UNIVERSITATEA DE NORD DIN BAIA-MARE

FACULTATEA DE ŞTIINŢE

ŞIRURI

PROCEDEE PENTRU DEMONSTRAREA

MONOTONIEI, MĂRGINIRII, CONVERGENŢEI

REFERAT

DIDACTICA MATEMATICII

2009-2010, SEM. I

PROF. IONELA POP

- 2 -

1.Definiţii

2.Procedee pentru demonstrarea monotoniei unui şir

3.Procedee pentru demonstrarea mărginirii unui şir

4.Criterii de convergenţă a şirurilor

5.Exerciţii rezolvate

6.Bibliografie

- 3 -

1.Definiţii

Def.1.1

Un şir de numere reale este o funcţie, f : Nk R, f(n)=an , nk , unde k este un număr natural

fixat iar Nk=xNnk

Notăm şirul prin (an)nN sau (an) .

a1, a2, a3, ... se numesc termenii şirului ; a1 este primul termen al şirului, a2 al doilea termen al

şirului etc.; an este termenul general sau termenul de rang n.

Def.1.2

Fie f : Nk R, f(n)=an un şir de numere reale.Se numeşte subşir al şirului an restricţia lui f la

o submulţime cel mult numărabilă N1N.

E xe mplu:

Fie an=(-1)nn; a2n=2n , n1, este subşir al său de rang par iar a2n-1= -(2n-1), n1, este subşir al său de

rang impar.

Studiul şirurilor comportă următoarele aspecte majore:monotonie, mărginire, convergenţă, limita.

Def.1.3

Un şir de numere reale (an)nN se numeşte :

o monoton crescător dacă anan+1 pentru orice nN

o monoton descrescător dacă anan+1 pentru orice nN

o strict crescător dacă an<an+1 pentru orice nN

o strict descrescător dacă an>an+1 pentru orice nN

Un şir crescător sau descrescător se numeşte şir monoton. Un şir strict crescător sau

strict descrescător se numeşte strict monoton.

Def.1.4

Un şir de numere reale (an)nN se numeşte mărginit dacă mulţimea termenilor săi este mărginită.

Propoziţia 1.1

Un şir de numere reale (an)nN este mărginit dacă şi numai dacă există M>0 astfel încât an M (M

se presupune independent de n).

Obsevaţia 1.1

Este suficient ca inegalitatea să fie verificată începând de la un anumit rang.

Propoziţia 1.2.

Un şir de numere reale (an)nN este nemărginit dacă şi numai dacă oricare ar fi M>0, există un

termen an al şirului astfel încât an M.

- 4 -

Def.1.5

- 4 -

Fie (an)nNun şir de numere reale şi a R-, +.Se spune că şirul (an)nN are limita a dacă în

orice vecinătate a punctului a se află toţi termenii şirului începând de la un anumit rang. Se scrie în

acest caz lim an a

n

sau ana pentru n .

Def.1.6

Orice şir de numere reale având limită finită se numeşte convergent. Dacă aR şi

lim an a ,n

atunci se mai spune că şirul este convergent către a.Şirurile care nu au limită şi cele care au limita (-

) sau (+) se numesc divergente.

Def.1.7

Spunem că un şir an este fundamental (sau şir Cauchy) dacă 0 N astfel încât an-am ,

n, m N.

Def.1.8

Spunem că un şir an este fundamental (sau şir Cauchy) dacă 0 N astfel încât an+p-an ,

n N şi pN*.

2.Procedee pentru demonstrarea monotoniei unui şir

2.1.Folosirea definiţiei

E xemplu:

(an)n0, an=n

n 1, an+1=

n 1 :

n 2

n<

n 1 n(n+2)<(n+1)2 n2+2n<n2+2n+1 0<1 adevărat!

n 1 n 2

2.2.Calculând diferenţa an+1-an sau an-an+1 şi comparând-o cu 0

E xemplu:

1 1 1 1 1 1 1(an)n1 , an=1 ...

2 2 32 n 2 , an+1=1 22 ...

32 n 2 (n 1) 2

an+1-an=1

(n 1) 2

0 , de unde avem că şirul este strict crescător.

- 4 -

2.3.Calculând raportul

E xe mplu:

an1

an

şi comparându-l cu 1

- 5 -

n n

n

n! an1

(n 1)!

3 n1

n!(n 1) 3n

n 1

(an)n2 , an= , 3n a n!

3n

3n 3 n!

1 pentru n 2 .3

2.4.Folosind inducţia matematică

E xemplu:

an= 2 an 1 , oricare ar fi n2,

a1 2, a2

2 2

Observăm că a1<a2 .

Presupunem că an-1<an şi demonstrăm că an < an+1

Dacă an-1<an avem că 2+an-1<2+an de unde 2 an 1 2 an , adică an < an+1 .

2.5.Considerând şirul ca o restricţie la mulţimea Nk a unei funcţii

E xe mplu:

(an)n0 , an=3n este şir strict crescător fiind restricţia la mulţimea numerelor naturale a

funcţiei crescătoare f:RR, f(x)=3x.

3.Procedee pentru demonstrarea mărginirii unui şir

3.1.Prin minorare sau majorare

E xemplu:

1an=1

2 2 1

... 1

32 n 2

Deoarece 1

1

1

1

avem: 1a <1+1- 1

1

1 ....

1

1 2

1 2

k 2 k (k 1) k 1 kn

2 2 3 n 1 n n

Deci, 1an<2 , adică şirul este mărginit.

3.2.Folosind monotonia şirului

E xemplu:

an= 2 an 1 , oricare ar fi n2,

a1 2

Deoarece şirul este strict crescător (2.4) avem an < an+1 şi deci an 2 an de unde a 2-a -2<0,

oricare ar fi n, n2< de aici avem că an aparţine intervalului determinat de rădăcinile ecuaţiei

x2-x-2=0 , deci şirul este mărginit.

3.3 Folosind inducţia matematică

E xemplu:

- 6 -

an= 2 an 1 , oricare ar fi n2,

a1 2

Observăm că a1<2.

n

n

n

4

3 n log x

n

n

n x

Presupunem ca an-1<2 şi avem: 2+an-1<4 de unde 2 an 1 4 , de unde an<2.

3.4 Considerând şirul ca o restricţie la mulţimea Nk a unei funcţii mărginite

E xe mplu:

nan=sin

n 2 1

, n N este mărginit deoarece este restricţia la mulţimea N a funcţiei f:R-1;1 ,

f(x)=x

.x 2 1

4.Criterii de convergenţă a şirurilor

4.1 Folosind teorema de caracterizare a limitelor de şiruri

a) Sirul a

n 0

este convergent către numarul real a daca pentru orice

0 există NN astfel

încat pentru orice n N să avem

an a .

b) Sirul a

n 0

are limita (respectiv ) dacă pentru orice 0 există NN astfel încât

pentru orice n N să avem an (respectiv

E xe mplu:

2 3n 3n

an ).

an=4n ; arătăm că an0

2 3n 3n 2

3n 3n

3 3n 3

Avem: 3 4n 4n

3

4n 4

2 3n 3n3

Rezultă că, atunci când 3 4

, avem si

. Inegalitatea 3

4n

devine:

3 (atenţie la monotonia functiei

exponentiale

3 ).

4 3 4 3

4

Putem deci alege N log 3 3 1.

4

Ob s e r v atie

Acest criteriu ne permite să stabilim dacă un şir cu termenul general specificat tinde sau nu la

o limita precizată. Nu putem determina efectiv valoarea limitei recurgând la acest criteriu.

4.2 Criteriul majorării

Fie (an)n0 un şir de numere reale.

a)presupunem că lR şi că există un şir (bn) n0 de numere reale pozitive, bn0 astfel încât an-lbn

, oricare ar fi nk (k rang fixat) ; atunci an converge către l.

b)dacă (un)n0este un şir astfel încât anun , oricare ar fi nk (k rang fixat) şi un atunci an .

n

2

n

c) dacă (vn)n0este un şir astfel încât anun , oricare ar fi nk (k rang fixat) şi vn- atunci an- .

Consecinţa 1:

Dacă an l1

, n 1 atunci an l .n

C on s ec inţa 2:

Dacă 0an bn nk (k rang fixat) şi bn0 atunci an0.

E xemple:

o a sin n

, n 1 : a

0 1

de unde a 0 .

nn

nn

n

o an

1 a

n 1 , an 0

n n 1 a

:

n n n 1 C 1

a C 2 a 2 ... a n C 2 a 2

n n n n n n n n n

De aici avem că n C 2 a 2 , de unde n n(n 1)

a 2

, deci :

a 2

2

n 1

n n

, de unde an 2

n 1

2n

, n 2 .

Deoarece2

n 1 0 avem că an 0

4.3 Criteriul Weierstrass

a)Orice şir monoton crescător şi mărginit superior de numere reale(în R) este convergent.

b)Orice şir monoton descrescător şi mărginit inferior de numere reale (în R) este convergent.

E xemplu:

1 1 1(an)n1 , an=1 ...

2 2 32 n 2

1an+1-an=

(n 1) 2

0 , de unde avem că şirul este strict crescător (1).

1an<1+1-

21

1

2 3 ....

1

1

n 1 n 2

1

n 2 , de unde şirul este mărginit (2).

Folosind (1) şi (2) avem că an este convergent.

2

Obs. Şirul de mai sus are limita egală cu .6

4.4 Criteriul cleştelui

Fie (an)n0 , (bn)n0 , (cn)n0 trei şiruri de numere reale astfel încât an bn cn , nN. Dacă

anl , cn l atunci bn l.

E xe mplu:

n 1 1 1a ...

1.

n 2 2 2 2k 1 n k n 1 n 2 n n

Observăm că:1

1

1

, k 1, n . Rezulta de aici:n2 n n2 k n2 1

nn 1

n

n 1 2 2 2n n

n

k 1

a

n k n 1

n

nn2 n n2 1

Se observă acum că

lim an 1.n

limn

n

n2 n lim

n

n

n2 1 1 . Conform criteriului cleştelui, rezultă că

4.5 Criteriul raportului

Fie (an)n0 şir de numere reale strict pozitive. Dacă există l R-, + astfel încât

lim an 1

l

atunci:

n an

a) Dacă l0;1) avem an0

b) Dacă l(1;) avem an

c) Dacă l=1 nu putem afirma nimic despre natura limitei

E xemplu:

2n

(an)n0 , an=n!

, şir cu termeni pozitivi.

lim an 1 lim

2 0 1 a

0 .n an

n n 1n

4.6.Criteriul radical (criteriul D’Alembert)

Fie (an)n0 şir de numere reale strict pozitive. Dacă există lR-, + astfel încât

lim an 1

l

atunci lim n an l

n ann

E xe mplu:

n 2 1 xn= n .

2n 5

n 2 1

an 1 n 2 2n 2

2n 5 2n 3 9n 2 14n 10

Fie an= ;2n 5

limn an

lim

n2n 7 n 2

1

lim

n2n3 7n

2 2n 7

1 (limită de funcţie

raţională), de aici avem că lim n

an n

4.7 Criteriul Stolz-Cesaro

1 adică xn1.

n 1

2n l

1

n 2 2 2

Fie (an)n0 , (bn)n0 şiruri de numere reale astfel încât bn este strict monoton şi nemărginit şi există

limita lim an1 an

n bn1 bn

E xe mplu:

11 2 2 ... n n

l , lR-, +.Atunci există lim an

n

bn

l .

yn=n n

fie an=11+22+…+nn şi bn=nn

n n 1

n1

an1 an n 1n 1

1

n

1 1

n e

1 deoarece :

b b (n 1) n1 n n n 1 n n n1 e 0

n1 n n

n

n1 1 n n

1 1 n 1

e şi 1 0 . Aşadar y 1.

n n n

4.8.Criteriul Cauchy

Un şir de numere reale este convergent dacă şi numai dacă este şir Cauchy.

E xemplu:

1 1 1 1an=1 .... .

2 2 2 23 2 n

Vom demonstra că 0 N astfel încât an+p-an , n N şi pN*.

an p an 1 1

1

2 22

...

1

2 n1 ...

1

2 n p 1

1

1

2 22 ... 1

2 n

1 11

1

2 n1

...

1

2 n p

1 1 1 ....

1 1 1

1

... 1

1

2

2 p

1 1 11

2 n1 2 2 p 1 2 n 2 22 2 p 2 n

1 1

22 n 2 p 2 n

De aici obţinem:

1 an p an

1 n log

1 , deci N 1

og

1

an p an

1

0 N , N = 1 log 2 astfel încât an+p-an , n N şi pN*.

Monotonie- mărginire – convergenţă – DE REŢINUT!

1)orice şir monoton şi mărginit este convergent (t. Weierstrass).

2)orice şir convergent este mărginit.

3)un şir convergent nu este neapărat monoton.

4)orice şir mărginit are cel puţin un subşir convergent (lema Cesaro).

1

1n

:

5.Exerciţii rezolvate

15.1.Şirul an=1

2

Soluţie:

1 ...

3

1 ln n

neste convergent. (limita sa este constanta lui Euler, 0,5772)

Folosim inegalităţile:

1

n 1

n e

1

n

(n 1) ln n 1

ln e n ln n 1

n 1 1

n n 1 1

n

n nln

n 1

nln1

1 n

1 ln1 1

1 1 ln( n 1) ln n 1

n 1 n n n 1 n

Pentru n=1:

Pentru n=2:

1 ln 2 ln 1 1

2

1 ln 3 ln 2

1

3 2

Pentru n=3:1 ln 4 ln 3

1

4 3

………………………………………

Pentru n=k:1

k 1 ln( k 1) ln k

1

k

Adunând obţinem:

1

1 ....

1 ln( k 1) 1

1 .....

1

2 3 k 1 2 k

Cum ln kln (k+1) avem: ln k1 1 .....

1de unde avem că 1

1 .....

1 ln k 0 ceea

ce

înseamnă că

2 k 2 k

şirul este mărginit inferior (1).

1 1 k k 1 k 1 1 ak+1-ak= ln( k 1) ln k

ln ln ln 0 ceea

k 1

ce înseamnă că

k 1 k 1 k 1 k 1 k k 1

şirul este descrescător (2).

Din (1) şi (2) folosind criteriul 4.3. avem că şirul este convergent.

15.2.Şirul an=1

2

Soluţi e :

1 ...

1

3 neste divergent; limita sa este +.

a

1

1

Folosind exerciţiul 5.1. avem:

ln( n 1) 1 1 .....

1de unde avem : anln(n+1) şi cum ln(n+1) avem , conform criteriului

2 n

4.2. că an .

5.3.Demonstraţi căn

n 0 , 0, a1. (şirul exponenţial tinde mai repede la + decât

şirula n

putere)

Soluţi e :

n

Folosim criteriul raportului (4.5) : xn=a n

n 1n

xn 1n 1

n 1

1

1

1 1

1 1 x 0

xn n n n a a n a

5.4.Demonstraţi că

logaritmic)

Soluţie:

a n

log a n n

0n

, 0, a1 (şirul putere tinde mai repede la + decât şirul

Folosim criteriul Stolz-Cesaro (4.7)

an=logan , bn=n , bn strict crescător şi nemărginit

1 1 log a 1 ln1

an1 an log a (n 1) log a n

n

n 1

.bn1

bn (n 1) n

ln a 1

ln

1

1n 1

n

1

ln1

1

n 1

1n

lim an 1 an lim n 1

1 lim n 1 1

n bn 1 bnn ln a

1 ln a n 1 n

1 n 1 n

n n 1

1n

1

1 lim1

1

lim1

1

lim

1 lim

1

ln a n ln a n 1 ln a n 1 n n

n 1 1

1 1 1 1 1 1

n n n 1

n

n 1 n

= 1

ln a

1 0

0

, de unde avem călog a n

n 0 .n

5.5.Arătaţi că n a n 1 , a 0.

Soluţi e :

a

n

nnn

n

n

n n

Notăm xn= n a 1 1 xn n a 1 x

n a

Folosind inegalitatea lui Bernoulli avem:

1 xn 1 nxn nxn

De aici avem că : anxn deci : 0 x

a n

0de unde xn0 , ceea ce implică n a n 1

5.6.Demonstraţi că

Soluţie:

n n!

n

nn

n 2,n 1

e

Folosim criteriul radical :

Fie a n!

nn n

an 1

(n 1)!

n

n n

a (n 1) n 1 n! (n 1) n

n 1

n ! 1lim

an 1

n an

lim

n

1

n 1

limn

1

1

1 e, de unde n an

1 adică

e

n n 2,n .

n e

n

1 n

15.7.Să se arate că şirul (an)n1 , dat de relaţia de recurenţă an+1= b a3

n2n1 , a1=a2=0 , 0b1

,

este convergent şi să se afle limita sa.

Soluţie:

an1 an

1

a3

n

an12n1

2n 2 (1)

Arătăm prin inducţie matematică : an+1an.

ba2-a1=0 , a3-a2=

3

unde avem că

0 ; presupunem că anan-1 şi folosind relaţia (1) rezultă imediat că : an+1an

de

şirul este monoton. (2)

ba2=a1=01 , a3=

34b

1 , a4= 19

Arătăm prin inducţie că an1

Presupunem că ak-1 , ak 1

a 1 b

a

a 2 1

(b 1 1) b 2

3 1

k 13

k k 1 3 3 3

Obţinem astfel că :

şirul este mărginit (3)

!

nn

Folosind (2) şi (3) avem că şirul este convergent deci există limita sa , l.

Trecând la limită în relaţia de recurenţă obţinem: l 1 b l l 2

sau3

l 2 2l b 0

l1,2 1 1 b şi cum xn 1

n

avem l 1

1 b .

5.8.Fie şirul (an)nN definit astfel : a0=2 , an-1-an=

a) Să se găsească termenul general

b) Să se arate că şirul este convergent

Soluţie:

.(n 1)!

a) an-1-an=n

.(n 1)!

Pentru n=1:1

a0 a1 2!

Pentru n=2:2

a1 a2 3!

…………………………..

n

Adunând egalităţile obţinem :

an1 an (n 1)!

n

a a n n 1 1

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 0 n

k 1 (n 1)!

k 1

(n 1)!

k 1 n!

(n 1) 1! 2! 2! 3! 3! 4! n! (n 1)!

De unde avem: a0 an 1

1şi

(n 1)!cum a0 2 avem: an 1

1

(n 1)!

b) an+1-an =

1

1 n 2 (n 2)!

0 de unde avem că:

şirul este strict descrescător (1)

1 1 (n

1)!

1 an ceea ce înseamnă că :

şirul este mărginit inferior (2)

Folosind (1) şi (2) avem că şirul este convergent.

n 15.9.Arătaţi că şirul xn P

este convergent.

Soluţie:n 1 n 1

k 1 k

1 1 1xn P

= k!

1 2!

3!

.... n!k 1

kk 1

1

xn1 xn 1

(n 1)!

0 , de unde avem că

şirul este strict crescător (1)

1

1

k! 1 2 3 ... (k 1) k

1

(k 1) k

1

1

k 1 k

Folosind relaţia de mai sus obţinem:

n xn 1 1 1 1

1

1

1 ...

1

1 2

1 2 , deci:

k 1 k 1 k 2 2 3 n 1 n n

şirul este mărginit (2)

Folosind relaţiile (1) şi (2) avem că şirul este convergent.

5.10. Fie (xn)n1 un şir de numere reale pozitive astfel încât : (n+1)xn+1-nxn0.

Să se demonstreze că şirul este convergent şi să se calculeze limita.

Soluţie:

Relaţia din enunţ , (n+1)xn+1-nxn0 se poate scrie astfel:

xn 1 xn

nn 1

1 , ceea ce înseamnă că şirul

este descrescător. Fiind descrescător şirul este mărginit superior de primul său termen , deci

xn(0;x1) , oricare n1.

Fiind descrescător şi mărginit şirul este convergent.

În relaţia din enunţa dăm valori lui n şi obţinem relaţiile :

2x2-x10

3x3-2x20

4x4-3x30

…………. nxn-

(n-1)xn-10

(n+1)xn+1-nxn0

Prin adunarea membru cu membru obţinem:

(n 1) x

x 0 0 x x1 0 lim x lim

x1 0 lim x 0 lim x 0n 1 1 n1 n 1 n n1 n n 1 n

nn

n

1 1 1 n 15.11.Să se arate că şirul cu termenul general xn= 12 22

Soluţi e :

... (1)32 este convergent.

n 2

222

1

x2 n1 x2 n 1

0 (2n 1) 2

, x2 n 3 x2 n1

1

2n 32 1

02n 22

iar x2 n 2 x2n

1

2n 12

1

02n 22

De aici avem că şirul x2n este strict crescător, x2n+1 este strict crescător şi şi x2x2nx2n+1x1, deci

sunt şi mărginite. Rezultă că sunt şi convergente şi din

aceeaşi limită, deci xn este convergent.

x2 n1 x2 n

1 0

(2n 1) 2rezultă că au

1 1 1 1 1 1 x2n=

12 ... 2 ... de unde folosind observaţia de la criteriul 4.3.

2 2 (2n) 2 2 2 4 2 (2n) 2

avem că : lim x2 n n

6 12

.12

sin( 2n 1)

n

5.12 Să se studieze convergenţa şirului x

cu termenul general x 1 2 ,

oricare ar fi n N* .

n n1 n n

Soluţi e :

2 n

sin 4n 1

2

sin 2n

2 n 2 n

2

(O.M, et.locală, Timiş, 2009)

x2 n 1

12n

2n

1

2n

e;

2n 1

2 n13

sin 4n 3 2 sin

2n

2

1 2 n1

1 1

x2 n1 1

2n 1

1

2n 1 1

2n 1

e e

Cum e 1

erezultă că lim xn n

nu există adică şirul este divergent.

n 15.13 Să se calculeze limita şirului xn

n1 definit prin xn

x

k 1 n 3 k 12 k 2 12

, n 1.

Soluţi e :

Avem inegalităţile :

k 3 k 1k 2 1 k

13 ,

k 1, n, n 1

(O.M, et. locală, Cluj 2009)

k 2 3 (k 1) 2 (k 2 1) 2

n

(k 1) 2 , k 1, n ,

n

n 1

Deducem că 1 12 n 2

,n 1k 1 k 1 n

k 1 n k

n

n

n

n

n n

2

n

n

n

3

n

n

n

n

Avem inegalităţile :n

n k 2 2kn

n , k 1, n , n N *

Aşadar 0 1

1

, n N *

k 1 n k

k 1 2k n

Avem 1 1 1 ... 1

2 n ,

n 1

k 1 2k n 2 n

1 1 ...

1

Utilizând criteriul Stolz – Cesaro (4.7), se arată că lim 2 n 0

5.14 Fie a un şir astfel încât a 0 şi a

n 2 n

a 1

, n N.n nN 0 n1 na 2 a 1

a) Să se arate că an nN este strict crescător şi nemărginit.

anb) Să se calculeze lim .

Soluţi e :

n 3 n

1

(O.M, et. locală, Teleorman, 2008)

a) an 0 prin inducţie, an1 an 0 .a 2 a 1

Dacă an nN ar fi mărginit, ar rezulta convergent, adică

lim an n a (finit) şi, trecând la limită în

relaţia de recurenţă rezultă a a

1;

a 2 a 1

1

a 2 a 1

0 ; a finit (Fals), deci an

nN este strict

crescător şi nemărginit rezultă lim an n .

a a 3 3a 3 a 3 1 3a 2

b) lim n

lim n lim n 1 n lim a

a 3 lim n

n 3 n n n n n 1 n

n n a 2 a 1

nn a 2 a 1

+3an

1 3 , ţinând cont de lim a ;

deci

anlim 3 3

a 2 a 12 a 2

a

13n

nn 3 n

6.Bibliografie

o Gh. Gussi, O.Stănăşilă, T.Stoica – „Manual pentru clasa a XI-a” , EDP, Bucureşti 1995

o I.Petrică, E.Constantinescu, D.Petre – „Probleme de analiză matematică”

o A.Dragomir, L.Dragomir, O.Bădescu, I.D.Bîrchi – „Exerciţii şi probleme de matematică pentru

clasa a XI-a”, ed. Bîrchi, Timişoara 2007

o Gh.A.Schneider – „Teste de analiză matematică pentru admiterea în învăţământul superior” , ed.

Apollo , Craiova , 1990

o Revista de matematică din Timişoara, anul XII (seria a IV-a) , nr. 3/2007

o www . d i d ac t i c .r o

o www . o lim p i a d e .r o