Capitolul 2

Analiza de tip wavelet

2.1 Introducere

2.2 Transformata wavelet continu

2.3 Transformata wavelet discret

2.4 Transformata wavelet n timp discret

2.5 Discuie asupra transformatei wavelet

2.6 Aplicaii ale analizei de tip wavelet

50 CAPITOLUL 2: ANALIZA DE TIP WAVELET

Probabil c puine sunt subiectele specifice teoriei semnalelor care s se fi bucurat de un interes att de mare n ultimele dou decenii precum cel prezentat n cuprinsul acestui capitol. Cu excepia notabil a semnalelor haotice (ale cror caracteristici nu pot fi separate ns de cele ale sistemelor care le-au generat), tehnicile de analiz multirezoluie, n special cele bazate pe utilizarea transformatei wavelet, s-au situat constant n centrul preocuprilor unor numeroase colective de cercetare, dar au ptruns cu succes i n aplicaii practice dintre cele mai diverse. Este suficient s amintim n acest context apariia standardului FBI de stocare a amprentelor sau standardul de compresie JPEG2000 pentru a intui palaja larg de posibiliti de utilizare a acestor instrumente de procesare. n plus, analiza semnalelor biomedicale (ECG, EEG), a celor financiare, rezolvarea ecuaiilor difereniale cu derivate pariale sau filtrarea zgomotului completeaz tabloul aplicativ divers i dinamic specific acestui domeniu.

Din punct de vedere teoretic analiza de tip wavelet poate fi considerat ca aflndu-se la maturitate, odat cu apariia unui set semnificativ de cri i lucrri de specialitate publicate n reviste de prestigiu. Din pcate, majoritatea acestor resurse bibliografice au fost elaborate de ctre matematicieni (i, uneori, pentru matematicieni), astfel nct descifrarea lor riguroas se dovedete dificil pentru specialiti n alte domenii, n particular pentru cei interesai cu precdere de implementarea algoritmilor i utilizarea lor practic. Din acest punct de vedere, vom aborda pe parcursul acestui capitol o prezentare folosind instrumente familiare teoriei semnalelor i sistemelor, fcnd apel deseori la noiuni binecunoscute de filtrare sau algebr liniar, cu scopul de a oferi o imagine ct mai clar asupra acestui subiect.

2.1 Introducere

Semnalele reprezint manifestri purttoare de informaie i, ca urmare, suntem interesai de modelarea, clasificarea i caracterizarea acestora prin intermediul unor mrimi obiective. n cazul semnalelor unidimensionale caracterizarea se aplic, de regul, n domeniul timp, pe cnd n cazul semnalelor bidimensionale (de exemplu, al imaginilor) se folosete domeniul spaial. Informaii complementare sunt

2.1 Introducere 51

furnizate de analiza compoziiei spectrale (a informaiei din domeniul frecven), realizate cu ajutorul binecunoscutei transformate Fourier. Dei reprezint un instrument de analiz familiar, nelipsit din crile dedicate prelucrrii semnalelor, transformata Fourier este dificil de utilizat n aplicaiile n care suntem interesai s cunoatem compoziia spectral a unui semnal la un moment de timp precizat. Astfel de situaii apar frecvent n practic, de exemplu n cazul prelucrrii semnalelor seismice, a seriilor de timp financiare sau a unor semnale biomedicale. Mai mult, exist aplicaii n care suntem interesai s aplicm operaii de filtrare care s menin totui n forma de und rezultat momentele de timp la care apar modificri semnificative ale aspectului semnalului original (deoarece prezena, aspectul general i duratele unor astfel de segmente sunt purttoare de informaie), ns transformata Fourier asigur cu dificultate un asemenea obiectiv.

Exemplul 2.1

S considerm semnalul 1 0 0 0(t) cos cos 2 cos4f t t t = + + , cu 0 = 5 kHz .

Forma de und n timp este indicat n Fig. 2.1a, iar spectrul corespunztor se prezint n Fig. 2.1b. Spre deosebire de acest semnal, care are proprietatea c n orice moment de timp sunt prezente simultan toate cele 3 componente armonice, construim semnalul f2(t), reprezentat n Fig. 2.1c, prin concatenarea unor intervale de timp distincte n care apare numai cte una dintre cele 3 componente armonice care alctuiesc semnalul f1(t). Spectrul semnalului f2(t), indicat n Fig. 2.1d, seamn foarte mult cu cel al semnalului f1(t), ambele fiind caracterizate prin prezena acelorai maxime pronunate n dreptul frecvenelor de 5, 10, respectiv 20 kHz (lobii de amplitudine redus prezeni n cazul spectrului semnalului f2(t) se datoreaz tranziiei brute de la o frecven la alta i sunt nerelevani n contextul acestei discuii). Ca urmare, simpla inspecie a transformatei Fourier a celor 2 semnale nu poate face distincia clar ntre acestea, dei formele de und sunt net diferite. n particular, transformata Fourier nu poate arta care dintre componentele armonice este prezent la un moment dat n structura semnalului analizat, dei acest lucru este necesar n multe situaii.

52 CAPITOLUL 2: ANALIZA DE TIP WAVELET

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Timp (ms) a)

0 5 10 15 20 25 30 35 400

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Frecventa (kHz) b)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Timp (ms) c)

0 5 10 15 20 25 30 35 400

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Frecventa (kHz) d)

Fig. 2.1 a) forma de und a semnalului f1(t); b) spectrul semnalului f1(t); c) forma de und a semnalului f2(t); d) spectrul semnalului f2(t)

Una dintre posibilitile cele mai cunoscute de a putea obine totui informaii referitoare la compoziia spectral a unui semnal la un moment dat o reprezint utilizarea aa-numitei transformate Fourier pe termen scurt (Short Time Fourier Transform - STFT) [14]. Aceast metod presupune nmulirea semnalului analizat cu un semnal de tip fereastr (adic avnd durat finit, aleas n raport cu precizia dorit n localizarea temporal a informaiei spectrale) i aplicarea repetat a transformatei Fourier pe poriuni succesive decupate din semnalul studiat, precum se prezint sugestiv n Fig. 2.2. n mod concret, definiiile transformatei Fourier clasice, respectiv ale celei pe termen scurt sunt indicate n ecuaiile:

( ) ( ) ( ) j tf t F f t e dt

= (2.1)

*( ) ( , ) ( ) ( ) jf t STF t f w t e d

= i (2.2)

2.1 Introducere 53

Rezultatul evalurii STFT se poate reprezenta sub forma unui grafic tridimensional (timp, frecven, amplitudine) sau, mai frecvent, sub form bidimensional, cnd informaia de amplitudine este codat prin nivele de intensitate de culoare.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Timp (ms) a)

b)

Fig. 2.2 Exemplu de calcul al transformatei Fourier pe termen scurt: a) forma de und n timp; b) spectrograma

Exemplul 2.2

Relum exemplul prezentat anterior, calculnd de aceast dat transformata Fourier pe termen scurt corespunztoare semnalului f2(t). Drept semnal fereastr vom folosi

un semnal gaussian descris de relaia 2

( ) tw t e = , unde parametrul controleaz

lrgimea ferestrei (riguros vorbind, fereastra gaussian nu are suport compact, altfel spus nu are durat finit, ns poate fi considerat suficient de apropiat de un astfel de semnal. Alegerea este motivat n contextul acestei discuii de absena, n cazul evalurii transformatei Fourier, a lobilor secundari specifici lucrului cu ferestre cu suport compact, astfel nct concluziile vizate prin acest exemplu s fie mai clare). Rezultatul evalurii STFT pentru 3 valori distincte ale parametrului (anume = 0.01, 0.001, 0.0001) se prezint n Fig. 2.3. Prima pereche de grafice corespunde utilizrii ferestrei cu durata cea mai mic i, n acest caz, graficul STFT indic o localizare temporal foarte bun a momentelor la care se produc schimbrile de frecven, ns pe de alt parte valoarea frecvenei nu poate fi indicat cu acuratee

54 CAPITOLUL 2: ANALIZA DE TIP WAVELET

Fig. 2.3 Semnale de tip fereastr de durat variabil i STFT corespunztoare

(altfel spus, n loc s vedem cte o linie spectral clar pe frecvenele de 5, 10 i 20 kHz vedem n schimb cte un interval de frecvene). Crescnd progresiv durata ferestrei, se mbuntete localizarea n domeniul frecven (ne apropiem de situaia ideal n care trebuie s vedem linii spectrale clare), ns se degradeaz localizarea temporal (nu mai putem identifica cu precizie momentele la care apar modificri n forma de und original). n ultimul caz ne aflm n situaia n care lrgimea ferestrei este maxim, astfel nct liniile spectrale se vd foarte clar, dar momentele care delimiteaz intervalele de interes sunt practic invizibile.

Exemplul descris anterior ilustreaz foarte clar compromisul referitor la rezoluia utilizat n caracterizarea oricrui semnal n domeniile timp i frecven: precizarea cu acuratee a duratei n timp a unui semnal se face cu preul pierderii preciziei n aprecierea informaiei spectrale a acestuia i viceversa. Motivaia teoretic riguroas a acestei comportri se regsete n aa-numitul principiu de incertitudine stabilit de ctre Heisenberg, care n esen afirm c produsul dintre duratele n timp i frecven ale unui semnal este limitat inferior de o valoare

2.1 Introducere 55

nenul. Astfel, s considerm un semnal f(t) avnd transformata Fourier F(). Definim durata n timp a semnalului dt, respectiv durata n frecven Df, astfel [14]:

2 22 2 2 21 1( ) ; ( )2t f

d t f t dt D F dE E

= = (2.3)

unde mrimea E reprezint energia semnalului:

2 21( ) ( )2

E f t dt F d

= = (2.4)

O prim formulare a principiului de incertitudine afirm c dac semnalul f(t) are

proprietatea ( ) 0t f t pentru t , atunci 12t fd D i . O alt formulare,

mai util n contextul teoriei semnalelor, arat c n cazul unui semnal de durat

finit n timp, cu f(t) = 0 pentru |t| > , este valabil relaia 2fD i . Putem

obine o imagine intuitiv a celor enunate revenind la analiza de tip STFT descris anterior i imaginndu-ne o mprire a planului timp-frecven n celule individuale a cror etichet este stabilit de poziia ferestrei de analiz la un moment dat i a cror arie este dat de produsul dintre durata n timp i cea n frecven a poriunii decupate din semnalului considerat, ca n Fig.2.4. Principiul de incertitudine afirm faptul c aria celulelor individuale nu poate scdea sub o valoare de prag minim (dei ideal am dori ca o astfel de celul s se reduc la un simplu punct), n condiiile n care dimensiunea concret a acestora depinde n mod nemijlocit de tipul semnalului fereastr adoptat. Aici intervine i o prim diferen major ntre analiza de tip Fourier (pe termen scurt) i cea de tip wavelet, ce urmeaz a fi prezentat pe parcursul acestui capitol: n vreme ce n cazul Fourier fereastra de analiz are durat fix, indiferent de frecvena semnalului studiat, n cazul wavelet vom vedea c se adopt ferestre de durate variabile, dependente de banda de frecven avut n vedere i anume: la frecvene nalte se folosesc ferestre de analiz de durat scurt, pe cnd la frecvene joase apar ferestre de durat lung. Efectul acestei abordri este urmtorul: vom obine o localizare precis a momentelor de timp cnd sunt prezente componente de frecven ridicat n semnalul studiat (n detrimentul acurateii n precizarea valorii exacte a acestor

56 CAPITOLUL 2: ANALIZA DE TIP WAVELET

frecvene), respectiv vom putea ti cu mai mare exactitate valoarea componentelor de frecven joas existente n semnal, fr a localiza ns strict i momentele cnd acestea apar. O astfel de strategie este pe deplin justificat n multe aplicaii practice n care, de regul, ntlnim componente de frecven cobort care se extind mult n timp, peste care se suprapun din cnd n cnd, pentru intervale scurte, semnale rapid variabile, eventual i cu amplitudine mult sporit.

a)

b)

Fig. 2.4 mprirea planului timp-frecven n cazul: a) STFT; b) analizei wavelet

Exemplul 2.3

Vom analiza efectul utilizrii unor ferestre de analiz de durat variabil n contextul evalurii STFT n cazul unui semnal care conine o combinaie de componente caracterizate de o bun localizare temporal, respectiv spectral. Semnalul considerat este generat ca suma dintre un semnal armonic pe frecvena de 25 Hz, un semnal de tip chirp liniar1 (semnal MF a crui semnal modulator variaz liniar) care pornete de la frecvena 0 i ajunge la 150 Hz dup 1 secund, respectiv un impuls triunghiular ngust, care apare dup 1 s i dureaz 10 ms. Forma de und i spectrul corespunztor sunt indicate n Fig. 2.5a,b. Calculm n continuare STFT corespunztoare acestui semnal folosind o fereastr Hamming de durat 32, 64, 128, respectiv 256 ms, iar graficele obinute sunt prezentate n Fig. 2.5c-f. Se observ cu uurin efectul discutat anterior: utilizarea unei ferestre de analiz de

1 Exist i alte tipuri de semnale chirp, de exemplu chirp parabolic (ptratic).

2.2 Transformata wavelet continu 57

durat lung favorizeaz identificarea cu precizie a frecvenei componentei armonice (rezoluie bun n frecven), n schimb momentul apariiei impulsului este foarte neclar. Pe de alta parte, o fereastr de durat scurt permite localizarea momentului de timp cnd apare impulsul, n schimb componenta spectral corespunztoare semnalului armonic este greu de precizat. Folosirea unei durate medii a ferestrei permite obinerea unui compromis rezonabil n privina rezoluiei timp-frecven, dup cum se observ n Fig. 2.5d.

2.2 Transformata wavelet continu

Analiza prezentat n paragraful anterior sugereaz utilitatea unor instrumente de analiz capabile s ofere simultan o bun rezoluie att n domeniul timp (pentru a putea identifica cu precizie momentele la care apar eventuale impulsuri de scurt durat), ct i n frecven (pentru a preciza cu acuratee compoziia spectral a semnalului, mai ales n condiiile prezenei unor componente armonice de durat mare). Din acest punct de vedere s-a artat c analiza Fourier pe termen scurt are o utilitate redus, asigurnd cu dificultate un compromis acceptabil n privina rezoluiei timp-frecven. Exemplele prezentate indicau i o posibil soluie: nlocuirea unei ferestre de analiz cu durat fix, indiferent de frecvena semnalului studiat, cu un ansamblu de ferestre de analiz de durat variabil, aa nct la frecvene joase s folosim durate mari, iar la frecvene ridicate s folosim durate mici. n cele ce urmeaz vom ilustra posibilitatea de a implementa acest principiu, prin intermediul aa-numitei Transformate Wavelet Continue (CWT) [3]. Astfel, s considerm un semnal real sau complex care satisface urmtoarele dou condiii:

2

( ) 0

( )

t dt

t dt

=

<

(2.5)

Prima proprietate, conform creia semnalul are valoare medie nul, sugereaz un posibil aspect oscilant, pe cnd cea de a doua proprietate, referitoare la valoarea finit a energiei, indic faptul c semnalul are concentrat cea mai mare parte a energiei ntr-un interval finit de timp.

58 CAPITOLUL 2: ANALIZA DE TIP WAVELET

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Timp (s) a)

0 50 100 150 200 2500

100

200

300

400

500

600

Frecventa (Hz) b)

c)

d)

e)

f)

Fig. 2.5 Analiza STFT folosind ferestre de lungime variabil: a) semnalul analizat; b) spectrul corespunztor; c) spectrograma pentru fereastra Hamming de durat 256 ms; d) spectrograma pentru fereastra Hamming de durat 128 ms; e) spectrograma pentru fereastra Hamming de durat 64 ms; f) spectrograma pentru fereastra Hamming de durat 32 ms

2.2 Transformata wavelet continu 59

Cele 2 condiii, mpreun cu o aa-numit condiie de admisibilitate ce va fi introdus ulterior (necesar pentru putea defini transformata wavelet invers) sunt suficiente pentru ca un semnal s se califice drept un semnal de tip wavelet. Este important de subliniat c n literatur au fost propuse numeroase astfel de semnale, unele dintre ele cu durat finit (avnd deci suport compact), iar altele cu durat infinit, dar cu energia concentrat ntr-un interval de timp finit. n Fig. 2.6 se prezint exemple de semnale de tip wavelet. S considerm acum un semnal f(t) cu energie finit. Definiia Transformatei Wavelet Continue (CWT) asociate acestui semnal este [3]:

*1( , ) ( ) t bW a b f t dtaa

= (2.6)

unde a i b sunt constante reale, iar simbolul * desemneaz operaia de conjugare complex. Introducnd notaia:

,1( )a b

t btaa

=

(2.7)

definiia CWT se poate rescrie sub forma:

*,( , ) ( ) ( )a bW a b f t t dt

= (2.8)

Ca urmare, este uor de observat c definiia CWT presupune calculul produsului scalar1 dintre semnalul analizat i semnalele a,b(t). Factorul de normalizare

1 a asigur pstrarea energiei semnalelor a,b(t) indiferent de valorile particulare

ale parametrilor a i b:

2 2, ( ) ( )a b t dt t dt

= (2.9)

1 Semnalele analogice avnd energie finit formeaz un spaiu vectorial liniar, desemnat

generic L2. n acest spaiu produsul scalar se definete: *( ), ( ) ( ) ( )x t y t x t y t dt

= .

Semnalele cu putere medie finit formeaz i ele un spaiu vectorial liniar, notat L2 .

60 CAPITOLUL 2: ANALIZA DE TIP WAVELET

Interpretarea intuitiv a semnalelor a,b(t) este imediat: aceste semnale reprezint versiuni translate i scalate (dilatate sau comprimate de-a lungul axei timpului) ale semnalului prototip (t), de unde i denumirea sugestiv a celui din urm: mother wavelet. Scalarea se poate face prin dilatare (cnd a > 1) sau comprimare (pentru a < 1), dup cum se exemplific n Fig. 2.7.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

a)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

b)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

c)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

d)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

e)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

f)

Fig. 2.6 Exemple de semnale de tip wavelet: a) Haar; b) Daubechies; c) Coiflet; d) Symmlet; e) Battle-Lemarie; f) Morlet

2.2 Transformata wavelet continu 61

0 200 400 600 800 1000 1200-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

a)

0 200 400 600 800 1000 1200-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

b)

Fig. 2.7 Versiuni scalate de-a lungul axei timpului ale semnalului wavelet de tip Coiflet: a) dilatare; b) comprimare

Exist cteva aspecte care difereniaz clar transformatele wavelet i Fourier: n ambele situaii evaluarea transformatei presupune calculul unui produs scalar

dintre semnalul analizat i un set de semnale care formeaz o baz particular n spaiul vectorial al semnalelor de energie finit. Dac n cazul Fourier baza este format ntotdeauna din acelai tip de semnale (exponeniale complexe, mai bine zis semnale armonice de tip sinus i cosinus), n cazul wavelet avem la dispoziie o palet larg de forme de und, n particular existnd i posibilitatea de a construi o baz optimal n raport cu semnalul particular analizat (n literatur a fost introdus conceptul best basis selection [2], care are n vedere criterii de optimalitate specifice teoriei transmisiunii informaiei). baza n raport cu care se face reprezentarea de tip Fourier este ortogonal, pe

cnd n cazul wavelet exist posibilitatea de a utiliza i baze formate din vectori liniar independeni care nu sunt ortogonali (un caz particular l reprezint bazele bi-ortogonale [3, 17], formate din 2 grupe de vectori pentru care condiia de ortogonalitate este ndeplinit numai n cadrul grupului respectiv). spre deosebire de transformata Fourier, care depinde numai de un singur

parametru, transformata de tip wavelet depinde de 2 parametri, a i b. Ca urmare, inclusiv modalitatea de reprezentare grafic a spectrului este diferit (i, din pcate, mai puin intuitiv n cazul CWT). Exemple n acest sens sunt ilustrate n Fig. 2.8.

62 CAPITOLUL 2: ANALIZA DE TIP WAVELET

0 50 100 150 200 250 300

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time Fig. 2.8 Reprezentare grafic a transformatei CWT corespunztoare

unor semnale elementare Exist cteva posibiliti distincte de a interpreta transformata wavelet i anume: a) pornind de la definiia produsului scalar al semnalelor de energie finit rezult imediat c evaluarea CWT presupune calculul unui set de astfel de produse scalare ntre semnalul analizat i colecia de semnale a,b(t):

,( , ) ( ), ( )a bW a b f t t= (2.10)

Definiia produsului scalar permite i introducerea noiunii de funcie de intercorelaie dintre 2 semnale, care exprim intuitiv gradul lor de asemnare:

*, ( ) ( ) ( ) ( ), ( )x yR x t y t dt x t y t

= = (2.11)

n care desemneaz valoarea ntrzierii care separ semnalele considerate.

Pornind de la aceast definiie calculul CWT poate fi rescris sub forma:

2.2 Transformata wavelet continu 63

,0, ,0 ,

( , ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( )aa b a f

W a b f t t f t t b R b = = = (2.12)

Interpretarea este imediat: transformata CWT reprezint de fapt rezultatul evalurii repetate a intercorelaiei dintre semnalul considerat i versiunile translate ale unui ansamblu de semnale de tip wavelet afectate de diverse grade de dilatare sau contracie. Mai mult, devine posibil identificarea valorilor particulare ale parametrilor a i b pentru care se obine un semnal a,b(t) puternic corelat cu cel analizat trasnd graficul funciei |W(a,b)|2 (graficul este denumit scalogram) i identificnd valorile maxime. n particular, astfel de valori extreme pot indica cu precizie intervalul de timp n care apar n semnalul analizat impulsuri de durat scurt sau eventuale salturi brute. b) pornind de la definiia produsului de convoluie a 2 semnale analogice:

( ) ( ) ( ) ( )h t x t h x t d

= (2.13)

definiia CWT se poate rescrie sub forma:

* ,0( , ) ( ) ( )aW a b f b b= (2.14)

altfel spus, pentru o valoare dat a parametrului de scalare a, mrimea W(a,b) reprezint ieirea unui filtru avnd funcia pondere *a,0(t) i semnalul de intrare f(b). Dei deocamdat nu avem un argument justificativ, menionm totui c aa-numita proprietate de admisibilitate invocat anterior (i care, dup cum vom vedea, permite generarea transformatei CWT inverse) impune ca filtrul s aib o caracteristic de tip trece-band. Dac notm cu () transformata Fourier a semnalului de tip mother wavelet (t), atunci o proprietate binecunoscut a acesteia se formuleaz astfel:

( ) ( ) ( ) ( )tt a aa (2.15)

Ca urmare, att frecvena central ct i cele care delimiteaz banda de trecere la 3 dB a rspunsului n frecven corespunztor semnalului a,0(t) = (t/a) vor fi scalate cu acelai factor 1/|a| fa de parametrii similari asociai semnalului mother wavelet (t). Pe de alt parte, raportul dintre frecvena central i lrgimea benzii la 3 dB a unui filtru trece-band definete factorul de calitate Q al acestuia, astfel

64 CAPITOLUL 2: ANALIZA DE TIP WAVELET

nct ajungem la concluzia c evaluarea CWT presupune aplicarea semnalului analizat la intrarea unui continuum de filtre (indexat de parametrul a) avnd factorul Q constant.

n final, s ne concentrm i asupra posibilitii de a reface un semnal pornind de la transfomata CWT asociat acestuia, adic de la valorile W(a,b). Prin analogie cu transformata Fourier, pentru care formele direct i invers sunt principial asemntoare, ar fi interesant de identificat condiiile n care transformata wavelet invers presupune de asemenea folosirea unui set de versiuni translate i scalate ale unei forme de und generice, de tip mother wavelet. O astfel de posibilitate exist i ea presupune ndeplinirea condiiei de admisibilitate invocat de mai multe ori pe parcursul acestui capitol, exprimat prin relaia [3, 17]:

2( )

0 , ,C unde C d

< < = (2.16)

unde () reprezint transformata Fourier a semnalului de tip mother wavelet (t). Este important de subliniat c aceasta este o condiie suficient, nu i necesar1, iar atunci cnd este ndeplinit, semnalul a crui transformat CWT este dat de valorile W(a,b) se calculeaz astfel:

,2

1 1( ) ( , ) ( )a ba b

f t W a b t dadbC a

= =

= (2.17)

Relaia (2.16) conduce imediat la concluzia c transformata Fourier () trebuie s

aib valoare medie nul 20

( ) 0 = = , astfel nct se justific afirmaia anterioar

potrivit creia un filtru a crui funcie pondere este dat de o versiune scalat a semnalului de tip mother wavelet are caracter trece-band.

1 Pentru cazul n care setul de parametri (a,b) este discretizat, aa dup cum vom vedea n

paragraful urmtor, au fost demonstrate condiii necesare i suficiente de reconstrucie.

2.3 Transformata wavelet discret 65

2.3 Transformata wavelet discret

Exist cteva elemente care fac dificil utilizarea practic a transformatei wavelet continue. Un prim aspect se refer la gradul ridicat de redundan al setului de valori W(a,b): dup cum s-a artat anterior, evaluarea acestora presupune calculul intercorelaiei dintre semnalul analizat i un continuum de versiuni translate i scalate ale unei aceleeai funcii. Cum aceste versiuni nu sunt ortogonale (altfel spus, astfel de versiuni afectate de translaii mici vor fi nc suficient de asemntoare), devine evident c vor apare subseturi de coeficieni W(a,b) foarte apropiai ca valoare, situaie care este ineficient n practic. Al doilea motiv l reprezint faptul c definiia (2.8) presupune folosirea unui numr infinit de valori ale parametrilor a i b, dei am prefera s lucrm numai cu un numr limitat al acestora. n sfrit, un dezavantaj major l reprezint inexistena unor soluii analitice capabile s furnizeze expresia transformatei CWT pentru semnale oarecare, astfel nct suntem nevoii, exact ca n cazul transformatei Fourier, s facem apel la metode numerice de calcul. Din acest punct de vedere, vom fi interesai de elaborarea unor algoritmi rapizi, aa cum n cazul transformatei Fourier avem la dispoziie varianta FFT. n cele ce urmeaz vom analiza pe rnd posibilitile de a elimina aceste neajunsuri.

A. Eliminarea redundanei n reprezentarea de tip wavelet

Soluia avut n vedere se refer la discretizarea valorilor parametrilor a i b pentru care se efectueaz calculul CWT, folosindu-se o reprezentare de forma [17]:

2( ) [ , ]2 (2 )k k

k lf t d k l t l

= =

= (2.18)

Setul de coeficieni d(k,l) definete aa-numita Transformat Wavelet Discret (DWT). Este important de observat faptul c discretizarea afecteaz numai parametrii a i b, semnalele f(t) i (t) rmnnd semnale analogice! Intuitiv, acest tip de descompunere seamn cu seria Fourier asociat unui semnal periodic, n care apar numai componente ale cror frecvene sunt multipli ntregi ai frecvenei fundamentale, ca urmare o denumire mai potrivit pentru relaia (2.18) ar fi fost cea de descompunere n serie wavelet. Acest tip particular de discretizare, bazat pe

66 CAPITOLUL 2: ANALIZA DE TIP WAVELET

un raport egal cu 2 ntre valorile succesive ale parametrilor a i b poart denumirea de eantionare diadic i este reprezentat sugestiv n Fig. 2.9. Se observ c scalarea se produce prin factori de forma a = 2k, iar translaia prin valori b = 2kl, cu l numr ntreg (ca urmare, pasul cu care se efectueaz translaia nu este fix, ci depine nemijlocit de scala pe care ne aflm la un moment dat!). Este important de subliniat totui faptul c eantionarea diadic ar putea rata informaii relevante despre semnalul analizat (de exemplu, valorile extreme ale acestuia), astfel nct n literatur au fost propuse i alte variante de eantionare [7], care nu respect numaidect o anumit regularitate n explorarea spaiului timp-frecven. Eliminarea efectiv a redundanei se produce prin alegerea unui set ortogonal de funcii a,b(t), care respect condiia:

, , , ,

1,( ), ( ) ( ) * ( )

0,a b c d a b c dpentru a b si c d

t t t t dtin rest

= == =

(2.19)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-9

-8.5

-8

-7.5

-7

-6.5

-6

-5.5

-5

-4.5

-4

Translatie (b)

Sca

la (a

)

Fig. 2.9 Eantionarea diadic a setului de parametri a i b

2.3 Transformata wavelet discret 67

Dou observaii merit fcute n acest context: a) ortogonalitatea nu este o condiie necesar n reprezentarea semnalelor, ns este eficient din punct de vedere practic; b) discretizarea parametrilor a i b implic caracterul variabil n timp al reprezentrii: dac avem la dispoziie 2 semnale identice, care difer numai printr-o ntrziere relativ, reprezentrile lor bazate pe relaia (2.18) nu vor fi identice (i afectate de aceeai ntrziere), ci vor fi diferite!

B. Limitarea setului de valori (a,b)

Odat rezolvat problema eliminrii redundanei n reprezentarea de tip wavelet, ne propunem s identificm modalitatea prin care putem renuna la evaluarea acesteia ntr-un numr infinit de perechi de valori (a,b). Dac n cazul translaiei, indexate n pai discrei de parametrul b, este evident c durata semnalului impune o limit superioar, lucrurile sunt mai dificile n cazul parametrului a care indexeaz scala. S ne reamintim una dintre interpretrile transformatei CWT precizate anterior: calculul presupune de fapt aplicarea semnalului analizat la intrarea unui ansamblu (banc) de filtre de tip trece-band, cu factor de calitate constant, ale cror frecvene centrale (i benzi de trecere la 3 dB) se vor dubla la fiecare dublare a valorii parametrului a. Ca urmare, ne putem imagina uor spectrul semnalului studiat acoperit de o serie de benzi de trecere ale acestor filtre, precum se sugereaz n Fig. 2.10. Deoarece filtrele nu sunt ideale, acoperirea uniform presupune o anumit suprapunere parial a benzilor corespunztoare filtrelor adiacente. Notnd frecvena maxim din spectrul semnalului analizat cu max, filtrele utilizate vor avea (n ordine descresctoare a frecvenei) benzi de trecere de forma [0.5 max, max],[ 0.25 max, 0.5 max], [0.125 max, 0.25 max], Pentru c intenia noastr este totui de a folosi un numr finit de valori ale parametrului a care indexeaz scala (i care fixeaz numrul de filtre trece-band utilizat) una dintre cele mai naturale idei este de a realiza acoperirea spectrului semnalului analizat printr-o combinaie dintre un numr oarecare de filtre trece-band i un filtru trece-jos. Acest filtru trece-jos este asociat unei aa-numite funcii de scalare, care va depinde n mod nemijlocit de clasa de semnale de tip wavelet aleas pentru reprezentarea descris prin relaia (2.18).

68 CAPITOLUL 2: ANALIZA DE TIP WAVELET

Fig. 2.10 Acoperirea benzii ocupate de spectrul semnalului studiat

Funcia de scalare trebuie s ndeplineasc urmtoarele constrngeri [17]:

2

) ( ) 1

) ( ) 1

) ( ), ( ) ( )

a t dt

b t dt

c t t n n

=

=

=

(2.20)

La acestea se adaug o proprietate fundamental exprimat printr-o aa-numit ecuaie de dilataie (n fapt, un tip special de ecuaie cu diferene n care intervin 2 scale distincte ale axei temporale) [3, 18]:

( ) [ ] (2 )n

t c n t n

=

= (2.21)

unde c(n) sunt coeficieni reali i, de regul, numrul acestora este finit. nlocuind n aceast relaie parametrul t prin 2-kt, se poate scrie:

( 1)(2 ) [ ] (2 )k kn

t c n t n

=

= (2.22)

Interpretarea relaiei anterioare este imediat: funcia de scalare corespunztoare unei anumite scale de reprezentare poate fi exprimat n raport cu valorile aceleeai funcii la o scal imediat inferioar (i care conine mai mult informaie). Se poate arta c setul de coeficieni c(n) este supus urmtoarelor constrngeri [17]:

2.3 Transformata wavelet discret 69

) [ ] 2

1) ( ), ( ) [ ] [ 2 ] [ ],2

n

m

a c n

b t t l c m c m l l l

=

=

=

= =

(2.23)

Setul de coeficieni c(n) poate fi interpretat foarte comod drept funcia pondere a unui filtru discret, iar dac notm cu C() rspunsul n frecven al acestuia, se poate arta c este ndeplinit condiia:

2 2( ) ( ) 4C C + + = (2.24)

Legtura nemijlocit dintre funcia de scalare i semnalele de tip wavelet rezult din impunerea urmtoarei condiii de ortogonalitate, care se adaug celor descrise prin relaiile (2.5) i (2.19):

( ), ( ) 0,t t n n Z = (2.25)

Exist posibilitatea de a formula o ecuaie de dilataie care implic semnalul de tip wavelet (t) ntr-o manier asemntoare ecuaiei (2.21) [17]:

( ) [ ] (2 )n

t d n t n

=

= (2.26)

unde setul de coeficieni d(n) poate fi de asemenea interpretat comod ca reprezentnd funcia pondere a unui filtru discret cu rspunsul n frecven D(), fiind supus unei serii de constrngeri de forma:

2 2

) [ ] 0

1) [ ] [ 2 ] [ ],2

) ( ) ( ) 4

na d n

b d m d m l l l

c D D

=

=

=

+ + =

(2.27)

Legtura nemijlocit dintre semnalele ( )t i (t) se deduce din ansamblul

relaiilor anterioare sub forma:

70 CAPITOLUL 2: ANALIZA DE TIP WAVELET

2 2

* *

1) ( ), ( ) [ ] [ 2 ] 02

) ( ) ( ) 4

) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

ma t t l d m c m l

b C D

c C C D D

=

= =

+ =

+ + + =

(2.28)

Particularizarea relaiei (2.26) pentru t de forma 2-kt conduce la:

( 1)(2 ) [ ] (2 )k kn

t d n t n

=

= (2.29)

Pe de alt parte, formula (2.18) sugereaz posibilitatea de a exprima un semnal de interes sub forma unei combinaii liniare de versiuni translate i scalate ale semnalului wavelet (t), astfel nct n baza relaiei (2.29) ajungem imediat la concluzia c acelai semnal se poate reprezenta i folosind versiuni scalate i translate ale funciei de scalare ( )t .

C. Implementarea unui algoritm de calcul al Transformatei Wavelet Discrete

Modalitatea intuitiv de analiz a unui semnal prin aplicarea sa la intrarea unui ansamblu de filtre avnd frecvene centrale i lrgimi de band adecvate este tipic pentru un algoritm de procesare denumit subband coding, ilustrat generic n Fig. 2.11 [19, 20]. Semnalul original este prelucrat mai nti printr-o pereche de filtre de tip trece-jos i trece-sus. Ieirea filtrului trece-jos este la rndul su procesat din nou cu o pereche de filtre de aceeai natur, cu observaia c frecvenele de tiere ale acestora sunt njumtite fa de prima pereche. Mecanismul este continuat apoi pentru un numr oarecare de pai. n principiu, exist posibilitatea ca benzile filtrelor s fie alese independent, n acord cu tipul i localizarea informaiei considerate de interes. n acest caz ns efortul de calcul crete semnificativ, pentru c proiectarea trebuie fcut separat, pentru fiecare filtru n parte. Ca alternativ, avem posibilitatea s utilizm un singur tip de filtru (n realitate, 2 filtre, unul trece-band i altul trece-jos), dar s impunem restricia ca benzile i frecvenele centrale ale acestora s fie interdependente. Exact acesta este principiul sugerat de discuia anterioar referitoare la analiza de tip wavelet, n care dou filtre (trece-band) consecutive au benzile de trecere n raportul 2:1! Pentru a ajunge la relaiile care permit determinarea coeficienilor care apar n reprezentarea unui semnal n raport

2.3 Transformata wavelet discret 71

cu bazele de tip wavelet (n realitate, n raport cu semnale de tip wavelet i, respectiv, funcia de scalare) s remarcm mai nti faptul c relaia (2.23b) implic ortogonalitatea funciilor care formeaz setul { ( ),t l l }. Particulariznd

aceast observaie pentru momente de timp de forma 2-kt, ajungem la concluzia c

i semnalele { (2 ),k t l l } sunt ortogonale (i, implicit, liniar independente)

pentru o valoare dat a parametrului de scal k. n consecin, notnd prin Vk spaiul vectorial liniar generat de ctre baza format din acest set de vectori, rezult c un semnal aparinnd spaiului Vk se poate reprezenta sub forma:

( ) [ , ] (2 )kkn

f t a k n t n

=

= (2.30)

Mai mult, n baza relaiei (2.22) ajungem la concluzia important c k k-1V V , cu

alte cuvinte orice semnal din spaiul Vk corespunztor unui parametru de scal de forma 2-k aparine i subspaiului descris de factorul de scal 2-(k-1)! Una dintre relaiile fundamentale specifice analizei de tip wavelet (prezentat aici fr demonstraie) stabilete legtura dintre setul de coeficieni a[k,n] specifici scalei k i setul corespunztor unei scale imediat inferioare (k-1) prin relaia [17]:

Fig. 2.11 Principiul metodei subband coding

72 CAPITOLUL 2: ANALIZA DE TIP WAVELET

[ 2 ][ , ] [ 1, ]2m

c m na k n a k m

=

= (2.31)

n care coeficienii c[n] sunt cei care intervin n relaia (2.21). n continuare, s observm c reprezentarea unei funcii aparinnd spaiului vectorial Vk-1 se poate realiza n dou moduri: pe de o parte am putea scrie o relaie de tipul celei indicate n ecuaia (2.30), iar pe de alt parte am putea specula relaiile (2.29) i (2.31) pentru a ajunge la concluzia c acelai semnal se poate scrie i sub forma unei combinaii liniare a unor versiuni scalate (cu valoarea 2-k) i translate ale semnalelor ( )t i (t). Ca urmare, se poate scrie:

( 1)1

1

( ) [ 1, ] (2 )

( ) [ , ] (2 ) [ , ] (2 )

kk

n

k kk

n n

f t a k n t n

f t a k n t n b k n t n

=

= =

=

= +

(2.32)

Observaii:

a) Ultima relaie este n acord cu punctul de vedere exprimat n Fig. 2.10 potrivit cruia semnalul studiat este aplicat progresiv la intrarea unui numr finit de filtre trece-band cu factor de calitate constant, la care se adaug un filtru trece-jos: ntotdeauna vom putea nlocui un astfel de filtru trece-jos prin combinaia dintre un filtru trece-band suplimentar i un alt filtru trece-jos avnd banda de frecven njumtit fa de cea a filtrului trece-jos de la care am pornit.

b) Expresia fk(t) din relaia (2.30) poate fi interpretat ca oferind o aproximaie a semnalului original f(t) din ecuaia (2.18). n fapt, la limit

vom avea ( ) ( )f t f t = . Concluzia important stabilit anterior potrivit

creia k k-1V V permite i o alt observaie intuitiv: trecerea de la o scal

de reprezentare la una imediat inferioar menine pe de o parte ntreaga informaie existent anterior i, pe de alt parte, aduce un surplus de informaie de detaliu.

2.3 Transformata wavelet discret 73

Se poate arta c este valabil i n cazul setului de coeficieni b[k,n] o relaie de recuren principial asemntoare relaiei (2.31) i anume:

[ 2 ][ , ] [ 1, ]2m

d m nb k n a k m

=

= (2.33)

unde coeficienii d[n] sunt cei care intervin n relaia (2.26). Putem prezenta ntr-o manier unificatoare ansamblul relaiilor enumerate anerior, care descriu legturile existente ntre seturile de coeficieni a[.,.] i b[.,.] corespunztori unor scale consecutive, dintr-un punct de vedere specific tehnicilor de filtrare liniar. Astfel, introducnd notaiile:

[ ]) [ ]2[ ]) [ ]2

) [ ] [ ]) [ ] [ ]

c na h n

d nb g n

c h n h nd g n g n

=

=

= =

(2.34)

putem rescrie relaiile (2.31) i (2.33) sub forma:

) [ , ] [ 1, ] [2 ]

) [ , ] [ 1, ] [2 ]

m

m

a a k n a k m h n m

b b k n a k m g n m

=

=

=

=

(2.35)

Interpretarea relaiilor anterioare devine acum evident: setul de coeficieni a[k,n], cu k fixat, se obine n urma efecturii produsului de convoluie dintre semnalul

a[k-1,n] i semnalul h[n] , cu condiia ca din rezultatul obinut s reinem numai

eantioanele de rang par. Cu alte cuvinte, semnalul a[k-1,n] se aplic la intrarea

unui filtru discret avnd funcia pondere h[n] , iar rspunsul acestuia se decimeaz

cu factorul 2 (adic se pstreaz numai unul din 2 eantioane consecutive, n cazul nostru fiecare al doilea eantion). Similar, coeficienii b[k,n] se obin la ieirea unui filtru discret avnd funcia pondere g[n] , tot n urma decimrii rspunsului cu

factorul 2. O interpretare grafic sugestiv a celor de mai sus este prezentat n partea stng a Fig. 2.12, n care perechea de filtre {h[-n], g[-n]} asigur analiza

74 CAPITOLUL 2: ANALIZA DE TIP WAVELET

semnalului a[k-1,n] aplicat la intrare, genernd perechea de semnale {a[k,n], b[k,n]}. Pe de alt parte, se poate parcurge i calea invers, prin care semnalul a[k-1,n] se poate sintetiza prin prelucrarea adecvat a perechii de semnale {a[k,n], b[k,n]}. Se poate arta c mecanismul de reconstrucie se bazeaz pe relaia [17]:

[ 1, ] 2 [ , ] 2 [ , ]a k n a k n b k n = + (2.36)

unde semnalele a[k,n] i b[k,n] se obin astfel:

[ , ] [ , ] [ 2 ]

[ , ] [ , ] [ 2 ]

l

l

a k n a k l c n l

b k n b k l d n l

=

=

=

=

(2.37)

Interpretarea acestor relaii este urmtoarea: semnalele a[k,n]i b[k,n] se obin

prin interpolarea cu un factor egal cu 2 a ieirilor a dou filtre discrete avnd funciile de transfer c[n], respectiv d[n]. Interpolarea este un proces prin care se urmrete creterea frecvenei de eantionare a unui semnal prin inserarea ntre 2 eantioane consecutive ale acestuia a unui numr de eantioane intermediare, n cazul cel mai simplu (folosit i aici) acestea avnd toate valoarea 0. Principiul este sugerat n partea dreapt a Fig. 2.12, care ilustreaz mecanismul prin care se asigur sinteza semnalului a[k,n].

Fig. 2.12 Analiza i sinteza setului de coeficieni a

2.3 Transformata wavelet discret 75

Diversele constrngeri pe care le satisfac coeficienii c[n], ilustrate prin relaiile (2.23) i (2.24) se traduc acum astfel:

2 2

) ( ) 1

) (0) 1

) ( ) ( ) 1

na h n

b H

c H H

=

=

+ + =

(2.38)

unde H() desemneaz rspunsul n frecven al filtrului cu funcia pondere h[n]. innd cont de proprietile transformatei Fourier, din relaia (2.33c) obinem imediat c:

2 2

) (0) (0) 1) ( ) ( ) 0

) ( ) ( ) 1

a H Hb H H

c H H

= =

= =

+ + =

(2.39)

Ultima relaie implic faptul c funcia H(+) se obine prin simetrizarea

rspunsului H() n raport cu frecvena central = 2 , dup cum se indic n

Fig. 2.13. Se spune din acest motiv c filtrele H() i H() formeaz o pereche de

filtre n cuadratur (Quadrature Mirror Filters - QMF) [19, 20].

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

Frecventa normalizata Fig. 2.13 Rspunsul n frecven al unor filtre n cudratur:

filtrul H - linie continu, filtrul G linie ntrerupt

76 CAPITOLUL 2: ANALIZA DE TIP WAVELET

Observaie: Nu orice pereche de filtre care respect condiia de simetrie n raport cu

frecvena central = 2 ndeplinete automat i condiia exprimat prin

relaia (2.37c). Filtrele QMF care ndeplinesc i aceast condiie se numesc cu reconstrucie perfect (perfect reconstruction QMF).

n mod similar, pornind de la constrngerile specifice coefiecienilor d[n] precizate n relaiile (2.27), se ajunge la urmtoarele condiii:

2 2

2 2

) ( ) ( ) 1

) ( ) ( ) 1

) (0) (0) 0

) ( ) ( ) 1

a G G

b G G

c G G

d G G

+ + =

+ + =

= =

= =

(2.40)

Mai mult, n mod asemntor relaiilor (2.28), se poate formaliza legtura

nemijlocit dintre perechile de filtre { H(),H() } i { G(),G() } sub forma:

2 2

* *

22

* *

) ( ) ( ) 1

) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

) ( ) ( ) 1

) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

a H G

b H H G G

c H G

d H H G G

+ =

+ + + =

+ =

+ + + =

(2.41)

Relaiile (2.27) i (2.28) mpreun cu cele anterioare conduc la identificarea unor legturi interesante i n domeniul timp:

1) [ ] [ 2 ] [ ]21) [ ] [ 2 ] [ ]2

) [ ] [ 2 ] 0

n

n

n

a h n h n k k

b g n g n k k

c h n g n k

+ =

+ =

+ =

(2.42)

care sugereaz faptul c funciile pondere h[n], respectiv g[n] sunt ortogonale cu versiunile translate ale acestora cu un numr par de indeci.

2.3 Transformata wavelet discret 77

D. Generarea funciilor ( )t i (t) pe baza coeficienilor h[n] i g[n]

Dup cum s-a menionat la un moment dat, semnalele ( )t i (t) nu admit, de

regul, expresii analitice compacte, astfel nct n practic suntem nevoii s facem apel la metode numerice pentru generarea acestora. n mod concret, suntem interesai de posibilitatea de obinere a acestor forme de und pornind de la seturile de coeficieni h[n] i g[n] care caracterizeaz filtrele discrete care intervin n relaiile care permit obinerea semnalelor a[k,n] i b[k,n] specifice analizei de tip wavelet. n acest sens, folosind notaia c[n] = 2h[n] n ecuaia de dilataie (2.21) se poate scrie:

( ) 2 [ ] (2 ) ( ) 2 [ ] ( )2n n

tt h n t n h n t n

= =

= = (2.43)

Aplicnd transformata Fourier relaiei anterioare obinem:

(2 ) ( ) ( )H = (2.44)

Aplicarea repetat a acesteia conduce la:

( ) ( ) ( ) (0), (0) 12 4H H H = = (2.45)

Transformata Fourier invers a funciei () permite obinerea funciei de scalare ( )t , iar funcia de tip mother wavelet (t) se deduce apoi folosind relaia (2.26) i

setul de coeficieni d[n] = 2g[n]. Un algoritm iterativ de generare a semnalelor ( )t i (t) a fost propus n [3] i pornete de la o form iniial a funciei de

scalare dat de funcia Haar:

01 , 0 1

( )0,

pentru tt

n rest

78 CAPITOLUL 2: ANALIZA DE TIP WAVELET

2.4 Transformata wavelet n timp discret

Analiza devoltat n cuprinsul paragrafului precedent se refer la posibilitatea reprezentrii semnalelor continue de energie finit sub forma unei combinaii liniare a unor versiuni translate i scalate ale unei funcii prototip denumite mother wavelet. Dup cum s-a artat, limitrile de ordin practic impun folosirea unui set finit de termeni ntr-o astfel de reprezentare, astfel nct att procesul de translaie, ct i cel de scalare (indexate de parametri reali) se fac ntr-o manier particular, bazat pe discretizarea gamei dinamice admisibile ale indecilor respectivi (eantionare diadic). Mai mult, punctul de vedere bazat pe aplicarea semnalului analizat la intrarea unui ansamblu de filtre trece-band avnd factor de calitate constant i cerina ca numrul acestora s fie finit a condus la introducerea noiunii de funcie de scalare (care permite modelarea componentelor de joas frecven ale semnalului studiat). Aceleai principii de pot aplica i n cazul reprezentrii unor semnale discrete n raport cu baze de tip wavelet. Astfel, pornind de la un semnal discret f[n] s definim semnalul analogic:

( ) [ ] ( )n

f t f n t n

=

= (2.48)

unde ( )t este o funcie de scalare de tipul celor analizate n paragraful precedent.

Pstrnd interpretarea intuitiv potrivit creia relaia (2.30) poate fi privit ca oferind o aproximare (n fapt, o proiecie) a semnalului f(t) pe un subspaiu liniar

particular Vk, generat de o baz de forma { (2 ),k t l l }, deducem imediat c:

[ ] [0, ]f n a n= (2.49)

Ca urmare, mecanismul ilustrat n Fig. 2.11 de generare succesiv a seturilor de coeficieni {a[k,n], b[k,n]} care intervin n descompunerea de tip wavelet se poate aplica direct, interpretnd pur i simplu valorile eantioanelor f[n] drept setul de coeficieni de aproximare valabili pentru scala cu rezoluia cea mai mic (i, implicit, care conine maximul de informaie din semnalul analizat). Ca terminologie, setul de coeficieni {b[k,n]} este denumit, printr-un abuz de limbaj,

2.4 Transformata wavelet n timp discret 79

tot Transformat Wavelet Discret, dei o denumire mai corect ar fi cea de Transformat Wavelet Discret n timp discret (DTWT). Din punct de vedere practic suntem interesai de utilizarea unui algoritm eficient de calcul al seturilor de coeficieni wavelet, aa cum beneficiem, de exemplu, n cazul Seriei Fourier Discrete de soluia bazat pe algoritmul FFT (Fast Fourier Transform). Un astfel de algoritm exist, acesta este denumit algoritm piramidal i a fost introdus de ctre S. Mallat [11, 13]. Pentru a fixa ideile, s reamintim mai nti definiia binecunoscut a Seriei Fourier Discrete asociate unui semnal x(n) avnd lungimea de N eantioane:

2 21 1

0 0

[ ] [ ] [ ] ,nkN Nj jnkN N

N Nn n

X k x n e x n w w e

= =

= = = (2.50)

Relaia anterioar admite o interpretare matricial de forma X = Wx, descris intuitiv astfel:

2

1 ( 1)

( 1) ( 1)

1 1 1(0) (0)1(1) (1)

( 1) ( 1)1

NN N

N NN N

X xw wX xSFD

X N x Nw w

= =

X Wx

(2.51)

O definiie principial asemntoare este valabil i n cazul transformatei DWT, cu

diferena c n locul coeficienilor de forma nkNw vom folosi seturile de coeficieni

care definesc filtrele h[n] i g[n] din relaia (2.34). Vom ilustra aceast observaie prin exemplul din relaia (2.52), care presupune un set de filtre avnd funcii pondere de lungimi finite1 (n acest caz, cu numai 4 coeficieni), dei mecanismul poate fi generalizat pentru lungimi oarecare. De exemplu, n cazul binecunoscut al unor clase de semnale wavelet introduse de ctre cercettoarea Ingrid Daubechies avem [3]: {g0, g1, g2, g3} = {h3, -h2, h1, -h0}, unde coeficienii h[n] au valorile:

{h0, h1, h2, h3} = ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 3 4 2 , 3 3 4 2 , 3 3 4 2 , 1 3 4 2+ + .

1 Ordinul filtrelor este legat de numrul de momente statistice nule asociate funciei (t) [3].

80 CAPITOLUL 2: ANALIZA DE TIP WAVELET

0 1 2 3

0 1 2 3

0 1 2 3

0 1 2 3

0 1 2 3

0 1 2 3

2 3 0 1

2 3 0 1

0 00 0

0 0 0 0[0] [0]0 0 0 0[1] [1]

0 0[ 1]) [ 1]

0 0

0 00 0

h h h hg g g g

h h h hX xg g g gX xDWT

h h h hX N x N

g g g g

h h h hg g g g

= =

X Wx

(2.52)

Relaia anterioar necesit o serie de comentarii: - valorile propriu-zise ale coeficienilor care definesc filtrele h[n] i g[n] rezult impunnd pe de o parte constrngerile enumerate n relaiile (2.38) i (2.40), iar pe de alt parte cerine suplimentare, referitoare la proprieti speciale pe care dorim s le dobndeasc semnalul prototip mother wavelet (t). Aceste proprieti sunt denumite generic condiii de regularitate i se refer de obicei la forarea unui suport compact pentru semnalul (t) (de unde i denumirea de und mic), eventual la asigurarea unui grad ridicat de simetrie a formei de und, sau a unei evoluii suficient de line (smooth) a acesteia. - se observ c ultimele 2 linii au un aspect distinct de restul celorlalte. Explicaia este legat de necesitatea de a folosi un numr de eantioane care se gsesc dincolo de fereastra format din valorile {x[0], x[1], , x[N-1]} (n cazul nostru avem nevoie de 2 eantioane suplimentare, x[N] i x[N+1]) pentru a putea calcula inclusiv ultimele valori ale transformatei DWT. Pentru a rezolva aceast problem au fost propuse n literatur 2 categorii de soluii: a) prelungirea ferestrei de timp analizate cu un numr de valori convenabil alese, putndu-se opta pentru: copierea valorii ultimului eantion disponibil x[N-1], periodizarea semnalului analizat (exact ca n cazul FFT; de altfel, aceasta este situaia care corespunde matricii din relaia (2.52)), sau reflexia n oglind a formei de und; b) modificarea valorilor setului de coeficieni de pe primele i ultimele linii ale matricii W, cu alte cuvinte alterarea funciei prototip mother wavelet ntr-un numr limitat de puncte ale domeniului de parametri (scal, translaie). Tratarea cu atenie a acestor efecte de capt este necesar cu precdere atunci cnd apar diferene semnificative de amplitudine ntre

2.4 Transformata wavelet n timp discret 81

nceputul i sfritul formei de und, precum i n aplicaii de predicie, acolo unde ultimele valori ale semnalului analizat sunt i cele mai importante. Relaia matricial precedent poate fi interpretat n sensul urmtor: se aplic dou operaii de filtrare distincte asupra vectorului de intrare folosind filtrele descrise de h[n] i g[n], se decimeaz cu un factor egal cu 2 rezultatele obinute i apoi se ntrees secvenele rmase n urma decimrii. Acesta este de fapt mecanismul din spatele algoritmului piramidal amintit anterior, care presupune ca i n cazul FFT ca lungimea ferestrei de timp analizate s fie egal cu o putere a lui 2, ilustrat intuitiv mai jos pentru un semnal de intrare cu lungimea de 16 eantioane:

(2.52)

(1)

(2)

(8)

(1)

(2)

(8)

(1)(1)

(2)(1)

(1)(2)

(2) (8)(2)

(1)(16) (2)

(8)(8)

(8)

...permutare

s

s

s

d

d

d

ss

sd

xs

x sd

dx d

sd

d

(2.52)

(1) ... (8)

(1) (1)

(1) (2)

(2) (3)

(2) (4)

(3) (1)

(3) (2)

(4) (3)

(4) (4)

(1) (1)

(2) (2)

(8) (8)

permutare

d drmnnealterate

S S

D S

S S

D S

S D

D D

S D

D D

d d

d d

d d

(2.52)

(1) ... (4),(1) ... (8)

S(1)

S(2)

(1)

(2)

(1)

(2)

(3)

(4)

(1)

(2)

(8)

D Dd drmnnealterate

D

D

D

D

d

d

d

(2.53)

82 CAPITOLUL 2: ANALIZA DE TIP WAVELET

2.5 Discuie asupra analizei de tip wavelet

Din dorina de a nlesni introducerea noiunilor i terminologiei specifice analizei de tip wavelet, n cuprinsul paragrafelor precedente am urmrit o prezentare orientat cu precdere pe aspecte inginereti, aflate la ndemna celor familiarizai cu metodele de filtrare liniar, transformata Fourier, sau alte instrumente din arsenalul teoriei semnalelor. n mod intenionat am ncercat s limitm la strictul necesar volumul semnificativ de ecuaii, constrngeri i relaii de interdependen care apar n crile i articolele consacrate acestui subiect i care fundamenteaz cu rigoare matematic unul dintre cele mai active domenii de cercetare din ultimele dou decenii. Fr a abdica de la acest principiu, considerm totui necesar s discutm, chiar i sumar, o serie de aspecte relevante pentru subiectul analizat, n msur s completeze sau s clarifice cele prezentate anterior.

Analiza multirezoluie

Transformata wavelet reprezint una dintre modalitile naturale (nu i singura) de a implementa un tip particular de reprezentare a semnalelor denumit analiz multirezoluie. Esena acestei abordri const n faptul c semnalul analizat este descris printr-o succesiune de aproximri care conin din ce n ce mai mult informaie. Exemplul clasic care ilustreaz intuitiv acest principiu este urmtorul: privit de la mare distan, o pdure nu poate fi caracterizat dect prin aspectul su de ansamblu. Pe msur ce ne apropiem vom ncepe s distingem copacii, apoi ramurile acestora, apoi frunzele. Acesta este de fapt specificul analizei multirezoluie: fiecare nivel de aproximare conine pe de o parte ntreaga informaie disponibil la nivelul precedent, la care se adaug o component suplimentar de detaliu. Din punct de vedere matematic, analiza multirezoluie presupune aproximarea unor funcii prin proiecii succesive pe un ansamblu de subspaii vectoriale liniare incluse unele n altele (nested vector spaces) ... V1 V0 V-1 ... i care respect urmtorul set de axiome [17]: a) reuniunea acestor subspaii este dens n spaiul vectorial al funciilor avnd energie finit. Conceptul de densitate este definit astfel n mod intuitiv: date fiind 2 mulimi A B , se spune c mulimea A este dens n mulimea B dac pentru orice

2.5 Discuie asupra analizei de tip wavelet 83

element b B putem gsi un element a A orict de apropiat de b. De exemplu,

mulimea numerelor raionale Q este dens n mulimea numerelor reale R. n cazul nostru, reuniunea setului de subspaii considerat va conduce la un spaiu vectorial

notat V care este dens n spaiul L2(R) al semnalelor de energie finit.

b) intersecia subspaiilor considerate se reduce la un vector identic nul

c) dac ( ) kf t V atunci 1(2 ) kf t V i viceversa. Aceast relaie implic

dilatarea sau comprimarea semnalelor aparinnd diverselor subspaii considerate. Dac definim o ierarhie a acestor subspaii n funcie de gradul de detaliu pe care l

conin, putem spune c subspaiul 1kV este mai fin (mai detaliat) dect kV .

Trecerea de la un subspaiu mai fin la unul mai grosier i invers se face prin dilatarea sau comprimarea semnalelor analizate printr-un factor egal cu 2. d) exist o funcie ( )t (denumit funcie de scalare) astfel nct setul

{ ( ),t k k } formeaz o baz pentru subspaiul V0. Ca urmare, un semnal

0 0( )f t V se poate scrie sub forma:

0 ( ) [0, ] ( )n

f t a n t n

=

= (2.54)

Nu este obligatoriu ca semnalele care formeaz baza { ( ),t k k } s fie

ortogonale, dei ortogonalitatea ofer avantaje n multe privine.

Relaia dintre analiza multirezoluie i cea de tip wavelet devine acum clar (excepie fcnd de testarea condiiei de densitate, mai dificil de justificat sumar): relaiile (2.20) indic faptul c versiunile translate ale funciei de scalare formeaz

o baz ortogonal, relaia (2.22) conduce la concluzia 1( ) (2 )k kf t V f t V ,

iar ecuaia de dilataie (2.21) devine o consecin a relaiei precedente, dac se

adaug condiia suplimentar 0 1V V (din acest motiv, relaia (2.22) implic

practic i c 1 ,k kV V k Z ). Surplusul de detaliu obinut prin trecerea de la un

nivel de rezoluie la altul poate fi modelat tot ca un subpaiu vectorial, notat Wk,

astfel nct putem scrie 1k k kV V W = + . Acesta este de fapt subspaiul generat de

baza { }(2 ),k t l l Z , iar subspaiul Vk este generat de baza { }(2 ),k t l l Z .

84 CAPITOLUL 2: ANALIZA DE TIP WAVELET

Condiii de regularitate

Am amintit n contextul paragrafelor precedente c unul dintre avantajele analizei de tip wavelet n comparaie cu analiza Fourier o constituie flexibilitatea n alegerea funciei prototip mother wavelet (t). Proprietile speciale avute n vedere se pot referi la caracterul compact n timp sau n frecven al acestei funcii, la simetria formei de und sau la caracterul ei lipsit de variaii brute (smoothness). n particular, aspectele legate de micorarea simultan a duratei (suportului) n domeniile timp i frecven sunt considerate eseniale (s nu uitm c un semnal wavelet trebuie s reprezinte totui o und mic), iar acestea sunt asigurate de aa-numitele condiii de regularitate [3]. n esen, acestea indic viteza de scdere spre zero a semnalului (t) i formularea lor este deseori prezentat n literatur fcnd apel la condiia ca un anumit numr de momente statistice ale acestui semnal s se anuleze. n mod concret, momentul statistic de ordinul k se definete prin relaia [14]:

( )kkM t t dt

= (2.55)

Conform relaiei (2.5) avem ntotdeauna ndeplinit condiia M0 = 0, iar cu ct avem mai multe momente statistice nule (sau foarte mici) cu att semnalul (t) obinut (i, respectiv, funcia de scalare ( )t ) va fi mai regulat, n sensul c va

avea un aspect lipsit de discontinuiti. Pe de alt parte, se poate arta c anularea unui anumit numr de momente statistice ale funciei wavelet (t) este legat nemijlocit de restricii impuse rspunsurilor n frecven H() i G() asociate filtrelor h[n] i g[n] care formeaz perechea de filtre n cuadratur introdus n paragraful anterior. Astfel, existena unui numr de K momente statistice care se anuleaz este echivalent cu prezena unui numr de K zerouri n origine ale rspunsului G(), respectiv K zerouri n dreptul frecvenei maxime = pentru rspunsul n frecven H() (reamintim c filtrul H() are caracter trece-jos, iar G() este de tip trece-sus) [17]. Ca observaie suplimentar, numrul momentelor statistice care se anuleaz apare uneori i n denumirea funciei de tip mother wavelet (de regul, terminologia este de tipul NumeFuncie_2n, unde n este numrul momentelor statistice nule).

2.5 Discuie asupra analizei de tip wavelet 85

Invariana la translaie a transformatei wavelet

Necesitatea de a efectua operaiuni de decimare pentru calculul coeficienilor care definesc transformata DWT face ca acest tip de procesare s aib caracter variabil n timp (mai general, dac semnalul asupra cruia acioneaz DWT nu depinde de variabila timp, ci de un alt argument de exemplu, spaiu se spune c transformata variaz n raport cu translaia/deplasarea acestuia). Astfel, spre deosebire de transformata Fourier, al crei modul rmne nemodificat n urma translaiei argumentului, n cazul transformatei DWT putem asista la modificri substaniale ale valorilor coeficienilor chiar dac semnalul analizat sufer translaii minore. n practic aceast comportare constituie un dezavantaj, astfel nct n literatur au fost propuse o serie de soluii care s elimine sau s atenueze aceast surs de variabilitate. n principiu, metodele urmresc creterea redundanei n reprezentarea de tip DWT, relaxnd condiia de eantionare diadic sau acionnd asupra perechii de semnale prototip { ( )t , (t)}. Dintre aceste soluii amintim

urmtoarele: a) algoritmul cu guri ( trous algorithme) propus de ctre S.Mallat [11, 13] (n esen, se nlocuiete eantionarea diadic a funciilor prototip pentru

oinerea semnalelor se forma (2 )k t corespunztoare unui set de scale cu

rezoluie distinct printr-o operaie de interpolare aplicat unei singure forme de und (t) interpolarea presupune inserarea unui numr corespunztor de zerouri ntre 2 eantioane succesive ale acestora, urmat de filtrare trece-jos); b) generarea unor funcii prototip de natur complex [9] (n acest caz, se utilizeaz perechi de filtre {h[n], g[n]} distincte pentru a obine partea real, respectiv cea imaginar a funciilor { ( )t , (t)}); c) piramida Laplacian [1]; d) utilizarea drept coeficieni

DWT numai a valorilor extreme (minime i maxime) ale modulului coeficienilor rezultai n urma aplicrii prealabile a unei transformate DWT uzuale (cu eantionare diadic) folosind funcii de tip mother wavelet cu unul sau dou momente statistice nule [12]. Dei utile din perspectiva atingerii scopului propus, toate aceste soluii presupun ns un volum de calcul mai mare dect cel necesar evalurii transformatei DWT uzuale.

86 CAPITOLUL 2: ANALIZA DE TIP WAVELET

Selecia unei baze wavelet optimale

Subliniind nc o dat avantajul flexibilitii n selectarea unei funcii prototip de tip wavelet i, implicit, a bazei generate de aceasta, merit amintit posibilitatea ca alegerea s fie ghidat de criteriul eficienei reprezentrii unui semnal dat n raport cu o astfel de baz. Prin eficien nelegem aici proprietatea ca n descompunerea semnalului studiat s existe un numr mic de coeficieni cu valoare semnificativ, restul putnd fi neglijai. Rezolvarea unei astfel de probleme este ntlnit n literatur sub denumirea best basis selection i pornete de la formularea unei funcii de cost, inspirat de regul din teoria transmisiunii informaiei, care trebuie s ndeplineasc cteva condiii [2]: - s ofere o imagine a vitezei de scdere a setului de coeficieni care apar n descompunerea de tip wavelet (2.18). De exemplu, funcia de cost trebuie s capete valori mari dac majoritatea coeficienilor au valori comparabile, respectiv s aib valoare mic dac apar puini coeficieni semnificativi. - ca i n cazul general, s pstreze o bun localizare simultan n timp i frecven - componentele bazei s fie ct mai independente, astfel nct o aceeai poriune din semnalul analizat s fie descris folosind ct mai puine astfel de componente. Drept funcie de cost a fost folosit cu succes entropia, dei n principiu am putea folosi i alte formulri.

2.6 Aplicaii ale analizei de tip wavelet

Dezvoltate iniial n legtur cu analiza semnalelor de natur seismic, reprezentrile folosind baze de tip wavelet au cunoscut rapid o vitez de extindere remarcabil n aplicaii practice dintre cele mai diverse, printre care amintim tehnicile de compresie, filtrarea zgomotelor, rezolvarea ecuaiilor cu derivate pariale, analiza semnalelor biomedicale i financiare, astronomie, fizica nuclear, prelucrarea semnalelor vocale [6]. Exemplele cele mai cunoscute sunt probabil cele referitoare la crearea de ctre FBI a standardului de stocare a imaginilor reprezentnd amprente, respectiv elaborarea standardului de compresie JPEG2000. n cele ce urmeaz vom prezenta cteva modaliti practice de aplicare a acestui

2.6 Aplicaii ale analizei de tip wavelet 87

instrument elegant de procesare a semnalelor, n sperana de a trezi interesul cititorilor pentru aprofundarea studiului n aceast direcie.

2.6.1 Filtrarea zgomotelor

Exist numeroase aplicaii practice importante n care se dorete eliminarea zgomotelor suprapuse peste informaia considerat de interes, cu condiia ca forma de und util s nu fie alterat sensibil, n particular s fie meninute momentele la care apar variaii semnificative de amplitudine. Drept exemple n acest sens putem cita analiza semnalelor biomedicale (ECG, EEG), datele rezultate din imagistica cu rezonan magnetic sau nuclear, sau procesarea seriilor de timp financiare. Transformata DWT ofer o soluie eficient n astfel de cazuri speculnd faptul c, de cele mai multe ori, zgomotele afecteaz numai coeficienii de pe anumite scale de reprezentare, de regul corespunztoare unor componente de detaliu fine. n fapt, varianta DWT este de multe ori superioar soluiei bazate pe utilizarea transformatei Fourier, aceasta fiind incapabil, dup cum s-a discutat la nceputul acestui capitol, s menin nealterate intervalele n care sunt prezente variaii brute ale amplitudinii semnalului analizat. n mod concret, utilizarea DWT n filtrarea zgomotelor presupune parcurgerea urmtorilor pai: - se calculeaz coeficienii corespunztori transformatei DWT - se compar modulul acestora cu o valoare de prag aleas adecvat i se anuleaz valorile tuturor coeficienilor situai sub prag. De regul, se aleg valori de prag individuale pe fiecare scal n parte. - se calculeaz transformata DWT invers Tehnica descris anterior este cunoscut sub denumirea wavelet shrinkage [4], iar anularea coeficienilor situai sub o valoare de prag reprezint aa-numita versiune hard de filtrare a zgomotului. Se utilizeaz uneori i o versiune soft [5], n care valorile coeficienilor considerai mici nu se anuleaz, ci sufer o transformare neliniar (de exemplu, de gen tangent hiperbolic) al crei efect se reduce din nou la micorarea valorii acestora. n literatur au fost propuse o serie de modaliti riguroase de alegere a valorilor adecvate ale pragurilor, de regul bazate pe criterii inspirate din teoria transmisiunii informaiei.

88 CAPITOLUL 2: ANALIZA DE TIP WAVELET

n Fig. 2.14 i 2.15 prezentm 2 exemple referitoare la filtrarea unui semnal unidimensional, respectiv a unei imagini. Metodele de filtrare avute n vedere sunt: filtrare liniar se pstreaz din totalitatea setului de coeficieni DWT numai cei plasai pe primele scale, indiferent de modulul acestora (oarecum asemntor filtrrii trece-jos de tip Fourier); filtrare neliniar se anuleaz coeficienii ale cror amplitudini sunt mai mici dect o valoare de prag (n mod concret, n acest caz valoarea de prag aleas reprezint 20% din gama dinamic vrf-la-vrf a tuturor coeficenilor); filtrare invariant se efectueaz comparaia cu aceeai valoare de prag, n schimb transformata DWT este calculat cu o metod care asigur invariana la translaie.

2.6.2 Metode de compresie

Domeniul n care transformata wavelet a cunoscut cele mai spectaculoase aplicaii practice este probabil cel al tehnicilor de compresie, n special n cazul imaginilor. Standardul FBI de stocare a imaginilor reprezentnd amprente (Wavelet Scalar Quantization - WSQ) [21], precum i introducerea standardului JPEG2000 reprezint cele mai elocvente exemple din acest punct de vedere. n Fig. 2.16 se prezint imagini rezultate n urma compresiei unei amprente folosind standardul WSQ, prin comparaie cu aceeai amprent stocat n formatul JPEG, n condiiile n care dimensiunile fiierelor rezultate sunt comparabile (32 kB, respectiv 34 kB, imaginea original avnd 616 kB i dimensiunile de 768x768 pixeli, cu 8 nivele de gri). Se observ c imaginea n format JPEG prezint o serie de modificri semnificative ale detaliilor care caracterizeaz amprenta1. S menionm pe scurt c standardul WSQ presupune parcurgerea a 3 etape de procesare: aplicarea transformatei DWT folosind o pereche special de funcii { ( )t , (t)}, cuantizarea coeficienilor DWT ntr-o manier dependent de

rezoluia respectiv, urmat de aa-numita codare entropic (n fapt, o combinaie de codare Huffman i codare run-length), n urma creia se obine o reprezentare folosind aproximativ 0.75 bii/pixel, sau o rat de compresie n jur de 15:1.

1 Imaginile n format WSQ au fost obinute cu aplicaia WSQViewer elaborat de ctre

firma Cognaxon, disponibil gratis la adresa www.cognaxon.com

2.6 Aplicaii ale analizei de tip wavelet 89

100 200 300 400 500

-10

0

10

20

30

40

Semnal original

100 200 300 400 500

-20

-10

0

10

20

30

40

Semnal zgomotos

100 200 300 400 500-20

-10

0

10

20

30

Filtrare liniar

100 200 300 400 500-20

-10

0

10

20

30

40

Filtrare neliniar

a)

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-20

-10

0

10

20

30

40

DWT standard

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

-10

0

10

20

30

40DWT invarianta

b)

Fig. 2.14 Filtrarea zgomotului folosind: a) filtrare liniar i neliniar; b) filtrare neliniar aplicat transformatei DWT standard, respectiv versiunii invariante la translaie

90 CAPITOLUL 2: ANALIZA DE TIP WAVELET

Imagine original Imagine zgomotoas

Filtrare neliniar Filtrare invariant

Fig. 2.15 Filtrarea zgomotului din imagini

2.6.3 Analiza semnalelor biomedicale semnalul ECG

Electrocardiograma (ECG) reprezint nregistrarea (de obicei la suprafaa corpului) a variaiilor de potenial ale vectorului rezultat din sumarea momentan, simultan i spaial a fenomenelor electrice de depolarizare i repolarizare a ansamblului de fibre miocardice n cursul unei revoluii cardiace. Aspectul tipic al semnalului ECG pune n eviden prezena unui set de puncte, segmente i intervale caracteristice, ca n Fig. 2.17. Identificarea cu acuratee a tuturor acestor mrimi (ca i analiza comparativ cu valori msurate anterior) ofer unui specialist cardiolog informaiile necesare diagnosticrii cu exactitate a eventualelor aspecte patologice. Informaiile cele mai importante sunt furnizate de aspectul i periodicitatea complexului QRS, asupra crora se reflect majoritatea afeciunilor cardiovasculare.

2.6 Aplicaii ale analizei de tip wavelet 91

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Fig. 2.16 Standardul de compresie a amprentelor WSQ: a) imagine original; b) imagine n format WSQ; c) imagine n format JPEG; d)-e) detalii

Fig. 2.17 Aspect tipic al unui semnal ECG

92 CAPITOLUL 2: ANALIZA DE TIP WAVELET

n particular, detecia undei R reprezint o problem dificil deoarece forma de und sufer modificri fiziologice substaniale n cazul anumitor tipuri de afeciuni, la care se adaug prezena unei game largi de semnale perturbatoare (denumite generic artefacte) generate de contactul imperfect al senzorilor, micrile respiratorii, brumul de reea, etc. n mod concret, este posibil ca nu ntotdeauna complexul QRS s reprezinte componenta cea mai puternic n semnalul ECG. Este de asemenea posibil ca undele P sau T, avnd aspecte similare cu ale complexului QRS, precum i impulsurile furnizate de ctre stimulatoarele cardiace s compromit operaiunea de detecie a complexului QRS. Cele mai multe dintre metodele tradiionale de detecie includ dou module: - un modul de preprocesare al crui rol este de a accentua poriunea din semnal care include complexul QRS (de obicei, prin filtrare trece-sus) - un bloc de decizie care detecteaz prezena complexului QRS prin compararea cu o anumit valoare de prag. Cel mai cunoscut procedeu este cel elaborat de ctre Pan-Tompkins, care presupune mai nti o operaie de filtrare trece-band pentru eliminarea zgomotelor de nalt frecven, respectiv a componentelor foarte lent variabile, dup care semnalul ECG este derivat pentru a evidenia mai clar prezena undei R (caracterizat de o pant abrupt). Pentru a ntri i mai mult efectul prezenei unor componente de frecven nalt n structura complexului QRS, semnalul obinut n urma derivrii este ridicat la ptrat. Aprecierea cantitativ a energiei semnalului astfel obinut se realizeaz printr-o operaie de integrare pe ferestre de timp de durat scurt. Selecia benzii de frecven a filtrului trece band, precum i alegerea duratei ferestrei de estimare a energiei semnalului trebuie efectuate cu atenie. Astfel, FTB trebuie ales pentru a realiza un compromis rezonabil ntre reducerea zgomotului i pierderea unor detalii de frecven mare. Pe de alt parte, durata ferestrei de estimare a energiei nu trebuie s fie nici prea mare, pentru c astfel energia acumulat ar conduce rapid la depirea valorii de prag, dar nici prea ngust pentru c astfel s-ar acumula prea puin energie. n concluzie, n domeniul frecven, utilizarea unui FTB cu band fixat nu permite adaptarea la eventuale variaii ale spectrului complexului QRS, iar pe de alt parte, n domeniul timp,

2.6 Aplicaii ale analizei de tip wavelet 93

utilizarea unei ferestre de durat fix nu permite adaptarea la schimbri ale duratei complexului QRS. Ca urmare, pentru a depi limitrile amintite anterior este necesar utilizarea unei tehnici care s permit adaptarea la variaiile din domeniul timp frecven specifice complexului QRS.

Justificarea utilizrii unei reprezentri bazate pe transformata DWT pentru analiza unei serii de semnale elementare asemntoare cu cele care intr n componena unui semnal ECG este ilustrat n Fig. 2.18 [8, 10]. Se observ c n cazul semnalelor de forma unor impulsuri triunghiulare, componentele de rezoluii diferite obinute n urma aplicrii DWT sunt caracterizate de prezena unei perechi minim-maxim, iar trecerea prin zero pe scala de frecven cea mai mare corespunde vrfului formei de und. Chiar n cazul n care forma de und nu e simetric concluzia rmne valabil. n cazul semnalului din figura (c), foarte asemntoare cu complexul QRS, apar trei perechi de valori minim i maxim cu amplitudini variabile. n cazul semnalului de frecven joas din figura (d) concluzia se pstreaz dar amplitudinea e mult mai redus. n sfrit, n cazul impulsului dreptunghiular din figura (e) care modeleaz apariia unor modificri datorate prezenei unor zgomote, analiza multirezoluie conduce la apariia unor perechi de impulsuri ascuite cu semne diferite.

Fig. 2.18 Componente de detaliu rezultate din analiza DWT a unor semnale elementare

94 CAPITOLUL 2: ANALIZA DE TIP WAVELET

Principiul de detecie al punctelor caracteristice n semnalul ECG se bazeaz pe o descompunere multirezoluie de tipul celei prezentate anterior i identificarea unor astfel de perechi de valori minim-maxim prezente pe toate scalele. Componentele respective sunt obinute la ieirea unui ansamblu de filtre trece-band cu factor de calitate constant, cu caracteristicile descrise n tabelul urmtor:

Tabelul 2.1: Benzile de trecere la 3 dB ale filtrelor cu Q-constant

Scal Banda la 3dB (Hz) S1: a = 21 62,5 ~ 125 S2: a = 22 18 ~ 58,5 S3: a = 23 8 ~ 27 S4: a = 24 4 ~ 13,5 S5: a = 25 2 ~ 6,5

Algoritmul de procesare presupune parcurgerea urmtorilor pai [8, 10]: Detecia undelor R: se bazeaz pe identificarea prezenei unor perechi de valori

minime i maxime pe scalele 4, 3, 2 i 1. Iniial se identific aceste perechi pe scala

de rezoluie cea mai mare, cu numrul 4, pe care le vom nota { }Nknk ...1|4 = . Dac nu exist astfel de valori extreme, vom atribui valoarea zero setului de valori

3kn ,

2kn i

1kn . Se procedeaz similar pe scalele 3, 2 i 1. Exist dou motive pentru

a efectua procesul de cutare al perechilor de valori extreme pronind de la scalele mari ctre cele mici: n primul rnd numrul valorilor extreme este mult mai redus la scalele mari dect la cele mici, iar pe de alt parte zgomotul de nalt frecven e foarte redus pe scalele mari i nu va conduce la apariia unor valori extreme semnificative. n acelai timp, este posibil ca pe scalele mari s apar perechi de valori extreme generate de undele P i T ns efectul acestora pe scalele mici va fi nesemnificativ, astfel nct vor putea fi eliminate uor. Pentru a separa liniile de valori extreme provenite din undele R de cele care ar rezulta din cauza unor zgomote de frecven ridicat, se calculeaz un aa numit

exponent de regularitate , pe baza relaiei:

( ) ( )jkjjkj nn 2112 loglog = ++

2.6 Aplicaii ale analizei de tip wavelet 95

Se poate demonstra c n cazul undelor R parametrul 1 2 2 + = este pozitiv.

Este necesar de obicei s fie eliminate eventualele valori izolate de maxim sau minim care nu apar n perechi, respectiv cele redundante. Procedurile respective se bazeaz pe o serie de reguli stabilite empiric referitoare la intervalele de timp uzuale care separ undele R succesive. Detecia limitelor complexului QRS: nceputul complexului QRS e reprezentat

de nceputul undei Q, iar sfritul de terminarea undei S. n mod empiric, undele Q i S au frecven ridicat i amplitudine sczut. Ca urmare, detecia acestora se efectueaz pe scala 1 i se bazeaz pe detecia primei linii de valoare maxim plasate naintea perechii minim-maxim generate de unda R, respectiv sfritul complexului QRS se bazeaz pe detecia perechii de valori extreme plasate dup cea generat de unda R. n ambele situaii perechile de valori minim i maxim se caut pe ferestre de timp de durat precizat n jurul undei R. Detecia undelor T i P: acestea sunt unde de frecven joas i sunt detectate

pe scala 4, urmrind prezena acelorai perechi de valori minim i maxim plasate n ferestre de timp de lungime precizat, de o parte i de alta a undei R. Prezentm n Fig. 2.19-2.20 o serie de rezultate experimentale obinute n urma analizei unor semnale ECG reale, corespunztoare unor persoane sntoase, respectiv suferind de afeciuni cardiace specifice. Sunt incluse formele de und originale, cele rezultate n urma eliminrii componentelor cu frecvene mai mici dect banda filtrului de pe scala S5, respectiv componentele de detaliu rezultate din aplicarea DWT pe scalele S1-S4.

S menionm n final c n electrocardiografie se culeg simultan mai multe semnale (denumite derivaii), provenind de la electrozi plasai n poziii standardizate. n unele situaii n care semnalul ECG este afectat de semnale perturbatoare foarte puternice sau afeciunile pacientului sunt severe, este necesar ca analiza precedent s fie efectuat asupra mai multor derivaii pentru a putea trage o concluzie conform cu realitatea.

96 CAPITOLUL 2: ANALIZA DE TIP WAVELET

a)

b)

Fig. 2.19 Exemplu de analiz a unui semnal ECG: a) descompunere multirezoluie; b) forma de und original i cea filtrat trece-sus

2.6 Aplicaii ale analizei de tip wavelet 97

a)

b)

Fig. 2.20 Exemplu de analiz a unui semnal ECG: a) descompunere multirezoluie; b) forma de und original i cea filtrat trece-sus

98

Bibliografie:

[1] Burt, P., Adelson, E.H., The Laplacian pyramid as a compact image code, IEEE Trans. Comm., vol. 31, pp. 532540, 1983 [2] Coifman, R., Wickerhauser, M., Entropy-based algorithms for best basis selection, IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 38, pp. 713718, 1992 [3] Daubechies, I., Ten lectures on wavelets, Philadelphia: SIAM, 1992 [4] Donoho, D.L., Johnstone, I.M., Ideal spatial adaptation via wavelet shrinkage, Biometrika, vol. 81, pp. 425455, 1994 [5] Donoho, D.L., De-noising by soft thresholding, IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 41, pp. 613627, 1995 [6] A. Graps, "An introduction to wavelets", IEEE Comput. Sci. Eng., vol. 2, no. 2, pp. 50-61, 1995 [7] Grchenig, K., Irregular sampling of wavelet and short time Fourier transforms, Constr. Approx., vol. 9, pp. 283-297, 1993 [8] Kadambi S, Murray R, Boudreaux-Bartels F, Wavelet Transform-Based QRS Complex Detector, IEEE Trans. Biomed. Eng., vol. 46, no. 7, pp. 838-847, 1999 [9] Kingsbury, N.G., Image processing with complex wavelets, Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A, vol. 357, pp. 25432560, 1999 [10] Li C, Zheng C, Tai C., Detection of ECG characteristic points using wavelet transforms, IEEE Trans. Biomed. Eng., vol. 42, no. 1, pp. 2128, 1995 [11] Mallat, S. G., A theory for multiresolution signal decomposition: the wavelet representation, IEEE Trans. PAMI, vol. 11, no. 7, pp. 674-693, 1989 [12] Mallat, S., Zhong, S., Characterization of signals from multiscale edges, IEEE Trans. PAMI, vol. 14, pp. 710732, 1992 [13] Mallat, S., A Wavelet Tour of Signal Processing, New York: Academic, 1998 [14] Papoulis, A., Signal Analysis, New York: McGraw-Hill, 1977 [15] Polikar, R., The wavelet tutorial, disponibil on-line la adresa: http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html [16] Press, W., H., Teukolsy, S.A., Vetterling, W.T., Flanery, B.P., Numerical Recipes in C, Cambridge University Press, 1992 [17] Rao, R.M., Bopardikar, A.S., Wavelet Transforms: Introduction to the theory and applications, Addison-Wesley, 1998 [18] Strang, G. S, Wavelets and dilation equation, SIAM Review, vol. 31, pp. 613627, 1989 [19] Vaidyanathan, P.P., Multirate Systems and Filter Banks, Prentice Hall, 1993 [20] Vetterli M., C. Herley, Wavelets and filter banks: theory and design, IEEE Trans. Signal Processing, vol. 40, no. 9, pp. 2207-2232, 1992 [21] WSQ, Los Alamos ftp site: wwwc3.lanl.gov/pub/misc/WSQ