32.

MODELAREA I CALCULUL CU ELEMENTE FINITE LA SOLICITRI VARIABILE - OBOSEAL

Primii constructori i utilizatori de maini au observat - pe la mijlocul secolului al 19-lea - c diverse dispozitive, instalaii, maini, structuri mecanice sau componente ale acestora, care rezistau foarte bine un interval de timp foarte lung (sau indefinit), la solicitri statice (constante n timp), cedau, se deteriorau sau se rupeau dup un timp relativ scurt de funcionare, dac solicitrile erau variabile n timp i dac se ndeplineau anumite condiii. Explicaia dat atunci acestei comportri a structurilor mecanice a fost c materialul obosete i n timp i modific caracteristicile mecanice de rezisten. n prezent se tie c mecanismele de cedare i rupere a diverselor structuri, realizate din diferite materiale, sunt foarte complexe i difer fundamental pentru cazul solicitrilor statice fa de cele variabile. Ca urmare a acestei situaii, s-au elaborat concepte, principii, metode de cercetare experimental i de calcul specifice analizei la solicitri variabile sau la oboseal, care au n vedere comportarea n timp a structurii. Ruperea sau cedarea prin oboseal este un ansamblu de fenomene complexe, cunoscute i elucidate n mare msur, dar care mai prezint unele aspecte neclare sau controversate. Oboseala este puternic localizat, adic se produce n zonele cu tensiuni i deformaii mari ale structurilor. O prezentare simpl, de principiu, a ruperii prin oboseal se poate reduce la urmtoarele (pentru detalii se vor consulta lucrri de specialitate ca, de exemplu, [1] [5] ): - oboseala este o acumulare a deteriorrilor, sau o rupere progresiv, adic structura respectiv se rupe cte puin la fiecare variaie a solicitrii; - pentru ca ruperea s aib loc prin oboseal, trebuie ndeplinite simultan o serie de condiii, dintre care eseniale sunt: solicitarea s fie variabil, s se produc tensiuni de ntindere (cel puin ntr-o etap a variaiei solicitrii) i deformaii plastice (cel puin la vrfurile fisurilor) [2]; - amorsarea fenomenelor de oboseal, se produce, de regul, pe suprafaa structurii, care este zona slab a acesteia; - comportarea la oboseal a unei structuri este influenat de o multitudine de factori, dintre care cei mai importani sunt: materialul, granulaia, anizotropia i neomogenitatea sa, solicitarea i modul de variaie a ei n timp (inclusiv variaii ale temperaturii), tehnologiile de fabricaie (sudare, achiere, forjare, tratamente termice i termochimice, deformri plastice la rece), dimensiunile, concentratorii de tensiuni, starea suprafeelor, condiiile de exploatare i de mediu, temperatura, existena unor defecte ale materialului (incluziuni, fisuri, goluri etc), producerea unor suprasolicitri de scurt durat, existena unor stri de tensiuni remanente etc. Dificultile analizelor la obosel provin din urmtorele surse: - complexitatea fenomenelor fizice implicate i corelaiile multiple dintre ele; - multitudinea factorilor de influen i posibilitati limitate de evaluare cantitativ, numeric a acestora; - determinrile experimentale necesare cunoaterii comportrii la oboseal, n diverse condiii, ale structurilor i materialelor sunt laborioase, dificile i costisitoare; - datele de intrare pentru analizele la obosel fiind afectate de incertitudini, uneori este necesar ca abordrile s se fac folosind conceptele i mijloacele statisticii matematice i ale calculului probabilistic, ceea ce presupune eforturi suplimentare n elaborarea modelelor de calcul i a procedurilor de analiz. Acest aspect este foarte clar evideniat de dispersia mare a rezultatelor ncercrilor la oboseal; - incertitudinile privind oboseala structurilor sunt, n general: fundamentale, care provin din complexitatea fenomenelor de obosel, de modelare, care i au sursa n simplificrile aduse realitii

307

i n aproximaiile privind valorilor parametrilor care intervin n calcul i statistice, legate de dispersia rezultatelor. Principalele surse de incertitudini sunt: ncrcarea, caracteristicile materialului, geometria structurii, metodele i modelele de calcul (care includ i modelrile i analizele cu elemente finite); - n practica inginereasc fenomenele de oboseal apar ca efecte ale unor solicitri dinamice complexe, ca: vibraii, ocuri repetate, variaii ale temperaturii, sarcini care se aplic structurii cu o anumit vitez de variaie sau secvene repetitive avnd diverse componente dinamice i statice. n concluzie, pentru a modela i analiza corect o problem de oboseal, trebuie, n prealabil, determinate secvenele solicitrilor variabile care pot produce sau nu deteriorarea structurii prin oboseal. Pentru modelrile i analizele la oboseal, studierea condiiilor de apariie a fisurilor i a evoluiei acestora, este mai clar i mai eficient dac se asociaz cu conceptele i mijloacele de investigaie ale mecanicii ruperilor. n acest fel se poate urmri evoluia fisurilor n timp i se poate estima momentul cnd acestea pot pune n pericol integritatea structurii. Acest demers se justific prin aceea c toate structurile reale au defecte, amorse de fisuri sau chiar fisuri.

Definiii, ipoteze, concepte, principii, legi Obiectivele calcului la oboseal. Pentru un ansamblu de solicitri cunoscute, variabile n timp, aplicate unei structuri (sau piese) definit complet (ca dimensiuni, form, material, tehnologie, condiii de exploatare etc) analiza la oboseal poate aborda i rezolva urmtorele probleme mai importante: a. Determinarea valorii coeficientului de siguran la durabilitate nelimitat, adic pentru funcionare sigur un interval de timp nedefinit. b. Estimarea probabilitii de cedare a structurii, adic a funcionrii sigure a structurii un anumit interval de timp, cu o probabilitate determinat, constituie o variant a tipului precedent de analiz. c. Determinarea duratei de via, a durabilitii sau a intervalului de timp n care structura va funciona sigur, adic pentru care coeficientul de siguran are garantat valoarea prescris. Se face distincie ntre durabiliti limitate mari i mici. d. Determinarea rezistenei la deteriorare controlat (fail-safe), const n evaluarea prin calcul i supraveghere direct a siguranei n funcionare, la un moment dat, a unei structuri care are un defect cunoscut, de exemplu, o fisur. Se monitorizeaz evoluia n timp a defectului (sau a defectelor) respectiv, cu scopul de a ti, n fiecare moment, dac structura mai poate sau nu funciona n siguran. Acesast abordare a problemei siguranei n exploatare a structurilor a dus la introducerea conceptului de toleran la deteriorare, care este proprietatea unei structuri cu fisuri sau alte defecte, de a-i pstra rolul funcional, sigur, un interval de timp prestabilit (de exemplu, pn la eliminarea defectului). n prezent, aceast metod beneficiaz de cele mai noi realizri ale sistemelor electronice de msurare i telemsurare, integrate n sisteme de calcul i este tot mai mult folosit pentru supravegherea structurilor de importan deosebit ca: agregate energetice nucleare, vehicule pentru zboruri spaiale, rachete, submarine, echipamente de proces pentru industria chimic, poduri etc. Tipuri de solicitri variabile. Solicitrile variabile evolueaz ntr-o foarte mare varietate de tipuri, forme i parametri, cu un anumit specific pentru fiecare tip de main, instalaie, dispozitiv sau element componet al acestora. Pentru a face posibil studierea i elaborarea algoritmilor, relaiilor de calcul, modelelor etc, pentru efectuarea unor analize la oboseal, se consider urmtorele categorii de solicitri variabile: a. Solicitrile variabile ciclice staionare reprezint variaii ale unui parametru al solicitrii, de

exemplu, tensiunea normal , ntre aceleai limite, max i min, constante n timp, modul de variaie repetndu-se, un interval de timp nedeterminat, ca n figura 32.1. Variaia tensiunii de la o valoare oarecare pn la aceei valoare i cu acelai sens de variaie, se numete ciclu de solicitare variabil. Pentru o solicitare staionar ciclurile se reproduc un Figura 32.1

308

interval de tip nedefinit. Solicitrile ciclice staionare sunt ntr-o mare msur teoretice, deoarece se ntlnesc n realitate relativ rar. Mai frecvent, se aproximeaz prin astfel de cicluri unele solicitri variabile, care se apropie de acestea. Mrimile care se definesc pentru un ciclu de solicitri variabile sunt: tensiunea maxim max, tensiunnea minim min, tensiunea medie m = (max + min) / 2, variaia tensiunii = max - min, amplitudinea tensiunii a = / 2 = (max - min) / 2, coeficientul de asimetrie R = min / max, caracteristica ciclului k = a / m = (1 R) / (1 + R). Se observ c max = m + a i min = m - a. n funcie de valorile pe care le pot avea mrimile definite mai sus, ciclurile au urmtoarele denumiri: - ciclu alternant tensiunea i schimb semnul, adic max i min au semne diferite (R0) ; - ciclu alternant simetric tensiunea m = 0, i max = - min (R = -1); - ciclu pulsant sau pulsator una dintre valorile extreme ale tensiunii are valoarea zero, adic fie max = 0, fie min = 0. Dac ciclul este de ntindere, R = 0, iar dac este de compresiune R = - . Este benefic pentru nelegerea unor aspecte practice i teoretice ale problemelor de oboseal s se interpreteze un ciclu oarecare ca o suprapunere a dou solicitri: una cu un ciclu alternant simetric, cu amplitudinea a i una static, cu intensitatea m. Se spune c ciclul alternant simetric reprezint partea variabil, iar solicitarea static, partea constant a solicitrii. Practica modelrii i analizei la oboseal a demonstrat c frecvena ciclurilor de solicitri variabile influeeaz ntr-o foarte mic msur comportarea structurilor. Din acest motiv, toate demersurile au n vedere numrul ciclurilor n i nu frecvena sau timpul. Se pot avea n vedere, dac este cazul, urmtoarele aspecte, privind frecvena ciclurilor [4]: - dac frecvena este ntre 1 i 100 Hz, influena este neglijabil, la temperatura camerei;

- dac frecvena este sub 1 Hz, influena este nefavorabil, dar foarte mic; - la frecvene peste 100 Hz, influena este uor favorabil. Influena frecvenei poate deveni semnificativ dac solicitarea se produce n condiii de coroziune sau fluaj. b. Grupuri de cicluri cu amplitudine constant, care se repetet de un anumit numr de ori, formnd blocuri sau secvene de solicitri variabile, ca n figura 32.2. Pentru blocul din figura 32.2, grupurile au respectiv: n1 cicluri cu amplitudinea tensiunii a1, n2 cu a2 i n3 cu a3 .

Figura 32.2

Ciclurile din figura 32.2 sunt alternant simetrice. Uneori, diversele grupuri de cicluri de solicitri variabile pot fie compuse din cicluri nesimetrice, care au tensiunea medie nenul i cu valori m i a diferite pentru fiecare grup, ca n figura 32.3. n acest caz, se determin, pentru fiecare grup i, amplitudinea asi a ciclurilor alternant simetrice echivalente (care produc aceleai deteriorri n structur), cu relaia [3]:

)1.32(,)/1/( rmiaiasi = n care s-au notat: amplitudinea ai i tensiunea medie mi pentru grupurile cu ni cicluri nesimetrice, iar cu r rezistena la rupere (ultimate strength) a materialului la ntindere static. Deoarece deteriorrile produse de ciclurile nesimetrice sunt mici, blocului de cicluri considerat trebuie s i se adauge un ciclu

309

alternant simetric care are amplitudinea egal cu valoarea cea mai mare a tensiunii maxime max a ciclurilor care compun blocul respectiv.

n lucrarea [1] se face precizarea c ciclurile care au tensiunea medie nenul, prezint un interes practic deosebit. c. Solicitri ntmpltoare sau aleatoare nestaionare, care se produc ntre limite variabile i dup legi oarecare. Aceasta este situaia real a solicitrilor n exploatare a majoritii mainilor i instalaiilor. Pentru a se putea, n aceste condiii, s se elaboreze metode i modele de calcul, se fac nregistrri, pentru diverse categorii de maini i instalaii, n condiii reale de funcionare, ale unor mrimi care pot oferi informaii pentru calcule: tensiuni,

deplasri, fore, acceleraii, viteze, deformaii, temperaturi, frecvene etc.

Figura 32.3

Prelucrarea nregistrrilor obinute este laborioas i de regul are mai multe etape i urmrete, unul sau mai multe dintre urmtoarele obiective: - identificarea i separarea solicitrii de baz (de exploatare), de cea perturbatoare, care de obicei reprezint vibraii aleatoare, de intensitate relativ mic, comparativ cu solicitarea de baz, ceea ce, frecvent, justific neglijarea efectului lor. Separarea se face prin filtrarea vibraiilor i este relativ uor de fcut dac cele dou solicitri sunt independente statistic; - determinarea i numrarea unor secvene de solicitare sau evenimente (event) ale solicitrii,

Figura 32.4

care se repet, denumite i solicitri aleator ordonate. Acestea se consider cicluri neregulate i pot avea orice form, ca n figura 32.4;

- elaborarea istoriei ncrcrii (loading history), care const n precizarea evenimentelor sau blocurilor de solicitare, succesiunea i numrul lor. n figura 32.5 se prezint un exemplu, n care s-au definit evenimentele 1, 2, 3 i frecvenele (numrul) lor n1, n2, n3 ; - numrarea ciclurilor, care const n descompunerea i reasamblarea n cicluri a variaiei solicitrii i definirea, cu acestea, a unor grupuri i blocuri de solitri variabile i

stabilirea numrului acestora.

Figura 32.5

Curba de durabilitate la oboseal. Pentru a ti cum se comport la oboseal un material, se fac ncercri pe maini speciale, cu cicluri de amplitudine a i coeficient de asimetrie R constant, pe epruvete netede (lustruite, fr concentrator). Cele mai frecvente sunt ncercrile cu cicluri alternant

310

simetrice, pentru care: m = 0, R = -1 i a = / 2 = max . ncercrile se fac pe loturi de mai multe epruvete identice (minimum 10), cu amplitudine (a sau max), diferit pentru fiecare epruvet i se determin N - numrul de cicluri la care epruveta a cedat (s-a rupt). Perechile de valori a - N se reprezint prin puncte ntr-un sistem de coordonate. De obicei, tensiunea se reprezint n ordonat, la scar natural i durabilitatea sau numrul de cicluri, n abscis, la scar logaritmic, ca n figura 32.6. Prin (sau printre) punctele respective se definete o curb, denumit curba de durabilitate, curba S N, - N sau curba lui Whler. Limita la oboseal. Curbele de durabilitate ale diferitelor materiale au urmtoarele forme [4]:

- curbe care au o limit inferioar (un palier orizontal) pentru tensiuni, ca n figura 32.6.a, denumit limit de oboseal sau rezisten la oboseal care se noteaz cu R. Acest limit apare pentru durabiliti N* 2x106 cicluri, la oeluri cu rezisten mic, ncercate n medii necorozive; - curbe cu alura continuu

descresctoare, care nu au palier pentru tensiuni, ca n figura 32.6.b. n acest caz se definete o limit de oboseal convenional, care este valoarea amplitudinii tensiunii corespunztoare unei anumite durabiliti, de exemplu, N = 2 x 107 sau 108 cicluri. Acesta este cazul celor mai multe metale i aliaje i pentru toate materialele, cnd solicitarea are loc n medii corosive.

Figura 32.6

Rezistena la durabilitate limitat. Pe orice curb de durabilitate se poate determina N, rezistena la durabilitate limitat, care este valoarea max a tensiunii maxime a ciclurilor de solicitri variabile, care poate fi suportat pentru o durabilitate de N cicluri. Cu ct max crete, durabilitatea scade, dependena fiind puternic neliniar. n prezent, din considerente economice, proiectarea i calculul structurilor la durabiliti din ce n ce mai mici prezint un interes deosebit. Sunt situaii cnd se au n vedere durabiliti doar de cteva cicluri, cum este cazul rachetelor balistice sau al pneurilor trenurilor de aterizare ale avioanelor supersonice. Deoarece s-a constatat c mecanismele de producere a ruperilor prin obosel sunt foarte diferite pentru durabiliti limitate mari comparativ cu cele mici, acestea se analizeaz distinct. Convenional, se consider c durabilitatea sau durata de via este: lung - pentru N cuprins ntre 106 i 107 sau mai mult; medie pentru N ntre 104 i 105; scurt pentru N ntre 102 i 103 sau mai puin. Durabilitatea sau durata de via de tranziie [3]. Pentru a evidenia unele aspecte ale fenomenelor de oboseal, importante din punct de vedere practic, este util studierea dependenei tensiune - deformaie, pentru un ciclu de solicitri variabile. Un astfel de ciclu se prezint n figura 32.7, n care

Figura 32.7 Figura 32.8

311

se remarc fenomenul de histerezis, care permite separarea componentelor deformaiei totale : elastic e i plastic p ( = e + p). n funcie de amplitudinile acestor trei deformaii, n figura 32.8 se dau curbele de durabilitate log(2Nf), n care 2Nf este numrul de inversiuni pn la rupere (inversiunea este modificarea sensului de variaie a tensiunii sau deformaiei n timpul solicitrii variabile). Din analiza figurii 32.8 rezult c cele dou curbe de durabilitate trasate pentru deformaia elastic e i pentru cea plastic p se intersecteaz nrt-un punct (n care e = p) a crui abscis corespunde unui numr de cicluri Nt, corespunztor durabilitii sau duratei de via de tranziie. Nt depinde de material i are valori cuprinse ntre 103 i 105 cicluri, pentru materiale de nalt rezisten i de 106 cicluri, pentru materialele cu rezisten redus. Durabilitate mare i mic. Durabilitatea de tranziie Nt permite definirea a dou domenii de durabilitate: - pentru N > Nt - domeniul durabilitilor mari; - pentru N < Nt - domeniul durabilitilor mici. Durabiltile mari presupun c tensiunile au valori relativ mici, astfel nct curgerile locale sunt nensemnate sau lipsesc. n aceast situaie oboseala poate fi studiat numai pe baza tensiunilor. n domeniul durabilitilor mici, tensiunile au valori mari, astfel nct efectele curgerilor sunt determinante. n acest caz modelarea i analiza fenomenelor de oboseal trebuie fcut n funcie de deformaii. Pentru durabiliti mici trebuie avut n vedere faptul c dependena tensiune numr de cicluri este putenic neliniar, deci este posibil ca pentru variaii relativ mici ale tensiunilor s aib loc variaii apreciabile ale durabilitii. De asemenea, n acest caz efectele incertitudinilor pot fi mai mari. Diagrame de durabilitate sau ale ciclurilor limit. Pentru a putea oferi proiectanilor metodologii i

relaii de calcul la oboseal, se elaboreaz, pentru diverse materiale i condiii de solicitare (ntindere, ncovoiere, rsucire, solicitri compuse etc) sinteze ale rezultatelor ncercrilor la oboseal sub forma unor diagrame.

Figura 32.9

Diagramele de durabilitate se traseaz folosind rezultatele oferite de diagramele tensiune durabilitate obinute pentru un anumit material, prin serii de ncercri cu coeficieni de asimetrie n intervalul de valori 1 R < 1. Fiecare epruvet este supus unor cicluri de solicitare cu aceei amplitudine, pn la realizarea unui numr prestabilit de cicluri (de exemplu 106), sau pn la fisurarea, cedarea sau ruperea epruvetei. Mrimea de control este, de regul, tensiunea din zona cailbrat, de seciune minim, a epruvetei. ncercrile se execut pe seturi de epruvete cu aceei form i dimensiuni, realizate n condiii bine definite (cuantificate numeric), pentru programul de ncercare propus. Cele mai utilizate diagrame sunt: Smith - trasat n coordonate m, max , min i Haigh n coordonate m, a. n figura 32.9 sunt reprezentate aceste dou diagrame i corespondenele dintre ele. Este sugestiv i diagrama spaial din figura 32.10, care n plane paralele cu planul m, a definete diagrame de tip Haigh, iar plane paralele cu planul N, a, curbe de durabilitate. De asemenea, se mai folosesc diagrame de

312

durabilitate n coordonate max - R sau a k. Pentru a reduce numrul de ncercri, sau pentru c nu exist informaii, frecvent se folosesc diagrame schematizate, care au neajunsul c duc la rezulatate acoperitoare, adic se pierde o bun parte a capacitii de rezisten la oboseal a materialului. Pentru fiecare tip de diagram de durabilitate se folosesc mai multe variante de schematizare (simplificare), n funcie de diverse condiii: material, solicitare etc,

pentru fiecare stabilindu-se relaii de calcul pentru coeficienii de siguran sau durata de via a piesei sau structurii care se modeleaz i se analizeaz la solicitri variabile.

Figura 32.10

Consideraii fundamentale pentru proiectare Pentru proiectarea sigur i economic a structurilor supuse unor solicitri variabile trebuie avute n vedere cel puin urmtorele considerente [4]: a. Influena solicitrilor variabile n procesul de oboseal este determinat de amplitudinea i numrul variaiilor solicitrii pe durata de via a piesei sau structurii. Pentru solictri date, particularitile constructive i de execuie ale structurii se manifest prin valorile locale ale amplitudinii tensiunii, determinate de geometria acesteia, precum i de calitatea suprafeelor, defectelor etc. b. Indicatorii care pot defini performanele i fiabilitatea structurii sunt, de regul: raportul dintre capacitatea de ncrcare sub solicitri variabile i greutatea proprie, durata de funcionare fr reparaii, adaptabilitatea la monitorizare activ, costul remedierilor sau reparaiilor etc. c. Pentru domenii specifice (utilaje energetice, motoare cu ardere intern, vehicule, avioane etc), trebuie avute n vedere condiii tehnice i economice bine precizate, ca de exemplu: - Proiectare pentru durat de via nelimitat (peste 106 cicluri). Se folosesc valori ale tensiunilor admisibile la oboseal, obinute prin mprirea limitei la oboseal a materialului cu un coeficient de siguran. La elaborarea proiectului trebuie gsite cele mai eficiente soluii pentru ca valorea local a tensiunilor s nu depeasc rezistena admisibil la oboseal. De regul se are n vedere optimizarea formei, alegerea tehnologiilor, precizri i restricii ale condiiilor de exploatare etc. Este cazul, mai ales, al componentelor (organelor de maini) ale unor motoare, transmisii de for, sisteme de rulare la vehicule de toate tipurile i categoriile etc. - Proiectare pentru durat de via limitat (sub 106 cicluri), cnd solicitrile sunt intense (cu amplitudine mare). Se fac calcule de verificare la oboseal pentru zonele cele mai solicitate ale structurii. De regul, se au n vedere amplitudinile maxime ale deformaiilor specifice i / sau ale tensiunilor echivalente, care sunt comparate cu valorile care se se determin pe curba de durabilitate (de referin) a materialului, corespunztoare duratei de via dorite. Pentru durate de via mai mici de 106 cicluri, pe curbele de durabilitate tensiunile au variaii mari n funcie de numrul ciclurilor de solicitare, ceea ce permite considerarea unor valori ale tensiunilor admisibile mai mari dect n cazul durabilitii nelimitate. Astfel de calcule se fac, de exemplu, pentru cazane i recipiente sub presiune, pentru poduri rutiere i de cale ferat, asiuri de vehicule etc. - Proiectare pentru deteriorare controlat. Se aplic pentru structuri de mare complexitate cu fiabiliate determinat, pentru care se admite c acestea au anumite defecte (fisuri) nc de la intrarea n exploatare. Trebuie ca pe perioada de via normat, Nn, evoluia proceselor de fisurare s fie

313

controlat, astfel nct nici o fisur s nu ating lungimea critic, care s pun n pericol sigurana n funcionare i / sau integritatea structurii. Modelul de calcul i analiza au n vedere valoarea iniial a defectului i corelarea lui cu geometria structurii, tehnologia de execuie, solicitrile i condiiile de exploatare. Se determin numrul, Nc, al ciclurilor de solicitare pentru care defectul, avut n vedere, crete pn la dimensiunea critic, pentru care se produce cedarea sau ruperea structurii. Coeficientul de siguran va avea valoarea c = Nc / Nn. Acest procedur se aplic, de exemplu, pentru: structuri de aviaie, reactoare, cazane de abur, schimbtoare de cldur sau recipiente puternic solicitate, rotoare de turbine, platforme de foraj etc.

Calculul obinuit la solicitri variabile Pentru componentele i organele mainilor i instalaiilor se face un calcul de verificare la solicitri (simple sau compuse) variabile staionare, de regul, pentru durabilitate nelimitat. Este cazul arborilor drepi i cotii, roilor dinate, cuplajelor, arcurilor, tijelor, bolurilor etc. Aceste calcule se fac pornind de la diagrama de durabilitate sau a ciclurilor limit a materialului, pentru care se elaboreaz o diagram schematizat, simplificat, pe baza creia se stabilesc relaii de calcul pentru coeficientul de siguran, ca raportul dintre rezistena la oboseal a materialului (tensiunea maxim a ciclului limit) i tensiunea maxim a ciclului de solictri variabile din pies. Dificultatile majore care apar n aceste situaii sunt legate de evaluarea numeric a influenelor numeroilor factori care determin comportarea piesei la oboseal. Diagramele ciclurilor limit sunt ale materialului adic au fost obinute prin ncercri pe epruvete netede (fr concentrator), cu suprafaa lustruit i pentru o anumit dimensiune, standard, de regul 10 mm. Determinarea valorii coeficientului de siguran la solicitri variabile pentru piesa considerat presupune ca piesa i epruveta s fie comparabile, n ceea ce priveete comportarea la oboseal. n acest scop rezistena la oboseal a materialului se corecteaz cu diveri factori, care in seama de particularitile piesei: tipul concentratorilor, dimensiunile, calitatea suprfaelor etc. Relaiile de calcul sunt, n final, relativ simple, dificile fiind demersurile de determinare ale valorilor factorilor de corecie. Acestea se caut n tabele, se determin grafic n diagrame sau nomograme, se calculez cu formule empirice etc. Din aceste motive, n programele cu elemente finite, de regul, nu sunt implementate proceduri pentru astfel de calcule, ci altele, mai generale, aplicabile unor structuri complexe, modelate cu elemente finite. Calculul la solicitri variabile reale Structurile de rezisten ale dispozitivelor, mainilor, instalaiilor etc sunt solicitate, de regul, n exploatare, cu sarcini care au variaii ntmpltoare, aleatoare. Pentru determinarea duratei de via n aceste condiii s-au elaborat dou metode de calcul: a cumulrii deteriorrilor i a rezistenei n exploatare. Programele cu elemente finite conin module de analiz la oboseal, bazate pe prima metod, care se va prezenta n cele ce urmeaz. Cumularea deteriorrilor [5]. Deteriorarea unei structuri este o modificare fizic a acesteia, detectabil printr-un procedeu oarecare, care i altereaz comportarea estimat. De exemplu, reducerea seciunii unei piese sau apariia unor fisuri. Dac o fisur se consider drept criteriu pentru definirea deteriorrii, acesteia i se poate asocia un parametru cantitativ, de exemplu, lungimea. Lungimea fisurii corespunztore cedrii, scoaterii din uz sau ruperii structurii se numete lungimea critic a acesteia. Raportul dintre lungimea fisurii la un moment dat i lungimea sa critic, se consider, de obicei, o msur a deteriorrii structurii. n consecin, o solicitare care nu produce propagarea (creterea lungimii) fisurii nu deterioreaz structura. Acest criteriu poate fi acceptat pentru durabiliti mici, pentru care stadiul iniierii fisurii este scurt, comparativ cu cel al propagrii. Pentru durabiliti mari (N > 105 cicluri) mai mult de 90 % din durata de via este consumat de iniierea i transformarea microfisurilor ntr-o fisur detectabil. n aceste condiii, pentru solicitri cu amplitudine constant, se face ipoteza c fiecare ciclu contribuie n mod egal la deteriorarea care

314

progreseaz pn la rupere. Dac durabilitatea unei structuri, pentru o solicitare dat, este de N cicluri, aportul unui ciclu la deteriorarea care produce cedarea este 1/N, iar un numr de n cicluri

produce deteriorarea D = n / N, ruperea prin oboseal producndu-se cnd n = N, sau D = 1. Criteriul Palmgren Miner. Calculul deteriorrii pentru solicitri variabile formate din cicluri cu amplitudini diferite se face pe baza adoptrii uor criterii, dintre care cel mai utilizat este criteriul Palmgren Miner, de cumulare liniar a deteriorrilor (Miners rule). Criteriul face ipoteza c ntr-o solicitare cu amplitudini variabile, ciclurile cu o anumit amplitudine, produc aceleai deteriorri, indiferent de succesiunea acestora, adic nu exist influene ntre ciclurile cu parametri diferii. De exemplu, pentru o structur solicitat de blocul de cicluri din figura 32.2, format din trei grupuri (secvene) de cicluri cu amplitudine constant, deteriorarea produs se calculeaz cu relaia

D = n1 / N1 + n2 / N2 + n3 / N3 = (ni / Ni), (32.2) n care: Ni este numrul de cicluri la care structura cedeaz, dac este solicitat cu amplitudinea ai i ni este numrul de cicluri care solicit efectiv structura cu amplitudinea ai (figura 32.11). Structura cedeaz cnd

D = (ni / Ni) = 1. (32.3) O secven de solicitare realizat din n1 cicluri de amplitudine a1, n2 cicluri de amplitudine a2, . . . , nk cicluri de amplitudine ak, produce deteriorarea

=

=k

1iii N/n*D . (32.4)

Numrul de secvene N suportate de structur pn la rupere, se determin din condiia N D* = 1, din care rezult

N = 1 / D*. (32.5) Rezult c pentru calculul duratei de via a structurilor cu relaiile (32.4) i (32.5) trebuie cunoscute: - numrul de cicluri n1, n2,. . . , nk pentru fiecare

amplitudine a1, a2, . . . , ak, care se determin pe baza istoricului secvenei, obinut prin msurri n condiii de exploatare, pe structura analizat, sau n alt mod;

Figura 32.11

- numrul de cicluri pn la rupere N1, N2, ... , Nk, pentru ncercarea la oboseal cu amplitudine constant, corespunztoare amplitudinilor a1, a2, . . . , ak, deduse pe baza curbei S N a durabilitii la oboseal. Pentru oelurile care au limit la oboseal, ca n figura 32.6.a, ciclurile cu amplitudinea sub aceasta, adic cu a < R , nu se iau n considerare. Criteriul Palmgren Miner are dezavantajul c liniarizeaz un fenomen neliniar, dar datorit simplitii, este criteriul cel mai utilizat. Determinrile experimentale au exideniat neconcordane ntre duratele de via prezise pe baza acestui criteriu i cele obinute prin ncercri, dar ordinul de mrime al celor dou valori este acelai. Numrarea ciclurilor. Pentru determinarea duratei de via a structurilor pe baza metodei cumulrii deteriorrilor, este necesar cunoaterea ciclurilor componente ale solictrii, care, n cazul cel mai general, are o variaie oarecare. Pentru aceasta, s-au adaptat metode specifice teoriei semnalelor, care, nu iau n considerare variabila timp ci au n vedere numai amplitudinea i configuraia secvenei semnalului. Metoda picturii. S-au elaborat mai multe metodologii de numrare a ciclurilor, cea mai utilizat fiind metoda picturii de ploaie (rain - flow), propus de Matsuishi i Endo, deoarece conduce la rezultate confirmate experimental. Pentru determinarea ciclurilor de solicitare pentru o secven dat, se presupune c un ciclu este format din mulimea valorilor prin care trece tensiunea ntre dou extreme, o dat n sens cresctor i o dat n sens descresctor. Diferena valorilor extreme max,i - min,i = ri (ecartul de tensiune) definete

315

treapta de solicitare care se repet de ni ori n cadrul sevenei considerate. Treptele de solicitare se mpart n clase. Pentru dou clase consecutive, diferena ri ri-1 = este o constant, stabilit iniial. Treapta de solicitare s-a notat r. Toate ciclurile care satisfac condiia ri-1 < r ri aparin clasei i. Se prezint metoda picturii de numrare a ciclurilor, pentru secvana de solicitare din figura 32.12.

Figura 32.12

Constituirea ciclurilor se obine prin parcurgerea tuturor ramurilor graficului de variaie a tensiunii n timp o singur dat.

Figura 32.13

Se fac urmtoarele operaii: a. Se numerotez vrfurile de tensiune, pe graficul secvenei considerate, n ordinea n care apar (fig. 32.12); b. Se alege ca origine a graficului, cel mai mare extrem pozitiv; partea de grafic cuprins ntre momentul iniial i extremul considerat se va plasa n continuarea ultimului punct marcat al graficului, ca n figura 32.13;

c. Graficul se aeaz cu axa timpului vertical, ca n figura 32.14 i se asimileaz cu profilul unui acoperi n trepte. Un semiciclu de solicitare este compus din poriunile udate de o pictur de ploaie care pornete dintr-un vrf al graficului i ajunge fie pe sol, fie ntr-un punct n care ntlnete o ramur udat de o pictur anterioar. Se ncepe din punctul corespunztor celui mai mare extrem pozitiv i se parcurg toate ramurile, o singur dat.

Figura 32.14

n figura 32.14 se prezint secvena din figura 32.13, pe care s-au trasat cu linie ntrerupt traseele picturilor de ploaie care definesc semiciclurile. S-au notat cu aceei cifr roman cele dou picturi ataate aceluiai ciclu, meninndu-se numerotarea din figura 32.13. n tabelul 32.1 se dau treptele de solicitare ri ale ciclurilor identificate. d. Se grupeaz ciclurile pe clase de solicitare, obinndu-se frecvena ni de apariie a treptei ri; rezultatele se dau n tabelul 32.2. Curba durabilitilor la oboseal, obinut pentru ncercri cu cicluri de amplitudine constant,

316

permite determinarea numrului de cicluri Ni pn la rupere, corespunztoare ecaratului de tensiune ri. Dac se noteaz cu N* numrul de cicluri considerat ca baz a ncercrii (vezi figura 32.6.a) i cu *, ecartul de tensiune corespunztor, curba durabilitilor la oboseal poate fi aproximat, pentru r *, de ecuaia

)5.32(.const*)(*NN mmr ==

32(.const*)(*NN 2m2mr == ++

n care exponentul m i ecartul * se determin experimental. Pentru solicitri cu amplitudine constant, sub limita de oboseal, pentru care r < *, numrul de cicluri

pn la rupere este infinit, adic ciclurile respective nu produc deteriorri n structur.

Tabelul 32.1Numrul traseului

din figura 32.14

Treapta de solicitare ri a ciclului

[N/mm2] I 80 II 10 III 80 IV 20 V 40 VI 20

Ciclurile cu ecart r > * produc amorsarea microfisurilor n materialul structurii i efectul lor nu poate fi neglijat. n acest caz, pentru considerarea deteriorrilor produse de cicluri cu amplitudinea sub rezistena la oboseal, curba durabilitilor n zona r < * se aproximeaz prin ecuaia

)6. n coordonate logaritmice, ecuaiile (32.5) i (32.6)

reprezint drepte cu pantele 1/m, respectiv 1/(m + 2), ca n figura 32.15.

Tabelul 32.2

Clasa Treapta de

solicitare, ri [N/mm2]

Frecvena ciclurilor

ni1 10 1 2 20 2 4 40 1 8 80 2

Pentru construcii sudate, de exemplu, la care frecvent comportarea la oboseal este determinat de suduri, pentru calculul duratei de via a podurilor, n standardul britanic [6], se recomand valorile m i * din tabelul 32.3, n funcie de tipul mbinrii sudate i de o anumit probabilitate de rupere avut n vedere, pentru N* = 107 cicluri. Din relaiile (32.5) i (32.6) rezult: - pentru ri *, Ni = N*( * / ri)m; - pentru ri *, Ni = N*( * / ri)m+2. Valorile Ni astfel calculate permit determinarea deteriorrii D* produse de o secven de solicitare dat (relaia (32.3)) i

numrul N de secvene, care pot duce la ruperea prin oboseal (relaia (32.4)).

Figura 32.15

Tabelul 32.3 *, [MPa]

Probabilitatea ruperii

Descrierea mbinrii

m 50 % 31 % 16 % 2.3 % 0.14 %

Suduri longitudinale cap la cap sau de col, continue

4

124

117

111

100

90

Suduri longitudinale, discontinue 3.5 102 96 89 78 68 Suduri transverale cap la cap 3 74 68 63 53 45

Suduri transverale cap la cap sau n cruce 3 69 63 57 47 39 Suduri longitudinale sau transversale n T

sau de col, intermitente 3

50

46

42

35

29

Suduri de col, n cruce sau laterale 3 39 36 34 29 26

317

Modelarea i analiza la obosel cu elemente finite Complexitatea fenomenelor implicate n cedarea, scoaterea din uz sau ruperea prin oboseal a structurilor, precum i numeroasele incertitudini i dificulti privind evaluarea numeric a factorilor care influeneaz durabilitatea unei structuri care este supus unor sarcini variabile, au dus la situaia c modulele de calcul din programele cu elemente finite permit abordarea numai a anumitor tipuri de modelri i analize. Acestea au posibiliti limitate i sunt aproximative, estimarea abaterilor de la soluiile exacte fiind foarte dificil. Avantajele oferite de MEF sunt: - generaliatea, adic se pot face analize pentru structuri orict de complicate, supuse unor ncrcri foarte diverse (inclusiv solicitri termice); - geometria modelului (definirea formei, discretizarea, alegerea elementelor finite, condiiile de rezemare etc) este aceeai ca i pentru celelalte tipuri de analize, deci nu trebuie elaborat un model special pentru analiza le oboseal; sunt necesare doar unele comenzi specifice i date privind sarcinile variabile i unele caracteristici la oboseal ale materialului. Observaie. Avnd n vedere c amorsarea sau iniierea deteriorrii (ruperii) prin oboseal a unei structuri este local, modelul cu elemente finite destinat unei astfel de analize trebuie s aib o discretizare foarte fin n zonele cu valori i gradieni mari ai tensiunilor, pentru a obine rezultate cu un nivel de ncredere satisfctor. Dac nu este posibil elaborarea iniial a modelului cu satisfacerea acesei cerine, se poate apela la o procedur de discretizare adaptiv sau de rafinare a discretizrii iniiale, sau la o submodelare. Majoritatea programelor cu elemente finite ofer, n procedura de baz, cel puin urmtoarele posibiliti de modelare i analiz la oboseal, de regul, n acord cu norme i standarde care se aplic curent n practica inginereasc, cele mai cunoscute fiind [7] i [8]: a. Procedurile au ca baz teoria cumulrii deteriorrilor i criteriul Palmgren Miner. b. Numrarea ciclurilor se face (de regul, n afara programului), prin metoda picturii. c. Curba de durabilitate se definete prin puncte, n coordonate semi-logaritmice a log N, sau dublu logaritmice, pentru materialul structurii, n codiiile solicitrii la oboseal cu cicluri alternant simetrice. d. Solicitarea variabil se definete prin grupuri i blocuri de cicluri alternant simetrice, pentru fiecare grup precizndu-se numrul ciclurilor i un factor de multiplicare (scale factor) care se asociaz strii de tensiuni, obinut pentru un anumit caz de ncrcare, pentru calculul static, liniar sau neliniar. Dac solicitarea real conine i alte categorii de cicluri dect alternant simetrice, acestea se transform cu relaia (32.1) n cicluri echivalente, alternant simetrice. De regul, aceast operaie nu este inclus n programul MEF. e. Pentru modelul definit astfel, programul MEF calculeaz, cu relaiile (32.2) (32.5), numrul secvenelor de solicitri avriabile pn la ruperea structurii. f. Unele programe oferit posibiliatatea ca pentru solicitri care duc la deformaii plastice, s se fac o linarizare a variaiei tensiunii ntr-o seciune a structurii i s se calculeze la oboseal i zona respectiv. g. Programele au implementate module de post-procesare cu care se pot prezenta clar i sugestiv rezultatele obinute.

Exemplu Se prezint calculul duratei de via a unui pod rulant portic de mari dimensiuni, pentru care, ca urmare unor neajunsuri constatate n exploatare, pentru structura de rezisten a podului, s-a fcut calculul de verificare cu elemente finite (la proiectare s-au fcut calcule cu metodele tradiionale) i apoi, n codiii reale de funcionare, s-au efectuat msurtori de tensiuni (deformaii specifice), deplasri i acceleraii. Podul are dou crucioare, care se pot deplasa independent sau cuplate, fiecare putnd ridica o sarcin de 4000 kN. Deschiderea podului este de 36 m. Deoarece nlimea maxim necesar de

318

ridicare a sarcinii nu putea fi asigurat de amplasarea corespunztoare a cii de rulare, a fost necesar o construcie portic, adic podul are un sistem de rezemare cu picioare, similar unui portal. Grinzile longitudinale i cele transversale, de capt, sunt construcii cheson, cu diafragme i diagonale de rigidizare, asamblate prin sudur. Greutatea total a construciei este de 2471 kN. Sistemul de rezemare i antrenare al podului a fost conceput cu articulaii corespunztoare astfel nct rezemarea s fie static determinat. Aceast msur a avut n vedere prevenirea unor solicitri suplimentare, necontrolabile, produse de neregularitile cii de rulare, care are o lungime foarte mare precum i o ct mai uniform repartizare a sarcinii pe roile sistemului de rulare. Configuraia general a podului se prezint n figura 32.16, n care nu sunt reprezentate crucioarele, iar sistemul de rezemare este schematizat.

Figura 32.16

Modelul de calcul este reprezentat n figura 32.17, n care este redat i schema constructiv a sistemului de rezemare-antrenare.

Figura 32.17

319

Modelul a fost realizat cu 532 noduri, 487 elemente shell4 i 211 elemente beam, care au 18 tipuri de seciuni. Grosimile tablelor din care a fost realizat construcia sunt ntre 10 i 60 mm. Sarcinile care ncarc modelul sunt: - greutatea proprie a construciei: 2471 kN; - greutatea proprie a celor dou crucioare: 6100 kN; - sarcina la crligele celor dou crucioare: 8000 kN; - greutatea echipamentului electric de comand, acionare i protecie a fost considerat ca o presiune p=0.0038 N/mm2, aplicat pe suprafaa superioar a uneia dintre grinzile longitudinale, ca n figura 32.17. Valorile tensiunilor echivalente von Mises n noduri, obinute pentru solicitarea static, se prezint n figura 32.18.

Figura 32.18 Figura 32.19

Deoarece determinrile experimentale nu s-au putut efectua cu sarcina maxim i pentru c funcionarea podului presupune ridicarea i deplasarea unor sarcini cu diverse valori aleatoare Tabelul 32.4

n timp, estimarea solicitrilor variabile pentru care s-a fcut calculul duratei de via a podului a fost laborioas. S-au avut n vedere mai multe variante, cea mai acoperitoare fiind secvena din tabelul 32.4. S-a avut n vedere un singur caz de ncrcare al modelului, 7 grupe diferite cu cicluri alternant simetrice, cu numerele i valorile factorilor de

ncrcarea numrul

Grupul de cicluri nr.

Numrul de cicluri

Factorul de multiplicare

1 3 2

1

10 0.3

3 2.3 4

2

20 0.7

5 3 35 0.4 6 4 8 2.5 7 5 55 0.85

multiplicare din tabelul 32.4. Diagrama durabilitii la oboseal, pentru cicluri alternant simetrice, a materialului din care a fost executat podul, s-a definit prin 7 puncte i se prezint n figura 3.19, n coordonate semi-logaritmice. Harta cu numrul secvenelor de solicitri variabile, n diverse puncte ale modelului, la care va rezista structura se prezint n figura 32.20.

320

Figura 32.20

Bibliografie

1. Dieter E.G.Jr., Metalurgie mecanic, Editura Tehnic, Bucureti, 1970. 2. Madayag A.F., Metal Fatigue: Theory and Design, John Wiley & Sons, New York, 1969. 3. Pan T., Pastram t.D., Integritatea structurilor metalice, Editura Fair Partners, Bucureti, 2000.

4. Rusu O., Teodorescu M., Lacu-Simion N., Oboseala metalelor - Baze de calcul, vol. 1, Editura Tehnic, Bucureti, 1992. 5. Rusu O., Teodorescu M., Oboseala metalelor Aplicaii inginereti, vol. 2, Editura Tehnic, Bucureti, 1992. 6.*** BS 5400, Part 10, 1980, Steel, Concrete and Composite Bridges. Code of Practice for Fatigue, British Standard. 7.*** ASME Boiler and Pressure Vessel Code, Section III, Division 1, Subsection NB, Edition 1983. 8.*** ASME Boiler and Pressure Vessel Code, Section III, Division 1, Appendices, Edition 1989.

321

MODELAREA I CALCULUL CU ELEMENTE FINITELA SOLICITRI VARIABILE - OBOSEALComplexitatea fenomenelor implicate n cedarea, scoaterea diAvantajele oferite de MEF sunt:- generaliatea, adic se pot face analize pentru structuri o- geometria modelului (definirea formei, discretizarea, alegObservaie. Avnd n vedere c amorsarea sau iniierea deterMajoritatea programelor cu elemente finite ofer, n procedu

Exemplu