18 campul electromagnetic_fe

A. Rusu, S. Rusu 18. Cmpul electromagnetic

1

18. Cmpul electromagnetic

18.1. Cmpul electric turbionar. Prima ecuaie a lui Maxwell. Betatronul

Dup cum s-a menionat n 17.1, n concepia lui Maxwell, esena fenomenului induciei electromagnetice const n inducerea unui cmp electric care se poate observa i n absena conductoarelor. Apariia curentului de inducie ntr-un contur conductor nchis este numai una din manifestrile cmpului electric aprut ca rezultat al variaiei cmpului magnetic. ntr-adevr, dup cum se observ, n ecuaia (17.8)

S

BEdl dS

t

L

(18.1)

nu este prezent nici o caracteristic a materialului conturului conductor L de form arbitrar dup care se calculeaz circulaia. Acest fapt l-a determinat pe Maxwell s nainteze ipoteza c relaia (18.1) este valabil nu numai pentru un contur conductor, ci i pentru orice contur trasat imaginar n cmpul magnetic variabil. Aceasta nseamn c

orice cmp magnetic variabil induce n spaiul nconjurtor un cmp electric turbionar care nu depinde de prezena sau de absena materialelor conductoare n acest cmp.

Caracteristica principal a cmpului electric turbionar indus de cmpul magnetic variabil este faptul c circulaia lui de-a lungul unui contur arbitrar nchis este diferit de zero i nu depinde de modul de alegere a acestui contur. Generalizat n acest mod, ecuaia (18.1) reprezint prima ecuaie a lui Maxwell sub form integral. Ea are urmtorul coninut:

Circulaia vectorului intensitii cmpului electric indus E de-a lungul unui contur nchis de form arbitrar ce nu se mic i nu se deformeaz, trasat imaginar n cmpul magnetic, este

egal cu fluxul vectorului vitezei de variaie a induciei magnetice B t prin orice suprafa

mrginit de acest contur, luat cu semnul minus.

Forma diferenial a primei ecuaii a lui Maxwell se obine ca n 17.1 cu ajutorul teoremei lui Stokes i are aspectul

rotB

Et

. (18.2)

Cmpul electric indus d natere unui curent de inducie n materialele conductoare. Dar, acest cmp electric poate s realizeze i alte aciuni, cum ar fi polarizarea unui dielectric, provocarea strpungerii unui condensator, accelerarea sau frnarea particulelor ncrcate, etc. n calitate de exemplu de utilizare practic a cmpului electric turbionar v-om analiza principiul de funcionare a betatronului accelerator inductiv de electroni. Construcia schematic a betatronului este prezentat n figura 18.1. ntre polii N i S ai unui electromagnet puternic este plasat o camer vidat C

Fig. 18.1


2

de form toroidal, centrul creia se afl pe axa de simetrie a polilor acestuia. La variaia intensitii curentului din bobina electromagnetului cu o anumit frecven se formeaz un cmp magnetic variabil, care la rndul su d natere unui cmp electric toroidal, liniile cruia trec prin camera vidat C. Fluxul de electroni introdus n camera vidat tangent la liniile cmpului electric toroidal este accelerat de ctre acesta i, n consecin, capt energii cinetice de zeci sau chiar i sute de megaelectronvoli.

18.2. Curentul de deplasare. A doua ecuaie a lui Maxwell

Legea curentului total (teorema circulaiei) (16.21):

cHdl IL

, (18.3)

care poate fi reprezentat i sub forma diferenial (16.22)

rot cH j , (18.4)

a fost obinut pentru cazul curenilor staionari. n (18.3) i (18.4)

c c

S

I j dS i cj reprezint

intensitatea i, respectiv, densitatea curentului de conducie care strbat o suprafa arbitrar mrginit

de conturul de form arbitrar L trasat imaginar n cmpul magnetic. S analizm valabilitatea acestei legi pentru cazul curenilor nestaionari. Pentru aceasta calculm divergena de la prile stng

i dreapt ale ecuaiei (18.4): divrot div .cH j ns, div rot 0.H H H Rezult, deci, c i div 0cj , ceea ce nu poate fi dect n cazul curenilor staionari, ntruct, dup cum rezult

din ecuaia de continuitate (14.7):

div 0cjt

, (18.5)

n cazul curenilor nestaionari div 0cj . Aceast contradicie demonstreaz c legea curentului total

scris sub formele (18.3) sau (18.4), n cazul curenilor variabili nu mai este valabil i trebuie generalizat. Urmnd raionamentele lui Maxwell, v-om observa c ntruct divergena oricrui rotor

este ntotdeauna egal cu zero, adic divrot 0H , n partea dreapt a ecuaiei (18.4) trebuie s se afle un vector, divergena cruia, de asemenea, ntotdeauna trebuie s fie egal cu zero. n afar de aceasta, n cazul curenilor staionari acest vector trebuie s treac n vectorul densitii curentului de conducie

cj . Pentru a stabili acest vector derivm n raport cu timpul ecuaia (12.22), care reprezint teorema lui

Gauss pentru cmpul electric n dielectrici:

div D , (18.6)

unde este densitatea sarcinilor libere, iar D este vectorul induciei (deplasrii) electrice. n urma

derivrii se obine:

div 0D

t t

.

ns, dup cum rezult din (18.5)

div cjt

.


3

Substituind aceast expresie n ecuaia precedent, obinem:

div 0cD

jt

.

Astfel, vectorul cutat este

cD

j jt

, (18.7)

care, dup cum i se cere, n cazul curenilor staionari trece n vectorul densitii curentului de

conducie cj . Vectorul

deplD

jt

, (18.8)

a fost numit de ctre Maxwell vector al densitii curentului de deplasare. Acum, ecuaia (18.4) valabil att pentru cureni staionari, ct i nestaionari capt forma

rot cD

H jt

. (18.9)

Ea reprezint forma diferenial a celei de a doua ecuaii a lui Maxwell. S verificm supoziia privind existena curentului de deplasare n urmtorul exemplu. Fie un

condensator ncrcat constituit din dou plci circulare, care sunt unite printr-un conductor, i care se rencarc, curentul I fiind acel curent care transport sarcina de pe placa din stnga pe cea din dreapta (fig. 18.2). Cmpul magnetic n punctul A se poate calcula trasnd prin acest punct un cerc de raza r i utiliznd teorema circulaiei (18.3). n figura 18.2,a prin suprafaa plan mrginit de acest cerc circul curentul de intensitate I . Conform (18.3),

002

2 2c

IIHdl I H r I H B H

r r

L

. (18.10)

Legea curentului total trebuie s fie satisfcut pentru orice suprafa mrginit de acest cerc, inclusiv

pentru suprafaa S indicat n figura 18.2,b. ns, n acest caz

0c cS

I j dS ,

ntruct curenii de conducie nu trec prin suprafaa S . Atunci, conform teoremei circulaiei (18.3)

0 0 0Hdl H B L

,

ceea ce contrazice rezultatului (18.10), verificat inclusiv i cu ajutorul legii lui Biot i Savart. Pentru a nltura aceast dificultate trebuie s adugm

n partea dreapt a ecuaiei (18.3) un astfel de termen deplI , nct suma

deplI I s nu depind de alegerea suprafeei S . Acest termen este

intensitatea curentului de deplasare. Independena curentului total deplI I

de forma suprafeei mrginit de conturul de form arbitrar L este echivalent afirmaiei, potrivit creia curentul total printr-o suprafa

Fig. 18.2


4

arbitrar nchis ntotdeauna este egal cu zero. Curenii care satisfac aceast condiie se numesc nchii. n cazul nostru se poate spune c prin conductor trece numai curentul de conducie, iar prin condensator numai curentul de deplasare, care completeaz curentul de conducie, nchiznd circuitul electric. Din aceast condiie rezult c intensitatea curentului de deplasare n condensator trebuie s fie

egal cu intensitatea curentului de conducie din conductor: deplI I q , unde q este sarcina acelei

plci a condensatorului spre care circul curentul de conducie. Conform formulelor (10.28) i (12.25)

q S DS . Derivnd aceast expresie n raport cu timpul i mprind la S , obinem

depl

depl depl

I q Dj D j

S S t

,

ceea ce coincide cu (18.8). Formula (18.8) se confirm i n alte multiple exemple de acest gen. Curentul de deplasare n dielectrici const din doi termeni diferii. Conform definiiei vectorului

induciei (deplasrii ) electrice (12.18) 0D E P . De aceea

depl 0E

jt t

P.

Mrimea t P se numete densitate a curentului de polarizare. nsi vectorul de polarizare se

definete cu expresia (12.7)

1 1

1 1N N

i i i

i i

p q lV V

P ,

unde sumarea se realizeaz dup toate sarcinile legate. Difereniind aceast expresie, pentru densitatea curentului de polarizare obinem

pol1 1

1 1N Nii i i

i i

lj q q

t V t V

v

P,

unde iv este viteza micrii sarcinii cu numrul i . Astfel, curentul de polarizare este curentul electric

determinat de micarea sarcinilor legate, care principial prin nimic nu se deosebesc de sarcinile libere. De aceea, era i de ateptat ca curenii de polarizare s genereze cmp magnetic. Esenial este faptul c

cellalt termen 0 E t al curentului de deplasare, care nu este legat cu vreo micare a sarcinilor

electrice, fiind determinat numai de variaia cmpului electric, de asemenea, este surs a cmpului magnetic. Chiar i n vid, orice variaie a cmpului electric d natere unui cmp magnetic n spaiul nconjurtor. Descoperirea acestui fapt a reprezentat pasul decisiv n elaborarea de ctre Maxwell a teoriei sale.

Existenta curentului de deplasare a fost confirmat experimental n multiple experiene. S analizm una din ele, i anume, experiena lui Eichenwald, n care a fost

observat curentul de polarizare la rotaia n jurul axei OO a unui disc dielectric situat ntre armturile unui condensator plan (fig. 18.3). Fiecare plac a condensatorului este mprit n cte dou pari 1,2 i 3,4 conectate ntre ele astfel nct jumtile discului sunt polarizate n sensuri opuse (fig.18.3). La rotaia discului dielectric sensul vectorului de polarizare se schimb n opus la trecerea de la perechea de placi 1,3 la perechea 2,4.

Fig. 18.3


5

Aceast variaie a vectorului de polarizare d natere unui curent de polarizare orientat paralel cu axa

OO . Conform concepiei lui Maxwell acest curent trebuie s excite n spaiul nconjurtor un cmp magnetic. Acesta a fost observat de ctre Eichenwald n apropierea discului cu ajutorul unui ac magnetic.

Forma integral a ecuaiei a doua a lui Maxwell se obine prin adugarea n partea dreapt a ecuaiei

(18.3) a intensitii curentului de deplasare deplI . Aceast intensitate poate fi determinat cu fluxul

vectorului densitii curentului de deplasare prin orice suprafa ce mrginete conturul de form

arbitrar L trasat imaginar n cmpul magnetic:

depl depl

S S

DI j dS dS

t

. (18.11)

Astfel, forma integral a celei de-a doua ecuaii a lui Maxwell are aspectul

deplcHdl I I L

,

sau

c

S

DHdl j dS

t

L

. (18.12)

Dup cum se observ din (18.11), cureni de deplasare exist numai acolo unde variaz inducia (deplasarea) electric. Totodat, din (18.12) rezult coninutul fizic al ipotezei lui Maxwell despre curenii de deplasare:

cmpurile electrice variabile sunt surse ale cmpurilor magnetice.

Aceast descoperire i aparine n totalitate lui Maxwell i este analogic descoperirii fenomenului induciei electromagnetice, conform cruia

cmpurile magnetice variabile induc cmpuri electrice.

Astfel, cele dou cmpuri (electric i magnetic) variabile se genereaz unul pe altul crend un cmp unic numit cmp electromagnetic. Coninutul celei de a doua ecuaii a lui Maxwell este urmtorul:

Circulaia vectorului intensitii cmpului magnetic H de-a lungul unui contur arbitrar nchis ce nu se mic i nu se deformeaz, trasat imaginar ntr-un cmp electromagnetic este egal cu suma algebric a intensitilor curenilor de conducie i a celor de deplasare printr-o suprafa arbitrar ce mrginete acest contur.

18.3 Ecuaiile a treia i a patra ale lui Maxwell

Maxwell a presupus c teorema lui Gauss (12.19) scris sub forma

S

DdS q

sau


6

S V

DdS dV , (18.13)

este valabil nu numai pentru cmpurile electrice staionare, ci i pentru cele variabile. n (18.13)

este densitatea sarcinilor libere, iar V este volumul mrginit de suprafaa nchis S . Generalizat n acest mod ecuaia (18.13) reprezint a treia ecuaie a lui Maxwell:

Fluxul vectorului induciei (deplasrii) electrice D printr-o suprafa arbitrar nchis S ce nu se mic i nu se deformeaz, trasat imaginar n cmpul electromagnetic, este egal cu suma algebric a sarcinilor libere q aflate n interiorul acestei suprafee.

Forma diferenial a acestei ecuaii se obine, dac n (18.13) se trece de la integrala dup suprafaa

S la integrala dup volumul V utiliznd relaia (10.26). Se obine

div D . (18.14)

Maxwell a mai presupus c teorema lui Gauss (15.42) scris sub form integral

0S

B dS (18.15)

sau diferenial (15.43)

div 0B (18.16)

este valabil nu numai pentru cmpuri magnetice staionare, ci i pentru cele variabile. Astfel generalizat, teorema lui Gauss pentru cmpurile magnetice constituie a patra ecuaie a lui Maxwell:

Fluxul vectorului induciei magnetice B printr-o suprafa arbitrar nchis S ce nu se mic i nu se deformeaz, trasat imaginar n cmpul electromagnetic, este egal cu zero.

18.4. Sistemul de ecuaii ale lui Maxwell

Astfel, teoria lui Maxwell a cmpului electromagnetic poate fi reprezentat matematic sub forma unui sistem din 4 ecuaii stabilite de Maxwell n urma generalizrii legii induciei electromagnetice, legii curentului total i teoremelor lui Gauss pentru cmpurile electric i magnetic n baza datelor experimentale. Acest sistem poate fi scris sub form integral

,

,

,

0,

S

c

S

S V

S

BEdl dS

t

DHdl j dS

t

DdS dV

B dS

L

L (18.17)

sau diferenial


7

rot ,

rot ,

div ,

div 0.

c

BE

t

DH j

t

B

D

(18.18)

Ecuaiile lui Maxwell arat c

sursele cmpului electric sunt sarcinile electrice i/sau cmpurile magnetice variabile. Sursele cmpului magnetic sunt sarcinile electrice n micare (curenii electrici) i/sau cmpurile electrice variabile.

Ecuaiile lui Maxwell nu sunt simetrice n raport cu cmpurile electric i magnetic. Aceasta este o consecin a faptului c n natur exist sarcini electrice, dar, din cte se cunoate n prezent, nu exist sarcini magnetice, adic monopoluri magnetice. Existena monopolurilor magnetice a fost prezis de ctre Dirac, ns pn n prezent nu exist dovezi experimentale clare ce ar indica existena lor. Totodat, nu este clar nici faptul, de ce natura nu a lsat loc i pentru ele. Dac ipoteza despre existena monopolurilor magnetice s-ar confirma, atunci ar fi necesar o nou generalizare a ecuaiilor lui Maxwell. n acest caz la sursele enumerate ale cmpului magnetic ar trebui de adugat i sarcinile magnetice, iar la sursele cmpului electric - curenii magnetici. Ecuaiile lui Maxwell (18.17) i (18.18) n acest caz ar rmne valabile numai pentru acele domenii ale spaiului unde nu sunt monopoluri magnetice.

Trebuie de remarcat, ns, c ecuaiile fundamentale ale lui Maxwell (18.17) i (18.18), nu alctuiesc ns sisteme complete de ecuaii ale cmpului electromagnetic. Dou dintre aceste ecuaii sunt vectoriale, iar celelalte dou scalare. Dac le-am scrie n proiecii pe axele de coordonate am obine 8

ecuaii ce leag 16 mrimi: 15 componente ale vectorilor , , , ,E D B H j i scalarul . Este evident c

pentru determinarea a 16 mrimi 8 ecuaii nu sunt suficiente. Mai sunt necesare i alte ecuaii. Acestea se pot stabili, dac observm c ecuaiile lui Maxwell nu conin constante ce ar caracteriza proprietile mediului n care este excitat cmpul electromagnetic. Devine clar c ecuaiile lui Maxwell trebuie completate cu relaii, n care ar intra mrimi ce caracterizeaz proprietile mediului. Aceste relaii se numesc ecuaii materiale.

Una dintre metodele de obinere a ecuaiilor materiale este metoda, la baza creia se afl diferite teorii moleculare de descriere a fenomenelor de polarizare, magnetizare i conductibilitate electric a diferitor medii. n aceste teorii se utilizeaz anumite modele idealizate, care se descriu cu ajutorul legilor fundamentale ale fizicii clasice sau moderne utiliznd i metodele fizicii statistice. Astfel se

reuete obinerea relaiilor de dependen a vectorilor P , J i j de vectorii E i B , relaii ce

completeaz sistemul de ecuaii a lui Maxwell. Ecuaiile materiale sunt cele mai simple n cazul cmpurilor electromagnetice slabe, care variaz lent n spaiu i timp. n acest caz ecuaiile materiale pentru mediile izotrope, neferomagnetice i neseignettoelectrice pot fi scrise sub forma

0

0

,

,

,

D E

B H

j E

(18.19)


8

unde , i sunt constante ce caracterizeaz proprietile electromagnetice ale mediului. Ele se

numesc permitiviti dielectrice i magnetice i, respectiv, conductivitate electric a mediului. n teoria lui Maxwell aceste mrimi se consider cunoscute din experiment. De aceea teoria lui Maxwell reprezint o teorie fenomenologic. Ea nu ia n seam structura intern a substanei. Totodat teoria lui Maxwell este o teorie macroscopic. Aceasta nseamn c ea este valabil pentru sisteme de sarcini fixe i mobile, dimensiunile crora sunt cu mult mai mari dect dimensiunile atomare.

18.5. Relativitatea fenomenelor electromagnetice

Dup cum am menionat i mai devreme, ecuaiile lui Maxwell sunt invariante n raport cu transformrile Lorentz (vezi cap.5). Invariante sunt i sarcinile electrice ale particulelor i corpurilor (vezi 10.1). Se poate demonstra c relaiile de transformare Lorentz pentru componentele

cmpului electromagnetic n vid la trecerea de la un SIR fix S la un SIR S ce se mic n raport cu sistemul de referin S cu viteza u orientat de-a lungul axei Ox sunt

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

; ; ;1 1

; ; ;1 1

; ; ;1 1

; ; .1 1

y z z y

x x y z

y z z y

x x y z

y z z y

x x y z

y z z y

x x y z

E uB E uBE E E E

u c u c

B uE c B uE cB B B B

u c u c

D uH c D uH cD D D D

u c u c

H uD H uDH H H H

u c u c

(18.20)

Transformrile inverse pot fi obinute prin substituia formal u u n (18.20) i a coordonatelor cu semnul "prim" n coordonate fr acest semn.

Transformrile Lorentz (18.20) demonstreaz c unul i acelai cmp electromagnetic se manifest

n mod diferit n diferite SIR. ntr-adevr, dac n SIR S exist numai cmp electric yE E j i 0B ,

atunci n SIR S cmpul va avea ambele componente reciproc perpendiculare:

2 2

2

2 2

0; ;1

0; .1

y

x z y

y

x y z

EE E E

u c

uE cB B B

u c

(18.21)

Dac n SIR S cmpul are numai component magnetic, i anume, zB B k , atunci din nou n SIR

S cmpul va avea ambele componente, care din nou sunt reciproc perpendiculare:

2 2

2 2

0; ;1

0; .1

zx y z

zx z y

BB B B

u c

uBE E E

u c

18 campul electromagnetic_fe

Documents