III. Modelarea motorului pas cu pas3.1 Modelarea matematica a functionarii sistemului in regim dinamic In sistemele de actionare specifice mecatronicii (care presupun conditii de precizie dosebita) durata regimului tranzitoriu este aproximativ egala cu durata de regim. In cele mai multe cazuri comportarea dinamica a sistemului de actionare in regim tranzitoriu este foarte importanta, ea furnizand informatii despre timpii caracteristici si stabilitatea sistemului. Pentru calculul regimului dinamic se construieste un model matematic: Se consider c orice magnet poate fi nlocuit cu o nfurare fictiv. Dac avem un motor cu m faze, atunci acesta va fi deservit de m+1 circuite electrice (m circuite de comand pentru fiecare faz la care se adaug circuitul electric principal). Analogia mecanic electric se face considernd un sistem unitar cu m+2 coordonate generalizate (cte o ecuaie pentru fiecare dintre cele m faze la care se adaug o ecuaie de micare i o ecuaie a circuitului electric principal). Modelul matematic este de forma de mai jos:

unde:

- U este matricea tensiunilor pe faz:

- R este matricea rezistenelor pe faz:

- I este matricea curenilor pe faz i pe circuitul principal:

- matricea fluxurilor:

In cazul particular al motorului pas cu pas hibrid numarul de faze m = 2 sunt denumite a si respectiv b. Se considera ambele faze alimentate simultan. In acest caz, particularizand modelul matematic de mai sus, se pot scrie urmatoarele relatii:

unde: Laa, Lbb sunt inductivitati proprii fazei si Lab = Lba sunt inductivitati mutuale um unghiul de pas cu care se roteste arborele motorului Dr este coeficientul de frecare uscata Mem este cuplul electromagnetic

Daca se lucreaza in camp magnetic saturat, ceea ce presupune ca inductivitatile fie ele proprii sau mutuale depind atat de unghiul de pad cat si de curent. Din pacate dependenta inductivitate curent este greu de demonstrat, ea probandu-se in general prin masuratori.

Daca se lucreaza in camp magnetic nesaturat se considera ca inductivitatile depind numai de unghiul de pas (um). Curentii pe faza in acest caz variaza in functie de timp. Ne intereseaza cum variaza in timp curentii , precum si acceleratia si viteza unghiulara in faza de pornire. Pentru o mai mare usurinta in prelucrarea datelor primele doua ecuatii se pot rezolva matricial. Se poate vorbi astfel de o matrice a inductivitatior, a derivatelor acestora, o matrice a tensiunilor, o matrice a curentilor si a variatiilor curentilor. Se ajunge astfel la un sistem de ecuatii diferentiale de felul urmator:

Matricile intalnite in modelul matematic general se particularizeaza pentru cazul motorului pas cu pas hibrid alimentat cu doua faze. matricea inductivitatilor:

Inductivitatile mutuale:

unde: L0 este inductanta pe faza L0=0.0022H Lp este inductanta medie pe faza Lp=0.00005H pz este numarul de dinti rotorici pz=25 s este unghiul ntre doi poli statorici consecutivi s

= /2

matricea variatiilor inductivitatilor (in raport cu unghiul de pas)

matricea tensiunilor pe faza

matricea curentilor pe faza

Pentru rezolvarea acestui sistem de ecuatii diferentiale se apeleaza la metoda Runge Kutta. Pentru rezolvarea sistemului de ecuaii difereniale s-a utilizat mediul de lucru Matlab 6. Metoda de rezolvare aleas este Runge-Kutta, existent n mediul de lucru prin funcia ODE 23. Metoda const n integrarea unui sistem de ecuaii

difereniale pe un interval de timp cuprins ntre t0 i t1, inndu-se seama de condiiile iniiale a cror valori sunt date de vectorul Y0. ODE 23 returneaz o matrice n care: - prima coloana conine punctele la care este evaluat; - coloanele rmase conin valorile corespondente ale solutiei i primele sale n-1 derivate. Spre deosebire de alte metode , care integreaz n pai de mrime egal pentru a ajunge la o soluie , ode 23 examineaz ct de repede o soluie se schimb i adapteaz mrimea pailor si corespunztor. Ode 23 va folosi pai de mrime neuniform intern cnd rezolv ecuaia diferenial, dar va returna soluia n puncte distanate egale. Sistemul de ecuatii diferentiale este cuprins in functia ecdifRK.m care furnizeaza vectorul de necunoscute functiei ode23. function yp=ecdifRK(t,y) Dr=0.001; jr=0.0015; Mrr=0.0025; I=8.9; R=0.3; Ua=I*R; Ub=Ua; pz=25; taus=pi/2; L0=2.2*10^-3; Lp=0.05*10^-3; Lab=Lp*sin(2*pz*y(3)); Lba=Lab; L=[L0;L0]+Lp*[cos(2*pz*y(4));cos(2*pz*y(4)-2*pz*taus)]; Laa=L(1,1); Lbb=L(2,1);

Laaprim=-2*pz*Lp*sin(2*pz*y(4)); Labprim=2*pz*Lp*cos(2*pz*y(4)); Lbaprim=Labprim; Lbbprim=-2*Lp*pz*sin(2*pz*y(4)-2*pz*taus); L=[Laa Lab;Lba Lbb]; U=[Ua-R*y(1);Ub-R*y(2)]; Lprim=[Laaprim Labprim;Lbaprim Lbbprim]'; I=[y(1);y(2)]; yp(4)=y(3); x=(L^-1)*U-(L^-1)*Lprim*I*yp(4); yp(1)=x(1); yp(2)=x(2); yp(3)=0.5*(y(1)^2*Laaprim+y(2)^2*Lbbprim)/jr +y(1)*y(2)*Labprim/jr-Dr/jr*yp(4)Mrr/jr; yp=[yp(1) yp(2) yp(3) yp(4)]'; Vectorul necunoscutelor furnizate de functia ecdiRK.m este preluat de functia ode23.m care este echivalentul in Matlab al algoritmului Runge-Kutta. Functia ode23.m va furniza rezultatele sub forma numerica. Functia solutii.m va apela ode23.m si va interpreta in mod grafic rezultatele obtinute. function solutii [t,y]=ode23(@ecdifRK,[0 2],[0,0,0,0]); subplot(2,2,1);plot(t,y(:,1)); grid; ylabel('Ia[A]'); xlabel('timp[s]'); subplot(2,2,2);plot(t,y(:,2)); grid; ylabel('Ib[A]');

xlabel('timp[s]'); subplot(2,2,3);plot(t,y(:,3)); grid; ylabel('viteza unghiulara (omega)[rad/s]'); xlabel('timp[s]'); subplot(2,2,4);plot(t,y(:,4)); grid; ylabel(' unghiul motor (teta)[rad]'); xlabel('timp[s]') Functia solutii.m va furniza patru grafice care surprind variatia necunoscutelor in functie de timp respectiv: -

Ia = f(t) variatia in timp a curentului pe faza alfa Ib = f(t) variatia in timp a curentului pe faza beta = f(t) variatia intimp a acceleratiei unghiulare v= f(t) variatia in timp a vitezei unghiulareSolutiile furnizate de functia solutii.m pentru datele motorului sunt prezentate in

figura de mai jos:

In figura de mai sus este prezentat graficul ce descrie modul de variaie n regim tranzitoriu de pornire a celor patru marimi ce caracterizeaz funcionarea unui motor pas cu pas cu doua faze, i anume: curentul de excitatie pe faza intai (alfa) curentul de excitatie pe faza a doua (beta) viteza unghiulara a arborelui de iesire (omega) acceleratia unghiulara a arborelui de iesire (epsilon)

Datorita frecarilor de natura statica cat si a fenomenelor de saturatie ale campului magnetic exista patru zone de functionare in regim tranzitoriu. Se pot calcula timpii caracteristici sistemului de actionare in regim tranzitoriu.

Timpii caracteristici : timpul de prima stabilire reprezinta intervalul masurat din momentul inceperii pornirii pana cand marimea de iesire este egela pentru prima data cu marimea stationara (1.8 grade) te1; timpul de crestere reprezinta timpul necesar pentru ca motorul sa execute o

deplasare unghiulara egala cu 90% din valoarea stationara a deplasarii tc; timpul de incadrare initial reprezinta valoarea masurata de la inceputul procesului tranzitoriu pana in momentul in care parametrul se incadreaza pentru prima data in domeniul de toleranta admis tii;

-

timpul de incadrare final reprezinta valoarea masurata de la inceputul

procesului tranzitoriu pana in momentul in care parametrul se incadreaza definitiv in domeniul de toleranta admis tif. Motorul HY200-4247

te [S] 0.0113

tc [S] 0.01503

tii [S]0.9

tif [S]0.9

Analizand graficele de variatie ale celor patru marimi caracteristice ale sistemului de actionare in regim dinamic se poate constata ca: - curentul i se stabilizeaz la valoarea de 8 [A] din catalogul motorului ales; - curentul i se stabilizeaz la valoarea de 8 [A] din catalogul motorului ales ; - unghiul motor se stabilizeaz la valoarea de 1.8 din catalogul motorului ales; - viteza unghiular se stabilizeaz la zero. 3.2 Simularea functionarii sistemului de actionare pentru comanda in tensiune: treapta, rampa, sinusoidala Pentru studiul functionarii in regim tranzitoriu, pentru aprecierea stabilitatii si fiabilitatii sistemului de actionare se simuleaza functionarea acestuia pentru diferite tipuri de semnal(tensiune) , mai precis treapta, rampa si sinusoidal. Simularea functionarii sistemului se face in mediul Matlab pe modulul Simulink care are ca principal domeniu de lucru studiul diferitelor sisteme in regim dinamic. Simularea pleaca de la realizarea blocurilor de simulare. Datorita volumului mare de termeni al ecuatiei pentru realizarea schemei de simulare se vor forma subsisteme care apoi se vor conecta in scopul obtinerii sistemului final. Fundamentul matematic pe care se bazeaza simularea este acelasi ca si in cazul studiului in regim tranzitoriu. Practic trebuie reconstituite ecuatiile diferentiale care definesc caracteristicile dinamice ale sistemului de actionare. Pentru liniarizarea calculului ecuatia diferentiala ce furnizeaza variatia curentilor de faza se descompune in doua ecuatii prin efectuarea operatiilor intre matricile componente. Astfel ecuatia:

Functionarea sistemului de actionare va fi simulata pentru trei tipuri de semnal in tensiune: treapta, rampa si sinusoidal.

3.2.1 Schema de simulare pentru semnal treapta:

In urma simularii se obtin uramtoarele grafice: variatia in timp a curentului pe faza alfa;

-

variatia in timp a curentului pe faza beta;

-

variatia in timp a vitezei unghiulare;

-

variatia in timp a unghiului de comanda.

3.2.2 Schema de simulare pentru un semnal rampa:

In urma simularii se obtin urmatoarele grafice: variatia in timp a curentului pe faza alfa;

-

variatia in timp a curentului pe faza beta;

-

variatia in timp a vitezei unghiulare;

-

variatia in timp a unghiului de comanda.

3.2.3 Schema de simulare pentru un semnal sinusoidal:

In urma simularii se obtin urmatoarele grafice: variatia in timp a curentului pe faza alfa;

-

variatia in timp a curentului pe faza beta;

-

variatia in timp a vitezei unghiulare;

-

variatia in timp a unghiului de comanda.

Din graficele obtinute se pot trage aceleasi concluzii ca si in cazul studiului pe modelul matematic: - curentul i se stabilizeaz la valoarea de 8 [A] din catalogul motorului ales; - curentul i se stabilizeaz la valoarea de 8 [A] din catalogul motorului ales ; - unghiul motor se stabilizeaz la valoarea de 1.8 din catalogul motorului ales; Se poate observa chiar o stabilizare mai rapida decat cea obtinuta prin metoda de aproximare Runge-Kutta. Din graficele de simulare rezulta ca motorul ales se integreaza armonios in sistemul de actionare conferind acestuia o functionare relativ lina. Se observa ca nu exista nici abateri fata de valorile din catalog ceea ce inseamna ca motorul are un randament foarte bun.

3.3 Studiul stabilitatii sistemului de actionare

Unul dintre cei mai importanti parametri, atunci cand vine vorba despre un sistem de reglare automata, este stabilitatea acestuia. Stabilitatea presupune un echilibru reciproc al mrimilor fizice (fore mecanice, cupluri, tensiuni, cureni, presiuni, etc.) care apar in timpul functionarii sistemului de reglare automata. Stabilitatea statica porneste de la premisa ca intr-un sistem de actionare pot exista o infinitate de astfel de regimuri acionate, corespunztor diferitelor valori ale perturbaiei (sau ale mrimii de intrare), fiecare dintre ele reprezentnd o stare de echilibru static. Stabilitatea dinamic a sistemelor automate, reprezint stabilitatea regimului tranzitoriu al acestora. Pentru a vedea dac un sistem de reglare automat este stabil trebuie analizat rspunsul y(t) (deci variaia n timp a parametrului reglat) pentru o perturbaie exterioar (sau o variaie a mrimilor de intrare) limitat ca valoare. Un sistem automat este stabil dac, dup ce sub aciunea unei perturbaii exterioare (sau a unei vibraii la intrare ) i prsete starea de echilibru stabil, el tinde s revin n regimul stationar o dat ce perturbaia dispare. Sau, altfel spus: ntr-un sistem stabil, o perturbaie momentan i limitat genereaz un rspuns amortizat. Pentru un sistem instabil, rspunsul y(t) fie c tinde la infinit ndeprtndu-se continuu de valoarea yst, fie c execut oscilaii permanente n jurul valorii staionare a rspunsului, conducnd din punct de vedere matematic la depirea domeniului de valabilitate a ecuaiilor liniare, i fizic, n unele situaii, chiar la distrugerea obiectului reglrii. Diagrame Bode. Rezerva de stabilitate. Marginea de amplitudine Folosirea caracteristicilor de frecvent, amplitudine-pulsaie i faz-pulsaie (diagramele Bode) pentru evaluarea unui sistem de reglare automata permite, totodat determinarea rezervei de stabilitate a acestuia. Rezerva de stabilitate a unui sistem de reglare automata se evalueaz prin dou mrimi caracteristice i anume: rezerva de stabilitate n modul (numit i margine de amplitudine) i rezerva de stabilitate n faz (numit i margine de faz). Se numete margine de faz unghiul definit de relaia =180 grade + ( 0) unde 0 reprezint pulsaia critic (sau de tiere) la care amplitudinea( n decibeli) este nul.

Pe locul de transfer pulsaia 0 este determinat n punctul unde hodograful intersecteaz cercul de raz unitar. Pe diagrama logaritmic, amplitudinea corespunztoare pulsaiei 0 se determin la intersecia cu axa (de aici i numele de pulsaie de tiere). Marginea de faz se msoar fie prin unghiul corespunztor punctului de intersecie ntre locul de transfer i cercul de raz 1, n sens trigonometric, fie pe diagrama faz-pulsaie, fa de dreapta =-180 grade, la pulsaiile critice( 01, respectiv 02). Sistemul automat este stabil dac marginea de faz este pozitiv( > 0), iar rezerva de stabilitate se apreciaz n raport cu valoarea lui . Valorile uzuale ale lui sunt cuprinse ntre 20 i 30 grade. Pentru SRA cu rspuns bine amortizat se recomand

=(30 grade 60grade).Se numete margine de amplitudine (sau amplificare, sau ctig) inversa valorii atenurii la pulsaia pi pentru care =+180 grade. Astfel marginea de amplitudine mk se exprim n decibeli. Marginea de amplitudine este pozitiv dac mk>1, ceea ce nseamn |H( pi)| 0). Ne propunem n cele ce urmeaz s utilizm criteriul anterior menionat, pentru a determina stabilitatea sistemului de acionare ales la capitolul anterior, pentru aceasta vom utiliza mediul de simulare SIMULINK i anume schema de mai jos, format din urmtoarele blocuri: Generator semnal de tip de funcie treapt; Funcia de transfer a motorului dat de relaia:

-

Analizor de spectru. Elementele care intervin n funcia de transfer sunt:

-

Dr = coeficientul de frecare vscoas m

= Jm/Dr

R = rezistena pe o faz L = inductivitatea proprie L = L0+Lp cos(50 )

=1.8 cos( /2); Sistemul este stabil daca marginea de faza si marginea de amplitudine sunt pozitive. Rezerva de stabilitate se apreciaza in functie de valoarea lui (marginea de faza), care are urmatoarea formula:

=180 + ( 0)Rezerva de stabilitate se apreciaza in functie de valoarea lui . marginea de amplitudine:

Pentru a putea fi simulata functia de transfer se calculeaza parametrii acesteia:

Schema de simulare a functiei de transfer este:

In urma simularii se obtine diagrama Bode:

Din analiza spectrului se observa o variatie a fazei care se incadreaza in criteriul de stabilitate. In cazul amplitudiinii tendinta este buna dar curba nu se integreaza in norma de stabilitate deoarece marginea de amplitudine tinde la 0 dar nu este pozitiva. Pentru a putea afla cauzele instabilitatii sistemului se calculeaza polii functiei de transfer. Calculul este facut in fereastra de comanda Matlab: >> roots([1.22643e-3 0.189982 -1.24]) ans = -161.1794 6.2729 Conform teoriei stabilitatii sistemului o cauza a instabilitatii este existenta unui pol pozitiv. Influenta polului pozitiv poate fi anulata prin utilizarea unui regulator PID (proportional integrativ derivativ). Schema de studiu al stabilitatii devine:

Blocul functional PID din Simulink are urmatoarele particularitati:

Rezulta ca functia de transfer a unui regulator PID este:

Aceasta functie trebuie particularizata astfel incat sa anuleze polul pozitiv care provoaca instabilitatea sistemului. Parametrii regulatorului se determina pornind de la relatia in bucla deschisa a sistemului de reglare automata:

Functia de transfer a regulatorului poate fi pusa in cazul cel mai general sub forma:

unde:

Td, Ti1, Ti2 - timpi caracteristici ai SA p1, p2 polii functiei de transfer a sistemuluiPresupunem ca polul pozitiv este p2. Functia de transfer pe care regulatorul trebuie sa o aiba este:

Acesti parametrii se introduc in caracteristicile regulatorului PID din schema de simulare a functiei de transfer. Se va obtine o noua diagrama Bode: