1 ECONOMETRIE Prof.univ.dr. Nicoleta Jula Lect.univ.dr. Nicolae-Marius Jula 2 ECONOMETRIE Introducere Obiectivele cursului ManualuldeModelareeconomic.Econometrieoferstudenilorunansamblude cunotineprivindmetodeledecalculianalizcantitativfolositensistematizarea, prelucrarea,prezentareaiinterpretareadatelorcarecaracterizeazfenomenelei proceseleeconomiceisociale.Deasemenea,asigurnsuireadectrestudenia unuiansambludecunotineprivindmetodelefolositenobinerea,sistematizarea, prelucrarea,prezentareaianalizaeconometricadatelorcecaracterizeaz fenomeneleiproceseleeconomiceiainformaiilornecesaredindomeniul metodologiei de calcul i a funciilor de cunoatere a indicatorilor cu care se opereaz n teoria i analiza microeconomic i macroeconomic. Competene conferite Dup parcurgerea acestui curs, studentul va fi capabil s utilizeze metode de analiz, testare i prognoz pentru a rspunde la anumite probleme economice specifice.Studentul va avea capacitatea de arealizaanaliz econometric la nivel macroeconomic, va putea s utilizeze instrumente de analiz econometric din corpul metodologic general, precum i instrumentele specifice analizei econometrice n domenii specializate ale economiei naionale. Resurse i mijloace de lucru Se recomand utilizarea calculatorului pentru rezolvarea temelor propuse. Studentul poate utiliza, de asemenea, software specializat (E-Views, R). 3 Structura cursului Manualul cuprinde 10 uniti de nvare (UI) O unitate de nvare poate fi parcurs, n medie, n 2-3 ore. Studentul va avea de rezolvat 3 teme de control, teme ce vor fi trimise prin platforma electronic ELIS. Cerine preliminare Esterecomandatcastudentulsfiparcursurmtoarelediscipline:Statisticeconomic, Microeconomie,Modelare economic i Macroeconomie Durata medie de studiu individual O unitate de nvare poate fi parcurs, n medie, n 2-3 ore. Evaluarea Nota final este compus din: - 70% examen - 30% evalurilor pe parcurs (teme de control, verificri pe parcurs); 4 Cuprins INTRODUCERE ............................................................................................................... 2 UNITATEA DE NVARE 1.MODELUL ECONOMIC PREZENTARE GENERAL . 8 Consideraii generale ....................................................................................................................................... 8 Schema general a procesului de modelare economico-matematic ............................................................. 12 Modelul econometric .................................................................................................................................... 12 Elementele unui model econometric............................................................................................................... 14 Datele utilizate ................................................................................................................................................. 15 Rezumat ........................................................................................................................................................ 15 Test de autoevaluare a cunotinelor ............................................................................................................ 16 Bibliografie .................................................................................................................................................... 17 UNITATEA DE NVARE 2.MODELUL DE PROGRAMARE LINEAR .................. 18 Formularea economic a problemei .............................................................................................................. 18 Rezumat ........................................................................................................................................................ 27 Test de evaluare a cunotinelor .................................................................................................................... 28 Bibliografie .................................................................................................................................................... 28 UNITATEA DE NVARE 3.MODELE DE OPTIMIZARE ......................................... 29 Stocurile de materii prime ............................................................................................................................. 30 Optimizarea gestiunii stocurilor ....................................................................................................................... 30 Problema de transport ................................................................................................................................... 33 Rezolvarea problemei de transport ................................................................................................................. 33 Exemplu ........................................................................................................................................................... 34 Teoria firelor de ateptare ............................................................................................................................. 37 Formularea problemei ..................................................................................................................................... 37 Modelul matematic ......................................................................................................................................... 37 Rezumat ........................................................................................................................................................ 42 Test de evaluare a cunotinelor .................................................................................................................... 42 Tem de control ............................................................................................................................................. 43 Bibliografie .................................................................................................................................................... 44 5 UNITATEA DE NVARE 4.MODELE ECONOMETRICE MODELUL LINEAR DE REGRESIE ...................................................................................................................... 45 Modele econometrice .................................................................................................................................... 45 Modelul linear unifactorial ............................................................................................................................ 46 Ecuaia de regresie ........................................................................................................................................... 46 Metoda celor mai mici ptrate ........................................................................................................................ 46 Ipotezele modelului linear unifactorial ............................................................................................................ 47 Proprieti ale estimatorilor ............................................................................................................................ 48 Modelul linear multifactorial ......................................................................................................................... 48 Estimarea parametrilor din modelul linear multifactorial metoda celor mai mici ptrate........................... 49 Ipotezele modelului ......................................................................................................................................... 50 Proprieti ale estimatorilor calculai prin metoda celor mai mici ptrate ..................................................... 51 Exemple ......................................................................................................................................................... 51 Modelul linear unifactorial .............................................................................................................................. 51 Modelul linear multifactorial ........................................................................................................................... 54 Rezumat ........................................................................................................................................................ 57 Test de evaluare a cunotinelor .................................................................................................................... 57 UNITATEA DE NVARE 5.TESTE DE SEMNIFICAIE ........................................... 60 Dispersia estimatorilor .................................................................................................................................. 60 Dispersia estimatorilor n modelul unifactorial de regresie linear................................................................. 60 Dispersia estimatorilor n modelul linear multifactorial .................................................................................. 61 Teste privind semnificaia estimatorilor .......................................................................................................... 61 Exemple ......................................................................................................................................................... 62 Modelul linear unifactorial .............................................................................................................................. 62 Modelul linear multifactorial ........................................................................................................................... 65 Rezumat ........................................................................................................................................................ 68 Test de evaluare a cunotinelor .................................................................................................................... 69 Tem de control ............................................................................................................................................. 69 Bibliografie .................................................................................................................................................... 69 UNITATEA DE NVARE 6.HETEROSCEDASTICITATEA ERORILOR ................... 71 Heteroscedasticitatea erorilor ....................................................................................................................... 71 Consecine ale heteroscedasticitii .............................................................................................................. 72 Testarea heteroscedasticitii ........................................................................................................................ 72 Testul GoldfeldQuandt ................................................................................................................................... 72 Testul Breusch-Pagan ....................................................................................................................................... 72 Testul White ..................................................................................................................................................... 73 Atenuarea heteroscedasticitii ..................................................................................................................... 73 6 Exemple ......................................................................................................................................................... 74 Testul GoldfeldQuandt pentru modelul unifactorial ..................................................................................... 74 Testul GoldfeldQuandt pentru modelul multifactorial .................................................................................. 78 Rezumat ........................................................................................................................................................ 83 Test de evaluare a cunotinelor .................................................................................................................... 83 Bibliografie .................................................................................................................................................... 84 UNITATEA DE NVARE 7.TESTAREA I ATENUAREA HETEROSCEDASTICITII ERORILOR - TESTUL WHITE .......................................... 85 Exemple ......................................................................................................................................................... 85 Testul White pentru modelul unifactorial ....................................................................................................... 85 Testul White pentru modelul multifactorial .................................................................................................... 93 Rezumat ........................................................................................................................................................ 97 Test de evaluare a cunotinelor .................................................................................................................... 97 Bibliografie .................................................................................................................................................... 97 UNITATEA DE NVARE 8.AUTOCORELAREA ERORILOR .................................. 99 Autocorelarea erorilor ................................................................................................................................... 99 Consecine ale autocorelrii erorilor ............................................................................................................ 100 Testarea autocorelrii erorilor ..................................................................................................................... 100 Testul Durbin Watson ................................................................................................................................. 100 Testul Lagrange .............................................................................................................................................. 101 Atenuarea fenomenului de autocorelare a erorilor ..................................................................................... 101 Procedura Cochrane Orcutt ........................................................................................................................ 101 Procedura Hildreth Lu ................................................................................................................................. 101 Rezumat ...................................................................................................................................................... 101 Test de evaluare a cunotinelor .................................................................................................................. 102 Bibliografie .................................................................................................................................................. 103 UNITATEA DE NVARE 9.TESTAREA FENOMENULUI DE AUTOCORELARE A ERORILOR ................................................................................................................. 104 Aplicarea testului Durbin Watson ............................................................................................................. 104 Modelul linear unifactorial ............................................................................................................................ 104 Modelul linear multifactorial ......................................................................................................................... 106 Aplicarea testului Lagrange .......................................................................................................................... 107 Modelul linear unifactorial ............................................................................................................................ 107 Modelul linear multifactorial ......................................................................................................................... 109 7 Rezumat ...................................................................................................................................................... 112 Tem de control ........................................................................................................................................... 112 Bibliografie .................................................................................................................................................. 112 UNITATEA DE NVARE 10.UTILIZAREA MODELELOR ECONOMETRICE N PROGNOZ ............................................................................................................... 114 Prognoza n cazul modelului unifactorial de regresie linear ....................................................................... 114 Prognoza n cazul modelului multifactorial de regresie linear .................................................................... 115 Exemple ....................................................................................................................................................... 116 Modelul linear unifactorial ............................................................................................................................ 116 Modelul linear multifactorial ......................................................................................................................... 117 Rezumat ...................................................................................................................................................... 119 Test de evaluare a cunotinelor .................................................................................................................. 119 Bibliografie .................................................................................................................................................. 120 BIBLIOGRAFIE OBLIGATORIE .................................................................................. 121 BIBLIOGRAFIE FACULTATIV ................................................................................. 121 ANEXE STATISTICE .................................................................................................. 123 A. Valorile critice ale distribuiei t Student, testul bilateral ....................................................................... 123 B. Valorile critice ale distribuiei t Student, testul unilateral ..................................................................... 125 C. Valorile critice ale distribuiei 2 .............................................................................................................. 127 D. Statistica Durbin Watson ...................................................................................................................... 129 8 Unitatea de nvare 1.Modelul Economic Prezentare General Cuprins -Consideraii generale -Schema general a procesului de modelare economico-matematic -Modelul economic oElementele unui model econometric oDatele utilizate Cuprins Dup parcurgerea unitii vei fi n msur s rspundei la ntrebrile: Care este schema general a procesului de modelare economico-matematic? Ce este un model econometric? Care sunt elementele unui model econometric? Obiectivele unitii de nvare -nsuirea noiunii de model economic -Schema general a procesului de modelare economico-matematic -Elementele unui model econometric -Tipurile de date utilizate ntr-un model economic Durata medie de parcurgere a primei uniti de nvare este de 3 ore. Consideraii generale n accepiunea comun, modelul reprezint o norm, un ideal spre care se tinde datorit calitilor,chiarperfeciuniisale.Unmodeltiinificesteoconstrucie,deobicei teoretic,nanumiteprivinesimplificat,careipropunesfacilitezenelegerea uneirealiticomplexeprinintermediuluneiimaginiapropiate,ctmaifidele.Dou idei sunt eseniale n aceast abordare a conceptului de model: n primul rnd, ideea de reprezentare simplificat a realitii i, n al doilea rnd, cea de asemnare structural, 9 funcional, comportamental ntre model i realitate1. ninterpretarealuiMalinvaud"unmodelconstnreprezentareaformala ideiloricunotinelorrelativelaunanumitfenomen.Acesteidei,numitedeseori teoriafenomenului,seexprimprintr-unansambludeipotezeasupraelementelor esenialealefenomenuluiialegilorcareleguverneaz.Acesteasuntngeneral traduse sub forma unui sistem matematic numit model. Logica modelului ne permite s explormconsecinelenaturalealeipotezelorreinute,sleconfruntmcurezultatele experimentale i s ajungem pe aceast cale la o cunoatere mai bun a realitii i s acionm mai eficace asupra sa." (Malinvaud E., 1964)2. Exist,nliteraturadespecialitate,maimultetipologiialemodelelor economice.Clasificareaunorelementeconstnplasareaacestora,nfunciede caracteristicile proprii, ntr-o anumit grup (clas). Aceste clase trebuie s respecte cel puin dou condiii eseniale3: a)sfieomogene,adicelementelecareprezintcaracteristicisimilaretrebuies aparin aceleiai clase; b)sfierelativbineseparate,adicelementelene-similaretrebuiesfacpartedin clase diferite. Cu alte cuvinte, elementele dintr-o clas trebuies fie asemntoare (similare) ntre ele i s disting de elementele care aparin altor clase. nliteraturadespecialitatedinRomnia,unadintrecelemaiinteresante clasificriesteprezentatdeAcad. Emilian Dobrescu4.noriceclasificare,esenial estenoiuneadecriteriu.Aceastadeoareceuncriteriuadecvat,aplicatasupra elementelor unei mulimi induce n mulimea respectiv o relaie de ordine. n lucrarea menionat,Acad. Emilian Dobrescureineurmtoarelecriteriideclasificarea modeleloreconomice:naturaelementelorcomponente,caracterulinterdependenelor dintrevariabile,niveluldeagregareaentitilor,scopulelaborriimodelelor economice, comportamentul temporal. Rezult clasificarea prezentat n tabel:Tabel: Tipologia modelelor economice Criteriul de clasificareCategoriile de modele 1.Natura elementelor componente1.a) logice 1.b) calitativ-analitice (teoretice), 1.c) numerice 2.Caracterulinterdependenelordintre variabile 2.1.a) lineare 2.1.b) nelineare 2.2.a) deterministe 2.2.b) probabiliste 1 Jula D., 2003, Introducere n econometrie, Editura Professional Consulting, Bucureti, pag.7. 2 Citat n Dobrescu E., 2002, Tranziia n Romnia: abordri econometrice, Editura Economic, Bucureti, pag. 33.3 Jula D., Jula N., 1999, Economie sectorial, Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, pag. 18-21. 4 Dobrescu E., 2002, Tranziia n Romnia: abordri econometrice, Editura Economic, Bucureti, pag. 24. 00:08 10 3.Nivelul de agregare a entitilor3.a) cu dezagregare maxim 3.b) cu agregare intermediar 3.c) cu agregare naional maxim 3.d) cu agregare internaional 4.Scopul modelrii4.a) descriptiv-explicative 4.b) explorative 4.c) normative 5.Comportamentul temporal5.a) strict statice 5.b) cvasistaionare 5.c) dinamice Sursa:DobrescuE.,2002,TranziianRomnia:abordrieconometrice,Editura Economic,Bucureti,CapitolulI:Reperemetodologice,pag. 24,Schema1.I.2: Tipologia modelelor economice. Definiiilepentruconceptelepropusentabelpornesc,ngeneraldelaurmtoarele elemente. 1. Natura elementelor componente 1.a Modelelelogice.Unexempludeacestgenestereprezentatdemodelul concurenei pure i perfecte. 1.bModelelecalitativ-analitice(teoretice).Exemplu:funciamonetaristacererii de bani Md = f(Y, P, rB, rE, rD) ncareMdestecerereamonetar,Youtput-ul,Pnivelulpreurilor,iar urmtoarele trei simboluri reprezint randamentele altor forme de active n care baniipotfiplasai(bonuridetezaur),aciuni,bunuridurabile).nmodel variabilele implicate nu apar cu valori numerice, dar pot fi calculate cu ajutorul statisticilor accesibile.1.c Modelele numerice. Modele de acest tip sunt, de exemplu, cele care estimeaz legtura dintre omaj i rata inflaiei (curba Phillips) pe baza datelor nregistrate ntr-un interval corespunztor de timp, sau ntre venitul gospodriilor i consum etc. 2. Caracterul interdependenelor dintre variabile 2.1.aModelelelineare:legturadintrevariabileleanalizateestelinear. Linearitateasereferlaformalegturiidintrevariabile,nulamodulde exprimare a variabilelor respective 2.1.bModelelenelinearencarelegturadintrevariabileleanalizateareforme mai complicate, nelineare.00:18 11 2.2.a Modelele deterministe. 2.2.bModeleleprobabiliste.Astfeldemodelesuntutilizate,deexemplu,pentru studiul pieelor financiare. 3. Nivelul de agregare a entitilor 3.a Modelelecudezagregaremaxim.Deexemplu,toiageniieconomicisunt analizai,prinfunciidecomportament,ecuaiideechilibru,destarei/saude dinamic specifice.3.bModelelecuagregareintermediar.Economiapoatefistructurat,de exemplu,instituional(porninddelasectoareleinstituionaledinSistemul ContabilitiiNaionale),peramuri(aacantabeleleinput-output),sau regional. 3.c Modelelecuagregarenaionalmaxim.Unexempludeastfeldemodeleste reprezentat de funcia de consum keynesian: Ct = C0 + cYd,t, unde: Ct consumul agregat la momentul t; Yd venitul disponibil al gospodriilor la momentul t; C0parteastabilaconsumului,relativautonomnraportcuvenitul(ex. autoconsumul); c nclinaia marginal spre consum, 0 < c < 1. 3.dModelelecuagregareinternaionalanalizeazdiferitezonegeografice(de exemplu,zonaMriiNegre,zonaBalcanilor),gruprideri(ex.ri dezvoltate,rindezvoltare,),uniuniinterstatale(ex.UniuneaEuropean), gruprisectoriale(ex.riexportatoaredepetrolOPEC)sauabordeaz economia mondial n ansamblu. 4. Scopul modelrii 4.a Modeledescriptiv-explicative.Modelulexplicativajutlanelegerea legturilor eseniale dintre fenomenele studiate5. Un exemplu n acest sens este modelul input-output. 4.b Modelele explorative sau de simulare faciliteaz studierea reaciilor economiei fa de modificarea unei variabile.4.c Modelelenormative.Deexemplu,prinastfeldemodelepotfiurmrite obiectivedetipul:respectareaunorrestriciiecologice,restriciiprivind condiiile de munc, atingerea unor condiii de performan calitate, fiabilitate etc.6 5. Comportamentul temporal: 5.a Modelelestrictstaticesuntfolositepentrureprezentareaunorfenomenesau procese economice la un moment dat. Exemplu: modelul input-output. 5.b Modelele cvasistaionare. 5.c Modelele dinamice ilustreaz evoluia n timp a diferitelor procese economice. 5 Jula D., 2003, Introducere n econometrie, Editura Professional Consulting, Bucureti, pag.7. 6 Nicolae V., Constantin D.-L., Grdinaru I., 1998, Previziune i orientare economic, Editura Economic, Bucureti, pag. 174-175. 00:28 00:48 00:58 01:05 12 Schema general a procesului de modelare economico-matematic Modelareamatematicreprezintceamaiutilizataplicaiendomeniul elaborriimodeleloreconomice.Procesuldeconstrucieaunuimodeleconomico-matematic presupune parcurgerea mai multor etape7. ntr-oprimetap,prinanalizaunuiobiectdinrealitateaeconomic(un proces,unfenomenetc.)seidentificomulimefinitdeproprietialeacestuia. Proprietilereinutecafiindsemnificativereprezintteoriaeconomic(modelul economic) elaborat pentru obiectul respectiv din realitate.nadouaetap,secautoteoriematematicncarepoatefidescriso structur a sistemului. n etapa a treia, se realizeaz rezolvarea modelului. napatraetap,acestenoiproprieti(informaii)sunttransferateasupra obiectului original Porninddelaelementeleprezentate,etapeleprocesuluidemodelaresunt prezentate n sintez, n tabelul urmtor. Tabel: Etapele procesului de modelare (1)analizarealitiicuajutorulinstrumenteloroferitedeteoriaeconomici identificarea unor caracteristici semnificative; (2)construireamodeluluimatematic,prininterpretarea(traducerea)propoziiilor din teoria economic n limbajul specific teoriei matematice; (3)rezolvarea modelului; (4)traducereaconcluziilorobinutedinlimbajulspecificteorieimatematicen teoria economic (interpretarea economic a rezultatelor modelului). Modelul econometric Denumireadeeconometrieprovinedincombinareacuvintelorgreceti oikonomiaeconomia(delaoicoscas,gospodrieinomoslege)imetron msur. Deci, etimologic, econometria presupune aplicarea unor tehnici de msurare n economie. 7EtapelemodelriisuntprezentatendetaliunlucrareaJulaD.,2003,Introducereneconometrie,EdituraProfessional Consulting, Bucureti, pag.7-13. 01:20 01:25 13 n sens restrns, econometria este definit ca o aplicaie a statisticii matematice n economie. nsenslarg,econometriaesteneleascaotiindegranintreeconomie, matematic i statistic. (Thomas R.L., 19978 i Ramanathan R., 19929). Porninddelarelaiiledefinitedeteoriaeconomic,econometriaclasicse concentreaz asupra urmtoarelor tipuri de analiz10: (a)testarea i validarea teoriei economice;(b)estimarea relaiilor dintre variabilele economice; (c)prognoza evoluiilor i a comportamentelor economice. Pornind de la schema general privind procesul de modelare i de la elementele prezentate, poate fi construit o schi a procesului de modelare econometric. Un studiu econometric presupune parcurgerea urmtoarelor etape: (1)formularea modelului pornind de la teoria considerat adecvat pentru explicarea evoluiei unui proces economic, (2)realizarea unei cercetri selective pentru generarea unor serii de date referitoare la procesul respectiv, (3)estimarea modelului, (4)testarea ipotezelor teoretice folosite n construirea modelului(5)interpretarea rezultatelor. Un asemenea proces este descris n figura urmtoare: 8 Thomas R.-L, 1997, Modern Econometrics: An Introduction, 2nd edition, Harlow, Longman, pag. 1-3. 9RamanathanR.,1992,IntroductoryEconometrics,SecondEdition,TheDrydenPress,HarcourtBraceCollegePublishers, Orlando, USA, pag. 3-11. 10 Thomas R.-L, 1997, Modern Econometrics: An Introduction, 2nd edition, Harlow, Longman, pag. 1. 01:50 14 Figura: Etapele unui studiu econometric11 Elementele unui model econometric Elementeleunuimodeleconomico-matematicsuntvariabilele,ecuaiilei parametriimodelului.Deasemenea,rezolvareamodeluluipresupuneexistenaunor serii de date, care s prezinte starea i/sau evoluia (distribuia) variabilelor din model. Variabilele modelului ntr-unmodeleconometricpotfidistinsetreitipuridevariabile:variabile endogene, variabile exogene i variabile de abatere (eroare). Suntendogenesauexplicateacelevariabilealecrorvalorisuntobinuteprin rezolvarea modelului.Suntexogeneacelevariabilepentrucarestareaievoluiasuntdeterminatede factori exteriori sistemului a crui funcionare este studiat cu ajutorul modelului. Variabileledeabatere(sauerorile)reprezintdiscrepanelentreevoluia anticipat a unei variabile i evoluia real a variabilei respective.Parametrii modelului Parametriimodeluluipotfidefiniicafiindcaracteristicilecantitativeale sistemului studiat.Ecuaiile modelului Prin ecuaiile unui model se ncearc surprinderea legturilor dintre variabilele 11 Thomas R.L, 1997, Modern Econometrics: An introduction, 2nd edition, Harlow, Longman, pag.4. Teoria economic, experiena Formularea modelului Selectarea datelor Estimarea modelului Testarea ipotezelor: Ipotezele se verific? NUDA Interpretarea rezultatelor Reformularea modelului PrognozeDecizii de politic economic 02:00 02:20 15 endogeneiceleexplicative.ntr-unmodeleconometricpotapreaecuaiide comportament, ecuaii de definiie i ecuaii contabile (de echilibru). Ecuaiiledecomportamentsuntconstruitepebazauneiteoriieconomicei descriu, n form funcional, comportamentul unui agent economic. Ecuaiilesaurelaiilededefiniiesuntutilizatepentruprecizareaunornoiuni saudeterminareaunorvariabile.necuaiilededefiniienuintervinparametri necunoscui.Ecuaiile de echilibru sunt utilizate pentru asigurarea coerenei modelului.Datele utilizate Pentruestimareaparametrilordinecuaiilemodeluluisuntutilizateanumite dateeconomicereferitoarelaevoluiafenomeneloranalizate.Dateleeconomice reprezintreflectricantitativesaucalitativealedimensiunii,striiievoluiei proceselorifenomeneloreconomice.Acestedatepotfidescriseporninddelamai multecriterii.Astfel,caprezentare,datelepotfidisponibilecaseriidetimp (cronologice), de distribuie sau de tip panel. Seriiledetimpcorespundunorobservaiiefectuateasuprastriiunuifenomen economiclaintervaleregulatedetimp(evoluiacursuluideschimb,dinamica preurilor, a consumului, a veniturilor etc.). Seriile de distribuie (repartiie), numite i serii n tietur transversal sau serii dedateinstantaneereflectstarea,structurairelaiilecareexistntrediferitele componentealeunuisistemeconomic,launmomentdat.Deexemplu,acesteserii reflectdistribuianspaiuadiferitelorcaracteristicialeunuifenomenomajul regional,localizareaactivitiloretc.,structuraunoragregate(structurasectoriala uneieconomii,structuraocuprii,structurapeelementeacostuluideproducie.a.), sau starea unei variabile la un moment dat ntr-un anumit eantion (de exemplu, venitul i consumul familiilor). Dateledetippanelcombinseriiledetimpidatelenstructurtransversal. Principalulavantajalanalizeidetippanelconstnaceeacpermiteomaimare flexibilitate n modelarea diferenelor nregistrate n comportamentele individuale. Rezumat n sens restrns, econometria este definit ca o aplicaie a statisticii matematice neconomie,astfelnctprinanalizaiprelucrareadateloreconomicesseofereun suport empiric modelelor construite de economia matematic . nsenslarg,econometriaesteneleascaotiindegranintreeconomie, matematic i statistic. Un studiu econometric presupune parcurgerea urmtoarelor etape: (1)formulareamodeluluiporninddelateoriaconsideratadecvatpentru explicarea evoluiei unui proces economic, 02:25 02:35 16 (2)realizareauneicercetriselectivepentrugenerareaunorseriidedate referitoare la procesul respectiv, (3)estimarea modelului, (4)testarea ipotezelor teoretice folosite n construirea modelului(5)interpretarea rezultatelor. Parametriimodeluluipotfidefiniicafiindcaracteristicilecantitativeale sistemului studiat. Prin ecuaiile unui model se ncearc surprinderea legturilor dintre variabilele endogeneiceleexplicative.ntrunmodeleconometricpotapreaecuaiide comportament, ecuaii de definiie i ecuaii contabile (de echilibru). Datele economice reprezint reflectri cantitative sau calitative ale dimensiunii, strii i evoluiei proceselor i fenomenelor economice. Test de autoevaluare a cunotinelor 1.n ce const n interpretarea lui Malinvaud termenul de model? 2.n ce const tipologia modelelor economice? 3.Prezentai etapele procesului de construcie al unui model economico-matematic. 4.Ce este econometria? 5.Ce tipuri de variabile intlnim ntr-un model econometric? 6.Care sunt tipurile de ecuaii ce se regsesc ntr-un model? Rspunsuri: 1.ninterpretarealuiMalinvaud"unmodelconstnreprezentareaformala ideiloricunotinelorrelativelaunanumitfenomen.Acesteidei,numite deseoriteoriafenomenului,seexprimprintr-unansambludeipotezeasupra elementeloresenialealefenomenuluiialegilorcareleguverneaz.Acestea suntngeneraltradusesubformaunuisistemmatematicnumitmodel.Logica modelului ne permite s explorm consecinele naturale ale ipotezelor reinute, s le confruntm cu rezultatele experimentale i s ajungem pe aceast cale la o cunoatere mai bun a realitii i s acionm mai eficace asupra sa." 2.Vezi tablelul anterior. 3.Procesuldeconstrucieaunuimodeleconomico-matematicpresupune parcurgerea mai multor etape. ntr-o prim etap, prin analiza unui obiect din realitatea economic (un proces, un fenomen etc.) se identific o mulime finit de proprieti ale acestuia. Proprietile reinute ca fiind semnificative reprezint teoria economic (modelul economic) elaborat pentru obiectul respectiv din realitate.n a doua etap, se caut o teorie matematic n care poate fi descris o 17 structur a sistemului. n etapa a treia, se realizeaz rezolvarea modelului. n a patra etap, aceste noi proprieti (informaii) sunt transferate asupra obiectului original 4.n sens restrns, econometria este definit ca o aplicaie a statisticii matematice neconomie,astfelnctprinanalizaiprelucrareadateloreconomicesse ofere un suport empiric modelelor construite de economia matematic. 5.ntr-unmodeleconometricpotfidistinsetreitipuridevariabile:variabile endogene, variabile exogene i variabile de abatere (eroare). 6.ntr-unmodeleconometricpotapreaecuaiidecomportament,ecuaiide definiie i ecuaii contabile (de echilibru). Bibliografie 1.JulaN.,JulaD.,2013,Modeleeconometrice,EdituraMustang,Bucureti,pp. 13-312.JulaN.,JulaD.,2010,Modelareeconomic.Modeleeconometriceide optimizare, Editura Mustang, Bucureti 3.DobrescuE.,2000,Macromodeluleconomieiromnetidetranziie,Editura Expert, Bucureti 4.JulaD.,2003,Introducereneconometrie,EdituraProfessionalConsulting, Bucureti 5.Jula N., 2004, Modelarea deciziilor financiar-monetare, Editura Bren, Bucureti 6.JulaN.,2006,Modelareeconomicelementedeeconometrieaplicat, Editura Mustang, Bucureti 7.JulaN.,2006,Modelareeconomiceconometrieaplicat,EdituraCartea Studeneasc, Bucureti8.PecicanE.S.,1996,Macroeconometrie.Politicieconomiceguvernamentalei econometrie, Editura Economic, Bucureti 01:20 18 Unitatea de nvare 2.Modelul de Programare Linear Cuprins -Modelul de programare linear.-Formularea economic a problemei -Modelul matematic -Exemplu de calcul: Optimizarea utilizrii resurselor Introducere Dup parcurgerea unitii vei fi n msur s rspundei la ntrebrile: Ce este algoritmul de programare linear[? Cum se utilizeaz algoritmul? Care sunt paii algoritmului? Obiectivele unitii de nvare nsuirea algoritmului Situaii n care este folosit algoritmul de programare linear

Durata medie de parcurgere a primei uniti de nvare este de 3 ore. Formularea economic a problemei Exemplu: Optimizarea utilizrii suprafeei Presupunem c o fermagricol dispune de 100ha teren arabil pentru cultura a patru produse: gru, porumb, cartofi, floarea soarelui. De asemenea, sunt disponibile 4 tipuri deresurse(timputilaj,fordemunc,doutipuridengrminte).Secunosc,pe bazainformaiiloreconomicedinaniiprecedenidisponibiluldinacesteresursei consumul specific la un hectar cultivat, valori ce sunt prezentate n tabelul urmtor. Secunoate,deasemenea,cfiecarehectarcultivatcuunanumitprodusaduceun anumit profit. 19 GruPorumbCartofiFloarea soareluiDisponibil Resursa 15257400 Resursa 20343300 Resursa 33645500 Resursa 481012101000 Din experiena anterioar, precum i pornind de la elementele economice i tehnologice cunoscute, se estimeaz c profiturile unitare, pentru culturile respective sunt: ProdusulProfitul la ha (u.m.) Gru5 Porumb7 Cartofi9 Floarea soarelui8 Notm x1 - suprafaa cultivat cu gru, x2 - suprafaa cultivat cu porumb, x3 - suprafaacultivatcucartofi,x4-suprafaacultivatcufloareasoarelui.naceste condiii,restriciileprivindncadrareandisponibilulderesurse(inclusivfolosirea suprafeei de teren), condiiile de nenegativitate i criteriul de optim se scriu astfel: ( )+ + + == >s + + +s + + +s + +s + + +s + + +4 3 2 14 3 2 14 3 2 14 3 24 3 2 14 3 2 18 9 7 5 max4 , , 1 , 01000 10 12 10 8500 5 4 6 3300 3 4 3400 7 5 2 5100x x x x Zi xx x x xx x x xx x xx x x xx x x xi Pentru obinerea formei standard a problemei de programare liniar, se noteaz s1,...,s5variabileledeabatereintrodusepentruatransformanegalitirelaiiledin model: x1 + x2 + x3 + x4 + s1 =100 5x1 + 2x2+ 5x3+ x4+ s2 =400 20 + 4x2+ 4x3+ 4x4 + s3 =300 3x1 + 6x2+ 4x3+ 5x4 + s4 =500 8x1 + 10x2 + 12x3 + 10x4 + s5 = 1000 xi > 0,i = 1,...,4;si > 0, i =1,..., 6 Z = 5x1+ 7x2+ 9x3+ 8x4 Max Datele din modelul de programare liniar sunt scrise n tabloul Simplex astfel: Tabloul Simplex: 0 cj579800000 cb BazaVVBx1 x2 x3x4 s1 s2 s3 s4s5u 0s1 100111110000100 0s2 40052570100080 0s3 30003430010075 0s4 500364500010125 0s5 100081012100000183.3 zj 0000000000 cj- zj579800000 n tabloul precedent, n baz sunt nscrii vectorii ataai variabilelor s1, ..., s5. Valorilevariabilelorataatevectorilordinbazsuntprezentatencoloana VVB.Peliniacjsuntscrise,pentrufiecarevariabil,costuriledinfunciaobiectiv (valorilecucarecontribuielafunciaobiectiv),iarpecoloanacbsuntscrisecosturile dinfunciaobiectivpentruvariabileleataatevectorilordinbaz.Suntscrise,de asemenea, pe coloan vectorii ataai fiecrei variabile.Fiecare element de pe linia zj se calculeaz ca produs scalar al vectorului cb i vectorul xj (respectiv sj). Elementele cj-zjsecalculeazcadiferenntreelementeledepeliniilecorespunztoare. Elementelecj-zjsuntutilizatepentruatestaoptimalitateasoluieiobinutelafiecare iteraie.Pentruproblemademaximconsiderat,soluiaesteoptim(algoritmulse oprete) atunci cnd pe linia cj-zj nu exist valori strict pozitive. Deoarecesoluiainiialnuesteoptimsecontinualgoritmul.Seselecteaz vectorul care intr n baz. Vectorul respectiv corespunde valorii maxime de pe linia cj-zj.nexemplulconsiderat,acestvectoresteataatvariabileix3.Secalculeaz,pentru 01:10 21 elementelepozitivealevectoruluicareintrnbaz,rapoartele(u)dintrefiecare elementaldinVVBielementulcorespunztordinvectorulrespectiv.Valoarea minim a acestui raport, corespunde vectorului care iese din baz. ncazul considerat, iese din baz vectorul s3. Elementul situat la intersecia coloanei ataate vectorului care intrnbazculiniacorespunztoarevectoruluinlocuitsenumetepivot.Se completeazurmtorultablouSimplexinndseamadectevareguli(vezimanual Modelare Economic. Modele econometrice i de optimzare, Ed. Mustang, 2010). Tabloul Simplex: 1 cj579800000 cb BazaVVBx1 x2 x3x4 s1 s2 s3 s4s5u0s1 2510.2500.2510-0.250025 0s2 255-1.7503.2501-1.25005 9x3 7500.7510.75000.2500 0s4 200330200-11066.7 0s5 100810100-30112.5 zj 67506.7596.75002.2500 cj- zj50.2501.2500-2.2500 Iteraiileurmtoaresedesfoarsimilar.Algoritmulseopreteatuncicnd toate elementele de pe ultima linie a tabloului Simplex sunt negative sau zero. Tabloul Simplex: 2 cj579800000 cb BazaVVBx1 x2 x3x4 s1 s2 s3 s4s5u 0s1 2000.600-0.401-0.200.000033.3 5x1 51-0.3500.6500.20-0.2500 9x3 7500.7510.7500.000.2500100 0s4 18504.0500.050-0.60-0.251045.7 0s5 6003.800-4.200-1.60-1.000115.8 01:35 22 zj 7005591001100 cj- zj020-20-1-100 Tabloul Simplex: 3 cj 579800000 cb BVVBx1 x2 x3x4 s1 s2 s3 s4s5 0s1 10.5260000.26310.0530.1580-0.158 5x1 10.5261000.26300.053-0.34200.092 9x3 63.1580011.57900.3160.4470-0.197 0s4 121.0530004.52601.1050.8161-1.066 7x2 15.789010-1.1050-0.421-0.26300.263 zj 731.5795797.78900.1580.47400.526 cj- zj 0000.2110-0.158-0.4740-0.526 Tabloul Simplex: 4 cj57 9800000 cb BazaVVBx1 x2 x3x4 s1 s2 s3 s4s5 0s1 3.48800001-0.0120.110-0.058-0.096 5x1 3.48810000-0.012-0.390-0.0580.154 9x3 20.93000100-0.0700.163-0.3490.174 8x4 26.744000100.2440.1800.221-0.235 7x2 45.34901000-0.151-0.0640.2440.003 zj 737.209579800.2090.5120.0470.477 cj- zj00000-0.209-0.512-0.047-0.477 02:00 23 Toate elementele de pe ultima linie a tabloului Simplex sunt negative sau zero, decialgoritmulseoprete.Soluiaobinut,Z=737.209,esteoptim.Unprofit maxim,poatefiobinut dacsecultivcu:grux1=3.49ha;porumbx2=45.35ha; cartofix3=20.93ha;floareasoareluiosuprafax4=26.74ha.Rmnnecultivate s1 = 3.49 ha de teren. TablouSimplexfinaloferialteinformaiiutile.Valorilezj-cjreprezint preurileumbr,adicmsoarimportanarelativarestricieirespectivensoluia optim:dacdisponibiluldintr-oanumitresurscretecuounitate,atuncivaloarea funcieiobiectivsembuntetecu(zj-cj)uniti.Deasemenea,printehnici specifice, se poate calcula domeniul de variaie a disponibilului din fiecare resurs, sau acoeficienilordinfunciaobiectiv,astfelnctstructurasoluieioptimesnuse modifice. Rezultatele respective sunt prezentate n tabelele urmtoare. RestriciaDeficit (-) / Excedent (+) Preurile umbr (Shadow Price) suprafaa disponibil3.4880.000 R10.0000.209 R20.0000.512 R30.0000.047 R40.0000.477 Intervalul de variaie a coeficienilor din funcia obiectiv: Variabila Limita inferioar Valoarea curent Limita superioar Creterea permis Scderea permis x11.90655.8000.8003.094 x26.81078.3851.3850.190 x36.26799.1330.1332.733 x47.789810.0252.0250.211 Intervalul de variaie pentru termenul liber - Right Hand Side Ranges (disponibilul de resurse) Variabila (resursa) Limita inferioar Valoarea curent Limita superioar Creterea permis Scderea permis 24 suprafaa96.512100Fr limitFr limit3.488 R1290.476400700.000300.000109.524 R2268.421300308.9558.95531.579 R3378.947500560.00060.000121.053 R4977.35810001036.36436.364121.053 Se constat c viteza de cretere cea mai mare a profitului se poate obine dac se asigur creterea disponibilului din resursa R2 (resursa R2 are preul umbr cel mai mare).Pentrucastructurasoluieioptimesnusemodifice,cretereadisponibilului dinresursaR2poateavealocnlimitaamaximum8.955uniti.Fieocretereaa disponibiluluidinresursaR2cu8uniti(dela300la308uniti).Atunci,valoarea profitului va crete cu 8 0.512 = 4.096 uniti, la 741.31 uniti. Pentru verificare, prin calcul se determin tabloul final Simplex urmtor: Tabloul Simplex: 4 cj579800000 cb BazaVVBx1 x2 x3x4 s1 s2 s3 s4s5 0s1 4.37200001-0.0120.110-0.058-0.096 5x1 0.37210000-0.012-0.390-0.0580.154 9x3 22.23300100-0.0700.163-0.3490.174 8x4 28.186000100.2440.1800.221-0.235 7x2 44.83701000-0.151-0.0640.2440.003 zj 741.302579800.2090.5120.0470.477 cj- zj00000-0.209-0.512-0.047-0.477 n noua soluie optim (soluia post optimizare), crete suprafaa neutilizat (de la3.488hala4.372ha),scadsuprafeelecultivatecugruiporumbicresc suprafeele cultivate cu cartofi i floarea soarelui. Variabila Valoare iniial Valoare post-optimizare x1 3.4880.372 x245.34944.837 02:25 25 x320.93022.233 x426.74428.186 Analizaproblemeipoatecontinua,deexempluprinimpunerearestricieica suprafaa disponibil s fie utilizat integral. n aceste condiii, soluia optim, obinut n mod asemntor, n 5 iteraii este: Tabloul Simplex: 5 cj57980000-M cb BazaVVBx1 x2 x3x4 s2 s3 s4s5 A1 5x1 15.7891000-0.0530-0.263-0.1843.526 9x3 15.7890010-0.0530-0.2630.316-1.474 8x4 21.05300010.26300.316-0.079-1.632 7x2 47.3680100-0.15800.211-0.0530.579 0s3 31.5790000-0.1051-0.526-0.8689.053 zj 721.05357980.26300.3160.921-4.625 cj- zj0000-0.2630-0.316-0.921-M Obs.A1 este vectorul ataat unei variabile auxiliare, variabil care penalizeaz funcia obiectiv cu o valoare mare M. Soluia optim: Z = 721.053,Variabila Valoarex115.789 x247.368 x315.789 x421.053 Restricia Deficit (-) / Preurile umbr 26 Excedent (+) (Shadow Price) R10.0000.263 R231.5790.000 R30.0000.316 R40.0000.921 Intervalul de variaie a coeficienilor din funcia obiectiv: Variabila Limita inferioar Valoarea curent Limita superioar Creterea permis Scderea permis x1Fr limit56.2001.200Fr limit x25.50078.6671.6671.500 x36.083910.2001.2002.917 x47.000819.66711.6671.000 Intervalul de variaie pentru termenul liber - Right Hand Side Ranges (disponibilul de resurse) Variabila (resursa) Limita inferioar Valoarea curent Limita superioar Creterea permis Scderea permis suprafaa96.512100110.71410.7143.488 R1320.000400700.000300.00080.000 R2268.421300 Fr limit Fr limit 31.579 R3433.333500560.00060.00066.667 R4950.00010001036.36436.36450.000 Ceamairapidmbuntireasoluieiseobineprinsuplimentarea disponibilului din R4 (preului umbr al acestei restricii este maxim, 0.921). Creterea permisapentruR4,astfelnctstructurasoluieioptimesnusemodificeestede 36.364uniti.Adic,porninddelacondiiileprezentate,prinsuplimentarealuiR4, 27 soluia problemei de programare liniar poate fi mbuntit cu 36.364 0.921 = 33.49 uniti, de la 727.05 uniti, la 754.54 uniti. Noua soluie optim este: VariabilaValoarea iniialValoarea post-optimizare x1 15.7899.091 x247.36845.454 x315.78927.273 x421.05318.182 nsfrit,dacsepstreazrestriciacasuprafaadisponibilsfiecultivat integral, iar suprafaa cultivat cu gru s nu fie mai mic de 20 ha, suprafaa cultivat cuporumbsnufiesub20ha,ceacultivatcucartofisfiedecelpuin10ha,iar floarea soarelui s fie cultivat pe minimum 20 ha, atunci, programul de producie va fi urmtorul: VariabilaValoareax1 20.000 x246.667 x313.333 x420.000 iar valoarea optim a funciei obiectiv: Z = 706.667 Rezumat Elementulsituatlainterseciacoloaneiataatevectoruluicareintrnbazcu liniacorespunztoarevectoruluinlocuitsenumetepivot.Secompleteazurmtorul tablou Simplex innd seama de cteva reguli, astfel: o n coloana cb se scrie costul corespunztor vectorului introdus n baz; o elementeledepeliniapivotuluisecalculeazprinmprirea elementelor din tabloul precedent la pivot; o vectorul care conine pivotul va avea 1 n poziia pivotului i 0 celelalte 03:00 28 elemente; o coloanelecareau0lainterseciaculiniapivotuluisescriuidenticn urmtorul tablou; o toatecelelalteelementedintablousecalculeazprintehnicadenumit pivotare:seconstruieteundreptunghicareareodiagonalformatdinpivoti elementulcareconstituieobiectulcalcululuipentrunoultablou;produsulelementelor depecealaltdiagonaladreptunghiuluisescadedinprodusulelementelordepe diagonal pivotului, iar rezultatul se mparte la pivot. Algoritmul se oprete atunci cnd toate elementele de pe ultima linie a tabloului Simplex sunt negative sau zero. Test de evaluare a cunotinelor 1.Cine este autorul algoritmului Simplex? 2.Cum se identific elementul pivot?3.Cum se calculeaz elementele de pe linia pivotului? 4.Ce reprezint tehnica denumit pivotare? 5.Cnd se oprete algoritmul? Rspunsuri: 1.G. B. Danzig 2.Elementul situat la intersecia coloanei ataate vectorului care intr n baz cu linia corespunztoare vectorului nlocuit se numete pivot. 3.Elementele de pe linia pivotului se calculeaz prin mprirea elementelor din tabloul precedent la pivot 4.Tehnica pivotrii: se construiete un dreptunghi care are o diagonal format din pivot i elementul care constituie obiectul calculului pentru noul tablou; produsul elementelor de pe cealalt diagonal a dreptunghiului se scade din produsul elementelor de pe diagonal pivotului, iar rezultatul se mparte la pivot. 5.Algoritmul se oprete atunci cnd toate elementele de pe ultima linie a tabloului Simplex sunt negative sau zero. Bibliografie 1.JulaN.,JulaD.,2010,Modelareeconomic.Modeleeconometriceide optimizare, Editura Mustang, Bucureti 2.DobrescuE.,2000,Macromodeluleconomieiromnetidetranziie,Editura Expert, Bucureti 3.JulaD.,2003,Introducereneconometrie,EdituraProfessionalConsulting, 29 Bucureti Unitatea de nvare 3.Modele de optimizare Cuprins -Modele de gestiune a stocurilor oStocurile de materii prime oOptimizarea gestiunii stocurilor oExemplu de calcul -Problema de transport oFormularea problemei de transport oRezolvarea problemei de transport oExemplu de calcul -Teoria firelor de ateptare oFormularea problemei oModelul matematic oExemplu de calcul Introducere Dup parcurgerea unitii vei fi n msur s rspundei la ntrebrile: Cnd se folosete un algoritm de optimizare? Care sunt modelele de optimizare a stocului? Problema de transport - enun i rezolvare. Ce reprezint teoria firelor de ateptare? Obiectivele unitii de nvare Noiunea de optimizare Modele de gestiune a stocului Problema de transport Teoria firelor de ateptare 30 Durata medie de parcurgere a primei uniti de nvare este de 3 ore. Stocurile de materii prime Prin stoc se nelege o cantitate oarecare de resurse, de orice fel, existent la un moment dat i nefolosit ntr-un proces de transformare, indiferent de natura acestuia. ngeneralsespunecoresursoarecareintrnstocatuncicndestenmagazinat ntr-unmodoarecare.nmodasemntor,sespunecoresursiesedinstocatunci cnd este consumat efectiv. Volumul stocurilor este determinat de caracterul procesului de producie, natura materiilorprime,moduldeaprovizionareieventualeledificultialeacestuiproces (frecvenairegularitateasosiriilornntreprindere,stareamijloaceloriacilorde transport .a.). Stoculcurentreprezintcantitateadematerialecaretrebuiesasigure continuitateaproducieinintervaluldintredouaprovizionri.Stoculdesiguran reprezint cantitatea de materiale necesar pentru a preveni ntreruperile din producie determinatedeuneledificultinaprovizionare,dificulticauzatedeevenimentecu caracter aleatoriu.Stocul sezonier cuprinde materialele care sunt utilizaten producie i/sausuntadusenntreprinderenumainanumiteperioadealeanului.Aceast situaie este determinat, n special, de ciclul produciei industriale. Elementeleprincipaleanalizatencadrulunuiprocesdestocaresunt:cererea de resurse, aprovizionarea, costurile implicate, parametrii legai de timp. Satisfacerea cererii de materii prime (resurse) este scopul procesului de stocare. Cerereaaparecaurmareaprocesuluideproducieidepindedenivelulproducieii consumurile specifice. Volumul i ritmul aprovizionrii sunt determinate de cererea de resurse,duratadelivrareaproduselor(intervaluldintrelansareacomenziiisosirea materiilor prime) i costurile implicate n acest proces. Costurile implicate n cazul unui proces de stocare se pot grupa n trei categorii: cl - cheltuieliledelansareacomenziisuntcompusedinsumacheltuielilorefectuate pnlaintrareaproduselornstoc(cheltuielilelegatedeformulareacomenzii, cheltuieli administrative determinate de operaia de reaprovizionare); cs - cheltuielile de stocare compuse din cheltuielile de depozitare, ntreinere, asigurare, imobilizareacapitaluluifinanciaretc.Costulstocriieste,deobicei,proporional cu cantitatea de bunuri stocat i cu durata depozitrii; cp - costuldepenalizare(cheltuielilederupereastocului)reprezintpierderile nregistrate n situaiile n care cererea de resurse este superioar stocului (amenzi, ntrerupereaproduciei,platadespgubirilorpentruproducianelivratetc.).De obicei, aceste cheltuieli sunt proporionale cu cantitatea cerut din resursa respecti-v i nesatisfcut i cu durata penuriei. Optimizarea gestiunii stocurilor 00:20 31 Se demonstreaz c, dac aprovizionarea se facela intervale fixe, n condiiile uneicerericonstantentimpinuseadmiteposibilitatearupturiidestoc,atunci cheltuielile totale (de lansare a comenzii plus cele legate direct de procesul de stocare) sunt minime dac: intervalul de timp dintre dou aprovizionri succesive este: sloptc Vc T 2=t mrimea comenzii de aprovizionare este: cTcV 2=vslopt Atunci, nivelul minim al cheltuielilor totale este: c cT V 2 =C s l opt Simbolurile utilizate au urmtoarele semnificaii: topt -intervalul optim ntre dou aprovizionri succesive; vopt -mrimea lotului optim; Copt -volumul minim al cheltuielilor totale (lansare a comenzii plus stocare a produselor); T -intervalul de timp pentru care se face gestiunea; V -cererea total de produse pe intervalul T; cl-cheltuielile de lansare; cs-costul de stocaj pe unitatea de produs stocat. n condiiile de ruptur a stocului, elementele prezentate mai sus se calculeaz prin introducerea unui factor de indisponibilitate: c+cc=p sp . Atunci: intervalul de timp dintre dou aprovizionri succesive este: cc+c cVcT 2=tpp sslopt mrimea comenzii de aprovizionare este: cc+c cTcV 2=vpp sslopt stocul optim este: 32 c+cc cTcV 2=sp spslopt Nivelul minim al cheltuielilor totale este: c+cc c cT V 2 =Cp sps l opt Simbolurile utilizate au urmtoarele semnificaii: topt -intervalul optim ntre dou aprovizionri succesive; vopt -mrimea lotului optim; Copt -volumul minim al cheltuielilor totale (lansare a comenzii plus stocare a produselor); sopt -mrimea stocului optim; T -intervalul de timp pentru care se face gestiunea; N -cererea total de produse pe intervalul T; cl -cheltuielile de lansare; cs -costul de stocaj, pe unitatea de produs stocat; cp -costul de penalizare. Exemplu Pentruexemplificareamoduluidecalcul,spresupunemclaunniveluluneifirme, care are ca obiect de activitate realizarea unor produse industriale, cererea anual (T = 360)pentrutabldeoelestedeV=5000tone.ntottimpulanuluicerereaeste continuiconstantpeperioadeegale.Prinanalizestatisticeprivindperioadele anterioare, s-a calculat costul de stocaj pentru o unitate (o ton), pe zi cs = 1000 uniti monetare.Cheltuieliledelansareacomenzii(cheltuieliadministrative,plata achizitorului,delegaipentrurecepie,transportetc.)suntcl=5mil.uniti monetare/lot i sunt independente de volumul lotului. n aceste condiii, cantitatea optim de aprovizionat (lotul optim) este: (tone) 372.71000 3605000000 5000 2=vopt~ Perioada optim ntre dou aprovizionri succesive este: (zile) 271000 50005000000 360 2=topt~ Costul total minim al gestiunii este: (mil.u.m.) 134 5000000 1000 360 5000 2 =Copt2 . ~ Dac se admite posibilitatea ruperii stocului, introducnd un cost de penalizare de 2500 u.m. pe unitate, pe zi, factorul de indisponibilitate va fi:00:45 33 0.71 =2500 + 10002500= i atunci: lotul optim pentru evitarea ruperii stocului: (tone) 4410.711372.7 =vopt~ stocul optim:sopt = 4410.71 = 313 (tone) perioada ntre dou aprovizionri succesive: (zile) 320.71127 =topt~ costul total minim al gestiunii stocului: (mil.u.m.) 113 0.71 134.2 =Copt~ Seobservc,ncazulunuicostdepenalizarerelativmic,sepoateadmite ruptura stocului n vederea obinerii unui cost total mai mic (n problema analizat, cu aproximativ 20 mil.u.m.). Problema de transport Rezolvarea problemei de transport Algoritmulpentrurezolvareaproblemeidetransportsebazeazpeteorema ecarturilor complementare. 1.Algoritmul pentru obinerea soluiei optime a problemei de transport presupune caprimpasdeterminareauneisoluiiiniialedebaz.Metodageneralde obinereauneisoluiiiniialedebazpornetedeladeterminareavalorii ( )j i ijb a x , min = .Porninddelaaceastmetodgeneral,suntcunoscutemai multe variante de generare a soluiei de baz. a)Metoda colului de Nord-Vest.. b)Metoda costului minim din tabel. Se cunosc dou sub-variante ale variantei b: b-1)Metoda elementului minim pe linie; b-2)Metoda elementului minim pe coloan. c)Metoda diferenelor maxime (Vgel) Dupaplicareauneiadintremetodeledescrisepentru(1)determinareaunui programiniialalproblemeidetransport,algoritmulsimplificatpentruobinerea 34 soluieioptimeaproblemeipresupuneparcurgereancontinuareamaimultorpai. (vezi Bibliografie i exemplul urmtor) Exemplu n3depoziteAi,1sis3seaflunprodussolicitatde5consumatoriBj,1 s j s 5. Cantitile disponibile n fiecare depozit, cantitile solicitate de fiecare consumator i costurile unitare de transport de la fiecare depozit la fiecare consumator sunt prezentate ntabelulurmtor.Seceressedetermineunprogramdetransport,astfelnct cheltuielile totale de transport s fie minime. B1B2B3B4B5Disponibil A1 15 8126122500 A2 520151041500 A3 121081282000 Necesar150020005001200800 Soluia iniial, obinut prin metoda costului minim din tabel este: B1B2B3B4B5Disponibil A1 130012002500 A2 7008001500 A3 8007005002000 Necesar150020005001200800 Pentru aceast soluie a problemei de transport, valoarea funciei obiectiv este: Z = 13008 + 12006 + 7005 + 8004 + 80012 + 70010 + 5008 = 44900 Testareaoptimalitiiacesteisoluiidebazserealizeazpotrivitalgoritmului prezentat. Calculm, n primul rnd, valorile ui i vj din condiiile ui + vj = cij, (i, j) e I, adic, pentru fiecare cuplu (i, j) corespunztor soluiei de baz. v1 v2v3v4v5 u1 86 u254 35 u312108 Sistemul obinut este: = += + = += + = += + = +810 124 56 83 32 3 1 35 2 1 24 1 2 1v uv u v uv u v uv u v u Rezolvareasistemuluiserealizeazprinimpunereacondiieiu3 = 0.Valorile obinutepentruui,vj,precumidiferenele ij j ic v u + suntprezentatentabelul urmtor. Celulele care conin zero corespund soluiei de baz. ij j ic v u +v1 = 12v2 = 10v3 = 8v4 = 8v5 = 11 u1 = -2-50-60-3 u2 = -70-17-14-90 u3 = 0000-43* Dactoateacestediferenesuntnegativesauzerosoluiaesteoptim.Dac existdiferenepozitive,algoritmulcontinu.Sealegevaloareamaximdintre diferenelepozitive.Poziiaacesteidiferenepozitivemaximeestemarcatcu(*).Se construiete, potrivit algoritmului prezentat, ciclul corespunztor diferenei respective. Acest ciclu este, de asemenea, marcat n tablou. B1B2B3B4B5Disponibil A1 130012002500 A2 700(+)800(-) 1500 A3

800(-) 700500 (+)*2000 Necesar150020005001200800 Noua soluie de baz este prezentat n tabloul urmtor: B1B2B3B4B5Disponibil 36 A1 130012002500 A2 150001500 A3 7005008002000 Necesar150020005001200800 Testarea optimalitii pentru noua soluie de baz se realizeaz similar iteraiei precedente. Calculm, n primul rnd, valorile ui i vj din condiiile ui + vj = cij, pentru fiecare cuplu (i, j) corespunztor soluiei de baz. v1 v2v3v4v5 u1 86 u254 u31088 Sistemul obinut este:= += + = += + = += + = +88 104 56 85 33 3 2 35 2 1 24 1 2 1v uv u v uv u v uv u v u Rezolvareasistemuluiserealizeazprinimpunereacondiieiu3 = 0.Valorile obinute pentru ui, vj, precum i diferenele ij j ic v u +sunt prezentate n tabelul urmtor. ij j ic v u + v1 = 9v2 = 10v3 = 8v4 = 8v5 = 8 u1 = -2-80-60-6 u2 = -40-14-11-60 u3 = 0-300-40 Toatediferenele ij j ic v u +suntnegativesauzero,decisoluiaesteoptim. Aceast soluie propune ca programul optim de transport s fie urmtorul: SursaDestinaiaCantitatea transportat A1B21300 A1B41200 37 A2B11500 A3B2700 A3B3500 A3B5800 Valoarea funciei obiectiv pentru programul de transport optim:Z = 13008 + 12006 + 15005 + 70010 + 5008 + 8008 = 42500. Teoria firelor de ateptare Formularea problemei Timpuldeateptarenvedereaserviriiidurataserviriipropriu-zisesuntn funcie de ritmul sosirii solicitanilor i operativitatea rspunsului oferit de sistemul de servire. Studiul problemelor legate de procesele de ateptare a generat metode specifice de analiz, grupate n teoria matematic a sistemelor de ateptare12 Modelul matematic Dacexistosingurstaiedeservire,venirilensistemsuntntmpltoare, independente unele de altele i nelimitate, numrul de sosiri pe unitatea de timp este o variabil aleatoare repartizat Poisson cu media , serviciile sunt independente ntre ele inudepinddesosiri,durataserviciuluifiindovariabilaleatoarecuorepartiie exponenial negativ deparametru, iar ordineade servire este primul venit- primul servit (FIFO), clienii fiind servii n ordinea sosirii13, atunci se demonstreaz ca14: (a)numrul mediu de solicitani n irul de ateptare (nf); (b)numrul mediu de solicitani n sistem (n ir sau n curs de servire) (ns); (c)timpul mediu de ateptare n ir (ts); 12 Primele lucrri n domeniul teoriei ateptrii sunt cele ale lui Karl Erlang (1908) efectuate pentru compania de telefoane din Copenhaga. Terminologia utilizat n modelele din teoria sistemelor de ateptare s-a impus dup prezentarea de ctre D.G. Kendall la Societatea Regal de Statistic din Londra a crii Some Problems in the Theory of Quenes, J.Ray Statist. Soc., Ser. B, 13, No.2, 1951 (vezi A.M.Lee, Teoria ateptrii cu aplicaii, Bucureti, Editura Tehnic, 1976, p.15-16). n limba romn, pot fi consultate, pe lng lucrarea menionat, i altele. Citm doar: Gh.Mihoc, G. Ciucu, Introducere n teoria ateptrii, Bucureti, Editura Tehnic, 1967; Gh. Mihoc, G. Ciucu, A. Muja, Modele matematice ale ateptrii , Bucureti, Editura Academiei, 1973.13 Aceast regul este numit FIFO (first in first out). Exist i alte reguli de servire: LIFO (last in first out), adic ultimul venit, primul servit (de exemplu produsele sunt ambalate n cutii i aezate n stiv lng vnztor; servirea se va face prima dat din cutia aezat deasupra, adic ultima adus etc.); servire aleatoare - cnd fiecare cerere poate fi servit cu aceeai probabilitate; servire cu aplicarea unor reguli de prioritate; disciplin de servire de tipul urmtor: prima cerere din irul de ateptare este servit numai o perioad de timp (cuant), dup care, dac cererea a fost satisfcut integral, solicitantul prsete sistemul, dac nu, intr din nou n irul de ateptare pentru continuarea serviciului (metod utilizat, de exemplu, pentru servirea solicitanilor unui sistem de calcul) . 14 Pentru demonstrarea acestor formule vezi, de exemplu, acad. O. Onicescu, Probabiliti i procese aleatoare, Bucureti, Editura tiinific i Enciclopedic, 1977, p.486-502; A. M. Lee, Teoria ateptrii cu aplicaii, Bucureti, Editura Tehnic, 1976, p.31-38; G. Boldur Lescu, I. Scuiu, E. ignescu, Cercetare operaional cu aplicaii n economie, Bucureti, Editura Didactic i Pedagogic, 1979, p.232-240 .a. 02:20 02:30 38 (d)timpul mediu de ateptare n sistem (ts) se calculeaz astfel: - 1=n2f - 1=ns ) - (1=t f ) - (11=ts unde: =este denumit factorul de serviciu, iar: -parametrul ce caracterizeaz sosirile n sistem (media sosirilor); - parametrul ce caracterizeaz durata servirii (numrul mediu al solicitanilor servii n unitatea de timp). Mai mult, probabilitatea ca un solicitant s atepte n ir un timp mai mare dect un timp dat t0 este: e= )t>tP() - (1t-0 f0 probabilitatea ca un solicitant s atepte: P(tf > 0) = i, de aici, probabilitatea ca unitatea de servire s nu fie ocupat este: P(ns = 0) = 1 Timpul mediu de inactivitate al unitii de servire ntr-un anumit interval T este: Tn = (1 )T Exemplu Pentru exemplificarea modului de calcul al elementelor prezentate, s considerm c la un magazin de pine sosesc 25 de cumprtori la fiecare 10 minute, iar timpul necesar servirii unui cumprtor este, n medie, de 20 de secunde. n acest caz, lund ca unitate de timp minutul, se calculeaz: = 2.5 solicitani pe minut; = 3 cumprtori servii pe minut; -numrul mediu de persoane n ir: 39 nj = 4.17 persoane; -numrul mediu de persoane n ir sau n curs de servire: ns = 5 persoane; -timpul mediu de ateptare al unei persoane n irul de ateptare: tf = 1.67 minute; -timpul mediu de ateptare al unei persoane n sistem: ts = 2 minute; -probabilitatea ca un solicitant s atepte un timp mai mare de 5 minute: P(tf > 5) = 6.84%; -probabilitatea ca unitatea s nu fie ocupat, s nu existe nici un solicitant: P(ns = 0) = 16.7%; -timpul mediu de inactivitate al unitii de servire ntr-o or: Tn(1 or) = 10 minute. ncazulncareexistmaimulteunitideservire,relaiilededeterminarea numruluidesolicitaniceateaptsfieserviiiatimpuluideateptaresuntmai complicate. Notnd ca mai nainte = / i * = /s, unde s = numrul de uniti care sunt la dispoziia solicitanilor, atunci: ) - (1s!p =n2 ** s0f +) - (1 s!p =n2 ** s0s ) - (11 s! sp =t2 *s0f1+t=t f s unde p0 este probabilitatea ca n sistemul de ateptare s nu fie nici o persoan i: ((

) - (1 s!+n!= p*n n1 - s0 = n-10 Probabilitatea ca toate punctele de servire s fie ocupate la un moment dat (Ps0) se calculeaz: - ssps!=P0so Probabilitatea ca timpul de ateptare a unui solicitant n firul de ateptare s nu depeasc un timp dat t0 este: 40 pe- ss s!= )t 1, dac solicitanii ar fi servii de un singur vnztor, n sistem s-arproduceoaglomerarenelimitat.Dacservireaesteasiguratdedoivnztori, pentru irul de ateptare format, factorul de servire va fi* = /2 = 0.9 < 1 Atunci, potrivit relaiilor prezentate mai sus: -timpul mediu de ateptare al unui solicitant la coad: tf = 5.1 minute; -timpul mediu de ateptare al unui solicitant n sistem: ts = 6.3 minute; -numrul mediu de persoane n irul de ateptare: nf = 7.67 persoane; -numrul mediu de persoane n sistem: ns = 9.47 persoane. Existmodelealeteorieifirelordeateptareconstruiteinalteipoteze, 41 privindnaturarepartiieisosiriloriatimpilordeservire,disciplinadeservire, populaia din care sosesc solicitanii, capacitatea staiilor de servire etc. Dinacesteaspecteprezentate,pentruproblemaabordat-reducereatimpului necesar realizrii unui serviciu- se impune precizarea c servirea unui numr ct mai maredesolicitaninunitateadetimp(nterminologiautilizatnteoriaateptrii, reducerea factorului de serviciu) i deci reducerea timpului de ateptare se poate realiza princretereanumruluiunitilordeservire,iarncadrulacestoraanumrului posturilordeservire(vnztori)pentruproduselelacareritmulsosiriisolicitanilor esteridicat.Fie,deexemplu,unprodusacruivnzarenecesit10minute(alegerea produsului, proba de funcionare, completarea certificatului de garanie etc.). Dac ntr-oorsosesc5solicitaniaiprodusuluirespectiv,timpulmediudeateptarealunui solicitant, n vederea servirii este, potrivit relaiei prezentate mai sus (cazul s = 1): |.|

\|65- 1 665=) - (1=t f tf = 0.83 ore = 50 min. Timpul de ateptare n sistem este: ts = tf + 10 minute = 60 minute. Dacpentruprodusulrespectivexistdoustaiideservire,aproximativ identice,decipentruacelaiirdeateptaredoivnztori,atuncitimpulmediude ateptare al unui solicitant n vederea servirii este: | | ) (5/12 - 1 6=1 2- 12=t2 22f2125|.|

\|||.|

\|||.|

\| adic, tf = 0.035 ore = 2.1 min. iar timpul de ateptare n sistem: ts = 12.1 minute. Dinpunctuldevederealcumprtorului,aceastanseamn,nmedie,o economiede47.9minute.Dacnaceeaizonexistdoumagazinecaredesfac produsul respectiv, iarcumprtorii se mpart ntre acestea, astfel nct la o unitate s soseasc n medie 2.5 solicitani pe or, timpul mediu de ateptare al unei persoane n vederea servirii este: tf = 7.2 minute, iar timpul de ateptare n sistem: ts = 17.2 minute, adic o economie de 42.8 minute. n ambele cazuri se realizeaz o important economie de timp (ca valoare 03:10 42 medie). Rezumat Procesuldestocarereprezintacumulareaunorbunurinvedereasatisfacerii unei cereri viitoare. Prinstocsenelegeocantitateoarecarederesurse,deoricefel,existentla unmomentdatinefolositntrunprocesdetransformare,indiferentdenatura acestuia. Algoritmulpentrurezolvareaproblemeidetransportsebazeazpeteorema ecarturilorcomplementare:dacuiivjsuntvariabileataatenproblemadual restriciilor din problema de transport, atunci ansamblul de valori ale variabilelor xij, ui i vj (i = 1, ..., m; j = 1, ..., n) constituie programe optimale ale cuplului de probleme de transport dac i numai dac: ( )= > = = >= = = = = =0 ; 0 , , 1 , , 1 0, 1 , ; , 1 ,1 1j i ij ij j i ij ijmij ijnji ijv u c x v u c n j m i xn j b x m i a x Din ultima relaie se deduce faptul c, dac xij 0 (adic, dac xij este n baz) atunci cij ui vj = 0, echivalent cu ui + vj = cij.. Studiul problemelor legate de procesele de ateptare a generat metode specifice de analiz, grupate n teoria matematic a sistemelor de ateptare. Test de evaluare a cunotinelor 1.Ce reprezint procesul de stocare? 2.Ce reprezint stocul curent? 3.Care sunt cele 3 categorii de costuri implicate n procesul de stocare? 4.Cnd este echilibrat problema de transport? 5.Care este teorema pe care se bazeaz rezolvarea problemei de transport? 6.Ce teorie st la baza firelor de ateptare? Rspunsuri: 1.Procesuldestocarereprezintacumulareaunorbunurinvedereasatisfacerii unei cereri viitoare. 2.Stoculcurentreprezintcantitateadematerialecaretrebuiesasigure 43 continuitatea produciei n intervalul dintre dou aprovizionri. 3. Costurileimplicatencazulunuiprocesdestocaresepotgrupantrei categorii: cl - cheltuielile de lansare a comenzii sunt compuse din suma cheltuielilor efectuate pn la intrarea produselor n stoc (cheltuielile legate de formularea comenzii, cheltuieli administrative determinate de operaia de reaprovizionare); cs - cheltuielile de stocare compuse din cheltuielile de depozitare, ntreine-re, asigurare, imobilizare a capitalului financiar etc. Costul stocrii este, de obicei, proporional cu cantitatea de bunuri stocat i cu durata depozitrii; cp - costul de penalizare (cheltuielile de rupere a stocului) reprezint pierde-rile nregistrate n situaiile n care cererea de resurse este superioar stocului (amenzi, ntreruperea produciei, plata despgubirilor pentru producia nelivrat etc.). De obicei, aceste cheltuieli sunt proporionale cu cantitatea cerut din resursa respectiv i nesatisfcut i cu durata penuriei. 4.Problemadetransportesteechilibratdacsumacantitilordindepoziteeste egal cu suma solicitrilor. 5.Algoritmulpentrurezolvareaproblemeidetransportsebazeazpeteorema ecarturilor complementare: dac ui i vj sunt variabile ataate n problema dual restriciilordinproblemadetransport,atunciansambluldevaloriale variabilelorxij,uiivj(i=1,...,m;j=1,...,n)constituieprogrameoptimale ale cuplului de probleme de transport dac i numai dac: ( )= > = = >= = = = = =0 ; 0 , , 1 , , 1 0, 1 , ; , 1 ,1 1j i ij ij j i ij ijmij ijnji ijv u c x v u c n j m i xn j b x m i a x 6.Studiul problemelor legate de procesele de ateptare a generat metode specifice de analiz, grupate n teoria matematic a sistemelor de ateptare. Tem de control Construiiirezolvaioproblemdetransportechilibrat,cu6clienii4 depozite, suma de echilibru fiind 10000. 44 Bibliografie 1.JulaN.,JulaD.,2009,Modelareeconomic.Econometriefinanciar,Editura Mustang, Bucureti2.JulaN.,JulaD.,2010,Modelareeconomic.Modeleeconometriceide optimizare, Editura Mustang, Bucureti 3.DobrescuE.,2000,Macromodeluleconomieiromnetidetranziie,Editura Expert, Bucureti 4.JulaD.,2003,Introducereneconometrie,EdituraProfessionalConsulting, Bucureti 5.Jula N., 2004, Modelarea deciziilor financiar-monetare, Editura Bren, Bucureti 6.JulaN.,2006,Modelareeconomicelementedeeconometrieaplicat, Editura Mustang, Bucureti 7.JulaN.,2006,Modelareeconomiceconometrieaplicat,EdituraCartea Studeneasc, Bucureti 45 Unitatea de nvare 4.Modele Econometrice Modelul Linear de Regresie Cuprins Modelul linear unifactorial 1. Ecuaia de regresie 2. Metoda celor mai mici ptrate 3. Ipotezele modelului linear unifactorial 4. Proprieti ale estimatorilor Modelul linear multifactorial 1. Estimarea parametrilor din modelul linear multifactorial metoda celor mai mici ptrate 2. Ipotezele modelului 3. Proprieti ale estimatorilor calculai prin metoda celor mai mici ptrate Exemple de calcul 1. Modelul linear unifactorial2. Modelul linear multifactorial Introducere Dup parcurgerea unitii vei fi n msur s rspundei la ntrebrile: Ce este modelul linear unifactorial de regresie? Ce este modelul linear multifactorial de regresie? Care sunt proprietile estimatorilor calculai prin aceste modele? Obiectivele unitii de nvare nsuirea modelelor unifactorial i multifactorial de regresie Proprietile estimatorilor calculai prin aceste modele Durata medie de parcurgere a primei uniti de nvare este de 3 ore. Modele econometrice ncepemacestmodulprinanalizaunuiexempluipoteticprivinddinamicamasei monetareiainflaieintr-operioaddatdetimp.Dinteoriaeconomicsecunoate 46 faptulcmasamonetariratainflaieisuntdouvariabilecarenuevolueaz independent una de alta. Admitem faptul c masa monetar depinde n mare msur de nivelul preurilor. Reinem ideea c masa monetar depinde linear de nivelul preurilor, adic M = f(P, e), unde prin e am simbolizat ceilali factori care contribuie la dinamica masei monetare. ncazulgeneral,senoteazcuYvariabilaexplicat(nexemplulprezentat M Y) i X variabila explicativ (n exemplul prezentat P X). Scriem atunci relaia precedent astfel: Y = f(X, e), undeYestevariabilaendogen,Xvariabilaexogen,iarereprezintunfactor perturbator, de natur aleatoare. Modelul linear unifactorial Sacceptm,pentrunceput,ipotezacmasamonetardepindelinearde nivelulpreurilorisnotmM(Y/X)valoareaanticipatamaseimonetareatunci cndnivelulpreuriloratingevaloareaX.Adic,nipotezadelinearitatemenionat, acceptm c M(Y / X) = a0 + a1X unde a0 i a1 sunt parametrii modelului. Ecuaia de regresie Ecuaia de regresie poate fi scris astfel: Y = a0 + a1X + e, undeYestevariabilaendogen(variabilaexplicatprinmodel),Xestevariabila exogen(variabilaexplicativ),a0ia1suntparametriimodelului,iarereprezint eroareasauabatereadintrevaloareaanticipataendogeneiivaloareaefectiv nregistrat. Formaexactaecuaieideregresienuestecunoscut.Seadmite,nacest punct,doaripotezacrelaiadintreYiXestelinear.nacestecondiii,problema modelrii legturii dintre masa monetar i preuri este aceea de a determina, folosind datele disponibile, o form ct mai adecvat a relaiei dintre cele dou variabile. Metoda celor mai mici ptrate Prin reprezentarea ntr-un sistem de axe (XOY) a punctelor de coordonate (Xt, Yt) se obine un nor de puncte (aa ca n figura urmtoare). 00:08 47 Yt Xt t 1 0 tX a a Y+ =ut Y X ---- - -- - -- - - - ---- - - X a a Y1 0 + = Figura: Dreapta de regresie i variabila rezidual Grafic,criteriul aplicat n cazul metodei celor mai mici ptrate este urmtorul: dreaptacareasigurceamaibunajustareapunctelorempirice(dreaptaderegresie) este aceea pentru care se minimizeaz suma ptratelor abaterilor dintre punctele de pe graficipunctelecareauaceiaiabscispedreaptaderegresie,abaterilefiind msurate vertical. Analitic, se demonstreaz c valorile (0, 1) care minimizeaz suma ptratelor abaterilorudintredatelenregistratealevariabileiYivalorilecalculatesunt soluiile sistemului de ecuaii normale: + =+ = = = == =ntntntt t t tnttnttX a X a Y XX a a n Y1 1 121 011 01 (Vezi demonstraia n referinele bibliografice i n exemplele de calcule) Ipotezele modelului linear unifactorial Estimarea parametrilor din ecuaia de regresie se bazeaz pe o serie de ipoteze referitoare la forma dependenei dintre variabile, la variabila explicativ i la variabila de abatere.Ipoteza I-1:linearitatea modelului.Ipoteza I-2:variabila X are dispersia nenul i finit.Ipoteza I-3:variabila X nu este aleatoare.Ipoteza I-4:erorile sunt aleatorii, cu media zero.Ipoteza I-5:dispersia erorii este constant.Ipoteza I-6:erorile nu sunt autocorelate.00:50 48 Ipoteza I-7:erorile sunt normal distribuite. Proprieti ale estimatorilor Pornind de la ipotezele prezentate, pot fi demonstrate o serie de proprieti ale estimatorilor calculai prin metoda celor mai mici ptrate pentru parametrii modelului linear unifactorial15. Proprietatea P-1:estimatorii sunt lineari.Proprietatea P-2:estimatorii sunt nedeplasai.Proprietatea P-2':estimatorii sunt consisteni.Proprietatea P-3:estimatorii sunt eficieni.Proprietatea P-4:estimatorii sunt normal distribuii.Proprietatea P-5:estimatorii sunt de maxim verosimilitate. n literatura de specialitate sefoloseteexpresiaBLUE (Best Linear Unbiased Estimators)pentruestimatoriiparametrilordinmodelulderegresielinearcalculai prinmetodacelormaimiciptrate,atuncicndestimatoriirespectivindeplinesc condiiile din teorema Gauss-Markov. S ne reamintim... Dacnmodelulderegresielinear,variabilaexogenaredispersianenul,dar finitiesteindependentfadeerori,iarerorilesuntvariabilealeatoare independente ntre ele, normal distribuite, cu medie zero i dispersia constant, atunci estimatoriiobinuiprinmetodacelormaimiciptratesuntlineari,nedeplasai (consisteni), eficieni, normal distribuii i de maxim verosimilitate. Modelul linear multifactorial nsubcapitolulprecedentafostanalizatuncazsimplu,aldependeneilineare dintredouvariabileXiY,subformaY = f(X, e).Decelemaimulteorins, intercondiionriledintreproceseleeconomicesuntmultmaicomplexe,astfelnct evoluiauneivariabileYnudepindedeunsingurfactor,cideoseriedefactori.De exemplu,inflaiaesteunproceseconomicdeosebitdecomplex,caredepindede 15 Pentru demonstraia proprietilor vezi Jula D., 2003, Introducere n econometrie, Editura Professional Consulting, Bucureti, cap.2, anexele 2.A.6 2.A.10, pag.56-70. 01:00 49 evoluia salariilor n economie, de dinamica productivitii muncii, de cursul de schimb almonedeinaionale,derateledobnzii,depreurilelaenergiepeplaninternaional etc. Y = a0 + a1X1 + a2X2 + ... + akXk + e undeYestevariabilaendogen,X1, X2, , Xksuntkvariabileexplicative, a0, a1, a2, , ak sunt k+1 parametri necunoscui, iar e este variabila de abatere (eroarea) din ecuaia de regresie.Eroarea e reflect, la fel ca n modelul linear unifactorial, influena elementelor calitative necuantificabile, a celor care depind de comportamentul uman nepredictibil, sau a altor factori cu influen minor, alii dect X1, X2, , Xk. Parametrula0modeleazcomportamentulautonomalvariabileiendogene,iar parametrii ai cuantific intensitatea influenei factorului Xi asupra variabilei Y. Estimarea parametrilor din modelul linear multifactorial metoda celor mai mici ptrate Presupunemcprintr-ocercetareselectivsuntobinutennregistrri.Fiecare nregistrare conine o singur valoare pentru variabila Y i cte o valoare pentru fiecare dintre variabilele explicative.Scriem Xit valoarea variabilei i, n nregistrarea t, undek , 1 i = , iarn , 1 t = .Sistemul poate fi scris, concentrat, astfel: Yt = a0 + a1X1t + a2X2t + ... + akXkt + et. Introducem urmtoarele notaii: ||||||.|

\|=||||||.|

\|=kn n nkkknX X XX X XX X XX X XXYYYYY 2 13 23 132 22 121 21 113211111,||||||.|

\|=||||||.|

\|=n keeeeeaaaaA 321210,unde: Y este un vector coloan, de dimensiuni n 1, care are drept componente cele n nregistrri ale variabilei explicate (endogene), X esteomatricededimensiunin (k+1),careconinenprimacoloan(ataat termenului liber) constanta 1, iar n celelalte k coloane nregistrrile pentru fiecare dintre cele k variabile explicative; A este un vector coloan, de dimensiuni (k+1) 1, care include cei k+1 parametri ai modelului; 01:25 50 eesteunvectorcoloan,dedimensiunin 1,careincludecelenvaloriale variabilei de abatere (erorile din ecuaie de regresie) Cu aceste notaii, sistemul poate fi scris matriceal astfel: Y = XA + e. Dac se selecteaz valorile obinute n nregistrarea t pentru variabilele din ecuaia precedent, atunci t = 0 + 1X1t + 2X2t + ... + kXkt. ValoareanregistratYtnucoincidecuvaloareacalculattpebaza modelului,diferenadintreceledoumrimifiindunestimatoralerorilordinecuaia deregresie.Notmestimatorulrespectivcuutildenumimvariabilarezidual. Atunci: Yt = + ut,oricare ar fit = 1, 2, ..., n, Ecuaiile pot fi scrise sub form matriceal astfel: Y = X + u, unde i u sunt vectorii ataai estimatorilor, respectiv variabilei reziduale. ||||||.|

\|=||||||.|

\|=n kuuuuuaaaaA 321210, Valorile i u depind de eantionul selectat i de metoda de estimare aleas. Ceamaicunoscutprocedurdecalculaestimatorilorpentruparametrii modelului linear multifactorial este metoda celor mai mici ptrate. Se demonstreaz c valorile0, 1, , k,careminimizeazsumaptratelorreziduurilorsecalculeaz astfel: = (X'X)-1X'Y (Vezi demonstraia n referinele bibliografice i n exemplele de calcule) Ipotezele modelului Estimarea parametrilor din ecuaia de regresie multifactorial se bazeaz, la fel cancazulunifactorial,peoseriedeipotezereferitoarelaformadependeneidintre variabile, la variabila explicativ i la variabila de abatere. I1M:Linearitatea modelului.I2M:Ipotezele referitoare la variabilele explicative 01:50 51 a.Variabilele explicative nu sunt aleatoare, au valorile fixate atunci cnd se repet selecia b.Fiecare variabil exogen are dispersia nenul, dar finit c.Numrul de observaii este superior numrului de parametri d.Nu exist nici o relaie linear ntre dou sau mai multe variabile explicative (absena colinearitii)I3M:Ipotezele referitoare la erori a.Erorile et au media nul b.Erorile et au dispersia constant oricare ar fi t (erorile nu sunt heteroscedastice) c.Erorile et sunt independente (nu sunt autocorelate) d.Erorile et sunt normal distribuite Proprieti ale estimatorilor calculai prin metoda celor mai mici ptrate Dac ipotezele modelului sunt respectate, atunci estimatorii calculai prin metoda celor mai mici ptratepentru modelul multifactorial de regresie linear au anumite proprieti. Proprietatea P-1M: estimatorii sunt lineari.Proprietatea P-2M: estimatorii sunt nedeplasai.Proprietatea P-2'M: estimatorii sunt consisteni.Proprietatea P-3M: estimatorii sunt eficieni.Proprietatea P-4M: estimatorii sunt normal distribuii.Proprietatea P-5M: estimatorii sunt de maxim verosimilitate. Exemple Modelul linear unifactorial Pentru exemplificarea modului de calcul a estimatorilor din modelul linear unifactorial analizm legtura dintre veniturile populaiei i volumul economiilor. 02:00 52 Datele nregistrate pentru 20 momente diferite de timp sunt prezentate n tabelul urmtor: Nr. crt. Veniturile populaiei (X) Volumul economiilor (Y) 110020 211025 312028 412530 513033 614035 715036 815542 917044 1017042 1118045 1218550 1319047 1420048 1520552 1621058 1721554 1822055 1922058 2022560 Modelul linear unifactorial se scrie:Yt = a0 + a1Xt + et, 53 undeYtestevariabilaendogen(explicat)volumuleconomiilorpopulaiei,Xteste variabilaexogen(explicativ)veniturilepopulaiei,etvariabiladeabatere (discrepanadintrevalorilenregistrateiceleanticipatepebazamodelului),a0ia1 sunt parametrii modelului. Tabel: Calculul estimatorilor n modelul linear unifactorialtXt Yt XtXtYt t ut=Ytt 0123456 11002010000200022.5441-2.5441 21102512100275025.4393-0.4393 31202814400336028.3345-0.3345 41253015625375029.78210.2179 51303316900429031.22971.7703 61403519600490034.12490.8751 71503622500540037.0201-1.0201 81554224025651038.46773.5323 91704428900748042.81051.1895 101704228900714042.8105-0.8105 111804532400810045.7057-0.7057 121855034225925047.15332.8467 131904736100893048.6009-1.6009 142004840000960051.4961-3.4961 1520552420251066052.9437-0.9437 1621058441001218054.39133.6087 1721554462251161055.8389-1.8389 1822055484001210057.2865-2.2865 1922058484001276057.28650.7135 2022560506251350058.73411.2659 3420862615450156270862.00000.0000 Cu aceste date, sistemul de ecuaii normale se scrie astfel: + =+ =1 01 0 615450 3420 156270 3420 20 862a aa a Rezolvm sistemul prin regula lui Cramer.Atunci, valorile 0 i 1 se calculeaz astfel: = =AA= ==AA=28952 . 061260017736040793 . 661260039255001010aaaa Valorile estimate pentru variabila endogen se determin astfel: t = -6.40793 + 0.28952Xt. Dreapta de regresie este prezentat n figura 2-3. 54 Valorilecalculatesuntprezentatencol.5atabelulanterior.Deasemenea,se potcalculareziduuriledinecuaiaderegresie,adicabateriledintrevalorile nregistrate ale variabilei endogene (Yt) i valorile estimate pe baza modelului (t): ut = Yt t Valorile variabilei reziduale ut sunt date n coloana 6 a tabelului 2-1. Figura: Dreapta de regresie Modelul linear multifactorial Fieurmtoareledatenregistrateprivinddinamicaveniturilorpopulaiei(X1t), evoluia ratei reale a dobnzii pasive (X2t) i dinamica depozitelor bancare (Yt): Nr.crt. Dinamica veniturilor populaiei (X1t) Evoluia ratei reale a dobnzii pasive (X2t) Dinamica depozitelor bancare (Yt) 10.54.10.3 21.04.20.8 31.24.00.3 4-0.34.1-0.5 52.13.80.8 62.34.21.4 71.23.80.2 81.03.90.7 90.83.90.0 100.03.8-0.7 11-0.63.8-1.0 122.23.81.3 131.44.21.0 142.03.91.2 152.34.21.7 Y = - 6.4079 +0.2895XR 2 = 0.9719 10 20 30 40 50 60 70 75100125150175200225250 02:35 55 161.13.80.4 170.83.90.6 18-0.54.1-0.9 19-1.43.9-1.4 200.24.1-0.2 211.84.21.5 222.23.80.9 232.14.11.0 241.54.20.7 251.83.81.2 Datele sunt reprezentate grafic n figura urmtoare. Modelul linear bi-factorial se scrie: Yt = a0 + a1X1t + a2X2t + et. Vectorul estimatorilor se calculeaz dup relaia: = (X'X)-1X'Y. MatriceaX3,3seconstruieteastfel:nprimacoloanaparevaloarea1;ncoloana urmtoaresunttrecutevalorilevariabileiX1t(dinamicaveniturilorpopulaiei),iarn ultima coloan, valorile variabilei X2t (evoluia ratei reale a dobnzii pasive). Vectorul Y25,1conineelementelenregistratepentruvariabiladinamicadepozitelorbancare. -2.0-1.00.01.02.03.04.05.01 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25X1 X2 Y Figura: Modelul linear multifactorial n aceste condiii, elementele din formula precedent sunt: |||.|

\|=46 . 397 74 . 106 60 . 9974 . 106 09 . 54 70 . 2660 . 99 70 . 26 25' X Xde unde: 56 |||.|

\| =542 . 1 022 . 0 121 . 6022 . 0 039 . 0 046 . 0121 . 6 046 . 0 378 . 24) ' (1X XDe asemenea,|||.|

\|=86 . 4575 . 313 . 11'Y X . Rezult:|||.|

\|=860999 . 075722 . 078693 . 3A Valorile estimate pentru variabila endogen se determin astfel: t = -3.78693 + 0.75722X1t + 0.860999X2t. Valorile calculate sunt prezentate n tabelul urmtor. Tabel: Calculul estimatorilor n modelul linear multifactorial tX1tX2tYt tut = Yt t 10.54.10.30.12180.1782 21.04.20.80.58650.2135 31.24.00.30.5657-0.2657 4-0.34.1-0.5-0.4840-0.0160 52.13.80.81.0750-0.2750 62.34.21.41.5709-0.1709 71.23.80.20.3935-0.1935 81.03.90.70.32820.3718 90.83.90.00.1767-0.1767 100.03.8-0.7-0.5151-0.1849 11-0.63.8-1.0-0.9695-0.0305 122.23.81.31.15070.1493 131.44.21.00.88940.1106 142.03.91.21.08540.1146 152.34.21.71.57090.1291 161.13.80.40.31780.0822 170.83.90.60.17670.4233 18-0.54.1-0.9-0.6354-0.2646 19-1.43.9-1.4-1.48910.0891 200.24.1-0.2-0.1054-0.0946 57 211.84.21.51.19230.3077 222.23.80.91.1507-0.2507 232.14.11.01.3333-0.3333 241.54.20.70.9651-0.2651 251.83.81.20.84790.3521 De asemenea, se pot calcula reziduurile din ecuaia de regresie, adic abaterile dintrevalorilenregistratealevariabileiendogene(Yt)ivalorileestimatepebaza modelului (t): ut = Yt t. Aceste reziduuri vor fi folosite n testarea modelului. Rezumat nmodelulunifactoria,ecuaiaderegresiepoatefiscrisntroformechivalent astfel: Y = a0 + a1X + e, undeYestevariabilaendogen(variabilaexplicatprinmodel),Xestevariabila exogen(variabilaexplicativ),a0ia1suntparametriimodelului,iarereprezint eroareasauabatereadintrevaloareaanticipataendogeneiivaloareaefectiv nregistrat Dacnmodelulderegresielinear,variabilaexogenaredispersianenul,darfinit i este independent fa de erori, iar erorile sunt variabile aleatoare independente ntre ele, normal distribuite, cu medie zero i dispersia constant, atunci estimatorii obinui prinmetodacelormaimiciptratesuntlineari,nedeplasai(consisteni),eficieni, normal distribuii i de maxim verosimilitate. Modelul factorial este de forma Y = a0 + a1X1 + a2X2 + ... + akXk + e undeYestevariabilaendogen,X1, X2, , Xksuntkvariabileexplicative, a0, a1, a2, , ak sunt k+1 parametri necunoscui, iar e este variabila de abatere (eroarea) din ecuaia de regresie.Sedemonstreazcvalorile0, 1, , k,careminimizeazsumaptratelor reziduurilor se calculeaz astfel: = (X'X)-1X'Y Test de evaluare a cunotinelor 1.Care este forma ecuaiei de regresie in modelul unifactorial? 2.n ce const metoda celor mai mici ptrate? 3.n ce condiii estimatorii obinui prin metoda celor mai mici ptrate sunt lineari, nedeplasai (consisteni), eficieni, normal distribuii i de maxim verosimilitate? 4.Care sunt ipotezele modelului multifactorial? 03:00 58 Rspunsuri: 1.Ecuaia de regresie poate fi scris ntr-o form echivalent astfel: Y = a0 + a1X + e, undeYestevariabilaendogen(variabilaexplicatprinmodel),Xeste variabila exogen (variabila explicativ), a0 i a1 sunt parametrii modelului, iar ereprezinteroareasauabatereadintrevaloareaanticipataendogeneii valoarea efectiv nregistrat 2.Procedura cunoscut sub denumirea de metoda celor mai mici ptrate const n nsumareaptratelorabaterilorideterminareaacelorvalorialeparametrilor care s duc la minimizarea sumei respective. Grafic,criteriul aplicat n cazul metodei celor mai mici ptrate este urmtorul: dreaptacareasigurceamaibunajustareapunctelorempirice(dreaptade regresie)esteaceeapentrucareseminimizeazsumaptratelorabaterilor dintrepuncteledepegraficipunctelecareauaceeaiabscispedreaptade regresie, abaterile fiind msurate vertical. Analitic, se demonstreaz c valorile (0, 1) care minimizeaz suma ptratelor abaterilor u dintre datele nregistrate ale variabilei Y i valorile calculate sunt soluiile sistemului de ecuaii normale: + =+ = = = == =ntntntt t t tnttnttX a X a Y XX a a n Y1 1 121 011 01 3.Dac n modelul de regresie linear, variabila exogen are dispersia nenul, dar finitiesteindependentfadeerori,iarerorilesuntvariabilealeatoare independente ntre ele, normal distribuite, cu medie zero i dispersia constant, atunciestimatoriiobinuiprinm