4_mathcadintro_ba1.ppt

7/18/2019 4_MathcadIntro_BA1.ppt

http://slidepdf.com/reader/full/4mathcadintroba1ppt 1/51

1

Introducere în Mathcad 14.0

2012

Masterat Biologie Aplicată 1

Conf. dr. Ioan Sîrbu

Prezentarea a 4-a



2

Mathcad: originar s-a inentat ca instru!entulstandard pentru calcul industrial "proiectare# inginerie$.

%-a dezoltat ca un !ediu opti! de calcul# analiză# sinteză &i- în cele din ur!ă - !odelare# pentru oricare do!eniue'peri!ental &i(sau teoretic "ecologia inclusi$.

%o)tul poate )i )olosit pentru cercetare# si!ulare# prognoză#educa*ie# !anage!ent# asistarea procesuluide luare a deciziilor etc.

+ste si!plu# elastic# adapta,il# precis# riguros# cu)acilită*i aansate de prelucrare# trans)or!are#calcul &i gra)ică.

+ste )olosit în toată lu!ea de către pro)esioni&ti din cele

!ai dierse do!enii.



3

Aantae:

- eprezintă /calea de !iloc/ în !odelare &i analiză "nu presupune cuno&tin*e aansate de !ate!atică# &i nici de in)or!atică con*ine nu!eroase proceduri# )unc*ii &i utilită*i de analiză &i gra)ică# ce pot )i

apelate &i !odi)icate# eitnd !unca de a!ănunt$.- Poten*ial e'tre! de diers &i )acil pentru calcul &i reprezentare gra)ică.

- %e îna*ă repede &i u&or.

- or!ulele sunt redate izual# în e'presie analogă celei de editare !ate!atică.



4

+'e!plu:

- într-un li!,a de progra!are# o )or!ulă arată ast)el:

'3"-B%56"B772-47A78$$("27A$

- într-un so)t care prelucrează )oi de calcul "5uattro# +'cel# 9otus etc.$# arată în genul: "B1%56"B17B1-47A1781$$("27A1$

- în Mathcad arată a&a:

x b− b

24a c⋅−+

:=

... adică ase!ănător cu! o scrie! pe ta,lă sau în caiet



5

- nu e'istă nici o sinta'ă co!plicată

- în ersiunile superioare se poate lucra att cu co!,ina*ii de taste# ct &i cu icoane &i !eniuri

- se pot include ,locuri de te't printre cele !ate!atice

- !eniurile generale sunt si!ilare celor din ;indo<s# respecti M% =))ice

- )or!ulele# te'tul# gra)icele &i rezultatele se pot solicita oriunde în pagină# prin si!pla selectare a pozi*iei cu autorul unui pointer "clic stnga pe !ouse$.



6

- Pe lngă )aptul că arată /,ine/# )or!ulele &i ecua*iile pot )i )olosite pentru a rezola orice tip de pro,le!ă care solicită calcul si!,olic sau

nu!eric.

- >n calcul si!,olic ecua*iile sau pro,le!ele con*in e'presii cu coduri al)anu!erice# etichete de

aria,ile &i para!etri nede)ini*i# iar rezultatul este redat tot în ter!eni de si!,oluri sau coduri.

+'e!plu: 3 3 2⋅ ⋅ ⋅ 2⋅

- >n calculul nu!eric rezultatul este un nu!ăr# o !atrice de alori sau - de e'e!plu - o )unc*ie de e'presie cunoscută. 546 23 10

3⋅+( ) 12 72+( )⋅

40 153 53−( )⋅

1282.416=

+'e!plu:



7

acilită*i gra)ice:

- reprezentări uni-# ,i- &i tridi!ensionale "1?# 2? &i @?$

- posi,ilită*i de prelucrare &i /cos!etizare/ aansată a gra)icelor

- posi,ilită*i de co!,inare a reprezentărilor

"rezultate# )unc*ii-solu*ie !ultiple etc.$ pe acela&i gra)ic

- posi,ilită*i de i!port a aplica*iilor gra)ice din alte so)turi sau aplica*ii ;indo<s.



8

- ?isponi,ilitate de !anuale electronice#

!eniuri aansate de autor &i tutoriale- Aplica*ii în de)inirea &i utilizarea o,iectelor

- +ditor de te't cu caracteristici &i per)or!an*e co!para,ile cu oricare altul "M% ;ord inclusi$

- 8o!,ină u&or &i opti! te't# gra)ice &i calcul într-un singur docu!ent

- u!eroase grupuri de discu*ii# portaluri# !anuale &i aplica*ii disponi,ile prin internet.



9

Mediul de lucru:



10

+ditare te't:

- scrie*i ceea ce dori*i# pur &i si!plu unde re*i

- selecta*i tastatura &i diacriticele corespunzătoare

- pute*i deschide &i închide ,locul de te't cu ghili!ele# dar acest lucru nu este o,ligatoriu de o,icei so)tul a recunoa&te regiunea de te't &i o a separa de cea rezerată pentru calcul

- tasta*i &i )or!ata*i te'tul si!ilar cu op*iunile din ;ord.



11

Pentru !odelare !ate!atică "prelucrare date#

analiză# sinteză# ealuare# trans)or!are# reprezentare gra)ică# si!ulare# prognoză etc.$#

selecta*i secen*a:

ie< C 6ool,ars C Math

Apare !eniul principal:



12

1. 8alculator — opratori aritmetici comuni.2. Draph— diferite facilităţi pentru grafice 2D i 3D.@. Matri'— operatori pentru !ectori i matrici.

4. +aluation— "im#oluri pentru e!aluare i atri#uire.E. 8alculus— deri!ate$ integrale$ "ume$ produ"e etc.F. Boolean— operatori comparati!i i logici pentru

e%pre"ii #ooleene.

G. Progra!!ing— rutine pentru programare.H. Dree— litere greceti.J. %K!,olic— cu!inte c&eie pentru calcul "im#olic.

1 2 @ 4 E F G H J



13

Meniul standard &i cel pentru )or!atare con*in

!ulte si!,oluri &i co!enzi )a!iliare# si!ilare cucele din aplica*iile ;indo<s.



14

- Meniurile principale &i secundare "detaliate$ pot )i alese# deschise sau închise# !utate prin tehnica

/drag and drop/ "trage &i aruncă$# a!plasate la dorin*a utilizatorului# ast)el înct să )ie la înde!nă &i totodată să nu deraneze )oaia de lucru.

- %o)tul cite&te de la stnga la dreapta &i de sus în os.- Mathcad per!ite inserarea de /regiuni/ "dreptunghiuri inizi,ile trasate de progra!$# oriunde în )oaia de lucru# care or con*ine )or!ule# ecua*ii# gra)ice sau te't.

- %electarea pozi*iei unei regiuni este la latitudinea operatorului prin pozi*ionarea !arcaului "pointerul$.



15

c 24:= a 46:= b 78:=

c semnifica numar comun de specii

a este numarul de specii din habitatul 1

b este numarul de specii din habitatul 2

Is este indicele de similitudine Sorensen

Is2c

a b+ 100⋅:=

Is 38.71=

+'e!plu de ,loc te't lngă unul de calcul

%e o,seră că !ai înti de)ini! para!etrii"constantele# codurile incluse în )or!ulă etc.$#apoi scrie! )or!ula cu codurile de)inite# utilizndoperatori de atri,uire# după care solicită! rezultatulprin operatorul de calcul.



16

Prescurtări cnd e'plică! căi# legături între icoane&i !eniuri# respecti algorit!i:

însea!nă că tastă! deodată "apăsă! pe douătaste în acela&i ti!p$

C se!ni)ică o ordine pentru etape succesie sau

taste

8lics însea!nă clic pe !ouse# ,utonul stnga

8licd acela&i lucru dar ,utonul din dreapta8licsdrag - *ine*i apăsat ,utonul stnga &i trasa*iun chenar(dreptunghi de di!ensiuni dorite "selectareaunei regiuni a )oii de lucru$.



17

%electare# copiere# &tergere &i !utarea regiunilor:

- 8lic s drag peste regiunea dorită "apar !arcae$

- 8opiere )izică cu 8trl8 ur!ată de 8trl

- Mutare directă cu !ouse "se pozi*ionează pointer-ul pe oricare !argine a regiunii# pnă apare un si!,ol ca o !nă de culoare neagră. 8licsdrag pnă la noua pozi*ie.

- Ltergere: cu tasta Delete sau si!,olul de )oar)ecă.



18

/Placeholder/ "rezerarea unui loc(spa*iu$este un !arca dreptunghiular# carerezeră un spa*iu pentru introducerea de

litere# ci)re sau e'presii de către operator.

=Apare i!ediat un placeholder# care indică )aptulcă so)tul a&teaptă să introduce*i o e'presie sau

o aloare pentru a.:3 este un si!,ol care se selectează din !eniu sau se)olose&te o co!,ina*ie rezerată de taste se scrie dela tastatură ca două puncte ur!ate de un egal

+'e!plu: tasta*i a &i operatorul de atri,uire



19

Pentru aobţine ...

... tastaţi: semniicaţie:

: ! : deiniţie sau atribuirea"b .. c a" " "b" # " c domeniu de $ariaţie redat ca: a $a%oare iniţia%&" b

$a%oarea urm&toare" iar c este $a%oarea ina%&

(x) ' " x sau ("x") parante&

x x " actoria%

a b a " * " b ridicare %a putere

+ x + + " x modu%" $a%oare abso%ut&" determinant

x , - x " , " - adunare

m n m " " n /mp&rţire

a.b a " " b /nmu%ţire

c " c minus# num&r neati$

a b a " " b mai mare dect

a b a " " b mai mic dect it , deiniţie %oba%&

xi x " 9 " i indice

xi" x " 9 " ( " i " ") indici dub%i

;< ; " =%t , matrice transpus&

> x =%t , ? " x sum& $ectoria%&

8tea co!,ina*ii de taste:



20

Apelarea funcţiei Semnificaţie

sin (x) sinus de

cos (x) cosinus de x

tan (x) t x

asin (x) arcsin x

acos (x) arccos x

atan (x) arctan x

exp (x) e x

%n (x) %oaritm natura% din x (%n x)

%o (x) %oaritm ecima% din x (% x)rnd (x) num&r a%eator cuprins /ntre 0 @i x

%entA ($) num&ru% e%emente%or $ectoru%ui $

max ($) ce% mai mare e%ement a% %ui $

min ($) ce% mai mic e%ement a% $ectoru%ui $

roBs (;) num&ru% %inii%or matricei ;

co%s (;) num&ru% co%oane%or matricei ;sort ($) ordonea& cresc&tor e%emente%e $ectoru%ui $

csort (;" n) aranea& %inii%e matricii ; aste% /nct e%emente%e co%oanei n s& ie /n ordine cresc&toare

rsort (;" n) aranea& co%oane%e matricii ; aste% /nct e%emente%e %iniei n s& ie /n ordine cresc&toare

mean ($) media aritmetic& a e%emente%or $ectoru%ui $

$ar ($) $arianţa e%emente%or %ui $

stde$ ($) abaterea standard a e%emente%or %ui $

corr $x" $ coeicientu% de core%a ie Pearson a %icat $ectori%or de date $x i $

8tea )unc*ii &i proceduri uzuale:



21

8nd gre&i*i# uita*i să de)ini*i un para!etrusau aria,ilă pe care o apela*i ulterior#

cnd scrie*i !inuni "cu! ar )i î!păr*ire la zero$#cnd ... realiza*i una din !iile de erori de logică!ate!atică sau de altă natură#

P=DAM9 N %+MA9+AON P=B9+MA 8=L LI +ON %N 8A989+O+ =I8+ MAI?+PA6+# PN 8? +=A+A +%6+8=+86A6N. ?A8N +?+QI =L > AQA =8RI9=# %+IQI ?+ I+ MAIA8=-?+P+%IN LI I8I

A+QI P=B9+M+ 8 +9 =P6I8. P LI%IMP9 AQI D+LI6 =I ?+A. %=69 A+I8I = IN P=OIQI=AQI P=I6+9 P+ %IMB=99=L# 8I6IQI M+%AS9 LI 8=+86AQI P=B9+MA.



22

2.4( ) x

2

⋅ 6.5 -

4

⋅−

3

expand 13.824 x

6

⋅ 112.320 x

4

⋅ -

4

⋅− 304.200 x

2

⋅ -

8

⋅ 274.625 -

12

⋅−+→

645 x⋅ 523 x2

⋅−

24 x⋅ simp%i-

215

8

523

24x⋅−→

320 16( ) x⋅ 15 x2

⋅−⋅ 24 x 14 x3

⋅−( )⋅−

26 x2

⋅ 16 24 x2

+( )⋅− 12x+

s imp %i- 4 x⋅ 637 600 x⋅− 42 x

2⋅+( )

5 x2

⋅ 1C2− 6 x⋅+( )⋅→

8alcul si!,olic:se scrie e'presia# ur!ată de un cunt cheie&i co!anda de calcul si!,olic " $

!ai si!plu: selecta*i cuntul cheie "sau cuintele#dacă dori*i !ai !ulte prelucrări$# apoi tasta*i+nter. %ăgeata "ealuarea si!,olică$ se adaugă auto!at



23

320 16( ) x⋅ 15 x2

⋅−⋅ 24 x 14 x3

⋅−( )⋅−

26 x2

⋅ 16 24 x2

+( )⋅− 12x+expand

2548 x⋅ 2400 x2

⋅− 168 x3

⋅+( )

5 x2

⋅ 1C2− 6 x⋅+( )→

320 16( ) x⋅ 15 x2⋅−⋅ 24 x 14 x3⋅−( )⋅−

26 x2

⋅ 16 24 x2

+( )⋅− 12x+so%$e x,

0

50

7

1

4263246⋅+

50

7

1

4263246⋅−

→

15 x⋅ -⋅

42 x⋅

16 -⋅− 24+

4x

3.Cx -⋅ 2.8 -⋅− 5.4 x⋅+ C+

so%$e x, -, .CC4C2736250727118307− 1.5342465753424657534( )→



24

=peratori de atri,uire:

:3 este un operator local "regional$ "aria,ila sau para!etrul se poate rede)ini altundea în )oaia de lucru$

T este un operator glo,al "are aloare pentru întreaga )oaie de lucru nu se !ai poate rede)ini$

=peratorul de calcul "ealuează &i a)i&ează rezultatul$

3 cite&te )or!ula sau eticheta din stnga#calculează sau ealuează e'presia antede)inită

&i a)i&ează rezultatul în dreapta.



25

8alcul iterati

Mathcad realizează calcul repetiti sau

iterati# la )el de si!plu ca &i calcululsingular. %e de)inesc aria,ile pe interal# cu! ar )i de e'e!plu:

i :31#2 .. 10sau :3 1# 1.E.. 10

în pri!ul caz i ia alori întregi de la 1 la 10# iar în aldoilea a lua alori la interal de 0.E# începnd cu 1# apoi1.E#2.0# 2.E etc. pnă la 10. ?acă i &i )ac parte din)or!ule sau e'presii# Mathcad a ealua pentru )iecarealoare în parte rezultatul corespunzător.



26

?e)inirea unei aria,ile de interal:

etichetă C operator de atri,uire C

C aloarea ini*ială "li!ita in)erioară a interalului$ C

C irgulă C pasul C

C două puncte "si!,ol selectat ! .. n din !eniu$

C C li!ita superioară a interalului.



27

?e)inirea unei )unc*ii:

- nu!e sau etichetă

- argu!entul "argu!entele$ în paranteză

- operatorul de atri,uire- e'presia !ate!atică

+'e!plu: t( ) e

t 1 a b+( )3−

−:=



28

eprezentare gra)ică 2?:a 20:= b 25:= c 35:= d 102:=

t 1 25..:=

t( ) et 1 a b+( )

3−

15.6 c d+( )2

−

:=

0 10 20

0

21.788

1−

t( )



29

or!atarea unui gra)ic

- du,lu clic pe regiunea gra)icului

- !odi)icarea op*iunilor în !eniu

1 2 3 4 51

0

10.C66

1−

t( )



30

Inserarea !ai !ultor )unc*ii pe acela&i gra)ic:

0 10 20 30 40 501

10

100

1 .103

1 .104

1 104⋅

1

autoAtoni

ad$enti$i

pradator i

500 t

3 3



31

eprezentare gra)ică @?

x -,( ) 12.5 3.4 sin x( )3⋅+ 2.C cos -( )

3⋅−:=

i 1 2, 14..:=

2 3, 16..:=

xi 2.1 3.5 i⋅+:=

- :

1.4 1.3 ⋅+:=

;i :, x

i-

:,( ):=

;



32

?iersitatea posi,ilită*ilor de reprezentare gra)ică@



33

?iersitatea posi,ilită*ilor de reprezentare gra)ică

@? a unei )unc*ii:- gra)ic de supra)a*ă#- nor de puncte- contur "izoplete$



34

ectori &i !atrici

?e)inirea unei aria,ile &ir:

1. Ini*ializarea pri!ului ter!en al &irului "i!plicit este ter!enul cu nu!ărul de ordine 0$

?acă dori! ca pri!ul ter!en al &irului săposede nu!ărul de ordine 1# se tastează:

=IDI T 1

2. ?e)inirea incre!entului

i :3 1 .. E

@. ?e)inirea aria,ilei &ir "etichetă# incre!ent# introducerea alorilor cu separatorul irgulă$

i 1 5..:=

xi

12

140

531

:=

=IDI T 1



35

Matrici:

;

:=



36

;

1.4

1.4

2.1

1.6

2.5

2

0.C

3.3

0

6.4

5.4

2

0

2.5

12.1

0

0

0

8

1.2

5

6.4

2

4.3

4.4

2.2

2

1.5

C.8

1

5.1

1.1

:=

%e co!pletează)iecare ter!en al!atricii "de latastatură sau prini!portare din alte

aplica*ii$.

6er!enul general al !atricii: Mi#

Apelarea unui ter!en:

M2#4 3 2.E "e'trage ter!enul

din linia 2 &i coloana 4$

i :3 1 .. E :3 1 .. H



37

=pera*ii cu !atrici



38

=peratori ,ooleeni:



39

Meniul arit!etic:



40

Meniul de calcul:

deriata de ordinul 1

deriata de ordin n

integrală de)inită

su!ăsu!ă

produs

produs

li!ite

integrală nede)inită



41

Aplica*ii pentrula,oratoare de !odelare

simp 0.481=D 0.421=E 1.3C7=d2 0.127=d1 2.373= F 6215=

D E

%2:=

simp i

Gi

Gi

1−

( )⋅

∑ F F 1−( )⋅

:=%2 %o ( )

%o 2( ):=

E

i

pi

%o pi( )

%o 2( )

⋅∑−:=

d1 1−

%o F( ):= d2

F:=

pi

Gi

F:= F

i

Gi∑:=

Hn aceste ormu%e sa uti%iat ie %oaritmu% ecima%" ie /n baa 2 pentrui%ustrarea modu%ui de scAimbare a baei

Hn urmItoare%e ormu%e d1 ! indice%e ;ara%e" d2 ! indice%e ;enAinicJ E ! AannonKiener" D ! ecAitabi%itate" simp ! impson

Gi

15

11

3870101

641

14812C

C1885

:=

i 1 ..:=

10:= semniicI numIru% de specii" G este $ariabi%a sir care contine numIru%de indi$ii prin care este repreentatI iecare specie /n probe" F ! numaru% tota% de indi$ii din probe.

LMNONF 1≡

1. Biodiersitatea U



42

Daca t calculat e"te mai mare decat !aloarea critica la ni!elul de a"igurare ale""i gl grade de li#ertate$ afinitatea e"te "emnificati!a.''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''

iab =% =t =

(e)ultate pentru anali)a de afinitate* ia#+indicele ,ager$ t+!aloare te"t$gl+ grade de li#ertate*

e3 =e2 =e1 =

3 =2 =1 =

a =d =; =

b c⋅ =a d⋅ =Aip =

(e)ultate - pentru ta#elul de contingenta

''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''

% na nb+ 2−:=

t tt:=

ttna nb+( ) 2 a⋅ 1−( )⋅

2 na⋅ nb⋅1−

na nb+ 1−⋅:=

iab2 a⋅

na nb+:=

nb a b+:=na a c+:=

ndicele de afinitate - ,ager

2. Analiza de asociere



43

@. 9ă*i!ea &i suprapunerea ni&elor

LMNONF 1≡ n 7:= J 5:=

: 1 n..:= i 1 J ..:= A 1 J ..:=

p

0.15

0

0.41

0

0.01

0.05

0

0.16

0.48

0.02

0.12

0.C4

0.10

0.02

0.01

0.43

0.06

0.05

0

0

0.17

0

0.05

0

0.24

0.08

0

0

0.5

0.31

0

0

0.23

0

0.41

:= a

:

0.05

0.07

0.01

0.120.2C

0.14

0.32

:=

p1 1, 0.15= acce"area unui termen al matricii

i

:

pi :,∑:=

!erificarea "umei pe linii a matricii de re"ur"e

1

1

1

1

1

=



44

/01231(/1 214.5.. 6.7/28(

Qi

1

:

pi :,( ) 2

∑

:=.ndicele 2e!in" - 9

Q=i

Qi

1−

n 1−:= .ndicele 2e!in" - 9 "tandardi)at

R<i

:

pi :,

a :

⋅∑:=.ndicele 7mit&

Ei

1

:

pi :,( )

2

a :∑

:= .ndicele :url#ert

EEi

Ei

min a( )−

1 min a( )−:= .ndicele :url#ert "tandardi)at

/(/ ;(;/( /( /<=</



45

/(/ ;(;/( /( /<=</

ndicele ;ian>a

Li A,

:

pi :,

pA :,

⋅

∑

:

pi :,( )

2∑

:

pA :,( )

2∑

⋅

:=

ndicele :ur#ert

SEi A,

:

pi :, p

A :,⋅

a :

∑:=

ndicele "tandardi)at : ?ir#u$ 2003@

Ei A,

:

a :

pi :, p

A :,⋅⋅( )∑

:

a : p

i :,⋅( )∑

:

a : p

A :,⋅( )∑

⋅:=

1 0.C88 0.C88 0.C5C 0.C88 0.881 0.C83



46

E

0.C88

0.C88

0.C5C

0.C88

0.881

0.C83

1

0.C67

0.C88

0.CC6

0.874

0.CC

0.C67

1

0.C46

0.C57

0.C2C

0.C58

0.C88

0.C46

1

0.C72

0.C

0.C66

0.CC6

0.C57

0.C72

1

0.834

0.CC4

0.874

0.C2C

0.C

0.834

1

0.822

0.CC

0.C58

0.C66

0.CC4

0.822

1

=

SE

1.118

1.203

0.C44

1.1C6

1.1CC

0.86

1.073

1.203

1.3C

0.C34

1.403

1.364

0.738

1.222

0.C44

0.C34

1.176

0.C87

0.8C7

1.525

0.C41

1.1C6

1.403

0.C87

1.43C

1.35C

0.845

1.256

1.1CC

1.364

0.8C7

1.35C

1.352

0.661

1.1C1

0.86

0.738

1.525

0.845

0.661

2.C64

0.487

1.073

1.222

0.C41

1.256

1.1C1

0.487

1.361

=

(/A/ / /*

Qi

2.124

1.547

2.38

1.409

1.675

2.279

1.293

= Q=i

0.375

0.182

0.46

0.136

0.225

0.426

0.098

= R<i

0.986

0.928

0.981

0.862

0.911

0.785

0.902

= Ei

0.894

0.72

0.85

0.695

0.74

0.337

0.735

= EEi

0.887

0.699

0.839

0.673

0.721

0.289

0.715

=



47

@. Modelare prin )unc*ii de interpolare splinecu,ice pe por*iuni

33

220 )()()()( iiiiiiii x xc x xc x xcc x P −+−+−+=

LMNONF 1≡ n 7:= i 1 n..:=

$x

i

0

1

3.5

6

C

12

15

:= $-

i

0

1.3

5.7

3.1

3.6

1.4

0

:=

!% + di"tanta fata de mal

!B + adancimea raului in punctul !%

!% "i !B repre)inta reteaua de noduri

f?%@ e"te functia de interpolare

g e"te "uprafata in "ectiune tran"!er"ala a raului

! + !ite)a de curgere a apei

de#it + de#itul raului ?in metri cu#i pe "ecunda@

s %sp %in e $ x $ -,( ):=

x( ) in terp s $ x, $-, x,( ):=

x 0.0 0.1, 15..:=



48

0 2 4 6 8 10 12 140

2

4

6

x( )

x

0

15

x x( )⌠ ⌡

d:= $ 2.3:= debit $⋅:=

40.C17= debit C4.10C=

10( ) 3.207= ;o"i#ilitatea e!aluarii !alorii functiei de interpolare intr-unpunct care nu apartine retelei de noduriC



49

Alte aplica*ii:

- ?ina!ica popula*ională în ti!p discret "ecua*ii recurente$

- ?ina!ica popula*ională în ti!p continuu "ecua*ii di)eren*iale$

- Modelarea rela*iilor interspeci)ice

- %i!ularea e)ectului trans)or!ării )olosin*elor

terenurilor- +)ectul introducerii de specii adentie

- Modelarea )lu'ului energetic

+ ti ă ,i l i ă i l i ă



50

- +'pertiză ,iologică &i ecologică

- Modelarea co!unită*ilor

- +'ploatarea dura,ilă a popula*iilor

- Analiza ia,ilită*ii popula*iilor "AP$

- Modelarea siste!elor

- %i!ularea dina!icii unui ecosiste!

- Asisten*a !anage!entului datelor e'peri!entale

- Analiza ,ioecono!ică

- Modele ale sta,ilită*ii siste!elor Multe altele

RA# RA# RAAAAA# R=AAAA# RAAA# RAAAA .....



RA# RA# RAAAAA# R=AAAA# RAAA# RAAAA .....

4_mathcadintro_ba1.ppt

Documents