MARIMI RAPORTATEExprimarea ecuaiilor generatorului sincron n uniti relative

1. Definirea sistemului de uniti relative

n cazul generatoarelor sincrone, sistemul unitilor relative este utilizat pentru eliminarea unor constante arbitrare precum i pentru simplificarea ecuaiilor matematice, astfel nct acestea s permit realizarea unor circuite echivalente. n acest sens, mrimile de baz sunt alese astfel nct s fie satisfcute urmtoarele cerine:

MATEESCU ALEXANDRA MIHAELA TEMA 1 SCADAa. reciprocitatea inductivitilor mutuale, exprimate n u.r., dintre

n analiza sistemelor electroenergetice este avantajos s se

diferitele nfurri (de exemplu,

Laf * L fa* Lmd * ). Aceast ipotez utilizeze sistemul unitilor relative (u.r.) pe de o parte pentru normalizarea variabilelor sau mrimilor sistemului, iar pe de alt parte pentru simplificarea calculelor prin eliminarea unitilor de msur.n acest sens, o mrime oarecare X exprimat n sistemul unitilor fizice (SI) este transformat ntr-o mrime relativ exprimat n sistemul unitilor relative (u.r.) i notat X, prin raportarea la o valoare de baz Xb exprimat tot n sistemul unitilor fizice:

*X u.r. X SI X b SI

Alegerea corespunztoare a sistemului unitilor relative, mai precis a valorilor mrimilor de baz, conduce la diminuarea efortului de calcul, precum i la simplificarea i facilitarea evalurii performanelor i nelegerii caracteristicilor SEE.n definirea unui sistem de uniti relative se are n vedere faptul c numai o parte dintre mrimile de baz pot fi alese independent, celelalte determinndu-se pe baza relaiilor existente ntre variabilele sistemului electroenergetic. n mod uzual, mrimile de baz se aleg astfel nct principalele variabile ale sistemului, exprimate n u.r., s fie egale cu 1 n cazul regimului nominal de funcionare. permite ca modelul generatorului sincron s poat fi prezentat prin circuite echivalente;b. egalitatea inductivitilor mutuale, n u.r., ntre circuitele statorice i rotorice din fiecare ax (de exemplu Laf = LaD)

2. Sistemul unitilor relative pentru mrimile statorice

Valorile mrimilor statorice de baz, avnd indicele sb, sunt definite astfel:

(i) se aleg urmtoarele mrimi de baz independente:

tensiunea de baz ( U sb ) ca fiind valoarea de vrf a tensiunii nominale faz-nul, n V; curentul de baz (Isb) valoarea de vrf a curentului nominal, n A;

frecvena de baz (fb) frecvena nominal n Hz (este unic pentru ntregul sistem i din acest motiv s-a omis indicele s);

(ii) restul mrimilor de baz se determin conform urmtoarelor relaii: puterea trifazat de baz (Ssb) este egal cu puterea aparent trifazat nominal a generatorului, n VA:

n cazul generatoarelor sincrone, sistemul unitilor relative este

U sb

I sb 3

utilizat pentru eliminarea unor constante arbitrare precum i pentru 2 impedana de baz (Zsb):

U sb

Z sb

Isb

Sistemul unitilor relative pentru mrimile rotorice

Pentru a exprima n u.r. ecuaiile tensiunilor la bornele nfurrilor rotorice i pe cele ale fluxurilor din aceste nfurri se viteza unghiular de baz ( b ):

b 2f b , n radiani electrici/s, respectiv viteza unghiular mecanic de baz ( mb ):1

noteaz cu indicele fb mrimile de baz ataate nfurrilor de excitaie (f), respectiv cu indicii Db i Qb cele ataate nfurrilor de amortizare (D) i (Q).n continuare, avnd n vedere mrimile de baz definitemb

b , n radiani mecanici /sp

anterior, ecuaiile care descriu comportamentul generatorului sincron se

(p fiind numrul perechilor de poli);

inductivitatea de baz (Lsb):

L Z sb , n H;

exprim n uniti relative.

2.3.4.2. Ecuaiile tensiunilor n uniti relative

fluxul de baz ( sb ):

sb

L I

b

U sb , n Wb;

Pentru a exprima ecuaiile tensiunilor la bornele nfurrilor statorice n u.r., se mpart relaiile (2.40) cu Usb i se ine cont c

cuplul de baz (Csb):

sb sb sb

b

d .dt r

C Ssb 3 U sb I sb p 3 p I

, n N.m;

De exemplu, mprind relaia (2.40,a) cu Usb,sb 2

2 sb sb db b timpul de baz (tb) este definit ca fiind intervalul de timp n care rotorul parcurge 1 radian electric la viteza sincron:

i innd cont c:

U d RI d

r q

d dt

(2.40,a)

bt 1 b

1 2f b

U sb

I sb Z sb

b sb Lsb

Lsb

b sb

operatorul de derivare n raport cu timpul:

rezult:

U R I

q

d 1 d

1

d

d

d r

d dt* b dt

U sb

Z sb

I sb

b sb

dt b

sb sau folosind notaiile n u.r:

U

R I

dd *

(2.40,a)

2.3.4.3. Ecuaiile fluxurilor din nfurri, n uniti relatived *

n mod similar rezult:

* d *

r* q*

dt*

Avnd n vedere relaia sb Lsb I sb

magnetice din nfurrile statorice devin:

ecuaiile (2.32) ale fluxurilor

U R I

d q*

(2.40,b)

d * Ld * I d * Lmd * I f * LmD* I D*

(2.32,a)q* * q*

r* d *

dt*

q* Lq* I q* LmQ* I Q*

(2.32,b)

U 0*

R* I 0*

d0* dt*

(2.40,c)

0* L0* I 0*

(2.32,c)Se constat c ecuaiile statorice avnd toate mrimile exprimate n u.r. pstreaz forma original (2.40).

n care:

L I L I L I md fb

mD Db

mQ Qb

n mod similar se pot exprima i ecuaiile tensiunii la bornele

Lmd *

Lsb

;I sb

LmD*

Lsb

;I sb

LmQ*

Lsb

I sb

nfurrilor rotorice n u.r. n acest sens, innd cont c

U fb b fb Z fb I fb , printr-un calcul similar cu cel folosit anterior

n mod similar, ecuaiile (2.35) ale fluxurilor rotorice exprimate n u.r.devin:

pentru deducerea relaiei (2.40,a), din relaia (2.41), rezult:

d f *

L I L I L I'f * f * f * fD* D* md * d *

L I L I L I'D* Df * f * D* D* mD* d *

(2,35,a)

(2.35,b)U f * R f * I f *

dt*

(2.41).

L I L I'Q* Q* Q* mQ* q*

(2.35,c)n mod similar, dac se exprim n u.r. relaiile (2.42) i (2.43),

rezult:

n care:

L fD I Db

L' 3 Lmd I sb ;

LDf I fb L

0 RD* I D*

dD* dt

(2.42)

L fD*

;L fb I fb

3

md *

L I

2 L fb I fb

Df *

3 L I

LDb I Db* L'

mD sb ; L'

mQ sb

0 RQ* I Q*

dQ* dt

(2.43)

md *

2 LDb I Db

mQ*

2 LQb IQb* Din condiia de reciprocitate a inductivitilor mutuale rezult c

L fD* LDf * , adic:L fD I Db LDf I fb

U I 3 U I Sfb fb 2 sb sb sbL fb I fb

LDs I Db

din care, innd cont c

L fD LDf , rezult:

2 2

n concluzie, puterea aparent de baz pentru circuitele rotorice trebuie s fie egal cu puterea aparent de baz pentru circuiteleLDb I Db L fb I fb

statorice, adic egal cu puterea nominal aparent a generatoruluinmulind ambii membri cu b

i innd cont c:

sincron. Aceast condiie definete n mod unic produsul dintrerespectiv rezult:

b LDb I Db U Db

b L fb I fb U fb

U Db I Db U fb I fb .

tensiunea i curentul de baz aferente fiecrei nfurri rotorice.

Prin urmare, pentru a defini un sistem de uniti relative complet este necesar s se defineasc fie tensiunea de baz, fie curentul de baz pentru circuitele rotorice. n acest sens, inductivitile proprii ale statorului Ld* i Lq* asociate cu fluxurile datorate curenilor Id respectiv Iqsunt mprite n: inductivitatea de dispersie (Ll) datorat fluxului deDeci, pentru obinerea egalitii ntre inductivitile mutuale rotorice este necesar ca puterile de baz pentru calculul acestora s fie egale.

scpri care nu nlnuie nfurrile rotorice i inductivitile mutuale datorate fluxului util care nlnuie nfurrile rotorice din axa d (Lad), respectiv axa q (Laq), adic:Pe de alt parte, din condiia de egalitate a inductivitilor

mutuale dintre nfurrile statorice i cele rotorice din fiecare ax,

Ld*

= Ll*

+ Lad*

; Lq*

= Ll*

+ Laq*

rezult c

Lmd *

L'md *

, adic:

Lmd I fb 3 Lmd I sb

O modalitate de a defini curenii de baz ai nfurrilor rotorice o constituie egalitatea inductivitilor mutuale dintre nfurrile dispusen fiecare ax, exprimate n u.r. [KU94].Lsb I sb

2 L fb I fb

Astfel, din condiia Lad* = Lmd* = LmD*, rezult:respectiv

LI ad I ;

LI ad I2 3 2

fb L sb

Db L sbL fb I fb Lsb I sb2

md mD

nmulind ambii membri cu S

i innd seama c

iar din condiia Laq*

= LmQ*

se obine:

Laq I Ib Lsb I sb U sb

rezult c:

Qb sb

LmQi prin urmare sistemul unitilor relative este complet definit.

Acest sistem este cunoscut n literatura de specialitate ca

Tensiunea statoric de baz

U sb : se alege egal cu

sistemul unitilor relative Lad sau Xad reciproc [KU94], deoarece curentul de baz n oricare circuit rotoric este astfel ales nct s inducn fiecare faz o tensiune , n u.r., egal cu Lad*, adic aceeai tensiune

amplitudinea tensiunii nominale faz nul V ng a statorului, n V

sau kV.

2 1 ca i cea produs de un sistem trifazat, echilibrat de cureni statorici avnd valoarea de vrf egal cu 1.

U sb V ng

2Vng

U ng 3

U ng 3

Sinteza ecuaiilor generatorului sincron n uniti relative

Mrimile statorice de baz

Observaie: n u.r. amplitudinea tensiunii faz nul i valoareaefectiv a acesteia sunt egale ntre ele i egale cu valorile corespunztoare ale tensiunilor faz - fazV 2V V

3V U

2U U Puterea trifazat statoric de baz

Ssb

: se alege egal cu

U s* U V

U

puterea nominal trifazat

Sng

a generatorului, n VA sau MVA

sb 2Vng ng

3U sb

U sb

2U ng ng

. Curentul statoric de baz

I sb : este egal cu amplitudineaSsb Sng 3Vng I s,ng

3U ng Ing

(valoarea de vrf) curentului nominal statoric

I ng , n A sau kA

n care:

Sng

este puterea nominal aparent trifazat aS SI I ng 2I

2 ng

2 ng 2 Sbs ()

Vng

generatorului, n VA sau MVA;

tensiunea statoric nominal faz nul a

sb ng

3Vng

V ng32

3 Ubs

U ng

generatorului (valoarea efectiv), n V sau kV;

tensiunea statoric nominal faz faz a

Frecvena de de baz

50 sau 60 Hz.

fb : este egal cu frecvena nominal

Ing

generatorului (valoarea efectiv), n V sau kV;

curentul statoric nominal (valoarea efectiv), n A

sau kA,

Viteza unghiular (pulsaia)de baz

pulsaia nominal, n rad el./s

b 2fb

b : este egal cu

Viteza unghiular mecanic de baz mb , n rad/s

Curentul de baz

I fb , n A sau kA

2f b ()mb mb p

I La d I

Impedana de baz

Zb , n

fb

Lmd

Tensiunea de baz U fb , n V sau kVS S SU V

2V 3V V U 2

U fb sb ng Z sb ng ng ng ng ng ()

fb I I Isb

Isb

I ng

2Ing

3Vng Ing Sng

Impedana de baz

fb fb fb

Z fb , n Inductivitatea de baz

Lb , n H2L Z sb ()

U U U U Z fb fb fb fb

sb sbb

I fb U fb I fb SngObservaie: n u.r. valorile inductivitilor sunt egale cu cele ale reactanelor

Inductivitatea de baz

L fb , n HZ L fb L L b L X X

fb * * bLb b Lb

Zsb

Fluxul de baz fb , n W Fluxul de baz sb , n W

L I

Z

fb I

U

fb sb Lsb I sb

Zsb I sb

U sb

fb fb fb fbb bb b

Mrimile rotorice de baz

Mrimile de baz pentru nfurrile de amortizare D i Q

n sistemul unitilor relative Lad sau Xad reciproc, puterea de baz

Curenii de baz

I Db

i IQb

n A sau kA se determin pe bazapentru circuitelor rotorice este aceiai cu cea a circuitelor statorice,

adic puterea aparent trifazat nominal a generatorului.

Lcondiiei de reciprocitate a inductivitilor mutuale:

I Lad ()

Mrimile de baz pentru nfurarea de excitaie

DbmD

I sb Laq

LI

Ecuaiile circuitelor statorice n cordonate d,q,0()Qb I sbmQ

Celelalte mrimi de baz se determin cu relaii similare celor utilizate pentru calculul mrimilor de baz ale nfurrii de excitaie (se nlocuiete indicele f cu D, respectiv Q).

De exemplu, tensiunea de baz a nfurrii de amortizare D

LmQse determin cu relaia:

U d

RId

r q dt

Ecuaiile tensiunilorEcuaiile fluxurilor d d d U RI q q q r d dt d 0U0 RI0 dt d Ld Id Lmd I f LmD I D q q q mQ D L I 0 0 0 L I

+L I

U Db

SDb Ssb Sng I Db

I Db

I Db

Ecuaiile circuitelor rotorice n cordonate d,q,0

f f fIQ

Ecuaiile tensiunilorEcuaiile fluxurilorU R I d f dt R I d dt d 0 R I Q Q Q dt L I L I L If f f fD D md d D LD I D L fD I f LmD Id L I L IQ 0 D D D

Q Q Q mQ q

Iq Observaie: n studiile de stabilitate ale SEE se neglijeaz:Uqq t.e.m. de transformare

d d i

d q ;

LfD

Lmd

LmD

efectul variaiilor de vitez, adic se consider n ecuaiile statorice r 0n aceste condiii ecuaiile statorice devin:f D d

ID

IUf Udf

Axa d

Id