01ps-2011 transformata laplace

7/23/2019 01PS-2011 Transformata Laplace

1/16

Probleme propuse pentru examenul de

PRELUCRAREA SEMNALELOR

1

1. TRANSFORMATA LAPLACE

1. Probleme rezolvate

Problema 1

Pentru fiecare din urmtoarele integrale specificai valorile parametrului real, , ce asigurconvergena integralei:

a. ( )5

0

j tte e dt

+ b. ( )

05 j tte e dt

+

c. ( )

55

5

j tte e dt +

d. ( )5

j tte e dt

+

e. ( )

5 j tte e dt

+

Rezolvare Problema 1

a.

( ) ( )55

0 0

j t tt j te e dt e e dt

+ + = Pentru asigurarea convergenei, 5 0+ > , rezult: 5>

b.

( ) ( )0 0

55 j t tt j te e dt e e dt + +

=

Pentru asigurarea convergenei, 5 0+ < , rezult: 5<

c.

( ) ( )5 5 55

5 5

j t tt j te e dt e e dt + +

=

Nu se pune problema convergenei, integrala efectundu-se pe un interval de lungime finit.

d.

( ) ( )55 j t tt j te e dt e e dt

+ +

=

5 0+ > , 5 0+ < , rezult c

e.

( ) ( ) ( )05 5 5

0

j t j t j tt t te e dt e e dt e e dt + + +

= +

5 0+ > , rezult, c 5> 5 0 > , rezult, c 5< n final, pentru asigurarea convergenei avem: 5 <


2/16



2

Problema 2

Un semnal ( )x t absolut integrabil are un pol la 2ps = . Rspundei la urmtoarele ntrebri:

a. Poate fi ( )t de durat finit?

b.

Poate fi ( )t cu ntindere la stnga?c. Poate fi ( )t cu ntindere la dreapta?

d. Poate fi ( )t cu ntindere infinit?


a. NU, deoarece semnalul de durat finit are regiunea de convergen ntreg planulcomplex.

b. Transformata Laplace a semnalului considerat poate avea dou regiuni de convergen:

{ }Re 2s > (cu ntindere spre dreapta) sau

{ }Re 2s < (cu ntindere spre stnga).

DA, deoarece putem considera cea de a doua regiune de convergen.c. DA, deoarece putem considera prima regiune de convergen.d. DA, n oricare dintre cazurile a sau b.

Problema 3

Fie semnalul ( ) ( ) ( )5t tx t e t e t = + , R , avnd transformata Laplace, ( )X s .

Ce condiie trebuie s ndeplineasc dac regiunea de convergen a lui ( )X s este

{ }Re 3s > ?


( ) ( ) ( )5t tt e t e t = +

Calculm transformata Laplace a semnalului, ( )t :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

5 5

0 0

51 2

0 0

t t st t st t st

t tj t j t

X s e e t e dt e e dt e e dt

e e dt e e dt I I

+ +

= + = +

= + = +

Pentru 1I : 1 : 5 0, 5DC + > >

Pentru 2I : 2 : 0,DC + > >

Domeniul de convergen pentru semnalul ( )X s : ( )1 2 3,DC DC DC= = . Rezult valoarea

lui 3= .


3/16



3

Problema 4

Fie semnalul: ( ) ( ) ( )t x t x t = + , unde ( ) ( )tt e t = . Transformata Laplace a semnalului

( )t , este: ( ) 2 1s

G ss

=

, { }1 Re 1s < < .

Determinai valorile constantelor i .


( ) 21 1 1 1

1 1 1 2 1 2 1

s A BG s

s s s s s= = + = +

+ +.

Din tabele, avem: ( ) ( ) ( )1 1

2 2t tg t e t e t =

Prin identificare, obinem:

1

2= , 1= .

Problema 5

Determinai transformata Laplace, domeniul de convergen i constelaia de poli i zerouripentru fiecare dintre urmtoarele funcii de timp:

a. ( ) ( ) ( )2 3t tt e t e t = +

b. ( ) ( ) ( )2 3t tt e t e t = +

c. ( )1, 0 1

0, in rest

tx t

=

d. ( ), 0 1

2 , 1 2

t tx t

t t

=


a.

( ) ( ) ( )2 3t tt e t e t = +

( ) ( ) ( ) ( )2 3

0 0

s t s tstX s x t e dt e dt e dt

+ +

= = +

{ } { }2 Re 0 Re 2s s+ > > (1)

{ } { }3 Re 0 Re 3s s+ > > (2)

Din (1) i (2) rezult domeniul de convergen: { }Re 2s >


4/16



4

( )( ) ( )

( )( )

2 3

0 0

1 1 2 5

2 3 2 3 2 3

s t s te e s

X ss s s s s s

+ + += + = + =

+ + + + + +

b.

( ) ( ) ( )

2 3t t

t e t e t = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0 02 32 3 s t s t st t t stX s x t e dt e e e dt e dt e dt

= = + = +

{ } { }2 Re 0 Re 2s s + < < (3)

{ } { }3 Re 0 Re 3s s + < < (4)

Din (3) i (4) rezult domeniul de convergen: { }Re 2s <

( )( ) ( )

( )( )

2 30 0 1 1 5 2

2 3 2 3 2 3

s t s te e s

X ss s s s s s

= + = =

c.

( )1, 0 1

0, in rest

tx t

=

( ) ( )1

00

1 1 1st s sst st e e eX s x t e dt e dts s s s

= = = = + =

d.

( )

, 0 1

2 , 1 2

t tx t

t t

=

( ) ( )1 2 2

0 1 1

2st st st stX s x t e dt te dt e dt te dt

= = +

( )

( )2

11

1111

s

ee

s

aebeee

saebe

s

es

aebes

dtetes

etds

dtte

sasbsasbsasbsasb

b

a

b

a

stsasb

b

a

stb

a

stst

b

a

st

=

+=

=

+=

==

2

1,01

0

1

s

e

s

edtte

ssbast =

==

2

222,12

1

2

s

ee

s

eedtte

ssssbast

==

=

s

eee

sdte

ssstst

==

221

2

1

1


5/16



5

Problema 6

Fie semnalul ( ) ( )5 1tx t e t= avnd transformata Laplace ( )X s .

a. Determinai ( )X s i specificai regiunea de convergen.

b.

Determinai valorile lui A i 0t astfel nct transformata Laplace ( )G s a semnalului( ) ( )5 0

tt Ae t t = s aib aceeai expresie cu ( )X s . Care este regiunea de

convergen corespunztoare lui ( )G s ?


a.( ) ( )5 1tx t e t=

( ) ( ) ( ) ( )55 5 5

1 1 1

1s j

tst t st t st t st j tX s x t e dt e t e dt e e dt e e dt e e dt

= +

+

= = = = =

Regiunea de convergen: 5 0+ > rezult, c 5>

( ) ( ) ( ) ( )( 5)

5 5 5

11

1 10

5 5 5

ss t s t s e

X s e dt e es s s

+ + + += = = + =

+ + +

b.

( ) ( )5 0tt Ae t t =

( ) ( )G s X s=

( ) ( ) ( )5 0st t stG s g t e dt Ae t t e dt

= =

( ) 001, 0

0, in rest

t tt t

=

, rezult c: 0t t

Din expresia de mai sus avem:

( ) ( )0 0

55t t

s tt stG s Ae e dt A e dt

+

= =

Regiunea de convergen: 5 0+ < , rezult 5< .

( ) ( ) ( ) 005 51 1

5 5s t s t

tG s A e A e

s s

+ +

= =

+ +

n final: 0 1t = i 1A=


6/16



6

Problema 7

Fie semnalul: ( )sin 2 , 0

0, 0

te t tx t

t

=

>.

Determinai transformata Laplace a semnalului ( )t , indicai poziia polilor i regiunea deconvergen.


( )sin 2 , 0

0, 0

te t tx t

t

=

>

( ) ( )0

sin2st t stX s x t e dt e t e dt

= =

Reamintim, c:

2 2

sin2 2

j t j t

e etj

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

1 2 1 21

2t j t t j t

X s e e dt e e dtj

+

=

Domeniul de convergen: 1 0 1 > <

( ) ( ) ( )1 2 1 20 01 1 1

2 1 2 1 2

1 1 1

2 1 2 1 2

j s t j s tX s e e

j j s j s

j j s j s

+ + +

= + = + + +

= +

+ + +

Polii sistemului sunt:1

1 2ps j= + , 2 1 2ps j=

Problema 8

Un SLIT cu intrarea ( )x t i ieire ( )y t este descris de ecuaia diferenial:

( ) ( )( ) ( )

2

22 3

d y t dy t t x t

dt dt + =

cu condiii iniiale nule.a. Determinai ( )H s ,funcia de transfer a sistemuluib. Reprezentai grafic constelaia de poli i zerouric. Determinai ( )h t , dac:

Sistemul este stabil

Sistemul este cauzal

Sistemul nu este nici stabil, nici cauzal


7/16



7

d. Dai o implementare posibil a sistemului, folosind un numr minim de integratoaree. Determinai rspunsul sistemului, ( )y t la semnalul de intrare, ( ) ( )tx t e t= , tiind c

{ }Re 1s > .

f. Dac semnalul ( ) 1x t = , t este o funcie proprie a sistemului liniar i invariant n timp,

determinai ( )y t pentru { }Re 1s > .


a.

Avem:

( ) ( )( ) ( )

2

22 3

d y t dy t t x t

dt dt + =

Se aplic transformata Laplace direct asupra ecuaiei difereniale, rezult:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 3s Y s sY s Y s X s+ =

( ) ( )

( ) ( )( )21 1

2 3 3 1

Y sH s

X s s s s s= = =

+ +

b.

Polii transformatei Laplace a sistemului cu funcia de transfer, ( )H s sunt: 1 3ps = , 2 1ps = .Constelaia de poli i zerouri este reprezentata mai jos:

c.

( )( ) ( )( )1 3

3 1 3 1 3 1

A B As A Bs B

s s s s s s

+ += + =

+ + +

0

3 1

A B

A B

+ = + =

Rezolvnd ecuaiile de mai sus, rezult:1

4A= ,

1

4B= .

( )1 1 1 1

4 3 4 1H s

s s= +

+


8/16



8

Cazul I. Regiunea de convergen: { }Re 3s <

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )3 31 1 1 1

4 4 4 4t t t t h t e t e t e t e t = + =

Necauzal Instabil

Cazul II. Regiunea de convergen: { }3 Re 1s < <

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )3 31 1 1 1

4 4 4 4t t t t

h t e t e t e t e t = + =

Necauzal Stabil

Cazul III. Regiunea de convergen: { }Re 1s >

( ) ( ) ( )31 1

4 4

t th t e t e t = +

Cauzal

Instabil

d.

( ) ( )( ) ( )

2

22 3

d y t dy t t x t

dt dt + =

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2

0 1 2 0 1 22 2

dy t d y t dx t d x t a y t a a b x t b b

dt dt dt dt + + = + +

Prin identificare se obine:0 3a = , 1 2a = , 2 1a = , 0 1b = , 1 2 0b b= =

e.

( ) ( )tt e t= , { }Re 1s >

( ) ( ) ( )( )( )

1 1

1 3 1Y s X s H s

s s s= =

+ +


9/16



9

( )1 1 1 1 1 1

1 3 1 4 1 8 3 8 1

A B CY s

s s s s s s= + + = + +

+ + + +

( ) ( ) ( ) ( )31 1 1

4 8 8t t t

t e t e t e t = + +

f.

Dac ( ) 0s tx t e= este o funcie proprie, atunci ( ) ( )0 0s t

t e H s= .

n cazul de fa, avem: ( ) 1x t = , rezult c ( ) 0tx t e= , cu 0 0s = .

( ) ( )

( )( )

1 11 0

0 3 0 1 3

y t H= = =

+

.

Deci, n final avem: ( )1

3y t = .

Problema 9

Se consider SLIT cauzal din figur.

unde, ( ) ( ) ( )21 2t th t e e t = + a. S se gseasc funcia de transfer, ( )H s precum i rspunsul la impuls, ( )h t al

sistemului.b. S se deduc ecuaia diferenial care caracterizeaz sistemul

c. La intrarea sistemului se aduce semnalul, ( ) 9sin 2t t= . S se determine amplitudinea

semnalului de ieire, ( )t .

d.

S se gseasc rspunsul sistemului la semnalul de intrare, ( ) ( ) ( )tx t t e t = + .


a.

( )11 2

1 2H s

s s= +

+ +. Regiunea de convergen, { }Re 1s >


10/16



10

( ) ( )( )( ) ( )( )

1

1 1 1 2 2 2 2 1

1 2 1 2 1 2

s sH s H s

s s s s s s s s s

+ + = = + = = + + + + + +

( )( ) ( )

1 1 1

1 2 1 2H s

s s s s= =

+ + + +

Utiliznd tabelele, rezult:( ) ( ) ( )2t th t e t e t =

b.

( ) ( )

( ) 21

3 2

Y sH s

X s s s= =

+ +

( ) ( ) ( ) ( )2 3 2s Y s sY s Y s X s+ + = Aplicnd transformata Laplace invers asupra ecuaiei de mai sus, rezult:

( ) ( )( ) ( )

2

2 3 2d y t dy t

y t x t

dt dt

+ + =

c.

( ) ( )( ) ( )

1

1 2|

s jH j H s

j j

== =

+ +

( )2 2

1

1 4H j

=

+ +

Amplitudinea semnalului cu care sistemul rspunde la semnalul ( ) 9sin 2t t= este:

n cazul general: ( ) 0sint A t= . Prin identificare, 0 2 = .

Folosind metoda armonic, semnalul ( )y t se calculeaz prin:( ) ( ) ( ){ }( )0 0 0sin argy t A H t H = +

( ) ( )01 9 3

9 2 93 6 3 2 2

A H H = = = =

d.

( ) ( ) ( )tt t e t = +

( )1 2

11 1

sX s

s s

+= + =

+ +

( ) ( ) ( )( ) ( )

11 2

Y s H s X ss s

= =+ +

2s +( )

21

1 1s s=

+ +

( ) ( )ty t t e t=


11/16



11

Problema 10

Un SLITC i cauzal cu rspunsul la impuls, ( )h t este descris de urmtoarea relaie intrare-ieire:

( )( )

( )( )

( )( ) ( )

3 22

3 21 1d y t d y t dy t

t x t

dt dt dt

+ + + + + =

a.) Considernd, c ( ) ( )

( )dh t

g t h tdt

= + , s se precizeze ci poli are ( )G s ?

b.)Pentru ce valori reale ale parametrului este garantat stabilitatea sistemuluiconsiderat?


a.

Aplicnd transformata Laplace asupra sistemului, rezult:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 21 1s Y s s Y s sY s Y s X s + + + + + =

( ) ( )

( ) ( ) ( )3 2 21

1 1

Y sH s

X s s s s = =

+ + + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1G s sH s H s s H s= + = +

( )( ) ( )3 2 2

1

1 1

sG s

s s s

+=

+ + + + +

Notm:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 2 2 3 2 2 2 2

2 2 2 2

1 1

1 1 1 1

Q s s s s s s s s

s s s s s s s s

= + + + + + = + + + + =

= + + + + + = + + +

( )( ) ( )2 2

1 1

1

s sG s

s s s

+ += =

+ + + ( )1s + ( ) 2 22 21

s ss s =

+ ++ +

Din ecuaia de mai sus rezult, c ( )G s are 2 poli.

b.

Pentru ca sistemul considerat s fie stabil, este necesar, ca toi polii lui ( )H s s fie plasai n

semplanul stng. Polii lui ( )H s sunt rdcinile ecuaiei.

( ) ( )( )2 2

1 0Q s s s s = + + + =

11 0 1ps s+ = =

2 2 0s s + + = .

2,3

3

2pi

s = , { }2,3Re 02ps

= < .

Rezult, c 0> .


12/16



12

Problema 11

Fie un sistem obinut prin conectarea n cascad a dou sisteme liniare i invariante n timp alecror funcii de transfer sunt ( )1H s , respectiv ( )2H s . Dac funcia de transfer a sistemului

echivalent ( )H s este unitar, sistemul descris de ( )2

H s se numete sistem invers sistemului

descris de ( )1H s .

a. S se determine relaia de legtur dintre ( )1H s i ( )2H s .

b. n figura 1 este prezentat constelaia de poli i zerouri a lui ( )1H s , corespunztor unui

sistem cauzal i stabil. Reprezentai grafic constelaia de poli i zerouri a lui ( )2H s .

c. S se determine ( )2h t , rspunsul la impuls al sistemului invers, n ipoteza c este stabil.

Figura 1.


a.

( ) ( ) ( )1 2eH s H s H s= , ( ) ( )1 2 1H s H s =

Rezult, c: ( )( )2 1

1H s

H s=

b.

Pentru ( )1H s :


13/16



13

Zerourile sistemului sunt: 01 1s = , 02 2s =

Polii sistemului sunt: 1 1ps = , 2 3ps =

Avem funcia de transfer:

( ) ( )( )

( )( )1

1 2

1 3

s sH s

s s

=

+ +

Pentru ( )2H s :

Zerourile sistemului sunt: 01 1s = , 02 3s =

Polii sistemului sunt: 1 1ps = , 2 2ps =

( )( )

( )( )

( )( )2 1

1 31

1 2

s sH s

H s s s

+ += =

Polii lui ( )2H s se gsesc n semiplanul drept. Sistemul corespunztor este stabil, doar dac este

anticauzal. Regiunea de convergen: { }Re 1s <

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2 2

1 3 4 3 7 11

1 2 3 2 1 2

s s s s sH s

s s s s s s

+ + + + += = = +

+

( )( ) ( )( )

7 1 2

1 2 1 2 1 2

s A B As A Bs B

s s s s s s

+ + = + =

7

2 1

A B

A B

+ =

=

Rezolvnd ecuaia de mai sus, rezult: 8A= , 15B= .

( )28 15

11 2

H ss s

= +

innd cont, c: { }Re 1s <

( ) ( ) ( ) ( )22 8 15t th t t e t e t = +

2. Probleme propuse

Problema 1

Un SLIT are rspunsul: ( ) ( ) ( )2 42 2t tt e t e t = , dac la intrare se aplic semnalul:

( ) ( ) ( )2 32 t tt e t e t =


14/16



14

a. Determinai funcia de transfer a sistemului, ( )H s .

b. Determinai rspunsul la impuls al sistemului, ( )h t .c. Care este ecuaia difereniala care descrie sistemul ?d. Dai o implementare posibil a sistemului.

Problema 2

Se consider SLIT i cauzal descris de ecuaia diferenial:

( )( )

( )( ) ( )

( )( )

22

21 2 2 4

d y t dy t dx t t x t

dt dt dt + + + = +

cu condiii iniiale nule, unde este un parametru real.a. S se determine funcia de transfer a sistemului, ( )H s

b. S se gseasc domeniul de valori ale parametrului , pentru care sistemul este stabil.c. S se scrie expresia semnalului de la ieirea sistemului, dac la intrarea sa se aduce

semnalul ( ) ttx cos= . Se consider 3= .

Problema 3

Se consider SLIT cauzal, caracterizat de ecuaia diferenial:

( ) ( )( )

( )( )( )

2

2

d y t dy t dx t 2 2 y t x t

dt dt dt+ + + = +

Condiiile iniiale sunt nule, iar este un parametru real.a. S se determine funcia de sistem, ( )H s .

b. S se determine domeniul de valori ale parametrului pentru care sistemul este stabil.c.

Se consider 1 = . n acest caz, s se determine rspunsul n frecven al sistemului,precum i rspunsul sistemului la semnalul de intrare ( ) ( )cost 2t= .

Problema 4

Se consider sistemul liniar i invariant n timp i cauzal din figur:

a. Determinai i reprezentai grafic constelaia de poli i zerouri a sistemului cu funcia detransfer ( )1H s , indicai regiunea de convergen i analizai stabilitatea acestuia.


15/16



15

b. Sistemul cu funcia de transfer ( )1H s este conectat n cascad cu un SLIT cu funcia de

transfer ( )2H s astfel nct funcia de transfer a sistemului global este unitar.Determinai i reprezentai grafic constelaia de poli i zerouri a sistemului cu funcia detransfer ( )2H s .

c.

Determinai rspunsul la impuls al sistemului ( )2h t , n ipoteza ca acesta este stabil.

Problema 5

Funcia de transfer a unui sistem liniar invariant n timp i cauzal este dat de expresia:

( ) 21

2 2

sH s

s s

+=

+ +.

a. Reprezentai grafic constelaia de poli i zerori i indicai regiunea de convergen.b. Sistemul considerat este stabil? Justificai rspunsul.c. Scriei ecuaia diferenial, ce caracterizeaz sistemul i implementai sistemul folosind

forma direct a II-a de implementare.d. Determinai i desenai rspunsul sistemului, dac la intrarea sa se aplic semnalul

( ) t

t e= , cu t < < .

Problema 6

Un SLIT cu intrarea ( )x t i ieirea ( )y t este descris de ecuaia diferenial:

( ) ( )( )

( )( )

2

212 2

d y t dy t dx t t x t

dt dt dt + =

a.

Determinai ( )H s ,funcia de transfer a sistemului. Reprezentai grafic constelaia de polii zerouri i indicai regiunile de convergen posibile.

b. Determinai ( )h t , dac:

{ }4 Re 3s < < .

{ }Re 3s > .

Analizai stabilitatea i cauzalitatea sistemelor n ambele cazuri.c. Scriei ecuaia diferenial, ce caracterizeaz sistemul i implementai sistemul, folosind

integratoare.

Problema 7

Fie sistemul liniar i invariant n timp cu funcia de transfer, ( )H s .


16/16



Se tie, c:

1. Dac ( ) ( )tx t e t= , atunci ( ) ( ) ( )3t ty t K e t e t = + .

2. Dac ( ) 1x t = , este o funcie proprie t ,atunci ( )8

3y t = , t .

a. Determinai valoarea constantei, K.b. Determinai funcia de transfer, ( )H s i indicai regiunea de convergen a sistemului.

01ps-2011 transformata laplace

Documents