1

POLIEDRE REGULATE

Pornind de la o problem personal, am ajuns la concluzia c am nevoie de anumite relaii

ntre elementele poliedrelor regulate. Am cutat aceste relaii pe internet, n mai multe cri i

n Gazeta matematic ediia electronic i nu m-a mulumit ce am gsit. Doar rezultate pariale,

fr calcule complete i insuficient explicate, sau prezentate la un nivel prea ridicat.

M-am gndit (i am trecut la treab) s ncerc s calculez eu i s prezint aceste calcule

precum i raionamentele necesare, n primul rnd pentru c, acestea ar putea constitui un

excelent exerciiu pentru cei ce doresc s-i perfecioneze tehnica de calcul, apoi pentru c se

poate face o trecere n revist a poliedrelor regulate, despre care n coal se amintete doar n

treact.

Am considerat cunoscut aici ceea ce se gsete cu uurin pe internet sau n diverse cri

i anume: care sunt poliedrele regulate i descrierea lor.

Dei a fi putut s prezint doar partea ce ine strict de poliedrele regulate, am considerat ca

fiind foarte interesant i problema care m-a condus aici, aa c voi ncepe cu ea.

Problema ( Cloca cu pui)

Enun:

Pe sfera ( ),S O R se lipesc n exterior semisfere de raz ;d d R< , astfel ca cercul de raz d al semisferei s se afle pe sfera ( ),S O R . Fie , 2k k >` . S se afle numrul de semisfere de raz d ce trebuiesc lipite pe sfera ( ),S O R pentru ca fiecare dintre ele s fie tangent exterior cu exact alte k semisfere (identice).

n fiecare caz s se calculeze d n funcie de R , i apoi s se calculeze aria i volumul

corpului format dup alipirea semisferelor pe sfera mare, considerat corp plin.

Autor: Prof. C. Telteu

Rezolvare:

Vom folosi n cele ce urmeaz urmtoarea observaie: Fiind date dou cercuri concentrice,

toate coardele cercului exterior ce sunt tangente celui interior, sunt congruente.

Afirmaia rmne valabil dac se nlocuiesc cercurile cu sfere.

2

V1V2

O

Fig.1

Considerm doar dou semisfere de raz d , tangente i lipite de sfera ( ),S O R , i secionm acest corp cu planul ce conine centrele lor, pe care, n figura 1. le-am notat cu

1 2, , .V V O Conform observaiei precedente 1 2 2VV d= . Deci ntre vrfurile calotelor sferei ( ),S O R acoperite de semisfere tangente, distana este aceeai : 2d .

S considerm acum, cu cercurile mari ntr-un plan, o semisfer ( ),S Q d la care sunt tangente alte semisfere ( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , ,.... ,k kS O d S O d S O d . Unind pe Q pe rnd cu

1 2, ,..., kO O O se obin k segmente cu un capt n Q i sunt congruente, lungimea lor fiind 2d .

Este evident c unghiurile cu vrful n Q formate de dou astfel de segmente alturate au ca

msur cel puin 3 iar suma lor este 2 . n cazul problemei noastre, punctul Q este n afara

planului din care fac parte 1 2, ,..., kO O O i de aici concluzia c suma unghiurilor de mai sus

este mai mic dect 2 (msura unui unghi este mai mic dect msura proieciei sale pe un plan). Deducem c unghiurile cu suma msurilor mai mic dect 2 , fiecare fiind cel puin de

3

msur 3 , nu pot fi dect cel mult n numr de 5. Altfel spus, acel k din enun poate fi 3; 4

sau 5.

Considernd toate segmentele determinate de vrfurile a cte dou calote acoperite de

semisfere tangente, ele formeaz o reea de segmente care au capetele pe sfer i verific

urmtoarele condiii:

- din fiecare vrf pleac acelai numr de segmente ( { }3, 4,5k ); - unghiurile formate n orice vrf de oricare dou segmente alturate sunt congruente.

Din condiiile de mai sus reiese c ele sunt muchiile unui poliedru regulat nscris n sfera

( ),S O R . Tipul poliedrului regulat depinde de numrul k n felul urmtor: 1. Cazul 3k = Dac fiecare semisfer este tangent cu exact 3 semisfere, atunci vrfurile calotelor

acoperite de ele determin:

a) UN TETRAEDRU REGULAT. Acesta avnd patru vrfuri, vom avea 4 semisfere lipite pe

sfera ( ),S O R . b) UN CUB. Acesta are 8 vrfuri, deci vom avea 8 semisfere lipite pe sfera ( ),S O R . c) UN DODECAEDRU REGULAT. Acesta are 20 vrfuri, deci vom avea 20 semisfere lipite pe

sfera ( ),S O R . 2. Cazul 4k = . Dac fiecare semisfer este tangent cu exact 4 semisfere, , atunci vrfurile calotelor

acoperite de ele determin UN OCTAEDRU REGULAT. Acesta are 6 vrfuri, deci vom avea 6

semisfere lipite pe sfera ( ),S O R . 3. Cazul 5k = . Dac fiecare semisfer este tangent cu exact 5 semisfere, , atunci vrfurile calotelor

acoperite de ele determin UN ICOSAEDRU REGULAT. Acesta are 12 vrfuri, deci vom avea 12

semisfere lipite pe sfera ( ),S O R .

Vom lua acum pe rnd fiecare poliedru regulat i calculm muchia sa, care n toate cazurile

este 2d , n funcie de R. Pentru comoditate vom nota n calcule muchia poliedrului regulat cu

x .

4

1.a). PENTRU TETRAEDRU REGULAT:

A

B

C

MQ

OP

V

Fig.2

2 21 3 3 3 6; ; ;3 6 4 36 3

x x x xMQ MC VQ MP MQ= = = = = VO R=3

2 6333 6

2 3

xVO VP RVQM VPO x RVM VQ x x

= = =+ + .

1.b). PENTRU CUB:

Diagonala cubului fiind diametrul sferei circumscrise,

5

2 33 2 , .3

Rx R x= =

1.c). PENTRU DODECAEDRU REGULAT:

Feele lui sunt pentagoane regulate.

540

A

BC

D

Fig.3

A

D

B

C

OFig.4

Msura unghiului pentagonului regulat este de 0

0180 3 1085 = .

0 054 542

AB xtg AB tgBC

= = Vom nota cu msura unghiului diedru determinat de dou fee cu o latur comun ale

dodecaedrului regulat. n figura 4 unghiul plan corespunztor lui este ABD) . Tot n figura 4, OA i OD sunt perpendiculare pe cele dou fee. Cu teorema celor 3 perpendiculare deducem

c OB CB . Din 2

2 2

4xBCO BO R = + . Vom egala aceasta valoare cu valoarea lui OB

din triunghiul BOA , dar pentru asta calculm mai nti pe .

6

Fig.5

720540

A

B

C

D

E

FG

H

K

L

M

Pentru acest scop avem nevoie de figura 5, unde ABCDE este o fa a dodecaedrului

regulat, iar , , ...AF EG DH sunt laturi ale dodecaedrului regulat.

( )2

m FLK =) ; ( )0 02 cos72 1 2cos72GF x x x= + = + ;( )0 0 0sin 72 sin 72 1 2cos72LF GF x= = + ( ) ( )( )

0 0 00 0 0

00 0

sin 54 1 2cos72 sin 54sin 54 sin 54 1 2cos72 sin2 sin 72sin 72 1 2cos72

xKF GF x

x += = + = =+

7

Avem acum nevoie de puin trigonometrie.

( )0 0 0 0 0 2 02 0 0 0 0

sin 36 cos54 2sin18 cos18 cos18 4cos 18 3

5 14sin 18 2sin18 1 0 sin18 cos 724

= = + = = =

0 2 0 010 2 5cos18 1 sin 18 sin 72 .4+= = =

0 00 01 cos108 1 sin18 10 2 5 1 5cos54 ;cos108

2 2 4 4+ = = = =

0 2 0 05 1sin 54 1 cos 54 cos36 .4+= = =

25 1 4 5 5 5 5sin ;cos 1 sin2 4 2 210 1010 2 5

+ + = = = =+

00

0

sin 54 5 154cos54 10 2 5

tg += =

Din figura 4, obinem:

( )

22 2

2 2 2 0 22 22 2 2 0

2 2 22 2

222 2 2

2 2

4 5454 4 44cos

2cos 4cos2 2

6 2 57 3 510 2 5 5 3 5

4 2 4 830 10 55 5410

xOB Rx x tg xR RAB x tgOB OB

x xx x xR R

= = == = + + + = = =

( ) ( ) ( )22 3 3 5 3 5 1 3 5 1 .8 4 3

x x RR R x

+ + = = =

8

A B

CD

OM

V

WFig.6

2. PENTRU OCTAEDRU REGULAT:

n fig. 6:

222 2 2 2; 2.

2 4 2 2x x x xDO VO x OW R x R= = = = = =

9

3. PENTRU ICOSAEDRU REGULAT: (fig.7)

D

C

E

B

O

G2G1

A

FH

Fig.7 n figur am luat un vrf, A, al icosaedrului i feele ce-l conin. 1G i 2G sunt centrele feelor

( )ABD , respectiv ( )ABE . Perpendicularele n 1G i 2G pe feele ( )ABD , respectiv ( )ABE fiind coplanare ( sunt incluse n planul ( )DCE ) sunt concurente i am notat cu O intersecia lor. Evident O este centrul sferei circumscrise icosaedrului (i al sferei nscrise), i

...OA OB R= = . BEFHD este pentagon regulat ( ) 0108m DBE =) . Din DBE+ , cu teorema cosinusului:

( ) ( )22 2 2 0 2 0 2 3 55 12 2 cos108 2 1 sin18 2 1 .4 2xDE x x x x + = = + = + = Din DCE+ cu teorema cosinusului:

10

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

2 2 2 22

3 53 3 32 2 cos 1 cos2 2 2 2

3 5 51 cos cos3 3

xx x xDE DCE DCE

DCE DCE

+ = = + = =

) )

) )

( ) ( ) ( )

( )

2

2

122

22

51 5 11 cos 5 13cos2 2 12 2 3

35 1 3 56 12cos

62 344

DCEDCO

x xCGDCO

xOC x RR

+ = = = =

= = =

))

)

( )( ) ( )2 22 2 22 2 23 5 5 5

4 4 8 82 3 5

10 2 5 4 .4 10 2 5

x xx x xR R R

x RR x

+ + = = = + = =

+

Pentru calculul ariilor i volumelor corpurilor obinute n urma adugrii(lipirii) semisferelor

de raze d la sfera de raz R (corpurile obinute sunt considerate pline), vom folosi , n toate

cazurile, formulele urmtoare:

corpului sferei calotei semisferei

corpului corpsferic a

A A n A n AV V n V

= + = +

Am notat cu aV volumul adugat sferei prin lipirea unei semisfere( mai exact volumul cuprins

ntre sfer i semisfer); n reprezint numrul de semisfere lipite sferei iniiale; caloteiA este aria

unei calote acoperit de o semisfer. Amintim formulele:

( ) 32 2 2 42 , n fig.8, ; 4 ; 3calotei sferei corpuluisferic RA Rh h OD R R d A R V = = = = = .

11

OA B

C

D

Fig.8

Mai observm c:

( )3 2 21 2( ).

.6 2

a semisferplin segmentsferic

segmentsferic

V V V calota plin

h hV R R =

= + +

n cazul nostru 1 2, 0,R d R= = iar h este cel de mai sus. Obinem:3 3 22 .

3 6 2ad h hdV =

Cum, n toate cazurile, elementele necesare n aceste formule sunt calculate mai sus, putem

considera problema rezolvat.

PS: Nu calculele din final reprezint partea interesant a problemei, ci ceea ce a trebuit calculat

pn a se ajunge aici.

12

APLICAII:

Relaii ntre elementele poliedrelor regulate.

1. Vom folosi n continuare rezultatele gsite pe parcursul rezolvrii problemei, pentru a

determina relaiile dintre:

R - raza sferei circumscrise unui poliedru regulat;

r - raza sferei nscrise n poliedru regulat;

- raza cercului circumscris unei fee a poliedrului regulat. Evident c n toate cazurile este adevrat relaia: 2 2 2R r = + . Vom folosi de asemenea lungimea laturii nl a unui poligon regulat cu n laturi (care n

problema noastr a fost notat cu x ) n funcie de raza a cercului circumscris poligonului:

3 4 510 2 53; 2; .

2l l l = = = 1.Tetraedru regulat:

3 3l = mpreun cu rezultatul din problem 3 2 63Rx l= = conduce la

2 2 ; .3 3

RR r = = 2.Cub:

4 2l = mpreun cu rezultatul din problem 4 2 33Rx l= = conduce la:

6 3;3 3

R Rr = = . 3.Octaedru regulat:

3 3l = (are feele triunghiuri echilaterale) mpreun cu rezultatul din problem 3 2x l R= =

conduce la: 6 3;3 3

R Rr = = .

4.Dodecaedru regulat: 510 2 5

2l = (are feele pentagoane regulate) mpreun cu

13

rezultatul din problem ( )

5

3 5 1

3

Rx l

= = conduce la: 10 2 5 5 2 5;15 15

R Rr += = .

5.Icosaedru regulat:

3 3l = (are feele triunghiuri echilaterale) mpreun cu rezultatul din problem

34

10 2 5

Rx l= =+

conduce la:

10 2 5 5 2 5;15 15

R Rr += = .

Am mai gsit aceste rezultate, fr calcule amnunite,( mpreun cu justificarea coincidenei

rezultatelor de la cub i octaedru regulat, iar apoi a celor de la dodecaedru regulat i icosaedru

regulat) n cartea Lecii de geometrie elementar i geometrie n spaiu a lui Jacques

Hadamard, Ed. Tehnic, Bucureti 1961.

2. Msurile unghiurilor diedre a dou fee alturate ale unui poliedru regulat:

Pentru tetraedru regulat, cub i octaedru regulat, acestea sunt uor de calculat, iar pentru

dodecaedru regulat i icosaedru regulat, apelm la rezultatele obinute pe parcursul rezolvrii

problemei. Obinem pentru:

Tetraedru regulat: 2 2arcsin 1,230959417340773

= radiani;

Cub: 1,57079632679489662 = radiani;

Octaedru regulat: 2 2arcsin 1,9106332362493

= radiani;

Dodecaedrul regulat: 2 5arcsin 2,03444393579575

= radiani;

Icosaedrul regulat: 2arcsin 2,41186499736282683

= radiani. Se observ c msura unghiului diedru crete o dat cu creterea numrului de fee ele

poliedrului regulat.

14

Voi alctui acum un tabel cumulativ al rezultatelor obinute, deoarece am cutat mult aa ceva

i nu am gsit dect rezultate pariale. Acesta poate fi util multora pe viitor.

n tabel am folosit urmtoarele notaii pentru elementele poliedrului regulat:

l = latura poliedrului;

r = raza sferei nscris n poliedru;

= raza cercului circumscris unei fee a poligonului; = msura unghiului diedru a dou fee alturate ale poliedrului; R = raza sferei circumscrise poliedrului.

Elemente

Poliedre

l r

Tetraedrul

regulat 2 6

3R 3

R 2 23

R 2 2arcsin

3

1, 23095941734077

Cubul 2 33

R 33

R 63

R 1,57079632679489662

Octaedrul

regulat 2R

33

R 63

R 2 2arcsin

3 1,910633236249

Dodecaedrul

regulat ( )3 5 13

R

5 2 515

R + 10 2 515

R 2 5arcsin

5 2,0344439357957

Icosaedrul

regulat

4

10 2 5

R

+ 5 2 5

15R + 10 2 5

15R

2arcsin3

2, 4118649973628268

15

Bibliografie:

1. Lecii de geometrie elementar i geometrie n spaiu a lui Jacques Hadamard, Ed.

Tehnic, Bucureti 1961;

2. Gazeta matematic ediie electronic;

3. www.didactic.ro i multe alte adrese de net.

Prof. Constantin Telteu,

COLEGIUL NATIONAL DE ARTE REGINA MARIA, Constana