plĂci plane de beton armat

ÎNCADRAREA ÎN CATEGORII

ENCIPEDIA > EDUCATIONAL > PLĂCI PLANE DE BETON ARMATPUBLICAT LA 30.08.2012SCRIS DE VIOREL POPA

Din punct de vedere geometric plăcile sunt elemente la care două dintre dimensiuni sunt mult

mai mari decât cea de a treia (l1, l2>>hp). Plăcile sunt supuse la încărcări normale pe planul lor

median.

În practică se întâlnesc si alte elemente cu proporții de placă care, functie de modul de încărcare

si rezemare, pot fi clasificate ca pereți, grinzi perete sau diafragme (orizontale). Fiecare dintre

aceste elemente prezintă moduri specifice de comportare și, prin urmare, metode particulare de

calcul si detaliere.

Pentru calculul eforturilor placa se reduce in general la planul său median. Proporţiile geometrice

şi natura încărcărilor fac ca plăcile să fie solicitate în principal la momente încovoietoare pe două

direcţii (Mx,My). Aceste momente pot fi preluate numai prin dispunerea de armătură

longitudinală. Forţele tăietoare (Qx,Qy) au, în cele mai multe cazuri, valori scăzute ce pot fi

preluate în bune condiţii de beton, nefiind necesară armarea transversală.

http://www.encipedia.org/

http://www.encipedia.org/articole/educational

http://www.encipedia.org/articole/educational/placi-plane-de-beton-armat

Tipul eforturilor predominante este influențată direct de grosimea plăcilor, în mod convențional

putându-se admite următoarea clasificare practică:

plăcile de grosime medie (lmin/hp=20..40) sunt solicitate predominant la încovoiere.

Aceste plăci sunt utilizate în mod curent la realizarea planşeelor.

plăcile foarte subţiri (lmin/hp≥40) sunt solicitate predominant la forţă axială (efect de

membrană) însoțită de încovoiere.

plăcile groase (lmin/hp≤10) sunt solicitate la forţă tăietoare și moment încovoietor. Aceste

plăci se utilizează, de exemplu, ca radiere pentru fundaţii.

Calculul eforturilor în plăci se face cu metodele specifice Teoriei Elasticității, considerând un

răspuns esențial elastic. Rezolvarea ecuației generale a plăcilor plane se poate prin metode

analitice sau numerice. Cu ajutorul programelor de calcul structural se poate determina starea de

eforturi în plăci prin metoda elementului finit. Alcătuirea unui model analitic pentru fiecare caz

practic de proiectare nu reprezintă însă întotdeauna soluția optimă din cauza dificultăților de

modelare specifice betonului armat. Ridică dificultăți, de exemplu, modelarea reazemelor şi

concentrările de eforturi secţionale ce pot apărea în jurul punctelor de discontinuitate geometrică

sau de aplicare a încărcărilor concentrate, stabilirea rigidităților pentru secțiunile fisurate.

De aceea, în cazuri curente de proiectare pentru calculul eforturilor în plăci se utilizează metode

aproximative de calcul a eforturilor în plăci.

Alternativ, calculul plăcilor se poate face considerând răspunsul neliniar prin scrierea unei

ecuații de echilibru pentru un mecanism de cedare al plăcii.

În acest capitol se prezintă detaliat fundamentele și modul de aplicare pentru două astfel de

metode aproximative: metoda echilibrului elastic și metoda echilibrului limită. Metoda

echilibrului elastic, o metodă aproximativă care are la bază ipotezele şi metodele teoriei

elasticităţii. Metoda echilibrului limită (calcul postelastic) ia in considerare mecanismul de

plastificare si posibilitatea redistribuirii eforturilor prin deformatiile neliniare asociate curgerii

armăturilor longitudinale.

Pentru plăcile cu contur regulat rezemate pe tot conturul se utilizează în mod curent armarea cu

plase având barele dispuse paralel cu direcţia reazemelor. Pentru determinarea necesarului de

armătură este necesar astfel să se estimeze valorile momentelor încovoietoare orientate după axe

paralele cu reazemele. Aceste momente sunt notate de regulă cu indicii „x” şi „y” sau „11” și

„22”, după indicii axelor după care sunt orientate.

Valorile momentelor încovoietoare pentru plăcile cu contur rectangular rezemate pe tot conturul

și încărcate uniform distribuit depin în principal de următorii factori: deschiderile plăcii pe cele

două direcții, natura reazemelor și valoarea încărcării. Momentele sporesc odată cu deschiderile

de calcul și cu valoarea încărcării.

De asemenea, momentele pe cele două direcții au valori diferite funcție de modul de rezemare și

de raportul laturilor ochiului de placă. Dacă momentele se dezvoltă în mod predominant pe una

dintre direcții se admite convențional că placa are descărcare unidirecțională și armătura se

dispune preponderent pe această direcție. În cazul în care placa descarcă în proporții comparabile

pe cele două direcții se spune că aceasta are descărcare bidirecțională.

Pentru a înțelege modul în care se realizează descărcarea unei plăci rezemată pe tot conturul se

poate imagina un ansamblu plan alcătuit din două elemente de tip bară de lungimi diferite,

simplu rezemate la capete, care se intersectează la jumătatea deschiderii fiecăreia.

Se admite că din sarcina totală, P, o parte, Px, este descărcată de bara mai scurtă iar restul, Py,

este descărcată prin intermediul barei mai lungi.

Dacă se scrie condiția de compatibilitate a deformațiilor celor două bare și anume wx=wy, se

poate determina un raport între forțele Px și Py funcție de raportul dintre deschiderile celor două

bare:

Se observă că, de exemplu, pentru un raport al laturilor ly/lx=1,5 se obține un raport Px/Py=5,

ceea ce înseamnă că 5/6 din totalul încărcării P este transmis la reazem de către bara mai scurtă.

În practică se admite că dacă raportul laturilor plăcii lmax/lmineste mai mare decât 2 atunci se poate

neglija contribuția fâșiei lungi și placa descarcă predominant pe direcția scurtă. Ca urmare,

armătura de încovoiere va trebui dispusă predominant pe această direcție. O astfel de placă

poartă denumirea de placă cu descărcare unidirecțională. În caz contrar, plăcile descarcă în

proporții comparabile pe ambele direcții și se numesc plăci cu descărcare bidirecțională.

Trebuie notat ca plăcile sunt armate practic cu reţele de bare dispuse pe ambele direcţii,

indiferent de proporțiile laturilor. La plăcile cu descărcare unidirecțională barele dispuse pe

direcţia scurtă rezultă din calcul iar barele pe direcţia lungă sunt dispuse pe criterii constructive

şi de montaj.

COMPORTAREA SUB ÎNCĂRCĂRI

NORMALE PE PLANUL MEDIAN


Comportarea sub încărcări a unei plăci cu descărcare undirecțională încărcată perpendicular pe

planul median este prezentată considerând o creștere uniformă a deplasărilor, până la rupere.

Placa analizată este simplu rezemată la capete și este încărcată cu două forțe aplicate distribuit pe

lățimea plăcii la o distanță de 0,4m față de reazem. În zona centrală, placa este solicitată la

încovoiere pură, fără forță tăietoare.

La valori mici ale încărcării se produce apariția primei fisuri în zona de moment maxim. Se

observă că la o încărcare de 5,5kN se produce o fisură a cărei deschidere măsoară 0,1mm.

Săgeata maximă a plăcii este de 1,4mm. Momentul de fisurare corespunzător acestei valori a

încărcării aplicate este de:




Dacă încărcarea P crește în continuare numărul de fisuri sporește iar fisurile existente pătrund

mai adânc către zona comprimată și își măresc deschiderea. La încărcarea de 6,5kN, se produce o

scădere a rigidității de ansamblu a placii, după cum se observă în figura următoare, cauzată de

fisurarea extinsă. Distanța între fisuri este relativ uniformă, corespunzând în mare distanței dintre

armăturile de repartiție așeza în direcție transversală. Fisurile sunt cauzate de acțiunea

momentului încovoietor fiind orientate normal pe planul median al plăcii. Forța tăietoare este

nulă în zona de moment maxim.

Pe măsură ce săgeata plăcii sporește armăturile întinse de la partea de jos încep să intre în

curgere. Deformațiile plastice ale armăturilor se concentrează îndeosebi în dreptul fisurilor deja

fomate. Curba forță-deplasare arată că curgerea armăturilor se amorsează la o valoare a încărcării

de 10kN și la o săgeată de aproximativ 20mm. Momentul de inițiere a curgerii esteMy1=4kNm.

Armăturile intră în curgere rând pe rând, epuizându-se practic toate rezervele de rezistență la

încovoiere ale plăcii. Dup intrarea în curgere a tuturor armăturilor cu rol în preluarea momentelor

încovoietoare, placa intră în stadiul de mecanism. Pentru placa analizată, intrarea în stadiul de

mecanism se produce la o săgeată de aproximativ 30mm căreia îi corespunde o forță P=11kN.

Momentul corespunzător este Myn=4,4kNm.

Dacă se sporește în continuare săgeata, deschiderile și adâncimea fisurilor continuă să crească

odată cu deformațiile plastice ale armăturii longitudinale, fără o creștere corespunzătoare a forței

aplicate. Se observă că după curgere forța aplicată sporește de la 11kN la 12kN, fapt explicabil

prin fenomenul de consolidare post-elastică a oțelului. Ruperea plăcii se produce după depășirea

capacității de deformare a armăturii longitudinale, în dreptul uneia dintre fisurile de încovoiere

deja formate. Momentul ultim al plăcii este Mu=4,8kNm corepunzător unei săgeți de 85mm.

Creșterea sensibilă a săgeții plăcii arată că ruperea se produce ductil cu avertizare. Săgeata la

rupere este de 60 de ori mai mare decât cea de la fisurare și de trei ori mai mare decât cea

corespunzătoare mobilizării mecanismului de plastificare.

Raportul dintre deplasarea ultimă și cea de curgere poartă numele de indice de ductilitate,

exprimat prin deplasări, și arată în ce măsură placa are o cedare ductilă. Dacă acest raport tinde

către 1 atunci spunem că placa are o cedare casantă, fără avertizare.

Trebuie remarcate și deplasările mari ale plăcii, f, comparativ cu deschiderea, L:

- la fisurare f ≈ L/700

- la inițierea curgerii f ≈ L/50

- la formarea mecanismului f ≈ L/35

- la cedare f ≈ L/10

Este evident că deformații de ordinul L/35..L/10 sunt vizibile, avertizând utilizatorul asupra

stării de pericol în care se află elementul.

PLĂCI IZOLATE CU DESCĂRCARE

UNIDIRECȚIONALĂ


Distribuţia şi valorile momentelor încovoietoare Mx şi My depind atât de modul de rezemare cât

şi de raportul laturilor panourilor de placă. În figură sunt prezentate câteva cazuri de plăci izolate

cu descărcare unidirecțională si diagramele de moment corespunzătoare sub încărcare uniform

distribuită.

În cazul plăcilor cu descărcare unidirecțională, eforturile pot fi calculate cu metodele cunoscute

de la calculul barelor. În acest scop se identifică direcţia de descărcare, natura reazemelor plăcii

pe direcţia de descărcare, se izolează o fâşie de placă de lățime unitară orientată în lungul

direcției de descărcare și se face calcul static ca pentru orice element de tip bară. Se obțin

valorile eforturilor și se dimensionează armăturile. Cantitatea de armătură astfel determinată

corespunde unei lățimi unitare de placă și se dispune în același mod pe întreaga lățime a plăcii.




Astfel de plăci sunt de exemplu:

a) plăci cu rezemare (încastrare) pe o singură latură

b) plăci rezemate numai pe două laturi, opuse

c) plăci rezemate pe toate laturile cu raportul laturilor lmax/lmin mai mare decât 2.

PLĂCI CONTINUE CU DESCĂRCARE

UNIDIRECȚIONALĂ. SCHEMATIZĂRI

PENTRU CALCUL.


1. Schematizarea reazemelor 2. Scheme de încărcare

Sistemele de plăci cu descărcare unidirecţională sunt întâlnite, de exemplu, în cazul planşeelor cu

grinzi principale şi grinzi secundare utilizate pentru spaţii cu deschidere şi încărcări mari (hale

industriale, depozite).

Calculul plăcii presupune stabilirea valorii şi poziţiei încărcărilor, calculul eforturilor – în special

al momentelor încovoietoare, dimensionarea şi dispunerea armăturii longitudinale.

Daca panourile de placă sunt regulate şi de dimensiuni apropiate calculul eforturilor se poate face

numai pentru o fâşie de lăţime unitară orientată în lungul laturii scurte. Calculul static al acestei

fâşii se poate face ca pentru o grindă continuă prin luarea în calcul a celor mai defavorabile

ipoteze de încărcare posibil să apară.




http://www.encipedia.org/articole/educational/placi-plane-de-beton-armat/placi-continue-cu-descarcare-unidirectionala-schematizari-pentru-calcul.html#t1

http://www.encipedia.org/articole/educational/placi-plane-de-beton-armat/placi-continue-cu-descarcare-unidirectionala-schematizari-pentru-calcul.html#t2

Schematizarea reazemelor

Pentru calcul eforturilor într-un element de beton armat trebuie adoptate ipoteze simplificatoare

privind, de exemplu, secțiunea transversală, deschiderea de calcul, natura reazemelor, rigiditatea

echivalentă etc.

Legăturile ideale cu care se operează în statica construcțiilor cum sunt articulația, reazemul

simplu sau încastrarea nu sunt întâlnite ca atare în structuri reale. De exemplu, la hale comerciale

parter la care grinzile sunt așezate pe capătul superior al stâlpilor, fără continuizarea armăturilor

longitudinale, legătura care se creează nu este nici articulație perfectă dar nici nod rigid. Cu alte

cuvinte, deși prin lipsa continuității armăturii longitudinale nu se poate echilibra un moment

semnificativ, prin legătura grindă-stâlp se poate asigura un anumit grad de continuitate.

Pentru a putea efectua calculul eforturilor in ipotezele acceptate ale staticii constructiilor,

proiectantul trebuie sa identifice natura legaturilor dintre elementele structurale si natura

reazemelor si sa stabileasca o reprezentare schematizata conventionala a acestor legaturi. Aceasta

schematizarea trebuie sa aiba caracter acoperitor (in sensul ca trebuie sa conduca la valori

maxime ale eforturilor) in limitele unor ipoteze simplificatoare acceptabile.

În cazul sistemelor de plăci cu descărcare unidirecțională care au continuitate peste reazemele

interioare se pune problema stabilirii deschiderilor de calcul si a naturii reazemelor. În ceea ce

privește reazemul marginal se pot identifica următoarele situații:

- Grinda cu rigiditate infinită la torsiune; placa poate fi considerată încastrată în reazemul

marginal (a)

- Grinda de beton armat cu rigiditate limitată la torsiune; placa poate fi considerată

articulată (b); pentru calculul armăturii din reazem se va considera un moment egal cu jumătate

din momentul de încastrare perfectă. În cazul planșeelor monolite aceasta este cea mai potrivită

modalitate de schematizare.

- Grinda fără rigiditate la torsiune (c); placa poate fi considerată articulată în reazemul

marginal.

Atunci când placa este legată monolit de grinzi (reazeme) deschiderea ei de calcul poate fi luată

ca fiind egală cu lumina ei, l0.

Scheme de încărcare

Planșeele curente sunt expuse la două tipuri de încărcări orientate perpendicular pe planul

median al plăcilor: încărcări permanente și încărcări variabile.

Valoarea și modelul de aplicare al încărcărilor permanente sunt cunoscute la momentul

proiectării. Încărcările permanente sunt generate în principal de greutățile proprii ale elementelor

structurale sau nestructurale. Valorile acestor încărcări pot fi apreciate prin raționamente

înginerești elementare.

În cazul încărcărilor variabile, stabilirea valorilor și a modului de dispunere necesită o analiză de

la caz la caz. Pornind de la prevederile normativelor de proiectare se pot determina valorile

caracteristice ale încărcărilor variabile și, prin amplificare cu factori supraunitari, valorile

maxime probabile. Poziția încărcărilor variabile trebuie analizată de la caz la caz în funcție nu

numai de funcțiunea clădirii dar și de efectul pe care dispunerea acestor încărcări îl are asupra

stării de eforturi din structură. Dispunerea încărcărilor variabile ale unui planșeu în toate

ochiurile de placă, cu valorile maxime probabile, nu conduce în mod necesar la valorile maxime

ale momentelor încovoietoare în plăci ci numai la valori maxime ale reacțiunilor.

Exemplele din figură arată că modul de dispunere a încărcării variabile trebuie analizat cu atenție

astfel încât să conducă la valorile maxime ale momentelor încovoietoare, rezultatul procesului de

proiectare fiind în acest fel acoperitor.

În cazul grinzilor continue în calculul eforturilor se pot considera maxim cinci deschideri. Pe

schema cu cinci deschideri se regăsesc practic toate valorile caracteristice ale momentelor

încovoietoare din câmpuri și reazeme, indiferent de numărul real al deschiderilor.

Pentru determinarea momentului maxim pozitiv într-o anumită deschidere, încărcarea variabilă

trebuie așezată uniform distribuit din două în două deschideri, pornind de la deschiderea unde se

calculează momentul maxim, către stânga și către dreapta. Aceste ipoteze de încărcare sunt

reprezentate în figura următoare: ipotezele 2 și 3 care conduc la valorile maxime ale momentelor

pozitive în deschiderile 1 și 3 și, respectiv, 2.

Pentru determinarea momentului maxim negativ în primul și cel de-al doilea reazem intermediar

încărcarea variabilă trebuie dispusă conform ipotezei 4 și, respectiv, 5.

Rezultă că pentru determinarea momentelor încovoietoare maxime trebuie considerate 4 ipoteze

distincte de dispunere a încărcării variabile (2,3,4 și 5) și o ipoteză de dispunere a încărcării

permanente (1). Eforturile obținute din prima ipoteză se însumează, rând pe rând, cu cele

obținute din ipotezele de încărcare 2, 3, 4 și 5. Rezultă astfel patru combinații ale eforturilor care

se suprapun pentru a genera diagrame înfășurătoare. Aceaste diagrame cuprind pentru fiecare

secţiune valoarea maximă a efortului rezultată din cele patru combinații. Diagrama înfășurătoare

de moment încovoietor pentru grinda continuă cu cinci deschideri este reprezentată calitativ în

figura următoare:


UNIDIRECȚIONALĂ. METODA

ECHILIBRULUI ELASTIC.


După stabilirea schemei de calcul a fâșiei de lățime unitară, a deschiderilor de calcul și a naturii

reazemelor, și după identificarea celor mai defavorabile ipoteze de dispunere a încărcării

variabile se poate trece la calculul eforturilor. Acestea pot fi calculate cu ajutorul metodelor

specifice de calcul pentru grinzi continute studiate la Statica Construcțiilor. Alternativ, se poate

utiliza si Metoda Elementului Finit, prin intermediul programelor de calcul automat. Aceste

soluții se pot dovedi însă laborioase datorită în special numărului mare de ipoteze de dispunere a

încărcării variabile.

În practica inginerească curentă pentru determinarea valorilor caracterisitice ale diagramei

înfășurătoare de moment pentru grinda continuă se utilizează calculul pe baza coeficienților lui

Winkler.

Relaţiile pentru calculul momentelor momentelor maxime pozitive sau negative sunt:

unde,

a, b,c coeficienţii de influenţă pentru grinda continuă (vezi tabelul)

g valoarea de calcul a încărcării permanente

q valoare de calcul a încărcării variabile

Pentru secțiunile care corespund momentelor maxime pozitive și negative (1,2,3 și b,c) valorile

coeficienților sunt date în tabel:




PLĂCI CU DESCĂRCARE

UNIDIRECȚIONALĂ. METODA

ECHILIBRULUI LIMITĂ.


Daca se analizeaza comportarea unei placi cu descărcare unidirecțională, simplu rezemată pe

doua laturi paralele, sub o încărcare normală la planul median, monoton crescătoare, se pot

observa următoarele stadii de lucru, specifice elementelor de beton armat încovoiate:

- la valori mici ale încărcării (q<qc) armăturile se află în stadiul elastic de comportare iar

betonul întins este nefisurat. Acesta este considerat stadiul elastic de răspuns al elementului. La

atingerea încărcării qc se atinge capacitatea de rezistență la întindere a betonului de la partea de

jos, în secțiunea mediană, ce mai solicitată

- la valori ale încărcării cuprinse între qc și qy, betonul întins este fisurat iar armătura se află

în stadiul elastic (εs< εy). Elementul se află în stadiul II de comportare, elastic-fisurat. La

atingerea încărcării qy în armăturile cele mai solicitate se atinge valoarea deformației specifice de

curgere, εy, placa în ansamblu intrând în curgere:

- rând pe rând, armăturile intră toate în curgere astfel încât, la o valoare a încărcării qu, în

dreptul fisurii din zona de moment maxim toate armăturile se află în stadiul de curgere. Din acest

moment capacitatea de rezistență la încovoiere a secțiunii fisurate din zona mediană este limitată.

Acest lucru este explicat de faptul că efortul din barele de armătură este constat, Asfyd, indiferent

de deformația specifică înregistrată, până la rupere.Se neglijează aici efectul de consolidare

postelastică a oțelului considerându-se, pentru simplitate, o comportare elasto-perfect plastică.




După intrarea în curgere a tuturor armăturilor întinse care traversează fisura din zona de moment

maxim, sarcina q rămâne constantă în timp ce deformațiile placii cresc. Creșterea deformațiilor

este asociată creșterii rotirii în zona mediană a plăcii, sub moment constant. Întrucât rotirile

cresc fără o creștere a momentului se spune că în zona de moment maxim s-a format o articulație

plastică sau, în cazul plăcilor, o linie de plastificare. După apariția acestei linii de plastificare

placa intră în faza de mecanism cinematic, deformațiile crescând sub efort constant . Acest

mecanism poartă denumirea de mecanism de plastificare. Deformata plăcii aflată în stadiul de

mecanism de plastificare, reprezentată simplificat, este:

Pentru determinarea sarcinii qu care produce formarea mecanismului de plastificare se poate scrie

ecuația de lucru mecanic virtual, pentru mecanismul în discuție: LE=LI. Pentru determinarea

lucrului mecanic al eforturilor interioare, în lungul liniei de plastificare din zona mediană,

momentul capabil pozitiv al plăcii (corepunzător armăturii întinse de la partea de jos) se

înmulțește cu rotirea 2θ.

Aceeași relație rezultă evident și dintr-un calcul elastic. Acest lucru se explică prin faptul că

mobilizarea mecanismului de plastificare presupune formarea unei singure linii de plastificare și

ca urmare qy are valoare foarte apropiată de qu. In fapt, ipotezele calculului elastic pot fi

considerate acceptabile pentru valori q<qy în timp ce ecuația de LMV este aplicabilă pentru faza

de mecanism adică pentru q=qu.

Același mod de calcul al eforturilor maxime în placa aflată în faza de mecanism de plastificare

este aplicat, ca exemplu, și pentru o placă rectangulară cu descărcare unidirecțională încastrată

pe două laturi paralele. Formarea mecanismului cinematic de plastificare presupune apariția a

trei linii de plastificare, în zonele de moment maxim din câmp și reazeme. După formarea

mecanismului de plastificare, în lungul liniilor de plastificare acționează momentele capabile

pozitive și, respectiv, negative ale plăcii. Răspunsul plăcii sub încărcări monoton crescătoare

este:

Stadiile de comportare reprezentate în figură pot fi evidențiate și prin intermediul legii

constitutive forță-deplasare.

Ecuația de lucru mecanic virtual se scrie considerând deformata simplificată a plăcii în faza de

mecanism cinematic:

Ecuația arată că pentru o placă cu descărcare unidirecțională încastrată pe două laturi paralele

aflată în stadiul de mecanism de plastificare suma dintre momentul din câmp și semisuma

momentelor din reazeme este întotdeauna ql2/8.

Pentru o placă la care se cunosc momentele capabile pozitive și negative ecuația permite să se

determine cu ușurință valoarea încărcării care conduce la mobilizarea mecanismului de

plastificare.


UNIDIRECȚIONALĂ. CALCULUL ȘI

DISPUNEREA ARMĂTURILOR.


1. Calculul armăturilor 2. Reguli de armare, condiții constructive

Calculul armăturilor

Pe baza valorilor maxime ale momentelor încovoietoare (reprezentate în diagrama înfăşurătoare

de momente) se poate determina necesarul de armătură în câmp şi în reazem pentru fiecare

deschidere în parte.

Calculul se face ca pentru o secţiune dreptunghiulară simplu armată de lăţime unitară. Dacă se

consideră ca lăţime a fâşiei valoarea de 1m, armătura rezultată din calcul va trebui să fie dispusă

pe 1m de placă. Reprezentarea pe plan a armăturilor se face fie prin specificarea numărului de

bare pe metru liniar de placă (de ex. 5f10/m), fie prin specificarea diametrului şi a distanţei între

bare (de ex. f10/10cm).

Funcţie de clasa betonului, de tipul de oţel şi de procentul de armare braţul de pârghie z are

valori curente cuprinse între 0,85d şi 0,95d. În mod simplificat, pentru valori obişnuite ale

încărcărilor şi ale grosimii de placă calculul se poate simplifica prin aproximarea valorii braţului

de pârghie al efortului eforturilor interioare, z.

unde

x înălţimea zonei comprimate de beton

hw înălţimea secţiunii

d înălţimea utilă a secţiunii




http://www.encipedia.org/articole/educational/placi-plane-de-beton-armat/placi-cu-descarcare-unidirectionala-calculul-si-dispunerea-armaturilor.html#t1

http://www.encipedia.org/articole/educational/placi-plane-de-beton-armat/placi-cu-descarcare-unidirectionala-calculul-si-dispunerea-armaturilor.html#t2

a acoperirea cu beton (valoarea de calcul). Pentru plăci acoperirea efectivă cu beton

este între 10 și 20mm rezultând valori a=15..25mm.

Aria necesară de armătură se determină scriind ecuaţia de moment pe secţiunea transversală a

făşiei de lăţime unitară:

Pentru direcţia lungă se calculează numai armătura necesară pe reazem. Momentele din câmp au

valori mici şi pot fi preluate în bune condiţii de armătura de repartiţie.

Reguli de armare, condiții constructive

Armarea plăcilor se poate face fie cu bare drepte, fie cu bare drepte şi bare înclinate.

În timp ce barele drepte servesc fie la preluarea momentelor pe reazeme fie la preluarea

momentelor în câmp, barele înclinate lucrează la preluarea momentelor negative în reazeme şi la

preluarea momentelor pozitive în câmp. Reducerea momentelor pozitive din câmp odată cu

apropierea de reazeme permite renunţarea la o parte din armătura de rezistenţă de la partea de jos

a plăcii, care poate fi ridicată la partea de sus pentru preluarea momentelor negative pe reazem.

Utilizarea barelor înclinate conduce la o reducere a consumului de oţel dar şi la o creştere a

necesarului de manoperă şi a timpului de execuţie.

Reguli şi condiţii constructive pentru armarea plăcilor sunt date în standardul românesc SR EN

1992-1-1:2004.

Plăcile pot fi armate fie cu plase legate, executate pe şantier din bare individuale, fie plase cu

sudate. Armarea cu plase sudate duce la reducerea necesarului de manoperă şi a timpului de

execuţie însă consumul de otel creşte datorită pierderilor rezultate din tăierea plaselor.

Pentru plasele legate cele mai folosite tipuri de oţel folosite la armarea plăcilor sunt OB37, PC52

și BST500.

Pentru armarea plăcilor se folosesc in general bare de diametre mici φ6, φ8, φ10, φ12. Barele de

φ6 se folosesc in mod curent ca bare de repartiţie (cu rol constructiv şi de montaj). Diametrele

minime recomandate ale barelor sunt: 6mm, pentru barele de la partea inferioară și 8mm pentru

barele de la partea superioara si pentru barele înclinate.

Barele drepte de la partea de sus (călăreţii) şi barele înclinate sunt expuse deteriorării în timpul

execuţiei. De aceea este de preferat să se utilizeze bare de diametre mai mari, mai rigide, în

aceste cazuri.

În cazul plaselor sudate diametrul minim este de 5mm pentru plăcile executate monolit şi 4mm

pentru plăcile executate în standuri de prefabricate.

Pentru grosimi curente de placă, hf≤300mm, numărul minim de bare pe metru este 5 iar numărul

maxim de bare este 12.

Procentul minim de armare este 0,1%. Procentul mediu (economic) de armare trebuie să se

situeze în cazul plăcilor armate pe o direcţie în jurul valorii de 0,8%.

Perpendicular pe direcţia armăturii de rezistenţă, determinată prin calcul, trebuie dispusă

armătură de repartiţie. Aceasta are atât rol:

- constructiv, preia momentele încovoietoare de la partea de jos, din vecinătatea reazemului şi

serveşte la preluarea în bune condiţii a încărcărilor concentrate

- montaj, serveşte la realizarea plaselor, împiedicând astfel deplasarea barelor de armătură de

rezistenţă înainte şi în timpul turnării şi vibrării betonului.

Pentru planşeele obişnuite, armătura de repartiţie se ia egala cu cel puţin 15% din armătura de

rezistenţă dar minim 4φ6/m.

Secţiunile de întrerupere a călăreţilor se situează faţă de reazem la distanţa de 1/4 din

deschiderea de calcul a plăcii (măsurată pe direcţia scurtă).

Dacă pe direcţia scurtă deschiderile adiacente reazemului nu sunt egale punctele de întrerupere a

călăreţilor se stabilesc funcţie de valoarea maximă a deschiderii de calcul din dreapta şi stânga

reazemului.

Secţiunile de ridicare a barelor înclinate se situează la distanţa de 1/5l0 (deschiderea de calcul a

plăcii pe direcţia scurtă.

PLĂCI IZOLATE CU DESCĂRCARE

BIDIRECȚIONALĂ. METODA



Plăcile cu descărcare bidirecțioanlă sunt în general panourile rectangulare cu raportul

laturilor lmax/lmin mai mic decât 2, cu rezemare pe tot conturul. Se întâlnesc însă şi panouri

rectangulare de diferite forme, cu rezemări particulare (a), sau panouri cu contur neregulat la care

descărcarea se face pe două direcţii (b):

Determinarea eforturilor secţionale pentru panourile cu contur regulat se poate face prin

aplicarea simplificată a metodei echilibrului elastic, pe baza tabelelor cu coeficienţi, sau prin

aplicarea metodei echilibrului limită. Aceste metode sunt descrise în continuare. Calculul static

al panourilor de formă neregulată se poate face cel mai uşor cu ajutorul programelor de calcul

automat.

În ceea ce priveşte panourile rectangulare rezemate pe tot conturul se disting 6 tipuri de panouri

izolate funcţie de tipul de rezemare.




În cazul panourilor izolate de placă, de formă rectangulară şi rezemate pe tot conturul,

momentele maxime pentru panoul de tip „i” se pot determina cu relaţiile:

unde:

Mi1, Mi2, M’i1, M

’i2 sunt momentele încovoietoare conform schiţei

αi1, αi2, α’i1, αi2 sunt coeficienţi determinaţi funcţie de raportul laturilor şi de modul de

rezemare

l1 deschiderea cea mai mică a plăcii

q valoarea totală de calcul a încărcărilor normale pe planul plăcii

q = g + q (g - încărcări permanente; q – încărcări variabile)

Rezolvarea practică a panourilor izolate de placă urmăreşte paşii de mai jos:

- se determină geometria plăcii, dimensiunile, şi modul de rezemare

- se stabileşte valoarea totală de calcul a încărcărilor normale pe planul plăcii

- pe baza raportului l=l1/l2 şi ţinând cont de modul de rezemare se extrag din tabel valorile

coeficienţilor α

- se calculează valorile momentelor maxime în câmp şi în reazem pe cele două direcţii.



ECHILIBRULUI LIMITĂ.


Sub încărcări monoton crescătoare un panou de placă cu descărcare bidirecțională prezintă stadii

de răspuns similare celor enumerate pentru plăci cu descărcare unidirecțională. După o anumită

valoare a încărcării armăturile longitudinale intră în curgere, rând pe rând, până când prin liniile

de plastificare care se formează placa se transformă într-un mecanism cinematic cu un grad de

libertate.

Similar cu cazul plăcilor cu descărcare unidirecțională și în cazul plăcilor cu descărcare

bidirecțională se poate scrie o ecuație de lucru mecanic virtual considerând mecanismul de

plastificare al panoului de placă.

De exemplu, în cazul unui panou de placă de formă pătrată, simplu rezemat pe tot conturul și

încărcat uniform distribuit, mobilizarea mecanismului de plastificare se produce după

mobilizarea a 4 linii de plastificare orientate în lungul diagonalelor panoului.




Ecuația de echilibru limită LI=LE este:

unde Mlp este momentul de curgere al plăcii în lungul liniilor de plastificare.

Pentru a scrie ecuația funcție de momentele de curgere paralele cu laturile, Mx și My, se

analizează echilibrul momentelor:

Dacă Mx=My atunci:

Rezultă ecuația de echilibru limită:

Această ecuație poate fi utilizată pentru determinarea încărcării maxime qu, dacă se cunosc

momentele capabile ale plăcii, sau pentru stabilirea momentelor de dimensionare pentru o

încărcare q dată.

Lucrul mecanic al forțelor interioare poate fi scris mai simplu dacă se imaginează două secțiuni

curente prin placa aflată în stadiul de mecanism, pentru fiecare direcție.

Ecuația de lucru mecanic virtual se scrie ca:

Dacă, de exemplu, placa este încărcată numai cu o forță concentrată amplasată la intersecția

diagonalelor, mecanismul de plastificare este același și ecuația de lucru mecanic virtual se

schimbă numai prin schimbarea termenului Le:

În toate aceste ecuații momentele M reprezintă rezultantele momentelor pe unitatea de lungime

fiind exprimate în kNm/m.

În cazul plăcilor cu contur rectangular rezemate pe tot conturul și încărcate uniform distribuit

ecuația generală de echilibru limită se scrie astfel:

unde

rezultantele pe laturi ale momentelor pozitive, de la partea de jos în

câmp, Mx și My

rezultantele pe laturi ale momentelor negative, de la partea de sus în

reazeme, M’x, M”x, M’y și M”y.

În problema de verificare se cunosc momentele capabile ale secţiunilor de beton armat, M, şi

lungimile laturilor. Se determină momentele capabile pe latură si se introduc în ecuaţia de

echilibru limită pentru a obţine valoarea maximă a încărcării qu.

Condiţia de verificare este:

unde

qu valoarea maximă a încărcării pe care placa o poate suporta (Capacitatea)

q valoarea de calcul a încărcării pe placă (Cerinţa)

Problema de dimensionare presupune determinarea armăturii necesare pe reazeme şi în câmp pe

ambele direcţii. Această problemă este nedeterminată deoarece pe baza unei singure ecuaţii

trebuie determinate şase necunoscute (momentele de calcul pe reazeme şi în câmp pe ambele

direcţii). Matematic, o astfel de problemă are o infinitate de soluţii. Oricare dintre aceste soluţii

este acceptabilă strict din punct de vedere al rezistenţei la încovoiere. Se poate ajunge însă la

situaţii nedorite, când datorită cantităţii reduse de armătură dintr-o anumită secţiune, starea de

deformaţii devine inacceptabilă fiind însoţită de o fisurare puternica şi de curgerea severă a

armăturii.

Pentru a evita astfel de stări de deformaţii, se pot stabili rapoarte convenabile între momentele de

calcul din câmp şi din reazeme pentru fiecare direcţie în parte, precum şi între momentele din

câmp de pe cele două direcţii:

(conform STAS 10107/2-92)

(pentru plăcile monolite sau continue cu deschideri egale)

(pentru plăcile continue cu deschideri inegale la care laturile diferă cu cel mult de 30% între ele)

Se formează un sistem de şase ecuaţii cu şase necunoscute ce poate fi rezolvat pentru a obţine

momentele de calcul pe latură, atât în câmp cât şi în reazem. Pe baza lor se pot determina

momentele de calcul pe unitatea de lungime, M, şi ariile necesare de armătură.

Calculul în domeniul postelastic are avantajul că permite redistribuţia momentelor din zonele

cele mai solicitate către zonele mai puţin solicitate. Rezultă astfel plăci armate mai uniform. Este

de dorit ca momentele rezultate din calculul postelastic sa difere cu cel mult 30% faţă de cele

determinate prin metoda echilibrului elastic.

Metoda echilibrului limită poate fi folosită pentru rezolvarea plăcilor de beton armat cu

descărcare bidirecțională dacă se poate imagina mecanismul de plastificare. Mecanismul de

plastificare depinde de forma plăcii, natura reazemelor și natura încărcărilor aplicate.

Mobilizarea mecanismului de plastificare pentru un panou de placă presupune împărțirea

acesteia în poligoane convexe. Poligoanele sunt separate între ele prin linii de plastificare.

Poligoanele convexe se rotesc in jurul unor axe de rotatie. Orice reazem liniar constituie o axă de

rotație. Dacă reazemul este încastrarare atunci axa de rotație coincide cu linia de plastificare care

se formează. Liniile de plastificare se formează în lungul bisectoarelor unghiurilor făcute de

axele de rotație. Prin reazemele punctuale pot trece o infinitate de linii de plastificare.





În cazul plăcilor continue pe una sau două direcţii trebuie găsite cele mai defavorabile moduri de

dispunere a încărcărilor variabile care să conducă la valori maxime ale momentelor. Modul de

dispunere a încărcării permanente este cunoscut la momentul proiectării.

Calculul momentelor pentru fiecare panou în parte prin metoda echilibrului elastic presupune

schematizarea reazemelor în reazeme simple, în care rotirile sunt libere, și încastrări, în care

rotirile sunt împiedicate. În cazul plăcilor cu continuitate peste reazeme schematizarea

reazemelor interioare necesită descompunerea ipotezei de încărcare care conduce la valorile

maxime ale momentelor în două ipoteze care să permită controlul rotirilor plăcii în reazemele

intermediare.

Dacă o încărcare este distribuită uniform pe suprafața plăcii atunci rotiririle panourilor de placă

în reazemele intermediare sunt reduse și reazemele pot fi schematizate ca încastrări.

Dacă o încărcare este distribuită alternant de la un panou de placă la altul rotirile în reazeme sunt

maxime și fiecare panou în parte poate fi considerat simplu rezemat în reazemele intermediare.

Valorile maxime ale momentelor pozitive într-un câmp se obțin prin încărcarea câmpului

respectiv cu încărcarea variabilă, q, în timp ce restul câmpurilor sunt încărcate în șah. Sistemul

de plăci este încărcat și uniform distribuit cu încărcarea permanentă, g.

Această ipoteză de încărcare poate fi descompusă în două ipoteze de încărcare care să permită

controlul rotirilor în reazemele intermediare, astfel:




- o ipoteză de încărcare uniform distribuită cu valoarea g+q/2, situație în care panourile de

placă pot fi calculate separat considerându-le încastrate pe reazemele intermediare

- o ipoteză cu încărcare alternantă ±q/2, situație în care panourile de placă pot fi calculate

separat considerându-le simplu rezemate în reazmele intermediare

Determinarea momentelor maxime şi minime în câmp pentru un panou dat se face prin aplicarea

celor două scheme convenţionale de încărcare, astfel:

- Pentru prima schemă convenţională de încărcare plăcile se consideră încastrate pe

reazemele intermediare şi cu rezemarea reală pe conturul planșeului. Valoarea încărcării uniform

distribuite este de g+q/2.

- Pentru a doua schemă convenţională de încărcare plăcile se consideră simplu

rezemate pe reazemele intermediare şi cu rezemarea reală pe contur. Valoarea încărcării

distribuită alternant este în acest caz de q/2.

Valoarea maximă şi minimă a momentelor încovoietoare se determină prin adunarea momentelor

determinate prin aplicarea celor două scheme de încărcare urmărind paşii descrişi în cazul

panourilor de placă independente.

Valorile maxime ale momentelor negative într-un reazem intermediar se obțin prin încărcarea

câmprilor învecintate reazemului cu încărcarea variabilă, q, în timp ce restul câmpurilor, din

stânga și din dreapta reazemului în discuție, sunt încărcate în șah cu încărcarea q. Sistemul de

plăci este încărcat și uniform distribuit cu încărcarea permanentă, g.

Această ipoteză de încărcare se descompune în două ipoteze care permit controlul rotirilor în

reazemele intermediare:

- o ipoteză de încărcare uniform distribuită cu valoarea g+q/2 situație în care panourile de

placă pot fi calculate separat considerându-le încastrate pe reazemele intermediare

- o ipoteză cu încărcare q/2 în câmpurile învecinate reazemului în discuție și încărcare

±q/2 dispusă alternant în restul câmpurilor. În această situație panourile de placă pot fi calculate

separat considerându-le simplu rezemate în reazmele intermediare și încastrate în reazemul în

discuție.

Pentru determinarea momentului într-un reazem dat, calculul se face separat pentru fiecare dintre

cele două panouri adiacente reazemului. Pentru fiecare panou (considerat izolat) se aplică tot

două scheme convenţionale de încărcare, după cum urmează:

- Pentru prima schemă convenţională de încărcare panourile se consideră încastrate pe

reazemele intermediare şi cu rezemarea reală pe contur. Valoarea încărcării uniform distribuite

este de g+q/2.

- Pentru a doua schemă convenţională de încărcare panourile încastrate pe reazemul

comun şi simplu rezemate pe toate celelalte laturi. Valoarea încărcării distribuită de sus în jos

este în acest caz de q/2.

Prin însumarea momentelor obţinute în urma aplicării celor două scheme de încărcare se obţin

două valori ale momentului pe reazemul considerat, cate una pentru fiecare panou. Valoarea

finală a momentului maxim pe reazem este dată de semisuma momentelor obţinute pentru fiecare

panou în parte.


BIDIRECȚIONALĂ. REGULI DE ARMARE,

PREVEDERI CONSTRUCTIVE..


Dimensionarea armăturilor se face ca şi în cazul plăcilor armate pe o direcţie considerând o

secţiune dreptunghiulară simplu armată, de lăţime unitară. Se determină prin calcul armătura

longitudinală din câmp şi din reazeme pe ambele direcţii. În urma calculului de dimensionare

rezultă necesarul de armătură pe unitatea de lungime.

Trebuie să se ţină seama de faptul ca înălţimea utilă a secţiunii diferă pe cele două direcţii:

Pentru armătura de la partea de sus, dispusă pe reazeme, înălţimea utilă a secţiunii este aceeaşi pe

ambele direcţii, şi este egală cu hp-a.

Regulile generale de armare a plăcilor sunt prezentate la plăci cu descărcare unidirecțională.

Plăcile armate pe 2 direcţii se pot arma atât cu plase legate cât şi cu plase sudate. Plasele legate

pot avea fie numai bare drepte, fie bare drepte şi bare înclinate, pe ambele direcţii.

Armăturile de repartiţie se dispun numai în zonele unde nu există armături de rezistenţă pe

ambele direcţii. Astfel de zone se găsesc la partea de sus a plăcii, în partea centrală a reazemelor.




În cazul în care în plăci sunt lăsate goluri trebuie luate măsuri pentru bordarea acestora.

Dacă golurile sunt de dimensiuni reduse relativ la dimensiunea panoului de placă (Σai≤l/5) atunci

armătura din placă întreruptă de gol se dispune concentrată ca armătură de bordaj. Nu este

necesar ca în calculul eforturilor să se țină seama de golurile din placă. Armăturile de bordaj se

prelungesc dincolo de marginea golului cu a1/2+launde a1 este dimensiunea golului

perpendiculară pe direcția armăturii în discuție. Această lungime de ancorare se calculează astfel

încât să se asigure antrenarea barelor întrerupte prin biele comprimate de beton care se

mobilizează în planul plăcii.

În cazul golurilor de dimensiuni medii (l/5<Σai≤l/2) este necesar ca în calculul eforturilor să se

țină cont de prezența golurilor în placă.

În cazul golurilor de dimensiuni mari (l/2<Σai) se recomandă dispunerea de grinzi de bordaj.

BIBLIOGRAFIE


La redactarea acestei secțiuni au fost consultate următoarele documente normative si publicații:

Institutului Român de Standardizare, Calculul si alcătuirea elementelor structurale din beton ,

beton armat şi beton precomprimat, STAS 10107/0-90, 1990

Eurocode 2: Design of concrete structures - Part 1-1: General rules and rules for buildings

MacGregor J., Wight J., Reinforced Concrete Mechanics and Design, Prentice Hall, 2005

Pavel C., Constructii din beton armat, Institutul de Constructii Bucuresti, 1980

Pascu R., Popa V., Coțofană D., Studii experimentale asupra proprietăților mecanice ale

plaselor sudate "Forte", Raport preliminar - UTCB, 2005




plĂci plane de beton armat

Documents