58234087-eea-bidian
TRANSCRIPT
1
I N T R O D U C E R E
1. OBIECTUL CURSULUI DE
ELECTROTEHNICĂ ŞI ELECTRONICĂ
Electrotehnica studiază fenomenele electrice şi magnetice cu scopul
utilizării lor în tehnică. Problemele studiate se împart în două categorii: probleme
de electroenergetică şi probleme de electrocomunicaţii.
Electroenergetica studiază tehnica producerii, transportului şi utilizării
energiei electromagnetice (tehnica curenţilor tari).
Electrocomunicaţiile studiază producerea, transmisia, reproducerea şi
înregistrarea semnalelor electromagnetice purtătoare de informaţii. Cele două
categorii de probleme intervin împreună în aplicaţiile tehnice. O linie modernă de
montaj este compusă din instalaţii electroenergetice (transformatoare electrice,
motoare electrice, aparataj electric, linii electrice de alimentare etc.) şi instalaţii de
protecţie, măsură, comandă, control, semnalizări etc., care primesc, prelucrează şi
transmit informaţii privitoare la modul în care se fac acţionarea, reglajul şi
comanda procesului tehnologic.
Câmpul electromagnetic are energie cu proprietăţi remarcabile cum ar fi:
- se obţine uşor din alte forme de energie;
- se transformă uşor şi cu randamente ridicate în alte forme de energie;
- se transmite uşor, economic şi practic instantaneu la mari distanţe;
- se distribuie foarte uşor şi cu randamente ridicate la un număr mare de
consumatori de puteri diferite cu ajutorul reţelelor electrice.
Datorită acestor proprietăţi energia electromagnetică este utilizată pe scară
largă în majoritatea aplicaţiilor tehnice.
Acest curs de "Electrotehnică şi electronică " se adresează studenţilor
facultăţii de Inginerie Tehnologică specialitatea: Inginerie economică industrială,
învăţământ la distanţă, precum şi celor care vor să înţeleagă modul în care se
transmite energia electromagnetică, cum se pot calcula circuitele electrice precum
şi elemente sumare de electronică. Cursul cuprinde două părţi principale:
Electrotehnica (Electrostatica, Electrocinetica, Electrodinamica, Teoria circuitelor
electrice în regim permanent sinusoidal (curent alternativ)) şi Electronică
(semiconductoare: dioda semiconductoare, tranzistorul, tiristorul, redresoare,
invertoare, amplificatoare).
2
I. E L E C T R O T E H N I C A
1. ELECTROSTATICA
Electrostatica este capitolul care studiază stările electrice invariabile în
timp şi neânsoţite de curenţi electrici de conducţie, respectiv de dezvoltare de
căldură, căldură care caracterizează aceşti curenţi. În regimul electrostatic, mărimile de stare ale câmpului electric sunt
invariabile în timp, deci derivatele lor parţiale în raport cu timpul sunt nule, iar
curentul electric de conducţie este nul. Regimul electrostatic este regimul în care
fenomenele electrice se pot studia independent de fenomenele magnetice.
1.1. FENOMENE DE ELECTRIZARE
Dacă se freacă un baston de sticlă cu o bucată de mătase şi apoi se separă
cele două corpuri, se constată că atât între ele cât şi asupra corpurilor uşoare din
apropiere, se exercită acţiuni ponderomotoare (forţe şi cupluri) care nu existau
înainte. Se spune că sistemul format din cele două corpuri s-a electrizat, iar acestea
se află într-o nouă stare numită stare de electrizare.
Se numeşte starea de electrizare a corpurilor, acea stare a lor în care ele
sunt capabile să exercite acţiuni ponderomotoare de natură electrică asupra
altor corpuri. Ea se explică microscopic printr-un surplus sau un minus de
electroni.
Electrizarea corpurilor prin frecare, de
exemplu a bastonului de sticlă, se obţine
prin trecerea unui număr de electroni
periferici de pe bastonul de sticlă pe
bucata de mătase. Sarcina electrică a
electronului fiind qe = -1,602.10-19
C,
Fig.1.1 - Electrizarea corpurilor prin
influenţă electrostatică.
bastonul de sticlă rămâne încărcat cu sarcina pozitivă ca urmare a plecării
electronilor, iar mătasea se va încărca cu sarcină electrică negativă, ca urmare a
trecerii electronilor de pe baston pe ea.
Corpurile se mai pot electriza prin contact cu corpurile electrizate, prin
influenţa electrostatică (fig.1.1), prin iradiere cu radiaţii Roentgen sau ultraviolete,
prin deformare (efect piezoelectric), prin încălzire (efect piroelectric), prin efecte
chimice, prin efecte fotoelectrice etc.
1.2. SARCINA ELECTRICĂ. DENSITĂŢI DE SARCINĂ
ELECTRICĂ
Sarcina electrică q este mărimea primitivă scalară de stare a corpurilor,
care caracterizează la scară macroscopică starea de electrizare a acestora,
fiind independentă de poziţia şi orientarea lor.
Prin convenţia stabilită de fizicianul american B. Franklin (1706-1790) ca
3
sarcina electronului să fie negativă, se numeşte sarcină electrică pozitivă cea
obţinută prin lipsă de electroni şi sarcină electrică negativă cea obţinută printr-un
surplus de electroni. Unitatea de măsură a sarcinii electrice este Coulombul (C).
Pentru caracterizarea locală a stării de electrizare a corpurilor s-au definit
densităţile de sarcină electrică.
Dacă sarcina unui corp este repartizată în volumul lui (corp izolant sau
semiconductor), densitatea de volum ρv a sarcinii electrice se defineşte prin
limita raportului dintre sarcina Δq şi volumul ΔV în care se găseşte (fig.1.2),
când acest volum tinde către zero şi când limita există:
. m
C
V
q =
V
q lim =
3
0Vv
d
dρ
(1.1)
Fig.1.2 - Explicativă la calculul
densităţii de volum a sarcinii electrice.
În cazul unei repartiţii a sarcinii
electrice pe suprafeţe subţiri sau pe corpurile
electroconductoare, se defineşte densitatea
de suprafaţă ρs a sarcinii electrice prin
limita raportului dintre sarcina Δq şi
suprafaţa ΔS pe care se găseşte, când
această suprafaţă tinde către zero şi când
limita există:
. m
C
S
q =
S
q lim =
Ss
2
0 d
dρ
(1.2)
Dacă sarcina electrică este repartizată pe fire electroconductoare subţiri, se
defineşte densitatea de linie ρl a sarcinii electrice prin limita raportului dintre
sarcina Δq şi lungimea Δl pe care se găseşte, când această lungime tinde către
zero şi când limita există:
. m
C
l
q =
l
q lim =
l l
d
dρ
0 (1.3)
În relaţiile de mai sus, s-au considerat domeniile ΔV, ΔS, Δl suficient de
mici pentru ca mărimile macroscopice să aibă o variaţie neglijabilă în cuprinsul lor.
Cunoscând dependenţa în spaţiu a densităţilor de sarcină, ρ(x,y.z), se poate
calcula sarcina totală a corpului, cu relaţiile:
. l =q ; S = q ; V = q lC
sS
vV
dρdρdρ (1.4 a,b,c)
1.3. CÂMPUL ELECTRIC ÎN VID
După cum s-a constatat experimental, între corpurile electrizate sau între un
corp electrizat şi corpurile uşoare, apar acţiuni ponderomotoare de natură electrică.
Exercitarea unor astfel de acţiuni, pune în evidenţă existenţa unui nou sistem fizic
4
în spaţiul din jurul corpurilor încărcate electric, numit câmp electric. Deoarece se
consideră că acţiunea dintre corpuri nu se poate realiza de la distanţă (concepţia
acţiunii prin continuitate), i se atribuie câmpului electric proprietatea de a transmite
la distanţă acţiunile ponderomotoare. Sub aspect energetic, câmpul electrostatic
este produs prin consum de energie. O parte din energia consumată se regăseşte ca
energie a câmpului electric, energie pusă în evidenţă de lucrul mecanic pe care îl
pot efectua forţele de natură electrică.
Câmpul electric este un sistem fizic diferit de substanţă, care există în
jurul corpurilor electrizate şi în regiunile din spaţiu în care se exercită acţiuni
ponderomotoare de natură electrică şi care permite transmiterea acestor
acţiuni.
1.3.1. Intensitatea câmpului electric în vid
Pentru caracterizarea câmpului electrostatic în vid, se introduce o mărime
vectorială primitivă de stare numită intensitate a câmpului electric în vid în
regim electrostatic vE .
Experimental s-a constatat că forţa ce se exercită asupra unui corp
punctiform încărcat cu o sarcină electrică q, aflat într-un câmp electric, este egală
cu produsul dintre sarcina electrică şi intensitatea câmpului electric din acel punct:
. E q = F v (1.5)
Relaţia (1.5) fiind obţinută prin generalizarea unor date experimentale, este o
lege generală a naturii numită legea acţiunii ponderomotoare în câmpul
electrostatic asupra corpurilor punctiforme, încărcate cu sarcină electrică şi
exprimă matematic procesul de interacţiune dintre câmpul electric şi corpurile
punctiforme electrizate.Vectorul intensitate a câmpului electric în vid vE se poate
calcula în orice punct al câmpului electrostatic cu rela ţia:
. q
F = E v
(1.6)
Unitatea de măsură pentru intensitatea
câmpului electric este Voltul pe metru
(V/m).Pentru explorarea câmpului electrostatic
se foloseşte un corp de probă realizat dintr-o
sferă metalică sau metalizată, practic
punctiformă, încărcată cu o sarcină electrică q
variabilă în timp şi de valoare foarte mică,
pentru a nu modifica câmpul electric studiat.
a) b)
Fig.1.3 – Spectrele liniilor de câmp
electric produs de o sarcină electrică
punctiformă : a) pozitivă; b) negativă.
Liniile de câmp electric sunt curbe care au proprietatea că sunt tangente în
fiecare punct al lor la direcţia locală a vectorului intensitate a câmpului electric.
Liniilor de câmp li se atribuie un sens identic cu sensul vectorului intensităţii
5
câmpului electric. Numărul de linii de câmp pe unitatea de suprafaţă transversală
este proporţional cu mărimea vectorului vE ; unde vE este mai mare, liniile de
câmp sunt mai dese, iar unde vE este mai mic, liniile sunt mai distanţate. Liniile
de câmp electric sunt linii deschise pornind de la corpurile încărcate pozitiv şi
venind la corpurile încărcate negativ.
În figura 1.3. s-au reprezentat spectrele liniilor câmpului electric produs de
un corp punctiform încărcat cu sarcină electrică pozitivă (fig.1.3a), respectiv
negativă (fig.1.3b).Liniile de câmp sunt orientate radial plecând de la sarcina
pozitivă şi venind spre sarcina negativă (s-a considerat că nu există decât acest
corp electrizat în întreg spaţiul).
În figura 1.4 s-au reprezentat spectrele liniilor câmpului electric produs de
două corpuri punctiforme încărcate cu sarcini electrice de acelaşi semn (fig.1.4a) şi
de semne contrare (fig.1.4b).
Fig.1.4 - Spectrele liniilor câmpului electric produs de două sarcini electrice punctiforme vecine:
a) de aceleaşi semne; b) de semne contrare.
1.3.2. Formula lui Coulomb
Fizicianul francez Ch. Coulomb (1736-1806) a măsurat în anul 1785 cu
ajutorul unei balanţeelectrice de torsiune forţele de interacţiune dintre două corpuri
punctiforme, situate în vid şi încărcate cu sarcină electrică. El a stabilit formula:
. r r
= F 123
12
21
021
επ4
1
(1.7)
Fig.1.5 - Explicativă la forţa lui
Coulomb.
Forţa 21 exercitată în vid de un corp
punctiform încărcat cu sarcina electrică q1
asupra altui corp punctiform încărcat cu
sarcina electrică q2, este proporţională cu
produsul sarcinilor electrice şi invers
proporţională cu pătratul distanţei r12 dintre
ele, fiind dirijată după dreapta care le
uneşte(fig.1.5).
Sensurile forţelor sunt astfel încât, corpurile încărcate cu sarcini de acelaşi
semn se resping, iar cele încărcate cu sarcini de semne contrare se atrag.
În relaţia (1.7), ε0 este o constantă universală referitoare la vid, numită
6
permitivitatea vidului, având valoarea:
. m
F =
10 9 π4
1 ε 9 0
(1.8)
1.3.3. Relaţii de calcul pentru intensitatea câmpului electric în vid
a) Câmpul electric produs de un corp punctiform încărcat cu sarcina q.
Se consideră un corp punctiform încărcat cu sarcina q situat în vid (fig.1.6).
Intensitatea câmpului electric în vid într-un punct P situat la distanţa r de sarcină,
va fi raportul dintre forţa care acţionează asupra unui mic corp de probă electrizat,
plasat în acest punct, şi sarcina q' a acestuia:
. r r
q =
q
F = E 3
0v
ε π4
1
(1.9)
b) Câmpul electric produs în vid
de către un corp de formă oarecare
având sarcina repartizată în volum, pe
suprafaţă sau liniar.
Fig.1.6 - Explicativă la calculul intensităţii
câmpului electric produs de o sarcină
punctiformă.
Fie un corp masiv, de o formă oarecare, cu sarcina q repartizată continuu şi
uniform în volum având densita-tatea de volum a sarcinii electrice ρv cunoscută
(fig.1.6). Un element de volum dV având sarcina dq=ρvdV poate fi considerat ca
un corp punctiform şi conform relaţiei (1.9) câmpul electric elementar creat de
sarcina dq în punctul P este:
. r r
V = E
3
v
0
v
d ρ
ε π4
1d
(1.10)
Intensitatea câmpului electric vE rezultă prin integrarea pe întregul volum al
corpului a relaţiei 1.10:
. V r
r = E d
ρ
ε π4
13
v
V0v
(1.11)
Dacă corpul este încărcat cu sarcină electrică numai la suprafaţă, având de nsitatea
de suprafaţă a sarcinii electrice ρs, câmpul electric vE se obţine în mod analog:
, S r
r = E
s
S
dρ
ε π4
13
0v
(1.12)
iar pentru corpuri filiforme, având densitatea de sarcină electrică liniară ρl,
intensitatea câmpului electric va fi:
7
. l r
r = E
l
C
dρ
ε π4
13
0v
(1.13)
Dacă într-o regiune a spaţiului există corpuri încărcate cu sarcini electrice
având densităţile de volum ρv, superficiale ρs şi liniare ρl, precum şi corpuri
punctiforme încărcate cu sarcinile qk, intensitatea câmpului electric în vid, într-un
punct oarecare, se obţine prin superpoziţia câmpurilor:
.r r
+ l r
r + S
r
r + V
r
r =E k
k
kn
1 = k
l
C
s
SVv
3333
v
0
qd
ρd
ρd
ρ
ε π4
1
(1.14)
1.3.4. Inducţia electrică în vid
Cu ajutorul permitivităţii vidului ε0 şi al vectorului intensitate a câmpului
electric în vid vE se defineşte inducţia electrică în vid v ca fiind:
. E = Dv v0 (1.15)
Unitatea de măsură a inducţiei electrice este Coulomb pe metru pătrat (C/m2).
1.3.5. Tensiunea electrică în vid
Fie un câmp electric în vid, al cărui spectru de linii de câmp este reprezentat
în figura 1.7 şi o curbă C aflată în acest câmp. Se defineşte tensiunea electrică între
două puncte A şi B de-a lungul curbei C, mărimea fizică derivată definită prin
integrala de linie a intensităţii câmpului electric în vid, între cele două puncte, de-a
lungul curbei C:
. cos l E = l E=U v
B
) C ( A
B
) C ( A) C ( B A αddv
(1.16)
Din relaţia de definiţie, se observă că
tensiunea electrică depinde de sensul de
integrare şi ca urmare:
Fig.1.7 - Explicativă la calculul
tensiunii electrice.
. U - = U A BB A (1.17)
Sensul de integrare (sensul lui d) se mai numeşte şi sens de referinţă şi se
indică printr-o săgeată pe curba C.
Tensiunea electrică are o semnificaţie fizică. Dacă se înlocuieşte în relaţia
(1.17) vectorul vE cu expresia forţei electrice dată de relaţia (1.6), se obţine:
,q
L = l F
q
1 = l
q
F = l E = U
B AB
) C ( A
B
) C ( Av
B
) C A( B A ddd
(1.18)
relaţie care arată că tensiunea electrică între punctele A şi B este numeric egală cu
8
raportul dintre lucrul mecanic efectuat de forţele câmpului electric pentru a
transporta o sarcină q de la A la B şi valoarea acestei sarcini.
Unitatea de măsură pentru tensiunea electrică este Voltul (V).
1.4. CÂMPUL ELECTRIC ÎN DIELECTRICI
1.4.1. Dielectricii. Momentul electric. Polarizaţie
Dielectricii (izolanţii) au particulele elementare legate în atomi şi molecule,
astfel încât electronii nu se pot separa de atom ca în cazul conductoarelor. Sub
acţiunea forţelor câmpului electric, au loc deplasări limitate ale particulelor
elementare care transformă atomul sau molecula într-un dipol electric elementar.
Se numeşte dipol electric, un sistem
de sarcini egale şi de semne contrare (+q şi
-q) situate la o distanţă mică l (fig.1.9).
Dipolul se caracterizează prin momentul
dipolului pd: vectorul l fiind orientat de la
sarcina negativăla sarcina pozitivă.
Fig.1.9 - Dipolul electric.
lqpd , (1.18)
Există dielectrici cu molecule polare (HCl, H2O, NO2), ale căror molecule se
prezintă sub forma unor dipoli electrici elementari orientaţi în toate direcţiile, în
mod dezordonat. Prin introducerea acestora într-un câmp electric, moleculele
polare se orientează după direcţia câmpului electric (fig.1.9). Există dielectrici (O 2,
N, Si, Ge) la care dipolii elementari apar numai prin deformarea atomilor când
aceştia sunt introduşi într-un câmp electric.
Fenomenul de orientare a dipolilor electrici elementari după o anumită
direcţie se numeşte polarizare. Polarizarea poate fi temporară, dacă orientarea dipolilor elementari depinde
de intensitatea câmpului electric în care este situat dielectricul şi încetează la
dispariţia câmpului electric şi este permanentă, dacă nu depinde de intensitatea
câmpului electric şi rămâne şi după dispariţia câmpului electric.
Polarizarea permanentă poate apărea sub forma: polarizării piezoelectrice
(apare prin deformare mecanică la unele cristale); polarizării piroelectrice (apare
la unele cristale prin încălzire); polarizării permanente a electreţilor (răşini,
plexiglas).
Pentru caracterizarea stării de polarizare a unui mic corp dielectric se
utilizează o mărime fizică vectorială primitivă numită moment electric , definită
prin relaţiile:
,E X p = C v (1.19)
. ) E p ( grad = F v (1.20)
9
Fig.1.10 - Explicativă la
calculul polarizaţiei electrice.
În relaţiile (1.19) şi (1.20) vE reprezintă
intensitatea câmpului electric în vid în punctul în
care se află corpul, C - cuplul electric care
acţionează asupra corpului orientându-l după direcţia
câmpului electric, p - momentul electric, F - forţa ce
se exercită asupra corpului introdus într-un câmp
neuniform (gradientul acţionând numai asupra
intensităţii câmpului electric).
Vectorul moment electric se obţine din suma momentului electric permanent pp şi
a momen tului electric temporar tp:
. p + p = p
tp (1.21)
Starea locală de polarizare a unui corp masiv se caracterizează cu ajutorul
unei mărimi fizice vectoriale derivate numită polarizaţie electrică P definită prin
relaţia:
,
V
p =
V
p lim = P
d
d
0V
(1.22)
unde Δ p = Σ pi reprezintă suma vectorială a momentelor electrice din volumul
ΔV a corpului considerat (fig.1.10). Ţinând seama de relaţia (1.21) se poate scrie:
,P + P = P tp (1.23)
unde Pp reprezintă vectorul polarizaţie permanentă, iar P t -vectorul
polarizaţie temporară.
Unitatea de măsură a momentului electric este Coulomb metru (Cm), iar a
polarizaţiei este Coulomb pe metru pătrat (C/m2).
1.4.2. Generalizarea relaţiilor obţinute pentru câmpul electric din
vid pentru dielectrici Dacă experienţele lui Coulomb s-ar fi efectuat într-un gaz sau într-un lichid
izolant, s-ar fi constatat că modulul forţelor de interacţiune este mai mic. Se
defineşte permitivitatea relativă εr a unui mediu ca raportul dintre forţa de
interacţiune dintre două sarcini punctiforme aflate în vid şi forţa de
interacţiune dintre cele două sarcini aflate în acel mediu şi la aceeaşi distanţă. Într-un mediu oarecare omogen, relaţiile (1.5), (1.7), (1.14), (1.15) se vor
putea scrie:
10
. E = D
,r r
ql+
r
r S+
r
r ρV+
r
r =E
; r r
qq = F
; E q = F
kk
kn
= k3
l
C
s
S3
ε
dρ
ddρ
ε π4
1
ε π4
1
31
3
v
V
12312
2121
(1.24...1.27)
unde E , D reprezintă intensitatea, respectiv inducţia câmpului electrostatic
stabilite în dielectrici, ε = εrε0 - permitivitatea dielectricului, εr - permitivitatea
relativă a dielectricului.
În tabelul 1.1 sunt date valorile permitivităţii relative şi a rigidităţii
dielectrice Ed pentru câteva materiale izolante folosite în construcţia maşinilor şi
aparatelor electrice.
Rigiditatea dielectrică reprezintă valoarea maximă a intensităţii
câmpului electric din material pentru care acesta îşi păstrează proprietăţile
izolante.
Tabelul 1.1
Nr.
Crt
Materialul εr Ed
[V/m.105]
1 Bachelită 2,8 200
2 Preşpan 3,4...4,3 110...300
3 Ulei de transformator 2...2,5 80...120
4 Aer uscat 1,0006 45
5 Sticlă 4...17 120...200
6 Cuarţ 4...4,2 170...200
7 Mică 7 2500...350
0
8 Porţelan glazurat 5...6,5 300...380
9 Steatită glazurată 5...6,4 200...300
10 Micafoliu 4...5 300...400
1.5. RELAŢIILE FUNDAMENTALE ALE
ELECTROSTATICII
Pentru rezolvarea problemelor de electrostatică se utilizează relaţiile
generale ale electrostaticii dintre care unele sunt legi generale, altele sunt legi de
11
material, iar altele sunt teoreme. În electrostatică sunt patru legi, din care una
(legea acţiunii ponderomotoare) a fost enunţată prin relaţiile 1.5 şi 1.24.
1.5.1. Legea polarizaţiei temporare
Experimental s-a stabilit că pentru materiale izotrope şi liniare, polarizaţia
temporară este proporţională cu intensitatea locală a câmpului electric:
,E = P et χε 0 (1.28)
unde χe este o mărime adimensională constantă care depinde de material şi se
numeşte susceptivitate electrică.
Relaţia (1.28) reprezintă legea polarizaţiei electrice temporare.
1.5.2. Legea legăturii dintre inducţia electrică, intensitatea
câmpului electric şi polarizaţie.
Tot experimental s-a dedus că între, E D şi P există următoarea relaţie:
,P + E = D ε0 (1.29)
relaţie care reprezintă legea legăturii dintre inducţie, intensitate şi polarizaţie în
câmpul electric.
În cazul dielectricilor cu polarizaţie temporară, relaţia (1.29) devine:
. E = E = E ) + ( = E + E = D ree εεεχ1 εχε ε 0000 (1.30)
Materialele dielectrice se împart în:
- materiale diaelectrice, care au molecule nepolare, susceptivitatea foarte
mică şi practic independentă de temperatură, permitivitatea relativă foarte
apropiată de unitate şi deci ε ε0;
- materiale paraelectrice, au molecule polare, susceptivitatea relativă mare
şi invers proporţională cu temperatura absolută.
1.5.3. Legea fluxului electric
Se defineşte fluxul electric printr-o suprafaţă S (deschisă sau închisă) ca
integrala de suprafaţă a vectorului inducţie electrică D prin această
suprafaţă (fig.1.11):
. S D = S D = SS
S α cosddΨ (1.31)
Se verifică experimental că fluxul electric printr-o suprafaţă închisă Σ
este numeric egal cu sarcina totală qΣ conţinută în interiorul acelei suprafeţe:
12
Fig.1.11 - Explicativă la
calculul fluxului electric.
.q = S D = S D =
α cosddΨ (1.32)
Relaţia (1.23) reprezintă forma integrală a legii
fluxului electric.
În cazul în care sarcina qΣ este repartizată în
întregul volum, având densitate de volum a sarcinii
electrice ρv, se poate scrie:
. V ρ = q = S D v ddV
(1.33)
Aplicând primei integrale din relaţia (1.33) o transformare Gauss-
Ostrogradski, se obţine:
,V = V D div d ρd vVV
(1.34)
de unde rezultă forma locală a legii fluxului electric:
. = D div vρ (1.35)
Divergenţa inducţiei electrice în orice punct din câmpul electric
omogen, este egală cu densitatea de volum a sarcinii electrice .
Aplicaţie.
Să se calculeze câmpul electric creat de un plan P încărcat electric uniform
cu densitatea de suprafaţă ρs a sarcinii electrice.
Se consideră suprafaţa închisă Σ formată din suprafaţa laterală a unui cilindru
circular drept şi suprafeţele bazelor S, egal depărtate de planul P. Cilindrul are
generatoarea perpendiculară pe plan. Din motive de simetrie inducţia electrică D
este perpendiculară pe planul P (fig.1.12). Ca urmare, fluxul electric prin suprafaţa
laterală a cilindrului este zero ( SD d ), tot fluxul reducându-se la fluxul prin
suprafeţele bazelor de arii egale. Din legea fluxului electric rezultă:
. S = q = D S = S D = S D = S
ρ 2d2d Ψ sΣΣ
Din relaţia de mai sus rezultă inducţia
electrică D:
D = ρs / 2 , D = ρsn / 2 , unde n este
versorul normalei la suprafaţă.
Se observă că vectorul inducţie electrică D
este perpendicular pe planul P şi are modulul
constant nedepinzând de distanţa dintre punct şi
plan, deci, câmpul electric este omogen. Ca urmare
a acestui fapt, între armăturile unui condensator
plan câmpul electric este uniform şi constant.
Fig.1.12 - Explicativă la cal-culul
câmpului electric produs de un
plan încărcat uniform cu
densitatea de sarcină electrică ρs.
13
1.5.4. Teorema conservării sarcinilor electrice
La electrizarea corpurilor neutre din punct de vedere electric, prin frecare,
unul dintre corpuri se încarcă cu sarcina +q (bastonul de sticlă) iar celălalt cu
sarcina -q (mătasea). Sistemul format de cele două corpuri electrizate rămâne cu
sarcina totală zero.
Experienţa arată că în fenomenele de electrizare, apariţia unei sarcini de un
semn pe un corp sau pe un sistem izolat de corpuri este însoţită de apariţia unei
sarcini electrice egale şi de semn contrar pe alt corp sau alte corpuri ale sistemului.
Rezultă că sarcina totală a unui sistem izolat de corpuri este constantă:
. const = q = q k
n
= kt
1 (1.36)
Relaţia (1.36) este o consecinţă a legii conservării sarcinii electrice, care se
va studia la electrocinetică (paragraful 2.6.1).
1.5.5. Teorema potenţialului electrostatic
S-a stabilit experimental că un câmp electrostatic odată stabilit se menţine
fără a mai fi nevoie de un aport de energie din exterior. Ca urmare, în aceste
câmpuri, nu se poate obţine (consuma) lucru mecanic prin efectuarea unui ciclu de
transformări reversibil.
Fig.1.13 - Explicativă la
calculul lucrului mecanic.
Dacă luăm un corp punctiform încărcat cu
sarcina electrică q şi-l purtăm pe un contur închis Γ
(fig.1.13) situat într-un câmp electrostatic, lucrul
mecanic efectuat de forţa electrică , care se exercită
asupra corpului va fi:
, = W - W = l E q = l F = L if 0dd
deoarece
energia finală Wf a câmpului este egală cu energia
iniţială Wi.
Deoarece sarcina electrică q este diferită de zero, rezultă:
. = l E 0d (1.37)
Relaţia (1.37) reprezintă forma integrală a teoremei potenţialului
electrostatic, care afirmă că în câmpul electrostatic, circulaţia vectorului
intensităţii câmpului electric este nulă pe orice curbă închisă. Teorema potenţialului electrostatic are următoarele consecinţe:
a) Într-un câmp electrostatic nu există linii de câmp închise.
Presupunând că ar exista o linie de câmp închisă Γ, din relaţia (1.37) rezultă,
ţinând seama că E ld :
lE d=
.lE 0d
14
Dar ldE > 0, şi deoarece o sumă de termeni pozitivi nu poate fi nulă,
rezultă că presupunerea existenţei unei linii de câmp închisă Γ este falsă.
b) Tensiunea electrică între două puncte nu depinde de drum.
Aplicând teorema potenţialului curbei închise Γ formată din curbele deschise C1 şi
C2 rezultă (fig.1.14):
, = l E- l E= l E l E= lEB
) C ( A
B
) C ( A
A
) C ( B
B
)C ( A
0ddddd2121
sau:
. l E = l E = UB
)C ( A
B
)C A(B A dd
21
(1.38)
c) Se poate defini o mărime scalară de
punct V numită potenţial electric scalar.
Cu ajutorul acestui potenţial se poate
determina intensitatea câmpului electric cu
formula: Fig.1.14 - Explicativă la independenţa
valorii tensiunii electrice de drum
. k z
V + j
y
V + i
x
V = V - = k E+ j E + i E =E zyx
grad
(1.39)
Potenţialul electric al unui punct se determină cu relaţia:
,l E + ) P ( V = l E - ) P ( V = ) P ( VP
P
P
P
dd0
0
00 (1.40)
unde V(P0) reprezintă potenţialul punctului de referinţă P0.
Din relaţia (1.40) rezultă că potenţialul electric al unui punct din câmpul
electric, este determinat numai cu aproximaţia unei constante (valoarea
potenţialului din punctul de referinţă). În probleme, se consideră punctul de
referinţă la infinit sau la suprafaţa pământului, iar valoarea lui se consideră zero.
Diferenţa de potenţial dintre două puncte A şi B din câmpul electrostatic
este:
.U = l E = l E - P V - l E + P = V - V B A
B
A
P
B
P
ABA
0
ddd0
00 (1.41)
Din relaţia (1.41) rezultă că tensiunea electrică dintre două puncte este egală
cu diferenţa potenţialelor electrice ale celor două puncte.
Aplicaţie.
Să se calculeze potenţialul unui punct P aflat în câmpul electrostatic produs
de un corp punctiform încărcat cu sarcina electrică q. Se consideră punctul de
15
referinţă P0 la infinit şi având potenţialul zero.
Din relaţia (1.40) rezultă:
. R
q =
R
R
q = l
R
R
q = l E = P V
R
RP ε π4
d
ε π4d
ε π4d
23
(1.42)
Extinzând relaţia (1.42) pentru cazul în care câmpul electric este produs de
corpuri încărcate cu sarcini distribuite în volum, pe suprafaţă, pe corpuri filiforme,
ale căror densităţi de sarcină electrică sunt cunoscute, şi de către corpuri
punctiforme, rezultă:
. r
q +
r
l +
r
S +
r
V
1 = V
k
kn
= k
l
C
s
S
v
V
1
dρdρdρ
ε π4 (1.43)
1.6. CONDIŢIA DE ECHILIBRU ELECTRO-STATIC
Experienţa arată că la atingerea stării de echilibru electrostatic, intensitatea
câmpului electric se anulează în interiorul conductoarelor omogene şi neaccelerate:
. = E 0 (1.44)
Relaţia (1.44) se poate explica astfel: în conductoare există particule libere
încărcate cu sarcină electrică. Asupra acestor particule aflate într-un câmp electric
de intensitate E s-ar exercita forţe de natură electrică Fe = q E şi ca urmare,
particulele ar avea o mişcare ordonată, deci nu s-ar găsi în regim electrostatic.
Condiţia ca să se păstreze regimul electrostatic impune ca valoarea forţei rezultante
ce acţionează asupra particulelor să fie nulă, deci eF = 0, E = 0. Pentru
conductoare neomogene sau care se găsesc la temperaturi neuniforme sau sunt
accelerate, regimul electrostatic se atinge când intensitatea câmpului electric ia
anumite valori determinate de starea fizico-chimică şi de natura conductorului.
Această proprietate se caracterizează cu ajutorul mărimii vectoriale de material
numită intensitatea câmpului electric imprimat iE , definită de valoarea cu
semn schimbat a intensităţii câmpului electric care se stabileşte în conductori, la
atingerea stării de echilibru:
. = E + E sau ,E - = E ii 0 (1.45)
Relaţia (1.45) reprezintă condiţia de echilibru electrostatic în
conductoarele neomogene sau accelerate, iar relaţia (1.44) pentru conductoarele
omogene neaccelerate.
Explicarea relaţiei (1.45) este următoarea: asupra unei particule libere din
conductor, având sarcina q, câmpul electric E exercită o forţă electrică e = q E .
Datorită neomogenităţii locale, a diferenţelor de temperatură sau a accelerării
corpului, asupra particulei se va exercita şi o forţă de natură neelectrică Fn.
16
Condiţia de echilibru electrostatic impune lipsa unei mişcări ordonate a particulelor
încărcate electric, adică anularea valorii medii a forţelor rezultante exercitate
asupra particulei:
.FF ne 0 (1.46)
Împărţind relaţia de mai sus cu q şi făcând notaţia:
,q
F = E
ni
(1.47)
rezultă condiţia (1.45).
Din punct de vedere microscopic, intensitatea câmpului electric imprimat
iE reprezintă intensitatea unui câmp electric echivalent ce ar acţiona cu o forţă
electrică egală cu forţa neelectrică medie ce se exercită asupra unei particule libere,
din conductor. Câmpul electric imprimat nu este un câmp electric propriu-zis, ci o
mărime ce exprimă acţiunile de natură neelectrică exercitate asupra particulelor
încărcate electric.
Din condiţia de echilibru electrostatic pentru conductoare omogene şi
neaccelerate (1.45) rezultă următoarele consecinţe:
a) Toate punctele de pe suprafaţa sau din interiorul unui conductor
omogen şi neaccelerat au acelaşi potenţial. Deoarece E = 0, tensiunea
între două puncte A şi B (fig.1.15) va fi:
. V = V , = l E = V - V = U BA
B
ABAB A 0d
( 1.48)
b) Sarcina electrică de pe conductoare este
repartizată numai pe suprafaţa acestora.
Fie o suprafaţă închisă Σ în interiorul conductorului
(fig.1.15) aflat în echilibru electrostatic ( E = 0). Din
legea fluxului electric rezultă:
. = q ,q = S E = S D = 0dε dΨΣ
(1.49)
c) Liniile de câmp din exteriorul conductorului
nu pătrund în interiorul cavităţilor goale (efectul de
ecran).
Fig.1.15 - Explicativă la
de-monstrarea
consecinţelor echi-librului
electrostatic în corpu-rile
metalice.
Pentru cavitatea din figura 1.15,considerăm că ar exis ta în interior linii de
câmp. Una dintre acestea începe în punctul C şi se sfârşeşte în punctul D.
Tensiunea electrică între aceste două -puncte ar fi:
17
, = V - V = l E = l E = U DC
D
C
D
CD C 0dd
conform consecinţei a. Pentru ca relaţia de sus să fie adevărată, implică E = 0 în
fiecare punct al curbei, deci în interiorul cavităţilor nu există linii de câmp. Corpul
conductor cu cavitate constituie un ecran electrostatic.
d) Sub acţiunea unui câmp electrostatic exterior, un conductor iniţial
neîncărcat, se încarcă superficial cu sarcini electrice. Pentru ca să fie îndeplinită
condiţia de echilibru electrostatic, este necesar să apară în interiorul conductorului
un câmp electric propriu al repartiţiei de sarcini care să compenseze câmpul
exterior:
. = E + E propriuext 0 (1.50)
Acest fenomen se numeşte influenţă electrostatică, iar conductorul se
spune că s-a electrizat prin influenţă (fig.1.1)
1.7. CAPACITATE ELECTRICĂ. CONDENSA-TOARE
Sistemul format din două conductoare (omogene şi neaccelerate) încărcate
cu sarcini electrice şi de semne contrare, între care există un dielectric omogen sau
neomogen, neîncărcat şi fără polarizaţie permanentă se numeşte condensator
electric. Cele două conductoare încărcate electric poartă numele de armăturile
condensatorului.
Raportul C pozitiv, dintre valoarea sarcinii electrice q a unuia dintre
conductoare şi diferenţa de potenţial dintre el şi cel de al doilea, se numeşte
capacitate electrică:
. U
q =
V - V
q =
V - V
q = C
12
2
21
1
(1.51)
Unitatea de măsură a capacităţii este Faradul (F).
1.7.1. Calculul capacităţii condensatoarelor
Pentru calculul capacităţii condensatoarelor se procedează astfel:
-se presupun armăturile condensatorului încărcate cu sarcinile
+ q şi - q;
-se determină intensitatea câmpului electric cu ajutorul legii fluxului
electric;
-se calculează tensiunea dintre armături;
-se determină capacitatea condensatorului cu relaţia (1.51).
Capacitatea condensatorului plan. Condensatorul plan este format din
două armături plane paralele, de diferite forme, de arii S, separate printr-un
dielectric de grosime d şi permitivitate ε (fig.1.16). Aplicând legea fluxului electric
suprafeţei Σ (fig.1.16) care are forma paralelipipedică şi cuprinde numai armătura
încărcată cu sarcina + q, rezultă:
18
deoarece fluxul prin suprafaţa laterală Sl
este nul ( D d S ), iar prin suprafaţa bazei
de sus Sbs este tot nul deoarece D = 0 în
exterior.
Tensiunea electrică dintre cele două
armături, de-a lungul unei linii de câmp, va
fi:
Fig.1.16 - Condensatorul plan.
. S
d q = l
S
q = l E = l E = V - V = U
2
d
εdd
2
1
2
11212 1
Aplicând relaţia (1.51) rezultă: .
d
S = C
(1.52)
Condensatoarele plane, ca în figura 1.16, se construiesc numai pentru
capacităţi mici şi tensiuni mari, dielectricul fiind în general sticla sau materialele
ceramice.
Pentru a obţine capacităţi mari, dar la
tensiuni mici, armăturile se fac din foiţe
subţiri din hârtie metalizată care se rulează
sub forma unor cilindri.
Capacitatea unui condensator cilindric este:
.
R
R
l =
U
q = C
i
eln
ε π2
(1.53)
Fig.1.17 – Condensatorul cilindric
1.7.2. Gruparea condensatoarelor
În practică pentru a se obţine capacitatea electrică dorită, condensatoarele se
grupează în serie, paralel sau mixt.
Fig.1.17 - Condensatorul echivalent
Pentru un sistem de condensa-toare
(fig.1.17), se numeşte capaci-tate echivalentă
raportul dintre sar-cina qA primită pe la borna
A (egală şi de semn contrar cu cea primită pe la
borna B) de sistemul de condensatoare iniţial
neîncărcat şi tensiunea dintre bornele A şi B:.
. U
q =
U
q =
U
q = C
e
A B
B
B A
Ae
(1.54)
a) Legarea în paralel a condensatoarelor.
Sarcina echivalentă a bateriei de condensatoare (fig.1.18) este:
19
. U C +...+ U C + U C = q +...+ q + q = q B AnB AB Ane 2121
Folosind relaţia (1.54) capacitatea echivalentă va fi:
. C = C k
n
= kp e
1 (1.55)
Fig.1.18- Conexiunea paralel.
Fig.1.19- Conexiunea serie.
b) Legarea în serie a condensatoarelor.
Sarcina echivalentă a bateriei de condensatoare (fig.1.19)
este:. q = q = ... = q = q = q ne 21
Încărcarea condensatoarelor are loc astfel: sarcina +q care intră pe la borna
A apare pe prima armătură (pozitivă) a condensatorului C1. Această sarcină
determină prin influenţă apariţia sarcinii -q pe cea de a doua armătură. Conform
teoremei conservării sarcinii electrice, apare sarcina q2 = +q pe prima armătură a
condensatorului doi. Procesul se repetă până la armătura a doua a ultimului
condensator, care se încarcă cu -q de la sursă. Tensiunea UAB este:
. C
q + ... +
C
q +
C
q = U + ... + U + U =
C
q = U
nn
eB A
2121
Capacitatea echivalentă rezultă:
. C
= C k
n
= k se
11
1
(1.56)
Capacitatea echivalentă este mai mică decât cea mai mică capacitate legată în serie .
1.8. ENERGIA ŞI FORŢELE CÂMPULUI
ELECTROSTATIC
1.8.1. Energia câmpului electrostatic
În jurul unui sistem de corpuri încărcate electric există un câmp electric.
Dacă în acest câmp electric se introduce un corp încărcat cu sarcină electrică,
asupra lui se vor exercita acţiuni ponderomotoare de natură electrică, care vor duce
la deplasarea şi rotirea lui, deci se va produce un lucru mecanic. Aceasta presupune
existenţa unei energii a câmpului electrostatic preluată de la sursele de energie
exterioară în procesul de încărcare a corpurilor cu sarcină electrică.
20
Se consideră câmpul electrostatic produs de n conductoare încărcate cu
sarcinile q1,q2,...,qn şi aflate la potenţialele V1,V2,...,Vn (fig.1.20). La starea finală s-
a ajuns printr-o creştere proporţională a tuturor sarcinilor electrice, pornind de la o
stare iniţială în care sarcinile erau nule şi deci şi câmpul electric era nul în orice
punct. Creşterea sarcinilor s-a făcut suficient de lent pentru a se păstra regimul
electrostatic. O stare intermediară este caracterizată prin sarcinil q'k = λqk şi
potenţialele electrice V'k = λVk ale corpurilor, unde λ [0, 1].
Lucrul mecanic cheltuit pentru creşterea cu dq'k = qkdλ a sarcinii
conductorului k, (sarcina dq'k fiind adusă de la infinit unde potenţialul electric este
zero) este dată de relaţia (1.40):
λλ dVqVdd kkKqkLk ,'
Fig.1.20 - Explicativă la calculul
energiei câmpului electric
Pentru toate conductoarele, rezultă:
. V q = L = L kk
n
1 = kk
n
1 = k
λ dλdd
Energia câmpului electrostatic va fi egală
cu lucrul mecanic efectuat pentru atingerea stării
finale (λ=1) pornind de la starea iniţială (λ=0):.
. V q = V q = L = L = W kk
n
= kkk
n
= ke
1
1
01
1 =λ
0 =λ 2
1λ d λd
(1.57)
Aplicaţie.
Să se calculeze energia electrică a unui condensator electric având
capacitatea C, încărcat cu sarcina electrică q.
Conform relaţiei (1.57) energia câmpului electric va fi:
.C
q = U C = U q = V q - V q = V q + V q = W
e
22
212211 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
Relaţia (1.57) nu indică localizarea corectă a energiei câmpului electrostatic.
Pentru aceasta se defineşte densitatea de volum a energiei câmpului electric we:
.
V
W =
V
Wlim = w
ee
Ve
d
d
0
(1.58)
Pentru determinarea densităţii de volum a energiei în funcţie de mărimile de
stare ale câmpului, se consideră câmpul omogen din interiorul unui condensator
plan, pentru care:
,D E
=E
= V
E S =
V
E d d
S
= V
U C
=V
W =w
d
2
d
2
d
d
ee
22
ε
2
dε
2
1
2
12
22
(1.59)
unde Vd=Sd reprezintă volumul dielectricului dintre armături. Energia câmpului
21
electrostatic localizată într-un volum V este:
. V D E
= V w = WV
eV
e d2
d (1.60)
1.8.2. Teoremele forţelor generalizate
Metoda generală de determinare a forţelor în câmpul electrostatic se bazează
pe considerente energetice. Calculul forţelor se face prin intermediul lucrului
mecanic care s-ar efectua la o deplasare oarecare a corpurilor încărcate asupra
cărora se exercită aceste forţe. Metoda utilizează noţiunile de coordonate şi forţe
generalizate.
Coordonatele generalizate sunt variabilele scalare cu ajutorul cărora se
caracterizează complet configuraţia geometrică a unui sistem de corpuri.
Numărul minim al acestora, reprezintă numărul de grade de libertate al sistemului.
Coordonatele generalizate, care se vor nota cu xk, pot fi distanţe, unghiuri, arii,
volume etc.
Când coordonatele generalizate au variaţii elementare dxk, forţele
generalizate Xk, care se exercită asupra celor n corpuri, efectuează un lucru
mecanic elementar (fig.1.20):
. x X = L kk
n
= k
dd1
(1.61)
Mărimile scalare Xk care intervin se numesc forţe generalizate. Forţa
generalizată nu este o forţa propriu-zisă. Dacă, de exemplu, xk este o deplasare, Xk
este componenta unei forţe după direcţia deplasării; dacă xk este un unghi de
rotaţie, Xk este momentul forţelor în raport cu axul de rotaţie etc.
Presupunem că toate cele n corpuri sunt fixe în afară de corpul i care poate
să-şi modifice doar coordonata xk. Lucrul mecanic efectuat de sursele de energie
exterioară pentru variaţia cu dqk a sarcinilor celor n corpuri trebuie să acopere
creşterea de energie a câmpului electric şi lucrul mecanic efectuat de forţa
generalizată Xk asupra corpului i:
. x X + W = q V kkekk
n
1 = k
ddd (1.62)
a) Dacă sistemul de corpuri este izolat de surse, sarcinile corpurilor nu se
pot modifica în decursul deplasării dxk, deci dqk=0 şi se obţine:
. x
W - = X
k
e
.const = q
k
(1.63)
Forţa generalizată Xk, corespunzătoare coordonatei genera-lizate xk este
egală cu derivata parţială, cu semn schimbat, a energiei electrostatice în
raport cu coordonata generalizată, dacă sarcinile corpurilor sunt constante şi
dacă energia câmpului s-a exprimat numai în funcţie de coordonatele
22
generalizate şi sarcinile cu care sunt încărcate corpurile.
Semnul minus arată că lucrul mecanic se face pe seama scăderii energiei
câmpului electrostatic (sursele exterioare sunt deconectate).
b) Dacă sistemul de corpuri este conectat la surse, acestea vor menţine
constante potenţialele Vk ale corpurilor şi atunci:
q V
= q V + q V q V ) W (
kk
n
= k
kk
n
= kkk
n
= kkk
n
= k.const = Ve
d2
1
dd2
1
2
1dd
1
111
şi:
. x
W = X ,x X + W = W
k
e
.const = V
kkkee
ddd 2
(1.64)
Forţa generalizată Xk, corespunzătoare coordonatei gene-ralizate xk,
este egală cu derivata parţială a energiei electrostatice în raport cu
coordonata generalizată, dacă potenţialele corpurilor s-au considerat
constante şi dacă energia câmpului s-a exprimat numai în funcţie de
coordonatele generalizate şi potenţialele corpurilor.
Cele două expresii (1.63) şi (1.64) sunt echivalente reprezentând cele două
teoreme ale forţelor generalizate în câmpul electrostatic.
Aplicaţie.
Să se determine forţa ce se exercită între armăturile unui con-densator plan
având aria armăturilor S şi distanţa dintre armături x.
Energia câmpului electric al condensatorului este :. C U =
C
q = W
e2
2
2
1
2
1
Dacă aplicăm relaţia (1.63) rezultă:
.x
C
U =
x
C
C
q=
x
C
C-
q-=
x
W - =F = X
e
.const = q d
d
2d
d
2d
d1
2
2
2
2
2
2
Dacă se utilizează relaţia (1.64) rezultă aceeaşi expresie:
x
A
U -
x
C
U =
x
W = F = X
e
.const = V2
22 ε
2d
d
2
(1.65)
Folosind expresia capacităţii condensatorului plan rezultă:
Semnul minus arată că forţa este de atracţie, adică în sens contrar creşterii
coordonatei generalizate x.
23
2. ELECTROCINETICA
2.1. GENERALITĂŢI
Electrocinetica studiază stările electrice ale conductoarelor parcurse de
curenţi electrici de conducţie. În Electrocinetică se prezintă mărimile fizice
care caracterizează starea electrocinetică, legile şi fenomenele caracteristice
pentru regimul staţionar cât şi pentru regimul nestaţionar.
Trecerea curentului electric prin conductoare determină o stare specifică a
acestora, denumită stare electrocinetică, caracterizată printr-o transformare a
energiei electromagnetice în alte forme de energie. Starea electrocinetică poate fi
pusă în evidenţă prin o serie de efecte, dintre care cele mai importante sunt:
a)-efectele calorice, evidenţiate prin căldura dezvoltată la trecerea
curentului electric prin conductoare;
b)-efectele electrochimice, care constau în reacţiile chimice ce au loc la
trecerea curentului prin electroliţi;
c)-efectele mecanice (forţe şi momente), exercitate între conductoarele)
parcurse de curent (interacţiuni electrodinamice) sau între conductoarele
parcurse de curent şi câmpul electromagnetic (interacţiuni electromagnetice);
d)-efectele luminoase, care apar în becurile cu incandescenţă sau în cele cu
descărcări electrice în gaze;
e)-efectele magnetice, care apar în jurul conductoarelor parcurse de curent
electric (apariţia unui câmp magnetic - devierea acului busolei când se află lângă
un conductor parcurs de curent electric);
f)-efectele electrice, care apar la descărcarea unui condensator.
În Electrotehnică se disting trei regimuri: static, staţ ionar şi nestaţionar.
Regimul static, caracteristic stărilor electrostatice sau magnetostatice este
caracterizat prin mărimi de stare ale câmpului electromagnetic constante în timp
(derivatele acestora în raport cu timpul sunt nule) şi prin faptul că nu există
posibilitatea transformării energiei electromagnetice în alte forme de energie.
Regimul staţionar este şi el caracterizat prin mărimi de stare ale câmpului
electromagnetic constante în timp (derivatele acestora în raport cu timpul sunt
nule), dar în acest regim apare posibilitatea transformării energiei electromagnetice
în alte forme de energie.
Regimul nestaţionar este caracterizat prin mărimi de stare ale câmpului
electromagnetic variabile în timp şi prin posibilitatea transformării energiei
electromagnetice în alte forme de energie.
2.2. INTENSITATEA ŞI DENSITATEA CURENTULUI
ELECTRIC
2.1.2. Intensitatea şi densitatea curentului electric de conducţie
Curentul electric reprezintă o deplasare ordonată a particulelor
încărcate cu sarcină electrică. Mişcarea particulelor încărcate electric se poate
24
face în interiorul corpurilor sau în vid.
Curentul electric de conducţie este reprezentat de mişcarea într-un corp
conductor a unor particule încărcate cu sarcini electrice, ce se pot deplasa
liber în raport cu un sistem de referinţă solidar cu corpul în care se află aceste
particule.
La metalele în stare solidă, electronii din ultimul strat au posibilitatea de a
părăsi atomii. Aceşti electroni se numesc electroni liberi. Ionii pozitivi care rămân,
formează reţeaua cristalină a metalului. Mişcarea electronilor este o mişcare
haotică, astfel că se poate considera că electronii liberi formează un gaz electronic.
Dacă în metal apare un câmp electric, conform legii acţiunii ponderomotoare apare
o forţă electrică care va duce la o deplasare ordonată a electronilor liberi, deci, la
un curent electric de conducţie.
Fig.2.1 - Explicativă la calculul
intensităţii curentului electric
de conducţie: a) de speţa întâi;
b) de speţa a doua.
Caracterizarea cantitativă a stării
electrocinetice se face cu ajutorul intensităţii
curentului electric de conducţie i, mărime
primitivă scalară care se defineşte pe o suprafaţă
orientată S .
În cazul conductoarelor de secţiune constantă, S este
suprafaţa secţiunii transversale a conductorului (fig.
2.1 a) sau a băii electrolitice în cazul conduc-toarelor
de speţa a doua (fig. 2.1 b).
Intensitatea curentului electric de conducţie i, este limita raportului
dintre suma algebrică a sarcinilor electrice, Δq ale particulelor microscopice
libere care traversează secţiunea transversală a conductorului într-un anumit
interval de timp şi durata Δt a intervalului, când ultima tinde către zero şi
când limita există:
.
t
q =
t
q = i
t d
dlim
0
(2.1)
Unitatea de măsură a intensităţii curentului electric este Amperul [A].
Intensitatea curentului electric de conducţie este o mărime scalară, de aceea
poate avea semnul plus sau minus. Se defineşte sensul pozitiv al curentului,
sensul deplasării sarcinilor electrice pozitive. În metale, unde curentul electric
este un flux de electroni, sensul curentului va fi contrar sensului de deplasare a
electronilor.
Pentru caracterizarea locală a stării electrocinetice s-a introdus o mărime
fizică vectorială numită densitatea curentului electric de conducţie J . Fluxul
vectorului densitate de curent printr-o suprafaţă oarecare a conductorului S este
egal cu intensitatea curentului electric de conducţie prin acea suprafaţă (fig. 2.2a):
. S n J = S J = iSS
S dd (2.2)
25
În cazul conductoarelor
omogene rectilinii şi filiforme, de
secţiune constantă S, iar curentul
care îl străbate este continuu şi
uniform repartizat pe secţiunea
conductorului
(fig. 2.2b), se poate defini densitatea
de curent de conducţie astfel:
,n J = n S
i = J s
(2.3)
Fig.2.2 – a) Explicativă la determinarea
densităţii de curent; b) Tub de curent.
unde: S este secţiunea transversală a conductorului, J - modulul densităţii
curentului electric de conducţie, n - versorul normalei secţiunii transversale a
conductorului.
Unitatea de măsură a densităţii de curent electric este Amperul pe metru
pătrat (A/m2). În practică se foloseşte des un multiplu al ei numit Amper pe
milimetru pătrat (A/mm2).
Liniile de curent sunt liniile tangente în fiecare punct la direcţia locală a
vectorului densitate de curent.
Volumul limitat de suprafaţa tubulară formată dintr-un ansamblu de
linii de curent ce trec printr-o curbă închisă Γ se numeşte tub de curent (fig. 2.2b).
2.2.2. Intensitatea şi densitatea curentului electric de convecţie
Prin deplasarea unui corp încărcat cu sarcina electrică q', cu viteza faţă de
un sistem fix, apare o deplasare ordonată a sarcinii electrice, deci un curent electric
(fig. 2.3).
Fig.2.3 - Explicativă la calculul intensităţii
curentului electric de convecţie.
Intensitatea curentului electric
de convecţie, se defineşte ca limita
raportului dintre suma algebrică a
sarcinilor electrice (Δq') care
traversează o suprafaţă fixă S (prin
mişcarea întregului corp) într-un
interval de timp şi durata Δt a
intervalului, când ultima tinde către
zero şi când limita există:
,S J = t
q =
t
q = i vS
t v d
d
dlim
0
(2.4)
unde vJ este vectorul densitate a curentului electric de convecţie definit prin
relaţia: . v = J vv ρ (2.5)
26
În relaţia (2.5) ρv reprezintă densitatea de volum a sarcinii electrice a
corpului care se mişcă cu viteza faţă de sistemul fix (faţă de suprafaţa S).
2.3.CONDUCTOARE IZOLANŢI,
SEMICONDUCTOARE
Starea electrocinetică permite clasificarea materialelor electrotehnice în trei
clase: materiale conductoare, materiale izolante şi materiale semiconductoare.
a)-Materialele conductoare permit trecerea curentului electric de
conducţie. La aceste materiale, sarcina electrică produsă printr-o metodă oarecare
se răspândeşte rapid pe toată suprafaţa corpului. Rezistivitatea are valori între 810 şi
510m. Materialele conductoare se subîmpart în două specii:
- conductoare de specia întâi, la care curentul electric reprezintă o deplasare
ordonată a electronilor liberi din structura lor. Din această categorie fac parte, în
general, materialele metalice (cupru, aluminiu etc.). Deplasarea electronilor prin
material dă naştere curentului electric de conducţie, din care motiv aceste materiale
se numesc materiale electroconductoare cu conductivitate electronică.
- conductoare de specia a doua, la care curentul electric este datorat
deplasării ordonate a ionilor. Din această categorie fac parte sărurile topite,
soluţiile de săruri, acizi sau baze (electroliţii). Curentul electric este o deplasare
ordonată a ionilor, deci, odată cu deplasarea sarcinii are loc şi o deplasare de
material. Aceste conductoare se mai numesc şi conductoare electrice cu
conductivitate ionică.
Din punct de vedere electrostatic, corpurile mici conductoare neîncărcate
electric sunt atrase de corpurile electrizate, iar după ce vin în contact cu acestea
sunt respinse, deoarece se încarcă cu electricitate de acelaşi fel.
b)-Materialele izolante (dielectricii) nu permit trecerea curentului electric
de conducţie. La aceste materiale, sarcina electrică apărută prin electrizare rămâne
localizată în porţiunea supusă electrizării un timp îndelungat. Din această clasă fac
parte uleiurile minerale, sticla, porţelanul, cauciucul etc. Din punct de vedere
electrostatic, corpurile izolante sunt atrase de corpurile electrizate şi rămân lipite
de acestea. Rezistivitatea lor are valori între 810 şi
1810 m.
c)-Materialele semiconductoare sunt materialele ce ocupă din punct de
vedere al conductibilităţii electrice o poziţie intermediară între substanţele
conductoare şi cele izolante. La aceste materiale (germaniu, siliciu etc.) trecerea
curentului electric se face prin deplasarea electronilor şi golurilor (vezi 2.10.1).
2.4. CÂMPUL ELECTRIC ÎN SENS LARG. TENSIUNEA
ELECTRICĂ TENSIUNEA ELECTROMOTOARE
2.4.1. Intensitatea câmpului electric în sens larg
Se consideră o particulă imobilă încărcată cu sarcină electrică foarte mică q,
astfel încât aceasta să nu influenţeze asupra câmpului electric rezultant.
27
Intensitatea câmpului electric în sens larg El, într-un punct, se defineşte ca
raportul între forţa totală care acţionează asupra particulei aflate în acel punct şi
sarcina electrică q cu care este încărcată:
. q
F = E l
(2.6)
După natura componentelor forţei , intensitatea câmpului electric în sens
larg El poate avea trei componente:
a) intensitatea câmpului electric coulombian Ec, care rezultă datorită
existenţei sarcinilor electrice şi a fost studiat la electrostatică;
b) intensitatea câmpului electric solenoidal (indus) Es, care apare în urma
fenomenului de inducţie electromagnetică. Acest câmp apare numai în regim
nestaţionar şi este definit prin relaţia:
, B x v rot + t
B - = E rot s )(
(2.7)
unde B este vectorul inducţie magnetică, iar viteza de deplasare;
c) intensitatea câmpului electric imprimat Ei, care apare în mediile
neomogene din punct de vedere fizico-chimic sau în mediile accelerate. Câmpul
electric imprimat este o mărime convenţională, introdusă pentru a exprima în
limbaj electric forţele de natură neelectrică ce produc deplasarea sarcinilor
electrice în conductoare.
Rezultă expresia câmpului electric în sens larg:
,E + E = E + E + E = E nciscl (2.8)
unde En = Es + Ei reprezintă intensitatea câmpului electric necoulombian.
2.4.2. Tensiunea electrică, tensiunea electromotoare
Integrala de linie a intensităţii câmpului electric în sens larg în lungul unei
curbe între două puncte A şi B se numeşte tensiune electrică în sens larg între
cele două puncte în lungul acestei curbe:
. l E = u l
B
CA C B A d
)()(
(2.9)
Tensiunea electromotoare (t.e.m.) de contur se defineşte ca integrala de
linie pe o curbă închisă Γ a intensităţii câmpului electric în sens larg:
. l E = l E + E = l E = u nise
dd)(d (2.10)
28
Fig.2.4 - Explicativă la
calculul tensiunii elec-trice în
sens larg.
T.e.m. obţinută prin integrarea intensităţii
câmpului electric în sens larg, în lungul unei curbe
închise Γ, coincide cu integrala componentei
necoulombiene a intensităţii câmpului electric în
lungul aceleiaşi curbe închise, deoarece integrala
componentei coulombiene a intensităţii câmpului
electric în lungul unei curbe închise este nulă.
În regimul electrocinetic al conductoarelor imobile, se păstrează caracterul
potenţial al intensităţii câmpului electric şi ca urmare există o teoremă a
potenţialului electric staţionar care are aceeaşi formă cu teorema potenţialului
electrostatic: t.e.m. de contur a câmpului electric E este nulă de-a lungul
oricărei curbe închise:
. = l E = l E cl 0 dd (2.11)
În regim electrocinetic staţionar, t.e.m. este dată numai de câmpul electric
imprimat, deoarece intensitatea câmpului electric solenoidal este nulă:
. l E = l E + E = l E = u iisle
dd)(d
(2.12)
Integrala de linie a intensităţii câmpului electric coulombian Ec, de la o
bornă A a unui circuit electric dipolar, la cealaltă bornă B de-a lungul unei linii
oarecare dintre borne se numeşte tensiune la borne sau diferenţă de potenţial la
borne:
. V - V = l E = u BAc
B
C Ab d
)(
(2.13)
Unitatea de măsură a tensiunii electrice şi a tensiunii electromotoare este
Voltul (V).
În regim electrocinetic staţionar (curent continuu), tensiunea, t.e.m. şi
intensitatea curentului se pot nota cu litere mari sau cu litere mici. În lucrarea de
faţă se va utiliza notarea acestor mărimi cu litere mari pentru regimul staţionar
(c.c.) iar pentru regimul nestaţionar (c.a.), cu litere mici.
2.5. CÂMPURILE ELECTRICE IMPRIMATE
Intensitatea câmpului electric imprimat Ei nu este un câmp electric propriu-
zis ci o mărime echivalentă cu ajutorul căreia se exprimă acţiunile forţelor de
natură neelectrică ce acţionează asupra particulelor electrizate. Câmpurile
imprimate pot fi localizate într-un întreg domeniu (câmpuri imprimate de volum)
sau numai pe anumite suprafeţe de discontinuitate (câmpuri imprimate pe
interfeţe sau de contact).
29
2.6. RELAŢIILE FUNDAMENTALE ALE REGIMULUI
ELECTROCINETIC
2.6.1. Legea conservării sarcinii electrice
Se consideră un condensator electric încărcat cu sarcină electrică q, ale cărui
armături se leagă printr-un conductor metalic având rezistenţa R şi o suprafaţă
închisă Σ ce conţine numai armătura încărcată cu sarcina +q (fig.2.11).
Fig.2.11 - Explicativă la legea
conservării sarcinii electrice.
La închiderea întreruptorului a, potenţialul
conductorului nu mai este constant (datorită
potenţialelor diferite ale armăturilor) şi ca urmare
nu se mai menţine echilibrul electrostatic, prin
conductor apărând o deplasare ordo-nată a
sarcinilor electrice.
S-a constatat experimental că intensitatea
curentului electric de
conducţie ce trece prin circuit în timpul descărcării condensa-orului,este egală cu
viteza de scădere a sarcinii electrice qΣ de pe armătura condensatorului din
interiorul suprafeţei Σ, adică:
. t
q - = i
d
d
(2.18)
Relaţia (2.18) se poate generaliza considerând că avem şi corpuri încărcate
electric în mişcare şi ca urmare pe lângă intensitatea curentului electric de
conducţie există şi intensitate a curentului electric de convecţie:
. t
q - = i + i v
d
d
(2.19)
Suma dintre intensităţile curentului electric de conducţie iΣ şi a
curentului electric de convecţie ivΣ, care ies dintr-o suprafaţă închisă Σ, fixă,
este egală în fiecare moment cu viteza de scădere a sarcinii electrice qΣ
localizată în interiorul suprafeţei.
Relaţia (2.19) reprezintă forma integrală a legii conservării sarcinii electrice
şi este valabilă în orice regim.
În regim electrocinetic staţionar (curent continuu), în care mărimile sunt invariabile
în raport cu timpul, legea conservării sarcinii electrice devine:
. = t
q - = i 0
d
d
(2.20)
30
Relaţia (2.20) reprezintă
teorema continuităţii liniilor de
curent, adică, intensitatea curentului
electric de conducţie ce trece printr-
o suprafaţă închisă este nulă sau
altfel spus, intensitatea curentului care
iese din suprafaţa închisă este egală cu
intensitatea curentului care intră în su-
Fig.2.12 - Explicativă la conservarea
intensităţii curentului printr-un tub de curent.
prafaţa respectivă (prima teoremă a lui Kirchhoff).Liniile de curent sunt linii
închise, deci curentul continuu circulă numai prin circuite electrice închise.
Consecinţă. Dacă se consideră un tub de linii de curent şi se aplică relaţia
(2.20) suprafeţei închise Σ, compusă din suprafeţele transversale S1 şi S2 şi
suprafaţa laterală Sl (unde SJ d ), se obţine (fig.2.12):
. i = i = i + i - = S J + S J + S J= S J = iSSS
2121 0dddd2l1
(2.21)
Curentul continuu are aceeaşi intensitate de-a lungul unui tub de curent şi în
particular de-a lungul unui conductor electric neramificat (de exemplu latura unei
reţele electrice).
În regim electrostatic iΣ = 0, rezultând qΣ = constant, adică sarcina electrică
a unui sistem izolat de conductori este constantă (teorema conservării sarcinii
electrice din electrostatică, paragraful 1.5.4).
2.6.2. Legea conducţiei electrice
În regim electrocinetic existând o deplasare ordonată de sarcini electrice,
rezultă că forţa rezultantă ce acţionează asupra acestor particule încărcate electric
va fi diferită de zero:
. E + E q = F + F = F i 0)(neelel (2.22)
S-a constatat experimental că suma vectorială dintre intensi-tatea
câmpului electric E şi intensitatea câmpului electric imprimat iE este
proporţională cu densitatea curentului de conducţie J :
. J = E + E i ρ (2.23)
Relaţia reprezintă forma locală a legii conducţiei electrice. Factorul de
proporţionalitate ρ se numeşte rezistivitatea mate-rialului şi depinde atât de
material cât şi de temperatură. Deci legea conducţiei electrice este o lege de
material.
În conductoarele omogene şi neaccelerate unde nu există câmp electric
imprimat, relaţia (2.23) devine: . J q = E (2.24)
31
Într-un mediu omogen, izotrop şi neaccelerat, vectorul densităţii de curent
coincide ca direcţie şi sens cu vectorul intensităţii câmpului electric (rel. 2.24), iar
liniile de curent coincid cu liniile câmpului electric.
Inversul rezistivităţii materialului se numeşte conductivitatea materialului σ:
. = ρ
1σ
(2.25)
Cu notaţia (2.25) relaţiile (2.23) şi (2.24) devin:
. E = J , E + E = J i σ)(σ (2.26)
Fig.2.13 - Explicativă la calculul formei
integrale a legii conducţiei electrice.
Pentru circuite filiforme, pentru care
densitatea curentului electric este con-stantă
în toate punctele unei secţiuni transversale,
se foloseşte forma integrală a legii conducţiei
electrice. Pentru aceasta se consideră o
porţiune de circuit filiform în care se găseşte
o sur-să de câmp electric imprimat iE
(fig.2.13).
Integrând forma locală a legii conducţiei (2.23) pe curba C (axa
conductorului) între punctele 1 şi 2, rezultă:
. l J = l E + E C
i C
dρd)(2
) (1
2
)( 1
(2.27)
Deoarece circuitul este filiform: J = i / S şi J d S , rezultă:
,S
l i = l J = l J
ddd
(2.28)
unde S este secţiunea conductorului, iar i - intensitatea curentului prin circuitul
filiform.
Ţinând seama de (2.28), relaţia (2.27) devine:
.
S
l i = l E + l E
Ci
C C
dρdd
2
1
2
) 1(
2
)1(
(2.29)
Se fac următoarele notaţii:
-pentru tensiunea în lungul firului:
l E = u = u C
f d2
)( 12 1
,
-pentru tensiunea electromotoare imprimat:
l E = u = u i C
ei e d2
)(112
,
32
-pentru rezistenţa electrică a porţiunii de circuit:
S
l = R
C
dρ
2
) ( 12 1
. Cu notaţiile de mai sus, se obţine forma integrală a legii conducţiei electrice:
,R i = u + u e 1212 12 (2.30)
care se enunţă astfel: pentru o porţiune neramificată de circuit filiform, suma
dintre tensiunea electrică în lungul firului şi tensiunea electrică imprimată a
surselor ce se găsesc în acea porţiune de circuit, este egală cu produsul dintre
intensitatea curentului i şi o mărime scalară R, caracteristică circuitului,
numită rezistenţă electrică.
Pentru un circuit închis (u12 = 0, ue12 = ue), relaţia (2.30) devine:
,i R = ue (2.31)
unde ue este t.e.m. de contur.
Relaţia (2.31) arată cauza fizică care stabileşte curentul electric de conducţie
printr-un circuit închis şi anume t.e.m. ue, care poate fi produsă fie de câmpuri
electrice imprimate (elemente galvanice) fie de câmpuri electrice solenoidale
(generatoare electrice).
În regim staţionar (curent continuu) tensiunea în lungul firului este tensiunea
la borne U b , iar tensiunea imprimantă este t.e.m. Ue, deci legea conducţiei electrice
se scrie (mărimile se scriu cu litere mari):
. I R = U + U eb (2.32)
Pentru o porţiune de circuit fără surse de câmp electric imprimat (porţiune
pasivă), legea are forma:
. I R = U b (2.33)
Relaţia (2.33) este cunoscută sub denumirea de legea lui Ohm şi se enunţă
astfel: tensiunea electrică la bornele unei porţiuni de circuit pasiv, de curent
continuu, este egală cu produsul dintre intensitatea curentului şi rezistenţa
circuitului.
Rezistenţa electrică a conductoarelor. Din legea lui Ohm rezistenţa unui
conductor este numeric egală cu raportul dintre tensiunea electrică continuă
aplicată conductorului şi curentul care îl străbate:
.
I
U = R b
(2.34)
Rezistenţa electrică a unui conductor filiform, omogen, de secţiune
constantă S şi de lungime l este:
. S
l =
S
l = R
σρ
(2.35)
33
Mărimea inversă rezistenţei se numeşte conductanţă şi se notează cu G:
. l
S =
l
S =
R
l =G
ρσ
(2.36)
În sistemul internaţional de unităţi, rezistenţa electrică are ca unitate de
măsură Ohmul (Ω), iar conductanţa - Siemensul (S).
Rezistivitatea ρ a materialelor conductoare depinde liniar de temperatură,
dacă diferenţele de temperatură sunt mici. Relaţia de calcul a rezistivităţii ρθ la
temperatura θ în funcţie de rezistivitatea ρ0 de la temperatura de referinţă θ0 este:
, + = ]) θ - θ(1[ ρρ 00 (2.37)
unde α este coeficientul de creştere a rezistivităţii cu temperatura. Coeficientul α
poate fi pozitiv (la majoritatea metalelor) sau negativ (la cărbune, constantan,
electroliţi).
Pentru anumite metale, rezistivitatea lor se anulează brusc la temperaturi
foarte joase, de ordinul câtorva kelvini. Acest fenomen a fost descoperit în anul
1911 de către Kammerling-Ones (1853 - 1926) şi a fost denumit
supraconductibilitate.
În tabelul 2.2 se dau rezistivităţile ρ, conductivităţile σ şi coeficienţii de
temperatură ai rezistivităţii α pentru θ0= 20C, ale unor materiale uzuale din
electrotehnică.
Tabelul 2.2.
Materialul ρ [Ωm] σ
[S/m]
α
[1/K]
Argint (1,59...1,7)10-8
(5,9...6,3)107 3,8.10
-3
Cupru (1,7...1,78)10-8
(5,6...5,9)107 3,9.10
-3
Aluminiu (2,8...3,0)10-8
(3,3...3,6)107 3,7.10
-3
Fier (9...15)10-8
(0,67...1,1)107 4,5.10
-3
Alamă (7...9)10-8
(1,1...1,4)107 1,5.10
-3
Nichelină 4,3.10-7
2,33.106 1,3.10
-4
Manganină 4,3.10-7
2,33.106 1.10
-5
Constantan 4,9.10-7
2,04.106 -5.10
-6
Cărbune (6...8)10-5
(1,25...1,67)104 -(2...8)10
-4
Dacă se amplifică relaţia (2.37) cu raportul l/S, se obţine:
, - + 1 R = R ])(α[ 00θ
(2.38)
care reprezintă dependenţa rezistenţei conductoarelor de temperatură.
34
Elementul de circuit carac-terizat complet
prin rezistenţa electrică se numeşte rezistor.
Rezistoarele a căror rezistenţă este constantă
se numesc rezis-toare fixe (fig.2.14a), iar
cele la care rezistenţa poate fi modi-ficată cu
ajutorul unui cursor, se numesc reostate
variabile sau potenţiometre (fig.2.14b). Fig.2.14 - Simbolizarea rezistoare de
valori: a) fixe; b) variabile.
2.6.3. Legea transformării energiei în conductoare
Starea electrocinetică este caracterizată prin existenţa unui curent electric şi
printr-o transformare a energiei câmpului electro- magnetic în alte forme de
energie. J.P.Joule (1818 - 1889) şi E.H.Lenz(1804 - 1865) au stabilit
experimental că în orice conductor electric parcurs de curent electric se dezvoltă
căldură.
S-a stabilit experimental că puterea electromagnetică p cedată unităţii de
volum a conductorului în procesul de conducţie de către câmpul
electromagnetic este egală cu produsul scalar
dintre intensitatea câmpului electric E şi densitatea curentului electric de
conducţie J : . J E = p (2.39)
Relaţia (2.39) reprezintă forma locală a legii transformării energiei în
conductoare, lege general valabilă, sub această formă, pentru conductoare
omogene, neomogene, izotrope, anizotrope, liniare sau neliniare.
Integrând relaţia (2.39) pe volumul V al unei porţiuni de conductor filiform,
de secţiune S, în care E , J şi d l sunt paraleli, se obţine puterea totală P cedată de
câmpul electromagnetic conductorului în procesul de conducţie al curentului
electric:
Fig.2.16 - Explicativă la calculul
puterii totale absorbite de o
porţiune neramificată de circuit.
. u i = l E i= l E SJ =
l S E J = V p = P
f
VV
dd
)d(d
2
1
2
1
2.40)
Relaţia (2.40) exprimă forma integrală a
legii transformării energiei în conductoare care se
enunţă astfel:
Puterea electromagnetică primită de un conductor filiform de la câmpul
electromagnetic în procesul de conducţie este egală cu produsul dintre
tensiunea electrică în lungul conductorului şi intensitatea curentului electric
din conductor. Exprimând tensiunea electrică în lungul firului prin relaţia (2.33), rezultă:
. P - P = u i - i R = ) u - i R i = u i = P GReef2(
(2.39)
35
Primul termen al relaţiei (2.39), PR = R i2 este mereu pozitiv şi reprezintă
puterea disipată ireversibil sub formă de căldură în conductor de către câmpul
electromagnetic.
Dezvoltarea de căldură este caracteristică stării electrocinetice şi poartă numele
de efect electrocaloric sau efect Joule-Lenz. Al doi-lea termen al relaţiei, PG = i
ue, poate fi pozitiv sau negativ şi repre-zintă puterea primită sau cedată de sursa de
câmp electric imprimat.
În figura 2.17 sunt redate sugestiv cazurile în care o sursă de tensiune
electrică imprimată cedează (PG > 0) sau primeşte energie (PG < 0) de la câmpul
electromagnetic.
Unitatea de măsură a puterii este
Wattul [W], iar a energiei Joulul [J]. În
electrotehnică se foloseşte pentru
energie o unitate mai mare,
Kilowattora [kWh]:
1 kWh = 103 W 3600 s = 3,6 10
6 J
Fig.2.17 – Explicativă la puterea unei surse:
a) debitată; b) absorbită. Efectul electrocaloric al curentului electric are largi aplicaţii în tehnică ca de
exemplu la:
- iluminatul electric;
- încălzirea electrică în cuptoarele electrice cu rezistenţă, cu arc electric sau
prin inducţie;
- sudura electrică;
- tratamentele termice prin metode electrice (călirea prin curenţi de medie şi
înaltă frecvenţă).
Siguranţele fuzibile sunt aparate de protecţie contra supracurenţilor şi în
special contra curenţilor de scurtcircuit. Ele au proprietatea de a întrerupe
instantaneu circuitul electric când intensitatea curen-tului depăşeşte o valoare
limită impusă, ca urmare a topirii elemen-tului fuzibil (filiform sau lamelar) prin
efectul termic al curentului. Materialele din care se execută elementele fuzibilele
sunt argintul, cuprul, zincul şi aliajele de staniu cu cadmiu. Materialele pentru
fuzibile trebuie să aibă o temperatură de topire joasă, o rezistivitate electrică mică,
o inerţie termică mică şi să fie inoxidabile.
Lampa electrică cu incandescenţă. Partea activă a unei lămpi electrice cu
incandescenţă este filamentul, un conductor, care se încălzeşte la trecerea
curentului electric până la temperaturi în jur de 2000 C. La această temperatură,
filamentul emite o radiaţie lumi-noasă apropiată de cea albă. Filamentul se
realizează din sârmă foarte subţire de wolfram, care are o temperatură de topire
foarte înaltă, o evaporare lentă şi o rezistenţă mecanică mare. Randamentul
lămpilor cu incandescenţă este foarte scăzut. Numai (4...6)% din energia electrică
absorbită se transformă în energie luminoasă, restul se transformă în energie
calorică. Funcţionarea lămpii cu incandes-cenţă se întrerupe când filamentul
sublimează (se arde) în punctul cu temperatura cea mai mare.
36
2.7.CIRCUITE LINIARE DE CURENT CONTINUU
2.7.1. Definiţii
Circuitul electric se defineşte ca un ansamblu de elemente capabile să
conducă curentul electric. În curent continuu (c.c.), elementele de circuit sunt
sursele de t.e.m. (elementele active) şi rezistoarele (elementele pasive). Rezistenţa electrică a rezistorului, t.e.m. şi rezistenţa interioară a sursei de t.e.m., se numesc parametrii elementelor respective. După proprietăţile de material ale elementelor circuitului electric, circuitele se împart în circuite electrice liniare şi neliniare. Circu-itul electric liniar are parametrii independenţi de valorile curenţilor şi tensiunilor, iar cel neliniar are parametrii dependenţi de valorile curenţilor şi tensiunilor şi nu i se poate aplica legea conducţiei electrice sub formă integrală. Din punct de vedere al repartiţiei densităţii de curent electric în secţiunea conductoarelor, circuitele electrice se clasifică în circuite electrice filiforme, la care repartiţia curentului electric în secţiune este uniformă (densitatea curentului este constantă în secţiunea conductorului) şi în circuite electrice masive, la care densitatea curentului electric nu este constantă în secţiunea conductoarelor. După regimul de funcţionare, circuitele electrice se clasifică în circuite de curent continuu (c.c.), caracterizate prin existenţa numai a curentului electric de conducţie în conductoare şi avînd mereu acelaşi sens şi circuite de curent alternativ (c.a.), caracterizate de regimul cvasistaţionar, existând curent electric de conducţie în conductoare şi curent electric de deplasare în dielec-tricul condensatoarelor din circuit; la aceste circuite într-o secţiune a conductorului, intensitatea curentului variază periodic în timp (sinusoidal sau nesinusoidal). Reţeaua electrică este un ansamblu de circuite electrice conectate într-un mod oarecare. Din punct de vedere topologic, elementele principale ale unei reţele electrice sunt nodurile, laturile şi ochiurile. Nodul este punctul de conexiune a cel puţin trei elemente de circuit. Numărul nodurilor ale unei reţele se notează cu N. Latura (ramura) este o porţiune neramificată de circuit, formată din elemente conectate în serie (cel puţin un element) parcurse de acelaşi curent şi cuprinsă între două noduri vecine. Numărul de laturi ale unei reţele se notează cu L. Ochiul (bucla) este un contur închis realizat de-a lungul laturilor reţelei, începând de la un nod şi ajungând la acelaşi nod, fără a parcurge o latură de două ori. Se numeşte ochi de reţea independent faţă de un sistem de ochiuri dat, ochiul de reţea a cărui existenţă nu poate fi dedusă din cunoaşterea ochiurilor sistemului dat, sau altfel spus, ochiul independent conţine cel puţin o latură de reţea care nu a fost conţinută de celelalte ochiuri ale sistemului de ochiuri ale reţelei. L. Euler (1707 - 1783) a demonstrat că numărul de ochiuri independente O ale unei reţele electrice este:
. + N - L = O 1 (2.40)
37
Fig.2.18. - a) Reţea electrică.
- b) Schema echivalentă.
În figura 2.18a se reprezintă o reţea electrică. Nodurile reţelei electrice sunt A
sau G, B, C, D, E sau F, H, rezultând N=6. Nodurile A şi G respectiv E şi F nu
reprezintă noduri distincte deoarece au acelaşi potenţial (între ele neexistând nici
un element). Schema reţelei se poate reprezenta ca în figura 2.18b în care se
observă mai clar atât nodurile cât şi laturile reţelei. AG sau EF nu reprezintă laturi
deoarece nu conţin nici un element de circuit. Laturile acestei reţele electrice sunt:
GF, GE, FD, ED, DC, AB, AH, HB, HC, BC, deci L=10. Un sistem de ochiuri
independente este format din ochiurile: GEFG, EFDE, GEDCBHG, HABH,
BCHB. Un circuit de excepţie este circuitul serie, neramificat (fig.2.18c), care are
o singură latură şi un singur nod.
Circuitul care are numai două
borne de acces cu exteriorul se numeşte
dipol, circuitul care are patru borne de
acces cu exteriorul se numeşte cuadripol
etc. Fig.2.18 c – Circuit simplu neramificat.
2.7.2. Sensuri de referinţă în circuitele de curent continuu
Generatoarele de t.e.m. continuă au două borne de acces: borna pozitivă şi
borna negativă. Dacă generatorul nu este conectat la un circuit exterior, borna
pozitivă se va încărca cu sarcina electrică pozitivă, iar borna negativă cu sarcina
negativă. Între sarcina pozitivă de la borna pozitivă şi sarcina negativă de la borna
negativă se stabileşte un câmp electric coulombian, a cărui integrală de linie este
diferenţa de potenţial dintre cele două borne, numită tensiune la borne. Sensul
câmpului electric coulombian este de la borna pozitivă la borna negativă şi deci
sensul tensiunii la bornele generatorului este sensul câmpului electric.Curentul
electric debitat de generatorul electric iese pe la borna pozitivă şi intră pe la borna
negativă Se stabileşte pentru generatorul electric regula de asociere a intensităţii
curentului şi a tensiunii din figura 2.19a, numită convenţie de semne pentru
generatoare.
Rezistorul este străbătut de un curent electric care intră pe la bor-
Fig.2.19 - Convenţia de semne de la:
a) generatoare; b) receptoare.
na pozitivă şi iese pe la borna negativă,
sensul tensiunii fiind tot de la borna
pozitivă la cea negativă, rezultând o altă
regulă de asociere a sensurilor tensiunii şi a
intensităţii curentului, numită convenţia de
semne pentru receptoare (fig.2.19b).
38
Un circuit dipolar având convenţia de semne de la generatoare este generator
dacă puterea debitată P = Ub.I este pozitivă şi este receptor dacă puterea debitată
este negativă. Un circuit dipolar având convenţia de semne de la receptoare este
receptor, dacă puterea absorbită P = Ub.I este pozitivă şi este generator, dacă
puterea absorbită este negativă.
Regula de asociere a sensurilor tensiunii la borne şi a curentului pentru
dipolii activi şi pasivi se poate generaliza şi pentru dipolii alimentaţi în curent
alternativ, indiferent de sensul pe care l-ar avea la un moment dat tensiunea şi
curentul.
2.7.3. Teoremele lui Kirchhoff
a) Prima teoremă a lui Kirchhoff. Se consideră un nod N al unei reţele
electrice de c.c. (fig.2.20), înconjurat de suprafaţa închisă Σ. Din legea conservării
sarcinii electrice, aplicată suprafeţei Σ, pentru regimul electrocinetic staţionar,
rezultă:
. = t
q - = S J = I 0
d
dd
(2.41)
Fig.2.20 - Explicativă la demonstrarea
primei teoreme a lui Kirchhoff.
Notând cu S1, S2, ... , S5,
suprafeţele deschise rezultate din
intersecţia conductoarelor cu suprafaţa
Σ, integrala vectorului densitate de
curent pe suprafaţa Σ, devine:
,= I - I - I + I- I = S J+ +SJ + S J= S JSSS
0dddd 54321
5 21
(2.42)
deoarece pe restul suprafeţei Σ, vectorul este nul, iar fluxul vectorului prin
suprafaţa secţiunii transversale a unui conductor este intensitatea curentului electric
prin conductorul respectiv.
Generalizând relaţia de mai sus, rezultă:
. = IkN k
0 (2.43)
Relaţia (2.43) constituie prima teoremă a lui Kirchhoff, care se enunţă
astfel: În orice moment suma algebrică a curenţilor care străbat laturile unui
circuit ce converg într-un nod este egală cu zero, dacă se consideră curenţii
care ies din nod cu un semn, iar cei care intră în nod cu semn contrar. Prima teoremă a lui Kirchhoff este valabilă şi în cazul circuitelor de c.a.,
deoarece legea conservării sarcinii electrice rămâne valabilă şi în regim
cvasistaţionar. Deci: , = ik
N k
0 (2.44)
39
adică: suma algebrică a valorilor instantanee ale curenţilor din laturile unui
circuit ce converg într-un nod de reţea este nulă.
b) A doua teoremă a lui Kirchhoff.
Se consideră un ochi de reţea
q,având un anumit număr de laturi
(fig.2.24) Integrând forma locală a legii
conducţiei (2.23) de-a lungul curbei Γ ce
trece prin axa conductorilor care
formează ochiul q, se obţine:
Fig.2.24 - Explicativă la demonstrarea celei
de a doua teoreme a lui Kirchhoff
.lJlEE i dρd)( (2.45)
În regim staţionar:
0d lE şi
,UlEqk
kei
d
(2.46)
unde Uek reprezintă t.e.m. a sursei din latura k a ochiului q.
Membrul drept al relaţiei (2.45) devine:
qk
kkqk l
ki ,RIS
lIlE
k
dρd
(2.47)
unde Rk reprezintă rezistenţa laturii k a ochiului q, Ik - intensitatea curentului
electric din aceeaşi latură. Folosind relaţiile (2.46) şi (2.47), relaţia (2.45) devine:
,R I = U kkq k
k eq k
(2.48)
care reprezintă expresia matematică a celei de-a doua teoremă a lui Kirchhoff:
suma algebrică a t.e.m. ale surselor din laturile unui ochi de reţea este egală
cu suma algebrică a căderilor de tensiune din laturile ochiului.
Căderile de tensiune, respectiv t.e.m. se iau cu semnul plus dacă sensurile lor
coincid cu sensul de integrare, numit sens de referinţă (marcat cu o săgeată curbă
în interiorul ochiului) şi cu semnul minus în caz contrar.
Teorema a doua a lui Kirchhoff se poate aplica şi la ochiuri de reţea de c.a.,
enunţându-se astfel: suma algebrică a valorilor instantanee ale t.e.m. ale
generatoarelor din laturile unui ochi de reţea este egală cu suma algebrica a
căderilor de tensiune instantanee din laturile respective.
2.7.4. Gruparea rezistoarelor
Rezistorul este elementul de circuit electric caracterizat prin rezistenţa
sa electrică, el neavând inductivitate sau capacitate şi nu este sediul unei t.e.m.
imprimate. În reţelele electrice, rezistoarele pot fi grupate în serie, paralel, mixt,
stea sau triunghi.
Rezistenţa echivalentă Re este definită pentru o reţea de c.c. cu două borne
40
de acces, ca raportul pozitiv dintre tensiunea între aceste borne Ub şi
intensitatea I a c.c. care intră în reţea pe la una din borne şi iese prin cealaltă:
. >
I
U = R
be 0
(2.49)
a) Gruparea în serie a rezistoarelor. Considerăm n rezistoare de rezistenţe R1,
R2, ... Rn, legate în serie (străbătute de acelaşi curent de intensitate I) ca în figura
2.22. Conform teoremei a doua a lui Kirchhoff aplicată ochiului q, rezultă:
Fig.2.22 - Explicativă pentru calculul
rezistenţei echivalente la gruparea în serie
021 = U - U +...+ U + U bn
R I = U = R +...+ R + R I sebn )( 21
R = R k
n
= k se
1 (2.50)
În cazul legării în serie a rezistoarelor, rezistenţa echivalentă este
egală cu suma rezistenţelor rezistoarelor componente.Pentru n rezistoare identice
având rezistenţa R fiecare, rezistenţa echi-valentă, la legarea în serie este:
. R n = R se (2.51)
b) Gruparea în paralel a rezistoarelor. Considerăm n rezistoare de rezistenţe R1,
R2,..., Rn legate în paralel (având aceeaşi tensiune la borne) ca în figura 2.23.
Aplicând prima teoremă a lui Kirchhoff
nodului A, rezultă:
,R
U +...+
R
U +
R
U
= I +...+I+I = R
U = I
n
bbb
ne
b
21
21
Fig.2.23 - Explicativă pentru calculul
rezistenţei echivalente la gruparea paralel.
de unde rezultă:
. R
= R k
n
= kp e
11
1
(2.52)
În cazul legării în paralel (derivaţie) a rezistoarelor, inversul rezistenţei
echivalente este egal cu suma inverselor rezistenţelor rezistoarelor componente.
Inversul rezistenţei se notează cu G şi se numeşte conductanţă, deci:
. G = G k
n
= ke
1 (2.53)
Conductanţa echivalentă în cazul legării în paralel este egală cu suma
conductanţelor elementelor legate în paralel.
Pentru n rezistoare identice, având rezistenţa R = 1/G fiecare, rezistenţa
echivalentă, respectiv conductanţă echivalentă vor fi:
41
.G n = G ,n
R = R p e p e
(2.54)
2.7.5. Rezolvarea reţelelor electrice prin metoda teoremelor lui
Kirchhoff
Fiind dată o reţea electrică la care se cunosc valorile t.e.m. şi ale
rezistenţelor laturilor, se pune problema determinării prin calcul a intensităţilor
curenţilor care trec prin laturile reţelei. Dacă se cunosc o parte din valorile t.e.m.,
ale rezistenţelor şi o parte a curenţilor din laturi, se pot determina prin calcul
celelalte mărimi necunoscute (t.e.m., curenţi, rezistenţe).
Pentru rezolvarea unei reţele prin metoda teoremelor lui Kirchhoff se
procedează astfel:
a)-se stabileşte numărul N de noduri ale reţelei;
b)-se stabileşte numărul L de laturi ale reţelei;
c)-se aleg sensuri de referinţă pentru curenţii şi t.e.m. necunos-cute din laturi
şi se figurează pe schema electrică;
d)-se stabilesc ochiurile independente şi sensurile de referinţă pentru ele;
e)-se scriu N-1 ecuaţii cu ajutorul primei teoreme a lui Kirchhoff aplicată
nodurilor reţelei şi O = L - N + 1 ecuaţii cu ajutorul celei de a doua teoreme a lui
Kirchhoff aplicată celor O ochiuri funda-mentale. Se obţine un sistem de L ecuaţii
cu L necunoscute;
f)-se rezolvă sistemul de ecuaţii obţinut la punctul e. Curenţii a căror valoare
a rezultat pozitivă din rezolvarea sistemului de ecuaţii, au sensul real cel stabilit la
punctul c, iar cei ale căror valori sunt negative, au sensurile reale opuse celor
stabilite la punctul c;
g)-se verifică corectitudinea rezultatelor prin metodele:
1. - se scrie prima teoremă a lui Kirchhoff pentru nodul al N-lea (cel
nefolosit). Relaţia obţinută trebuie să fie verificată cu ajutorul curenţilor găsiţi prin
calcul;
2. - se scrie cea de a doua teoremă a lui Kirchhoff pentru un ochi nefolosit.
Relaţia obţinută trebuie să fie verificată cu ajutorul curenţilor găsiţi din calcul;
3. - se scrie tensiunea electrică între două puncte oarecare pe mai multe
drumuri diferite, rezultatele obţinute trebuind să fie aceleaşi pentru valorile
curenţilor găsiţi;
4. - se face bilanţul puterilor. Suma algebrică a puterilor debitate de sursele
reţelei este egală cu suma puterilor ce se pierd prin efect Joule-Lenz în rezistenţele
reţelei:
R I = I U k k
L
= kkk e
L
= k
2
11
(2.55)
Produsele Uek Ik se scriu cu semnul plus (+) dacă sensurile lui Uek şi Ik
coincid prin latura k şi cu semnul minus (-) în caz contrar.
42
2.8. CURENTUL ELECTRIC PRIN ELECTROLIŢI
Se numesc conductori de specia a doua (electroliţi), conduc-torii în care
trecerea curentului electric este însoţită de reacţii chimice şi de un transport de
substanţă. Prin topirea la temperaturi înalte sau prin dizolvarea în anumite medii
(apă, alcool, amoniac etc.), unele substanţe devin electroliţi. Aceste substanţe
netopite sau nedizolvate, în stare pură, au conductibilitatea electrică foarte mică,
adică sunt izolanţi. Mediile lor de soluţie (solvenţii puri) au şi ei de asemenea
conductibilitatea electrică foarte mică, deşi soluţia obţinu-ă prin dizolvarea
electrolitului are o conductibilitate apreciabilă.
2.8.1. Disociaţia electrolitică
Dacă într-un vas cu apă se introduce sare de bucătărie (NaCl), aceasta se
dizolvă şi majoritatea moleculelor de clorură de sodiu se desfac în ioni de sodiu
pozitivi (Na+) şi ioni de clor negativi (
Cl ):
. Cl + Na NaCl + (2.56)
Fenomenul de desfacere a moleculelor dizolvate, în ioni, independent de
prezenţa sau absenţa curentului electric, se numeşte disociaţie electrolitică. Prin dizolvarea substanţei, nu toate moleculele disociază. Se numeşte grad de
disociere α, raportul dintre numărul de molecule disociate şi numărul total de
mole-cule dizolvate. La electroliţii tari, cum sunt acizii, bazele şi sărurile, 1
(adică majoritatea moleculelor dizolvate sunt disocia-te) iar la electroliţii slabi, α
<< 1 (disocierea moleculelor este slabă).
Disociaţia electrolitică se datorează faptului că moleculele solventului
slăbesc forţele electrice coulombiene care leagă ionii substanţei dizolvate (pentru
apă forţele sunt de 80 ori mai mici).
Starea de echilibru a soluţiei, pentru un anumit grad de disociere α, este de
natură statistică: există disocieri şi recombinări simultane condiţionate de agitaţia
termică.
Electroliţii au o conductibilitate ionică. Curentul electric prin electroliţi este
un flux de ioni pozitivi în sensul curentului şi un flux de ioni negativi în sens
contrar. Purtătorii de sarcină sunt fragmente de moleculă, conductibilitatea
electrolitică este legată şi de un transport de substanţă, deoarece ionii ajungând la
electrozii vasului se descarcă de sarcina pe care o au (primind sau cedând
electroni) şi se transformă (reacţionând sau nu cu electrozii) în molecule neutre.
2.8.2. Electroliza
Reacţiile chimice produse într-o soluţie de electrolit la trecerea
curentului electric se numeşte electroliză. În toţi electroliţii ionii pozitivi (de
hidrogen, metale sau radicali care au rol de metal) se deplasează în sensul
curentului, iar ionii negativi (formaţi din atomii restului sării, acidului sau bazei),
se deplasează în sens invers.
43
Cei doi electrozi (conductori de specia întâi) introduşi în vasul cu electrolit
se numesc: anod - electrodul de intrare a curentului în electrolit şi catod -
electrodul de ieşire a curentului (fig.2.24). Ionii negativi din soluţie sunt atraşi de
către electrodul pozitiv (anod) şi din acest motiv se numesc anioni, iar ionii
pozitivi sunt atraşi de electrodul negativ (catod), numindu-se cationi.
Fig.2.24 - Deplasarea ionilor în electrolit.
Ionii ajunşi la electrozi se neutralizează
(se descarcă de sarcina electrică)
obţinându-se în vecinătatea electrozilor
molecule sau radicali neutri, din punct de
vedere electric, din substanţa respectivă.
2.8.2.1. Legea electrolizei. Legea electrolizei înglobează cele două relaţii stabilite de Faraday şi arată
relaţia care există între masa unui element sau radical chimic care apare la unul
dintre electrozii unei băi electrolitice şi sarcina electrică care trece prin baie.
Conform acestei legi, masa m de substanţă care se depune în timpul t la un
electrod al băii electrolitice, este proporţională cu sarcina electrică ce trece prin
baie şi cu echivalentul chimic al elementului depus:
,q A
F
= t i A
F
= mt +t
t
00
1d
1 0
0 (2.57)
unde A este masa unui atom gram de substanţă depusă, υ - valenţa produsului
depus, F0 - o constantă universală numită constanta lui Faraday (F0 = 96 490
C/echivalent gram), A/υ - echivalentul chimic al substanţei depuse, q - sarcina
electrică ce trece prin baia electrolitică în timpul t.
Constanta lui Faraday nu depinde de natura electrolitului. Ea reprezintă
cantitatea de sarcină electrică ce trebuie să treacă printr-o baie electrolitică pentru a
se depune la un electrod un echivalent chimic de substanţă. În electrochimie F0 =
96 490 C este considerată ca unitate de sarcină electrică şi este denumită Faraday.
Electroliza are numeroase aplicaţii în industrie:
-producerea sau rafinarea unor metale ca de exemplu a aluminiului sau a
cuprului electrolitic;
-acoperirea obiectelor cu un strat subţire dintr-un metal (galvanostegie), ca
de exemplu nichelarea, cromarea, zincarea, argintarea etc.;
-reproducerea formei unui obiect (galvanoplastie);
-obţinerea unor produse chimice ca de exemplu a oxigenului, hidrogenului,
clorului etc.
Electroliza are şi efecte dăunătoare cum este de exemplu coro-ziunea
electrolitică. La trecerea curentului printr-o piesă ce se află într-un mediu umed, se
petrec fenomene analoge cu cele de la catodul unei băi electrolitice în punctul în
care curentul iese din piesă. Aceste fenomene duc la distrugerea treptată a piesei în
aceste puncte (se corodează).
44
2.8.3. Pile electrice (elemente galvanice)
La introducerea unui electrod într-un electrolit, în stratul de contact dintre
electrod şi electrolit apare un câmp electric imprimat galvanic şi o tensiune de
contact între electrod şi soluţia electrolitică, care depind de natura electrodului, de
valenţa lui, de concentraţia electrolitului, de temperatură etc. (vezi paragraful
2.5.2.3.).
Tensiunea ce apare între electrod şi soluţie se numeşte tensiune de electrod
sau potenţial de electrod. Potenţialele de electrod se măsoară în raport cu un
electrod normal de hidrogen. În tabelul 2.3. sunt indicate tensiunile de electrod ale
unor elemente, când electrolitul este o soluţie a unei săruri a aceluiaşi element, iar
electrodul de referinţă este electrodul normal de hidrogen.
Tabelul 2.3
Ele-
men
tul
Li Na Zn Fe Ni Pb Sn H Cu Hg Ag Pt Au
Ten-siu-
nea
[V]
–3,02
–2,70
–0,76
–-0,43
–0,23
–-0,15
–-0,14
0 +
0,34 +
0,76 +
0,8 +
1,2 +
1,7
Se numeşte pilă electrică (element galvanic) un generator de curent
continuu electrochimic, constituit în principal din doi electrozi de natură diferită
(conductori de specia întâia) introduşi într-un electrolit. T.e.m. obţinută este mare
dacă tensiunile de electrod ale celor doi electrozi sunt mult diferite.
Elementul Leclanché este format dintr-un electrod de cărbune şi unul de zinc
cufundaţi într-o soluţie de clorură de amoniu. Electrodul de cărbune este intro-dus
într-un vas poros umplut cu bioxid de mangan, având rolul de depolarizant.
T.e.m. a elementului Leclanché este de 1,5V, iar rezistenţa sa
interioară de 0,3 Ω. Elementul Leclanché este utilizat sub
formă de pilă electrică uscată. Electrodul de zinc are forma
unui vas de formă cilindrică, în care se află electrolitul
(clorura de amoniu) sub formă de pastă. Electrodul de
cărbune se află pe axul vasului, într-un săculeţ de pânză ce
conţine ca depolarizant bioxidul de mangan
Fig.2.25 - Elementul
Leclanché (fig.2.25). Rezistenţa interioară este de 0,1 Ω. La noi în ţară se fabrică astfel de pile
electrice (baterii) de diverse tipuri şi mărimi la întreprinderea "Electrobanat"
Timişoara.
Elementele galvanice se mai numesc şi elemente primare. Ele sunt
caracterizate prin rezistenţe interne mari, curenţi mici şi prin faptul că reacţiile
chimice ce au loc sunt ireversibile. Readucerea unei pile galvanice epuizate în stare
de funcţionare se poate face numai prin reînnoirea substanţelor active.
2.8.4. Acumulatoare electrice
Acumulatoarele electrice sunt elemente secundare, reversibile, deoarece
45
reacţiile chimice ce au loc în interiorul lor sunt reversibile şi depind de sensul
curentului. La aceste elemente în timpul încărcării lor, energia electrică se
transformă în energie chimică, iar în perioada de descărcare, energia chimică se
transformă în energie electrică.
Cele mai utilizate acumulatoare sunt acumulatoarele acide (cu plumb) şi
acumulatoarele alcaline (feronichel).
2.8.4.1. Acumulatoarele acide (cu plumb).
Electrozii sunt executaţi din grătare de plumb, care în stare iniţială
(neformată) sunt acoperite cu o pastă de oxizi de plumb (miniu Pb3O4, litargă
PbO).
Electrozii sunt cufundaţi într-o soluţie apoasă de acid sulfuric. Prin operaţia
de "formare" (care constă înalimentarea acumulatorului la o sursă de t.e.m. de
c.c.) pasta electrozilor se transformă în PbO2 de culoare cafenie la plăcile pozitive
şi în plumb spongios de culoare cenuşie la plăcile negative. Vasul acumulatorului
se execută din sticlă sau ebonită.
Descărcarea acumulatorului comportă următoarele reacţii chimice:
Electrodul pozitiv Electrodul negativ - starea înainte
de descărcare PbO2 Pb
- sensul
curentului în
element
H2SO4
- circulaţia
ionilor 2H
+ SO4
--
- reacţii chimice PbO2 + 2H
+ + H2SO4
= PbSO4 +2 H2O - 2e Pb+SO4
--= PbSO4 + 2e
- starea finală PbSO4 PbSO4
În urma descărcării acumulatorului starea finală a electrozilor este aceeaşi,
deci nu mai poate debita curent, concentraţia acidului scade la descărcare,
electrolitul ajungând la o densitate de 1.18 103 kg/m
3.La încărcarea acumulatorului
reacţiile chimice sunt inverse:
Electrod pozitiv Electrod negativ - starea înainte
deîncărcare PbSO4 PbSO4
- sensul
curentului în
element
H2SO4
- circulaţia ionilor SO4-- 2H
+
- reacţii chimice
PbSO4 + SO4-- +
2H2O =
= PbO2 + 2H2SO4
+ 2e
PbSO4 + 2H
+
= Pb + H2SO4 - 2e
- starea finală PbO2 Pb
Prin încărcarea acumulatorului se stabileşte starea iniţială şi concen-traţia
electrolitului creşte, densitatea lui ajungând la 1,21 103 kg/m
3.
46
Un element de acumulator încărcat are o tensiune de cca 2,2 V. La
funcţionare tensiunea scade repede la Ud = 1,95 ... 2 V, rămânând un timp
constantă, după care scade brusc. Când tensiunea ajunge la 1,8 V trebuie să se
oprească descărcarea elementului deoarece reacţiile chimice devin ireversibile. La
încărcare, tensiunea elementului creşte mai întîi rapid pînă la Uî= 2,2 V, care se
menţine un timp constantă, după care la sfârşitul încărcării să crească brusc la 2,6
V (fig.2.26a). În figura 2.26b este redată circulaţia ionilor la descărcarea şi la
încărcarea acumulatorului.
Fig.2.26. a) Variaţia tensiunii la borne la încărcarea şi la descărcarea unui element;
b) circulaţia ionilor la descărcare şi la încărcare.
Principalele caracteristici tehnice ale unui acumulator cu plumb sunt:
-tensiunea acumulatorului determinată de numărul de elemente legate în
serie;
-capacitatea acumulatorului pentru o anumită durată de descăr-care.
Capacitatea scade cu creşterea curentului debitat deoarece la curenţi mari reacţ iile
chimice au loc numai la suprafaţa masei active.
Capacitatea acumulatorului este dată în Amper-oră (Ah);
-curentul de descărcare respectiv încărcare maxim admisibil;
-randamentul energetic, având valori de 0,7 ... 0,8;
-randamentul în cantitate de electricitate cu valori de 0,85…0,9;
-rezistenţa internă a unui element care variază între 0,1 Ω la acu-mulatoarele
mici, la 0,0001 Ω la acumulatoarele mari de tracţiune;
-durata de funcţionare, care depinde de construcţia acumula-torului şi
condiţiile de exploatare. Numărul de cicluri de încărcare-descărcare este de 100 ...
1 000.
Un acumulator neutilizat mai multă vreme se descarcă lent şi se
deteriorează. De aceea, acumulatoarele se păstrează un timp mai îndelungat prin
înlocuirea electrolitului cu apă distilată, iar pentru perioade mai scurte, prin
încărcarea lui periodică.
2.8.4.2. Acumulatoare alcaline (fero-nichel).
Electrozii acestui tip de acumulator sunt executaţi din grătare de oţel
nichelat în care se presează masa activă (Ni(OH)3 la electrodul pozitiv şi fier
spongios la electrodul negativ). Electrozii sunt cufundaţi într-o soluţie apoasă de
hidroxid de potasiu (KOH). Vasul acumulatorului este din tablă de oţel inoxidabil.
Descărcarea acumu-latorului comportă următoarele reacţii chimice globale:
47
Electrod pozitiv Electrod negativ - starea înainte de
descărcare Ni(OH)3 Fe
- sensul curentului
în element 2KOH
- circulaţia ionilor 2K+ 2OH
-
- reacţii chimice 2Ni(OH)3 + 2K
+=
=2Ni(OH)2+ 2KOH -2e Fe+2OH
=
=Fe(OH)2 + 2e
- starea finală Ni(OH)2 Fe(OH)2
În urma descărcării acumulatorului, concentraţia electrolitului rămâne
constantă. La încărcarea acumulatorului, reacţiile chimice sunt inverse:
Electrod pozitiv Electrod negativ - starea înainte de
încărcare Ni(OH)2
Fe(OH)2
- sensul curentului în
element 2KOH
- circulaţia ionilor 2OH- 2K
+
- reacţii chimice
2Ni(OH)2 + 2OH-
=
=2Ni(OH)3 + 2e
Fe(OH)2 + 2K
+ =
=Fe + 2KOH - 2e
- starea finală Ni(OH)3 Fe
Tensiunea unui element este de 1,45 V. Descărcarea lui este per-
misă până la 1,15 V. Randamentul acestor acumulatoare este redus (0,52 ... 0,55).
Acumulatoarele alcaline prezintă următoarele avantaje: au greutatea mai
mică şi sunt mai uşor de transportat; nu suferă de pe urma trepidaţiilor; nu necesită
o îngrijire pretenţioasă, fiind executate într-o formă închisă etanş; nu degajă vapori
nocivi; rezistă mai uşor la şocuri de sarcină având rezistenţa internă mai mare.
Acumulatoarele electrice se utilizează ca surse de c.c. Princi-palele domenii
de aplicaţie sunt: alimentarea circuitelor de protecţie, automatizare, semnal izare
din centrale şi staţii electrice; în telefonie; la antrenarea motoarelor electrice mici;
la iluminat de siguranţă, la alimentarea electromobilelor şi electrocarelor.
48
3. ELECTRODINAMICA
Electrodinamica studiază câmpul magnetic precum şi interde-pendenţa
dintre acesta şi câmpul electric, în regim variabil.
3.1. CÂMPUL MAGNETIC ÎN VID. LINII DE CÂMP
MAGNETIC.
Din antichitate s-a observat că unele minereuri au proprietatea de a atrage
obiecte din fier. Deoarece minereurile cu această proprietate proveneau din oraşul
antic Magnesia din Asia Mică, corpurile care aveau proprietatea de a atrage obiecte
din fier s-au numit magneţi şi fenomenul în sine magnetism. Pământul este şi el un
magnet deoarece are proprietatea de a orienta acul magnetic al busolei. Însuşirile
magnetice se transmit prin contact sau prin influenţă anumitor metale sau aliaje,
din care unele o păstrează definitiv. Aceste metale devin magneţi artificiali.
Considerând un magnet sub formă de bară, se constată că proprietăţile magnetice
se manifestă numai la capetele barei, care constituie polii magnetului. Tăind în
două bara, polii nu se separă, ci apar doi magneţi, fiecare cu doi poli (fig.3.1).
Acest lucru infirmă ipoteza că magnetismul s-ar datora unor sarcini magnetice.
În anul 1820 H. Ch. Oersted (1777-1851) a stabilit că în jurul
conductoarelor parcurse de curent electric au loc fenomene magnetice, făcând
legătura între magnetism şi electricitate. Feno-menele magnetice produse în urma
trecerii curentului electric prin conductoare se numesc fenomene
electromagnetice. Aceste feno-mene încetează în general la anularea curenţilor
electrici care le-au produs. Fenomenele magnetice cauzate de unele minereuri se
numesc fenomene magnetice naturale.
Magnetismul natural se manifestă nelimitat şi
de aceea a mai fost numit magnetism
permanent. Există unele materiale (de exemplu
oţelul) care în mod obişnuit nu au pro-prietăţi
magnetice dar care pot căpăta proprietăţi
magnetice permanente sub influenţa curentului
electric sau a magnetismului permanent.
Fig.3.1 - Apariţia a doi magneţi la
secţionarea unui magnet în formă
de bară. În jurul corpurilor magnetizate şi a conductoarelor parcurse de curent
electric, există un spaţiu cu proprietăţi speciale, de a transmite acţiuni
ponderomotoare asupra acului magnetic sau asupra conduc-toarelor parcurse de
curent electric. S-a creat un câmp magnetic prin intermediul căruia se transmit
acţiunile ponderomotoare de natură magnetică. Ca şi câmpul electric, câmpul
magnetic este un câmp de forţe cu repartiţie continuă în spaţiu.
Fig.3.2 - Bucla de curent.
Pentru explorarea câmpului magnetic se
utilizează bucla de curent (fig.3.2).Ea este o spiră
de dimensiuni mici ce se caracteri-zează prin
vectorul momentul buclei bm , definit astfel:
,n Si = S i = mb (3.1)
49
unde S este aria suprafeţei închise de spiră; n - versorul normal la suprafaţă, având
sensul dat prin regula burghiului drept (sensul de înaintare a burghiului, dacă e
răsucit în sensul curentulu i). Prin introducerea buclei într-un câmp magnetic aflat
în vid, se constată că asupra ei va acţiona un cuplu, în raport cu centrul ei de masă,
a cărei expresie este proporţională cu momentul buclei şi cu o mărime vectorială de
stare a câmpului magnetic în vid numită inducţia magnetică în vid:
,B m = C vb (3.2)
unde vB reprezintă inducţia magnetică în vid şi este o mărime primitivă
vectorială de stare a câmpului magnetic ce caracterizează complet câmpul
magnetic în vid.
Unitatea de măsură a inducţiei magnetice este Tesla [T].
Intensitatea câmpului magnetic în vid Hv este o mărime derivată de stare
a câmpului magnetic şi este definită prin relaţia:
,B
= Hv
v0 (3.3)
unde μo este o constantă universală, numită permeabilitate magnetică a vidului şi
are valoarea: m/H7
0 10μ4μ , (3.4)
unde H este Henry, unitatea de măsură a inductivităţii.
În vid, oricare dintre vectorii vH sau vB caracterizează complet câmpul
magnetic.
Unitatea de măsură pentru intensitatea câmpului magnetic este
Amper/metru [A/m].
Se numesc linii de câmp magnetic, liniile la care în fiecare punct al lor,
vectorul inducţie magnetică (intensitate a câmpului magnetic) este tangent.
Liniile de câmp magnetic sunt linii închise. Liniile se reprezintă astfel încât
numărul lor pe unitatea de suprafaţă transversală să fie proporţional cu modulul
inducţiei magnetice, formând astfel spectrul câmpului magnetic.
Spectrul câmpului magnetic creat de un
conductor rectiliniu, filiform şi foarte lung, străbătut
de un curent electric este format din cercuri situate în
plane perpendiculare pe direcţia conductorului şi
având centrul pe axul conductorului (fig.3.3). Sensul
liniilor este dat de regula burghiului drept (sensul în
care trebuie rotit burghiul pentru ca înainta rea lui să
fie în sensul curentului).
Fig.3.3 -. Spectrul liniilor de
câmp magnetic produs de un
conductor infinit lung.
Spectrul liniilor de câmp magnetic, creat de o
spiră circulară, străbătută de un curent electric este
reprezentat în figura 3.4. Liniile de câmp magnetic
sunt situate în plane perpendiculare pe axul spirei
trecând prin centrul ei. Spectrul liniilor de câmp al
unui solenoid străbătut de un curent electric este dat
Fig.3.4 - Spectrul liniilor de
câmp magnetic produs de o
spiră circulară.
50
în fig.3.5. Solenoidul este o bobină care se
obţine prin înfăşurarea unui conductor pe
suprafaţa laterală a unui cilindru. Câmpul
magnetic din interiorul bobinei se poate
considera omogen dacă lungimea bobinei
este mult mai mare decât diametrul ei.
Fig.3.5 - Spectrul liniilor de câmp
magnetic produs de un solenoid. Sensul liniilor de câmp magnetic este dat de regula burghiului drept.
3.2. CÂMPUL MAGNETIC ÎN CORPURI
3.2.1. Caracterizarea stării de magnetizare a corpurilor
Prin introducerea corpurilor într-un câmp magnetic, acestea trec într-o stare
nouă, numită stare de magnetizare, în care sunt supuse unor acţiuni
ponderomotoare suplimentare faţă de cele condiţionate de starea lor electrocinetică
sau de starea lor de mişcare.
Starea de magnetizare a unui corp mic se caracterizează printr-o mărime
vectorială de stare numită moment magnetic. Asupra acestui corp, introdus într-un
câmp magnetic din vid, vor acţiona un cuplu şi o forţă , date de relaţiile:
. B m = F
,B m = C
v
v
)(grad
(3.5a,b)
Momentul magnetic caracterizează complet starea de magne-tizare a
corpurilor. Direcţia lui se numeşte direcţia de magnetizare a corpului, iar dreapta
suport a vectorului, orientată în sensul acestuia - axă de magnetizare.
Din relaţiile (3.5a,b) se observă cum corpul mic tinde să se orien-teze pe
direcţia câmpului magnetic şi că forţa se exercită numai în câmpuri neuniforme şi
este îndreptată spre regiunile de câmp intens.
Dacă momentul magnetic se anulează în lipsa câmpului magnetic exterior, el
se numeşte moment magnetic temporar t, iar dacă la anularea câmpului magnetic
exterior mai rămâne un moment magne-tic, acesta se numeşte moment magnetic
permanent p. În general:
.mmm pt (3.6)
Starea de magnetizare a unui corp de dimensiuni mari se caracterizează local
printr-o mărime derivată, numită magnetizare , egală cu densitatea de volum a
momentului magnetic:
.V
m =
V
m = M
V d
dlim
0 (3.7)
Analog cu relaţia (3.6) vom avea:
. M + M = M pt (3.8)
Dacă se cunoaşte magnetizaţia unui corp, momentul său magnetic va fi:
. V M = mV corp
d
(3.9)
51
Unitatea de măsură a momentului magnetic este Amper metru pătrat
(Am2) şi cea a magnetizaţiei este Amper/metru (A/m).
Magnetizarea corpurilor se poate explica prin mişcările electro-nilor din
cadrul unui atom sau al unei molecule, pe orbite în jurul nucleului (mişcare
orbitală) şi în jurul axelor proprii (mişcare de spin). Un electron în mişcarea sa
orbitală constituie o buclă de curent, căreia îi corespunde un moment magnetic 0m
şi la fel în mişcarea de spin îi corespunde un moment magnetic sm .
Momentul magnetic al unui atom este determinat de suma vectorială a
momentelor magnetice orbitale şi a momentelor de spin.
Moleculele la care momentul magnetic rezultant este nul în lipsa unui câmp
magnetic exterior se numesc molecule nepolare, iar moleculele la care acest
moment magnetic rezultant este nenul în lipsa câmpului magnetic exterior, se
numesc molecule polare. Chiar dacă moleculele sunt polare, în lipsa unui câmp
magnetic exterior, orientările momentelor magnetice ale diferitelor molecule sunt
repartizate haotic din cauza agitaţiei termice şi ca urmare magnetizarea
macroscopică e nulă.
3.3. RELAŢIILE FUNDAMENTALE ALE
ELECTRODINAMICII
3.3.1. Legea magnetizaţiei temporare
Legea magnetizaţiei temporare arată că în orice punct al mate-rialului,
magnetizaţia temporară tM este proporţională cu intensitatea câmpului
magnetic în acel punct:
,H = M mt
(3.10)
unde factorul χm se numeşte susceptivitate magnetică.
3.3.2. Legea legăturii între inducţia magnetică , intensitatea câmpului
magnetic şi magnetizaţie
În orice punct dintr-un corp inducţia magnetică este proporţio-nală cu suma
vectorială dintre intensitatea câmpului magnetic şi magnetizaţie:
. M + H = B 0 (3.11)
În cazul general, magnetizaţia are atât componentă temporară Mt, cât şi
componentă permanentă Mp (relaţia 3.8), deci legea legă-turii devine:
.M+H=M+H+=M+M+H= B ppmpt 0000 1
(3.12)
Pentru medii fără magnetizaţie permanentă:
HHB rμμμ 0
. (3.13)
Coeficientul μr=1+χm se numeşte permeabilitate magnetică relativă a
materialului, iar μ=μoμr - permeabilitate magnetică absolută.
3.3.3. Legea fluxului magnetic
Se numeşte flux magnetic printr-o suprafaţă SΓ, integrala de suprafaţă a
vectorului inducţie magnetică pe suprafaţă SΓ:
52
,S B = S
S d
(3.14)
unde d S este elementul de suprafaţă considerat ca vector, orientat
după normala la suprafaţă, într-un sens arbitrar, numit sens de referinţă sau sens
pozitiv convenţional al fluxului magnetic.
Unitatea de măsură a fluxului magnetic este Weberul [Wb].
Fluxul magnetic prin orice suprafaţă închisă Σ este întotdeauna nul,
oricare ar fi natura şi starea de mişcare a mediilor prin care trece suprafaţa Σ
şi oricare ar fi variaţia în timp a inducţiei magnetice:
. = S B = 0d
(3.15)
Relaţia (3.15) exprimă forma integrală a legii fluxului magnetic.
Aplicând formula lui Gauss-Ostrogradski relaţiei (3.15) se obţine:
. = B div , = V B div = S B V
00dd (3.16)
Relaţia (3.16) exprimă forma locală a legii: în orice punct divergenţa
vectorului inducţie magnetică este nulă.
Consecinţe ale legii fluxului magnetic.
1. Fluxul magnetic depinde numai de conturul pe care se sprijină suprafaţa.
Fig.3.6 - Explicativă la prima
consecinţă a legii fluxului magnetic.
Dacă se consideră o curbă închisă Γ
aflată într-un câmp magnetic şi două suprafeţe
deschise SΓ1 şi SΓ2 care se sprijină pe această
curbă (fig.3.6), fluxul magnetic prin suprafaţa
închisă Σ (SΓ1SΓ2) este nul conform legii
fluxului magnetic:
. = ,S B = S B
, =S B+S B- =S B+S B=S B
SSS
1S
SSSS
2
21
1
2121
2
21
dd
0ddddd
(3.17)
Conform relaţiei (3.17), fluxul magnetic are aceeaşi valoare prin toate
suprafeţele deschise care se sprijină pe acelaşi contur.
2. Liniile de câmp magnetic sunt linii închise. Dacă aceste linii ar porni sau
ar sfârşi într-un punct, atunci fluxul magnetic printr-o suprafaţă închisă care
înconjoară punctul ar fi diferit de zero.
3. Fluxul magnetic se conservă în lungul unui tub de linii de câmp
Aplicând legea fluxului magnetic unui tub de flux (volumul delimitat de
totalitatea liniilor de câmp care trec prin punctele unei curbe închise Γ)
rezultă:
53
Fig.3.7 - Fluxul magnetic printr-un tub de flux.
183dd
0dddddd
21
21l
21
121
. , = ,S B = S B
,=S B+S B-=SB+S B+S B= S B
2S
1S
SSSSS 2l
deoarece pe suprafaţa laterală fluxul este nul ( SB d ).
3.3.4. Legea circuitului magnetic
Se consideră patru circuite filiforme închise, parcurse de curenţii de
conducţie i1, i2, i3, i4 şi o curbă închisă Γ care înlănţuie două din cele patru circuite
(fig.3.8). Se definesc:
- Tensiunea magnetică între două puncte A şi B ale curbei Γ ca integrala de
linie a vectorului intensitate a câmpului magnetic în lungul curbei Γ:
. l H = uB
) ( Am B A
d (3.19)
- Tensiunea magnetomotoare
(t.m.m.) a curbei Γ, circulaţia
vectorului intensitate a câmpului
magnetic în lungul curbei Γ:
Fig.3.8 - Explicativă la legea circuitului magnetic.
. l H = umm
d (3.20)
T.m.m. şi tensiunea magnetică depind de conturul Γ.
Solenaţia printr-o suprafaţă deschisă, mărginită de conturul Γ ca suma
algebrică a curenţilor din conductoarele care trec prin suprafaţa respectivă:
,i w = kkS
(3.21)
unde curenţii se consideră pozitivi când sensul în care ei înlănţuie conturul Γ se
asociază după regula burghiului drept cu sensul pozitiv de parcurgere al conturului
(sensul în care se face integrarea pentru calculul t.m.m.). Pentru figura 3.8,
solenaţia este θSΓ = 3i1 - 2i3.
În cazul general, solenaţia se calculează cu relaţia:
. S J = S
S dθ
(3.22)
54
Legea circuitului magnetic s-a stabilit experimental şi se poate enunţa astfel:
în orice moment, t.m.m. ummΓ, de-a lungul oricărei curbe închise Γ este egală
cu suma dintre solenaţia θSΓ prin conturul Γ şi derivata în raport cu timpul a
fluxului electric ΨSΓ care străbate o suprafaţă deschisă oarecare SΓ, mărginită
de acest contur:
. t
+ = u
SS m m
d
dθ
(3.23)
Ţinând seama de relaţiile (3.20),(3.22) şi (1.32), rezultă:
. S vD+S D v+S t
D+S J =
= S D t
d + S J = l H
SSSS
SS
drotddivdd
dd
dd
(3.24)
În aceste relaţii, sensul de referinţă a t.m.m. (al elementului d l ) este asociat
cu sensul fluxului electric (al elementului d S ), conform regulii burghiului drept.
În relaţia (3.24) ultimele trei integrale au dimensiuni de curent şi se numesc
intensitatea curentului electric de deplasare, de con-vecţie şi respectiv
Roentgen. Experimental s-a dedus că în termenul al treilea din membrul drept al
relaţiei (3.24) în locul inducţiei electrice D este necesar să se introducă polarizaţia
electrică P .
Din forma integrală a legii circuitului magnetic (rel.3.24) rezultă cauzele
care produc câmp magnetic: curenţii electrici de conducţie (starea electrocinetică a
corpurilor), curenţii de deplasare (variaţia în timp a câmpului electric), curenţii de
convecţie (mişcarea corpurilor încărcate cu sarcini electrice), curenţii Roentgen
(mişcarea dielec-tricilor polarizaţi).
În regim staţionar (dΨSΓ / dt = 0), legea circuitului magnetic va avea forma
cunoscută şi sub numele de teorema lui Ampére:
. S J = = l H S
S dd
(3.25)
3.3.6. Legea inducţiei electromagnetice
Se numeşte inducţie electromagnetică producerea unei t.e.m. într-un
circuit sau, în general, în lungul unei curbe închise, datorită variaţiei în timp a
fluxului magnetic care străbate orice suprafaţă ce se sprijină pe acea curbă.
S-a constatat experimental că: t.e.m. produsă prin inducţie
electromagnetică, în lungul unei curbe închise Γ, este egală cu viteza de
scădere a fluxului magnetic prin orice suprafaţă sprijinită pe această curbă:
. S B t
- = t
- = l E = u
S
Se d
d
d
d
dd
(3.29)
Sensul t.e.m. induse este astfel încât efectele ei se opun cauzei care a produs -
o (regula lui Lenz). Pentru exemplificare, se consideră un circuit traversat de un
55
flux magnetic variabil în timp Φ (fig.3.11) în intervalul de timp în care fluxul
inductor Φ creşte (dΦ/dt>0), în
Fig.3.11 - Explicativă la regula lui Lenz.
circuit apare o t.e.m. indusă ce dă naştere
unui curent i care produce un flux Φr (de
reacţie) ce se opune creşterii fluxului
inductor (sens contrar fluxului Φ), iar la
scăderea fluxului inductor Φ (dΦ/dt < 0),
fluxul de reacţie Φr are acelaşi sens cu
fluxul inductor.
Pentru aplicarea legii inducţiei electromagnetice trebuie să se ţină seama de
următoarele reguli:
- curba închisă Γ este luată, în general, în lungul conductoarelor electrice,
însă poate fi dusă şi prin izolanţi sau vid;
- dacă mediul este în mişcare, curba Γ este ataşată corpurilor în mişcare;
- sensul de integrare pe curba Γ (sensul lui d l ) şi normala la suprafaţa SΓ
(sensul lui d l ) sunt asociate după regula burghiului drept. Dacă s-ar utiliza
regula burghiului stâng, ar dispare semnul minus din legea inducţiei
electromagnetice, dar apare în legea circuitului magnetic la derivata fluxului
electric;
- dacă conturul Γ este luat în lungul conductorului unei bobine cu N spire
practic suprapuse, fluxul magnetic care intervine în calculul t.e.m. induse este
fluxul magnetic printr-o suprafaţă ce se sprijină pe întregul contur, adică fluxul
prin toate spirele. Dacă se notează fluxul magnetic fascicular Φf (fluxul printr-o
singură spiră), în legea inducţiei intervine fluxul total Φ = N Φf:
. t
N - = u
f
ed
d
(3.30)
În regim staţionar sau static, când fluxul magnetic nu variază în timp, t.e.m.
indusă este nulă, deoarece derivata fluxului magnetic în raport cu timpul este zero,
rezultând:
, = l E 0d
care arată că teorema potenţialului electrostatic este o formă particulară a legii
inducţiei electromagnetice. Dezvoltând membrul drept al relaţiei (3.29) rezultă:
,l B v + S t
B -
= S v B + B v+ t
B - = lE
S
S
dd
drotdivd
(3.31)
deoarece div B = 0, din legea fluxului magnetic.
Relaţia (3.31) arată că t.e.m. apare ca urmare a variaţiei inducţiei magnetice
în timp (primul termen din membrul drept care este t.e.m. de transformare) şi
datorită unei mişcări (cel de al doilea termen din membrul drept care este t.e.m. de
56
mişcare). Prima apare la transfor-matoarele electrice, iar a doua în maşinile
electrice.
Câmpurile electrice induse prin inducţie electromagnetică (câmpuri
solenoidale) având circulaţia diferită de zero (rot E 0), sunt câmpuri rotaţionale,
cu linii de câmp închise.
Legile circuitului magnetic şi a inducţiei electromagnetice arată
interdependenţa dintre câmpul magnetic şi cel electric în regim nestaţionar.
Aplicaţii.
Curenţii turbionari. Conform legii inducţiei electromagnetice, în spaţiul în
care fluxul magnetic este variabil, apare un câmp electric ale cărui linii de câmp
sunt închise şi se află în plane perpendiculare pe direcţia fluxului magnetic. Dacă
spaţiul în care fluxul magnetic variază se află corpuri electroconductoare (oţel,
cupru etc.), atunci câmpul electric variabil creează în aceste conductoare curenţi
induşi numiţi curenţi turbionari. De exemplu, la trecerea curentului alter- nativ
printr-o bobină cu miez de fier masiv, în miez se vor induce t.e.m. ce vor da
naştere unor curenţi turbionari, care se închid în plane perpendiculare pe vectorul
inducţie magnetică (fig.3.12). Aceşti curenţi provoacă pe de o parte încălzirea
miezului prin efect Joule - Lenz, micşorînd randamentul instalaţiei electrice, iar pe
de altă parte, potrivit regulei lui Lenz, exercită o acţiune demagnetizantă la
creşterea fluxului magnetic. Pentru micşorarea pierderilor, miezurile se fabrică din
tole izolate între ele, micşorîndu-se astfel secţiunea circuitului şi valoarea
curenţilor turbionari. Pentru o serie de dispozi-
Fig.3.12 – Circuit
magnetic din tole
electrotehnice.
Fig.3.13.-.Circuit magnetic a)
masiv; b) din tole electro-tehnice.
Fig.3.14 - Contorul electric.
tive, curenţii turbionari pot fi folosiţi raţional pentru funcţionarea lor. În fig.3.14
este reprezentat discul de aluminiu al unui contor de energie electrică, care se
roteşte între polii unui magnet permanent. În timpul funcţionării contorului, la
rotirea discului, în el apar curenţi turbionari. Din interacţiunea acestor curenţi cu
câmpul magnetic al magnetului apar forţe care contribuie la frânarea discului,
creând astfel cuplul rezistent, proporţional cu viteza de rotire a discului.
Curenţii turbionari sunt utilizaţi în practică la încălzirea metalelor în vederea
forjării sau a călirii lor superficiale.
Principiul de funcţionare al generatorului de curent alterna-tiv. Se
consideră o bobină plană dreptunghiulară cu N spire, ce se roteşte în jurul unei axe
de simetrie cu n rot/sec, într-un câmp magnetic omogen, de inducţie B ,
perpendicular pe axa de rotaţie (fig.3.15). Aplicând legea inducţiei
electromagnetice şi ţinând seama că B = const., apare numai o t.e.m. de mişcare:
57
. l B v N = l B v = u
spe dd
Se induc t.e.m. numai în laturile AB şi CD, deoarece pentru laturile BC şi
DA, produsul mixt dintre viteză, inducţie şi elementul dl este (v x B )d l = 0,
cei trei vectori fiind coplanari. Ca urmare
t.e.m. indusă în spiră rezultă:
,t N = l vBN+
+ l vBN = u
m
D
C
B
Ae
sindsin
dα - πsin
(3.32) Fig.3.15 - Principiul de funcţionare al
generatorului sincron. unde: v = ω a = 2πna, Φm = B.S = B.2al (fluxul maxim care străbate spira), iar α
este unghiul dintre şi normala la planul spirei.
3.4. CLASIFICAREA MATERIALELOR DIN PUNCT DE
VEDERE MAGNETIC
Din legea legăturii dintre B , H şi M se ştie că între intensitatea câmpului
magnetic şi inducţia magnetică există relaţia:
. H = H = B μ μ μ ro
În funcţie de valorile permeabilităţii magnetice relative, materialele se
clasifică în:
a)-materiale diamagnetice la care momentul magnetic atomic sau
molecular este nul (materiale cu molecule nepolare). Dacă se introduc aceste
materiale într-un câmp magnetic exterior, apare un moment magnetic orbital
suplimentar, la fiecare moleculă în parte, în sens contrar câmpului magnetic
exterior, astfel încât câmpul magnetic din interiorul materialului este mai slab ca
cel exterior şi ca urmare μr< 1, χm < 0 (de ordinul a 10-5
). Din această categorie fac
parte: hidrogenul, gazele inerte, carbonul, cupru, argintul, zincul, aurul etc;
b)-materiale paramagnetice la care momentele magnetice orbitale şi de
spin nu sunt nule (materiale cu molecule polare). Magnetizarea macroscopică
este însă nulă datorită agitaţiei termice. Prin introducerea acestor materiale într -un
câmp magnetic exterior, are loc o orientare a momentelor magnetice, astfel încât
acestea să devină omoparalele cu direcţia câmpului magnetic exterior. Ca urmare,
câmpul magnetic interior este mai intens, deci μr >1, χm > 0 (de ordinul a 10-3
). Din
această categorie fac parte: aluminiu, platina, cromul, azotul etc.
Deoarece permeabilităţile relative ale acestor două clase de materiale sunt
foarte apropiate de unitate, în calculele practice se iau pentru ele 1μ r şi 0μμ ;
c)-materiale feromagnetice. Din această clasă fac parte fierul, nichelul,
cobaltul şi unele aliaje ale acestora, la care relaţia B = f(H) nu mai reprezintă o
dreaptă ca la materialele para sau diamagnetice, permeabilitatea magnetică a lor
fiind dependentă de intensitatea câmpului magnetic şi de starea lor anterioară de
58
magnetizare. La aceste materiale apare un efect cuantic numit cuplaj de schimb,
care face ca între atomii vecini să apară un cuplaj magnetic rigid (momentele lor
magnetice să devină paralele), chiar dacă agitaţia termică se opune acestui cuplaj.
Dacă temperatura creşte peste o valoare limită, denumită temperatură
Curie, cuplajul de schimb dispare brusc, rămânând doar efectul paramagnetic.
Pentru fier, temperatura Curie este de 1043 K, iar pentru nichel 633 K.
Un corp feromagnetic introdus într-un câmp magnetic exterior, determină un
câmp magnetic propriu în acelaşi sens şi foarte intens în raport cu câmpul magnetic
exterior, astfel încât câmpul magnetic interior rezultant este foarte intens.
Pentru trasarea curbei B=f(H) (fig.3.16) se procedează astfel: se introduce
materialul nemagnetizat într-un câmp magnetic variabil. La început se constată că
la o creştere a intensităţii câmpului magnetic (care iniţial avea valoare zero), apare
o creştere rapidă a inducţiei magnetice din material, după care creşterea este mai
lentă şi la un moment dat, inducţia magnetică rămâne practic constantă.
Fig.3.16 - Ciclul de histerezis
magnetic.
Se spune că materialul s-a saturat. Dacă se
micşorează valoarea intensităţii câmpului magnetic,
se constată că inducţia mag-netică scade lent şi se
ajunge ca la H = 0 inducţia magnetică să fie diferită
de zero, B = Br. Valoarea Br reprezintă inducţia
magnetică remanentă. Dacă se schimbă sensul
câmpului magnetic şi se creşte intensitatea acestui
câmp, se constată că inducţia magnetică va scădea
brusc şi va
lua valoarea zero pentru o anumită valoare a intensităţii câmpului magnetic, - Hc,
numită intensitatea câmpului magnetic coercitiv. Crescând în continuare
valoarea intensităţii câmpului magnetic, se constată o creştere a inducţiei
magnetice, dar având sensul schimbat. Când intensitatea câmpului magnetic ia
valoarea - Hm, se constată că inducţia magnetică rămâne practic constantă
(materialul s-a saturat). Micşorând intensitatea câmpului magnetic până la anulare,
schimbând apoi sensul lui şi crescându-l până la valoarea Hi, se obţine o curbă
închisă numită ciclu de histerezis. în timpul descrierii ciclului de histerezis,
materialul absoarbe o cantitate de energie de la câmpul electromagnetic, energie
care se transformă în energie calorică. Această energie reprezintă pierderile prin
histerezis, pierderi a căror valoare este proporţională cu aria delimitată de ciclul de
histerezis.
3.5. CIRCUITE MAGNETICE
Liniile de câmp magnetic sunt curbe închise care conform teoremelor refracţiei liniilor de câmp magnetic, sunt practic tangenţiale pe faţa interioară a suprafeţelor corpurilor feromagnetice şi perpendiculare pe aceste suprafeţe la ieşirea din ele. Deoarece componentele tangenţiale ale intensităţii câmpului magnetic se conservă la suprafaţa corpurilor feromagnetice, componenta tangenţială a inducţiei magnetice din corpul feromagnetic Bt = μ Ht este mult mai mare ca în exterior (μ>>μ0) şi se poate considera că liniile de câmp magnetic sunt
59
conduse prin corpurile feromagnetice cum este condus curentul electric prin conductoare. Se numeşte circuit magnetic un sistem de corpuri feromagnetice
despărţite eventual prin aer (întrefieruri), care permite închiderea liniilor de
câmp magnetic (fig.3.17). Majori-tatea liniilor de câmp se închid prin fier şi
întrefier, adică prin porţiunile utile ale circuitului magnetic şi creează fluxul
magnetic Liniile de câmp care se închid parţial prin aer şi parţial circuitul magnetic
se numesc linii de dispersie, iar fluxul creat de ele se numeşte flux de dispersie.
Calculul circuitelor magnetice constă
în determinarea solenaţiei necesare pentru a
stabili un anumit flux util sau a fluxului util
când se cunoaşte solenaţia. în general se
consideră fluxul magnetic uniform
repartizat în secţiunea circuitului magnetic
şi dispersia nulă. Fig.3.17 - Circuit magnetic cu întrefier.
3.5.1. Reluctanţa magnetică. Permeanţa magnetică.
Se consideră un tub de flux magnetic, suficient de subţire, pentru a putea
consideră fluxul magnetic uniform în secţiune. Tensiunea
Fig.3.18 - Tub de flux
magnetic.
magnetică între două puncte A şi B, în lungul curbei C
(axa tubului), va fi (fig.3.18):
unde s-a considerat curba C ca o linie de câmp şi deci
lH d = H ld .
Deoarece fluxul magnetic se conservă printr-un
tub de flux, tensiunea magnetică dintre punctele A şi B
va fi:
,l
S = l
S
SB = l H= l H= u
fB
C A
B
C A
B
C A
B
C AB A m dddd
.
S
l = u
B
C AfB A m
d
(3.33)
Reluctanţa magnetică Rm se defineşte ca mărimea pozitivă a raportului
dintre tensiunea magnetică şi fluxul magnetic fascicular:
B
CAf
mABmAB
S
luR
μ
d
, (3.34)
Reluctanţa magnetică depinde de natura materialului şi de caracteristicile
circuitului magnetic, fiind o mărime de material analogă rezistenţei electrice.
Pentru o porţiune omogenă de circuit (μ=const., S=const.) reluctanţa magnetică va
fi:
60
S
lRm
μ
(3.35)
unde l reprezintă lungimea medie a unei linii de câmp magnetic.
Permeanţa magnetică Λm este inversa reluctanţei magnetice şi este analogă
conductanţei electrice:
. u
= R
= m
f
mm
1
(3.36)
Unitatea de măsură a reluctanţei magnetice este Amper/Weber [A/Wb], iar
a permeanţei magnetice - Weber/Amper [Wb/A].
Relaţia (3.33) se poate scrie şi sub forma:
,R = u mfm
(3.37)
care reprezintă "legea lui Ohm" pentru circuitele magnetice, fiind analogă legii lui
Ohm pentru circuitele electrice.
3.5.2.Teoremele lui Kirchhoff pentru circuite magnetice
3.5.2.1. Prima teoremă a lui Kirchhoff pentru circuite magnetice. Se
consideră un nod al unui circuit magnetic. Dacă se aplică legea fluxului magnetic
unei suprafeţe închise Σ care încon-joară acest nod (fig.3.19), rezultă neglijând
fluxurile de dispersie:
, = S B + S B
+ S d B + S B + S B = S B
SS
SSS
0dd
dd d
54
321
sau:
. = - - - - f f f f1f 05432
Generalizând relaţia de mai sus pentru un
nod oarecare N:
Fig.3.19 - Explicativă la
demonstrarea primei teoreme a lui
Kirchhoff.
. = k fN k
0 (3.38)
Suma algebrică a fluxurilor magnetice care trec prin laturile unui
circuit magnetic ce converg într-un nod al acestuia este nulă.
3.5.2.2. Teorema a doua a lui Kirchhoff pentru circuite magnetice. Se
consideră un ochi de circuit magnetic şi un sens arbitrar de referinţă corespunzător
sensului de integrare a lui (fig.3.20). Se aplică legea circuitului magnetic curbei Γ
(linia mediană a circuitului magnetic) pentru regim staţionar:
, R
=u= l H , = l H
fkk m k
k m k
S
j
j
0
0
dd
sau:
61
. R = k fk m k
k k jj
00 (3.39)
Suma algebrică a solenaţiilor care înlănţuie
laturile unui ochi de circuit magnetic este
egală cu suma algebri-că a produselor
reluctanţelor latu-rilor cu fluxurile
magnetice fascicu-lare care trec prin ele.
Fig.3.20 - Explicativă la demonstrarea
celei de a doua teoreme a lui Kirchhoff.
Solenaţiile şi fluxurile magnetice care au acelaşi sens cu sensul de integrare
prin latură se iau cu semnul plus, celelalte cu semnul minus.
Din analiza teoremelor lui Kirchhoff pentru reţele electrice şi pentru reţele
magnetice rezultă posibilitatea rezolvării circuitelor magnetice cu ajutorul
teoremelor lui Kirchhoff. Pentru simplificare, se poate figura schema electrică
echivalentă a schemei magnetice, în care, sursele de t.e.m. sunt înlocuite cu
solenaţiile corespunzătoare, curenţii electrici - prin fluxurile fasciculare din laturi,
iar rezistenţele laturilor - prin reluctanţele magnetice.
3.5.3. Gruparea reluctanţelor magnetice
Reluctanţa magnetică echivalentă a unei porţiuni de circuit magnetic cu
două borne de acces şi fără solenaţii pe laturi, este egală cu raportul dintre
tensiunea magnetică aplicată între cele două borne şi fluxul magnetic
fascicular care intră prin prima bornă şi iese pe partea cealaltă:
. u
= Rf
me m
(3.40)
3.5.3.1. Gruparea serie a reluctanţelor magnetice. Aplicând teorema a
doua a lui Kirchhoff pentru circuite magnetice, circuitului magnetic din figura
3.21, rezultă:
,R = R = R = u = u se mfk m
n
= kfk fk m
n
= kk m
n
= km
111 deoarece se neglijează fluxurile magnetice de dispersie şi deci fluxul magnetic este
acelaşi prin toate laturile. Din relaţia de mai sus rezultă că reluctanţa magnetică
echivalentă a mai multor laturi, conectate în serie, este egală cu suma reluctanţelor
laturilor:
. R = R k m
n
= k se m
1 (3.41)
Fig.3.21 - Explicativă la legarea în serie a reluctanţelor.
Fig.3.22 - Explicativă la legarea în paralel a
reluctanţelor magnetice.
62
3.5.3.2. Gruparea în paralel a reluctanţelor magnetice. Apli-când prima
teoremă a lui Kirchhoff nodului N din fig.3.22 se obţine:
. R
u =
R u =
R
u = =
p e m
m
k mN km
k m
m
N kk f
N kf
1
Din relaţia de mai sus rezultă:
. = ,R
= R
k mN k
p e mk mN kp e m
11
(3.42)
Din relaţiile (3.42) rezultă că inversa reluctanţei magnetice echivalente a n
laturi fără bobine, conectate în paralel, este egală cu suma inverselor reluctanţelor
laturilor sau, permeanţa echivalentă a n laturi conectate în paralel este egală cu
suma permeanţelor laturilor.
3.6. INDUCTANŢE (INDUCTIVITĂŢI)
Se consideră un circuit închis C (fig.3.23), străbătut de un curent cu
intensitatea i. Fluxul magnetic ΦSΓ, care străbate orice suprafaţă deschisă mărginită
de conturul Γ, este:
. S B = S
S d
Intensitatea câmpului magnetic creat de
curentul i din circuitul C, este proporţională cu
valoarea intensităţii curentului i şi dacă mediul este
neferomagnetic, inducţia magnetică B şi fluxul
magnetic vor fi proporţionale cu i. Deci putem
scrie:
Fig.3.23 - Explicativă la definirea
inductanţei.
. i
= L ,i L = SS
(3.43)
Mărimea L definită ca raportul dintre fluxul magnetic care străbate
orice suprafaţă limitată de conturul unui circuit şi intensitatea curentului
care-l produce, se numeşte inductanţă sau inductivitatea circuitului.
Inductanţa unui circuit depinde de forma, dimensiunile şi poziţia relativă a
circuitelor, precum şi de valoarea permeabilităţii magnetice a mediului. Pentru
medii liniare, inductanţa este constantă, iar pentru medii feromagnetice (μ
dependent de H, deci de i ), inductanţa circuitului este funcţie de curent.
Unitatea de măsură pentru inductanţă este Henry [H].
3.6.1. Inductanţe proprii şi inductanţe mutuale
Se consideră două circuite cu N1 şi N2 spire (fig.3.24) şi se presupune că
numai primul circuit este străbătut de curent (curentul i1). Se notează cu Φf11
fluxul magnetic fascicular produs de circuitul 1 care trece printr-o spiră a
circuitului 1 şi cu Φf21 fluxul magnetic fascicular produs de circuitul 1 care străbate
63
o spiră a circuitului 2.
Prin convenţie, fluxurile
se notează cu doi indici,
primul arată circuitul
prin a cărui suprafaţă se
calculează fluxul, iar al
doilea indice arată
circuitul care a produs
fluxul respectiv.
Fig.3.24 - Explicativă la calculul inductanţelor proprii şi mutuale.
Se consideră, de asemenea, că sensul de referinţă al fiecăruia dintre fluxuri să fie
asociat după regula burghiului drept cu sensul de referinţă de pe circuitul înlănţuit
de acest flux. Rezultă că fluxul Φf11 este mereu pozitiv, iar fluxul Φf21 poate fi
pozitiv sau negativ.
Fluxul magnetic fascicular de dispersie (de scăpări) al circuitului 1 faţă de
circuitul 2, Φσf21, este fluxul magnetic fascicular produs de circuitul 1 care nu
străbate circuitul 2.
Se numeşte inductanţă proprie L11 a circuitului 1, raportul pozitiv dintre
fluxul total Φ11 ce străbate circuitul 1 şi intensitatea curentului i1 care-l
produce:
. > i
N = i
= L f
01
111
1
1111
(3.44)
La fel se poate defini inductanţa proprie a circuitului 2, considerându-se
i2 0 şi i1=0:
. > i
N = i
= Lf
02
2 2 2
1
2 22 2
(3.45)
Deoarece intensitatea câmpului magnetic produs de un circuit este
proporţională cu numărul de spire N, rezultă că fluxul magnetic fascicular este
proporţional cu N, iar inductanţa proprie va fi proporţională cu pătratul numerelor
de spire, N2.
Se defineşte inductanţa mutuală L21 între circuitele 1 şi 2 ca raportul
dintre fluxul total Φ21 produs de circuitul 1 care străbate circuitul 2 şi
intensitatea curentului i1 care îl produce:
i
N = i
= L f
1
1 22
1
1 21 2
0. (3.46)
Analog se defineşte inductanţa mutuală între circuitele 2 şi 1:
i
Ni
= L f
2
2 11
2
2 12 1
0. (3.47)
Se poate demonstra că inductanţele mutuale sunt egale pentru medii liniare.
Dacă nu există fluxuri magnetice de dispersie:
. L L = M= L = L 2 2111 212 (3.48)
64
Circuitele electrice care au inductanţe mutuale diferite de zero se numesc
circuite cuplate magnetic.
Fig.3.25 - a) Bobine cuplate magnetic; b) simbolizarea lor în schemele electrice
În fig.3.25a se arată cuplajul între trei bobine şi semnele inductanţelor
mutuale. Între circuitele 1 şi 2 fluxul mutual Φ12>0 şi deci L12>0, între circuitele 1
şi 3, Φ13<0 şi deci L13<0, iar între circuitele 2 şi 3, Φ23<0 deci L23<0. în schemele
electrice pentru a putea determina semnul inductanţelor mutuale, se adoptă
următoarea convenţie: cele două bobine au câte o bornă însemnată cu asterisc
(bornă polarizată), dacă sensurile curenţilor prin cele două bobine sunt orientate în
acelaşi mod faţă de aceste borne, inductanţa mutuală este pozitivă (L12 din
fig.3.25b), iar în caz contrar, inductanţa mutuală este negativă (L23, L13 din
fig.3.25b).
. a
d
l =
i = L
t lnπ
μ0l
(3.49)
3.7. ENERGIA ŞI FORŢELE ÎN CÂMPUL MAGNETIC
3.7.1. Energia câmpului magnetic produs de circuite electrice parcurse de
curenţi Se consideră n circuite filiforme străbătute de curenţii i1,i2...in, conţinând şi
surse de t.e.m. ue1,ue2,...,uen (fig.3.26). Conform legii conservării energiei, energia
totală debitată de surse dWG în intervalul de timp dt va fi egală cu suma pierderilor
de energie prin efect Joule-Lenz, dQR, în rezistenţele circuitelor, a creşterii
energiei câmpului magnetic a sistemului dWm şi a lucrului mecanic efectuat de
forţele magnetice dL în acelaşi interval de timp dt:
.L+Wt+ i R=t i u L,+W+Q= W mkk
n
= kkk e
n
= kmRG dddddddd 2
11
..(3.59)
Aplicând teorema a doua a lui Kirchhoff circuitului k se obţine:
. t
+i R = u ,i R = t
- uk
kkk ekkk
k ed
d
d
d
Înmulţind relaţia de mai sus cu ikdt şi adunând pentru cele n circuite rezultă:
. i+ t i R= t i u kk
n
= kkk
n
= kkk e
n
= k ddd
1
2
11
(3.60)
Fig.3.26 - Explicativă la calculul energiei
câmpului magnetic.
65
Înlocuind relaţia (3.60) în relaţia (3.59) se obţine:
L+W m dd
. i kk
n
= k d
1 Considerând circuitele imobile, dL=0, şi rezultă:
. i= W kk
n
= km dd
1 (3.61)
Fluxul total Φk care străbate circuitul k este:
. i L = jj k
n
1 =j k
(3.62)
Pe baza legii conservării energiei se poate afirma că energia magnetică Wm
nu depinde de ordinea stabilirii curenţilor în circuite. Presupunem că se ajunge în
starea finală ik, Φk printr-o creştere proporţională a curenţilor de la valoarea iniţială
zero, la starea finală, astfel că la un moment dat curentul va fi: i'k=λik cu λ[0,1].
Fluxurile fiind proporţionale cu curenţii, rezultă că fluxul magnetic va fi în acelaşi
moment Φ’k=λΦk, iar dΦ’k=Φkdλ.
Suma variaţiilor de energie din momentul iniţial, în care nu exista câmp
magnetic, până în momentul final, este energia magnetică Wm a sistemului:
. i = i= i =W kk
n
= kkk
n
= kkk
n
= km
1
1
011
1
0 2
1dd
(3.63)
Energia înmagazinată de câmpul magnetic al unui sistem de circuite
parcurse de curenţi electrici, este egală cu semisuma produsului dintre
curenţii din circuite şi fluxurile totale ce străbat suprafeţele limitate de
contururile circuitelor respective.
Energia magnetică a unui sistem de circuite parcurse de curenţi este
repartizată în tot volumul în care există câmpul. Se defineşte densitatea de volum
a energiei magnetice wm:
. V
W =
V
W = w
mm
Vm
d
dlim
0
(3.64)
Se poate demonstra că densitatea de volum a energiei are expresia:
.
B H = wm
2
(3.65)
Energia totală a câmpului magnetic se poate determina astfel:
. V B H = WV
m d2
1
(3.66)
3.7.2. Teoremele forţelor generalizate în câmpul magnetic
Dacă configuraţia geometrică a sistemului de circuite din fig.3.26 este fixă,
cu excepţia unui singur circuit ce se poate deplasa pe direcţia coordonatei
generalizate xk sub acţiunea forţei generalizate Xk, rezultă din relaţia (3.61):
. i = x X + W kk
n
= kkkm ddd
1 (3.67)
66
a) Dacă se consideră fluxurile magnetice constante, dΦk=0 şi rezultă:
. x
W - = X , = x d X + W .const =
k
mkkkm )(0d
k
(3.68)
Forţa generalizată Xk este egală cu derivata cu semn schimbat a energiei
câmpului magnetic, exprimată în funcţie de coordo-natele generalizate şi
fluxurile magnetice, în raport cu coordo-nata generalizată, când fluxurile
magnetice sunt constante prin circuite.
b) Dacă se consideră curenţii electrici constanţi, dik=0 şi rezultă din (3.63):
. W ii= i+ iW mkk
n
= kkk
n
= kkkkk
n
= km d2dd
2
1dd
2
1d
111
(3.69)
Înlocuind relaţia (3.69) în relaţia (3.67) rezultă:
,x X = W kkm dd
de unde se obţine:
. x
W = X .const = i
k
mk
k
)(
(3.70)
Forţa generalizată Xk, care tinde să mărească coordonata generalizată
xk, este egală cu derivata în raport cu coordonata generalizată xk a energiei
câmpului magnetic, la curenţi constanţi în circuite, dacă energia este exprimată
în funcţie de coordonatele generalizate şi curenţii din circuite.
Aplicaţie.
Forţa portantă a unui electromagnet. Forţa portantă a unui electromagnet
este forţa necesară pentru a îndepărta armătura de polii electromagnetului
(fig.3.27), x fiind lungimea întrefierului. Forţa portantă se determină din teorema
forţelor generalizate (se consideră permeabilitatea circuitului magnetic infinită, ) Folosind relaţia (3.68):
. x
L
L =
L
x - =
x
W - = X = F .const =
m
d
d
2)
2(
d
d)(
2
22
Inductanţa electromagnetului este:
,x
S N
x +
S N =
R
N = L
r
Fee m
2
μ
2μ
l
μ o2
02 2
Înlocuind şi derivând inductanţa în raport cu
x, rezultă forţa portantă:
Fig.3.27 - Explicativă la calculul
forţei portante.
. x
L i - =
x L - = F = X
22
22
(3.71)
Semnul minus al forţei portante, arată că această forţă este de atracţie
(îndreptată în sens opus sensului creşterii lui x).
Acelaşi rezultat s-ar fi obţinut şi dacă se exprima energia câmpului magnetic
în funcţie de curent şi s-ar fi folosit relaţia (3.70) pentru determinarea forţei
portante.
67
3.7.3. Forţele electromagnetice
În prezenţa câmpurilor magnetice, conductoarele parcurse de curenţi
electrici de conducţie, sunt supuse unor forţe numite forţe electromagnetice. Se
consideră un conductor de o formă oarecare parcurs de curentul electric i şi aflat
într-un câmp magnetic de inducţie . Se consideră o deplasare virtuală d a unui
element de conductor d l , produsă de forţa d (fig.3.27). Din teorema forţelor
generalizate, rezultă:
. r
W =
r
W = F mm
d
ddd
2
(3.72)
Variaţia energiei magnetice are expresia:
. r B l i = l r B i = S B i = i = W m ddddddd
222
Înlocuind în (3.72) relaţia de mai sus, se obţine forţa ce se exercită asupra
elementului d l :
. B li = u F = F ,u B li = r
r B li = F rr ddddd
ddd
(3.73)
Forţa exercitată asupra întregului contur este:
. B l i = FL
d
(3.74)
Direcţia forţei este perpendiculară pe planul format de vectorii d l şi B , iar
sensul corespunde sensului de înaintare al burghiului drept, dacă se roteşte
elementul d l peste B cu un unghi mai mic de 180.
În cazul unui conductor rectiliniu de lungime l, aflat într-un câmp magnetic
omogen de inducţie magnetică , forţa va fi:
. sin l i B = F ,B l i = F (3.75)
Dacă liniile de câmp magnetic sunt şi perpendiculare pe conductor forţa este:
. l i B = F (3.76)
3.7.4. Forţele electrodinamice Forţele electrodinamice sunt forţele care se
exercită între două conductoare parcurse de curent electric de conducţie. Se
consideră două conductoare rectilinii, paralele şi de lungime l foarte mare în raport
cu distanţa d dintre ele (fig.3.28). Conductoarele sunt parcurse de curenţii i1 şi i2.
Curentul i1 din conductorul 1 stabileşte în orice punct situat pe al doilea conductor
un câmp magnetic de inducţie magnetică 21, normal pe planul conductoarelor:
. d
i = B2
μ 121
(3.77)
Fig.3.28 -
Explicativă la calculul forţelor electrodinamice.
Conductorul 2 parcurs de curentul
i2 se află în câmpul magnetic de
inducţie 21 şi asupra lui va acţiona
forţa electromagnetică (3.76):
68
. d
l i i = l i B = F
2
2121 21 2
(3.78)
Forţele electrodinamice sunt forţe de atracţie dacă curenţii care străbat cele
două conductoare sunt de acelaşi sens şi de respingere în caz contrar. Ele aparţin
planului format de cele două conductoare paralele.
Pe baza relaţiei (3.78) se defineşte amperul. Amperul este intensitatea unui
curent electric constant care, menţinut în două conductoare paralele infinit
lungi aflate în vid la distanţa de un metru ar produce între acestea o forţă de 2 710newtoni pe un metru lungime.
69
4. CIRCUITE DE CURENT ALTERNATIV
În capitolele precedente s-a studiat curentul continuu, adică curentul cu
sensul invariabil şi cu intensitatea constantă în timp. În tehnică, curenţii variabili în
timp au o mai mare aplicabilitate. Circuitele electrice de curent alternativ sunt
circuitele electrice alimentate cu tensiuni electromotoare (t.e.m.) alternative.
Aceste circuite prezintă avantaje în producerea t.e.m., în transportul şi utilizarea
energiei.
Cele mai simple generatoare electrice sunt cele de curent alternativ (c.a.),
deoarece nu necesită dispozitive de redresare, simpla rotire uniformă a unei spire
într-un câmp magnetic constant dă naştere unei t.e.m. alternative. Cele mai simple
şi mai robuste motoare electrice sunt motoarele asincrone care sunt alimentate tot
la tensiuni alternative.
Pentru transmiterea energiei electrice se folosesc liniile electrice ale căror
pierderi, prin efect Joule-Lenz, sunt invers proporţionale cu pătratul tensiunii.
Pentru curenţii continui, tensiunea nu mai poate fi modificată, dar pentru curenţii
alternativi, tensiunea se poate modifica uşor cu un randament ridicat cu ajutorul
transformatoarelor electrice.
Semnalele radio şi cele din telecomunicaţii sunt practic suprapuneri de
semnale alternative de înaltă frecvenţă.
Dacă unui circuit electric nedeformant i se aplică o tensiune alternativă
sinusoidală, curenţii din laturile circuitului vor fi tot de formă sinusoidală având
aceeaşi frecvenţă cu frecvenţa tensiunii de alimentare. Reţelele industriale de c.a.
din ţara noastră au frecvenţa de 50 Hz.
4.1. DEFINIŢII GENERALE
Se numeşte mărime sinusoidală (mărime armonică) o mărime
alternativă a cărei expresie funcţie de timp este de forma: , + tT/ A=tA= +tA =a mmm απ2sinαπν2sinαωsin (4.1)
unde: - Am reprezintă modulul valorii maxime a mărimii sinusoidale;
- a - valoarea instantanee a mărimii;
- ωt + α - faza mărimii, se exprimă în radiani;
- α - faza iniţială, la momentul t = 0, cu valori cuprinse între -π şi π;
- ω = 2π = 2π/T - pulsaţia;
- - frecvenţa, se exprimă în hertzi [Hz];
- T - perioada, se exprimă în secunde [s].
Mărimile sinusoidale au următoarele proprietăţi:
- valoarea medie pe o perioadă este nulă:
0;αωcosαωωcosω
dαωsin1
=t+T+tT
AttA
T=a~ m
m
T+t
t
(4.2)
- mărimea medie pe o semiperioadă este:
70
; A = t + t AT
= a mm
T + -
-π
2dαωsin
2 2ω
α
ω
αd e m
(4.3)
- valoarea efectivă (valoarea medie pătratică), notată totdeauna cu literă mare:
.A
t t+
TAtt+ A
TA m
Tt
tm
Tt
tm
2d
2
αω2cos11dαωsin
1 22
(4.4)
Ţinând seama de relaţia (4.4), o mărime sinusoidală se poate scrie:
. + t A = + t A = a m αωsin 2αωsin (4.5)
Dacă se face substituţia t = t’ - α/ω, rezultă:
. t A = + - t A = a ωsin2ααωsin2 (4.6)
Expresia (4.6) nu conţine faza iniţială şi cum alegerea originii timpului este
arbitrară, rezultă că faza iniţială nu caracterizează proprietăţile mărimii periodice a.
Într-o problemă are importanţă numai diferenţa fazelor iniţiale ale mărimilor.
Pentru aceasta, se alege pentru o mărime faza iniţială zero (mărime numită origine
de fază), iar celelalte mărimi vor avea fazele iniţiale luate în raport cu aceasta.
Se consideră două mărimi sinusoidale de aceeaşi frecvenţă:
. + t A = a , + t A = a αωsin2αωsin2 222111
Se numeşte defazajul 12 dintre două mărimi sinusoidale diferenţa fazelor
lor. Dacă frecvenţele celor două mărimi sunt egale, defazajul este egal cu diferenţa
fazelor iniţiale:
. -= -t - + t= α ααωαω 212112 (4.7)
Fig.4.1 - Explicativă la defazajele mărimilor alternative a1 şi a 2: a) a1 defazată înainte;
b) a1 şi a2 în fază; c) a2 defazată înainte.
Dacă 12 > 0, mărimea a1 este defazată înaintea mărimii a2 (fig.4.1a), pentru
12 = 0, mărimile a1 şi a2 sunt în fază (fig.4.1b), iar pentru 12 < 0 mărimea a1
este defazată în urma mărimii a2 (fig.4.1c). Dacă 12 = π/2 mărimile sunt în
cuadratură, iar pentru 12 = π sunt în opoziţie.
4.2. CIRCUITE SIMPLE ÎN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL
Fiind cunoscută valoarea instantanee a tensiunii la bornele unui circuit liniar
şi pasiv:
71
, + t U =u αωsin2 (4.8)
se cere să se determine valoarea intensităţii curentului în regim permanent, de
forma:
. + t I = i sin2 (4.9)
Raportul dintre valoarea efectivă a tensiunii şi valoarea efectivă a
curentului se numeşte impedanţa circuitului şi se notează cu Z:
.
I
U = Z
(4.10)
Defazajul dintre U şi I (defazajul circuitului) se notează cu :
. - = 0 (4.11)
La calculul circuitelor se presupun următoarele ipoteze simplificatoare:
- circuitele sunt filiforme, curentul este uniform repartizat în secţiunea
conductorului;
- elementele de circuit sunt ideale, rezistoarele au numai rezistenţă, bobinele
numai inductanţe, condensatoarele numai capacitate;
- circuitele au parametrii concentraţi, în rezistor este concentrată întreaga
rezistenţă, în bobină întreaga inductivitate şi în condensator întreaga capacitate a
circuitului;
- circuitul este izolat de influenţa electromagnetică a altor circuite;
- parametrii circuitului (R,L,C) sunt liniari, nu depind de valoarea intensităţii
curentului sau a tensiunii.
4.2.1. Circuit cu rezistor ideal Se consideră un circuit simplu format dintr-un rezistor ideal (fig.4.2),
alimentat cu o tensiune la borne sinusoidală. Se consideră curba închisă Γ cu
sensul de parcurgere astfel ales încât să fie în sensul curentului prin latură şi invers
sensului tensiunii la borne. Aplicând legea inducţiei electromagnetice curbei Γ,
rezultă:
, = = = , 0 = - d dd fbf RS uiRuuuu ,t / - = l E
(4.12)
sau: ,) + t(
R
U =
R
u = i αωsin2
(4.13)
deoarece fluxul magnetic este nul, inductanţa circuitului fiind nulă (L=0).
S-a presupus iniţial intensitatea curentului de formă sinusoidală:
i = 2 I sin (ωt+β) şi rezultă:
- intensitatea curentului este în fază cu tensiunea:
0 , (4.14)
- valoarea impedanţei este egală cu valoarea rezistenţei rezistorului:
Z = R; (4.15)
72
Fig.4.2 - a) Circuit simplu cu rezistor;
b) dependenţa de timp a curentului şi tensiunii.
- valoarea efectivă a intensităţii
curentului nu depinde de frecvenţa
tensiunii la borne:
I = U/R; (4.16)
- căderea de tensiune pe un rezistor
este în fază cu intensitatea curentului şi
se numeşte cădere de tensiune rezistivă
(fig.4.2b).
4.2.2. Circuit cu bobină ideală Se consideră o bobină ideală (fig.4.3), având inductanţa L, alimentată cu
tensiunea sinusoidală u = 2 U sin(ωt+α). Se consideră conturul închis Γ şi se
aplică legea inducţiei electromagnetice:
,t
lES
d
dd ,
t
i L - =u - u f
d
d
sau: ,
t
i L = u =u L
d
d
(4.17)
Fig.4.3 - a) Circuit cu bobină ideală; b) dependenţa curentului şi tensiunii de timp.
Bobina fiind ideală, rezistenţa ei este nulă,deci uf = Ri = 0 şi:
. / + t L
U
= t+ UL
- =ttUL
=tuL
i
2 π- αωsin2ω
αωcos2ω
1dαωsin2
1d
1
(4.18)
Prin identificarea relaţiei (4.18) cu (4.9) rezultă:
-intensitatea curentului este defazată în urma tensiunii cu π/2 :
; 2 / = (4.19)
-valoarea impedanţei este egală cu produsul dintre pulsaţia curentului şi
inductanţa bobinei şi se numeşte reactanţa bobinei. Ea este dependentă de
frecvenţă:
;ω X = L = Z L (4.20)
-valoarea efectivă a intensităţii curentului este egală cu raportul dintre
valoarea efectivă a tensiunii la borne şi valoarea reactanţei inductive XL:
; X
U = I
L (4.21)
73
-căderea de tensiune pe o bobină ideală va fi todeauna defazată cu π/2
înaintea curentului (fig.4.3b) şi se numeşte cădere de tensiune inductivă.
4.2.3. Circuit cu condensator ideal Se consideră condensatorul ideal de capacitate C (fig.4.4) alimentat cu o
tensiune sinusoidală u = 2 U sin(ωt+α). Dacă circuitul ar fi alimentat cu o
tensiune continuă, intensitatea curentului din circuit ar fi zero:
, = U
= R
U = I
C
0
deoarece între plăcile condensa-
torului se află un dielectric, care are
rezistenţa infinită (RC = ).
Aplicând o tensiune sinu-
soidală condensatorului, acesta se va
încărca şi descărca periodic cu
frecvenţa egală cu frecvenţa tensiunii
aplicate şi deci, prin circuit va trece
Fig.4.4 - a) Circuit simplu cu conden-sator; b)
dependenţa de timp a curen-tului şi a tensiunii.
un curent electric alternativ. Acest lucru lasă impresia că în regim sinusoidal,
curentul electric trece prin condensator.
Aplicând legea inducţiei electromagnetice conturului închis Γ, rezultă:
,
C
q =u = u , =u - u ,
t - = l E CC
S 0d
dd
(4.22)
unde q reprezintă sarcina electrică a unei armături a condensatorului.
Conform legii conservării sarcinii electrice, aplicate suprafeţei închise Σ (fig.4.4),
rezultă:
. t i
C = u ,t i = q ,
t
q = i C d
1d
d
d
(4.23)
Introducând în relaţia (4.23), relaţia (4.22) rezultă:
, + + t CU = + t U C = t
u C = i
2sin2cos2
d
d
(4.24)
Prin identificarea relaţiei (4.24) cu relaţia (4.9), rezultă:
-intensitatea curentului este defazată înaintea tensiunii cu π/2:
, / - = 2 (4.25)
-valoarea impedanţei este dependentă de frecvenţă şi este egală cu inversul
produsului dintre capacitatea condensatorului şi pulsaţia tensiunii de alimentare şi
se numeşte reactanţă capacitivă:
;
1CX =
C = Z (4.26)
-valoarea efectivă a intensităţii curentului este egală cu câtul dintrevaloarea
efectivă a tensiunii la borne şi reactanţa capacitivă XC:
74
;ω U C = X
U = I
C (4.27)
-căderea de tensiune pe condensator va fi defazată cu π/2 în urma intensităţii
curentului (fig.4.4b) şi se numeşte cădere de tensiune capacitivă.
4.2.4. Circuit cu rezistor, bobină şi condensator, legate în serie
Se consideră circuitul din figura 4.5, unde toate elementele de circuit sunt
ideale. Se aplică la borne tensiune sinusoidal u= 2 U sin(ωt+α). Aplicând legea
inducţiei electromagnetice conturului închis Γ, se obţine:
. t
i L - =u - u + u ,
t - = lE Cf
S
d
d
d
dd
(4.28)
Înlocuind în relaţia (4.28) relaţiile (4.12),(4.17) şi (4.23) se obţine:
.d
1
d
dti
Ct
iLiRu
(4.29)
Fig.4.5 - Circuit serie cu rezistor,
bobină şi condensator.
Căutăm pentru ecuaţia integro-diferenţială
(4.29) o soluţie de forma:
. + t I = i βωsin2 (4.30)
Înlocuind în relaţia (4.29) relaţiile (4.30) şi (4.8) rezultă:
. + t C
I + + t I L
+ + t RI = + t U
2
π - βωsin2
2
π+ βωsin ω2
βωsin2αωsin 2
(4.31)
Relaţia (4.31) fiind o identitate, ea trebuie să fie adevărată în orice moment,
deci şi pentru momentele:
C
IILUU,t
ωωsinβαsin0βω
(4.32a)
IRUU,/t cosβαcos2πβω (4.32b)
Prin împărţirea relaţiilor (4.32a) şi (4.32b) se obţine:
.
R
C - L
= ,R
C - L
= ω
1ω
arctgω
1ω
tg (4.33)
Ridicând la pătrat relaţiile (4.32) şi adunând membru cu membru, rezultă:
.
X - X + R
U =
C
- L + R
U = I
, C
- L + R I = U
CL
222
2
2
222
ω
1ω
ω
1ω
(4.34)
75
Valoarea instantanee a intensităţii curentului va fi:
. R
X -X + t
X - X + R
U = i CL
CL
arctg - αωsin
)(2
22
(4.35)
Intensitatea curentului este defazată în urma tensiunii la borne cu unghiul
dat de relaţia (4.33).
Dacă: > 0, (XL > XC), circuitul are caracter inductiv;
= 0, (XL = XC), circuitul are caracter pur rezistiv;
< 0, (XL < XC), circuitul are caracter capacitiv.
Valoarea impedanţei este egală cu radicalul de ordinul doi din suma
pătratului rezistenţei rezistorului şi pătratul diferenţei dintre reactanţa inductivă şi
cea capacitivă:
. X - X + R = C
- L + R = Z CL
22
2
2 1
(4.36)
Relaţiile obţinute pentru cazul general, pot fi particularizate. Astfel,
considerând XC=0, se obţin relaţiile pentru rezistorul şi bobina ideale legate în
serie, iar dacă XL=0 se obţin relaţiile pentru legarea în serie a rezistorului şi
condensatorului ideali.
4.3. MĂRIMILE CARACTERISTICE CIRCUITELOR
LINIARE ÎN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL
Un circuit de c.a. sinusoidal poate fi caracterizat cu ajutorul a doi parametri,
pentru o anumită frecvenţă a tensiunii de alimentare.
4.3.1. Impedanţa şi defazajul
a.) Impedanţa circuitului pasiv Z este prin definiţie raportul dintre
valoarea efectivă a tensiunii la bornele circuitului şi valoarea efectivă a
intensităţii curentului ce intră pe la borne:
. >
I
U = Z 0
(4.37)
Impedanţa este o funcţie de parametri circuitului şi de frecvenţa tensiunii de
alimentare, Z=f(R,L,C,f).
Fig.4.6 – Triunghiul
im- pedanţelor.
Unitatea de măsură este Ohmul [Ω].
b) Defazajul circuitului se defineşte ca diferenţa
dintre faza tensiunii la bornele circuitului şi faza
intensităţii curentului ce intră pe la o bornă şi iese pe la
cealaltă. Deoarece frecvenţa tensiunii şi a curentului este
aceeaşi, defazajul este diferenţa dintre fazele iniţiale ale tensiunii şi intensităţii
curentului:
. - = (4.38)
76
Defazajul depinde de parametrii circuitului şi de frecvenţă = = (R, L, C,
f). Valorile defazajului sunt cuprinse între -π/2 şi +π/2, deci cos 0.
Dacă se cunosc Z şi , curentul este univoc determinat:
. - + t
Z
U = i sin2
(4.39)
4.3.2. Rezistenţa şi reactanţa circuitului
a) Rezistenţa circuitului R este definită astfel:
, Z=
I
U = R 0cos
cos
(4.40)
unde, U cos este componenta activă a tensiunii. Rezistenţa circuitului nu trebuie
confundată cu rezistenţa dată în c.c de relaţia (2.35), ele se confundă numai în
cazuri particulare.
b) Reactanţa circuitului X este definită astfel:
, Z=
I
U = X 0sin
sin
(4.41)
unde U sin este componenta reactivă a tensiunii.
Dacă se dau rezistenţa şi reactanţa, se pot determina defazajul şi impedanţa
circuitului:
. Z
R = ,
Z
X = ,X + R = Z ,
R
X cossin arctg = 22
(4.42)
Relaţiile(4.42) pot fi ţinute uşor minte, cu ajutorul triunghiului impedanţelor
(fig.4.6).
Unitatea de măsură pentru rezistenţa şi reactanţa circuitului este Ohmul [Ω].
Cunoscând valorile date de relaţiile (4.42), valoarea instantanee a curentului
este:
. R
X + t
X + R
U = i
arctg - αωsin2
22 (4.43)
4.3.3. Admitanţa şi defazajul
a).-Admitanţa circuitului Y se defineşte ca inversa impedanţei circuitlui:
. >
U
I =
Z = Y 0
1
(4.44)
Unitatea de măsură a admitanţei este Siemensul [S].
b).-Defazajul circuitului a fost
definit în paragraful 4.3.1.
Cunoscând admitanţa şi defazajul se poate
scrie uşor valoarea instantanee a curentului:
Fig.4.7 - Triunghiul admitanţelor.
. + t U Y = i - αωsin 2 (4.45)
4.3.4. Conductanţa şi susceptanţa
77
a) Conductanţa circuitului G, este definită astfel:
, Y =
U
I =G 0 cos
cos
(4.46)
unde I cos reprezintă componenta activă a curentului.
b) Susceptanţa circuitului B, este definită astfel:
, Y =
U
I = B 0sin
sin
(4.47)
unde I sin reprezintă componenta reactivă a curentului.
Cunoscându-se conductanţa şi susceptanţa circuitului se pot deduce relaţiile:
. Y / B = Y, /G = G , / B = ,B + G = Y sin cos tg22 (4.48)
Relaţiile (4.48) pot fi ţinute uşor minte cu ajutorul triunghiului admitanţelor
(fig.4.7).
Valoarea instantanee a intensităţii curentului va fi:
. G
B + t B + G U = i
arctg - αωsin2 22
(4.49)
Unitatea de măsură pentru conductanţă şi susceptanţă este Siemensul [S].
4.4. PUTERI ÎN CIRCUITE DE CURENT ALTERNATIV Puterea primită instantaneu de un circuit cu două borne de acces are
expresia:
. iu = p (4.50)
Fig.4.8 - Dependenţa tensiunii, curentului
şi puterii instantanee de timp
Relaţia (4.50) exprimă puterea
primită de circuit dacă sensurile tensiunii la
borne u şi a curentului absorbit i sunt
asociate după regula de la receptoare sau
puterea cedată de circuit, dacă asocierea s-a
făcut după regula de la generatoare.
Considerând tensiunea şi curentul de forma:
, + t I = i , + t U =u βωsin 2αωsin2 rezultă puterea instantanee:
. + + t - UI
+ t + tUI p
2cos cos
sin sin 2
(4.51)
Puterea instantanee este o mărime periodică, având o componentă constantă
(U I cos ) şi o componentă alternativă cu frecvenţa dublă faţă de frecvenţa
tensiunii de alimentare.
În fig.4.8 s-au reprezentat tensiunea la borne, intensitatea curentului şi
puterea instantanee. Se observă că puterea instantanee nu are mereu acelaşi semn.
Dacă convenţia de semne este de la receptoare, se constată că există perioade de
timp în care puterea este negativă (circuitul cedează putere reţelei de alimentare) şi
78
perioade de timp în care puterea este pozitivă (circuitul absoarbe putere). Rezultă
că puterea instantanee nu poate caracteriza din punct de vedere energetic circuitul.
4.4.1. Puterea activă
Puterea activă P se defineşte ca valoarea medie pe un număr întreg de
perioade a puterii instantanee:
524cos
dβ+αω2coscos1
d1
00
. I U =
= t+t UI-UIT n
tp T n
p~PT nT n
Din relaţia (4.52) rezultă că în regim sinusoidal, puterea activă a unui dipol
electric este egală cu produsul dintre valorile efective ale tensiunii şi intensităţii
curentului amplificat cu cosinusul unghiului de defazaj dintre tensiune şi curent .
Pentru un circuit receptor pasiv (care nu conţine surse), puterea activă va fi:
, UG = I R = I Z= I U = P 0 cos cos 222 (4.53)
deoarece [-π/2, π/2].
Puterea activă este nulă numai în circuitele nedisipative (R=0) şi este mereu
pozitivă pentru circuitele receptoare. Ea se transformă în căldură în rezistoarele din
circuit şi în putere mecanică în motoarele electrice de curent alternativ.
Unitatea de măsură pentru puterile activă şi instantanee este Wattul [W].
Puterea medie pe un interval de timp τ .>> T este practic egală cu puterea
activă şi de aceea aparatele de măsură a puterii (wattmetrele), indică valoarea
medie a puterii instantanee deci, puterea activă.
4.4.2. Puterea aparentă
Puterea aparentă S se defineşte ca produsul dintre valorile efective ale
tensiunii şi curentului:
. U Y = I Z= I U = S 22 (4.54)
Unitatea de măsură pentru puterea aparentă este Voltamperul [VA].
Puterea aparentă reprezintă valoarea maximă pe care o poate lua puterea
activă pentru U şi I constante şi cos variabil. Ea este o mărime caracteristică
transformatoarelor şi generatoarelor deoarece, valoarea maximă a curentului este
limitată de încălzirea maşinii, iar valoarea maximă a tensiunii, de condiţiile de
izolaţie.
4.4.3. Puterea reactivă
Puterea reactivă se defineşte ca produsul dintre valorile efective ale
tensiunii şi curentului amplificat cu sinusul unghiului de defazaj dintre
tensiune şi curent:
. UB = I Z= UI = Q 0sinsin 22 (4.55)
Pentru convenţia de semne de la receptoare, Q > 0 reprezintă puterea
reactivă absorbită de receptor, iar Q < 0 -puterea reactivă cedată de receptor reţelei
de alimentare.
79
Pentru convenţia de semne de la generatoare, Q > 0 reprezintă puterea
reactivă debitată, iar Q < 0 - puterea reactivă absorbită.
Unitatea de măsură pentru puterea reactivă este Voltamperul reactiv [var].
Între puterile P, Q şi S există următoarele relaţii:
. P = Q , S= Q , S= P ,Q + P = S tgsin cos222
(4.56)
Fig.4.9 - Triunghiul puterilor
Relaţiile (4.56) se ţin uşor minte cu
ajutorul triunghiului puterilor
(fig.4.9).
Puterea activă, respectiv energia activă, absorbite de circuite mai complexe
(conţinând şi motoare electrice) se transformă parţial în lucru mecanic şi parţial în
căldură.
Puterea reactivă are o semnificaţie fizică, reprezentând o măsură a
schimburilor interioare de energie între câmpul electric şi cel magnetic. De
exemplu pentru un circuit serie R,L,C avem:
. W~ - W
~ = Q ,t uC
T
-t i L
T
=
= UC
- I L
= I C
- L = IX = Q
emC
T T
C
ω2d2
1d
2
12
22ω2
ω
1ω
2
0
2
0
2222
(4.57)
Din relaţia (4.57) rezultă că puterea reactivă primită de un circuit pasiv este
proporţională cu diferenţa dintre valoarea medie a energiei câmpului magnetic al
bobinelor circuitului şi valoarea medie a energiei câmpului electric al
condensatoarelor din circuit. Dacă valorile lor medii sunt egale, variaţiile acestor
energii se compensează reciproc în cadrul circuitului şi ca urmare puterea reactivă
absorbită este nulă
4.4.4. Factorul de putere
Factorul de putere kp al unui circuit este raportul pozitiv subunitar dintre
puterea activă şi puterea aparentă:
.
S
P = k p 0
(4.58)
În regim sinusoidal, nedeformant, pentru un dipol pasiv, rezultă:
. = k p cos (4.59)
Pentru ca o instalaţie să funcţioneze în condiţii optime, puterea activă
absorbită trebuie să fie maximă şi este necesar ca factorul de putere să fie apropiat
de unitate
4.5. CALCULUL CIRCUITELOR DE CURENT
ALTERNATIV PRIN METODE SIMBOLICE La calculul circuitelor electrice de c.a. sinusoidal, apar sisteme de ecuaţii
integro-diferenţiale de forma (4.29), ale căror soluţii se deduc foarte greu prin
80
metode matematice uzuale. Pentru simplificarea rezolvării acestor sisteme de
ecuaţii, s-au elaborat diferite metode de reprezentare simbolică a mărimilor
sinusoidale.
Fiecărei mărimi sinusoidale i se asociază biunivoc, după o anumită regulă,
un simbol denumit imaginea mărimii respective. În loc de a rezolva ecuaţiile
integro-diferenţiale cu mărimile sinusoidale se vor rezolva ecuaţii mai simple cu
simboluri. Folosind apoi metoda de reprezentare în sens invers, se determină
mărimile sinusoidale din simbolurile lor determinate anterior. Pentru ca o metodă
simbolică să fie avantajoasă este necesar ca:
- reprezentarea să fie biunivocă;
- transformarea directă şi inversă să se facă fără dificultate;
- fiecărei operaţii cu mărimi sinusoidale să-i corespundă biunivoc o operaţie
cu simboluri, la care calculul să fie mai simplu.
4.5.1. Reprezentarea în complex simplificat a funcţiilor sinusoidale de timp
Un număr complex z poate fi scris sub trei forme diferite:
- forma algebrică: z = a + jb; (4.60)
- forma trigonometrică : z = ρ(cosα + j sinα); (4.61)
- forma exponenţială : z = ρejα
. (4.62)
În relaţia (4.60) a şi b sunt numere reale, a fiind partea reală a numărului
complex, iar b partea imaginară. Notaţia unităţii imaginare se face cu j 1 nu
cu i, pentru a nu se confunda cu intensitatea curentului.
În relaţiile (4.61) şi (4.62), ρ reprezintă modulul numărului complex şi este
un număr real pozitiv, α - argumentul numărului complex. Între a, b, ρ şi α există
următoarele relaţii:
. / b = , / a = ,b + a = ραsin ρα cosρ 22(4.63 a,b,c)
Un număr complex scris sub formă exponenţială este determinat dacă i se
cunosc modulul şi argumentul său. O funcţie sinusoidală de timp, de frecvenţă
dată, este univoc determinată dacă i se cunoaşte valoarea efectivă şi faza iniţială.
Deci, putem asocia fiecărei mărimi sinusoidale un număr complex, asocierea fiind
biunivocă.
Considerăm mărimea sinusoidală:
. + t A = t a τω sin2)( (4.64)
Imaginea sa în complex simplificat numită mărime complexă, notată cu
A este un număr complex având modulul egal cu valoarea efectivă a mărimii
sinusoidale şi argumentul egal cu faza iniţială a mărimii sinusoidale :
. e A = A a j τ (4.65)
Valoarea instantanee a mărimii se determină amplificând imaginea cu 2 e j ω t
: .+t j+ + t AeAe A + t j t j τ ωsinτωcos222 τωω (4.66)
Din relaţia (4.66) se observă că partea imaginară este tocmai valoarea
instantanee a mărimii sinusoidale, deci:
81
. Ae m I = t a t j ω2)( (4.67)
În planul complex (planul lui Gauss), mărimea sinusoidală se reprezintă
printr-un vector fix, numit fazor, având modulul egal cu valoarea efectivă a
mărimii sinusoidale şi argumentul egal cu faza iniţială a mărimii sinusoidale
(fig.4.10).
Fig.4.10 - Reprezentarea fazorială
a trei mărimi sinusoidale.
Mărimile sinusoidale cu faza iniţială zero (τ=0)
se numesc mărimi sinusoidale origine de fază şi
au fazorii suprapuşi axei reale (fazorul A1 din
figura 4.10). Defazajul este 23 = τ2 - τ3 dintre două
mărimi sinusoidale a2 = 2 A2 sin(ωt+τ2) şi a3 = 2
A3 sin(ωt+τ3) este egal cu diferenţa argumentelor
imaginilor în complex, adică, argumentul raportului
lor:
. A
A =
3
23223 arg
(4.68)
În prezentul curs se lucrează numai cu reprezentarea în complex simplificat,
chiar dacă nu se precizează acest lucru.
4.5.2. Corespondenţa operaţiilor cu mărimi sinusoidale în timp şi
operaţiile cu imaginile lor în complex
a) Sumei a două mărimi sinusoidale îi corespunde suma imaginilor în
complex a mărimilor:
. A + A a + a 2121 (4. 69)
b) Amplificării cu un scalar λ a unei mărimi sinusoidale îi corespun-de
amplificarea cu un scalar a imaginii în complex a mărimii:
. A a λλ (4.70)
c) Derivării în raport cu timpul a unei mărimi sinusoidale îi corespunde
înmulţirea imaginii în complex a mărimii cu jω:
Dacă mărimea sinusoidală este a = 2 A sin(ωt+τ), derivata sa este:
. A j t
a
d
d
(4.71)
. A j = e e A = e A
+ + t A = + t A = t
a
jj j ω ωω
2
π τωsin ω2τω cosω2
d
d
/2 τ /2 + τ
Prin derivare se obţine un fazor amplificat cu ω şi rotit în planul complex în sens
trigonometric cu π/2 (fig.4.11).
d) Integrării în raport cu timpul a unei mărimi sinusoidale îi corespunde
împărţirea imaginii ei în complex cu jω:
82
Integrând mărimea a, se obţine:
. j
A t a
d
(4.72)
. j
A = e
A - + t
A
= + t A
-= t + t A = t a
) - (j
ωω2
πτωsin
ω2
τωcosω
2dτωsin2d
2
π
(4.73)
Prin integrare se obţine un fazor cu
modulul de ω ori mai mic şi rotit în planul
complex în sens invers trigonometric cu π/2
(fig.4.11).
Metoda reprezentării mărimilor sinu-soidale
în complex simplificat prezin-tă avantajul
transformării ecuaţiilor integro-diferenţiale
în ecuaţii algebrice liniare ale imaginilor în
complex ale tensiunilor şi curenţilor.
Fig.4.11 - Reprezentarea fazorială a unei
mărimi sinusoidale, a derivatei şi a
integralei sale.
Metodologia de rezolvare a circuitelor de c.a., folosind reprezentarea în
complex, este următoarea:
a)-se scriu ecuaţiile integro-diferenţiale ale circuitelor, în valori instantanee;
b)-se determină imaginile în complex ale mărimilor sinusoidale date şi ale
relaţiilor integro-diferenţiale, înlocuind derivarea cu înmulţirea cu jω, iar
integrările prin împărţirea cu jω a imaginilor în complex ale mărimilor derivate
respectiv integrate;
c)-se rezolvă ecuaţiile liniare obţinute, în raport cu imaginile funcţiilor
necunoscute;
d)-se reprezintă în planul complex fazorii corespunzători mărimilor
cunoscute şi necunoscute, obţinându-se aşa numitele "diagrame de fazori", care
dau o imagine sugestivă a mărimilor şi defazajelor dintre mărimi;
e)-se determină valorile instantanee sinusoidale ale mărimilor necunoscute
cu ajutorul relaţiei (4.67).
Aplicaţie.
Să se calculeze valoarea instantanee a intensităţii curentului ce trece printr-
un circuit serie R,L,C (fig.4.12), alimentat la borne cu o tensiune sinusoidală u
= 2 U sin(ωt+α), prin metoda reprezentării în complex simplificat. Să se
reprezinte diagrama de fazori.
a)-Ecuaţia integro-diferenţială a circuitului este (4.29):
. ) + t ( U = t i
C +
t
i L + i R αωsin2d
1
d
d
83
Se trec în complex simplificat mărimile şi se obţine:
. U = I C j
+ I L j + I R
1
Fig.4.12 - a) Circuit serie R,L,C; b) diagrama de fazori; c) diagrama de fazori luând
curentul ca origine de fază.
b)-Se determină imaginea în complex I a curentului:
.
C - L j + R
e U =
C j + L j + R
U = I
j
11
α
c)-Diagrama de fazori se reprezintă în figura 4.12b. Deoarece prezintă
importanţă numai defazajele dintre diferitele mărimi, se poate lua curentul ca
origine de fază şi se obţine diagrama de fazori din figura 4.12c.
e)-Se determină valoarea instantanee a curentului:
,
e ) C
- L ( + R
e e U m I = e I m I = i
R
C - L
j
t j j t j
ω
1ω
arctg22
ωαω
ω
1ω
22
. R
C - L
- + t
C
- L + R
U = i
ω
1ω
arctgsin
1
22
2
S-a regăsit mult mai uşor relaţia (4.35).
4.5.3. Caracterizarea în complex a circuitelor electrice liniare de curent
alternativ
Circuitele electrice liniare de c.a. au fost caracterizate în paragraful 4.3. prin
doi parametri reali (Z, ; Y, ; etc.), iar regimul lor energetic în paragraful 4.4.
prin puterile activă P, reactivă Q şi aparentă S.
Pentru caracterizarea circuitelor la a căror rezolvare se utilizează metoda
reprezentării în complex, se folosesc parametrii complecşi (impedanţa şi
admitanţa complexă) şi puterea complexă.
84
4.5.3.1. Impedanţa complexă Z se defineşte ca raportul dintre tensiunea
complexă şi intensitatea complexă. Dacă tensiunea şi curentul au valorile
instantanee:
u = 2 U sin(ωt+α) şi i = 2 I sin(ωI+β) rezultă impedanţa complexă Z:
. Xj+R = j + Z= e Z
=e I
U =
e I
e U =
I
U =Z
j
j j
j
sin cos
β - αα
(4.74)
Impedanţa complexă este un număr complex având modulul egal cu
impedanţa circuitului şi argumentul egal cu defazajul circuitului, partea reală
este rezistenţa circuitului iar partea imaginară reactanţa circuitului (fig.4.13a).
Fig.4.13 - a) Planul complex al impedandanţelor;
b) planul complex al admitanţelor.
Impedanţa complexă este un
parametru complex de calcul care
permite determina-rea tuturor
parametrilor reali ai circuitului şi deci
valoarea instantanee a curentului când
se cunoaşte tensiunea de alimentare şi
elementele com-ponente ale
circuitului.
4.5.3.2. Admitanţa complexă Y se defineşte ca raportul dintre curentul
complex şi tensiunea complexă, fiind deci egală cu valoarea inversă a
impedanţei complexe:
. jB-G= jY=eY
U
I =
e U
e I
Z
U
I Y
j -
j -
j
j
sin - cos
1
) β - (α
α
β
(4.75)
Admitanţa complexă este un număr complex având modulul egal cu
admitanţa circuitului şi argumentul egal cu defazajul circuitului cu semn
schimbat, partea reală egală cu conductanţa circuitului iar partea imaginară
egală cu susceptanţa circuitului cu semn schimbat.
Impedanţa şi admitanţa complexă se pot reprezenta grafic în planul complex
al impedanţelor, respectiv al admitanţelor. Deoarece R şi G sunt întotdeauna
pozitive, rezultă că nu se folosesc decât cadranele I şi IV.
4.5.3.3. Puterea complexă S se defineşte ca produsul dintre tensiunea
complexă şi curentul complex conjugat:
. jQ+P j+ SeS
eUIeIeUI US
j
j j -j *
sin cos
β - αβα
(4.76)
Puterea complexă este un număr complex al cărui modul este egal cu
puterea aparentă şi argumentul egal cu defazajul circuitului, partea reală este
puterea activă, iar partea imaginară puterea reactivă . Ea are în funcţie de
parametrii circuitului expresiile:
85
. U Bj -G =IXj + R
U Y U Y U IZI I ZI U S * * *
22
22
(4.77)
Puterea complexă S se poate
reprezenta în planul complex al puterilor
(fig.4.14). În cazul circuitului pasiv,
puterea activă P este pozitivă, deci
fazorul S se află în cadranele I sau IV.
Pentru circuitele ce conţin surse de
t.e.m., fazorul S poate fi în orice cadran. Fig.4.14 - Reprezentarea puterii complexe.
4.5.4.Teorema lui Joubert
În regim sinusoidal, datorită faptului că apar t.e.m. induse şi datorită
prezenţei condensatoarelor, relaţiile 2.25 şi 2.26 din electrocinetică:
,i R = u u ,i R = u beb
nu mai sunt valabile în valori instantanee.
Din relaţia de definiţie a impedanţei complexe pentru dipoli liniari şi pasivi
(4.74), rezultă:
,I Z = U (4.78)
relaţie analogă cu legea lui Ohm stabilită pentru circuite de c.c. şi se numeşte
forma complexă a legii lui Ohm pentru circuite liniare şi pasive.
Se consideră o latură activă a unui
circuit electric (fig.4.15) care conţine un
rezistor cu rezistenţa R, o bobină ideală
cu inductanţa L, un condensator cu
capacitatea C şi un generator având t.e.m.
instantanee ueG cu sensul acelaşi cu al
curentu-lui prin latură. Tensiunea
instanta-nee la bornele laturii este ub.
Fig.4.15 - Explicativă la demonstrarea
teoremei lui Joubert.
Aplicând legea inducţiei electromagnetice conturului Γ format de latură şi
linia tensiunii la borne, rezultă:
. u - t i
C + i R =
t
- u ,u +
t
- = l E b
SG eG e
S d1
d
d
d
dd
(4.79)
Fluxul magnetic ΦSΓ este fluxul care străbate orice suprafaţă ce se sprijină
pe conturul Γ şi este compus din fluxul propriu al bobinei (L i) şi din fluxul
exterior Φext:
. + i L = extS
(4.80)
Înlocuind relaţia (4.80) în relaţia (4.79), rezultă:
86
. t i
C +
t
i L + i R = u +
t
- u bG e d
1
d
d
d
d ext
(4.81)
Trecând relaţia de mai sus în complex simplificat, se obţine:
. I Z = I C
- L j + R = U + j - U b G e
1ext
(4.82)
Relaţiile (4.81) şi (4.82) reprezintă teorema lui Joubert sub formă
instantanee şi complexă (forma complexă generalizată a legii lui Ohm).
Dacă latura nu este cuplată inductiv cu alte laturi, Φext=0 şi deci:
. I Z = U + U bG e (4.83)
Relaţia (4.83) este analogă formal cu relaţia (2.25). În cazul în care
convenţia de semne adoptată nu este cea de la receptoare ci cea de la generatoare,
relaţiile (4.81), (4.82) şi (4.83) sunt valabile prin înlocuirea lui ub respectiv Ub cu -
ub, -Ub.
4.5.5. Forma complexă a teoremelor lui Kirchhoff
4.5.5.1. Prima teoremă a lui Kirchhoff. Se consideră un nod oarecare de
reţea N (fig.4.16) şi o suprafaţă Σ care înconjoară acest nod. Aplicând legea
conservării sarcinii electrice pentru regim cvasistaţionar, se obţine în valori
instantanee şi în complex:
. = I , = i k
N kk
N k
00 (4.84)
Suma algebrică a imaginilor în complex ale curenţilor din laturile unei
reţele ce converg într-un nod de reţea este nulă.
Fig.4.16 - Explicativă la demon-strarea
primei teoreme a lui Kirchhoff.
Observaţie. Relaţia nu este valabilă pentru
modulele sau valorile efective ale curenţilor.
Ea se va aplica la N - S noduri, unde S este
numărul de sub-reţele (reţele care nu au o
continuitate galvanică, dar au între ele o
cuplare magnetică).
4.5.5.2. Teorema a doua a lui Kirchhoff. Aplicând teorema lui Joubert
laturii j a ochiului Op (fig.4.17) se obţine în complex:
. j + I C
- L j + I R = U + U j jj
jjjjj bj e
ext
1
(4.85)
Fluxul magnetic Φextj este produs de cuplajele magnetice ce există între
această latură şi celelalte laturi ale reţelei, deci:
.ILjjL
jkk
kkj j
1
ext
(4.86)
Procedând analog pentru toate laturile ochiului Op şi însumând membru cu
membru, rezultă:
87
, C
- L j + R = Z :
, ILj + I Z = U + U
jjj jj
L
jkk
kkj jjOj
j bO j
j eO j
ppp
ω
1ωunde
ω1
reprezintă impedanţa complexă a laturii j. Din teorema potenţialului electric rezultă
că suma tensiunilor de pe o curbă închisă este zero şi deci:
. I Lj + I Z = UL
jk = k
kkj jjO j
j eO j
pp
1
ω
(4.87)
Relaţia (4.87) reprezintă forma
complexă a celei de a doua teoreme a
lui Kirchhoff: suma algebrică a
imaginilor în complex ale t.e.m. ale
generatoarelor din laturile aparţinând
unui ochi de reţea, este egală cu suma
algebrică a căderilor de tensiune
complexe din laturile respective.
Fig.4.17 - Explicativă la demonstrarea celei de a
doua teoreme a lui Kirchhoff.
T.e.m. se ia ca semnul plus dacă există concordanţă între sensul t.e.m. şi
sensul de parcurgere al ochiului şi cu semnul minus în caz contrar. Căderea de
tensiune Zj Ij se ia cu plus dacă sensul de parcurgere al ochiului coincide prin
latură cu sensul curentului. Căderea de tensiune pe inductanţele mutuale se iau cu
plus dacă curenţii Ij şi Ik au acelaşi sens faţă de bornele polarizate şi dacă sensul lui
Ij prin latură coincide cu sensul de parcurgere al laturii. Orice schimbare modifică
semnul, deci două schimbări păstrează semnul plus (vezi aplicaţia de mai jos).
Aplicaţie.
Să se rezolve reţeaua electrică din figura 4.18, fiind date t.e.m., impedanţele
laturilor şi inductanţele mutuale.
Reţeaua are trei noduri, două subreţele, şi patru laturi. Pe cele patru
laturi ale reţelei se figurează curenţii I1, I2 ,I3 şi I4 cu sensurile arbitrare alese.
Prima teoremă a lui Kirchhoff aplicată nod ului A şi cea de a doua teoremă a lui
Kirchhoff ochiurilor 1,2 şi 3, dau sistemul de patru ecuaţii cu patru necunoscute de
valori complexe: ;0321 = I - I - I
Fig.4.18 - Schema electrică rezolvată la aplicaţie.
Prin rezolvarea sistemului de
ecuaţii se determină imaginile în
complex ale curenţilor din laturi, iar cu
ajutorul regulii de trecere inverse (4.67)
se obţin valorile instantanee ale
curenţilor.
88
;ωω
1ω
;ωωω
434121
33
3322
1212122221111
ILj-ILj+
+IC
j-L j +R + I Lj+R- =U -
ILjI Lj-I Lj+R+ILj+R=U
2 3 e
e
4.6. REZONANŢA ÎN CIRCUITELE ELECTRICE DE
CURENT ALTERNATIV
În circuitele electrice de c.a. care conţin elemente reactive (bobine şi
condensatoare) există cazuri în care reactanţa echivalentă este nulă şi deci
defazajul dintre tensiune şi curent va fi nul. În aceste cazuri se spune că circuitul
este în rezonanţă. La rezonanţă, puterea reactivă absorbită sau cedată de circuit este
nulă, deoarece puterea reactivă absorbită de bobine este compensată de puterea
reactivă cedată de condensatoare. În circuitele rezonante, amplitudinea intensită ţii
curentului absorbit de circuit are un maxim sau un minim.
4.6.1. Rezonanţa în circuitele serie (rezonanţa de tensiune)
Se consideră un circuit serie R,L,C la care se aplică o tensiune sinusoidală
(fig.4.21a). Aplicând teorema a doua a lui Kirchhoff, în complex, rezultă:
Fig.4.21 - a) Circuit serie R, L, C; b) diagrama de fazori la rezonanţă
. I Xj + R = I C
- L j + R = U + U + U = U eeCLR
ω
1ω
Circuitul este rezonant dacă reactanţa echivalentă Xe este nulă:
.
C = L , =
C - L = X e
ω
1ω0
ω
1ω
(4.92) Din relaţia
(4.92) se constată că rezonanţa se poate realiza variind frecvenţa tensiunii de
alimentare. Frecvenţa şi pulsaţia la care se produce rezonanţa sunt date de
formulele lui Thomson:
.
C L = ,
C L = f
1ω
π2
100
(4.93 a,b)
Rezonanţa se poate obţine şi variind capacitatea condensatorului sau
inductanţa bobinei. La rezonanţă:
./RX,IU/RI,ZRZ e ee 0arctgmaxmin (4.94a,b,c)
Diagrama fazorială a circuitului rezonant este dată în figura 4.21b, unde s-a
luat curentul ca origine de fază. Se observă că:
89
. U = U ,I R = U = U LCR (4.95 a,b)
Căderea de tensiune inductivă este compensată de căderea de tensiune
capacitivă, motiv pentru care rezonanţa serie se mai numeşte şi rezonanţa
tensiunilor. Dacă ω0L =(1/ω0C)>> R, rezultă: UL = UC >> UR = U, deci în circuitul
rezonant apar supratensiuni care rămân un timp şi după deconectarea circuitului de
la reţea. Aceste tensiuni reprezintă un pericol pentru cei care, vin în contact cu
bornele condensatorului. Se defineşte factorul de calitate al circuitului Q:
. C
L
R =
I R
I L =
U
U = Q
R
L 11ωo
ωω0
(4.96)
În electronică se construiesc circuite rezonante cu Q (100,1000) pentru
amplificarea tensiunilor slabe, având frecvenţa egală cu frecvenţa de rezonanţă a
circuitelor.
În fig.4.22a s-a reprezentat
variaţia valorii efective a curentului în
funcţie de pulsaţia tensiunii de
alimentare pentru diferite valori ale
factorului de calitate Q, iar în figura
4.22b, dependenţa defazajului
circuitului de pulsaţie.
Fig.4.22 – Dependenţa de pulsaţie şi de factorul
de calitate a:.a) valorii efective a curentului;
b.) a defazajul circuitului Pentru pulsaţii mai mici decât pulsaţia de rezonanţă (ω<ω0), circuitul are
caracter capacitiv ( ωL<1/ωC, <0), la rezonanţă (ω=ω0) caracter pur rezistiv
( =0), iar la pulsaţii mai mari decât pulsaţia de rezonanţă (ω>ω0), caracterul este
inductiv (ωL>1/ωC, >0).
4.6.2. Rezonanţa în circuite derivaţie (rezonanţa de curent)
Se consideră un circuit format dintr-o bobină reală de rezistenţă R şi
inductanţă L conectată în paralel cu un condensator de capacitate C (fig.4.23a).
Admitanţa complexă este:
.
L + R
L - L + R C j + R
=L j + R
RCjC+ L - =Cj+
L j + R=Y +Y =Y Cbe
222
222
2
ω
ω)ω(ω
ω
ωω1ω
ω
1
Curentul absorbit de circuit este UYI e are valoarea efectivă şi defazajul:
.
R
L / C R - C L - L
,L + R
C R + C L U= I
22
222
2222
1ωarctg=
ω
ωω - 1
(4.97a,b)
În majoritatea cazurilor din practică R2<<ω
2L
2 şi se obţin:
90
. C L -
R
L
,L
C R + C -
L U I
)ω1(ω
arctg =
ωω
1
2
2
222
(4.98a,b)
Fig.4.23 - a) Circuit rezonant derivaţie;
b) diagrama de fazori
Din relaţia (4.98b) rezultă pulsaţia
aproximativă de rezonanţă:
. LC/ = ,=LC - 1ω0 ω1 020 (4.99)
La rezonanţă, curentul absorbit de circuit
trece printr-o valoare minimă; impedanţa
printr-o valoare maximă L/RC, iar defazajul
prin zero. În figura 4.23b s-a reprezentat
diagrama de fazori a curenţilor,
luându-se tensiunea ca origine de fază.
Fig.4.24 - Dependenţa valorii efective a
curentului absorbit (a) şi a defazajului (b).
În fig.4.24a s-a repre-zentat variaţia
valorii efective a curentului absorbit de
circuit, iar în figura 4.24b variaţia
defazajului circuitului de pulsaţia tensiunii
de alimentare.
Factorul de calitate este definit ca:
. C
L
R =
I
U C =
I
I = Q C 1ω
00ω =ω ω=ω
(4.100)
Fenomenul de rezonanţă are numeroase aplicaţii în telecomunicaţii şi
electroenergetică, dintre care amintim:
-realizarea oscilatoarelor de înaltă frecvenţă utilizate la emiţătoarele şi
receptoarele radio;
-realizarea telefoniei multiple, adică efectuarea concomitentă a mai multor
convorbiri utilizând o singură pereche de conductoare, cu ajutorul filtrelor bazate
pe circuite rezonante;
-măsurarea frecvenţei şi a lungimii de undă a oscilaţiilor în radiotehnică ;
-compensarea factorului de putere în instalaţiile de alimentare a
receptoarelor de energie electrică, prin montarea în paralel a unor condensatoare.
4.8. CIRCUITE ELECTRICE TRIFAZATE
Transmiterea energiei electromagnetice de la locul de producere a acesteia
(centrale electrice) la locurile de utilizare se face prin linii electrice. În cazurile
cele mai simple, transmisia se face cu o linie electrică cu două conductoare
alimentate la plecare cu o t.e.m. alternativă. Acest sistem de transmisie reprezintă
sistemul monofazat. În cazul în care linia electrică are 3 sau 4 conductoare,
alimentate de trei t.e.m. alternative de aceeaşi frecvenţă dar defazate între ele,
91
transmisia se realizează printr-un sistem trifazat.
Circuitele trifazate realizează un transport de energie electrică mai economic
şi permit folosirea în acţionările electrice a motoarelor asincrone trifazate, mai
simple şi mai economice decât cele monofazate.
4.8.1. Sisteme trifazate simetrice
Se numeşte sistem trifazat un ansamblu de trei mărimi sinusoidale de
acelaşi fel, de aceeaşi frecvenţă şi defazate între ele. Dacă mărimile au valorile
efective egale şi sunt defazate astfel încât fiecare să fie defazată în urma
precedentei cu 2π/3, sistemul se numeşte sistem trifazat simetric direct. Valorile
instantanee ale unui astfel de sistem vor fi:
. + t A = + t A = a
, + t A = a
, + t A = a
3
2π + βωsin2
3
π4 βωsin2
3
π2 βωsin2
βωsin 2
3
2
1
(4.105)
Dacă mărimile au valorile efective egale dar fiecare este defazată înaintea
precedentei cu 2π/3, sistemul se numeşte sistem trifazat simetric invers. Valorile
lor instantanee sunt:
.+ t A = + t A = a
, + + t A = a , + t A = a
) 3
π2 β (ωsin 2)
3
π4 + β (ωsi 2
) 3
2π β(ωsin 2βωsin 2
3
21
(4.106)
Fig.4.27 - a) Sistem trifazat simetric de succesiune directă; b) sistem trifazat simetric de
succesiune inversă.
În figura 4.27a sunt reprezentate mărimile unui sistem trifazat simetric
direct, iar în figura 4.27b cele ale unui sistem trifazat simetric invers, în funcţie de
timp. În continuare se vor trata numai sistemele trifazate simetrice de succesiune
directă. Imaginile în complex ale mărimilor sistemului trifazat simetric direct sunt:
. e A = e A = A ,e A
= e A = A ,A = e A = A
j j j -
j j
3 / π2) 3 / π2 + β (3
3 / π2
) 3 / π2 - β ( 2
β1
(4.107)
Se notează cu a numărul complex:
, j + - = e = a j
2
3
2
13
π2
4.108)
numit operator de rotaţie sau operatorul lui Steinmetz. Acest operator are
modulul egal cu unitatea şi argumentul 2π/3. Înmulţirea cu a unui fazor, înseamnă
rotirea acestui fazor cu 2π/3 radiani în sens trigonometric.
92
Pentru operatorul lui Steinmetz
sunt valabile relaţiile:
,j - - = e = e = aj-j
2
3
2
13
π2
3
π42
. = a + a + = a 01 , 1 23
(4.109)
Fig.4.28 - Fazorii unui sistem trifazat
simetric direct. Cu ajutorul operatorului lui Steinmetz, mărimile sistemului trifazat simetric
direct se scriu în complex astfel:
. A a = A ,A a = A ,A = A 3
221 (4.110)
Adunând relaţiile 4.110, rezultă:
, = a + a + a , = a + a + A = A + A + A 001 3212
321 (4.111)
adică suma mărimilor unui sistem trifazat simetric direct este nulă atât în complex,
cât şi în valori instantanee.
În planul complex, cele trei mărimi simetrice directe se reprezintă prin trei
fazori egali ca modul, dar rotiţi cu 2π/3 radiani în sens invers trigonometric
(fig.4.28).
4.8.2. Producerea tensiunilor electromotoare trifazate simetrice
Dacă se fixează pe acelaşi ax trei cadre dreptunghiulare, bobinate cu N spire
fiecare, având planurile decalate succesiv cu câte 2π/3 (fig.4.29) şi dacă se rotesc
cu turaţie constantă n (rot/s) în jurul unei axe paralele cu una din laturi, într-un
câmp magnetic omogen de inducţie magnetică B0, perpendicular pe axa de rotaţie,
se obţine un sistem trifazat simetric de t.e.m.
Fig.4.29 - Producerea unui sistem trifa-zat
simetric de tensiuni electromotoare.
Vom studia pentru început t.e.m.
indusă în cadrul dreptunghiular 1,
unde pentru simplificare s-a figurat în
figura 4.29 doar o singură spiră.
Dacă unghiul făcut de normala α1 la
planul spirei 1 este la momentul t = 0,
α0 = πnt + α1, iar As este aria spirei,
fluxul magnetic instantaneu prin cele
N spire ale cadrului 1 este:
, + t n B A N = s α π2cos Φ 101 (4.112)
iar t.e.m. instantanee indusă în cadru va fi:
t+U
nt+BAnNt
-u
e
s e
).αsin(ω2
)α2π(sin2πd
Φd
1
101
1
(4.113)
Această t.e.m. are pulsaţia, faza iniţială şi valoarea efectivă:
93
, N f , = U
, B ,n = ,n = f
fe
= t
0
01 01
444
)( α = α π2 π2 = ω
(4.114a,b,c)
în care Φf0 = As B0 este valoarea maximă a fluxului fascicular al unei spire.
T.e.m. ue1 poate alimenta un circuit exterior prin două perii (1 şi 1') în
contact cu inelele colectoare, fixate pe axul de rotaţie şi conectate la capetele
înfăşurării cadrului.
În cazul celor trei cadre dreptunghiulare, fluxurile magnetice instantanee
care vor traversa cele trei cadre vor diferi numai prin unghiurile făcute de
normalele planurilor cadrelor respective cu direcţia liniilor de câmp magnetic în
momentul iniţial (t=0). Aceste unghiuri vor fi respectiv:
. , , =
3
π2 + α =
3
π4 α = α
3
π2 α = ααα 321
(4.115)
Pentru t.e.m. induse în cele trei cadre se vor obţine expresiile:
. + t U = + t U = u
, + t U = u , + t U = u
ee e
e ee
) 3
π2+ α(ωsin 2)
3
π4 α (ωsin 2
) 3
π2 α(ωsin 2 ) α(ωsin 2
3
21 e
(4.116)
în care t.e.m. efectivă Ue este dată de relaţia (4.114c), pulsaţia ω de relaţia
(4.114a), iar faza iniţială α de relaţia (4.114b). Relaţiile (4.116) arată că t.e.m.
induse în cele trei cadre formează un sistem trifazat simetr ic direct.
Generatoarele de curent alternativ trifazat (generatoarele sincrone) se
construiesc pe baza acestui principiu, cu următoarele deosebiri mai importante:
- în locul celor trei cadre dreptunghiulare există trei înfăşurări mai complexe,
decalate între ele în spaţiu, numite faze;
- înfăşurările sunt fixe, iar câmpul magnetic inductor este un câmp magnetic
învârtitor obţinut pe cale mecanică.
4.8. CIRCUITE ELECTRICE TRIFAZATE 4.8.3.1.Conexiunea independentă. Fiecare fază a unui generator trifazat
poate alimenta câte un receptor independent, deci, generatorul poate alimenta trei
receptoare diferite prin intermediul a şase conductoare de legătură (fig.4.30).
Fig.4.30 - Conexiunea independentă.
Se spune că în acest caz, fazele
generatorului funcţionează indepen-dent.
Dacă impedanţele complexe ale
receptorului trifazat sunt egale (receptorul
este echilibrat):
,e Z= Z = Z = Z j 321 (4.117)
rezultă că şi curenţii din cele trei circuite vor
avea aceleaşi valori efective şi aceleaşi
defazaje faţă de t.e.m. care i-au produs:
94
. ,I = I = I = I = = = 321321 (4.118)
În cazul unor t.e.m. ce formează un sistem simetric direct şi a unui receptor
echilibrat, curenţii din cele trei faze ale generatorului vor forma de asemeni un
sistem trifazat simetric direct:
. + t I = i
, + t I = i
, + t I = i
) 3
π2 + α(ωsin 2
) 3
π2 α(ωsin 2
) α(ωsin 2
3
2
1
(4.119)
Puterea transmisă de un conductor la un factor de putere egal cu unitatea
este:
3) 2, 1,(pentru
2 = k ,
I U = P kk
(4.120)
Fiecare circuit independent se mai numeşte circuit monofazat. Acest sistem
de trei circuite monofazate independente nu este utilizat în practică, deoarece prin
conexiuni speciale se poate micşora numărul conductoarelor necesare transmisiei
energiei electrice la trei sau patru, obţinându-se astfel un circuit (reţea) trifazat, la
care puterea transmisă pe un conductor este mai mare decât cea transmisă în
conexiunea independentă (rel.4.120).
4.8.3.2.Conexiunea în stea. Se leagă împreună bornele 1',2',3' ale
generatorului, formând un punct O - numit neutrul sau nulul generatorului şi
respectiv bornele a',b',c' ale receptorului, formând un punct N - numit neutrul sau
nulul receptorului. Cele trei linii de întoarcere a'1', b'2' şi c'3' ale celor trei
circuite monofazate se pot înlocui printr-un singur conductor NO, numit
conductor neutru. Conductoarele a1,b2,c3 se numesc conductoare de linie. Se
obţine astfel un sistem trifazat cu conexiunea în stea atât la generator cât şi la
receptor (fig.4.31). Aplicând prima teoremă a lui Kirchhoff nodului N, rezultă
curentul din conductorul neutru:
Fig.4.31 - Tensiunile şi curenţii la
conexiunea stea.
. i + i + i = i 3210 (4.121)
Dacă sistemul de t.e.m. este simetric iar
receptorul este echilibrat, sistemul de
curenţi absorbiţi de receptor este un sistem
simetric şi conform relaţiei (4.111)
curentul din conductorul neutru este nul:
. = i 00 (4.122)
Pe baza relaţiei (4.122) se deduce că pentru sistemele trifazate în stea, cu
receptor trifazat echilibrat şi tensiuni la borne simetrice, conductorul neutru poate
lipsi. În acest caz, transportul energiei electrice se va face numai cu ajutorul a trei
conductoare.
La conexiunea stea se disting două sisteme de tensiuni:
-tensiunile de fază u1, u2, u3 dintre un conductor de linie şi conductorul de
95
nul (tensiunile pe cele trei impedanţe ale receptorului);
-tensiunile de linie u12, u23, u31 dintre două conductoare de linie. Aceste
tensiuni se mai numesc şi tensiuni între faze, deoarece conductoarele de linie se
mai numesc în terminologia curentă, faze.
Din figura 4.31 rezultă că tensiunile de linie sunt egale cu diferenţele
tensiunilor de fază respective:
. uuu ,uuu ,uuu 133132232112 (4.123)
Trecând în complex relaţiile (4.123), se obţine:
. U - U = U ,U - U = U ,U - U = U 13133222112 (4.124)
Din relaţiile (4.123) şi (4.124) rezultă că suma tensiunilor de linie în valori
instantanee sau în complex este nulă indiferent dacă sistemul este simetric sau nu:
. = U + U + U , = u + u + u 00 133221133221 (4.125)
Pe baza relaţiilor (4.124) se pot reprezenta în planul complex, fazorii
corespunzători acestor tensiuni de fază şi de linie (fig.4.32). Dacă sistemul de
tensiuni de fază este simetric direct, triunghiul 1,2,3 este echilateral şi tensiunea de
linie complexă U12 va fi:
. e U = j +U
=U a - U = U -U = U
j
6
π
11
12
12112
3) 2
1
2
3 (- 3
(4.126)
Din figură se observă că şi sistemul tensiunilor de linie este un sistem
simetric direct.
Fazorul tensiunii de linie U12 se
obţine amplificând cu 3 fazorul
tensiunii de fază U1 şi rotindu-l cu un
unghi de π/6 radiani în sens
trigonometric.
Introducând notaţiile: Fig.4.32 - Diagrama de fazori la conexiune stea.
,U = U = U = U ,U = U = U = U f3211133221 (4.127)
rezultă din (4.126) pentru sisteme simetrice:
. U = U fl 3 (4.128)
La conexiune stea cu receptor echilibrat, alimentată cu un sistem simetric de
tensiuni, valoarea efectivă a tensiunilor de linie este de 3 ori mai mare decât
valoarea efectivă a tensiunilor de fază.
Conexiunea în stea cu fir neutru permite obţinerea a două sisteme de tensiuni
diferite, permiţând funcţionarea receptoarelor construite pentru tensiuni nominale
diferite (de exemplu 380/220 V; 220/127 V).
Reţeaua care nu are conductor neutru, nu dispune decât de sistemul de
96
tensiuni de linie. Tensiunile de linie standardizate în România sunt: 220, 380 şi 500
V; 1, 3, 6, 10, 15, 35, 60, 110, 220 şi 400 kV.
Curenţii care străbat conductoarele de linie se numesc curenţi de linie
(Il), iar curenţii din fazele generatorului sau receptorului se numesc curenţi de
fază (If). În cazul conexiunii în stea, curenţii de fază sunt egali cu curenţii de linie.
Dacă avem un sistem simetric de curenţi:
,I = I fl (4.129)
adică valoarea efectivă a curenţilor de linie este egală cu valoarea efectivă a
curenţilor de fază, pentru conexiunea stea echilibrată, alimentată cu tensiuni
simetrice.
4.8.3.3. Conexiunea în triunghi. Dacă se leagă sfârşitul unei faze a
generatorului cu începutul fazei următoare (1' cu 2, 2' cu 3, 3' cu 1), iar borna de
sfârşit a fiecărui receptor la borna de început a receptorului de pe faza următoare
(a' cu b, b' cu c, c' cu a) se obţine şi la generator şi la receptor (fig.4.33)
conexiunea triunghi. În acest caz tensiunile de linie sunt egale cu tensiunile pe
fazele generatorului sau receptorului.
În cazul sistemelor simetrice şi receptor echilibrat, este adevărată relaţia:
. U = U fl (4.130)
Între curenţii de linie (i1 , i2 , i3) ce străbat conductoarele de linie şi curenţii
de fază (i12 i23, i31) ce străbat impedanţele consumatorului, există următoarele
relaţii deduse din prima teoremă a lui Kirchhoff aplicată nodurilor 1(a), 2(b), 3(c)
de la receptor:
. i - i = i ,i - i = i ,i - i = i 321332132213211 (4.131)
Trecând în complex relaţiile (4.131) rezultă:
. I - I = I ,I - I = I ,I - I = I 1 3 21 332 3 221 32 11 (4.132)
Fig.4.33 - Tensiunile şi curenţii la conexiunea triunghi.
Pe baza relaţiilor (4.131) şi
(4.132) rezultă că suma
curenţilor de linie în valori
instantanee sau în complex este
nulă indiferent dacă siste-mul
este simetric sau nu:
. = I + I + I , = i + i + i 00 321321 ] (4.133)
Pe baza relaţiilor (4.132) se pot
reprezenta în planul complex fazorii
corespunzători acestor curenţi (fig.4.34). Dacă
sistemul de curenţi de fază este simetric direct,
triunghiul 1,2,3 este echilateral şi curenţii de
linie vor forma şi ei un sistem simetric direct. I1
va fi:
Fig.4.34 - Diagrama de fazori a
curenţilor la conexiunea triunghi.
97
. eI = j - I= a -I =I -I =I j - 6
π
2 12 12 11 32 11 3)2
1
2
3 (3)(1
(4.134)
Fazorul curentului de linie I1 este defazat în urma fazorului curentului de
fază I12 cu π/6 radiani, iar modulul său este de 3 ori mai mare.
În cazul unui sistem simetric de curenţi există următoarele relaţii între
valorile efective ale curenţilor de linie Il şi de fază If:
. I = I ,I = I = I = I ,I = I = I = I ff 311 33 22 11321 (4.135)
Se pot realiza şi conexiuni în triunghi la generator şi în stea la receptor sau
invers.
Sistemele trifazate prezintă numeroase avantaje faţă de cele monofazate:
-transmiterea energiei electrice se face în condiţii mai economice;
-au posibilitatea de a dispune la utilizare de două sisteme de tensiuni diferite
pentru consumatorii monofazaţi (conexiunea în stea cu fir neutru);
-permit producerea câmpurilor magnetice învârtitoare care sunt utilizate la
funcţionarea celor mai simple şi mai economice motoare electrice, motoarele
asincrone.
4.8.4. Puterile în reţelele trifazate
Calculul puterilor în sistemele trifazate se face după aceleaşi principii ca la
curentul alternativ monofazat. Puterile activă, reactivă şi aparentă absorbite de
receptorul trifazat vor fi egale cu sumele puterilor active, reactive sau aparente
absorbite de fiecare fază în parte.
Considerând un receptor conectat în stea, cu tensiunile de fază u1, u2, u3,
care formează, în general, un sistem nesimetric şi curenţii de fază (de linie) i1, i2, i3
nesimetrici, defazaţi faţă de tensiunile corespunzătoare cu unghiurile 1,
2,
3,
putem scrie expresiile puterilor activă, reactivă şi aparentă absorbite de receptor:
,I U + I U + I U = S
, I U + I U + I U = Q
, I U + I U + I U = P
332211
333222111
333222111
sinsinsin
cos coscos
(4.136)
unde U1, U2, U3 sunt valorile efective ale tensiunilor de fază iar I1, I2, I3
Fig.4.35 Măsurarea puterii unei reţele
trifazate cu trei wattmetre.
sunt valorile efective ale curenţilor de fază
(linie). În figura 4.35 este dată schema de
măsurare a puterii active unei reţele
trifazate conectate în stea cu ajutorul a trei
wattmetre.
La conexiunea în triunghi, dacă u12, u23, u31 sunt tensiunile pe fazele
receptorului (egale cu tensiunile de linie), iar i12, i23, i31 curenţii de fază şi 21 ,
23 ,
13 defazajele respective, puterile activă, reactivă şi aparentă absorbite de
98
receptorul trifazat vor avea expresiile:
,I U + I U + I U = S
, I U + I U + I U = Q
, I U + I U + I U = P
1 31 33 23 22 12 1
1 31 31 33 23 23 22 12 12 1
1 31 31 33 23 23 22 12 12 1
sinsin sin
coscoscos
(4.137)
unde U12, U23, U31 sunt valorile efective ale tensiunilor de fază (de linie), iar I12,
I23, I31 valorile efective ale curenţilor de fază.
Dacă sistemele de tensiuni şi curenţi sunt simetrice vom avea următoarele
relaţii:
- pentru conexiunea în stea:
;
,I = I = I = I = I
,
U = U = U = U =U
f
f
= = =
3
321
1321
1321
(4.138)
- pentru conexiunea în triunghi:
.
,
I = I = I = I = I
,U = U = U = U = U
lf
lf
= = =
3
1 3 3 2 2 1
1 33 22 1
133 22 1
(4.139)
Ţinând seama de relaţiile (4.138) şi (4.139) rezultă pentru conexiunea în stea:
; I U = S
, I U = Q
, I U = I
U = I U = P
ll
ll
llll
ff
3
sin3
cos 3cos3
3cos 3
iar pentru conexiunea triunghi:
. I U = S
, I U = Q
, I U =
I U = I U = P
ll
ll
lll
lff
3
sin3
cos 3cos 3
3cos 3
Comparând expresiile obţinute pentru conexiunile stea şi triunghi se constată că în
sistemele simetrice şi echilibrate, calculul puterilor se face cu aceleaşi relaţii,
indiferent de conexiune:
. I U = S , I U = Q , I U = P llllll 3sin3cos3 (4.140)
În sistemele simetrice, echilibrate, se pot folosi relaţiile cunoscute de la
circuitele monofazate.
Puterea complexă, în cazul reţelelor trifazate, poate fi scrisă sub forma:
- pentru conexiunea în stea cu fir neutru:
99
,I U + I U + I U = S ***
332211 (4.141)
- pentru conexiunea în triunghi:
,I U + I U + I U = S *
*
* 1 31 33 23 22 12 1 (4.142)
unde partea reală reprezintă puterea activă absorbită, iar partea imaginară, puterea
reactivă.
Pentru sisteme simetrice, puterile absorbite pe cele trei faze vor fi egale şi ca
urmare puterea complex absorbită va fi pentru cele două conexiuni:
. I U = S ,I U = S *
*
2 12 111 33 (4.143)
Puterea activă absorbită de receptor este egală cu de trei ori indicaţia
wattmetrului.
În cazul sistemelor trifazate fără fir ne-utru se
poate demonstra că se poate măsura puterea şi
cu ajutorul a numai două wattmetre conectate
ca în figură. Puterea absorbită fiind egală cu
suma algebrică a indicaţiilor celor două watt-
metre (se va ţine seama şi de semn).
Fig.4.36 - Măsurarea puterii active a
unei reţele trifazate cu ajutorul a două
wattmetre.