CAPITOLUL 2

CAPITOLUL 2

ELECTROCINETICA

Tema 1

CURENTUL ELECTRIC

Scurt istoric

Primele experimente importante, n domeniul curentului electric au fost efectuate de Galvani (1737-1798) i Volta (1745-1837).

Galvani a descoperit accidental c trecerea curentului electric prin piciorul unei broate produce contracii musculare, iar Volta a construit n 1800 prima baterie electric.

Prin curent electric se nelege deplasarea ordonat a purttorilor de sarcin electric, liberi ntr-un conductor (mediu), sub aciunea unui cmp electric.

Trebuie subliniat faptul c micarea ordonat a purttorilor de sarcin electric, liberi, din conductor nu este o simpl micare rectilinie uniform, ci reprezint un fenomen complex, deoarece purttorii de sarcin din conductor se gsesc ntr-o continu micare haotic de agitaie termic, suferind multiple accelerri, frnri i devieri datorit ciocnirilor dintre ei ct i datorit ciocnirilor cu ionii reelei cristaline ce formeaz conductorul. Din aceste motive, putem vorbi numai de vitez medie a micrii ordonate a purttorilor de sarcin n conductor, sub aciunea cmpului electric, care se numete vitez drift sau de antrenare. Aceast vitez are o valoare foarte mic: pentru un curent de 10A printr-un conductor de cupru cu seciunea de 10mm2 are valoarea vd=0,06mm/s.

Totui, un curent electric se transmite cu o vitez foarte mare datorit faptului c printr-un conductor se propag cmpul electric pe toat lungimea conductorului i acesta antreneaz electronii sau ionii pe care i ntlnete n cale. Din acest motiv conductorii se mai numesc i ghiduri de cmp electric.

Pentru a realiza un curent electric este necesar s se creeze un cmp electric ntr-un spaiu n care s se gseasc purttori de sarcin liberi (electroni, ioni).

Realizarea cmpului electric se face cu ajutorul unei diferene de potenial SYMBOL 68 \f "Symbol"V=VA-VB. Purttorii de sarcin se vor mica pn ce se va ajunge la echilibrul celor dou poteniale, dup care curentul electric nceteaz.

Efectele curentului electric

efectul termic

efectul magnetic

efectul chimic

Intensitatea curentului electric I, este o mrime fizic scalar care msoar sarcina electric ce strbate seciunea transversal a unui conductor n unitatea de timp:

SYMBOL 60 \f "Symbol"ISYMBOL 62 \f "Symbol"SI=A

Indiferent de tipul purttorilor de sarcin mobili, sensul convenional al curentului electric este dat de sensul intensitii cmpului electric, adic sensul scderii potenialului.

Msurarea intensitii curentului electric se face cu ajutorul ampermetrului care se conecteaz n serie cu circuitul prin care este curentul electric.

Ampermetrul este aparat electric care msoar intensitatea curentului prin efectele sale. Asfel, exist:

ampermetre magnetoelectrice

ampermetre feromagnetice

ampermetre termice

ampermetre cu semiconductoare

Simbolul de reprezentare al ampermetrului este:

Pentru meninerea curentului electric, trebuie ca tensiunea electric pe poriunea AB s fie meninut constant. Acest lucru se va putea realiza dac purttorii de sarcin sunt readui la cele dou capete ale conductorului, printr-un alt traseu. Pentru aceasta este necesar s se cheltuiasc energie ca s se nving lucrul mecanic al forelor elctrice. Rezult c, pentru a ntreine un curent electric constant, printr-un conductor, este nevoie de o surs electric de energie, cu denumirea de generator electric, care este conectat prin conductori de legtur la capetele conductorului AB, astfel se realizeaz un circuit electric.

Generatorul electric este un dispozitiv care transform o form de energie: chimic, mecanic, optic, termic etc. n energie electric.

Astfel, ele se numesc: pile, dinamuri, alternatoare, celule fotoelectrice...

Simbolul de reprezentare al unui generator electric este redat n figura alturat.

Sursele de curent electric asigur o diferen de potenial SYMBOL 68 \f "Symbol"V constant, adic un cmp electric sub aciunea cruia electronii de pe ntregul circuit sunt antrenai ntr-o micare ordonat cu vitez constant. Schema unui circuit electric trebuie s cuprind: un generator, conductoare de legtur i consumatorii electrici. Generatorul electric este caracterizat de tensiunea electromotoare E necesar pentru a produce lucrul mecanic n deplasarea sarcinilor electrice pe ntregul circuit, att n interiorul lui ct i pe poriunea exterioar a acestuia. Se poate scrie relaia energetic pe un astfel de circuit:

W=Wext+Wint

Dac raportm energiile la unitatea de sarcin electric se obine:

E=U+u

unde E este tensiunea electromotoare a sursei, U este tensiunea la bornele consumatorului iar u este cderea de tensiune din interiorul generatorului.

Msurarea tensiunilor se face cu ajutorul voltmetrului V care trebuie conectat n paralel cu elementul de circuit (generator, consumator, conductori de legtur, rezistor, etc.)

Din cele relatate mai sus rezult c din ntreaga energie cheltuit W=E.q numai o parte este util Wext=U.q deci randamentul unei surse electrice este:

Cu ct cderea de tensiune n interiorul sursei este mai mare, cu att randamentul acesteia este mai mic. Pentru aceasta se proiecteaz generatoare care s aib pierderi ct mai mici n interiorul lor.

Tema 2

LEGEA LUI OHM

A. Legea lui Ohm pe o poriune de circuit

Considernd un circuit electric format din mai muli consumatori i un generator electric, se poate aprecia uor c ntre punctele A i B potenialul electric scade, deoarece curentul electric circul de la A ctre B. Msurnd tensiunea U la bornele unui consumator i intensitatea I a curentului electric prin el se constat c rapoartele:

Cderea de tensiune U pe o poriune de circuit este proporional cu intensitatea I a curentului electric prin acea poriune a circuitului.

U=R.I

Constanta de proporionalitate dintre cderea de tensiune i intensitatea curentului electric se numete rezisten electric i se noteaz cu R.

Unitatea de msur pentru rezistena electric se deduce din expresia:

Rezistena electric R caracterizeaz orice consumator electric i depinde de elementele constructive ale acestuia:

unde SYMBOL 114 \f "Symbol" caracterizeaz materialul din care este confecionat consumatorul i se numete rezistivitate electric.

Rezistivitatea electric depinde de temperatura conductorului:

SYMBOL 114 \f "Symbol"=SYMBOL 114 \f "Symbol"o(1+SYMBOL 97 \f "Symbol"t)

unde SYMBOL 114 \f "Symbol"o este rezistivitatea la 0oC, iar SYMBOL 97 \f "Symbol" este coeficientul termic al rezistivitii.

Rezistena electric depinde i ea de temperatur:

R=R0(1+(t)

Tabel cu carcteristici electrice ale unor substane

Substana(0 ((.m)(((.m) (200)((grd-1)

Nichelin3.10-74,2.10-70,0001

Aur1,92.10-82,24.10-80,0083

Cupru1,48.10-81,68.10-80,0068

Fier8,59.10-89,71.10-80,0065

Argint1,42.10-81,59.10-80,0061

Wolfram5,02.10-85,47.10-80,0045

Platin9,83.10-810,6.10-80,0039

Aluminiu2,44.10-82,65.10-80,0043

Mercur94,1.10-895,8.10-80,0009

B. Legea lui Ohm pe ntregul circuit

Pentru un circuit electric simplu, format dintr-un generator cu tensiunea electromotoare E i rezistena intern r, care alimenteaz un consumator electric R, se poate scrie:

E=U+u

Aplicnd legea lui Ohm pe fiecare poriune de circuit: U=R.I i u=r.I i dup nlocuiri se obine:

E=I(R+r)

sau:

Intensitatea curentului electric, printr-un circuit electric nchis, este direct proporional cu tensiunea electromotoare E a sursei i invers proporional cu rezistena electric total a circuitului.

Tensiunea la bornele sursei, n circuit nchis, este:

U=E-r.I

Pentru un circuit deschis (ntrerupt) curentul electric este nul, deci:

U=E

Pentru scurtcircuit rezistena exterioar devine nul, iar curentul este:

Isc=E/r

Curentul de scurtcircuit este curentul maxim pe care l poate furniza un generator electric.

Caracteristici pentru dipoli electrici

Dipolii sunt elemente de circuit electric care se conecteaz n serie sau paralel prin dou borne sau doi dipoli: instrumente de msur, bateria electric, acumulatorul electric, motorul electric, becul electric, reostatul, ntreruptorul etc.

Dipoli pasivi: sunt consumatori sau receptori de energie electric

Dipoli activi: sunt elemente de circuit care prezint la borne tensiune

Fiecare dipol are o caracteristic de curent, I=f(U) i o caracteristic invers de curent U=f(I).

Pentru un circuit electric simplu alctuit dintr-un generator i un consumator rezistiv, caracteristica de curent I=f(U), conform legii lui Ohm pe o poriune de circuit, este o dreapt care trece prin originea sistemului de axe I, U care are panta egal cu 1/R.

Caracteristica invers de curent, U=f(I) pentru un circuit nchis, dat de legea lui Ohm, este:

Se vede c graficul U=f(I) este o dreapt cu panta negativ: tg(((r

iar pentru scurtcircuit: U=0, I=Isc.

IscPentru un circuit ntreg, punctul de funcionare F, trebuie s aparin ambelor grafice, deci coordonatele lui se vor obine la intersecia celor dou grafice.

E

F

Reostatul i poteniometrul

Intensitatea curentului electric dintr-un circuit electric simplu poate fi modificat prin variaia rezistenei electrice a circuitului. Dup cum s-a vzut, rezistena unui conductor, este proporional cu lungimea conductorului , cuprins n circuit.

Reostatul permite, prin manevrarea unui contactor, s se modifice valoarea rezistenei electrice odat cu modificarea lungimii coductorului.

a) reostatul cu cursor

Contactul alunector se poate deplasa pe o tij metalic, de rezisten neglijabil, asigurnd contactul cu una din spirele bobinate pe suportul izolator. Cu ct numrul de spire incluse n circuit este mai mare cu att rezistena inclus n circuit este mai mare.

b) reostatul cu manet

Un grup de rezistori sunt conectai n serie iar o manet, prin poziia ei, va introduce n circuit un numr mai mare sau mai mic de rezistene. Valoarea rezistenei, realizat astfel, este variabil n trepte.

c) poteniometrul

Poteniometrul are posibilitatea de a furniza la ieire o tensiune U reglabil ntre 0 i E.

E

Dup cum se vede din figura alturat, tensiunea U este proporional cu valoarea rezistenei R: U=I.R

U

Dar curentul I este constant cu valoarea:

deci tensiunea U are valoarea:

Cum valoarea rezistenei R este reglabil ntre 0 i R, rezult c tensiunea U este reglabil ntre 0 i U.

Probleme

1) Ce lungime are un conductor din cupru, cu diametrul d=0,4cm i rezistivitatea electric SYMBOL 114 \f "Symbol"=1,7.10-8SYMBOL 87 \f "Symbol".m , n care un curent cu intensitatea I=1A produce o cdere de tensiune U=1V.

R: =739m

2) O srm de cupru are rezistena R=10SYMBOL 87 \f "Symbol" i masa m=0,4kg. Cunoscnd rezistivitatea cuprului SYMBOL 114 \f "Symbol"=1,7.10-8SYMBOL 87 \f "Symbol".m i densitatea acestuia d=8600kg/m3, s se calculeze lungimea , aria seciunii S i diametrul D al srmei.

R: =165m S=0,28mm2 D(0,3mm

3) La ce temperatur rezistena electric a unui conductor de nichel ((=5.10-3grd-1) crete cu 20% fa de rezistena electric la 00?

R: t=400C

4) Un conductor cu rezistena R=5SYMBOL 87 \f "Symbol" este parcurs n timpul t=50s de sarcina electric q=200C. S se calculeze tensiunea U la capetele conductorului.

R: U=20V

5) Ce seciune are un conductor de aluminiu ((=2,8.10-8(m), a crui lungime este =400m dac, la aplicarea tensiunii U=2V, este parcurs de un curent cu intensitatea I=0,25A?

R: S=1,4mm26) Un receptor cu rezistena electric R=50SYMBOL 87 \f "Symbol" trebuie alimentat de la o reea cu tensiunea U=220V, situat la distana L=45m de receptor. Valoarea maxim admis pentru cderea de tensiune este de 3% . Care este diametrul minim al conductorului utilizat, dac el este din cupru?

R: d=1,12mm

7) Un fir din aluminiu are la temperatura t1=20oC o rezisten R1=1SYMBOL 87 \f "Symbol". S se determine valoarea rezistenei R2 la temperatura t2=80oC, cunoscnd coeficientul de temperatur al rezistenei SYMBOL 97 \f "Symbol"=0,0036grad-1.

R: R2=1,2(8) O surs cu t.e.m. E=100V i rezistena intern r=0,05SYMBOL 87 \f "Symbol", furnizeaz un curent electric cu intensitatea I=100A. S se calculeze tensiunea U la bornele sursei.

R: U=95V

9) Intensitatea curentului de scurtcircuit pentru o surs cu t.e.m. E=24V este Isc=80A. Care trebuie s fie rezistena R a circuitului exterior pentru a se obine prin acesta un curent de intensitate I=1A?

R: R=23,7(10) Un acumulator cu t.e.m. E=12V are intensitatea de scurtcircuit Isc=40A. Ce rezisten are un consumator care, legat la bornele acumula-torului, face ca tensiunea la borne s fie U=11V?

R: R=3,3(11) Dac la bornele unei surse se conecteaz un rezistor R1=1SYMBOL 87 \f "Symbol", intensitatea curentului prin rezistor este I1=1A, iar dac se conecteaz alt rezistor cu rezistena R2=2,5SYMBOL 87 \f "Symbol", intensitatea curentului prin el este I2=0,5A. S se calculeze rezistena interioar r i t.e.m. E a sursei.

R: E=1,5V r=0,5(12) Un circuit format dintr-o surs cu rezisten intern r=3SYMBOL 87 \f "Symbol" i t.e.m. E=12V, alimenteaz un rezistor R. Reprezentai grafic n funcie de R:

a) curentul electric din circuit;

b) tensiunea la bornele rezistorului R;

c) produsul U.I pentru valori ale lui R (0...5SYMBOL 87 \f "Symbol");

d) artai c puterea disipat pe R este maxim cnd R=r.

13) S se calculeze tensiunea U la bornele unei surse, dac t.e.m. a sursei este E=1,5V i rezistena intern r=0,4SYMBOL 87 \f "Symbol" iar rezistena circuitului R=1,6SYMBOL 87 \f "Symbol".

R: U=1,2V

14) Dac ntr-un circuit cu rezistena total R se nseriaz un rezistor cu R1=1SYMBOL 87 \f "Symbol", intensitatea curentului scade de la I=2A la valoarea I1=1A. Dac se nlocuiete rezistorul R1 cu altul R2 intensitatea curentului devine I2=0,5A. S se calculeze rezistenele R , R2 i t.e.m. E din circuit.

R: R=1( R2=3( E=2V

15) Rezistena electric a circuitului exterior unei surse cu t.e.m. E=1,5V este R=2SYMBOL 87 \f "Symbol". Tensiunea la bornele sursei este U=1V. S se calculeze rezistena interioar r a sursei.

R: r=1(16) O surs are tensiunea la borne U1=4V cnd i se conecteaz rezistorul R1=4SYMBOL 87 \f "Symbol" i tensiunea U2=4,5V cnd se leag R2=6SYMBOL 87 \f "Symbol". S se calculeze rezistena interioar r i t.e.m. E a sursei utilizate.

R: E=6V r=2(Tema 3

LEGILE LUI KIRCHHOFF

n tehnica modern se utilizeaz circuite electrice mult mai complicate, cu multe ramificaii, numite reele electrice, ce au urmtoarele elemente:

-nodurile reprezint puncte din reea n care se ntlnesc cel puin trei cureni electrici;

-ramurile de reea sunt poriuni din reeaua electric cuprinse ntre dou noduri succesive;

-ochiurile de reea sunt contururi poligonale nchise, formate dintr-o succesiune de rezistori i surse.

Prima lege a lui Kirchhoff este o expresie a conservrii sarcinii electrice ntr-un nod al unei reele electrice. Este evident c sarcina electric total ce ptrunde ntr-un nod de reea trebuie s fie egal cu sarcina electric ce prsete acel nod:

Q1+Q2=Q3+Q4

Micarea sarcinilor electrice efectundu-se n acelai timp, se poate scrie:

I1+I2=I3+I4

sau I1+I2-I3-I4=0

Suma algebric a intensitilor curenilor electrici care se ntlnesc ntr-un nod de reea este egal cu zero.

A doua lege a lui Kirchhoff se refer la ochiuri de reea i afirm c:

suma algebric a tensiunilor electromotoare SYMBOL 83 \f "Symbol"Ek dintr-un ochi de reea, este egal cu suma algebric a cderilor de tensiune pe rezistorii din acel ochi de reea SYMBOL 83 \f "Symbol"Rk.Ik .

Pentru scrierea ecuaiei se alege un sens de referin i se consider pozitive tensiunile care au acelai sens cu cel de referin, la fel i pentru intensitile curenilor:

E1+E2-E3-E4=R1I1-R2I2-R3I3-R4I3+R5I4 PROBLEME

1) S se calculeze intensitile curenilor electrici din fiecare ramur a circuitului alturat, dac se cunosc: E1=E2=1V, r1=r2=1SYMBOL 87 \f "Symbol" i R1=R2=R3=10SYMBOL 87 \f "Symbol".

R: I1=1/31A; I2=1/31A; I3=2/31A

2) n schema alturat se cunosc: E1=1V, E2=2V, E3=3V, r1=1SYMBOL 87 \f "Symbol", r2=0,5SYMBOL 87 \f "Symbol", r3=1/3SYMBOL 87 \f "Symbol", R1=1SYMBOL 87 \f "Symbol" R3=1/3SYMBOL 87 \f "Symbol". S se calculeze intensitile curenilor electrici prin ramurile circuitului dat.

R: I1=5/8A; I2=1/2A; I3=9/8A

3) Cele dou surse sunt identice iar R1=2SYMBOL 87 \f "Symbol" i R2=4SYMBOL 87 \f "Symbol" Cunoscnd tensiunile la bornele celor dou surse U1=10V i U2=6V, s se calculeze t.e.m. i rezistenele interioare ale celor dou surse.

R: E=14V; r=4(

4) Pentru reeaua din figura alturat se cunosc: E=47V, r=1SYMBOL 87 \f "Symbol", R1=4SYMBOL 87 \f "Symbol", R2=3SYMBOL 87 \f "Symbol", R3=2SYMBOL 87 \f "Symbol", I=15A, I1=6A, I2=2A, I3=7A. S se calculeze tensiunile UAB, U4 i U5.

R: UAB=32V; U4=18V; U5=8V

5) n circuitul din figura alturat se cunosc: R1=R3=2SYMBOL 87 \f "Symbol" R2=4SYMBOL 87 \f "Symbol", E1=4V, E2=3V, E3=2V. S se determine intensitile curenilor din ramurile circuitului.

R: I1=1,3A; I2=0,4A; I3=1,7A

6) Pentru circuitul din figura alturat se cunosc: E=47V, r=1SYMBOL 87 \f "Symbol", R2=4SYMBOL 87 \f "Symbol", R3=3SYMBOL 87 \f "Symbol", R5=2SYMBOL 87 \f "Symbol", R4=R6=1SYMBOL 87 \f "Symbol". S se calculeze intensitile curenilor din fiecare ramur a circuitului.

R: I=15A; I2=6A; I3=2A; I4=7A; I5=9A; I6=8A

7) S se calculeze intensitile curenilor din laturile circuitului prezentat n figura alturat, cunoscnd: E1=55V, E2=10V, E3=30V, E4=15V, r1=0,3SYMBOL 87 \f "Symbol", r2=0,4SYMBOL 87 \f "Symbol", r3=0,1SYMBOL 87 \f "Symbol", r4=0,2SYMBOL 87 \f "Symbol", R1=9,5SYMBOL 87 \f "Symbol", R2=19,6SYMBOL 87 \f "Symbol", R3=4,9SYMBOL 87 \f "Symbol". S se calculeze i tensiunea UAB.

R: I1=1,28A; I2=1,85A; I3=0,57A; UAB=27,1V

8) S se calculeze sarcina electric cu care se ncarc condensatorul de capacitate C=2(F, cunoscnd: R1=20(; R2=30(; R3=10(; R4=40(; E=10V i r=0.

R: Q=4.10-6C

9) Se consider montajul din figura alturat n care se cunosc: R1; R2; C1; C2 i E. Gsii expresiile sarcinilor electrice pe armturile celor doi condensatori dac: a) ntreruptorul K este deschis; b) ntreruptorul K este nchis.

R: a)

b)

10) S se determine t.e.m. E3 pentru care curentul din rezistorul R3 are intensitate nul. Care este valoarea tensiunii UAB n acest caz? Se cunosc: E1=9V, E2=6V, r1=0,25(, r2=0,1(, R2=0,1( i R3=2(.

R: E3=0,667V; UAB=0,667V

11) n circuitul alturat se cunosc: E1=3V; E2=6V; r2=1(. S se determine valoarea lui R nct sursa E1 s nu debiteze curent.

R: R=1(

GRUPAREA REZISTOARELOR

Orice poriune a unui circuit electric comunic cu restul circuitului printr-un numr oarecare de borne. Cea mai simpl situaie este cazul n care poriunea de circuit este un dipol. Dac dipolul este pasiv (nu conine generatoare), fiind format numai din rezistoare, atunci el poate fi nlocuit cu un singur rezistor, numit rezistor echivalent, astfel nct restul circuitului s nu simt nlocuirea.

Un rezistor este echivalent unei grupri de rezistoare dac, la aplicarea aceleiai tensiuni la bornele rezistorului echivalent ca i la bornele gruprii, circul un curent electric cu aceeai intensitate.

A. Gruparea serie

Dou sau mai multe rezistoare sunt conectate n serie dac aparin aceleiai ramuri dintr-o reea electric. Rezistoarele grupate n serie sunt parcurse de acelai curent electric.

Considernd un grup de trei rezistori conectai n seie, la bornele fiecrui rezistur se va regsi cte o tensiune U1; U2 i U3 nct se poate scrie:

U=U1+U2+U3Pe baza legii lui Ohm pe fiecare rezistor rezult:

U=I.R1+I.R2+I.R3sau U=I(R1+R2+R3)

Aplicm aceeai lege la circuitul echivalent:

U=I.RsRezult urmtorea relaie: Rs=R1+R2+R3n cazul general, cnd sunt conectate n rezistoare n serie

Rezistena echivalent Rs este ntotdeauna mai mare dect oricare dintre rezistenele Rk.

B. Gruparea paralel

Dou sau mai multe rezistoare sunt grupate n paralel dac sunt conectate ntre aceleai dou noduri. Rezistoarele grupate n paralel au aceeai tensiune la borne. Conform legii I a lui Kirchhoff

I=I1+I2+I3Sau

i

Pentru circuitul echivalent

De unde rezult:

Sau n cazul n care sunt conectai n paralel n rezistori

Rezistena echivalent Rp este ntotdeauna mai mic dect oricare din rezistanele Rk.

Pentru cazul n care sunt conectate doar dou rezistoare n paralel este comod de calculat rezistena echivalent folosind relaia:

C. Transformarea stea-triunghi

Dac o poriune de circuit comunic cu restul circuitului prin trei borne, structurile cele mai simple sunt: gruparea n triunghi i gruparea stea.

Se poate demonstra c cele dou grupri sunt echivalente dac i numai dac ele sunt echivalente n raport cu oricare dou dintre borne, a treia fiind neconectat (n aer). Pentru gruparea triunghi, n raport cu bornele A i B, rezistana echivalent este:

deci:

La gruparea stea, n raport cu bornele A i B (cu borna C neconectat) rezistena echivalent este:

Impunnd condiia de echivalen a celor dou circuite:

rezult:

Relaiile corespunztoare celorlalte perechi de puncte: B i C apoi C i A.

Rezolvm sistemul de ecuaii n raport cu rezistenele

PROBLEME

1) Calculai rezistena echivalent pantru circuitul alturat, cunoscnd: R1=3(; R2=8( i R3=6( R: 10(

2) n circuitul alturat se cunosc: R1=2(; R2=1(; R3=3( i R4=6(. S se calculeze rezistena echivalent a circuitului.

R: 5(

3) Rezistenele din circuitul alturat au valorile: R1=18(; R2=9(; R3=3( i R4=6(. Calculai rezistena echivalent a circuitului:

a) cu ntreruptorul K deschis;

b) b) cu ntreruptorul K nchis

R: a) 8,75( b) 8(

4) Cunoscnd valorile rezistenelor R1=4(; R2=1(; R3=2(; R4=3( i R5=3(, din circuitul alturat, s se calculeze rezistena echivalent.

R: 6(

5) n circuitul alturat se cunosc: R1=1(; R2=2(; R3=3( i R4=3(. S se calculeze rezistena echivalent a acestui circuit.

R: 2(

6) Valorile rezistenelor din circuitul alturat sunt: R1=4(; R2=2(; R3=1( i R4=2(. Calculai rezistena echivalent a acestui circuit.

R: 2(

7) Calculai rezistana echivalent a circuitu-lui alturat, cunoscnd: R1=3(; R2=6(; R3=3( i R4=6(.

R: 4(

8) n circuitul din figura alturat toate rezistenele sunt egale: R=8(. Calculai rezistena echivalent a circuitului.

R. 8(

9) Un circuit electric conine urmtoarele rezistene: R1=R2=R3=R4=R5=25(. Calculai rezistena echivalent a acestui circuit.

R: 5(

10) Calculai rezistena echivalent dintre punctele A-B ale circuitului alturat, tiind c toate rezistenele au aceeai valoare: R=12(.

R: 10(11) S se calculeze rezistena echivalent a circuitului urmtor, tiind c rezistenele sunt identice cu valoarea R.

R: Rech=R

GRUPAREA GENERATOARELORA. Gruparea serie

Pentru agrupa n serie mai multe generatoare se leag borna negativ a unui generator cu borna pozitiv a urmtorului generator .a.m.d.

S considerm trei generatoare cu t.e.m. E1; E2 i E3 i cu rezitenele interne r1, r2 i r3, conectate n serie i care alimentez un consumator rezistiv R.

Prin aplicarea legii a II-a a lui Kirchhoff pe circuitul dat, se obine: E1+E2+E3=IR+Ir1+Ir2+Ir3de unde:

Prin comparaie cu legea lui Ohm pe un circuit nchis:

se constat c prin legarea n serie a generatoarelor:

tensiunea electromotoare este egal cu suma t.e.m. a generatoarelor:

E=E1+E2+E3

rezistena intern este egal cu suma rezistenelor generatoarelor:

r=r1+r2+r3

B. Gruparea paralel

Pentru gruparea paralel ageneratoarelor, se leag la un loc bornele pozitive i de asemenea se leag mpreun bornele negative. Considerm trei generatoare identice cu t.e.m. E i rezistena interioar r, grupate n paralel i care alimenteaz un consumator cu rezistena R.

Aplicnd legile lui Kirchhoff pe circuit se obin:

I=I1+I2+I3 E=I1r+IR

Dar I1=I2=I3 deci I=3I1

Rezult:

Se constat c t.e.m. este E dar rezistena intern devine r/3.

ENERGIA I PUTEREA ELECTRIC

Cmpul electric creat de generator determin trecerea prin circuit a unui curent electric. Energia curentului electric msoar lucrul mecanic necesar pentru a transporta o sarcin electric q printr-o seciune din circuit ntr-un interval de timp SYMBOL 68 \f "Symbol"t, deci se poate scrie:

W=U.q

sau W=U.I.SYMBOL 68 \f "Symbol"t

Dac, consumatorul este caracterizat numai prin rezisten, energia este:

W=R.I2.(t

Sau dup nlocuirea intensitii curentului, din legea lui Ohm, se obine:

n mod asemntor, se poate scrie energia pe circuitul interior:

Energia consumat pe ntregul circuit se obine prin nsumare i este:

Randamentul arat ce fraciune din energia dat de generator este util.

Pe baza celor trei energii disipate pe un circuit electric se poate calcula randamentul circuitului electric simplu:

Aceast relaie arat c randamentul este are o valoare subunitar care depinde de valoarea rezistenelor din circuit (intern i extern).

Puterea curentului electric se poate exprima innd cont de formula de definiie a puterii:

innd cont de expresiile celor trei energii se obine:

Puterea pe care o furnizeaz generatorul ctre circuitul exterior este influenat de valoarea rezistenei exterioare R.

de unde se obine urmtoarea ecuaie cu variabila R

PR2+(2Pr-E2)R+Pr2=0

Aceast ecuaie admite urmtoarele soluii pentru rezistena R:

Pentru ca valorile s aib sens fizic trebuie ca:

E2-4Pr(0

Deci E2(4Pr

de unde

deci puterea maxim este

Din compararea cu expresia puterii disipat pe circuitul exterior,

se obine: R2-2Rr+r2=0

sau (R-r)2=0

de unde R=r

Aceasta reprezint condiia pentru transferul optim de putere ntr-un circuit electric.

Pentru un circuit electric cu valori date pentru t.e.m. E i r rezistena intern a generatorului se poate reprezenta graficul puterii utile n funcie de valorile rezistenei externe, de unde se vede c acesta prezint un maxim pentru valoarea R=r.

PROBLEME

1) O surs cu t.e.m. E=10V i rezisten interioar r=1SYMBOL 87 \f "Symbol", disip pe un rezistor cu rezistena R o putere P=9W. S se calculeze tensiunea U la bornele sursei i s se interpreteze rezultatele obinute.

R: U1=9V U2=1V

2) Se consider circuitul din figura alturat n care: E=120V, r=1SYMBOL 87 \f "Symbol", R1=19SYMBOL 87 \f "Symbol", R2=20SYMBOL 87 \f "Symbol". S se calculeze:

a) valorile posibile ale rezistenei Rx pentru ca puterea disipat de acesta s fie P=80W;

b) pentru ce valoare a lui Rx, puterea dezvoltat de surs este mai mare?

R: RX1=5( RX2=20(

3) Care este puterea maxim pe care o poate da o surs unui rezistor legat la bornele ei, dac sursa are t.e.m. E i rezistena intern r ? Care este rezistena rezistorului ce ia aceast putere maxim?

R: Pmax=E2/4r

4) O surs disip n circuitul exterior aceeai putere P=80W, cnd la borne este legat fie un rezistor R1=5SYMBOL 87 \f "Symbol" sau altul R2=20SYMBOL 87 \f "Symbol". S se determine:

a) rezistena intern r i t.e.m. E a sursei;

b) randamentul sursei pentru cele dou rezistene R1 i respectiv R2.

R: r=10( E=60V (1=33,3% (2=66,6%

5) Dou surse identice au t.e.m. E=10V i rezistena intern r=0,5SYMBOL 87 \f "Symbol". Cum trebuie ele conectate la bornele unui rezistor R=9SYMBOL 87 \f "Symbol" pentru ca s dea acestuia o putere maxim i care este valoarea acestei puteri?

R: serie P=36W

6) Dou surse cu rezistenele interioare r1=0,3SYMBOL 87 \f "Symbol" i r2=1,2SYMBOL 87 \f "Symbol" transfer aceeai putere maxim circuitului exterior, fie c sunt legate n paralel, fie n serie. S se determine t.e.m. E2 cunoscnd c E1=4V.

R:

MSURRI ELECTRICE

Aparatul magnetoelectric

Unul dintre cele mai des utilizate aparate pentru msurri electrice (cureni, tensiuni, puteri etc. este aparatul magnetoelectric. Acesta este alctuit dintr-un magnet permanent, n form de potcoav sau de U, ntre polii cruia se afl o bobin ce se poate roti n jurul unui ax. Solidar cu bobina se gsete acul indicator. Dac prin bobin circul un curent electric are loc o interaciune cu cmpul magnetic, bobina este rotit cu un unghi proporional cu intensitatea curentului electric. Astfel, acest aparat este un traductor de curent electric. Pentru ca bobina s fie uoar trebuie ca srma utilizat s fie foarte subire. Aceast condiie face ca bobina s prezinte o rezisten electric r cu valori de la civa ohmi pn la sute sau chiar mii de ohmi, rezisten ce de multe ori nu poate fi neglijat.

Deoarece intensitatea curentului depinde direct proporional de tensiunea aplicat bobinei, instrumentul poate fi etalonat n multipli ai amperului sau voltului. Dac aparatul este conectat n serie, poate msura cureni, iar dac este conectat n paralel cu elementul de circuit, poate msura tensiuni. Scala valorilor mrimilor msurate de instrument poate fi mrit prin conectarea unor rezistene conectate n serie (adiionale) n cazul voltmetrului, sau a unor rezistene conectate n paralel (unturi) n cazul ampermetrului.

untul ampermetrelor

Pentru a msura un curent electric I de n ori mai mare dect curentul maxim acceptat de un ampermetru se conecteaz n paralel cu ampermetrul un rezistor care s preia o parte din curentul total. innd cont c I=nIa , i aplicnd legile lui Kirchhoff, rezult Is=(n-1)I/n , de unde :

Cunoscnd rezistena intern r a ampermetrului i factorul de multiplicare n, se poate calcula valoarea untului necesar.

Rezistena adiional a voltmetrelor

Dac, cu un voltmetru ce poate msura tensiuni maxime pn la Uv , se dorete s se msoare tensiuni mai mari U=nUv , este necesar s se conecteze n serie cu voltmetrul un rezistor nct acesta s preia restul cderii de tensiune (U-Uv). Aplicnd legea lui Kirchhoff pe circuit se obine: U=I(Ra+r) de unde valoarea rezistenei adiionale este:

Rs=(n-1)r

n practic, cu acelai voltmetru se pot face msurtori multiple prin conectarea adecvat a unor rezistene adiionale cu ajutorul unui comutator rotativ, realizndu-se astfel multivoltmetrul, foarte utilizat de ctre electroniti sau electricieni, datorit faptului c un singur aparat este capabil s msoare o multitudine de tensiuni electrice.

MSURRI ELECTRICE

Aparate de msur

Introducerea unui aparat de msur ntr-un circuit electric perturb funcionarea circuitului. Ca urmare, indicaia aparatului de msur va fi diferit de valoarea mrimii respective n absena aparatului. Problema care se pune n cazul msurtorilor este ca aceast diferen s fie ct mai mic.

n absena aparatului de msur intensitatea curentului prin circuit este:

Prin introducerea ampermetrului, care se conecteaz n serie i care se caracterizeaz prin rezistena proprie Ra, intensitatea msurat va fi:

Comparnd cele dou relaii se observ c I este apropiat de I0 numai dac Ra(( (R+r).

Este evident c un ampermetru cu rezistena interioar mic va msura o valoare a intensitii I mai apropiat de valoarea intensitii I0 din circuit n absena amprmetrului.

n cazul n care msurm tensiuni, intervine aceeai problem. Introducerea voltmetrului n circuit, modific funcionarea circuitului. Pe o poriune de circuit, a crei rezisten este R, prin care trece curentul I0, tensiunea este: U0=R.I0Pentru a msura tensiunea, se introduce ntre cele dou puncte, deci n paralel cu R, un voltmetru a crei rezisten interioar este RV.

Tensiunea la bornele rezistenei este: U=R.IRPentru o msurtoare bun trebuie ca I(I0, deci intensitatea curentului furat de voltmetru trebuie s fie neglijabil fa de intensitatea curentului prin rezistorul R: IV((IRAplicnd legile lui Kirchhoff pe ochiul ce cuprinde voltmetrul:

innd cont c UV=UR rezult c RV((R, deci rezistena voltmetrului trebuie s fie mult mai mare dect rezistena din circuit.

Msurarea rezistenelor

Msurarea rezistenelor cu ajutorul ampermetrului i al voltmetrului se rezum la a face raportul dintre tensiunea msurat i intensitate:

Orice msurare presupune o eroare. Se pune problema s gsim o metod care introduce o eroare sistematic ((R, ct mai mic, pentru a putea determina mrimea rezistenei ct mai precis:

Rreal=Rmsurat((R.

a) Montaj amonte

Voltmetrul, conectat n paralel la bornele rezistorului necunoscut, R (mai sus amonte-fa de ampermetru), arat valoarea tensiunii la bornele acestuia, UV=UR, sau RVIV=RIR. Ampermetrul indic intensitatea I care se divide n IV prin voltmetru i IR prin rezistor. Se obine sistemul de ecuaii:

de unde

Astfel:

Dac rezistena R este foarte mic n comparaie cu rezistena voltmetrului RV, R((RV se poate face aproximaia:

Este uor de neles c aceast metod permite msurarea, cu eroare mic, a rezistenelor mici.

b) Montaj aval

n acest montaj, voltmetrul este conectat n paralel cu gruparea serie format din rezistorul necunoscut R i ampermetru (dup -aval-). Astfel, voltmetrul indic tensiunea UV=UR+UA iar ampermetrul indic valoarea intensitii curentului care circul prin rezistor.

Se pot scrie relaiile:

De unde:

Astfel, se poate calcula rezistena R cu expresia:

numai dac R((RA adic rezistena de msurat trebuie s aib valoare foarte mare.

c) Metoda punii

Circuitul din figura alturat se numete punte avnd ase laturi, dintre care dou sunt diagonale, una pasiv B-D care conine un galvanometru i cealalt activ A-C care conine sursa de t.e.m. E.

Puntea este echilibrat atunci cnd diagonala pasiv nu este parcurs de curent electric.

Aplicnd legile lui Kirchhoff se poate scrie:

n nodul B: I1=I4 n nodul D: I2=I3deoarece IBD=0 (puntea fiind echilibrat)

n ochiul ABDA: R1I1-R2I2=0

n ochiul CBDC: R3I2-R4I1=0

mprind cele dou relaii, rezult:

Considernd rezistena R4 necunoscut:

Dac rezistenele R2 i R3 sunt fcute din acelai fir metalic, rezult o instalaie numit puntea cu fir sau puntea Wheatstone, iar rezistena necu-noscut R4 se calculeaz cu ajutorul expresiei urmtoare:

Prin deplasarea cursorului pe fir se realizeaz echilibrul punii atunci cnd acul galvanometrului indic un curent nul prin diagonala BD.

CONDUCIA ELECTRIC PRIN METALE

La metale, fora de atracie dintre nucleu i electronii de valen este mic, deci electronii de valen pot trece uor la atomii vecini deoarece sunt atrai de nucleele lor cu fore de acelai ordin de mrime. Atomii metalelor devin ioni pozitivi, deoarece pierd unul sau mai muli electroni de valen, numii electroni liberi sau electroni de conducie, care trec de la un atom la altul. Deplasarea electronilor liberi n interiorul metalului se face dezordonat, n toate direciile, printre ionii pozitivi. Electronii de conducie aparin sistemului de atomi al metalului care rmne neutru din punct de vedere electric deoarece sarcina electric a tuturor electronilor liberi este egal cu sarcina electric a tuturor ionilor legai care execut doar oscilaii n nodurile reelei cristaline a metalului.

Dac la capetele unui conductor metalic se aplic o tensiune electric, electronii liberi vor fi antrenai de forele electrice ale cmpului electric care se stabilete n conductor, ntr-o micare ordonat, de naintare de-a lungul conductorului, suprapus peste micarea dezordonat, ctre captul pozitiv al conductorului.

Electronii de conducie au o deplasare de ansamblu ctre borna pozitiv a generatorului electric, prin conductoarele circuitului exterior. Din motive tradiionale, sensul convenional al curentului electric este ales n sensul de micare al particulelor pozitive prin circuitul exterior al generatorului electric, de la borna pozitiv ctre cea negativ. Sensul de micare al electronilor prin conductoare este invers fa de cel convenional.

n metale, curentul electric reprezint circulaia electronilor de conducie.

Circulnd printre ioni, aceti electroni produc numeroase ciocniri, la fiecare ciocnire pierd energie sub form de cldur determinnd efectul termic al curentului electric. Cu ct un conductor este mai subire, cu att electronii de conducie sunt mai apropiai, ciocnirile fiind mai numeroase, rezult c zonele mai subiri se nclzesc mai puternic dect zonele mai groase ale unui fir.

CONDUCIA ELECTRIC N LICHIDE

A. Disocierea electrolitic

Lichidele pure nu conduc curentul electric, deoarece nu au purttori de sarcin electric liberi. Substanele ale cror soluii n ap, sau n alte lichide, conduc curentul electric se numesc electrolii. Electroliii pot fi acizi, baze, sruri etc.

n soluie, fiecare molecul a electrolitului este nconjurat de un grup de molecule ale solventului (apa) care tind s rup moleculele electrolitului n pri cu sarcini electrice diferite. Ca urmare a acestui fenomen, moleculele electrolitului se desfac, n contact cu solventul, n ioni pozitivi numii cationi i n ioni negativi numii anioni.

Alturi de procesul de disociere electrolitic, are loc i procesul invers de recombinare a ionilor, care este frnat de ctre moleculele solventului care nconjoar fiecare ion. La o temperatur constant se ajunge la echilibru: numrul moleculelor care se disociaz n unitatea de timp este egal cu cu cel al moleculelor rezultate din procese de recombinri.

Procesul de desfacere a moleculelor electrolitului n ioni de semn opus, n contact cu un solvent, se numete disociere electrolitic.

B. Electroliza

Dac ntr-o cuv se monteaz doi electrozi i se toarn o soluie a unui electrolit, se realizeaz un voltametru. Dac ntre electrozii voltametrului se conecteaz o surs electric, electrodul conectat la polul pozitiv se numete anod iar cel conectat la polul negativ se numete catod.

Sub aciunea cmpului electric dintre anod i catod, ionii din soluie vor cpta o micare ordonat: ionii pozitivi spre catod iar ionii negativi spre anod:

anionii (ionii negativi) cedeaz anodului electronii n exces care trec n circuitul exterior iar atomii se degaj sau se combin cu ali atomi;

cationii (ionii pozitivi) primesc electroni din circuitul exterior iar dup neutralizare se depun pe catod sau se degaj.

Procesul de deplasare, neutralizare i de depunere sau degajare a produilor rezultai din disociere electrolitic, determinat de trecerea curentului electric continuu prin soluiile electrolitice, se numete electroliz.

C. Electroliza cu anod solubil

Dac electrolitul este o sare a unui metal care se gsete i la anod, au loc reacii de combinare a anionilor cu metalul din catod formnd o sare.

Imediat are loc disocierea electrolitic cu formare de ioni pozitivi i ioni negativi care vor fi deplasai la catod, respectiv la anod cu depuneri succesive de atomi la catod iar concentraia ionilor din soluie rmne constant. Se spune c are loc electroliza cu anod solubil.

D. Legile electrolizei

Pentru neutralizarea fiecrui ion, ntre acesta i electrod are loc un transfer de sarcin: q=ne

unde n reprezint numrul de electroni primii sau cedai de ion (valena).

La trecerea unei sarcini Q prin circuit, numrul de ioni neutralizai este:

iar masa acestora este: m=N.m0

unde m0 este masa unui ion.

Din aceste relaii rezult c masa de substan depus la catod este:

Amplificnd i simplificnd cu numrul lui Avogadro, NA, rezult:

Fcnd notaia: F=NA.e=96500C/mol (numrul lui Faraday)

produsul (=NA.m0 este masa molar a substanei

rezult:

sau dac se ine cont de intensitatea curentului electric: Q=I.t

Aceast relaie constituie legea general a electrolizei.

Dac se noteaz cu: numit echivalent electrochimic,

rezult m=k.I.tMasa de substan separat dintr-un electrolit este proporional cu intensitatea curentului electric i cu timpul n care circul acel curent prin electrolit.

E. Aplicaiile electrolizei

1. electrometalurgia se ocup cu obinerea unor metale neferoase prin electroliza unor soluii sau topituri de metale.

2. galvanostegia presupune depunerea electrolitic a unor straturi anticorozive pe suprafaa unor corpuri sau pentru nfrumusearea lor ( zincare, nichelare, argintare, aurire etc.)

3. galvanoplastia este arta de a modela unele metale, de a reproduce dup un tipar un obiect, prin metode electrolitice.

4. ionoterapia este utilizat n tratamentul unor boli prin trecerea unui curent electric continuu printr-o soluie n care sunt introduse minile sau picioarele unui pacient.

PROBLEME

1) Nichelul are masa molar (=58,68kg/kmol i valena n=2. Ce intensitate are curentul electric care depune prin electroliz n timp de 4minute o cantitate de nichel cu masa m=338mg?

R: I=4,63A

2) Echivalentul electrochimic al cuprului este k=0,33mg/C. n ct timp se depune, prin electroliza unei soluii de sulfat de cupru, o cantitate de cupru m=1,2g dac intensitatea curentului folosit este I=1,5A?

R: t=40min20s

3) Dou bi electrolitice, una cu AgNO3 alta cu AuCl3 sunt legate n serie. Dac la terminarea procesului de electroliz s-a depus la catodul primei bi m1=100g argint, care este masa m2 de aur depus la catodul celeilalte bi, cunoscnd (1=107,88kg/kmol, (2=197,2kg/kmol, n1=1 iar n2=3.

R: m2=61g

CONDUCIA ELECTRIC N GAZE

Dup cum se tie, un electroscop rmne ncrcat electric mult timp datorit faptului c aerul nu este conductor electric. Dac apropiem de el o flacr, observm c electroscopul se descarc repede. Aerul care conine ioni devine conductor electric. Descrcrile electrice ntre dou corpuri, electrizate diferit, se produc mult mai uor dac ntre ele se introduce o flacr.

Aerul va fi strpuns n cazul cmpului electric foarte mare. O sarcin rtcit (electron sau ion) undeva, n aer, este accelerat de cmp, iar cnd cmpul este foarte intens, sarcina poate atinge o vitez foarte mare nainte de a lovi un atom, fiind n stare s smulg un electron din acel atom. Ca rezultat, sunt produi din ce n ce mai muli ioni. Micarea lor constituie o descrcare sau o scnteie electric.

R. Feynman

Trsnetul este o decrcare electric n aer (un transfer de sarcini electrice ntre un nor i sol, nsoit de fenomene luminoase). Aerul atmosferic conine ioni i electroni obinui n urma ionizrilor naturale, provocate de radiaia cosmic i de elementele radioactive din atmosfer i de pe Pmnt. n general, gazele conduc foarte slab curentul electric deoarece conin un numr mic de ioni i electroni.

Fenomene luminoase apar i n tuburile de descrcri electrice luminiscente n gaze rarefiate. La electrodul negativ apare un strat luminiscent a crui culoare depinde de natura gazului (portocalie la neon). n urma ciocnirilor dintre electroni i atomii de gaz provocnd excitri i ionizri ale acestora. Luminiscena apare n urma dezexcitrii ionilor.

Conducia electric n gaze se realizeaz prin ioni i electroni, ca i n electrolii, dar la trecerea curentului electric prin gaze nu se depune substan pe electrozii tubului de descrcri n gaze.

EMBED Word.Picture.8

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

EMBED MSDraw

PAGE 4

_1035136475.unknown

_1035994045.unknown

_1071057383.unknown

_1035973530.unknown

_1035973987.unknown

_1035974107.unknown

_1035974254.unknown

_1035973705.unknown

_1035813240.doc

_1035973398.unknown

_1035212598.unknown

_1035218508.unknown

_1035218621.unknown

_1035218528.unknown

_1035215296.unknown

_1035215410.unknown

_1035213649.unknown

_1035213733.unknown

_1035213061.unknown

_1035199333.unknown

_1035210832.unknown

_1035136589.unknown

_1035028417.unknown

_1035126449.unknown

_1035119919.unknown

_1035120080.unknown

_1035118330.unknown

_1035026094.unknown

_1035028228.unknown

_1035028297.unknown

_1035028348.unknown

_1035028292.unknown

_1034871978.unknown

_1035025941.unknown

_1034872164.unknown

_1034872140.unknown

_1034871860.unknown

_1034871887.unknown

_1034871839.unknown

_1034843963.unknown

_1034867734.unknown

_1034870344.unknown

_1034870473.unknown

_1034870832.unknown

_1034867982.unknown

_1034867326.unknown

_1034867560.unknown

_1034867611.unknown

_1034867432.unknown

_1034866451.unknown

_1034844501.unknown

_1034747487.unknown

_1034760485.unknown

_1034760778.unknown

_1034760644.unknown

_1034759891.unknown

_1034760160.unknown

_1034759311.unknown

_1034702910.unknown

_1034742683.unknown

_1034742703.unknown

_1034703008.unknown

_1034690611.unknown

_1034694745.unknown

_1034696225.unknown

_1034690647.unknown

_1034690365.unknown

_1034686563.unknown