1. legi de compozitie, grupuri, inele

7/21/2019 1. Legi de Compozitie, Grupuri, Inele

http://slidepdf.com/reader/full/1-legi-de-compozitie-grupuri-inele 1/5

5.Legi de compoziţie. Grupuri. Inele. Corpuri.

1. Pe mulţimea numerelor reale definim operaţia 1244 +++= y x xy y x , pentru orice R y x ∈, .

a) Să se verifice că 4)4)(4( −++= y x y x pentru orice R y x ∈, .

b) Să se calculeze ).4(− x

c) Ştiind că operaţia ! este asociativă, să se calculeze .2"122"11...)2"11()2"12( −−

2. Pe mulţimea numerelor reale se define#te le$ea de compozitie .42)(% +++= y x xy y x

a) Să se calculeze ).2(2 −

b) Să se verifice că %)%)(%( −++= y x y x pentru orice R y x ∈, .c) Ştiind că le$ea ! este asociativă, să se se rezolve &n mulţimea numerelor reale, ecuaţia

. x x x x =

'. Pe mulţimea numerelor &ntre$i se definesc le$ile de compozitie '−+=∗ y x y x #i.')')('( +−−= y x y x

a) Să se rezolve &n mulţimea numerelor &ntre$i ecuaţia . x x x x ∗=

b) Să se determine numărul &ntre$ a care are proprietatea ,'=a x oricare ar fi numărul &ntre$ x.

c) Să se rezolve sistemul de ecuaţii,

1)(4)1(

=−

=+∗ y x

y x

unde ., Z y x ∈

4. Pe mulţimea numerelor reale se consideră le$ea de compozitie .'")( ++−=∗ y x xy y x

a) Să se demonstreze că ))(( +−−=∗ y x y x , R y x ∈∀ , . b) Să se determine elementul neutru al le$ii de compoziţie ∗ !.c) Ştiind că le$ea de compoziţie ∗ ! este asociativă să se rezolve &n mulţimea numerelor reale

ecuaţia . x x x x =∗∗

(. Pe mulţimea numerelor reale se consideră le$ea de compozitie 12 +−−=∗ y x xy y x .

a) Să se arate că )1)(1( y x xy y x −−+=∗ , R y x ∈∀ , .

b) Să se arate că le$ea de compoziţie ∗ ! este asociativă.c) Să se rezolve &n R ecuaţia .")1( =−∗ x x

. Pe mulţimea Z se consideră le$ile de compozitie ,1++=⊥ y x y x ,1−+= byax y x cu Z ba ∈,

#i funcţia Z Z f →* definită prin .2)( += x x f

a) Să se demonstreze că ,)1()1( x x x =⊥−=−⊥ Z x∈∀ .

b) Să se determine Z ba ∈, pentru care le$ea de compoziţie ! este asociativă.

c) +acă 1== ba să se arate că funcţia f este morfism &ntre $rupurile )( ⊥ Z #i ),( Z .

%. Pe mulţimea numerelor reale se define#te le$ea de compozitie y x y x += 2 .

a) Să se calculeze )2"12(2"12 − .

b) Să se rezolve &n R ecuaţia .42 = x x

c) Să se demonstreze că nu e-istă R z y x ∈,, pentru care z z y x 2)( = .

. Pe mulţimea numerelor reale se consideră le$ea de compozitie' '' y x y x +=∗

.

a) Să se calculeze ."∗ x b) Să se demonstreze că le$ea de compoziţie ∗ ! este asociativă.

c) Ştiind că Q x ∈" #i ,1" −∗= nn x x x ,∗∈∀ N n să se arate că .% Q x ∈

/. Se consideră mulţimea 01)"( +∞=G #i operaţia ,ln' y x y x = ., G y x ∈∀



a) Să se determine mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei ,1=e x unde e este baza lo$aritmuluinatural.

b) Să se demonstreze că ,G y x ∈ pentru ., G y x ∈∀c) Să se că operaţia ! este asociativă pe mulţimea G.

1". Pe mulţimea numerelor reale se consideră le$ea de compoziţie ,212 +−−=∗ y x xy y x pentru R y x ∈∀ , .

a) Să se arate că ,')')('(2 +−−=∗ y x y x R y x ∈∀ ,

b) Să se rezolve &n R ecuaţia .11 =∗ x x

c) Să se determine elementele simetrizabile &n raport cu le$ea ∗ !.

11. Pe mulţimea numerelor reale se define#te le$ea de compoziţie ,'' +++= y x xy y x R y x ∈∀ , .

a) Să se arate că ')')('( −++= y x y x , R y x ∈∀ ,

b) Să se determine elementul neutru, #tiind că le$ea de compoziţie ! este asociativă #i comutativă.

c) Să se determine , N n∈ 2≥n astfel &nc3t.1'22 =nn C C

12. Pe mulţimea numerelor &ntre$i definim le$ile de compoziţie '−+=∗ y x y x #i12)(' ++−= y x xy y x .

a) Să se rezolve &n Z ecuaţia12= x x

. b) Să se arate că )'1()21()'2(1 ∗=∗ .

c) Să se rezolve &n mulţimea Z Z sistemul

=−=∗−1"4)(

2)'(

y x

y x

.

1'. Pe mulţimea numerelor &ntre$i se define#te le$ea de compoziţie .11++= y x y x

a) Să se arate că le$ea de compoziţie ! este asociativă.

b) Să se rezolve ecuaţia.1...

=

orixde

x x x

c) Să se demonstreze că )( Z este $rup comutativ.

14. Pe mulţimea numerelor reale se consideră le$ile de compoziţie22 +−−=∗ y x xy y x

#i.12)(' ++−= y x xy y x

a) Să se verifice că ,1)'()2( −=−∗ x x R x∈∀ .

b) Ştiind că 1e este elementul neutru &n raport cu le$ea de compoziţie ∗ ! #i 2e este elementul

neutru &n raport cu le$ea de compoziţie ! să se calculeze .2121 eeee +∗

c) Se consideră funcţia R R f →* , 1)( += ax x f . Să se determine Ra∈ astfel &nc3t)()()( y f x f y x f =∗ , R y x ∈∀ , .

1(. Pe mulţimea numerelor reale se define#te le$ea de compoziţie ')')('( +−−=⊥ y x y x , R y x ∈∀ ,

.

a) Să se arate că4'1)'( =

+⊥+ x

x

,∗∈∀ R x .

b) Să se arate că le$ea ⊥ ! are elementul neutru e54.

c) Să se determine elementele simetrizabile ale mulţimii R &n raport cu le$ea ⊥ !.

1. Pe mulţimea numerelor reale se consideră le$ea de compoziţie ,14−+= y x y x R y x ∈∀ , .

a) Să se rezolve ecuaţia 2= x x . b) Să se demonstreze că le$ea ! este asociativă.

c) Să se demonstreze că )( R este $rup.



1%. Pe mulţimea numerelor reale se consideră le$ea de compoziţie 11")(1" ++−= y x xy y x .

a) Să se verifice că 1")1")(1"( +−−= y x y x , R y x ∈∀ ,

b) Să se calculeze.1

2"

1

1" C C

c) Să se rezolve ecuaţia ,1")1( =− x x unde R x∈ .

1. Pe mulţimea numerelor reale se consideră le$ea de compoziţie 2+−−=∗ y x xy y x .

a) Să se demonstreze că ,1)1)(1( +−−=∗ y x y x R y x ∈∀ , . b) Să se demonstreze că le$ea ∗ ! este asociativă.

c) Să se calculeze.

2

2"12...

2

2

2

1∗∗∗

1/. Pe mulţimea 6 se consideră le$ile de compoziţie 2++=∗ y x y x #i respectiv222 +++= y x xy y x .

a) Să se demonstreze că 2)2)(2( −++= y x y x . b) Să se determine elementele neutre ale fiecăreia dintre cele două le$i de compoziţie.

c) Să se rezolve sistemul

=

=∗

1

%

22

22

y x

y x

.2". Pe mulţimea numerelor reale se consideră le$ea de compoziţie '2 +−−= y x xy y x .

a) Să se demonstreze că 4)4)(4(2 +−−= y x y x , R y x ∈∀ , .

b) Să se rezolve ecuaţia '= x x .

c) Ştiind că operaţia ! este asociativă, să se calculeze .2"12...'21

21. Pe mulţimea numerelor reale se define#te le$ea de compoziţie 2''' +++=∗ y x xy y x .

a) Să se demonstreze că 1)1)(1(' −++=∗ y x y x , R y x ∈∀ , .

b) Să se determine perec7ile RXR y x ∈),( pentru care .1)()2( 22 −=−∗− y x

c) Ştiind că le$ea ∗

! este asociativă, să se calculeze valoarea e-presiei.2"122"11...21")1(...)2"11()2"12( ∗∗∗∗∗∗−∗∗−∗−

22. Pe mulţimea numerelor reale se consideră le$ile de compoziţie '++= y x y x #i respectiv12)(' ++−=∗ y x xy y x .

a) Să se verifice că ')')('( +−−=∗ y x y x , R y x ∈∀ , .

b) Să se rezolve &n 8 ecuaţia .11))1(())1(( =+∗++ x x x x

c) Să se rezolve sistemul de ecuaţii.,,

)1()1(

")1( R y x

y x y x

y x∈

+∗=∗+=−

2'. Se consideră mulţimea { },9 Z x AG x ∈= unde matricea

=1"

"1"

""1

x

A x

, . Z x∈

a) Să verifice că, y x y x A A A +=⋅unde Z y x ∈, .

b) Să se determine elementul neutru din $rupul )( ⋅G .

c) Să se demonstreze că funcţia ,* G Z f → x A x f =)( este morfism de $rupuri.



24. Se consideră matricea

=1""

"1"

""2"12 x

x A

, pentru R x∈ #i mulţimea{ } ).(9 ' R M R x AG x ⊂∈=

a) Să verifice că. ,' G I ∈ unde

=

1""

"1"

""1

' I

.

b) Să demonstreze că, y x y x A A A +=⋅unde R y x ∈, .

c) Să se arate că{ } R x AG x ∈= 9

este $rup &n raport cu &nmulţirea matricelor.

2(. Se consideră inelul ).,,( ⋅+ Z

a) Să se calculeze numărul elementelor inversbile &n raoprt cu &nmulţirea din inelul).,,( ⋅+ Z

b) Se consideră S suma soluţiilor ecuaţiei :1:2: =+ x #i P produsul soluţiilor ecuaţiei ,2 x x = unde. Z x∈ Să se calculeze S ; P .

c) Să se calculeze probabilitatea ca ale$3nd un element din inelul ),,,( ⋅+ Z acesta să fie soluţie aecuaţiei .":' = x

2. <n mulţimea)( 2 Z M

se consideră submulţimea

∈=

x y

y x Z M X G

::2:

::9)( 2

#i matricele

=

1:":

":1:2 I

#i

=

":":

":":

2O

.

a) Să se arate că G I ∈2 #i GO ∈2 .

b) Să se arate că dacă G B A ∈, atunci G B A ∈+ .

c) Să se verifice că mulţimea G &mpreună cu operaţia de adunare a matricelor este $rup comutativ.

2%. Se consideră ),,( ⋅+ Z inelul claselor de resturi modulo .

a) Să se calculeze &n Z suma .%:::4:':2:1: ++++++=S

b) Să se calculeze &n Z produsul elementelor inversabile ale inelului.

c) Să se rezolve &n Z sistemul

=+

=+

:2:':

2::2:

y x

y x

.

2. =ie mulţimea1',,' 22 =−∈+= ba Z babaG

a) Să se verifice dacă " #i 1 aparţin mulţimii G.

b) Să se demonstreze că pentru G y x ∈∀ , avem .G y x ∈⋅

c) Să se arate că dacă G x∈ atunciG

x∈

1

.

2/. <n mulţimea )(2 R M se consideră

=

1"

"12 I

,

−−

='2

4 A

#i ,)( 2 aA I a X += unde Ra∈ .

a) Să se calculeze' A , unde A A A A ⋅⋅='

.

b) Să se verifice dacă )()()( abba X b X a X ++=⋅ , ., Rba ∈∀



c) Să se calculeze suma )2"12(...)'()2()1( X X X X ++++ .

'". Se consideră mulţimea{ } Z x AG x ∈=

, unde matricea

.,

1"

"1"

""1

Z x

x

A x ∈

=

a) Să se verifice , y x y x A A A +=⋅

unde Z y x ∈, .

b) Să se determine elementul neutru din $rupul ).( ⋅G

c) Să se arate că funcţia ,* G Z f → x A x f =)( este morfism &ntre $rupurile ),( + Z #i ).,( ⋅G .

'1. =ie mulţimea

∈

== Ra

aa

aa

a A M

"

"""

"

)(

.

a) Să se verifice dacă ),2()()( ab Ab Aa A =⋅ ., Rba ∈∀

b) Să se arate că

2

1 A

este element neutru faţă de operaţia de &nmulţire a matricelor pe M .

c) Să se determine simetricul elementului

M A ∈)1(&n raport cu operaţia de &nmulţire a matricelor pe mulţimea M .

'2. Se consideră mulţime

).(1',,'

2

22 Z M ba Z baab

baG ⊂

=−∈

=

a) Să se verificeG I ∈

=

1"

"12

#i.

""

""2 GO ∉

=

b) Să se arate că pentru G B A ∈∀ , are loc e$alitatea . A B B A ⋅=⋅c) Să se demonstreze că inversa oricărei matrice din G aparţine mulţimii G.

''. Se consideră mulţimea

.2

2)(

∈

−

−== Ra

aa

aaa A M

Pentru M A∈ se notează

denori

n A A A A ⋅⋅⋅= ...

, unde ∗∈ N n .

a) Să se arate că ( ) )()( 2

aaAa A = , Ra∈∀ .

b) Să se arate că dacă ,, M Y X ∈ atunci . M XY ∈

c) Să se determine Ra∈ astfel &nc3t ( ) ( ) ).(2)()( '2

a Aa Aa A =+

1. legi de compozitie, grupuri, inele

Documents