393

14. FENOMENE ELECTROMAGNETICE

VARIABILE ÎN TIMP

14

394

CUPRINS

Nr. crt. TEMA Pagina

1. Obiective 395 2. Organizarea sarcinilor de lucru 395 3. Topicul 1

Inducţia electromagnetică. Legea lui Faraday. Natura tensiunii electromotoare induse.

396

4. Exemplu ilustrativ 1 399 5. Topicul 2

Inducţia mutuală 402

6. Exemplu ilustrativ 2 403 7. Topicul 3

Inducţia magnetoelectrică 406

8. Exemplu ilustrativ 3 407 9. TEST DE AUTOEVALUARE 410 10. REZUMAT 411 11. Rezultate aşteptate 413 12. Termeni esenţiali 413 13. Recomandări bibliografice suplimentare 414 14. TEST DE EVALUARE 415

395

OBIECTIVE

Organizarea sarcinilor de lucru Parcurgeţi cele trei topice ale cursului. La fiecare topic urmăriţi exemplele ilustrative. Fixaţi principalele idei ale cursului, prezentate în rezumat. Completaţi testul de autoevaluare. Timpul de lucru pentru parcurgerea testului de evaluare

este de 15 minute.

Obiectivele acestui curs sunt: Să definească inducţia electromagnetică. Să-şi însuşească legea lui Faraday. Să înţeleagă natura tensiunii electromotoare induse. Să definească inducţia mutuală. Să cunoască şi să diferenţieze cele două mărimi fizice,

inducţia mutuală şi autoinducţia. Să definească inducţia magnetoelectrică. Să-şi însuşească ecuaţiile lui Maxwell.

396

14. 1. Inducţia electromagnetică

Constatări experimentale Un circuit electric deformabil, aflat în câmp magnetic static, se deformează atunci când prin el circulă un curent electric. În 1831 Michael Faraday şi-a pus întrebarea dacă nu cumva apare şi fenomenul invers? Astfel dacă un circuit electric închis (fără sursă) este deformat într-un câmp magnetic static care-l străbate (se modifică aria) în circuit apare un curent electric. Mai mult, Faraday a descoperit că curentul electric apare în circuitul electric închis şi dacă acesta doar se roteşte în câmp magnetic sau execută o mişcare de translaţie în câmpuri magnetice neomogene, sau dacă pur şi simplu câmpul magnetic este variabil în timp [26].

Definiţie: Fenomenul de apariţie a unui curent electric într-un circuit conductor închis ori de câte ori variază fluxul câmpului magnetic prin suprafaţa mărginită de conturul circuitului se numeşte inducţie electromagnetică.

TOPICUL 1

Inducţia electromagnetică Legea lui Faraday

Natura tensiunii electromotoare induse

397

Fig. 14.1. Apariţia unei forţe asupra unui element de circuit mobil parcurs de curent electric aflat în câmp magnetic (stânga). Apariţia unui curent electric

indus într-un circuit variabil străbătut de câmp magnetic În 1833 H. E. Lenz a enunţat regula generală cu ajutorul căreia poate stabili sensul curentului indus – Legea lui Lenz: Curentul indus Ii are sensul în aşa fel încât câmpul magnetic propriu, Bi,, tinde să anihileze variaţia fluxului magnetic care produce curentul electric.

14. 2. Legea lui Faraday Pe baza concluziilor experimentale, Faraday a enunţat legea care-i poartă numele.

dtd

E i

(14.1)

În toate cazurile de inducţie electromagnetică are loc transformarea unui tip de energie în altul. Puterea electrică într-un circuit electric cu o sursă de tensiune E este:

I EP (14.2) Lucrul mecanic efectuat de sursa de tensiune E în intervalul de timp dt este:

dtEdtPdL I (14.3) Lucrul mecanic efectuat la deplasarea laturii (ab) a circuitului pe distanţa dx, în intervalul de timp dt, poate fi scris sub forma:

ddSBdxLBdxFdL III' (14.4)

Enunţ: Tensiunea electromotoare indusă Ei este proporţională cu viteza de variaţie a câmpului magnetic.

398

unde dΦ este variaţia fluxului câmpului magnetic prin suprafaţa conturului, prilejuită de creşterea suprafeţei cu dS. Lucrul mecanic care se transformă în căldură prin efect Joule în intervalul de timp este:

dtRdtUdL 2" II (14.5) Din legea conservării energiei în acest proces obţinem:

"' dLdLdL (14.6) sau:

dtRddtE 2III (14.7) prin împărţirea cu intervalul de timp infinitezimal dt obţinem:

Rdtd

E

I (14.8)

care poate fi privită ca legea lui Ohm pentru întreg circuitul în care, pe lângă t.e.m. E mai apare şi tensiunea electromotoare indusă:

dtd

E i

(14.9)

Semnul minus arată că tensiunea electromotoare indusă este orientată (are o astfel de polarizare) încât câmpul magnetic al curentului electric se opune variaţiei fluxului magnetic inductor.

14. 3. Natura tensiunii electromotoare induse Când într-un circuit fără generator circulă curent electric, asupra electronilor din conductorii circuitului acţionează o forţă de o natură oarecare [6,22]. Cea mai generală expresie a forţei este suma dintre forţa electrică care acţionează asupra unei sarcini electrice în câmp electric şi forţa Lorentz care acţionează asupra unei sarcini electrice în mişcare în câmp magnetic:

BxvqEqFFF Le

(14.10)

Câmpul imprimat corespunzător acestei forţe este:

BxvEqF

E i

(14.11)

Prin definiţie: Tensiunea electromotoare între două puncte a şi b ale unui circuit reprezintă lucrul mecanic efectuat pentru deplasarea unităţii de sarcină pozitivă între cele două puncte ale circuitului electric:

dlEdlEqqldlF

ql

qLE

b

a

b

a

b

a

(14.12)

399

Astfel tensiunea electromotoare într-un circuit închis devine:

21

)()(

dtd

dtdE

ldBvldEdlBvEldEEC CC

i

(14.13)

unde provenienţa celor doi termeni este diferită:

2

1

)(

dtd

ldBxv

dtd

ldEC

(14.14)

I. Circuitul câmpului este fix şi rigid: În acest caz viteza v = 0 şi deci cel de-al doilea termen este şi el nul. Singura modalitate de a modifica fluxul magnetic prin suprafaţa delimitată de conturul circuitului este ca, câmpul magnetic să varieze în timp. Circulaţia vectorului câmp electric de-a lungul circuitului este:

SddtBd

SdBdtd

dtd

ldESSC

1

(14.15)

care reprezintă forma integrală a legii lui Faraday. Prin aplicarea legii lui Stockes se obţine:

SddtdB

SdEldESSC

(14.16)

CONCLUZIE Fenomenul de apariţie a unui curent electric într-un circuit conductor închis ori de câte ori variază fluxul câmpului magnetic prin suprafaţa mărginită de conturul circuitului se numeşte inducţie electromagnetică.

EXEMPLU ILUSTRATIV 1:

400

iar forma diferenţială a legii lui Faraday este:

dtdB

E )(

(14.17) II. Câmpul magnetic este static Modalitatea de a induce în circuit o t.e.m. este deformarea circuitului în câmp static omogen sau mişcarea întregului circuit în câmp magnetic static dar neomogen. Pentru o deformare a circuitului obţinem:

C

b

a

b

a

ldBvldBvdlvBdtd

vlBdt

xdlB

dtxld

Bdt

SdB

dtSBd

dtd

)()(

)()()()(

2

2

(14.18)

ceea ce a fost de arătat. În plus se observă că Bv

are dimensiunea unui

câmp electric E .

În concluzie tensiunea electromotoare indusă îşi poate avea originea în: Deformarea circuitelor electrice în câmp magnetic static omogen sau

deplasarea în câmp magnetic static neomogen. Variaţia în timp a câmpului magnetic ce străbate suprafaţa mărginită de

un curent rigid, în repaus. Ambele situaţii.

S-a observat că: Câmpul magnetic variabil în timp B

generează un câmp electric

neconservativ E

. Pentru apariţia câmpului electric indus la variaţia câmpului magnetic nu

este necesară prezenţa circuitului electric. În schimb pentru apariţia curentului indus este necesară existenţa unui

mediu conductor. Liniile câmpului electric indus sunt curbe închise.

401

Curenţii Foucault

La fel ca şi câmpul electric indus, curenţii Foucault sunt turbionari, ei se închid în cercuri concentrice. Rezistenţa conductorilor masivi fiind mică, curenţii Foucault pot fi destul de intenşi ducând la încălzirea materialului [39]

Fig.14.2. Curenţi Foucault

Definiţie: Curenţii induşi în conductori masivi, aflaţi în repaus în câmp magnetic variabil în timp, sau aflaţi în mişcare în câmp magnetic constant se numesc curenţi Foucault.

http://inmemory.orgfree.com/img/14_html_79a96758.jpg

CONCLUZIE

Bobină

Câmp magnetic

curent indus

Bobină

Sursă de semnal

402

Inducţia mutuală

Să presupunem că avem două circuite vecine. Prin primul circuit circulă un curent I1 şi prin cel de-al doilea circuit circulă un curent I2. Notăm cu Φ12 fluxul câmpului magnetic al curentului I1 prin suprafaţa mărginită de circuitul 2. Fluxul Φ12 este proporţional cu intensitatea curentului I1:

11212 IM (14.19) unde, coeficientul de proporţionalitate M12 se numeşte coeficient de inducţie mutuală. În mod similar, se poate defini fluxul Φ21 câmpului magnetic al curentului I2 prin suprafaţa mărginită de circuitul 1:

22121 IM (14.20)

Fig. 14.2. Câmpul magnetic produs de curentul I1 induce

un curent I2 în cel de-al doilea circuit

Definiţie: Excitarea prin inducţie a curentului într-un circuit, prin variaţia curentului în alt circuit (vecin) se numeşte inducţie mutuală.

TOPICUL 2

Inducţia mutuală

403

Variaţia infinitezimală a fluxului magnetic într-un interval de timp infinitezimal este dată de o variaţie infinitezimală şi a intensităţii curentului electric:

11212 IdMd (14.21) Atunci tensiunea electromotoare indusă este:

dtId

Mdt

dE

12

122 (14.22)

Se poate arăta că:

MMM 2112 (14.23) Din ecuaţiile (14.19) şi (14.20) rezultă:

1

12

2

12

IΦ

IΦ

M (14.24)

Autoinducţia Curentul electric care circulă printr-un circuit, generează un flux magnetic Φ prin suprafaţa mărginită de propriul circuit:

LIΦ (14.25) unde coeficientul de proporţionalitate L se numeşte inductanţa proprie sau inductanţa circuitului. Elementul de circuit caracterizat prin inductanţă se numeşte inductor sau bobină [1]. Dacă intensitatea curentului nu este constantă în timp atunci variaţia infinitezimală a fluxului magnetic într-un

Definiţie: Inducţia mutuală a doua circuite este egală cu raportul dintre fluxul câmpului magnetic prin suprafaţa mărginită de unul dintre circuite şi intensitatea curentului prin celălalt circuit.

Definiţie: T.e.m indusă într-un circuit prin inducţie mutuală este direct proporţională cu viteza de variaţie a curentului din circuitul vecin şi depinde de valoarea inducţiei mutuale a celor două circuite:

EXEMPLU ILUSTRATIV 2

404

interval de timp infinitezimal este dată de variaţia infinitezimală a intensităţii curentului electric:

dILdΦ (14.26)

Atunci tensiunea electromotoare autoindusă este:

dtdI

Ldtd

E i

(14.27)

Semnul minus ne arată că t.e.m. autoindusă într-un circuit are întotdeauna un astfel de sens încât să se opună variaţiei curentului care o produce. De exemplu dacă avem o bobină solenoidală inductanţa acesteia se poate arăta ce este:

lSNL r

20

(14.28)

Fig. 14.3. Câmpul magnetic produs de o bobină cu N spire.

Definiţie: Inductanţa proprie a unui circuit (bobina) depinde numai de caracteristicile de construcţie (N, S, l), de permeabilitatea magnetică a mediului în care se află şi nu depinde de intensitatea curentului electric prin circuit.

Definiţie: T.e.m. autoindusă într-un circuit este direct proporţională cu viteza de variaţie a intensităţii curentului electric prin respectivul circuit şi depinde de inductanţa proprie a circuitului.

405

Curentul de deplasare Apare o întrebare importantă: există vreo situaţie în care curentul electric poate să treacă printr-un circuit întrerupt (în particular de un condensator)? Răspunsul este afirmativ însă curentul electric trebuie să nu fie continuu ci alternativ. Pentru a explica cum este posibil acest lucru trebuie sa ţinem cont că pe măsură ce condensatorul se încarcă, între plăcile lui apare un câmp electric crescător. Să considerăm un condensator care are aria armaturilor S. Densitatea de sarcină electrică instantanee se notează cu σ(t). Atunci sarcina electrică instantanee este:

SttQ )()( (14.29) Câmpul electric între armăturile condensatorului este constant în spaţiu şi este dat de relaţia:

0

)()(

t

tE (14.30)

de unde sarcina electrică se poate scrie ca:

StEtQ )()( 0 (14.31) Intensitatea curentului electric este:

StE

dtdQ

I

0 (14.32) unde s-a derivate câmpul electric doar în raport cu timpul. Între plăcile condensatorului nu avem un material conductor deci nici curent de conducţie ci avem un curent care depinde de viteza de variaţie a câmpului electric dintre armături. Acest curent se numeşte curent de deplasare, şi se notează cu Id [20,39]. Dacă curentul Id este repartizat neuniform pe suprafaţa plăcilor condensatorului atunci avem:

SS

I

dd SdEt

SdtE

dIId

000

' (14.33)

dar în acelaşi timp intensitatea curentului electric este:

CONCLUZIE

406

S

d SdjI (14.34)

de unde densitatea de curent de deplasare este:

tE

jd

0 (14.35)

Fig.14.4. Câmpul electric Fig. 14.5. Electrolizor

Curentul de deplasare, al cărui conţinut fizic este câmpul electric variabil în timp, generează la rândul său un câmp magnetic asemenea curentului de conducţie [40]. Acest rezultat experimental a fost observat de D. C. Maxwell şi enunţat sub forma: Orice câmp electric variabil în timp generează în spaţiul înconjurător un câmp magnetic variabil în timp, numit câmp magnetic indus.

TOPICUL 3

Inducţia magnetoelectrică

407

Ecuaţiile lui Maxwell Pentru descrierea clasică a fenomenelor electromagnetice există patru ecuaţii fundamentale denumite şi ecuaţiile lui Maxwell: - legea lui Gauss pentru electrostatică

0iq

SdE

(14.36)

- legea lui Gauss pentru magnetostatică

0

SdB

(14.37) - legea lui Faraday

S

SdBt

ldE

(14.38)

- legea lui Ampere

SdjldBS

k

0 (14.39)

Dacă se înlocuieşte densitatea totală a curentului:

dt jjj

(14.40) în ecuaţia (14.39) se obţine:

S

d SdEt

SdjSSdjjldB

0000 )( (14.41)

Definiţie: Fenomenul de generare a câmpului magnetic prin inducţie, de către un câmp electric variabil în timp, şi care este invers fenomenului de inducţie electromagnetică se numeşte inducţie magnetoelectrică.

EXEMPLU ILUSTRATIV 3:

408

Sistemul de ecuaţii:

dVSdEv

0

1 (14.42)

0

SdB

(14.43)

SdtB

ldES

(14.44)

SdtE

SdjldBSS

000 (14.45)

se numeşte sistemul ecuaţiilor lui Maxwell forma integrală. J. C. Maxwell a arătat că pornind de la aceste ecuaţii se pot obţine, prin calcul, toate relaţiile din electricitate şi magnetism şi în plus se pot prezice şi alte numeroase fenomene electromagnetice. Forma diferenţială a acestor ecuaţii este însă mai folositoare la descrierea câmpului electromagnetic: - legea lui Gauss pentru electrostatică:

0

E

(14.46)

- legea lui Gauss pentru magnetostatică

0B

(14.47) - legea lui Faraday:

tB

E

(14.48)

- legea lui Ampere:

tE

jB

000 (14.49)

CONCLUZIE

409

Fig.14.6. Curba lui Gauss

Fig.14.7. Torr magnetic

http://inmemory.orgfree.com/img/14_html_45081d4e.jpg

http://inmemory.orgfree.com/img/14_html_472f16e.jpg

410

TEST DE AUTOEVALUARE

1. Faraday a descoperit că curentul electric apare în circuitul electric închis şi dacă acesta: a) doar se roteşte în câmpul magnetic b) execută o mişcare de translaţie în câmpuri magnetice neomogene c) pur şi simplu câmpul magnetic este variabil în timp 2. Lenz a enunţat regula generală cu ajutorul căreia se poate stabili: a) inducţia electromagnetică b) sensul curentului indus c) câmpul magnetic d) câmpul electric 3. Tensiunea electromotoare indusă este proporţională cu viteza de variaţie a câmpului magnetic, enunţ ce exprimă: a) principiile lui Newton b) tensiunea electromotoare indusă c) curenţii Foucault d) inducţia mutuală

Încercuiţi răspunsurile corecte la următoarele întrebări. ATENŢIE: pot exista unul, niciunul sau mai multe răspunsuri corecte la aceeaşi întrebare. Timp de lucru: 10 minute

411

4. Legea lui Faraday poate fi reprezentată prin forma: a) vectorială b) integrală c) diferenţială 5. Inductanţa bobinei depinde de: a) caracteristicile de construcţie b) caracteristicile de permeabilitate magnetică a mediului c) intensitatea curentului electric prin circuit Grila de evaluare: 1.-a,b,c; 2.-b; 3.-niciunul; 4.-b, c; 5.-a, b.

- În TOPICUL 1 am definit inducţia electromagnetică, legea lui Faraday,precum am explicat şi natura tensiunii electromotoare induse. Am enunţat regula generală de stabilire a sensului curentului indus, numită Legea lui Lenz. Fenomenul de apariţie a unui curent electric într-un circuit conductor închis ori de câte ori variază fluxul câmpului magnetic prin suprafaţa mărginită de conturul circuitului se numeşte inducţie electromagnetică. Legea lui Faraday este: Tensiunea electromotoare indusă Ei este proporţională cu viteza de variaţie a câmpului magnetic.

dtd

E i

În concluzie tensiunea electromotoare indusă îşi poate avea originea în:

Deformarea circuitelor electrice în câmp magnetic static omogen sau deplasarea în câmp magnetic static neomogen.

REZUMAT

412

Variaţia în timp a câmpului magnetic ce străbate suprafaţa mărginită de un curent rigid, în repaus.

Ambele situaţii. - În TOPICUL 2 am prezentat fenomenul inducţiei mutuale. Excitarea prin inducţie a curentului într-un circuit, prin variaţia curentului în alt circuit (vecin) se numeşte inducţie mutuală. Am definit autoinducţia, inductanţa proprie a unui circuit, adică inductanţa bobinei. T.e.m. autoindusă într-un circuit este direct proporţională cu viteza de variaţie a intensităţii curentului electric prin respectivul circuit şi depinde de inductanţa proprie a circuitului. Inductanţa proprie a unui circuit (bobina) depinde numai de caracteristicile de construcţie (N, S, l), de permeabilitatea magnetică a mediului în care se află şi nu depinde de intensitatea curentului electric prin circuit. - În TOPICUL 3 am precizat şi prezentat fenomenul inducţiei magneto-electrică. Fenomenul de generare a câmpului magnetic prin inducţie, de către un câmp electric variabil în timp, şi care este invers fenomenului de inducţie electromagnetică se numeşte inducţie magnetoelectrică. Descrierea fenomenelor electromagnetice se poate face prin cele patru ecuaţii fundamentale numite ecuaţiile lui Maxwell.

413

După studierea acestui curs ar trebui să recunoaşteţi fenomenele electromagnetice variabile în timp. Aplicarea acestora în practică prin legile specifice fenomenelor electromagnetice trebuie să vă facă să înţelegeţi importanţa lor. Un rezultat aşteptat este şi acela al însuşirii ecuaţiilor lui Maxwell.

REZULTATE AŞTEPTATE

Fenomenul de apariţie a unui curent electric într-un circuit conductor închis ori de câte ori variază fluxul câmpului magnetic prin suprafaţa mărginită de conturul circuitului se numeşte inducţie electromagnetică. Legea lui Lenz:Curentul indus are sensul în aşa fel încât câmpul magnetic propriu, tinde să anihileze variaţia fluxului magnetic care produce curentul electric. Legea lui Faraday Tensiunea electromotoare Tensiunea electromotoare indusă Curenţii Foucault Inducţia mutuală Autoinducţia Inductanţa bobinei Curentul de deplasare Inducţia magnetoelectrică Ecuaţiile lui Maxwell

TERMENI ESENŢIALI

414

RECOMANDĂRI BIBLIOGRAFICE SUPLIMENTARE

- Ardelean I., Fizică pentru ingineri, Editura U.T.PRESS, Cluj- Napoca, 2006; - Biro D., Prelegeri „Curs de Fizică generală” (format electronic, CD, revizuit), Universitatea „Petru Maior”, Tîrgu-Mureş, 2006; - Berkeley, Cursul de fizică - Electricitate şi Magnetism (Vol. 2), Editura Didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1982; - Berkeley, Cursul de fizică - Mecanică (Vol.1), Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981; - Fechete R., Elemente de fizică pentru ingineri, Editura U.T.PRESS, Cluj Napoca, 2008; - Feynmann R.P., Leighton R. B., Sands M., Fizica modernă, Vol. I - III. Editura Tehnică, Bucureşti, 1970; - Gîju S., Băţagă E., Lucrări de laborator - Fizică. Editura - Universitatea „Petru Maior”, Tîrgu-Mureş, 1991; - Gîju S., Teorie şi Probleme, Editura Universitatea. „Petru Maior”, Tîrgu-Mureş, 2001; - Gîju S., Curs de Fenomene termice şi electromagnetice, Editura Universitatea „Petru Maior”, Tîrgu-Mureş, 2003; - Halliday D., Resnick R., Fizica, vol. I şi II. Editura Didactică. şi Pedagogică, Bucureşti, 1975; - Hudson A., Nelson R., University Physics, Second Edition, Saunders College Publishing, New York, 1990; - Modrea A. , Lucrări de laborator” (format electronic), Universitatea, „Petru Maior”, Tîrgu-Mureş, 2006; - Modrea A., Curs de Fizică generală”(format electronic), Universitatea, Petru Maior”, Tîrgu-Mureş, 2006; - Oros C., Fizică generală-format electronic, Universitatea „Valahia”, Târgovişte, 2008; - Serway R. A., Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, Second Edition, Saunders College Publishing, New York, 1986.

415

TEST DE EVALUARE

1. Fenomenul de apariţie a unui curent electric într-un circuit conductor închis ori de câte ori variază fluxul câmpului magnetic prin suprafaţa mărginită de conturul circuitului se numeşte: a). inducţie electromagnetică b). câmp magnetic c). curent indus d). tensiune electromotoare indusă

2. Tensiunea electromotoare între două puncte a şi b ale unui circuit reprezintă:

a). deplasarea de sarcină pozitivă b). energia mecanică c). lucrul mecanic 3.Tensiunea electromotoare indusă îşi poate avea originea în: a). deformarea circuitelor electrice în câmp magnetic static omogen sau deplasarea în câmp magnetic static neomogen. b).variaţia în timp a câmpului magnetic ce străbate suprafaţa mărginită de un curent rigid, în repaus. c). ambele situaţii.

Încercuiţi răspunsurile corecte la următoarele întrebări. ATENŢIE: pot exista unul, niciunul sau mai multe răspunsuri corecte la aceeaşi întrebare. Timp de lucru :15 minute

416

4.Curenţii Foucault sunt: a) liniile câmpului electric indus b) circuitele electrice în câmp magnetic c)curenţii induşi în conductori masivi, aflaţi în repaus în câmp magnetic variabil în timp sau aflaţi în mişcare în câmp magnetic constant

5. Fenomenul de generare a câmpului magnetic prin inducţie, de către un câmp electric variabil în timp, şi care este invers fenomenului de inducţie electromagnetică se numeşte: a) curent de deplasare b) inducţie magnetoelectrică c) curent de conducţie

Grila de evaluare: 1.-a; 2.-niciunul; 3.-a, b,c; 4.-c; 5.-b.