DREPTE ȘI PLANE CLASA A- VIII- A

OLIMPIADE FIȘE 3

1) În cubul ABCDA'B'C 'D' de muchie a se notează cu M,N mijloacele muchiilor AD respectiv AB , iar E, F mijloacele muchiilor B'C ' respectiv C 'D' . a) Să se demonstreze că ( A'MN ) // (CEF ) . b) Să se calculeze distanţa dintre planele ( A'MN) şi (CEF ).

OL SĂLAJ 20072) Fie cubul ABCDA’B’C’D’, M simetricul punctului A față de punctul B, N piciorul perpendicularei dusă din C pe [BD’] și P centrul pătratului ADA’D’. Arătați că punctele M, N, P sunt coliniare.

OL VASLUI 20073) În cubul ABCDA’B’C’D’ de muchie a, prelungim AC cu un segment CE=AC (A-C- E).Calculaţi: a) d (A’; BD); b) măsura unghiului dintre AC şi A’B; c) d (A; (BB’D’)); d) d (E; BC’).

OL BISTRIȚA 20084) Fie un paralelipiped dreptunghic. Notăm cu M, N, P centrele feţelor ABCD, , respectiv . De asemenea, notăm cu s aria triunghiului MNP

şi cu S aria totală a paralelipipedului . Dacă , demonstraţi că

paralelipipedul este cub.OL BOTOȘANI 2008

5) În cubul , aria triunghiului este cm2, unde

a) Calculaţi valoarea cosinusului unghiului determinat de dreptele şi b) Determinaţi distanţa de la la unde este mijlocul

OL BRĂILA 20086) Se consideră în plan un sistem de coordonate si punctele A(1,3), B(3,5), C(4,2), V1 (0,6), V2 (2,0), V3 (6,4) . a) Să se verifice că triunghiul ABC este isoscel. b) Să se arate că există în spaţiu un punct V astfel încât reuniunea triunghiurilor V1AB, V2AC, V3BC, ABC să reprezinte desfăşurarea tetraedrului VABC . c) Să se determine distanța de la V la planul (ABC), unde V este punctul definit la b).7) Fie cubul ABCDA’B’C’D’ şi punctele M,N,P,Q pe feţele ABCD,BCC’B’, A’B’C’D’, respectiv ADD’A’, astfel încât triunghiurile ABM, B’C’N, C’D’P, ADQ să fie echilaterale. a) Să se arate că punctele M,N,P,Q sunt coplanare. b) Să se arate că MNPQ este dreptunghi, dar nu este pătrat. c) Să se arate că dreptele MP şi NQ fac cu dreapta AA’ unghiuri complementare.

OL BUCUREȘTI 20088) Fie cubul ABCDA’B’C’D’ de muchie a, iar M şi N mijloacele segmentelor [AB] şi respectiv [B’C]. a) Calculaţi distanţa de la punctul A la dreapta B’C.

b) Demonstraţi că dreapta MN este paralelă cu planul (DAB’). c) Arătaţi că dreapta MN este perpendiculară pe planul (CB’D’).

OL CONSTANȚA 20089) Fie ABCDA'B'C 'D' un paralelipiped dreptunghic cu AB =18cm, BC = 60cm, AA' = 80cm și M mijlocul muchiei BB' . Determinași: a) Aria secțiunii determinate de planul A'DM în paralelipiped; b) Cosinusul unghiului format de planele A'DM și ABC.

OL DÂMBOVIȚA 200810) este un cub astfel încât este centrul feţei iar este mijlocul muchiei .

a) Să se calculeze lungimile segmentelor şi .b) Să se calculeze distanţa de la punctul la planul .

OL HUNEDOARA 200811) În piramida patrulateră regulată VABCD se ştie că AB = 20 cm iar înălţimea VO = 15 cm. Dacă E este proiecţia lui D pe VB, să se afle lungimea segmentului BE.

OL ILFOV 200812) Fie prisma patrulateră regulată dreaptă ABCDA’B’C’D’ cu AB = 6 cm și AA’ =6 cm, E simetricul lui D’ faţă de C’ şi F simetricul lui D faţă de C. a) Demonstraţi că B’E BD b) Aflaţi măsura unghiului dintre dreptele CD’ şi BC’

OL OLT 200813) Paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’ are laturile AD = AA’ = a și AB = 2a. Punctul E este proiecția punctului A pe diagonala BD’. Calculați: a) măsura unghiului diedru format de planele (D’AB) și (BCD). b) aria triunghiului AD’B. c) lungimea segmentului C’E.

OL PRAHOVA 200814) Fie ABCDA’B’C’D’ un cub cu muchia de lungime 6 cm. Determinați:a) Măsura unghiului format de dreptele B’C și AD’;b) Distanța de la A’ la planul ( AB’D’ );c) Măsura unghiului determinat de dreapta AB’ și planul ( BDD’);d) Câte tetraedre regulate există, a caror vârfuri sunt și vârfurile cubului? Precizați care sunt acestea.

OL SATU MARE 200815) Fie ABCD un tetraedru , iar centrele de greutate ale triunghiurilor ACD , ADB , respectiv ABC. a) Demonstraţi că ( )║ (BCD) ; b) Aflaţi raportul ariilor triunghiurilor şi BCD ;

OL VRANCEA 200816) Dimensiunile a, b, c ale unui paralelipiped dreptunghic verifică relația a∙ b∙ c =1620 și sunt proporționale cu numerele 3, 4 și 5. Calculați: a) Dimensiunile paralelipipedului b) Suma ariilor tuturor fețelor paralelipipedului și lungimea unei diagonale c) Distanțele de la varfurile unei baze la o diagonală a paralelipipedului

OL BIHOR 2009