1

Seminar 2

3. Trasarea diagramelor de eforturi la bare drepte

3.1 Introducere

Trasarea diagramelor de eforturi constituie al doilea pas din algoritmul de abordare al oricărei probleme de Rezistența Materialelor; de corectitudinea modului de parcurgere al acestuia depind şi celelalte etape ale rezolvării.

Obiectivul acestui seminar este de a descrie și a exemplifica algoritmul de trasare a diagramelor de eforturi corespunzătoare unei scheme de calcul dată, indiferent de gradul de complexitate al acesteia.

Vor fi dobândite competențe de stabilire și determinare cantitativă a valorilor corecte ale eforturilor secţionale corespunzătoare schemei de calcul date, în scopul utilizării acestora în cadrul treptelor ulterioare ale algoritmului general de rezolvare al unei probleme de Rezistența Materialelor.

Durata medie de studiu individual pentru această prezentare este de circa 90 de minute.

3.2 Cazuri elementare

3.2.1 Grindă dreaptă simplu rezemată încărcată cu o sarcină concentrată

Fie schema de calcul din figura 1, pentru care se doreşte trasarea modului de variaţie a eforturilor secţionale în lungul barei (trasarea diagramelor de efort N, T şi M).

fig.1

Se calculează reacţiunile din reazeme:

2

3

1 3 3

3 1 1

X 0 H 0;

M 0, 120 2 V 3 0 V 80kN;

M 0, V 3 120 1 0 V 40kN;

verificare

Y 0, 40 120 80 0.

(3.1)

Se trasează diagramele de efort secţional (vezi paragraful 1.2.5 - curs 2), astfel:

1dr 2st 1 2

2dr 3st 2 3

T T T 40kN;

T T T 40 120 80kN,

(3.2)

respectiv,

1

2

3

M 0;

M 40 2 80kNm;

M 40 3 120 1 0,

(3.3)

regulile de trasare fiind cele prezentate în cadrul cursului 2.

3.2.2 Grindă dreaptă simplu rezemată încărcată cu o sarcină uniform distribuită

Se cere trasarea diagramelor de efort pentru structura având schema de calcul din figura 2.

fig.2

Se determină forţele de legătură din reazeme:

4

1 4 4

4 1 1

X 0 H 0;

0,7M 0, 21 0,7 1, 4 V 2,8 0 V 9,19kN;

2

0,7M 0, V 2,8 21 0,7 0,7 0 V 5,51kN;

2

verificare

Y 0, 5,51 21 0,7 9,19 0.

(3.4)

3

Se trasează diagrama de forţă tăietoare:

1dr 2st 1 2

2dr 2dr 2st ;

3st 3dr

3dr 4st 3 4

T T T 5,51kN;

T 5,51 21 0 T T

T T 5,51 21 0,7 9,19kN;

T T T 9,19kN,

(3.5)

pentru trasarea corectă a diagramei de moment încovoietor fiind necesară, în acest caz, determinarea poziţiei excte a secţiunii caracteristice X (fig. 2), în care valoarea forţei tăietoare se anulează, în diagrama de moment corespunzând un punct de extrem (vezi curs 2), astfel:

XT 5,51 21 x 0 x 0,262m. (3.6)

Se trasează diagrama de moment încovoietor:

1

2

X max

3

4

M 0;

M 5,51 1, 4 7,71kNm;

0,262M M 5,51 1, 4 0.262 21 0,262 8, 44kNm;

20,7

M 5,51 1, 4 0,7 21 0,7 6, 43kNm;2

M 0.

(3.7)

3.2.3 Grindă dreaptă simplu rezemată încărcată cu un moment concentrat

Se doreşte trasarea diagramelor de efort pentru schema de calcul din figura 3.

fig.3

Se calculează reacţiunile din reazeme:

1 3

63V V 21kN.

3 (3.8)

4

Se trasează diagrama de forţă tăietoare:

1dr 3st 1 3T T T 21kN; (3.9)

pentru diagrama de moment încovoietor se obţin:

1

2st

2dr 2st 2dr

2dr

M 0;

M 21 2 42kNm;

M M 63 M 42 63 21kNm,

sau cu fortele de la dreapta,

M 21 1 21kNm.

(3.10)

3.3 Caz general. Grindă dreaptă simplu rezemată cu consolă, solicitată de diverse tipuri de încărcări

Se consideră grinda simplu rezemată din figura 4, pentru care se trasează diagramele de efort secţional.

fig.4

Se calculează reacţiunile din reazeme:

4

1 4 4

4 1 1

X 0, H 0;

M 0, 20 140 2, 4 V 3,6 18 1,2 3,6 0,6 0 V 124,1kN;

M 0, V 3,6 20 140 1,2 18 1,2 0,6 0 V 37,51kN;

verificare

Y 0, 37,51 140 124.1 18 1,2 0.

(3.11)

5

Se calculează valorile forţei tăietoare în secţiunile caracteristice:

1 3

3 4

4dr

5

T 37,51kN;

T 37,51 140 102,5kN;

T 18 1,2 21,6kN;

T 0,

(3.12)

valorile corespunzătoare momentului încovoietor fiind:

1

2st

2dr

3

4

M 0;

M 37,51 1,2 45kNm;

M 45 20 65kNm;

M 37,51 2.4 20 110kNm;

M 18 1,2 0,6 12,96kNm.

(3.13)

cu reprezentările din figura 4.

6

Temă de control

Se cere verificarea corectitudinii trasării diagramelor de efort pentru următoarele scheme de calcul (este necesară parcurgerea algoritmului complet de calcul și verificare a diagramelor):

T1

T2

7

T3

T4

8

Sugestii de rezolvare și răspunsuri

T1

1

1 2 2

2 1 1

1 2

2 3

1

2

3

X 0 H 0;

M 0, V 2 50 3 0 V 75kN;

M 0, V 2 50 1 0 V 25kN;

verificare

Y 0, 25 75 50 0,

T 25kN;

T 50kN;

M 0;

M 25 2 50kNm;

M 0.

T2

3

1 3 3

3 1 1

1dr

2st 2dr

3st

X 0, H 0;

M 0, 10 1, 4 0,7 30 1, 4 1, 4 0,7 V 2,8 0 V 35kN;

M 0, V 2,8 10 1, 4 1, 4 0,7 30 1, 4 0,7 0 V 21kN;

verificare

Y 0, 21 10 1, 4 30 1, 4 35 0,

T 21kN;

T T 21 10 1, 4 7kN;

T 35kN;

35x 1,167

30

1

2

extr

3

m,

M 0;

M 21 1, 4 10 1, 4 0,7 19,6kNm;

1,167M 35 1,167 30 1,167 20, 42kNm;

2M 0.

T3

2

2 4

1 2

2 4

1 2

3st

3dr

4

H 0;

80 50V V 15kN,

2T 0;

T 15kN;

M M 50kNm;

M 50 15 1 65kNm;

M 65 80 15kNm;

M 0.

9

T4

4

2 4 4

4 2 2

1 2

2 3

3dr

4st

4dr

X 0 H 0;

M 0, 30 108 1 19 4 1 2 V 4 0 V 22,5kN;

M 0, 30 V 4 108 3 19 4 3 2 0 V 54,5kN;

verificare

Y 0, 54,5 108 19 4 22,5 0,

T 0;

T 54,5kN;

T 54,5 108 53,5kN;

T 53,5 19 3 3,5kN;

T 3,5

5

1 2

3

extr

4

5

22,5 19kN;

T 0;

53,5x 2,82m,

19M M 30kNm;

M 30 54,5 1 84,5kNm;

2,82M 30 54,5 1 2,82 108 2,82 19 2,82 9,18kNm;

2M 19 1 0,5 9,5kNm;

M 0.

10

4. Trasarea diagramelor de eforturi la sisteme plane de bare drepte

4.1 Introducere

Trasarea diagramelor de eforturi constituie al doilea pas din algoritmul de abordare al oricărei probleme de Rezistența Materialelor; de corectitudinea modului de parcurgere al acestuia depind şi celelalte etape ale rezolvării.

Obiectivul acestui seminar este de a descrie și a exemplifica algoritmul de trasare a diagramelor de eforturi corespunzătoare unei scheme de calcul dată, indiferent de gradul de complexitate al acesteia.

Vor fi dobândite competențe de stabilire și determinare cantitativă a valorilor corecte ale eforturilor secţionale corespunzătoare schemei de calcul date, în scopul utilizării acestora în cadrul treptelor ulterioare ale algoritmului general de rezolvare al unei probleme de Rezistența Materialelor.

Durata medie de studiu individual pentru această prezentare este de circa 90 de minute.

4.2 Cazuri elementare

4.2.1 Sistem de bare simplu rezemat încărcat cu două sarcini concentrate

Se consideră sistemul de bare simplu rezemat din figura 1, pentru care se doreşte trasarea diagramelor de eforturi N, T, M.

fig.1

Se determină reacţiunile din reazeme:

11

1

1 1

1 5 5

H

5 1 1

X 0, H 38 0 H 38kN;

M 0, 18 4 38 1, 4 V 3 0 V 41,73kN;

M 0, 38 2,8 V 3 18 1 38 1, 4 0 V 23,73kN;

verificare

Y 0, 23,73 18 41,73 0.

(4.1)

Se trasează diagramele de efort secţional conform regulilor prezentate în cadrul cursului 2, astfel:

forţa axială,

1 2

2 5

2 3

N 38kN compresiune ;

N 41,73kN;

N 0,

(4.2)

forţa tăietoare,

1 2

2 3

2 4

4 5

T 23,73kN antiorar ;

T 18kN orar ;

T 38kN;

T 0,

(4.3)

moment încovoietor,

1 3 4 5

1 22

2 32

2 42

M M M M 0;

M 23,73 3 71,2kNm;

M 18 1 18kNm;

M 38 1, 4 53.2kNm.

(4.4)

4.2.2 Sistem de bare simplu rezemat încărcat cu două sarcini uniform distribuite

fig.2

12

Se ia în discuţie trasarea diagramelor de efort pentru sistemul de bare din figura 2, astfel, se stabilesc valorile reacţiunilor din reazeme:

1

1 1

1 3 3

H

3 1 1

X 0, H 8 3 0 H 24kN;

M 0, 18 4 2 8 3 1,5 V 4 0 V 45kN;

M 0, 24 3 V 4 18 4 2 8 3 1,5 0 V 27kN;

verificare

Y 0, 27 18 4 45 0.

(4.5)

Se trasează diagramele de efort în concordanţă cu sensurile de parcurs din figura 2:

forţa axială,

1 2

2 3

H 24kN;

H 45kN,

(4.6)

forţa tăietoare,

1dr

2st

2dr

3st

T 27kN;

T 27 18 4 45kN;

27x 1,5m;

18T 24kN;

T 24 8 3 0,

(4.7)

moment încovoietor,

1 3

x extr.

1 2 2 32 2

M M 0;

1.5M M 27 1,5 18 1,5 20,25kNm;

2

M M 27 4 18 4 2 36kNm.

(4.8)

4.2.3 Sistem de bare simplu rezemat încărcat cu două momente concentrate

fig.3

13

Calcul forţe de legătură (reacţiuni):

1

1 3 3

3 1 1

Y 0 V 0;

M 0, 30 80 H 2 0 H 25kN;

M 0, H 2 30 80 0 H 25kN;

verificare

X 0, 25 25 0.

(4.9)

Trasare diagrame de eforturi:

forţa axială,

1 2

2 3

N 25kN;

N 0,

(4.10)

forţă tăietoare,

1 2

2 3

T 0;

T 25kN,

(4.11)

moment încovoietor,

1

1 22

2 32

M 30kNm;

M 30kNm;

M 30 80 50kNm.

(4.12)

4.3 Caz general. Sistem de bare simplu rezemat solicitat de către diverse tipuri de încărcări

Se cere trasarea diagramelor de efort pentru sistemul de bare din figura 4:

fig.4

14

Calcul de reacţiuni:

6

6 6

H

1 6 6

6 1 1

X 0, 50 H 0 H 50kN;

M 0, 200 12 1 0,5 50 3 50 2 V 2 0 V 72kN;

M 0, V 2 200 12 1 2,5 50 1 0 V 60kN;

verificare

Y 0, 12 1 60 72 0.

(4.13)

Trasare diagrame de efort:

forţa axială,

3 4 4 5

1 4

4 6

N N 0;

N 60kN;

N 50kN,

(4.14)

forţă tăietoare,

1 4

3

3 44

4 5

4 6

T 0;

T 0;

T 12 1 12kN;

T 50kN;

T 72kN,

(4.15)

moment încovoietor,

1 2st 3 5 6

2dr

2 44

3 44

4 54

4 64

M M M M M 0;

M 200kNm;

M 200kNm;

M 12 1 0,5 6kNm;

M 50 1 50kNm;

M 72 2 144kNm.

(4.16)

15

Temă de control

Se cere verificarea corectitudinii trasării diagramelor de efort pentru următoarele scheme de calcul (este necesară parcurgerea algoritmului complet de calcul și verificare a diagramelor):

T1

T2

16

T3

Sugestii de rezolvare și răspunsuri

T1

1

1 1

1 4 4

H

4 1 1

1 2

2 3

3 4

1 2

2 3

3 4

1 4

2

3

X 0, H 1 0 H 1kN;

M 0, 1 4 V 2 0 V 2kN;

M 0, 1 4 V 2 0 V 2kN;

verificare

Y 0, 2 2 0,

N 2kN;

N 1kN;

N 2kN,

T 1kN;

T 2kN;

T 1kN,

M M 0;

M 1 3 3kNm;

M 1 1 1kNm.

17

T2

1

1 5 5

5 1 1

1 2

2 4

4 5

1 2 4 5

2 3

3 4

1 2 2 4 4 5

3

X 0 H 0;

M 0, 90 2 V 3 0 V 60kN;

M 0, 90 1 V 3 0 V 30kN;

verificare

Y 0, 30 90 60 0,

N 30kN;

N 0;

N 60kN,

T T 0;

T 30kN;

T 60kN,

M M M M 0;

M 30 2 60kNm.

T3

1

1 4 4

4 1 1

1 2 3 4

2 3

1 2

2 3

3 4

1 4

1 22

2 32

Y 0 V 0;

M 0, 60 H 1,6 0 H 37,5kN;

M 0, H 1,6 60 0 H 37,5kN;

verificare

X 0, 37,5 37,5 0,

N N 0;

N 37,5kN,

T 37,5kN;

T 0;

T 37,5kN,

M M 0;

M 37,5 1,6 0,8 90kNm;

M 37,5 0,8 30kN

3

m;

M 37,5 0,8 30kNm.