placa rezistă în bune condiţii.

Chiar pentru probleme relativ simple volumul calculelor este

considerabil, motiv pentru care, în prezent, plăcile şi structurile din

plăci se calculează cu metode şi programe adecvate, pe calculator.

8.4. Plăci curbe subţiri de rotaţie, în stare de solicitare şi de

echilibru de membrană

Plăcile curbe de rotaţie se definesc prin suprafeţe mediane

generate prin rotirea unei curbe plane, C, denumită meridian, în jurul

unei drepte, Δ, din planul ei, care este axa plăcii, ca în figura 8.5.

Figura 8.5

Un punct A de pe curbă descrie un cerc de rază r, denumit cerc

paralel. Fie raza de curbură, ρ1= O1A, în punctul A. A doua secţiune

principală este perpendiculară pe prima şi conţine normala din

204

punctul A. Raza ei de curbură se obţine prin aplicarea teoremei lui

Meusnier şi are valoarea O2A = ρ2 = r sin υ.

Ca o consecinţă a simetriei, poziţia unui punct pe suprafaţa

mediană a plăcii este foarte simplu de definit prin două unghiuri (fig.

8.6.a):

- υ – unghiul dintre axa de rotaţie şi normala la suprafaţă;

- θ – unghiul dintre un plan meridian oarecare şi planul meridian

de referinţă, de exemplu, cel care trece prin punctul A.

Pentru a determina eforturile din placa curbă considerată, se

defineşte un patrulater curbiliniu, infinit mic ABCD, ca în figura

8.6.a, cu laturile:

AD = BC = ρ1dυ, AB = r dθ şi CD = [r + (dr/dυ) dυ].

Pe suprafeţele laterale ale elementului acţionează eforturile „de

membrană” reprezentate în figura 8.6.b. De asemenea, s-a considerat

şi o sarcină distribuită, p, cu componentele px , py şi pz. Eforturile se

consideră pozitive când:

a b

Figura 8.6

- Nθ şi Nυ - produc solicitări de întindere;

- Tθυ şi Tυθ - au sensurile inverse acelora de creştere a

unghiurilor θ şi υ.

Pentru forţele care acţionează asupra elementului de placă din

figura 8.6.b se scriu trei ecuaţii de echilibru.

1. Ecuaţia de proiecţie pe direcţia tangentei la cercul paralel, Ox, (fig.

8.6.b şi 8.7) duce la o relaţie “stufoasă”, care se simplifică foarte

mult după ce se fac următoarele operaţii:

- sin dε/2 ≈ dε/2 şi cos dε/2 ≈1;

- se neglijează infiniţii mici de ordin superior;

205

- se are în vedere că dε = cos υ

- ecuaţia se împarte cu dθ.dυ.

Figura 8.7

Forma finală a ecuaţiei este:

0prcosTT

rr

TN

x111

. (8.9)

2. Ecuaţia de proiecţie pe direcţia tangentei la meridian, Oy, (fig.

8.6.b şi 8.8) se obţine procedând asemănător ca pentru ecuaţia (8.9)

şi rezultă:

0prcosNTN

rr

N y111

. (8.10)

Figura 8.8 Figura 8.9

3. Ecuaţia de proiecţie pe direcţia normalei la suprafaţa mediană,

Oz, (fig. 8.6.b şi 8.9) se obţine, procedând asemănător ca pentru

ecuaţiile (8.9) şi (8.10) şi rezultă:

z

21

pNN

, (8.11.a)

206

sau, prin împărţirea cu grosimea h (având în vedere că tensiunile sunt

constante pe grosime), se obţine ecuaţia lui Laplace

h

pz

21

. (8.11.b)

Observaţie: În figurile 8.7, 8.8 şi 8.9 s-au reprezentat numai eforturile care

intervin în ecuaţia la care se referă fiecare figură. Relaţiile (8.9), (8.10) şi (8.11) constituie un sistem de trei ecuaţii

având ca necunoscute funcţiile Nθ, Nυ şi Tθυ=Tυθ – eforturile “de

membrană” din placă. Se observă că relaţia (8.11) nu este

diferenţială, ceea ce permite eliminarea unuia dintre eforturile Nθ sau

Nυ şi astfel sistemul de ecuaţii rămas are două ecuaţii cu două

necunoscute. Integrarea acestui sistem de ecuaţii este, în general,

dificilă. În cazuri particulare, ca, de exemplu, pentru plăci cu

încărcare simetrică faţă de axa de rotaţie, ecuaţiile se simplifică şi

integrarea lor devine posibilă.

8.5. Plăci cilindrice subţiri

Se consideră o placă cilindrică (cu secţiune inelară), cu raza, r, a

suprafeţei mediane, grosimea, h, constantă, încărcată cu o sarcină, p,

simetric distribuită în raport cu axa cilindrului (o presiune).

În placă s-a definit un element infinit mic, ca în figura 8.10,

pentru care se vor scrie ecuaţiile de echilibru.

Figura 8.10

Datorită simetriei axiale, eforturile din placă sunt:

- forţele tăietore de membrană Txυ=Tυx şi momentele de răsucire

Mxυ=Mυx sunt nule;

207

- forţele normale Nυ şi momentele încovoietoare Mυ sunt

constante de-a lungul circumferinţei.

În aceste condiţii se pot scrie numai trei ecuaţii de echilibru

pentru eforturile care acţionează asupra plăcii:

- proiecţia forţelor după direcţia x

0ddxrdx

dNx ; (8.12)

- proiecţia forţelor după direcţia z

0ddxrpddxNddxrdx

dTx ; (8.13)

- suma momentelor după direcţia y

0ddxrTddxrdx

dMx

x . (8.14)

Din relaţia (8.12) rezultă că efortul axial Nx este constant. Se va

considera că Nx = 0. În cazul în care există efort axial, deformaţiile şi

tensiunile produse de acesta se pot calcula foarte simplu şi se

însumează cu celelalte.

Ecuaţiile (8.13) şi (8.14) se simplifică şi devin

pNr

1

dx

dTx şi 0Tdx

dMx

x , (8.15)

pentru integrarea cărora trebuie avut în vedere şi modul de deformare

al plăcii.

Deformaţiile specifice sunt (fig. 8.10):

dx

dux şi

r

w

dr

drd)wr(

. (8.16)

Ca urmare a simetriei axiale, deplasarea v în direcţie

circumferenţială este nulă.

Cu legea lui Hooke se determină tensiunile

,dx

du

r

w

)1(

E)(

)1(

E

;r

w

dx

du

)1(

E)(

)1(

E

2x2

2x2x

(8.17)

care permit calculul eforturilor, cu relaţiile (8.3), având în vedere că

tensiunile sunt constante pe grosimea, h, a plăcii:

208

dx

du

r

w

)1(

EhN;

r

w

dx

du

)1(

hEN

22x . (8.18)

Aplicând condiţia Nx = 0 primei relaţii (8.18), se obţine du/dx =

ν w/r, care, înlocuit în a doua dintre relaţiile (8.18) duce la rezultatul

Nυ = - Ehw / r. (8.19)

Din relaţiile (8.15) se elimină forţa tăietore Tx şi se obţine ecuaţia

pwr

hE

dx

Md22

x

2

. (8.20)

Datorită simetriei axiale, deplasarea w este constantă în direcţie

circumferenţială, adică dw/dυ=0 şi relaţiile (8.8) devin:

x2

2

2

2

x Mdx

wdDM,

dx

wdDM . (8.21)

În aceste condiţii ecuaţia (8.20) devine

pwr

hE

dx

MdD

24

x

4

, (8.22)

care capătă o formă mai simplă dacă se introduce notaţia

22

2

2

4

hr

)1(3

Dr4

hE (8.23)

şi anume

D

pw4

dx

wd 4

4

4

, (8.24)

în care D este rigiditatea la încovoiere a plăcii definită prin relaţia

(8.7).

Soluţia generală a ecuaţiei (8.24) este

w=eβx

(C1cosβx+C2sinβx)+e-βx

(C3cosβx+C4sinβx)+f(x), (8.25)

în care f (x) este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene (8.25), iar

C1,…,C4 sunt constante de integrare, care se determină din condiţiile

de la cele două capete ale cilindrului (pentru x = 0 şi x = ℓ),

considerat de lungime ℓ. Aceste condiţii pot avea în vedere:

- deplasările: săgeata radială w şi rotirea normalei dw/dx;

- eforturile: momentele încovoietoare, Mυ şi Mυ, care se

calculează cu relaţiile (8.21); forţa tăietore, care se determină din cea

de a doua relaţie (8.15) şi anume Tx=dMx/dx şi forţa circumferenţială

Nυ= -Ehw/r din relaţia (8.19).

209

8.6. Plăci plane subţiri

Se consideră o placă plană, dreptunghiulară, de grosime

constantă, h, solicitată cu sarcini transversale şi orizontale, raportată

la sistemule de coordonate Oxyz, ca în figura 8.11.

Mare parte din procedurile şi

relaţiile de calcul prezentate

rămân valabile, având în vedere

că o placă plană este un caz

particular al unei plăci curbe: are

curburile zero (razele de curbură infinite).

Se reiau relaţiile (8.6) ale tensiunilor scrise în funcţie de

deplasări, care se completează cu tensiunile tangenţiale, având în

vedere (8.5) şi xyxy

2

xy)1(2

E;yx

wz2

y

u

x

v

.

Forma completă a relaţiilor (8.6) este:

Figura 8.12 .

yx

w

1

Ez

,x

w

y

w

1

Ez

,y

w

x

w

1

Ez

2

xy

2

2

2

2

2x

2

2

2

2

2x

(8.26)

Din observarea relaţiilor (8.26) se constată că tensiunile σx, σy şi

τxy variază linear pe grosimea plăcii, aşa cum se vede în figura 8.12.

În cazul general de solicitare a plăcii mai există şi tensiuni

tangenţiale τxz şi τyz, paralele cu direcţia Oz, normală la suprafaţa

mediană, ca în figura 8.2.a. Pentru determinarea acestor tensiuni se

folosesc relaţiile de echilibru Cauchy (5.1), fără sarcini masice, din

care se obţine:

yx

w

y

w

1

zE

xyz

,yx

w

x

w

1

zE

yxz

2

3

3

3

2

yxyyz

2

3

3

3

2

xyxxz

. (8.27)

Ecuaţiile (8.27) se integrează în raport cu z şi rezultă:

Figura 8.11

210

)y,x(2

z

yx

w

y

w

1

E

,)y,x(2

z

yx

w

x

w

1

E

2

2

2

3

3

3

2yz

1

2

2

3

3

3

2xz

, (8.28)

în care υ1(x,y) şi υ2(x,y) sunt funcţii arbitrare, care se determină din

condiţia ca tensiunile tangenţiale τxz şi τyz să aibă valori nule pe

suprafeţele plăcii, adică pentru z = ± h/2 şi se obţine:

.yx

w

y

w

)1(8

hE)y,x(

,yx

w

x

w

)1(8

hE)y,x(

2

3

3

3

2

2

2

2

3

3

3

2

2

1

(8.29)

Se înlocuiesc expresiile (8.29) în (8.28)

2

z

8

h

yx

w

y

w

1

E

,2

z

8

h

yx

w

x

w

1

E

22

2

3

3

3

2yz

22

2

3

3

3

2xz

(8.30)

şi rezultă că tensiunile τxz şi τyz

variază parabolic pe grosimea plăcii,

ca în figura 8.13 (la fel ca în cazul

barelor drepte).

Se detaşează din placă un

element paralelipipedic, cu laturile

dx, dy şi h, ca în figura 8.14, încărcat

cu o sarcină uniform distribuită p. Se are în vedere, pe feţele laterale,

o fâşie de înălţime dz, pe care acţionează tensiunile tangenţiale τxz şi

τyz, după direcţia Oz (fig. 8.14).

Celelalte tensiuni nu se

menţionează, nefiind implicate în

demersul care urmează.

Ecuaţia de echilibru a

forţelor, în direcţia Oz, care

acţionează asupra elementului

considerat (după efectuarea

reducerilor şi simplificărilor)

Figura 8.13

Figura 8.14

211

este:

pdzyx

2h

2h

yzxz

. (8.31)

Se introduc relaţiile (8.30) în ecuaţia (8.31) şi se are în vedere că

integrarea se face numai în raport cu z. După efectuarea calculelor

rezultă succesiv:

pdz2

z

8

h

y

w

yx

w2

x

w

1

E2h

2h

22

4

4

22

4

4

4

2

şi

(8.32.a)

D

p

y

w

yx

w2

x

w4

4

22

4

4

4

,

în care D este rigiditatea la încovoiere a plăcii (8.7).

Ecuaţia (8.32) este cunoscută cu numele ecuaţia Sophie Germain

a plăcilor plane. Ea are o formă mai simplă dacă se foloseşte

operatorul lui Laplace

2

2

2

2

yx

şi ecuaţia devine

D

pw . (8.32.b)

Expresiile eforturilor din placă, în funcţie de deplasarea w, se

obţin înlocuind valorile tensiunilor (8.26) şi (8.30) în relaţiile (8.3);

calculele sunt simple, deoarece integralele se calculează în raport cu

z şi deci:

În calculul plăcilor sunt adeseori utile relaţiile diferenţiale dintre

eforturi şi sarcini. Pentru a stabili astfel de relaţii, pentru plăcile

plane s-a considerat un element paralelipipedic, cu laturile dx, dy şi

h, ca în figura 8.15, încărcat cu o sarcină uniform distribuită p,

(8.33)

yx

w

y

wDT;

yx

w

x

wDT

2

3

3

3

y2

3

3

3

x .

;yx

wD)1(M

;x

w

y

wDM;

y

w

x

wDM

2

xy

2

2

2

2

y2

2

2

2

x

212

pentru care se scriu ecuaţiile de echilibru (momentele s-au figurat

cu săgeţi duble), care, după reduceri şi simplificări, duc la relaţiile:

Figura 8.15

- ecuaţia de proiecţie a forţelor pe direcţia Oz

py

T

x

T yx

; (8.34)

- ecuaţia de momente în raport cu Ox

y

xyyT

x

M

y

M

; (8.35)

- ecuaţia de momente în raport cu Oy

x

yxx Ty

M

x

M

. (8.36)

Dacă se elimină forţele tăietoare din relaţiile (8.34), (8.35) şi

(8.36) se obţine:

py

M

yx

M2

x

M2

y

2

xy

2

2

x

2

. (8.37)

Deoarece soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale (8.32) este

foarte dificil de obţinut, s-au elaborat metode de integrare a ecuaţiei

pentru diverse cazuri particulare, care au importanţă inginerească, cel

mai important fiind cazul plăcilor dreptunghiulare.

8.7. Plăci plane subţiri dreptunghiulare

Soluţia ecuaţiei (8.32), este o funcţie w(x,y), care trebuie să

verifice ecuaţia ∆∆w =p/D şi condiţiile la limită. Pentru plăcile

dreptunghiulare, cea mai utilizată metodă de calcul este cea a seriilor

213

Fourier duble, când sarcina variază după ambele variabile x şi y şi a

seriilor Fourier simple, când sarcina este funcţie doar de o variabilă.

Se presupune că placa are dimensiunile a şi b. Sarcina p(x,y) se

dezvoltă în serie Fourier sub forma

m n

nmmn ysinxsina)y,x(p , (8.38)

în care s-au folosit notaţiile αm = mπ / a şi βn = nπ / b.

Se presupune că deplasarea w(x,y) poate fi scrisă sub forma:

m n

nmmn ysinxsinA)y,x(w , (8.39)

Amn fiind constante de integrare.

Dacă placa este simplu rezemată pe cele patru laturi ale sale, se

verifică faptul că soluţia (8.39) satisface condiţiile:

- pentru x = 0 şi x = a, w = 0 şi σx = Mx = ∂2w / dx

2 = 0,

- pentru y = 0 şi y = b, w = 0 şi σy = My = ∂2w / dy

2 = 0.

Soluţia căutată (8.39) trebuie să satisfacă ecuaţia ∆∆w = p/D a

plăcii, deci înlocuind funcţia w(x,y) se obţine:

m n

nmmnm n

nmmn

4

n

2

n

2

m

4

m ysinxsinaD

1ysinxsinA)2(

Din identificarea coeficienţilor termenilor sin αmx sin βny

rezultă:

22

n

2

m

mnmn

)(DA

, (8.40)

iar deplasarea w este:

m n

nm22

n

2

m

mn ysinxsin)(D

)y,x(w . (8.41)

Exemplu.

Pentru o placă dreptunghiulară, simplu rezemată pe toate laturile,

încărcată cu sarcina uniform distribuită p, se obţine amn=16p/π2mn şi

m ,..5,3,1n22

n

2

m

nm

2 )(mn

ysinxsin

D

p16)y,x(w . (8.42)

Săgeata maximă este la mijlocul plăcii (x = a/2, y = b/2) şi are

valoarea:

m ,..5,3,1n22

n

2

m

12/)nm(

2max)(mn

)1(

D

p16w . (8.43)

214

8.8. Plăci plane subţiri circulare

O altă categorie de plăci subţiri care prezintă interes practic este

cel al plăcilor circulare, studierea acestora fiind mai convenabilă în

coordonate polare, ceea ce implică următoarele transformări:

- operatorul lui Laplace devine

2

2

22

2

r

1

rr

1

r

; (8.44)

- ecuaţia (8.32) va avea forma:

D

pw

r

1

r

w

r

1

r

w

r

1

rr

1

r 2

2

22

2

2

2

22

2

. (8.45)

Pentru determinarea relaţiilor de legătură dintre eforturile Mx,

My, şi Mxy, definite în raport cu coordonatele carteziene Oxy şi Mr,

Mθ, Mrθ, definite în raport cu coordonatele polare Orθ, se scriu

Figura 8.16

ecuaţiile de echilibru pentru un element de placă cu forma unei

prisme triunghiulare, ca în figura 8.16 şi se obţin următoarele relaţii:

Mr = Mx cos2θ + My sin

2θ - 2Mxy sinθ cosθ;

Mθ = Mx sin2θ + My cos

2θ + 2Mxy sinθ cosθ; (8.46)

Mrθ = (Mx - My)sinθ cosθ + Mxy(cos2θ - sin

2θ).

Prin calcule simple, utilizând relaţiile obţinute anterior, se obţin

expresiile eforturilor în funcţie de deplasarea w:

;w

r

1

r

w

r

1

r

wDM

2

2

22

2

r

;

ww

r

1

r

w

r

1DM

2

2

2

2

2

.w

r

1

rD)1(M r

(8.47)

215

.w

r

1

r

w

r

1

r

w

r

1DT

;w

r

1

r

w

r

1

r

w

rDT

2

2

22

2

2

2

22

2

r

(8.48)

Dacă încărcarea plăcii este axial simetrică, toate derivatele

parţiale în raport cu variabila θ sunt nule şi relaţiile de mai sus se

simplifică iar ecuaţia cu derivate parţiale (8.45) devine ecuaţia

ordinară

D

p

dr

dw

r

1

dr

wd

r

1

dr

wd

r

2

dr

wdsau

,D

p

dr

dw

r

1

dr

wd

dr

d

r

1

dr

d

32

2

23

3

4

4

2

2

2

2

. (8.49)

Ecuaţia (8.49) este lineară, de tip Euler, neomogenă, a cărei

soluţie este

w = C1 + C2 r2 + C3 ln r + C4 r

2 ln r + w*, (8.50)

în care w* este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene.

Pentru cazurile în care sarcina p este un polinom în r, de forma

n

0k

k

krAD

p, (8.51)

se încearcă soluţii particulare de tipul Σbiri şi se obţine soluţia

particulară

n

0k

4k

22

k* r)4k()2k(

Aw . (8.52)

De asemenea şi expresiile (8.47) şi (8.48) ale eforturilor se

simplifică şi devin

.0T;dr

dw

r

1

dr

wd

dr

dDT

;0M;dr

wd

dr

dw

r

1DM;

dr

dw

r

1

dr

wdDM

2

2

r

r2

2

2

2

r

(8.53)

Condiţiile la limită pentru plăcile circulare (inelare), încărcate

simetric, se scriu astfel pentru:

- margine încastrată: w = 0 şi dw/dr = 0;

- margine rezemată: w = 0 şi Mr = 0;

- margine liberă: Mr = 0 şi Tr = 0;

216

- pentru plăcile circulare pline (fără orificii centrale), pentru r = 0

(în centrul plăcii), deplasarea w şi momentul încovoietor Mr trebuie

să aibă valori finite, ceea ce implică absenţa din expresiile respective

a termenilor care conţin log r şi duce la C3 = 0 şi C4 = 0.

Exemplu.

Pentru o placă circulară, încastrată pe contur, încărcată cu sarcină

uniform distribuită p, se scriu succesiv relaţiile:

- deplasarea: w = C1 + C2 r2 + C3 ln r + C4 r

2 ln r + pr

4/64D;

- rotirea: dw/dr = 2C2 r + C3/r + C4(2r ln r +r) + pr3/16D.

Condiţia ca în centrul plăcii (pentru r =0) w şi Mr să aibă valori

finite duce la rezultatele C3= C4=0, iar relaţiile anterioare devin:

- deplasarea: w = C1 + C2 r2 + pr

4/64D;

- rotirea: dw/dr = 2C2 r + pr3/16D.

Condiţiile pe conturul exterior, încastrat, al plăcii sunt: w =

dw/dr = 0, pentru r = R şi se obţine:

C1 + C2 R2 + pR

4/64D = 0; 2C2 R + pR

3/16D = 0 din care rezultă:

C1 = pR4/64D ; C2 = - pR

2/32D.

Înlocuind aceste valori în expresiile anterioare, se obţin relaţiile

de calcul pentru placa considerată:

.2

prT;

R

r)31()1(

16

pRM;

R

r)3()1(

16

pRM

;D32

)rR(p

dr

dw;

D64

)rR(p

D64

pr

D32

pR

D64

pRw

r2

22

2

22

r

22222424

8.9. Structuri din plăci

Numeroase structuri mecanice sunt realizate din table care se

asamblează, de regulă, prin sudură. Avantajele practice ale acestor

tipuri de structuri decurg din faptul că pot avea forme oricât de

complicate, sunt relativ uşoare, iar tehnologiile de fabricaţie sunt

ieftine şi foarte bine puse la punct, cu un înalt grad de mecanizare şi

automatizare.

Calculul acestor echipamente, maşini, instalaţii, vehicule etc

trebuie făcut pe modele de structuri din plăci. Având în vedere

complexitatea formelor geometrice ale acestor structuri şi exigenţele

calculului – care poate fi de rezistenţă, rigiditate, stabilitate, dinamic

217

etc – se impune utilizarea unor algoritmi, metode şi programe de

calcul generale şi utilizarea calculatoarelor. Deci calculul se face fie,

în cazul general, cu metode

numerice generale, ca

metoda elementelor finite,

metoda diferenţelor finite sau

metoda elementelor de

frontieră (v. cap 9), fie,

pentru cazuri particulare, ca

cel al structurilor axial

simetrice (de rotaţie), cu

algoritmi şi programe

adecvate.

Un exemplu ilustrativ,

este prezentat în figura (8.17), pentru un utilaj siderurgic, care a fost

modelat şi calculat cu metoda elementelor finite.

Programele cu elemente finite oferă utilizatorilor zeci de tipuri

de elemente finite pentru plăci, pentru a se putea elabora, cu ele,

modele de calcul care să satisfacă cele mai diverse exigenţe

inginereşti.

Pentru o categorie mai

restrânsă de structuri din plăci şi

anume a celor de rotaţie (axial

simetrice), s-au elaborat

algoritmi care „descompun”

structura în componente simple,

pentru care se cunosc relaţiile de

calcul, ca, de exemplu, plăci

plane circulare, plăci cilindrice,

conice, sferice, toroidale etc.

Apoi, pe contururile de

„asamblare” ale componentelor,

care sunt nişte cercuri, se scriu

condiţiile de egalitate ale

deplasărilor şi de echilibru ale

eforturilor, care duc la obţinerea

unui sistem de ecuaţii din care se determină constantele de integrare

Figura 8.17

Figura 8.18

218

din soluţiile componentelor structurii. Odată cunoscute valorile

constantelor de integrare, în fiecare componentă a structurii se pot

calcula, în oricare punct al său, deplasările, tensiunile, eforturile etc.

În figura 8.18 se prezintă, ca exemplu, un buncăr care a fost

realizat din 9 componente şi anume:

- 4 plăci inelare (componentele 1, 5, 6, 9);

- 3 plăci cilindrice (componentele 2, 4, 8);

- 2 plăci conice (componentele 3, 7).

Numărul circumferinţelor de legătură (de asamblare) este 6.

Fiecare din cele 9 componente ale structurii are o soluţie care

conţine 4 constante de integrare, deci în total 4*9=36 necunoscute.

Pentru fiecare din cele 6 circumferinţe se scriu următoarele ecuaţii:

- condiţii de egalitate (continuitate) a deplasărilor radiale w, ale

componentelor „conectate” pe conturul respectiv;

- condiţii de egalitate a rotirilor normalelor la suprafeţele

mediane ale componentelor „conectate” pe conturul respectiv;

- condiţia de echilibru (suma să fie zero) a momentelor axiale,

pentru componentele „conectate” pe conturul respectiv;

- condiţia de echilibru (suma să fie zero) a forţelor pe direcţie

radială, pentru componentele „conectate” pe conturul respectiv.

Bibliografie

1. Constantinescu, I.N., Tacu, T., Calcule de rezistenţă pentru

utilaje tehnologice, Structuri izotrope, axial simetrice, Editura

tehnică, Bucureşti, 1979.

2. Constantinescu, I.N., Picu, C., Hadăr, A., Gheorghiu, H.,

Rezistenţa materialelor pentru ingineria mecanică, Editura BREN,

Bucureşti, 2006.

3. Timoshenko, S., Woinowsky-Krieger, S., Teoria plăcilor

plane şi curbe, Editura tehnică, Bucureşti, 1968.

4. Voinea, R., Voiculescu, D., Simion, F.P., Introducere în

mecanica solidului cu aplicaţii în inginerie, Editura Academiei,

Bucureşti, 1989.