0 poliedre regulate
DESCRIPTION
aTRANSCRIPT
-
1
POLIEDRE REGULATE
Pornind de la o problem personal, am ajuns la concluzia c am nevoie de anumite relaii
ntre elementele poliedrelor regulate. Am cutat aceste relaii pe internet, n mai multe cri i
n Gazeta matematic ediia electronic i nu m-a mulumit ce am gsit. Doar rezultate pariale,
fr calcule complete i insuficient explicate, sau prezentate la un nivel prea ridicat.
M-am gndit (i am trecut la treab) s ncerc s calculez eu i s prezint aceste calcule
precum i raionamentele necesare, n primul rnd pentru c, acestea ar putea constitui un
excelent exerciiu pentru cei ce doresc s-i perfecioneze tehnica de calcul, apoi pentru c se
poate face o trecere n revist a poliedrelor regulate, despre care n coal se amintete doar n
treact.
Am considerat cunoscut aici ceea ce se gsete cu uurin pe internet sau n diverse cri
i anume: care sunt poliedrele regulate i descrierea lor.
Dei a fi putut s prezint doar partea ce ine strict de poliedrele regulate, am considerat ca
fiind foarte interesant i problema care m-a condus aici, aa c voi ncepe cu ea.
Problema ( Cloca cu pui)
Enun:
Pe sfera ( ),S O R se lipesc n exterior semisfere de raz ;d d R< , astfel ca cercul de raz d al semisferei s se afle pe sfera ( ),S O R . Fie , 2k k >` . S se afle numrul de semisfere de raz d ce trebuiesc lipite pe sfera ( ),S O R pentru ca fiecare dintre ele s fie tangent exterior cu exact alte k semisfere (identice).
n fiecare caz s se calculeze d n funcie de R , i apoi s se calculeze aria i volumul
corpului format dup alipirea semisferelor pe sfera mare, considerat corp plin.
Autor: Prof. C. Telteu
Rezolvare:
Vom folosi n cele ce urmeaz urmtoarea observaie: Fiind date dou cercuri concentrice,
toate coardele cercului exterior ce sunt tangente celui interior, sunt congruente.
Afirmaia rmne valabil dac se nlocuiesc cercurile cu sfere.
-
2
V1V2
O
Fig.1
Considerm doar dou semisfere de raz d , tangente i lipite de sfera ( ),S O R , i secionm acest corp cu planul ce conine centrele lor, pe care, n figura 1. le-am notat cu
1 2, , .V V O Conform observaiei precedente 1 2 2VV d= . Deci ntre vrfurile calotelor sferei ( ),S O R acoperite de semisfere tangente, distana este aceeai : 2d .
S considerm acum, cu cercurile mari ntr-un plan, o semisfer ( ),S Q d la care sunt tangente alte semisfere ( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , ,.... ,k kS O d S O d S O d . Unind pe Q pe rnd cu
1 2, ,..., kO O O se obin k segmente cu un capt n Q i sunt congruente, lungimea lor fiind 2d .
Este evident c unghiurile cu vrful n Q formate de dou astfel de segmente alturate au ca
msur cel puin 3 iar suma lor este 2 . n cazul problemei noastre, punctul Q este n afara
planului din care fac parte 1 2, ,..., kO O O i de aici concluzia c suma unghiurilor de mai sus
este mai mic dect 2 (msura unui unghi este mai mic dect msura proieciei sale pe un plan). Deducem c unghiurile cu suma msurilor mai mic dect 2 , fiecare fiind cel puin de
-
3
msur 3 , nu pot fi dect cel mult n numr de 5. Altfel spus, acel k din enun poate fi 3; 4
sau 5.
Considernd toate segmentele determinate de vrfurile a cte dou calote acoperite de
semisfere tangente, ele formeaz o reea de segmente care au capetele pe sfer i verific
urmtoarele condiii:
- din fiecare vrf pleac acelai numr de segmente ( { }3, 4,5k ); - unghiurile formate n orice vrf de oricare dou segmente alturate sunt congruente.
Din condiiile de mai sus reiese c ele sunt muchiile unui poliedru regulat nscris n sfera
( ),S O R . Tipul poliedrului regulat depinde de numrul k n felul urmtor: 1. Cazul 3k = Dac fiecare semisfer este tangent cu exact 3 semisfere, atunci vrfurile calotelor
acoperite de ele determin:
a) UN TETRAEDRU REGULAT. Acesta avnd patru vrfuri, vom avea 4 semisfere lipite pe
sfera ( ),S O R . b) UN CUB. Acesta are 8 vrfuri, deci vom avea 8 semisfere lipite pe sfera ( ),S O R . c) UN DODECAEDRU REGULAT. Acesta are 20 vrfuri, deci vom avea 20 semisfere lipite pe
sfera ( ),S O R . 2. Cazul 4k = . Dac fiecare semisfer este tangent cu exact 4 semisfere, , atunci vrfurile calotelor
acoperite de ele determin UN OCTAEDRU REGULAT. Acesta are 6 vrfuri, deci vom avea 6
semisfere lipite pe sfera ( ),S O R . 3. Cazul 5k = . Dac fiecare semisfer este tangent cu exact 5 semisfere, , atunci vrfurile calotelor
acoperite de ele determin UN ICOSAEDRU REGULAT. Acesta are 12 vrfuri, deci vom avea 12
semisfere lipite pe sfera ( ),S O R .
Vom lua acum pe rnd fiecare poliedru regulat i calculm muchia sa, care n toate cazurile
este 2d , n funcie de R. Pentru comoditate vom nota n calcule muchia poliedrului regulat cu
x .
-
4
1.a). PENTRU TETRAEDRU REGULAT:
A
B
C
MQ
OP
V
Fig.2
2 21 3 3 3 6; ; ;3 6 4 36 3
x x x xMQ MC VQ MP MQ= = = = = VO R=3
2 6333 6
2 3
xVO VP RVQM VPO x RVM VQ x x
= = =+ + .
1.b). PENTRU CUB:
Diagonala cubului fiind diametrul sferei circumscrise,
-
5
2 33 2 , .3
Rx R x= =
1.c). PENTRU DODECAEDRU REGULAT:
Feele lui sunt pentagoane regulate.
540
A
BC
D
Fig.3
A
D
B
C
OFig.4
Msura unghiului pentagonului regulat este de 0
0180 3 1085 = .
0 054 542
AB xtg AB tgBC
= = Vom nota cu msura unghiului diedru determinat de dou fee cu o latur comun ale
dodecaedrului regulat. n figura 4 unghiul plan corespunztor lui este ABD) . Tot n figura 4, OA i OD sunt perpendiculare pe cele dou fee. Cu teorema celor 3 perpendiculare deducem
c OB CB . Din 2
2 2
4xBCO BO R = + . Vom egala aceasta valoare cu valoarea lui OB
din triunghiul BOA , dar pentru asta calculm mai nti pe .
-
6
Fig.5
720540
A
B
C
D
E
FG
H
K
L
M
Pentru acest scop avem nevoie de figura 5, unde ABCDE este o fa a dodecaedrului
regulat, iar , , ...AF EG DH sunt laturi ale dodecaedrului regulat.
( )2
m FLK =) ; ( )0 02 cos72 1 2cos72GF x x x= + = + ;( )0 0 0sin 72 sin 72 1 2cos72LF GF x= = + ( ) ( )( )
0 0 00 0 0
00 0
sin 54 1 2cos72 sin 54sin 54 sin 54 1 2cos72 sin2 sin 72sin 72 1 2cos72
xKF GF x
x += = + = =+
-
7
Avem acum nevoie de puin trigonometrie.
( )0 0 0 0 0 2 02 0 0 0 0
sin 36 cos54 2sin18 cos18 cos18 4cos 18 3
5 14sin 18 2sin18 1 0 sin18 cos 724
= = + = = =
0 2 0 010 2 5cos18 1 sin 18 sin 72 .4+= = =
0 00 01 cos108 1 sin18 10 2 5 1 5cos54 ;cos108
2 2 4 4+ = = = =
0 2 0 05 1sin 54 1 cos 54 cos36 .4+= = =
25 1 4 5 5 5 5sin ;cos 1 sin2 4 2 210 1010 2 5
+ + = = = =+
00
0
sin 54 5 154cos54 10 2 5
tg += =
Din figura 4, obinem:
( )
22 2
2 2 2 0 22 22 2 2 0
2 2 22 2
222 2 2
2 2
4 5454 4 44cos
2cos 4cos2 2
6 2 57 3 510 2 5 5 3 5
4 2 4 830 10 55 5410
xOB Rx x tg xR RAB x tgOB OB
x xx x xR R
= = == = + + + = = =
( ) ( ) ( )22 3 3 5 3 5 1 3 5 1 .8 4 3
x x RR R x
+ + = = =
-
8
A B
CD
OM
V
WFig.6
2. PENTRU OCTAEDRU REGULAT:
n fig. 6:
222 2 2 2; 2.
2 4 2 2x x x xDO VO x OW R x R= = = = = =
-
9
3. PENTRU ICOSAEDRU REGULAT: (fig.7)
D
C
E
B
O
G2G1
A
FH
Fig.7 n figur am luat un vrf, A, al icosaedrului i feele ce-l conin. 1G i 2G sunt centrele feelor
( )ABD , respectiv ( )ABE . Perpendicularele n 1G i 2G pe feele ( )ABD , respectiv ( )ABE fiind coplanare ( sunt incluse n planul ( )DCE ) sunt concurente i am notat cu O intersecia lor. Evident O este centrul sferei circumscrise icosaedrului (i al sferei nscrise), i
...OA OB R= = . BEFHD este pentagon regulat ( ) 0108m DBE =) . Din DBE+ , cu teorema cosinusului:
( ) ( )22 2 2 0 2 0 2 3 55 12 2 cos108 2 1 sin18 2 1 .4 2xDE x x x x + = = + = + = Din DCE+ cu teorema cosinusului:
-
10
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
2 2 2 22
3 53 3 32 2 cos 1 cos2 2 2 2
3 5 51 cos cos3 3
xx x xDE DCE DCE
DCE DCE
+ = = + = =
) )
) )
( ) ( ) ( )
( )
2
2
122
22
51 5 11 cos 5 13cos2 2 12 2 3
35 1 3 56 12cos
62 344
DCEDCO
x xCGDCO
xOC x RR
+ = = = =
= = =
))
)
( )( ) ( )2 22 2 22 2 23 5 5 5
4 4 8 82 3 5
10 2 5 4 .4 10 2 5
x xx x xR R R
x RR x
+ + = = = + = =
+
Pentru calculul ariilor i volumelor corpurilor obinute n urma adugrii(lipirii) semisferelor
de raze d la sfera de raz R (corpurile obinute sunt considerate pline), vom folosi , n toate
cazurile, formulele urmtoare:
corpului sferei calotei semisferei
corpului corpsferic a
A A n A n AV V n V
= + = +
Am notat cu aV volumul adugat sferei prin lipirea unei semisfere( mai exact volumul cuprins
ntre sfer i semisfer); n reprezint numrul de semisfere lipite sferei iniiale; caloteiA este aria
unei calote acoperit de o semisfer. Amintim formulele:
( ) 32 2 2 42 , n fig.8, ; 4 ; 3calotei sferei corpuluisferic RA Rh h OD R R d A R V = = = = = .
-
11
OA B
C
D
Fig.8
Mai observm c:
( )3 2 21 2( ).
.6 2
a semisferplin segmentsferic
segmentsferic
V V V calota plin
h hV R R =
= + +
n cazul nostru 1 2, 0,R d R= = iar h este cel de mai sus. Obinem:3 3 22 .
3 6 2ad h hdV =
Cum, n toate cazurile, elementele necesare n aceste formule sunt calculate mai sus, putem
considera problema rezolvat.
PS: Nu calculele din final reprezint partea interesant a problemei, ci ceea ce a trebuit calculat
pn a se ajunge aici.
-
12
APLICAII:
Relaii ntre elementele poliedrelor regulate.
1. Vom folosi n continuare rezultatele gsite pe parcursul rezolvrii problemei, pentru a
determina relaiile dintre:
R - raza sferei circumscrise unui poliedru regulat;
r - raza sferei nscrise n poliedru regulat;
- raza cercului circumscris unei fee a poliedrului regulat. Evident c n toate cazurile este adevrat relaia: 2 2 2R r = + . Vom folosi de asemenea lungimea laturii nl a unui poligon regulat cu n laturi (care n
problema noastr a fost notat cu x ) n funcie de raza a cercului circumscris poligonului:
3 4 510 2 53; 2; .
2l l l = = = 1.Tetraedru regulat:
3 3l = mpreun cu rezultatul din problem 3 2 63Rx l= = conduce la
2 2 ; .3 3
RR r = = 2.Cub:
4 2l = mpreun cu rezultatul din problem 4 2 33Rx l= = conduce la:
6 3;3 3
R Rr = = . 3.Octaedru regulat:
3 3l = (are feele triunghiuri echilaterale) mpreun cu rezultatul din problem 3 2x l R= =
conduce la: 6 3;3 3
R Rr = = .
4.Dodecaedru regulat: 510 2 5
2l = (are feele pentagoane regulate) mpreun cu
-
13
rezultatul din problem ( )
5
3 5 1
3
Rx l
= = conduce la: 10 2 5 5 2 5;15 15
R Rr += = .
5.Icosaedru regulat:
3 3l = (are feele triunghiuri echilaterale) mpreun cu rezultatul din problem
34
10 2 5
Rx l= =+
conduce la:
10 2 5 5 2 5;15 15
R Rr += = .
Am mai gsit aceste rezultate, fr calcule amnunite,( mpreun cu justificarea coincidenei
rezultatelor de la cub i octaedru regulat, iar apoi a celor de la dodecaedru regulat i icosaedru
regulat) n cartea Lecii de geometrie elementar i geometrie n spaiu a lui Jacques
Hadamard, Ed. Tehnic, Bucureti 1961.
2. Msurile unghiurilor diedre a dou fee alturate ale unui poliedru regulat:
Pentru tetraedru regulat, cub i octaedru regulat, acestea sunt uor de calculat, iar pentru
dodecaedru regulat i icosaedru regulat, apelm la rezultatele obinute pe parcursul rezolvrii
problemei. Obinem pentru:
Tetraedru regulat: 2 2arcsin 1,230959417340773
= radiani;
Cub: 1,57079632679489662 = radiani;
Octaedru regulat: 2 2arcsin 1,9106332362493
= radiani;
Dodecaedrul regulat: 2 5arcsin 2,03444393579575
= radiani;
Icosaedrul regulat: 2arcsin 2,41186499736282683
= radiani. Se observ c msura unghiului diedru crete o dat cu creterea numrului de fee ele
poliedrului regulat.
-
14
Voi alctui acum un tabel cumulativ al rezultatelor obinute, deoarece am cutat mult aa ceva
i nu am gsit dect rezultate pariale. Acesta poate fi util multora pe viitor.
n tabel am folosit urmtoarele notaii pentru elementele poliedrului regulat:
l = latura poliedrului;
r = raza sferei nscris n poliedru;
= raza cercului circumscris unei fee a poligonului; = msura unghiului diedru a dou fee alturate ale poliedrului; R = raza sferei circumscrise poliedrului.
Elemente
Poliedre
l r
Tetraedrul
regulat 2 6
3R 3
R 2 23
R 2 2arcsin
3
1, 23095941734077
Cubul 2 33
R 33
R 63
R 1,57079632679489662
Octaedrul
regulat 2R
33
R 63
R 2 2arcsin
3 1,910633236249
Dodecaedrul
regulat ( )3 5 13
R
5 2 515
R + 10 2 515
R 2 5arcsin
5 2,0344439357957
Icosaedrul
regulat
4
10 2 5
R
+ 5 2 5
15R + 10 2 5
15R
2arcsin3
2, 4118649973628268
-
15
Bibliografie:
1. Lecii de geometrie elementar i geometrie n spaiu a lui Jacques Hadamard, Ed.
Tehnic, Bucureti 1961;
2. Gazeta matematic ediie electronic;
3. www.didactic.ro i multe alte adrese de net.
Prof. Constantin Telteu,
COLEGIUL NATIONAL DE ARTE REGINA MARIA, Constana