531

1. Integrale improprii. Proprietti generale. De

R este local integrabil pe I, dac i numai dac,

a, b

e [a, ), dac i

numai

gular) este local

integra

1. Func , mrginit este local integrabil pe I, dac i numai

local integrabil pe [a, ), atunci pentru

finiia VII.2.

1) Funcia f: I

I cu a < b, f este inegrabil Riemann pe [a, b] I.

2) Funcia f : [a, ) R este local integrabil p

dac, u > a, f este integrabil pe [a, u] [a, ) .

3) Funcia f : [a, c) R (cu x = c punct sin

bil pe [a, c), dac i numai dac, pentru u > a, f este integrabil

pe [a, u] [a, c).

Observaii:

ia f : I R

dac, f este continu a.p.t. pe I.

2. Dac f : [a, ) R este

u > a, cu u variabil i asociem lui f integrala Riemann

(VII.10) ( ) ( )notu

af x dx F u=

numit integral parial.

u f : (, b] R, local integrabil se asociaz

pentru

cazul f : R f local integrabil pe R, se asociaz pentru

u, v

n mod analog pentr

v < b cu v variabil, integrala parial:

(VII.10') ( ) ( )not b= . vG v f x dx

n R,

R, cu v < u variabili, integrala parial:

(VII.10") ( ) ( ), .notu

vf x dx H u v= .

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

532

efiniia VII.3.

1] Fie f l integrabil i u > a variabil. Dac exist limita

D

: [a, ) R loca

finit

(VII.11) ( ) ( ) ( )1 1lim lim ,notu

au ua

f x dx F u I f x dx I

= = = R

atunci spunem c, integrala improprie ( )a

f x dx

este convergent sau

c are sens n R i valoarea ei este I1.

st sau este infinit, integrala

improprie

Dac limita (VII.11) nu exi

( )a

f x dx

este divergent sau nu are sens.

2] Fie f : (, b] local integrabil i v < b variabil. Dac exist limita

finit

(VII.12) ( ) ( ) ( )2 2lim lim ,bnotb

vv vf x dx G V I f x dx I

= = = R

atunci spunem c, integrala improprie ( )b

f x dx este convergent sau

c are sens n R i valoarea ei este I2.

st sau este infinit, integrala

improprie

Dac limita (VII.12) nu exi

( )b

f x dx este divergent sau nu are sens.

3] Fie f : R R local integrabil i u, v R variabili cu v < u. Dac

vv vu u

dx H u v I f x dx I

+ +

exist limita finit

(VII.13) ( )u

f x ( ) ( )3 3lim lim , ,not

= = = R , ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

atunci spunem c, integrala improprie ( )f x dx

este convergent sau c

are sens n R i valoarea ei este I3.

Dac limita (VII.13) nu exist sau este infinit integrala improprie

( )f x dx

este divergent sau nu are sens n R.

Definiia VII.4.

1o] Fie f : [a, c) R cu x = c punct singular, f local integrabil [a, c) i u

variabil, cu a < u < c. Dac exist limita finit

(VII.14) ( ) ( ).

1 1lim lim ( ) ,cnotu

au c u cau c u c

f x dx F u J f x dx J

< >

= = = R ,

atunci spunem c, integrala improprie ( )c

af x dx

+ este convergent sau c are sens n R i valoarea ei este J2.

Dac limita (VII.15) nu exist sau este infinit, integrala

improprie ( )c

af x dx

+ este divergent sau nu are sens.

533

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

3o] Fie f : (a, c) R cu x1 = a, x2 = c puncte singulare, f local integrabil

pe (a, c) i u, v (a, c) variabili cu a < v < u < c. Dac exist limita finit

(VII.16) ( ) ( ) ( )3 3lim lim , ,notu c

v av a v au c u c

f x dx H u v J f x dx J

+

= = = R ,

atunci spunem c, integrala improprie ( )c

af x dx

+ este convergent sau c are sens n R i valoarea ei este J3.

Dac limita (VII.16) nu exist sau este infinit, integrala

improprie ( )c

af x dx

+ este divergent sau nu are sens. Exemple:

1o ( ) ( )00 0 0lim lim ' limu u ux x xu u ue dx e dx e dx e = = = u =xe dx

( )0

lim 1 1uu

e

= = convergent, cu valoarea 1.

2o ( ) ( )11 1lim lim limu ux x x uu u ue dx e dx e e e = = = = +

1

xe dx

este divergent.

3o ( )11 1

ln lim ln lim lnu u

u uxdx xdx x x x

= = =

( ) ( )1

lim ln 1 lim ln 1 1 lnu u

u u u u u xdx

= + = + = este

divergent.

4o 2 21lim lim arctg

4 4 2

uu

vv vvu u

dx dx xx x

2

= = = + +

( ) ( )1 1 1 1lim arctg arctg arctg arctg2 2 2 2 2 2vu

u v

= = + =

534

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

12 2 2 2 = =

2 4dx

x

+ este convergent, cu valoarea 2 .

5o 1

0 01 1 01

lim lim 2 11 1

uu

u uu

dx dx xx x

= = =

[ ]1

00lim 1 ln 1 lnv

v v v xdx+

= + = este convergent, cu valoarea -1.

7o cu 0 i 0; limu

a a a u

dx dxa x dxx x

> > = = a x dx =

11 1

ln ; pentru 1 ln ln ; pentru 1lim lim 1 1 11 ; pentru 1; pentru 1 11

u

a

uu u

a

x u a

x u a +

= = = =

( ) 1

; pentru 1; pentru 0 1

1 ; pentru 11 a

= <

=

a

dxx

este convergent pentru > 1, cu valoarea ( ) 111 a

i

divergent pentru 1.

8o ( ) ( )

( )cu 0; limc c u

a a au cu c

dx dx c x dxc x c x

= =

535

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

( )

( ) 1ln ; pentru 1

lim 1 ; pentru 11

u

a

u cu c

c x

c x +

1), iar 1

0

dxx+

este convergent ( = 12

< 1).

Observaii:

1. Integralele improprii pe interval necompact, cu f : [a, c) R, c +,

sunt de dou tipuri:

I pentru c = , avem ( )a

f x dx

de tip I sau integral pe

interval nemrginit.

II pentru c R finit i x = c punct singular al lui f, avem

( )c

af x dx

de tip II sau integral improprie din funcie nemrginit (n limita superioar).

536

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

2.Prin schimbarea de variabil ( ) ( ) ( ), t c ax t tc t

= =

cu ,

intervalul [a, c) este aplicat pe [a, ) i la fel

[ )( )1 ,C a c

( )1 cxt xx c a

= =+

aplic

[a, ) pe [a, c). Din acest motiv se are n vedere, n continuare, doar teoria

integralelor improprii cu interval nemrginit (de tip I).

3. Dac ( )2b

I f x dx

= este convergent atunci prin schimbarea de

variabil x = t, se obine ( ) 1b f t dt I

= . Toate aspectele studiate

pentru ( )1 aI f x dx

= vor fi valabile i pentru ( )2b

I f x dx

= , n caz de convergen.

Teorema VII.6. (Formula de reducere)

Fie f : R R o funcie local integrabil pe R.

(i) Dac ( )3I f x dx

= este convergent, atunci a R sunt convergente

integralele ( ) ( )1 2ia

aI f x dx I f x dx

= = i are loc formula de

reducere:

(VII.17) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 1a

af x dx f x dx f x dx I I I

= + = +

(ii) Dac exist a R astfel nct integralele improprii ( )2a

I f x dx

= i

( )1 aI f x dx

= sunt convergente, atunci este convergent integrala

improprie ( ) 3f x dx I

= i are loc formula de reducere (VII.17).

Demonstraia se bazeaz pe rezultatul cunoscut de la integrala

definit: dac f este integrabil pe [v, u], atunci a cu v < a < u, f este

integrabil pe [v, a ] i pe [a, u] i are loc egalitatea:

537

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( ) ( )u a u

v v a

f x dx f x dx f x dx H u v G v F u= + = +

Folosind apoi definiiile integralelor improprii i proprieti ale limitei de

funcii, se deduc direct afirmaiile (i) i (ii) i formula (VII.17).

Observaii

1. Pe baza teoremei de reducere i a formulei (VII.17) se pot studia doar

integralele improprii pe interval nemrginit (de tipul I), de forma

( )1 aI f x dx

= .

2. Integrala improprie ( )a

f x dx

este convergent, dac i numai dac,

exist a' a astfel nct integrala improprie ( )a

f x dx

este convergent,

cci ( ) ( ) ( ) ( )( )u a u u

a a a a

F u f x dx f x dx f x dx A f x dx

= = + = + , cu AR i,

din definiia integralei improprii convergente, se obine echivalena n

cauz.

3. n aplicaii se ntlnesc integralele improprii mixte: intervalul de

integrare este nemrginit i integrandul are cel puin un punct singular;

convergena acestora se analizeaz prin izolarea punctelor singulare i

trecerea la limit n fiecare termen independent, adic se face reducerea la

tipurile precizate prin teorema VII.6 i observaiile de mai sus.

Exemple ( )

( )( )01cu : 0, , ( )

1 1dx f f x

x x x+

=x+ + R , x = 0 punct

singular. Fie > 0, ( )0

f x dx

+ (de tip II) i ( )f x dx

(de tip I).Avem:

( ) ( )2 0 00lim

1 1vvv

dx dxJx x x

+ >

= =+ + x i

538

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

( ) ( )1lim

1 1u

u

dx dxIx x x

= =

+ + x i:

( )2 lim 2arctg uvJ x = iar ( )1 lim 2arctg uuI x = . Deci:

( )2 1 202arctg , 2arctg ,

1dxJ I Jx x

+= = = +

+ 1I = .

Definiia VII.5

Fie f : [a, ) R o funcie local integrabil.

1) Integrala improprie (de tipul I) ( )a

f x dx

este, prin definiie, absolut

convergent, dac i numai dac, integrala improprie ( )a

f x dx

este convergent.

2) Integrala improprie (de tipul I) ( )a

f x dx

se numete simplu

convergent sau semiconvergent, dac i numai dac, ( )a

f x dx

este

convergent i ( )a

f x dx

este divergent (dac ( )a f x dx

este convergent i nu este absolut convergent).

Teorema VII.7 (Criteriul lui Cauchy)

Fie f : [a, ) R local integrabil. ( )a

f x dx

este convergent, dac i numai dac, satisface condiia Cauchy:

( )( ) ( )

( )0

''

0 '

0, orict de mare dorim a.. ', '' [ , ), cuVII.18

' ''u

u

u u

u u u f x dx

>

< <

u a

Demonstraie. Conform definitiei, ( )a

f x dx

convergent exist

539

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

0 0

lim lim ( ) 0, 0 orict de mare dorim

cu 0 a.. , i ( ) ( ) ( )

T.Cauchy-Bolzano

Ru

u ua

u

u

f x dx F u u

u u u u u u F u F u f x dx

= > >

> < < < <

(VII.18).

Consecina VII.1

Fie f : [a, ) R local integrabil i care are limit la +. Dac

( )a

f x dx

este convergent, atunci (n mod necesar) ( )lim 0x f x = .

Demonstraia este o consecin imediat a teoremei Cauchy

(teorema VII.7).

Consecina VII.2

Fie f : [a, ) R o funcie local integrabil. Dac integrala improprie

( )a

f x dx

este absolut convergent, atunci ea este convergent. Demonstraia este direct. Din teorema lui Cauchy, folosind

proprietatea integralei definite , cu u u a u u > < , avem:

( ) ( )'' ''

' '

u u

u uf x dx f x dx . Astfel, rezult (VII.18).

Observaii

1. Dac f : [a, ) R este local integrabil i exist ( )lim 0x

f x l

=

(condiie suficient), atunci ( )a

f x dx

este divergent.

2. Pe un interval compact [a, b] R, integrabilitatea funcei f implic i

integrabilitatea funciei | f |.

3. Consecina VII.2 arat c pe un interval necompact din R,

integrabilitatea lui |f | ( ( )a

f x dx

convergent) implic integrabilitatea

540

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

lui f ( ( )a

f x dx

convergent), dar nu i reciproc. (O integral improprie semiconvergent, conform definiiei, este convergent i nu este absolut

convergent).

Fie f : [a, ) R local integrabil i un ir numeric ( ) 1 Rn nb >

cresctor, cu 0 1 1lim i ...nn b a b b b b + n n= + = < < < <

542

= ( ) ( ) ( )11

10

lim lim lim lim ( )n

k

k

bn b

n nbn n n nk a a

S f x dx f x dx F b f x dx I+

=

= = = =

R

Deci ( )10

n

n

b

bn

f x dx+

= este convergent.

Dac f(x) 0, x a i ( )10

n

n

b

bn

f x dx+

= este convergent, notm

, suma seriei numerice. Pentru orice u cu a < u, exist nlim nnS S= R uN

a. . i cum F(u) este strict cresctoare pe [a, ), avem: un

u b a, n 0, atunci convergena

seriei ( )10

n

n

b

bn

f x dx+

= implic convergena integralei improprii

( )a

f x dx

, chiar dac f nu este pozitiv pe [a, ). ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

3. Aceast teorem VII.18 pune n eviden legtura dintre integrale

improprii i serii numerice. Din acest motiv, se poate stabili o analogie

ntre criteriile de convergen pentru integrale improprii i cele deja

demonstrate pentru serii numerice, dup urmtorul tabel:

Serii numerice Integrale improprii

0n

na

= ( )a f x dx

anR, nN termen general f: [a, ) R

n ; n indice de sumare x ; x variabil de integrare

Sn = sum parial; nN 0

n

kk

a= F(u) = ( )

u

af x dx integral parial;

u>a

lim nn S S = R suma seriei 1lim ( )u F u I = R valoarea integralei

0na

conv. def

lim nn S S = R ( )a f x dx

convergent def

1lim ( )u F u I = R

S suma seriei convergente S =0

na

I1 valoarea integralei improprii

convergente I1= ( )a

f x dx

4. Studiul integralelor improprii se bazeaz pe studiul seriilor numerice i

se afl la confluena dintre teoria integralelor definite i cea a funciilor

reale cu limit. Analogia cu seriile numerice nu este complet; integralele

improprii absolut convergente se ncadreaz n teoria integralei Lebesgue.

5. Din observaia precedent rezult c se pot reformula, pentru integralele

improprii, unele proprieti ale integralei definite, precum: liniaritatea

543

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

monotonia, formula Leibniz Newton, integrarea prin pri, schimbarea de

variabil etc.

6. Problema fundamental din studiul integralelor improprii este aceea a

convergenei, analoag cu convergena seriilor numerice. n concluzie,

vom urmri:

I. natura integralei improprii (fie convergent, fie divergent);

II. valoarea (numeric) a unei integrale improprii convergent.

Teorema VII.9.

Fie f, g: [a, ) R funcii local integrabile. Dac integralele improprii

( )a

f x dx

i sunt convergente, atunci pentru , R este

convergent integrala improprie

( )a

g x dx

( ) ( )a

f x g x d

+ x i are loc egalitatea:

(VII.21) ( ) ( ) ( ) ( )a a a

f x g x dx f x dx g x dx

+ = +

.

Demonstraie: Conform definiiei, avem:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

lim

lim lim lim

. Astfel, este convergent

u

ua a

u u u u

u u ua a a a

a a a

f x g x dx f x g x dx

f x dx g x dx f x dx g x dx

f x dx g x dx f x g x dx

+ = + =

= + = + =

= + +

R

i are loc egalitatea (VII.21).

544

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

Observaii:

1. Mulimea funciilor f: [a, ) R local integrabile, cu ( )a

f x dx

convergent, notat ([a ,)) are structur algebric de spaiu vactorial

real.

2. Aplicaia : ([a ,)) R care asociaz fiecrui f ([a ,)) numrul

real ( )1a

I f x dx

= (convergent) este liniar, dup egalitatea (VII.21) din

teorema VII.9.

2. Criterii de convergen pentru integrale improprii

Problema convergenei integralelor improprii va fi studiat n dou

situaii: integrantul are semn constant i apoi cnd integrantul are semn

variabil. n afar de teorema lui Cauchy, aplicabil fr condiii asupra

semnului integrantului, vom avea criterii de comparaie cu inegaliti i cu

limit, criteriul integral al lui Cauchy (pentru funcii pozitive) i criterii de

tip Abel-Dirichlet, Leibniz (pentru funcii de semn oarecare).

Presupunem f 0, x [a, ) (cazul f(x) 0, x[a, ) nu se

studiaz deoarece convergena ( )a

f x dx

este echivalent cu convergena

integralei ( )a

f x dx

).

Condiia f 0, x a implic faptul c F(u) = ( )u

af x dx , u > a este o

funcie monoton cresctoare i, n acest caz, existena limitei este lim ( )u

F u

545

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

Consecina VII.1