GLOSAR

POLIEDRU – din greacă POLYHEDRON, POLY – (mai) multe, HEDRON – faţă (suprafaţă plană), corp mărginit de mai multe suprafeţe plane;

POLIEDRU CONVEX sau EULERIAN – dacă segmentul care uneşte două puncte oarecare ale poliedrului conţine numai puncte din interiorul acestuia;

TEOREMA LUI EULER – dacă v este numarul vârfurilor, f numărul feţelor şi m numărul muchiilor unui poliedru convex, atunci: v + f – m = 2 ;

POLIEDRU REGULAT – suprafaţa acestuia se compune numai din poligoane regulate congruente (se mai numeşte şi poliedru platonic);

Există numai cinci poliedre regulate convexe, pentru că suma unghiurilor formate de muchiile care se întâlnesc într-un vârf trebuie să fie mai mică decat 360˚. Feţele poliedrului pot fi triunghiuri echilaterale, pătrate sau pentagoane regulate:

POLIGONUL

FEŢEI

NR. FEŢELORCARE SE

ÎNTÂLNESCÎNTR-UN

VÂRF

NUMĂRULDENUMIREA

POLIEDRULUIFEŢELOR

MUCHIILOR

VÂRFURILOR

Triunghi echilatera

l

3 4 6 4 TETRAEDRU

Triunghi echilatera

l

4 8 12 6 OCTAEDRU

Triunghi echilatera

l

5 20 30 12 ICOSAEDRU

Pătrat 3 6 12 8 CUB

Pentagon regulat

3 12 30 20 DODECAEDRU

1

Aceste poliedre pot fi înscrise în sfere ale căror centre coincid cu centrele acestor corpuri. Sfera circumscrisă trece prin toate vârfurile poliedrului. Perpendicularele ridicate în centrul feţelor trec prin centrul poliedrului sau al sferei circumscrise.

CALOTĂ SFERICĂ – un plan taie o sferă după un cerc, împărţind suprafaţa sferică în două calote sferice. Aceste calote sunt egale dacă planul trece prin centrul sferei;

CERC MARE – intersecţia unui plan ce trece prin centrul unei sfere cu sfera respectivă;

PUNCT GEODEZIC – punct de pe suprafaţa terestră (suprafaţă sferică) a cărui poziţie este precis stabilită;

LINIE GEODEZICĂ – curba mai scurtă decât orice altă curbă situată pe aceeaşi suprafaţă şi trecând prin aceleaşi puncte (puncte geodezice);

TRIUNGHI GEODEZIC – triunghi ale cărui vârfuri sunt puncte geodezice, iar laturile sunt linii geodezice;

CUPOLĂ – partea de formă semisferică, poligonală sau eliptică care alcătuieşte acoperământul unei structuri spaţiale;

SINERGIE – funcţiunea, proprietatea unui întreg (sistem) prin asocierea, cooperarea părţilor (elementelor) care îl formează;

NUMĂRUL DE AUR – (numit şi proporţia de aur, secţiunea de aur, proporţia divină, numărul lui Phidias) număr iraţional cu valoarea (√5 + 1)/2, (aproximativ 1,618033989), notat deseori cu Ø sau phi. Această proporţie se foloseşte din cele mai vechi timpuri în arhitectură sau artă ca un raport al frumuseţii perfecte. Unul din acele numere misterioase, ca ∏ şi e, care par a fi născute din structura de bază a Universului. Phi apare clar şi regulat în fenomenele naturale de creştere.

2

1. INTRODUCERE

Prezentul studiu încearcă un răspuns la întrebarea “Cum s-ar putea realiza o structură spaţială (cu diverse utilizări, de exemplu locuinţă) ieftină, eficientă, rezistentă, sigură, estetică, uşor şi rapid de construit, accesibilă unui număr cât mai mare de beneficiari ?”. În acest sens, cupola geodezică - o reţea de triunghiuri care aproximează o calotă sferică – poate fi o provocare interesantă.

Deşi Walter Bauersfeld a proiectat şi construit, în 1922, prima cupolă geodezică la atelierele de optică Carl Zeiss din Jena-Germania, (re)inventarea acesteia, in 1947, este atribuită americanului Richard Buckminster Fuller (1895-1983), inginer, matematician, poet, cosmolog, filozof, considerat geniul arhitecturii secolului XX.

O incursiune foarte scurtă în vasta operă a acestuia este, poate, utilă pentru a plasa subiectul într-un context care să îl facă mai bine înţeles.

În eseul “Guinea Pig B”, scris cu câteva zile înainte de a se stinge din viaţa pe care o priveşte retrospectiv ca pe un experiment, Buckminster Fuller –“Bucky”- relatează că timp de peste cincizeci de ani, renunţând la prejudecăţi şi practici tradiţionale, a încercat să privească lucrurile într-un mod natural pentru a descoperi principii care guvernează Universul, aplicabile problemelor cu care se confruntă omenirea, în folosul efectiv al acesteia şi nu în cel al marilor state, religii sau întreprinderi private, oricât de bogate sau puternice ar fi.

“SYNERGETICS – Explorations in the Geometry of Thinking” (SINERGETICA – Explorări în geometria gândirii), lucrare editată de Fuller în 1979, este una din cele mai clare şi cuprinzătoare tentative de a explica, prin geometrie, Universul si fenomene ce îl guvernează, legând limbajul stiinţific de unul comun. Sinergia este definită ca însuşirea unui sistem integral, care nu poate fi intuită cunoscând însuşirile elementelor constitutive luate separat (Synergetics – Section 101.01, 102.00). Ruperea unui subiect în părţi, pentru a fi studiate separat, nu duce la înţelegerea cuprinzătoare a totului – “natura are un singur departament şi un singur limbaj”. Aşa cum au descoperit chimiştii, o demonstraţie de sinergie este modul în care se comportă atomii sau moleculele când sunt separate dintr-un compus, ceea ce nu explică comportamentele asociate, părând a fi vorba despre “energii pierdute” (Synergetics – Section 106.00).

Aritmetic, un triunghi + un triunghi = două triunghiuri. Într-o asociere spaţială pot determina ceva fundamental: un tetraedru – poliedru cu patru feţe - un

3

sistem, o împărţire a Universului în interior şi exterior. Acum, sinergic, un triunghi + un triunghi = patru triunghiuri (Synergetics – Section 108.02, 108.03). După Fuller, tetraedrul este baza tuturor structurilor spaţiale existente, sistemul elementar (minimal) prin a cărui geometrie se poate explica totul, de la atom la galaxie (Synergetics – Section 402.02).

Cuvântul tensegritate (tensegrity) este obţinut prin comprimarea expresiei integritate tensională şi descrie modelul care rezultă atunci când a trage (pull) şi a împinge (push) (tracţiune-compresie, respingere-atracţie) se află într-o relaţie reciproc avantajoasă (Synergetics – Section 700.01). Percepţia, aproape generală, este că cele două forţe se află în opoziţie (spre interior – spre exterior, în spate – în faţă), dar ele sunt complementare, găsindu-se întotdeauna împreună. Un exemplu este balonul de cauciuc (sau balonul de fotbal – “Bucky ball” – o membrană sferică alcătuită din hexagoane albe şi pentagoane negre): moleculele de aer împing discontinuu (divergent) membrana întinsă continuu (convergent), forţele aflate în echilibru (tensegritate) menţinând balonul umflat, făcându-l foarte rezistent (se ştie că este destul de greu de spart). Toate structurile geodezice sunt caracterizate de tensegritate chiar dacă acest lucru este sau nu perceptibil (Synergetics – Section 794.01).

Cupolele geodezice sunt, din punct de vedere intelectual, foarte atractive. Este posibilă realizarea unei structuri spaţiale de dimensiuni mari prin repetarea unor elemente de dimensiuni mici. Forma structurii depinde doar de câteva elemente individuale şi de modul în care acestea sunt asamblate, rezultând pur şi simplu din procesul de construcţie, nefiind nevoie de măsurători precise. Elementele individuale formează triunghiuri, care sunt sistemul de bază a stabilităţii structurale. Un triunghi poate fi distorsionat numai prin schimbarea dimensiunilor laturilor, în timp ce orice alt poligon poate să-şi schimbe forma prin alterarea unghiurilor sale. Din această cauză structurile geodezice sunt foarte rezistente (dacă în punctele geodezice ar avea atomi de carbon ar fi mai dure decât diamantul – aşa numitele cristale fullerene C60, sintetizate prima dată după anul 1990) şi uşoare comparativ cu construcţiile clasice rectangulare.

Această structură dublu curbată este autoportantă, ceea ce înseamnă că indiferent de suprafaţa pe care o acoperă nu este necesar nici un sprijin interior, poate fi compartimentată oricum.

Sfera este corpul geometric cu cel mai bun raport spaţiu închis / suprafaţă de închidere. O structură geodezică care o aproximează respectă principiul enunţat de Fuller: a face mai mult cu mai puţin (“doing more with less”), ceea ce poate însemna materiale mai puţine, costuri mai mici, eficienţă mărită din punct de vedere energetic (cheltuielile cu energia folosită pentru asigurarea microclimatului sunt cu 30%-50% mai mici decât în cazul unei structuri convenţionale).

Se estimează că acestă formă arhitecturală, recunoscută internaţional pentru prima dată cu ocazia Trienalei comunităţii arhitecţilor - Milano 1954, a fost folosită la execuţia a peste 300 mii de structuri, cu diferite destinaţii (rezidenţiale, comerciale, industriale), marea lor majoritate în Statele Unite, Canada, Australia, Japonia. Este una din cele mai rezistente şi aerodinamice

4

(face faţă cu succes vânturilor puternice) structuri posibile, cea mai sigură din punct de vedere seismic, eficientă energetic.

Tehnologiile existente permit soluţii de realizare diverse: beton armat, structură metalică, elemente liniare din lemn cu conectori din oţel, panouri din lemn, panouri din răşini sintetice cu suport din fibră de sticlă, panouri din spumă sintetică sau din materiale compozite şi, cu siguranţă, multe altele. Indiferent de soluţia adoptată gradul de prefabricare şi modulare este foarte ridicat, ceea ce permite asamblarea unei astfel de structuri într-un timp foarte scurt.

2. GEOMETRIA CUPOLEI GEODEZICE

2.1 ICOSAEDRUL Poliedrele convexe regulate sunt corpurile geometrice care stau la baza structurilor geodezice. Din raţiuni arhitecturale şi structurale cel mai des

utilizat este icosaedrul, (aproximează bine sfera) corp cu 20 de feţe (triunghiuri echilaterale, grupate câte 5 în jurul fiecărui vârf), 30 de muchii şi 12 vârfuri.

Într-o reprezentare grafică, coordonatele vârfurilor pot fi cele din tabloul de mai jos, unde phi este numărul de aur (număr iraţional, aproximativ egal cu: 1,618033989), iar muchiile poliedrului sunt determinate de segmentele: (V1,V5); (V1,V2); (V1,V6); (V1,V9); (V1,V11); (V2,V5); (V2,V6); (V2,V10); (V2,V12); (V3,V4); (V3,V7); (V3,V8); (V3,V9); (V3,V11); (V4,V7); (V4,V8); (V4,V10); (V4,V12); (V5,V7); (V5,V9);

(V5,V10); (V6,V8); (V6,V11); (V6,V12); (V7,V9); (V7,V10); (V8,V11); (V8,V12); (V9,V11); (V10,V12).

V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V11 V12x 1 -1 1 -1 0 0 0 0 phi -phi phi -phiy 0 0 0 0 phi -phi phi -phi 1 1 -1 -1z phi phi -phi -phi 1 1 -1 -1 0 0 0 0

Icosaedrul are trei seturi simetrice de axe de rotaţie, care generează o reţea compusă din 31 de cercuri.

5

A – rotaţia icosaedrului în jurul axelor care trec prin mijlocul muchiilor opuse generează 15 cercuri

B – rotaţia icosaedrului în jurul axelor care trec prin vârfurile opuse generează 6 cercuri

C - rotaţia icosaedrului în jurul axelor care trec prin centrele de greutate ale feţelor opuse generează 10 cercuri

Dacă reţeaua de cercuri se proiectează din centrul poliedrului pe sfera circumscrisă acestuia se obţin 31 de cercuri mari (linii geodezice) ca în figura de mai jos (dreapta).

Cu linii mai groase sunt reprezentate feţele icosaedrului (stânga) şi triunghiurile geodezice (dreapta) rezultate în urma proiecţiei centrale a acestora pe sfera circumscrisă.

2.2 CALCULUL RAZEI SFEREI CIRCUMSCRISE ICOSAEDRULUI

Se consideră un icosaedru cu muchiile egale cu unitatea şi sfera circumscrisă acestuia. Dacă se secţionează aceste corpuri cu un plan care conţine o muchie a icosaedrului şi trece prin centrul acestora se obţine figura din stânga, unde:

6

- AB este muchie a icosaedrului;- A,B,C sunt vârfuri ale icosaedrului;- OD,OE distanţa de la centrul corpurilor la oricare din muchiile icosaedrului;- BE,CE înălţimi în triunghiurile echilaterale, feţe ale icosaedrului;- AO,BO,OC = R raza sferei circumscrise icosaedrului.

Se notează cu α unghiul AOD = unghiul DOB şi cu β unghiul BOE = unghiul EOC.

Se observă că 2α + 2β = 180˚, adică α + β = 90˚, deci sin α = cos β.

Fiind înălţimi în triunghiuri echilaterale cu laturile egale cu unitatea, BE = CE = (√3)/2.

Din triunghiul dreptunghic BDO: sin α = 1/(2R) şi OD = √( R²-1/4). Din triunghiul BOE, folosind teorema lui Pitagora generalizată, se poate scrie relaţia 3/4 = R² + OE² - 2·R·OE·cos β, în care dacă se înlocueşte OE cu OD = √( R²-1/4) şi cos β cu sin α = 1/(2R), se obţine ecuaţia 16R4 - 20R² + 5 = 0, din ale cărei rădăcini se reţine R = √[(5+√5)/8], cu valoarea aproximativă: 0,951056516.

Dacă se notează lungimea muchiei icosaedrului cu M, atunci avem relaţiile:R = 0,951056516·M sau M = 1,051462224·R (valori aproximative).

2.3 CLASIFICARE

Forma cupolei geodezice se obţine prin divizarea feţelor poliedrului de bază în poligoane mai mici, ale căror vârfuri sunt apoi proiectate pe suprafaţa sferei care circumscrie poliedrul respectiv.

Clasificarea cupolelor geodezice se face în funcţie de poliedrul de bază, numărul şi tipul diviziunilor, “latitudinea” la care se taie sfera geodezică pentru a se obţine cupola.

În contextul în care poliedrul de bază a cupolei geodezice este tetraedrul, octaedrul sau icosaedrul, termenul triangulaţie descrie procesul de divizare a feţei triunghiulare a acestuia într-o reţea de triunghiuri mai mici.

După tipul triangulaţiei feţei poliedrului de bază, cupolele geodezice se împart în următoarele clase:

- CLASA I divizare de la latură la latură (paralel cu latura);- CLASA II divizare de la latură la vârf (perpendicular pe latură);- CLASA III alt tip de triangulaţie decât la clasele anterioare.

7

În prezentul studiu se va lua în considerare cupola geodezică de clasă I.

Numărul segmentelor în care se divide fiecare latură a poligonului de bază în procesul de triangulaţie poartă denumirea de frecvenţă şi se notează de obicei cu f. Structura geodezică de frecvenţă 1 (1f) este poliedrul de bază.

8

A trunchia un corp înseamnă a tăia o parte din acesta, de obicei după un reper natural. Se obţine o cupolă geodezică prin trunchierea unei sfere geodezice la o anumită “latitudine”. De exemplu, dacă se taie sfera în jumătate, adică la “ecuator”, rezultă o cupolă geodezică despre care se spune, convenţional, că este “½ trunchiată”.

În figura de mai jos sunt schiţate cupole geodezice cu icosaedru ca poliedru de bază, de clasă I, de diferite frecvenţe, 1/2 sau 5/8 trunchiate.

1f – 5/8 2f – 1/2 3f – 5/8

4f – 1/2 5f – 5/8 6f – 1/2

2.4 MUCHII În urma procesului de divizare a feţelor icosaedrului şi a determinării noilor vârfuri prin proiecţia centrală pe sfera circumscrisă, rezultă un poliedru care nu are toate muchiile egale. În funcţie de frecvenţa triangulaţiei rezultă un anumit set de lungimi ale acestora.

Pentru a determina lungimea unei muchii, coardă în cerc mare al sferei circumscrise icosaedrului, este nevoie de unghiul la centru care o întinde.

Se consideră un icosaedru cu muchiile egale cu unitatea, apoi fiecare din acestea se divid in f părţi egale. Se aplică procedeul triangulaţiei specific clasei I, obţinându-se un număr de f² triunghiuri echilaterale congruente cu latura egală cu 1/f.

9

Pentru f=4 avem figura alăturată, unde fiecare punct a fost notat cu o pereche de numere, după o regulă evidentă.

Punctele (0,0), (4,0) şi (0,4) sunt puncte de pe sfera circumscrisă icosaedrului, deci distanţa de la centrul acesteia la respectivele puncte este R (raza sferei).

Celelalte puncte nu ating sfera, distanţa de la acestea la centrul sferei fiind mai mică decât R.

După câteva consideraţii şi calcule se poate ajunge la formula generalizată de calcul a distanţei de la centrul sferei la un punct (m,n):

D(m,n) = {√[(R²+1)f² + (m+n)² - (m+f)(n+f)]}/2.

După proiecţia centrală, pe sferă, a punctelor (m,n), folosind Teorema lui Pitagora generalizată, lungimea muchiei (m,n) a cupolei geodezice, aşa cum rezultă din figură, este:

M(m,n) = R√[2(1-cosθ)],

unde √[2(1-cosθ)] este factorul muchiei, R este raza sferei circumscrise icosaedrului şi θ este unghiul la centru cu valoarea cosinusului calculată după formula:

D(m+1,n)² + D(m,n+1)² - 1/f²

cos θ(m,n) = ―――――――――――――――――――. 2 D(m+1,n)

D(m,n+1)

Aşa cum reiese din figurile de mai jos (triangulaţii cu frecvenţe de la 1f la 6f), prin simetrie, este suficient a se calcula doar unghiuri la centru “orizontale” (de exemplu între (1,1) şi (0,2) sau (2,2) si (1,3)).

10

În tabelul următor se găsesc valorile factorului muchiei, funcţie de frecvenţă (1f ÷ 6f):

FACTORUL MUCHIEIMUCHI

AFRECVENŢA

1f 2f 3f 4f 5f 6fA 1,0514

60,6180

30,3486

20,2531

80,1981

50,1625

7B ― 0,5465

30,4035

50,2952

40,2317

90,1904

8C ― ― 0,4124

10,2945

30,2256

90,1819

1D ― ― ― 0,3128

70,2472

40,2028

2E ― ― ― 0,3249

20,2551

70,1873

8F ― ― ― 0,2985

90,2450

90,1980

1G ― ― ― ― 0,2616

00,2095

1H ― ― ― ― 0,2316

00,2153

5I ― ― ― ― 0,2453

50,2166

3 Factorul muchiei este factorul de multiplicare a razei sferei circumscrise poliedrului de bază. Astfel, lungimea unei anumite muchii a cupolei geodezice se calculează:

lungimea muchiei = raza sferei x factorul muchiei.

Se observă că setul lungimilor are mai multe elemente pe măsură ce creşte frecvenţa.

Pentru o cupolă geodezică de frecvenţa 3f setul lungimilor are trei elemente distincte, A, B şi C care formează două tipuri de triunghiuri isoscele: AAB şi CCB. Muchia B, latură în triunghiul AAB şi CCB, formează o reţea de pentagoane, respectiv hexagoane care aproximează suprafaţa sferică circumscrisă structurii geodezice. Toate acestea sunt ilustrate în figura de mai jos:

11

12